Lista de Exercícios 32 - Integração por Partes

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Lista de Exercícios – Integração por Partes
1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida por integração
por partes.
a)
∫ xe
3x
dx
dv = e 3x dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e3 x dx
du = dx
v=
1 3x
e
3
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
dx = x ⋅ e 3 x − ∫ e3 x dx
3
3
1 3x 1 3x
3x
∫ xe dx = x ⋅ 3 e − 3 ∫ e dx
1 3x 1 1 3x
3x
∫ xe dx = x ⋅ 3 e − 3 ⋅ 3 ⋅ e + C
1 3x 1 3x
3x
∫ xe dx = 3 xe − 9 e + C
e3 x 
1
3x
∫ xe dx = 3  x − 3  + C
∫ xe
b)
3x
∫x e
2
−x
dx
v = ∫ dv
u = x2
v = ∫ e − x dx
du = 2 x dx
v = −e
−x
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ x e dx = − x e − ∫ −e 2xdx
∫ x e dx = − x e + 2∫ xe dx
2
−x
2
−x
2
−x
2
−x
−x
−x
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ xe
−x
dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e − x dx
du = dx
v = −e − x
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ xe dx = − xe − ∫ −e dx
∫ xe dx = − xe + ∫ e dx
∫ xe dx = − xe − e
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
Portanto:
2
−x
dx = − x 2e − x + 2∫ xe − x dx
2
−x
dx = − x 2e − x + 2 − xe − x − e − x + C
2
−x
dx = − x 2e − x − 2 xe − x − 2e − x + C
2
−x
dx = −e − x x 2 + 2 x + 2 + C
∫x e
∫x e
∫x e
∫x e
c)
(
(
)
)
∫ ln ( 2 x ) dx
v = ∫ dv
u = ln(2 x )
v = ∫ dx
du =
v=x
1
⋅ 2 dx
2x
1
du = dx
x
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
∫ ln(2x ) dx = ln(2x ) ⋅ x − ∫ x ⋅ x dx
∫ ln(2x ) dx = ln(2x ) ⋅ x − ∫ dx
∫ ln(2 x ) dx = ln(2 x ) ⋅ x − x + C
∫ ln(2x ) dx = x [ln(2x ) − 1] + C
2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida (Sugestão: a
integração por partes pode não ser necessária para todas as
integrais).
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a)
∫e
4x
dx
u = 4 x ⇒ du = 4 dx
∫e
b)
4x
∫ xe
dx =
4x
1
1
1
1
4e 4 x dx = ∫ eu du = eu + C = e 4 x + C
∫
4
4
4
4
dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e 4x dx
du = dx
v=
1 4x
e
4
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
dx = x ⋅ e 4 x − ∫ e 4 x dx
4
4
1 4x 1 4x
4x
∫ xe dx = 4 xe − 4 ∫ e dx
1 4x 1 1 4x
4x
∫ xe dx = 4 xe − 4 ⋅ 4 e + C
1 4x 1 4x
4x
∫ xe dx = 4 xe − 16 e + C
1 4x 
1
4x
∫ xe dx = 4 e  x − 4  + C
c)
∫ xe
4x
∫ xe
x2
dx
u = e x ⇒ du = e x ⋅ 2 x dx ⇒ du = 2 xe x dx
2
∫ xe
d)
x2
∫x e
3
x
dx =
2
2
2
1
1
1
1 2
2 xe x dx = ∫ eu du = eu + C = e x + C
∫
2
2
2
2
dx
v = ∫ dv
u = x3
v = ∫ e x dx
du = 3 x 2 dx
v = ex
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∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ x e dx = x e − ∫ e ( 3 x ) dx
∫ x e dx = x e − 3∫ x e dx
3
x
3
x
3
x
3
x
x
2
2
x
∫ x e dx
2
x
v = ∫ dv
u = x2
v = ∫ e x dx
du = 2 x dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ x e dx = x e − ∫ e ( 2x ) dx
∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx
2
x
2
x
2
x
2
x
∫ xe
x
x
x
dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e x dx
du = dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ xe dx = xe − ∫ e dx
∫ xe dx = xe − e
x
x
x
x
x
x
Portanto:
∫x e
∫x e
∫x e
∫x e
∫x e
∫x e
3
x
dx = x 3e x − 3 ∫ x 2e x dx
3
x
dx = x 3e x − 3 x 2e x − 2∫ xe x dx
3
x
dx = x 3e x − 3 x 2e x + 6 ∫ xe x dx
3
x
dx = x 3e x − 3 x 2e x + 6 xe x − e x + C
3
x
dx = x 3e x − 3 x 2e x + 6 xe x − 6e x + C
3
x
dx = e x x 3 − 3 x 2 + 6 x − 6 + C
(
(
(
)
)
)
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e)
∫x
3
ln x dx
v = ∫ dv
u = ln x
v = ∫ x 3dx
1
du = dx
x
v=
1 4
x
4
∫ u dv = uv − ∫ v du
f)
∫x
3
ln x dx =
∫x
3
ln x dx =
∫x
3
ln x dx =
∫x
3
ln x dx =
∫x
3
ln x dx =
1 4
1
1
x ln x − ∫ x 4 ⋅ dx
4
4
x
1 4
1
x ln x − ∫ x 3dx
4
4
1 4
1 x4
x ln x − ⋅
+C
4
4 4
1 4
1 4
x ln x −
x +C
4
16
1 4
1
x  ln x −  + C
4 
4
∫ t ln ( t + 1) dt
v = ∫ dv
u = ln ( t + 1)
v = ∫ t dt
du =
v=
1
dt
t +1
1 2
t
2
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
1
⋅ ln ( t + 1) − ∫ t 2 ⋅
dt
2
t +1
t2
1 t2
t
ln
t
+
1
dt
=
ln
t
+
1
−
dt
( ) ∫
∫ ( )
2
2 t +1
∫ t ln ( t + 1) dt = 2 t
2
t ( t + 1) − t
t2
t
t2
t
dt
=
dt
=
t
dt
−
dt
=
∫ t +1 ∫ t +1
∫
∫ t + 1 2 − ∫ t + 1 dt
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
t
∫ t + 1 dt
u = t + 1 ⇒ du = dt ⇒ t = u − 1
t
∫ t + 1 dt = ∫
u −1
1
dt = ∫ dt − ∫ dt = t − ln u = t − ln ( t + 1)
u
u
Portanto:
t2
1 t2
∫ t ln ( t + 1) dt = 2 ln ( t + 1) − 2 ∫ t + 1dt

t2
1  t2
t
ln
1
ln
1
t
t
+
dt
=
t
+
−
dt 
(
)
(
)
 −∫
∫
2
2 2
t +1 
∫ t ln ( t + 1) dt =
∫ t ln ( t + 1) dt =
∫ t ln ( t + 1) dt =
∫ t ln ( t + 1) dt =
∫ t ln ( t + 1) dt =
g)
∫ x (ln x )
2
t2
t2 1 t
ln ( t + 1) − + ∫
dt
2
4 2 t +1
t2
t2 1
ln ( t + 1) − + t − ln ( t + 1)  + C
2
4 2
2
t
t2 t 1
ln ( t + 1) − + − ln ( t + 1) + C
2
4 2 2
2
t
1
t 2 2t
ln ( t + 1) − ln ( t + 1) − + + C
2
2
4 4
2
t −1
t (t − 2)
ln ( t + 1) −
+C
2
4
(
)
dx
v = ∫ dv
u = ( ln x )
v = ∫ x dx
du = 2ln x ⋅
v=
2
1
dx
x
1 2
x
2
∫ u dv = uv − ∫ v du
x2
1
1
− ∫ x 2 ⋅ 2ln x ⋅ dx
2
2
x
2
2
2 x
∫ x (ln x ) dx = (ln x ) ⋅ 2 − ∫ x ln x dx
∫ x (ln x ) dx = (ln x ) ⋅
2
2
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ x ln x dx
v = ∫ dv
u = ln x
v = ∫ x dx
1
du = dx
x
v=
1 2
x
2
∫ u dv = uv − ∫ v du
x2
2
x2
x
ln
x
dx
=
ln
x
⋅
∫
2
x2
∫ x ln x dx = ln x ⋅ 2
x2
x
ln
x
dx
=
ln
x
⋅
∫
2
∫ x ln x dx = ln x ⋅
−∫
1 2 1
x ⋅ dx
2
x
1
x dx
2∫
1 x2
− ⋅
+C
2 2
x2
−
+C
4
−
Portanto:
x2
∫ x (ln x ) dx = (ln x ) ⋅ 2 − ∫ x ln x dx
2

x2 x2 
2
2 x
x
ln
x
dx
=
ln
x
⋅
−
ln
x
⋅
−  +C
(
)
(
)

∫
2 
2
4 
2
2
2 x
x2 x2
x
ln
x
dx
=
ln
x
⋅
−
ln
x
⋅
+
+C
( )
∫ ( )
2
2
4
2
h)
∫
(ln x )
2
2
dx
x
u = ln x
du =
∫
1
dx
x
(ln x )
x
2
(ln x ) + C
1
2
u3
dx = ∫ ( ln x ) dx = ∫ u 2du =
+C =
x
3
3
3
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i)
∫x
x − 1 dx
u = x − 1 ⇒ du = dx ⇒ x = u + 1
(
∫ x x − 1dx = ∫ (u + 1) u du ⇒ ∫ (u + 1) u 2 du = ∫ u
1
(
=∫ u
=
j)
3
+u
2
2
( x − 1)
5
∫(x
2
5
)
u
du =
5
+
2
( x − 1)
3
1
2
2
5
3
2
u
+
3
2
3
2
2
+C =
2
)
− 1 e x dx
u = x2 − 1
v = ∫ e x dx
du = 2 x dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ ( x − 1) e dx = e ( x
∫ ( x − 1) e dx = e ( x
2
x
x
2
2
x
x
2
∫ xe
x
)
− 1) − 2∫ xe
− 1 − ∫ e x ⋅ 2 x dx
x
dx
dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e x dx
du = dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ xe dx = xe − ∫ e
∫ xe dx = xe − e
x
x
x
x
x
dx
x
Portanto:
∫(x
∫(x
∫(x
2
2
2
)
− 1) e
− 1) e
(
(x
)
− 1) − 2 ( xe
− 1 e x dx = e x x 2 − 1 − 2∫ xe x dx
)
x
dx = e x
x
dx = e x x 2 − e x − 2 xe x + 2e x + C
2
x
2
2 52 2 32
u + u +C =
5
3
+C
v = ∫ dv
3
− ex + C
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+u
1
2
) du =
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫(x
∫(x
∫(x
k)
2
2
2
)
− 1) e
− 1) e
− 1 e x dx = e x x 2 + e x − 2 xe x + C
xe 2 x
∫ ( 2x + 1)
2
(
)
x
dx = e x x 2 − 2 x + 1 + C
x
dx = e x ( x − 1) + C
2
dx
u = e 2 x ⇒ du = 2e 2 x dx
v = ∫ dv
v=∫
x
( 2 x + 1)
2
dx
w = 2x + 1 ⇒ 2x = w − 1 ⇒ x =
dw = 2 dx ⇒ dx =
w −1
2
dw
2
w − 1 1 dw
⋅
⋅
2 w2 2
w −1
=∫
dw
4w 2
1 w −1
= ∫ 2 dw
4 w
1 1
1

=  ∫ dw − ∫ 2 dw 
4 w
w

1 1

=  ∫ dw − ∫ w −2 dw 
4 w

v=∫
v
v
v
v
v=
1
w −1 
 ln w −

4
−1 
1
1
ln w + 

4
w
1
1 
v = ln ( 2 x + 1) +
4
2 x + 1
v=
Portanto:
∫ u dv = uv − ∫ v du
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xe2 x
∫ ( 2x + 1)
2
xe 2 x
∫ ( 2x + 1)
1
1 
1
1 
dx = e2 x ⋅ ln ( 2x + 1) +
− ∫ ln ( 2x + 1) +
⋅ 2e2 xdx


4
2x + 1
4
2x + 1
dx =
2
e2 x
4
1  1 
1  2x

ln ( 2 x + 1) + 2 x + 1 − 2 ∫ ln ( 2 x + 1) + 2 x + 1 e dx




1  2x
e2 x

2x


x
+
+
e
dx
=
e
x
+
dx
+
ln
2
1
ln
2
1
(
)
(
)
∫ 
∫
∫ 2x + 1dx

2 x + 1
∫ e
2x
ln ( 2 x + 1)  dx
v = ∫ dv
u = ln(2 x + 1)
v = ∫ e 2x dx
du =
1
⋅ 2 dx
2x + 1
2
du =
dx
2x + 1
1 2x
e
2
v=
∫ u dv = uv − ∫ v du
1 2x
1
2
e ⋅ ln(2 x + 1) − ∫ e 2 x ⋅
dx
2
2
2x + 1
1 2x
e2 x
2x


e
x
dx
e
x
ln
2
+
1
=
⋅
ln(2
+
1)
−
(
)
∫
∫ 2 x + 1 dx

2
∫ e
2x
ln ( 2 x + 1)  dx =
Portanto:
xe2 x
dx =
2
e2 x
4

1  1
e2 x

2x


ln
2
x
+
1
+
−
e
ln
2
x
+
1
dx
+
dx 
(
)
(
)
∫
∫



2x + 1 2 
2x + 1 

xe2 x
dx =
2
e2 x
4
1  1
1 e2 x

2x


ln
2
x
+
1
+
−
e
ln
2
x
+
1
dx
−
dx
(
)
(
)


2x + 1 2 ∫ 
2 ∫ 2x + 1

∫ ( 2x + 1)
∫ ( 2x + 1)
 1 e2x
e2x 
1  1  1 2x
e2x
∫ ( 2x +1)2 dx = 4 ln( 2x +1) + 2x +1 − 2  2 e ⋅ ln(2x +1) − ∫ 2x +1dx  − 2 ∫ 2x +1dx
xe2x
xe2 x
dx =
2
e2 x
4
xe2 x
dx =
2
e2 x
+C
4 ( 2x + 1)
∫ ( 2x + 1)
∫ ( 2x + 1)
1  1 2x

ln ( 2x + 1) + 2x + 1 − 4 e ⋅ ln(2x + 1) + C


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3) Calcule a integral definida.
1
a)
∫x e
2
x
dx
0
v = ∫ dv
u = x2
v = ∫ e x dx
du = 2 x dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ x e dx = e x − ∫ e ⋅2x dx
∫ x e dx = e x − 2∫ xe dx
2
x
x
2
2
x
x
2
x
x
∫ xe dx
x
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e x dx
du = dx
v = ex
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ xe dx = xe − ∫ e dx
∫ xe dx = xe − e
x
x
x
x
x
x
Portanto:
∫x e
∫x e
∫x e
∫x e
2
x
dx = e x x 2 − 2∫ xe x dx
2
x
dx = e x x 2 − 2 xe x − e x + C
2
x
dx = e x x 2 − 2 xe x + 2e x + C
2
x
dx = e x x 2 − 2 x + 2 + C
1
(
(
)
)
(
)
(
)
1
2 x
x
2
∫ x e dx = e x − 2x + 2  0
0
1
∫x e
2
x
(
)
dx = e1 12 − 2 ⋅ 1 + 2  − e0 02 − 2 ⋅ 0 + 2 
0
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
∫x e
2
x
dx = e − 2
0
e
b)
∫x
5
ln x dx
1
v = ∫ dv
u = ln x
v = ∫ x 5 dx
1
du = dx
x
v=
1 6
x
6
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
x6
ln x − ∫ x 6 ⋅ dx
x
6
6
6
x
1 5
5
∫ x ln x dx = 6 ln x − 6 ∫ x dx
x6
1 x6
5
ln
ln
x
x
dx
=
x
−
⋅
+C
∫
6
6 6
x6 
1
5
∫ x ln x dx = 6  ln x − 6  + C
5
∫ x ln x dx =
e
 x6 
1 
∫1 x ln x dx =  6  ln x − 6  
1
e
6
e 
1   16 
1 
5
x
ln
x
dx
=
ln
e
−
−   ln1 −  
6 


∫1
6   6 
6 
 
e
5
 e6 
1   1  1 
∫1 x ln x dx =  6  1 − 6   −  6  − 6  
e
5
e
5
∫ x ln x dx =
1
e
5
∫ x ln x dx =
1
e
∫x
1
5
ln x dx =
e6 5 1
⋅ +
6 6 36
5e 6
1
+
36 36
(
)
1
5e 6 + 1
36
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
4) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida, utilizando o
método indicado.
a)
∫ 2x
2 x − 3 dx
a.1) Por partes, fazendo dv = 2 x − 3 dx .
v = ∫ dv
u = 2x
v = ∫ 2 x − 3 dx
du = 2dx
w = 2x − 3
dw = 2 dx
1
2 2 x − 3 dx
2∫
1
v = ∫ w dw
2
1
1
v = ∫ w 2 dw
2
v=
1 w
v= ⋅
2 3
3
2
2
1 2 32
v= ⋅ w
2 3
1 3
v= w 2
3
3
1
v = ( 2x − 3 ) 2
3
∫ u dv = uv − ∫ v du
3
3
1
1
( 2x − 3 ) 2 − ∫ ( 2x − 3 ) 2 ⋅ 2 dx
3
3
3
3
2x
2
∫ 2x 2x − 3 dx = 3 ( 2x − 3 ) 2 − 3 ∫ ( 2x − 3 ) 2 dx
∫ 2x
2 x − 3 dx = 2 x ⋅
∫ ( 2x − 3 )
3
2
dx
u = 2x − 3
du = 2 dx
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ ( 2x − 3 )
5
3
2
3
1
1 3
1 u
dx = ∫ 2 ( 2 x − 3 ) 2 dx = ∫ u 2 du = ⋅
2
2
2 5
2
2
=
1 2 52
⋅ u =
2 5
5
1 5
1
= u 2 = ( 2x − 3 ) 2
5
5
Portanto:
3
3
2x
2
( 2x − 3 ) 2 − ∫ ( 2x − 3 ) 2 dx
3
3
3
5 
2x
2 1
∫ 2 x 2x − 3 dx = 3 ( 2 x − 3 ) 2 − 3  5 ( 2 x − 3 ) 2  + C
3
5
2x
2
∫ 2 x 2 x − 3 dx = 3 ( 2 x − 3 ) 2 − 15 ( 2 x − 3 ) 2 + C
∫ 2x
2 x − 3 dx =
a.2) Por substituição, fazendo u = 2 x − 3 .
u = 2x − 3
u = 2x − 3
u 2 = 2x − 3
u = ( 2x − 3 )
2x = u 2 + 3
du =
1
2
1
−1
( 2x − 3 ) 2 ⋅ 2 dx
2
1
du =
dx
1
( 2x − 3 ) 2
1
dx
2x − 3
dx = 2 x − 3 du
dx = u du
du =
∫ 2x
(
)
(
)
2 x − 3 dx = ∫ u 2 + 3 u ⋅ udu = ∫ u 4 + 3u 2 du =
1
1
= u5 + u3 + C =
5
5
(
) (
5
2x − 3 +
)
3
2x − 3 + C =
1 5
1
u + 3 ⋅ u3 + C =
5
3
5
3
1
( 2x − 3 ) 2 + ( 2x − 3 ) 2 + C
5
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que
ambas têm a mesma integral.
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b)
∫
x
dx
4 + 5x
b.1) Por partes, fazendo dv =
v = ∫ dv
v=∫
1
dx .
4 + 5x
u=x
1
dx
4 + 5x
du = dx
w = 4 + 5x
dw = 5 dx
1
dx
4 + 5x
1
5
v= ∫
dx
5
4 + 5x
1 1
v= ∫
dw
5
w
−1
1
v = ∫ w 2 dw
5
v=∫
1
v=
v=
v=
v=
1 w 2
⋅
5 1
2
1
1
⋅ 2 ⋅w 2
5
2 12
w
5
1
2
( 4 + 5x ) 2
5
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫
∫
1
1
x
2
2
dx = ( 4 + 5 x ) 2 ⋅ x − ∫ ( 4 + 5 x ) 2 dx
5
5
4 + 5x
1
1
x
2x
2
dx =
( 4 + 5 x ) 2 − ∫ ( 4 + 5 x ) 2 dx
5
5
4 + 5x
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∫ ( 4 + 5x )
1
2
dx
u = 4 + 5x
u = 5 dx
∫ ( 4 + 5x )
=
2
u
15
3
2
3
1
2
=
1
1
1 1
1 u
dx = ∫ 5 ( 4 + 5 x ) 2 dx = ∫ u 2 du = ⋅
5
5
5 3
2
( 4 + 5x )
15
3
2
Portanto:
∫
∫
∫
1
1
x
2x
2
dx =
( 4 + 5 x ) 2 − ∫ ( 4 + 5 x ) 2 dx
5
5
4 + 5x
1
3
x
2x
2 2
dx =
( 4 + 5 x ) 2 −  ( 4 + 5 x ) 2  + C
5
5  15
4 + 5x

3
1
x
2x
4
dx =
( 4 + 5x ) 2 − ( 4 + 5x ) 2 + C
5
75
4 + 5x
b.2) Por substituição, fazendo u = 4 + 5 x .
u = 4 + 5x
u = 4 + 5x
u 2 = 4 + 5x
u = ( 4 + 5x )
5x = u2 − 4
du =
x=
u2 − 4
5
1
2
1
−1
( 4 + 5 x ) 2 ⋅ 5 dx
2
5
−1
du = ( 4 + 5 x ) 2 dx
2
5
du =
dx
1
2 ( 4 + 5x ) 2
5
dx
2 4 + 5x
5
du =
dx
2u
2
dx = u du
5
du =
Página 16 de 22
2
2
=
1 2 32
⋅ u =
5 3
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x
u2 − 4 1 2
2
2 1 3

2
dx
=
∫ 4 + 5x
∫ 5 ⋅ u ⋅ 5 u du = 25 ∫ u − 4 du = 25  3 u − 4u  + C =
3
2 3 8
2
8
=
u −
u +C =
4 + 5x −
4 + 5x + C =
75
25
75
25
3
1
2 3 8
2
8
=
u −
u +C =
( 4 + 5x ) 2 − ( 4 + 5x ) 2 + C
75
25
75
25
(
(
)
(
)
)
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que
ambas têm a mesma integral.
5) Utilize a integração por partes para verificar as fórmulas abaixo:
n
∫ x ln x dx =
x n +1
( n + 1)
2
 −1 + ( n + 1) ln x  + C
v = ∫ dv
u = ln x
v = ∫ x n dx
du =
v=
1
dx
x
x n +1
n +1
∫ u dv = uv − ∫ v du
x n +1
x n +1 1
−∫
⋅ dx
n +1
n +1 x
x n +1
1
= ln x ⋅
−
x ndx
∫
n +1 n +1
x n +1
1
x n +1
= ln x ⋅
−
⋅
n +1 n +1 n +1
n +1
x 
1 
=
ln x −

n + 1
n + 1 
x n +1  ( n + 1) ln x − 1
=


n +1
n +1

n +1
x
 −1 + ( n + 1) ln x 
=
2
( n + 1) 
n
∫ x ln x dx = ln x ⋅
∫x
n
ln x dx
∫x
n
ln x dx
∫x
n
ln x dx
∫x
n
ln x dx
∫x
n
ln x dx
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n ≠ −1
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n ax
∫ x e dx =
x neax n n −1 ax
− ∫ x e dx
a
a
v = ∫ dv
u = xn
v = ∫ eax dx
du = nx n −1 dx
v=
1 ax
e
a
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
dx = x n ⋅ e ax − ∫ eax ⋅ nx n −1 dx
a
a
n ax
x e
n n −1 ax
n ax
∫ x e dx = a − a ∫ x e dx
∫x e
n
ax
6) Nos exercícios a seguir, calcule a integral indefinida com auxílio
das fórmulas acima.
a)
∫x e
2 5x
dx
x neax n n −1 ax
− ∫ x e dx
a
a
1
2
2 5x
2 5x
5x
∫ x e dx = 5 x e − 5 ∫ xe dx
n ax
∫ x e dx =
∫ xe
5x
dx
v = ∫ dv
u=x
v = ∫ e 5 x dx
du = dx
v=
1 5x
e
5
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
1
dx = x ⋅ e5 x − ∫ e5 x dx
5
5
x 5x 1 5x
5x
∫ xe dx = 5 e − 5 ∫ e dx
x 5x 1 1 5x
5x
∫ xe dx = 5 e − 5 ⋅ 5 e
∫ xe
5x
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n=2 e a=5
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∫ xe
5x
dx =
x 5x 1 5x
e −
e
5
25
Portanto:
1 2 5x 2
x e − ∫ xe5 x dx
5
5
1 2 5x 2  x 5x 1 5x 
2 5x
∫ x e dx = 5 x e − 5  5 e − 25 e  + C
1 2 5x 2
2 5x
2 5x
5x
∫ x e dx = 5 x e − 25 xe + 125 e + C
e5 x
2 5x
x
e
dx
=
25 x 2 − 10 x + 2 + C
∫
125
∫x e
2
5x
dx =
(
b)
∫x
−2
)
ln x dx
x n +1
n
∫ x ln x dx =
( n + 1)
2
 −1 + ( n + 1) ln x 
n = −2
x −2+1
 −1 + ( −2 + 1) ln x  + C
2
( −2 + 1) 
−2
−1
∫ x ln x dx = x ( −1 − ln x ) + C
−2
∫ x ln x dx =
∫x
−2
ln x dx = −
1
( ln x + 1) + C
x
7) Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações
dadas.
y = xe − x , y = 0, x = 4
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
1,00
2,00
3,00
Página 19 de 22
4,00
5,00
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4
A = ∫ xe − x dx
0
n ax
∫ x e dx =
x neax n n −1 ax
− ∫ x e dx
a
a
n = 1 e a = −1
x 1e −1x 1
− ∫ x 1−1e −1x dx
−1
−1
x
= − x + ∫ e − x dx
e
x
= − x − e− x
e
x
1
=− x − x
e
e
1
= − x ( x + 1)
e
−x
∫ xe dx =
∫ xe
−x
∫ xe
−x
∫ xe
−x
∫ xe
−x
4
dx
dx
dx
dx
4
 1

A = ∫ xe dx =  − x ( x + 1) 
 e
0
0
−x
4
 1
  1

A = ∫ xe − x dx =  − 4 ( 4 + 1)  −  − 0 ( 0 + 1) 
 e
  e

0
4
A = ∫ xe − x dx = −
0
5
+1
e4
4
A = ∫ xe − x dx = 1 − 5e −4
0
8) Dada a região delimitada pelos gráficos de y = 2ln x , y = 0 e x = e ,
determine:
a) A área da região.
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
Página 20 de 22
2,00
2,50
3,00
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y = 0 ⇒ 2ln x = 0 ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1
e
e
1
1
A = ∫ 2ln x dx = 2∫ ln x dx
∫ ln x dx
v = ∫ dv
u = ln x
v = ∫ dx
du =
v=x
1
dx
x
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅ x dx
∫ ln x dx = x ln x − ∫ dx
∫ ln x dx = x ln x − x
∫ ln x dx = x (ln x − 1)
e
{
}
A = 2∫ ln x dx = 2  x ( ln x − 1) 1 = 2 e ( ln e − 1)  − 1( ln1 − 1) 
e
1
e
{
}
A = 2∫ ln x dx = 2 e (1 − 1)  − 1( 0 − 1)  = 2
1
b) O volume do sólido gerado pela revolução da região em torno
do eixo x .
e
e
V = ∫ π ( 2ln x ) dx = 4π ∫ ( ln x ) dx
2
1
∫ (ln x )
2
1
2
dx
v = ∫ dv
u = ( ln x )
v = ∫ dx
du = 2ln x
v=x
2
1
dx
x
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∫ u dv = uv − ∫ v du
1
dx
x
∫ (ln x )
2
dx = x ( ln x ) − ∫ x ⋅2ln x
∫ (ln x )
∫ (ln x )
∫ (ln x )
2
dx = x ( ln x ) − 2∫ ln x dx
2
dx = x ( ln x ) − 2 ( x ln x − x )
2
dx = x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x
2
2
2
e
2
e
V = 4π ∫ ( ln x ) dx = 4π  x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x 

1
2
2
1
{
}
2
2
V = 4π e ( ln e ) − 2e ln e + 2e  − 1( ln1) − 2 ⋅ 1⋅ ln1 + 2 ⋅ 1

 

V = 4π ( e − 2e + 2e ) − 2
V = 4π ( e − 2 )
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