Intermitência Heteroclínica do Campo Magnético da Terra

As mudanças da intensida
dade
da
de d
do
o campo magnético da
Terr
rra (excursões geoma
rr
magnéticas
as) ge
geram freque
uentemente
te
auroras po
pola
lare
res. Trata-see de um fenómeno
no ópt
ptico,
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o,
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mp
acto
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rr
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Normal
No
alme
ment
nte, são vvis
isív
ívei
eiss em aalt
ltas
as latitud
udes.
Intermitência Heteroclínica
do Campo Magnético da Terra
ALEXANDRE RODRIGUES
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
[email protected]
12
GAZETA DE MATEMÁTICA r166
Existem evidências geológicas de
que o pólo magnético da Terra muda
de orientação de tempos a tempos,
assumindo um comportamento
aparentemente caótico. Modelar a
variação do campo geomagnético está
longe de ser um assunto completamente
compreendido. Alguns físicos acreditam
que redes heteroclínicas estruturalmente
estáveis são o conceito matemático
responsável pela dinâmica do campo
magnético da Terra. Este artigo aborda,
de uma forma acessível, um modelo
matemático que explica as mudanças
de polaridade do campo geomagnético
e é destinado a qualquer leitor curioso,
que não possua, necessariamente
conhecimentos muito especializados
de matemática. A exposição dá a
conhecer um dos assuntos que mais
tem despertado a atenção no âmbito
-.$=%.&!=/%+,#&.$%>$/.$C/!0>$5$
complementada com simulações
numéricas.
1. INTRODUÇÃO
A Terra comporta-se como um íman de proporções gigantescas, em redor da qual existem curvas de força fechadas com
a mesma intensidade do campo magnético. A magnitude do
campo geomagnético foi medida pela primeira vez por K. F.
!"##$%&$'()*$%$+%&$#,-.$!/!0,#!-!$1%2%+,-!&%/+%$-%#-%$%/tão, observando-se um decaimento linear dessa intensidade a
"&!$+!3!$-%$*4$2.1$#56"0.$7'89:$;%$"&!$<.1&!$=%1!0>$!$?,#+@ria do campo magnético da Terra pode ser descrita grosseiramente como um dipolo axial>$./-%$.$2@0.$A.1+%$=%.=1BC6.$#%$
localiza bastante próximo do pólo Norte magnético como esD"%&!+,E!-.$/!$C="1!$'$F!G$H$5$%#+!$21.3,&,-!-%$D"%$21.&.ve o bom funcionamento da bússola: o magneto setentrional
da agulha magnética da bússola determina o norte da Terra
por ser atraído pelo pólo sul magnético do planeta.
Em cada ponto da superfície do planeta Terra, a amplitude
do ângulo entre o vector que aponta para o norte magnético
(determinado pela bússola) e o vector que aponta para o norte
=%.=1BC6.$5$?!I,+"!0&%/+%$-%#,=/!-!$2.1 declinação magnética. Esta amplitude depende da região da superfície da Terra;
por exemplo, em Portugal, a declinação magnética é de cerca
-%$J$=1!"#>$/.$K!/!-B$5$-%$6%16!$-%$LM$=1!"#$%$/!$N,/0O/-,!$
a declinação magnética é praticamente nula. Esta declinação
magnética vai variando ao longo do tempo. Na navegação, é
usual construir-se cartas com as linhas isogónicas (ou isopóricas) contendo curvas de nível com a mesma declinação magnética e que são actualizadas periodicamente1$H$C="1!$'$F6G:
1
Para o leitor mais curioso, sugere-se a consulta do site http://geomag.usgs.
gov/movies/movies/index.php onde se pode ver a evolução da declinação
magnética na superfície da Terra nos últimos 400 anos.
Figura 1: (a) Esquema do campo magnético da Terra aproximado a um modo axial dipolar; NG – Norte Geográfico; NM – Norte Magnético. O eixo de rotação da
Terra passa pelo Pólo Norte Geográfico. (b) Esquema de uma rocha de origem vulcânica com várias camadas de lava que, após o arrefecimento, gravou a polaridade
do campo magnético da Terra ao longo dos tempos. Alguns autores apelidam estas rochas de fósseis magnéticos. (c) Carta isogónica da Terra (2000): as linhas da
carta representam curvas com a mesma declinação magnética. As cores mais densas representam declinações magnéticas mais acentuadas.
INTERMITÊNCIA HETEROCLÍNICA DO CAMPO MAGNÉTICO DA TERRArAlexandre Rodrigues
13
O porquê destas variações da intensidade do campo mag-
Neste modelo, explica-se como é que a Terra gera e mantém
nético da Terra é um problema que ainda não está comple-
o campo magnético sob a acção de um campo de velocida-
tamente resolvido, mas pensa-se que a razão se prende com
des (gerado pelo movimento dos líquidos férricos no interior
!$%3,#+P/6,!$-%$&.Q,&%/+.#$6R60,6.#$-.#$S",-.#$6.&$6.&2.-
do planeta). Encontrar explicitamente as soluções gerais para
nentes magnéticas no interior da Terra.
este modelo é um problema em aberto.
;!$!/B0,#%$-%$!0="&!#$1.6?!#$I!#B0+,6!#$H$Q%1$C="1!$'$FIG>$
V:$W1"2!$7'M9>$%&$'XXY>$21.2Z#$"&$&.-%0.$/.$D"!0$!#$1%-
há várias evidências que apontam ter havido mudanças na
versões do campo magnético da Terra são explicadas recor-
polaridade do campo magnético da Terra ao longo dos tem-
rendo aos conceitos de ciclos e redes heteroclínicos associados a
pos, sugerindo mesmo que o pólo norte geomagnético tem
modos de simetria dipolares e quadripolares.
mudado de orientação de tempos a tempos, de uma forma
Com base nesta ideia e em anteriores trabalhos de Proc-
bastante irregular, com intervalos médios de permanência
+.1$7''9>$V%0I."1/%>$[1.6+.1$%$\"6]0,-=%$7'89$21.2"#%1!&>$%&$
/"&!$-!-!$2.0!1,-!-%$-%$8*M:MMM$!/.#2. Designaremos estas
8MM'>$"&$&.-%0.$/.$D"!0$!6.20!&$-,/!&,6!&%/+%$-,<%1%/+%#$
mudanças de polaridade do campo magnético por reversões
modos de simetria. Entenda-se por modo de simetria um campo
, a qual
do campo geomagnético, cujos efeitos na vida no planeta ain-
de vectores tangente à esfera bidimensional
da não foram devidamente estudados.
21%+%/-%$1%21%#%/+!1$!$%#<%1!$+%11%#+1%>$%$D"%$5$#,&5+1,6.^!/-
Para o decorrer da exposição convém relembrar, de um
ti-simétrico relativamente ao eixo polar e ao plano equatorial.
modo breve, as noções de grupo de Lie e de Equivariância,
A!$+%1&,/.0.=,!$-%$_.0&%$7X9>$.#$&.-.#$-%$#,&%+1,!$#`.$
os quais constituem um pre-requisito essencial para a com-
60!##,C6!-.#$%&$D"!+1.$=1"2.#a
preensão dos capítulos que se seguem. Uma boa abordagem
b$!3,!,#$-,2.0!1%#$H$
#.I1%$%#+%#$6./6%,+.#$2.-%$#%1$%/6./+1!-!$/.$0,Q1.$7*9:
cas relativamente ao plano equatorial e equivariantes por
rotações de
Grupos de Lie e Equivariância. Um grupo de Lie é um subgrupo fechado de
$.$6./T"/+.$-.#$%/-.&.1C#&.#$,/-
Se
é um grupo de Lie, um campo de vecto-
res >$-%C/,-.$%&$
, diz-se equivariante ou simétrico$2.1$U$#%
vertíveis de
onde as soluções são anti-simétri-
em torno do eixo polar;
b$!3,!,#$D"!-1,2.0!1%#$H$
, onde as soluções são simétri-
cas relativamente ao plano equatorial e equivariantes por
rotações de
em torno do eixo polar;
b$%D"!+.1,!,#$-,2.0!1%#$H$
c>$./-%$!#$#.0"de%#$#`.$#,&5+1,-
cas relativamente ao plano equatorial e anti-simétricas por
Em geral, vai denominar-se o grupo de Lie pelo nome do
grupo abstracto, ao qual é isomorfo. Teoricamente, poderá causar alguma confusão mas, na prática, é bastante útil
e intuitivo. Por exemplo, o conjunto
munido da
multiplicação usual de matrizes, é um subgrupo fechado de
Logo,
mente chamado de
é um grupo de Lie e será frequenteuma vez que são isomorfos,
como grupos abstractos. Um outro exemplo é o grupo das
rotações de
em torno do eixo polar;
b$ %D"!+.1,!,#$ D"!-1,2.0!1%#$ H$
, onde as soluções são
anti-simétricas relativamente ao plano equatorial e anti-simétricas por rotações de
em torno do eixo polar – este
modo de simetria nunca foi encontrado nos campos mag/5+,6.#$-%$/%/?"&$20!/%+!$F "II,/#$7Y9G:
N"/-!&%/+!0&%/+%>$.$&.-%0.$-%#61,+.$%&$7'89$!##%/+!$/.$
rotações do plano e que será denotado por
facto de o campo magnético da Terra, denotado por
2. MODELO MATEMÁTICO PARA AS REVERSÕES
der ser escrito da forma:
por depender da posição espacial
e temporal
, po-
O mecanismo responsável pelas reversões do campo magnético da Terra ainda não é bem compreendido, sendo um dos
(1)
assuntos mais estudados neste momento por várias equipas
de investigação espalhadas pelo mundo3.
Vários modelos matemáticos tentam descrever o fenóme-
onde
e
. Os modos
,
são modos de simetria: modo equatorial dipolar, axial
no, sendo o mais plausível o modelo do geodínamo, constru-
D"!-1,2.0!1$ %$ !3,!0$ -,2.0!1>$ 1%#2%6+,Q!&%/+%$ FQ%1$ C="1!$ 8G:$
ído no contexto das equações da magnetohidrodinâmica.
f!#,6!&%/+%>$!$%D"!d`.$F'G$-,E$D"%$.$6!&2.$&!=/5+,6.$2.-%$
14
GAZETA DE MATEMÁTICA r166
ser escrito como combinação independente dos diferentes
&.-.#$-%$#,&%+1,!>$<!6+.$-%&./#+1!-.$2.1$ "II,/#$7Y9:
g#$!"+.1%#$-%$7'89$6./6%/+1!1!&$!$#"!$!/B0,#%$/!$-,/O&,6!$
, vulgarmente designa-
das funções
das por funções de amplitude, as quais só dependem da variável tempo.
Com base em evidências experimentais observáveis, os
!"+.1%#$-%$7'89$!##"&,1!&$D"%$.$6!&2.$-%$Q%6+.1%#$F%&$
),
-%C/,-.$2%0!#$<"/de%#$-%$!&20,+"-%>$5$%D",Q!1,!/+%$2%0!$!6ção dos elementos do grupo de Lie
nas duas primei-
Assuma-se a representação usual de
ras coordenadas de
e a de
gerada pelas aplicações
lineares:
e
Na teoria de campos de vectores simétricos, mostra-se que
"&$6!&2.$-%$Q%6+.1%#$D"%$+%/?!$=1"2.$-%$#,&%+1,!#$U$%$D"%$
#%T!$"&$2.0,/@&,.$-%$=1!"$)$+%&$!$<.1&!a
F8G
onde
$c%$ são constantes reais. Para um campo que não
seja polinomial há termos de grau mais alto que não irão ser
relevantes para a dinâmica. A admissão do grupo de sime+1,!#$ /!$ %D"!d`.$ F8G$ <!Q.1%6%$ !$ .6.11P/6,!$ -%$ 6,60.#$ %$ 1%-%#$
?%+%1.60R/,6.#$/.$S"3.$!##.6,!-.$FN,%0-$7L9G$:
3. CICLOS E REDES HETEROCLÍNICOS
[!1!$ D"%$ !$ %32.#,d`.$ CD"%$ 6.&20%+!>$ %320,6,+!h#%$ /%#+!$ #%6ção o conceito de rede heteroclínica em
Uma descrição
primorosa sobre redes heteroclínicas pode ser encontrada em
N,%0-$7L9:
Admita-se que $5$"&$6./T"/+.$,/Q!1,!/+%$2%0.$S"3.$
da equação diferencial
. Associado ao con-
2
Várias evidências sugerem que a última reversão ocorreu há mais de
700.000 anos.
Figura 2: (a) Modo axial dipolar Da; (b) Modo axial quadripolar Qa; (c) Modo
equatorial dipolar De.
3
Diversas correntes de opinião defenderam a queda de um meteorito
como o responsável pelas reversões do campo magnético da Terra.
"63&-*"/0.*3"'&3/"/%&4r-5SBCVDIPEF$BNQPT
15
INTERMITÊNCIA HETEROCLÍNICA DO CAMPO MAGNÉTICO
DA TERRArAlexandre Rodrigues
junto >$ -%C/%h#%$ .$ 6./T"/+.$
como sendo o conjunto
onde começam as soluções cujas trajectórias
dos pontos de
se aproximam de quando
o qual possui a estrutura
de variedade e será designado por variedade estável associada
a :$i/!0.=!&%/+%$#%$-%C/%$!$variedade instável de , denota, como sendo o conjunto dos pontos de
da por
onde
começam as soluções cujas trajectórias se aproximam de
e de
para
$7Q%1$%3%&20.$/!$C-
heteroclínicos tal que, para qualquer par de selas na rede,
existe uma sequência de soluções da equação a uni-las.
A"&!$%#<%1!$-%$-,&%/#`.$)>$"&$2./+.$-%$%D",0RI1,.$
(do
tenha valores próprios comple-
tipo sela) para o qual
xos não reais diz-se uma sela-foco$H$C="1!$)F-G:$k&$D"!0D"%1$
.
quando
para todo
="1!$)F6G9:$j&!$rede heteroclínica é uma união conexa de ciclos
vizinhança de uma sela-foco ou de uma solução periódica
Mais formalmente, denotando por d a métrica euclidiana
não trivial, soluções próximas tendem a espiralar em torno
, as variedades estável e instável associadas a são de-
dela, razão pela qual estas selas vão ser designadas, daqui
em
por diante, por selas de rotação – mais detalhes poderão ser
C/,-!#$2.1a
%/6./+1!-.#$%&$789$%$%&$7'Y9:
e
4. QUEBRA DE SIMETRIA
g$S"3.$!##.6,!-.$l$%D"!d`.$F8G$2.##",$"&!$%#<%1!$+1,-,&%/sional de raio positivo R, denotada por
Os casos mais interessantes dizem respeito a conjuntos
tais que
invariantes
e
, os quais
irão ser designados por selas invariantes. O caso mais simples
>$%$D"%$Q%1,C6!$!#$
seguintes condições:
b$5$,/Q!1,!/+%$2%0.$S"3.$F+1!T%6+@1,!#$D"%$6.&%6%&$%&$
permanecem em
);
de sela invariante é o de um ponto de equilíbrio como ilus-
b$!+1!,$+.-!#$!#$+1!T%6+@1,!#$/`.$%#+!6,./B1,!#:
+1!-.$/!$C="1!$)F!G:
Para um conjunto grande4 de valores das constantes da
Dadas
duas
selas
e
invariantes
,
se
, dizemos que existe uma ligação
heteroclínica
para
de
,
-,&c
essa
.
No
ligação
caso
de
heteroclínica
corresponde a uma união de curvas solução do sistema
inicial que se aproximam de
no passado e de
no futu-
%D"!d`.$ F8G$ %3,#+%>$ -%/+1.$ -%$
, uma rede heteroclínica as-
simptoticamente estável associada a quatro selas-foco da
5
forma
e uma solução periódica. As ligações he-
teroclínicas que envolvem a solução periódica têm dimensão
8$%$!#$."+1!#$+P&$-,&%/#`.$':
As ligações heteroclínicas que envolvem a solução periem quatro ciclos heteroclínicos distintos,
1.:$A!$C="1!$)FIG$5$-!-.$"&$%3%&20.$-%$"&!$0,=!d`.$?%+%h
ódica separam
roclínica bidimensional.
constituindo barreiras impenetráveis à passagem de trajec-
Um ciclo heteroclínico é dado pela união de um conjunto
tórias, razão pela qual cada solução apenas se aproxima de
C/,+.$ .1-%/!-.$ -%$ #%0!#$ ,/Q!1,!/+%#$
um e um só ciclo. Como se poderá ver mais adiante, com
para o qual existe um ciclo de ligações heteroclínicas entre
este modelo não se consegue explicar as reversões do campo
elas, isto é, existe uma ligação heteroclínica de
para
,
magnético. Na verdade, admitir
como o
Figura 3: (a) Ponto de equilíbrio tipo sela; (b) Ligação heteroclínica do ponto de equilíbrio P para a solução periódica c; (c) Ciclo heteroclínico associado a três
pontos de equilíbrio (as selas estão ligadas de forma cíclica); (d) Sela-foco como uma sela de rotação.
16
GAZETA DE MATEMÁTICA r166
grupo de simetrias do modelo é uma abordagem irrealista
-%$D"!0D"%1$#%D"P/6,!$-%$0,=!de%#$?%+%1.60R/,6!#:$A!$C="1!$L>$
do problema, porém absolutamente necessária para a análi-
está representada a evolução das componentes
#%$-!$=%.&%+1,!$-.$S"3.$-!$%D"!d`.$-,<%1%/6,!0:
de uma trajectória com condição inicial perto da rede. Como
i$#.0"d`.$%/6./+1!-!$%&$7'89$<.,$!$-%$D"%I1!1$todas as si-
se pode observar, a componente
de qualquer solução pode-
&%+1,!#$ -!$ %D"!d`.$ -,<%1%/6,!0$ F8G>$ !-,6,./!/-.h0?%$ +%1&.#$
1B$ &"-!1$ .$ #,/!0$ QB1,!#$ Q%E%#$ F2.-%/-.$ #%1$ "&!$ ,/C/,-!-%$
extra (com norma arbitrariamente pequena), os quais podem
/"&$ +%&2.$ ,/C/,+.G:$ m%/-.$ %&$ 6./+!$ D"%$ $ 5$ .$ 6.%C6,%/+%$
ser explicados por heterogeneidades da convecção dos movi-
do modo axial dipolar na equação (1), conclui-se daqui a exis-
mentos no interior da Terra .
tência de soluções do modelo que conduzem a mudanças da
6
[!1!$ .$ S"3.$ !##,&5+1,6.>$ =!1!/+%h#%$ !$ 2%1&!/P/6,!$ -%$
polaridade do campo magnético.
, na qual existe uma rede hete-
K.&$ .#$ 2!1O&%+1.#$ D"%$ .#$ !"+.1%#$ -%$ 7')9$ %$ 7'L9$ 6./#,-%-
roclínica associada às mesmas selas do sistema não pertur-
1!1!&>$-!$!/B0,#%$-!#$#51,%#$+%&2.1!,#$-!$C="1!$L$%320,6!h#%$
I!-.:$m.-!#$!#$0,=!de%#$?%+%1.60R/,6!#$-%$F8G$6.&$-,&%/#`.$'$
geometricamente o porquê de o campo geomagnético ser es-
&!/+P&h#%$&!#$!#$D"%$/.$S"3.$.1,=,/!0$+,/?!&$-,&%/#`.$8>$
sencialmente axial dipolar; note-se que para quase todas as
genericamente passam a ser transversais. A transversalidade,
trajectórias, o tempo que estas passam perto do equilíbrio
conjugada com o facto das selas da rede serem de rotação,
$ 5$ #,=/,C6!+,Q!&%/+%$ &%/.1$ -.$ D"%$ .$ D"%$ 2!##!$
uma cópia deformada de
. Observando a equação (1), isto implica
garante a existência de comutação heteroclínica perto da rede.
perto de
Este fenómeno, estudado por Aguiar et al 789>$5$6!1!6+%1,E!-.$
que genericamente o campo B é dominado pela parcela cor-
pela existência de trajectórias que visitam as vizinhanças das
respondente ao modo axial dipolar.
#%0!#>$#%=",/-.$-%$2%1+.$D"!0D"%1$#%D"P/6,!$,/C/,+!$-%$0,=!-
A duração das reversões é, em geral, bastante curta compa-
ções heteroclínicas da rede por qualquer ordem pré-deter-
rada com o tempo durante o qual o campo magnético mantém
&,/!-!$H$!$21.Q!$2.-%$#%1$6./#"0+!-!$%&$\.-1,="%#$7')>$'L9:
4
Em termos de medida.
5. EXPLICAÇÃO ANALÍTICA DAS REVERSÕES
5
A existência de comutação heteroclínica perto da rede implica
Soluções próximas da rede são atraídas para ela.
6
!$%3,#+P/6,!$-%$"&!$,/C/,-!-%$-%$#.0"de%#$-!$%D"!d`.$2%1+.$
O termo adicionado quebra todas as simetrias, mas mantém invariante o
plano onde se encontram as ligações unidimensionais.
Figura 4: (A) séries temporais da solução
do sistema perturbado com condição inicial
(−0.5000, 0.0116,−0.1623,−0.2781) onde
µ1 = 0.3, µ2 = 0.2, µ3 = 0.3, A12 = A21 =
−0.33333, A13 = A31 = −0.5, A23 = A32 =
−0.16667, = 1, !1 = 0.12, !2 = 0.1 e !3
= 0.001; (B) projecção no plano (x2, x3)
da trajectória cujas séries temporiais foram
estudadas em (A);
Legenda: (a) Reversão; (b) Excursão; (c)
Modo Axial dipolar; (d) Pontos de equilíbrio; (e) Ligação heteroclínica de dimensão
1 entre os equilíbrios.
INTERMITÊNCIA HETEROCLÍNICA DO CAMPO MAGNÉTICO DA TERRArAlexandre Rodrigues
17
uma dada polaridade. Interessante de realçar é ainda o modo
como este modelo sugere a mudança da geometria do campo
geomagnético durante a reversão. Entre duas reversões, este
modelo sugere que o campo magnético passa, de forma rápida, por uma simetria equatorial dipolar e, posteriormente,
por uma axial quadripolar. Apesar de não estar bem compreendido e de ainda gerar muita controvérsia, é possível
!C1&!1$D"%$%#+%$&.-%0.$5$6./#,#+%/+%$6.&$.$6.&2.1+!&%/+.$
observável do campo geomagnético.
Da análise de redes heteroclínicas que envolvem selas de
rotação e transversalidade de variedades invariantes levada
!$6!I.$%&$7'9$%$789>$-%6.11%$!,/-!$!$%3,#+P/6,!$-%$"&!$ferradura
suspensa perto da rede e, consequentemente, de comportamento caótico. É este dado que impossibilita qualquer tipo
de previsões sobre a próxima reversão do campo magnético7.
Figura 5: Construção da Ferradura de Smale.
Na secção que se segue explicita-se, de um modo sucinto e
sumário, o conceito de ferradura suspensa.
Uma descrição elementar da transformação ferradura
2.-%$#%1$%/6./+1!-!$%&$;%Q!/%p$7)9$F#%6d`.$8:)G:
6. FERRADURA SUSPENSA
Uma Ferradura Suspensa é o esparguete enovelado obtido li-
A.#$,/R6,.#$-.$#56"0.$nn>$_:$[.,/6!15$<.,$.$21%6"1#.1$-!$m%-
gando cada ponto à sua imagem por uma curva no espaço, a
oria Qualitativa das Equações Diferenciais, dando origem a
D"!0$6./+,/"!$!$+%1$!#$21.21,%-!-%#$F'GHF)G$!6,&!:$i$%3,#+P/6,!$
um novo campo de investigação na Matemática, o dos Siste-
de uma Ferradura Suspensa implica que cada secção que lhe
mas Dinâmicos. Meio século mais tarde, S. Smale, interessan-
seja normal contém um conjunto compacto e invariante pelo
do-se em estudar a Teoria de Poincaré, formaliza o primeiro
S"3.>$.$D"!0$5$6!1!6+%1,E!-.$2.1$#%1$+.+!0&%/+%$-%#6./%3.$F!#$
sistema dinâmico com uma lei de evolução determinista mas
componentes conexas reduzem-se a pontos) e por ser perfeito
que é caótico, isto é:
(todos os pontos são de acumulação).
(1) tem sensibilidade relativamente às condições iniciais
(condições iniciais vizinhas têm futuros distintos);
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
F8G$.#$2./+.#$2%1,@-,6.#$#`.$-%/#.#$-.$-.&R/,.$-!$<"/d`.o
As reversões do campo geomagnético constituem um dos
F)G$%3,#+%$"&!$+1!T%6+@1,!$D"%$5$-%/#!$/.$-.&R/,.$-!$<"/d`.:
2./+.#$ &!,#$ -%#!C!/+%#$ -.$ =%.&!=/%+,#&.$ %$ -!$ =%.<R#,6!:$
Apesar de o fenómeno das reversões estar pouco entendido,
Construção.$;!-.$"&$D"!-1!-.$6.&.$.$-!$C="1!$*>$%#+,D"%-
a sua ocorrência está bem evidenciada por rochas basálticas.
h#%$!+5$C6!1$"&$0./=.$1%6+O/="0.$C/.>$-.I1%h#%$%&$<%11!-"1!$
Neste artigo, apresentou-se um modelo que é relevante para
e coloque-se sobre o quadrado original. Itere-se este processo.
o estudo das reversões e cuja prova analítica foi efectuada
No segundo passo, obtém-se uma espécie de ferradura den-
%&$\.-1,="%#$7')>$'L9:$A%#+%$&.-%0.>$!#$-"1!de%#$-.#$,/+%1Q!-
tro da ferradura, com quatro dobras. Cada iteração duplica as
los de tempo de polaridade constante e a curta duração das
dobras existentes. No limite, obtém-se um tipo de curva in-
reversões são consistentes com as da Terra. O modelo con-
C/,+!&%/+%$6./+.16,-!:$k#6.0?%/-.$-.,#$2./+.#$21@3,&.#$/.$
segue ainda explicar o porquê do campo geomagnético ser
D"!-1!-.$.1,=,/!0>$/`.$#%$2.-%1B$!C1&!1$1!2,-!&%/+%$./-%$
predominantemente axial dipolar. É interessante salientar
%0%#$%#+!1`.$/.$C/!0$-.$21.6%##.a$%#+%#$C6!1`.$!<!#+!-.#$"&$
que a existência do grupo de simetrias no campo de vectores
do outro devido à dobra e ao esticamento a que foram sujei-
-%C/,-.$%&$F8G$5$"&!$?,2@+%#%$&",+.$<.1+%$%$,11%!0,#+!:$A.$%/-
tos. Chama-se Ferradura de Smale a esta transformação topo-
tanto, uma vez que o estudo directo do sistema perturbado é
0@=,6!$F-,<%.&.1C#&.G>$!$D"!0$<.1/%6%$"&!$I!#%$2!1!$!$6.&-
intratável, a existência da simetria do campo não perturbado
preensão das propriedades caóticas dos sistemas dinâmicos.
foi essencial para o tratamento analítico do problema. Estu-
18
GAZETA DE MATEMÁTICA r166
dar os efeitos da quebra de simetria
é, actualmente,
uma linha
.(/! ;$! \#EN: ! >[C6::W<4N:D=4#D5E! F4D:N5A4B! <LD5N#=! @4AC!
CHAMADA
DE CONTRIBUIÇÕES
O PROJETO
de investigação importante no ramo PARA
dos sistemas
dinâmicos.KLEIN
:]35A#645E! =LNN:A6LZ! 5SSE4B5A4#D! A#! AC:! N52D:A4B! ^:E<=! #G!
Este artigo é uma apresentação acessível dos trabalhos
_65D3=! 5D<! ":SA3D:> ! Phys. Earth Planet. Interiors ! "#$! %,+ !
A Comissão Coordenadora do Projeto Klein em Língua Portuguesa
D"%$\.-1,="%#$7')>$'L9$-%#%/Q.0Q%"$/.$#%"$21.T%6+.$-%$-."%+ !%,-W%++
!%((Ina
convida pesquisadores e professores a submeterem
contribuições
forma de
artigos Klein”,
como descrito abaixo. As propostoramento sob a orientação
de“pequenos
Isabel Labouriau
e Manuela
tas devem ser enviadas em formato pdf para os coordenadores do
Aguiar, na Faculdade de Ciências da Universidade do Por.%,/! 0$! V63S5 ! >;#93=A! C:A:6#BE4D4B! BLBE:=> ! J. Nonlin. Sci$! I !
projecto Klein:
to.As simulações numéricas
(séries temporais e projecções)
%+()%IP !%((P
YURIKO YAMAMOTO BALDIN ([email protected])
<.1!&$.I+,-!#$"#!/-.$.$21.=1!&!$;smggu$7J9:$i$,/Q%#+,=!MÁRIO JORGE DIAS CARNEIRO ([email protected])
ção levada a cabo peloaté
autor,
do2011.
Centro de Matemá31 demembro
Janeiro de
.%%/!0$!Y6#BA#6 !>[C:!6#E:!#G!N:5D!B46B3E5A4#D!4D!S564AL!=:E:B-
+,6!$-!$j/,Q%1#,-!-%$-.$[.1+.$FKVj[G>$+%Q%$!2.,.$C/!/6%,1.$
A4#D! 9L! SE5D:A56L! N52D:A4B! ^:E<=> ! Geophys. Astrophys. Fluid
Os artigos
ser indicados ao
“Klein Project
for !%(II
da Fundação para a Ciência
e aselecionados
Tecnologia poderão
(FCT), Portugal,
Dynamics
!& !'%%)'+*
8'#+$6%/+"1pq$-!$rKVrrVj$Fr/+%1/!+,./!0$K.&&,##,./$./$V!+?%&!-
através dos programastics
POCTI
e POSI,
com fundos
nacionais Union), e também podeInstruction
– International
Mathematics
servir
de ponto defoi
partida
para directatrabalhos mais.%+/!;$!8$!0BYC:66#D
extensos no âmbito !>?#E56![:66:=A645E!7D`3:DB:=!#D!ME4N5A:!
e da União Europeia. rão
A.A.P.
Rodrigues
apoiado
doda
Projecto
Aos autores dos
artigos
serão pagos
mente pela FCT através
bolsa Klein.
de doutoramento
com
refe-selecionados
<364D2!Q:#N52D:A4B!;:K:6=5E=>
!?:N4Da64#!<:!1=S:D !7D=A4direitos autorais no valor de 400 (quatrocentos) reais.
1P/6,!$sN\_^f;^8(X)Y^8MMY:
Pequenos artigos Klein
REFERÊNCIAS
tute Geophysics and Planetary Physics University of Califor-
D45 !+,%,
m%3+.#$-%$8$!$L$2B=,/!#>$%&$2.1+"="P#>$D"%$!21%#%/+%&$+@2,6.#$1%0%-
vantes da Matemática que se conectem a conhecimentos
matemáticos!0$!;$!b$!Y6#BA#6!:!1$!0$!;3BFE4<2: !>1!C:7'9$V:$i=",!1>$s:$K!#+1.$%$r:$u!I."1,!">$v;p/!&,6#$/%!1$!$?%.%'/!7$!0:E9#36D:
-%$/RQ%0$&5-,.$."$%320,D"%&$!20,6!de%#$&.-%1/!#$#,=/,C6!+,Q!#>$21.A:6#BE4D4B! N#<:E! #G! 2:#<LD5N#! 6:K:6=5E=! 5D<! :cB36=4#D=> !
porcionando aos professores uma visão do estado da arte da MatemáDynamo and Dynamics, a Mathematical Challenge (eds. P. Chostica. Os artigos devem atender às seguintes recomendações:
+%1.60,/,6$/%+w.1]v>$Nonlinearity !"#$!%& !'(%)*%* !+,,-
.+/!0$!123456 !7$!859#36453!:!1$!;#<6423:=
!>?@4ABC4D2!D:56!
=5A !J$!16N963=A:6!5D<!7$!dS6:5
!VE3@:6Z!J#6<6:BCA !'P')'I, !
1. Motivar o assunto com
um exemplo ou um problema
estimulan5!C:A:6#BE4D4B!D:A@#6F!#G!6#A5A4D2!D#<:=>
!Dynamical
Systems: do ensino
+,,% médio.
te que seja do interesse
para o professor
2. K?%=!1$!$!Q!/d.#$&!+%&B+,6.#$1%6%/+%#$F-.$#56"0.$nn>$#%$2.#an International Journal !H#E$!+!7==3:!% !I-)(- !+,%,
sível).
.%*/!1$!;#<6423:= !>Y:6=4=A:DA!?@4ABC4D2!D:56!AC:!\:A:6#BE4D4B!
3. Explicitar as ideias matemáticas envolvidas, mas evitando argu.'/!;$!J:K5D:L !>1D!7DA6#<3BA4#D!A#!MC5#A4B!JLD5N4B5E!?L=A:0#<:E!G#6!AC:!Q:#<LD5N#!Y6#9E:N> !=39N:A4<# !+,%%
mentos técnicos.
N=> !+D<!:<$ !ABP- Westview !+,,'
4. Apontar a importância do tema
.%-/! 1$! ;#<6423:= ! >\:A:6#BE4D4B! YC:D#N:D5> ! YC$J$! [C:=4= !
5. Fornecer referências acessíveis, por exemplo, na internet, que
.*/! 0$! O4:E< ! >8:BA36:=! #D!
94G36B5A4#D= ! <LD5N4B=! 5D<! =LNO5B3E<5<:!<:!M4eDB45= !_D4K:6=4<5<:!<#!Y#6A# !+,%%
2%1&,+!&$!21.<"/-!1$!$1%S%3`.$&!+%&B+,6!$."$I"#6!1$!20,6!de%#$
no ensino
da Matemática.
N:A6L> !Pitman Research Notes
in Mathematics
Series !H#E$!'-P !
8#D2N5D !%((P
.%P/!1$!;#<6423:=
!7$!859#36453!:!0$!123456 !>MC5#A4B!J#39E:!
Alguns exemplos, em inglês, podem ser encontrados
no sítios:
MLBE4D2> !Dynamical Systems: an International Journal !H#E$!+P !
Wikis.zum.de/dmuw/index.php/Heron_Triangles_and_Elliptic_Curves
.-/!0$!7$!Q#E394A=FL !7$!?A:@56A!:!J$!Q$!?BC5:R:6 Singularities
7==3:!+ !%(()+'' !+,%%!
Wikis.zum.de/dmuw/index.php/Calculators%2C_Power_Series_and_Che-
and Groups in Bifurcation
Theory !H#E$!77 !?S64D2:6 !+,,,
byshev_Polynomials
7
Em [11], há a referência de que o decaimento linear que se está a obserWikis.zum.de/dmuw/images/f/f8/Google_klein_2.pdf var pode ser interpretado como o início de uma reversão; segundo mé.P/!J$!Q3994D= !M$!T569:6 !?$!Q499#D=L!:!U$!U$!8#K: !>V4D:N5A4B!
todos estatísticos, designadamente regressão linear, a mesma referência
aponta que a reversão ocorrerá no ano 4000.
<LD5N#!5BA4#D!4D!5!=SC:6:!77!W!?LNN:A6L!=:E:BA4#D>
!Proc.
R.
Projecto Klein em Língua Portuguesa
Soc. Lond. A,!"#$!*-P !%''')%'-' !+,,,
O AUTOR
O projecto Klein em Língua Portuguesa é um projetoSOBRE
de ensino
e pes
pesD",#!$%&$2!16%1,!$-!$sfV$6.&$!$sfkV>$sf_V!+>$sfViK$%$gfVk[:$
]34=5!:N!S56B:645!<5!?T0!B#N!5!?Tb0
!?T\05A !?T01M!:!dT0bY$!
Alexandre Rodrigues é licenciado em Matemática - Ramo Educacional
g$21.T%+.$5$"&!$6./+1,I",d`.$-.$f1!#,0$!.$tW0%,/$[1.T%6+$<.1$8'#+$6%/d!S6#f:A#!g!3N5!B#DA64934hi#!<#!T65=4E!5#!jVE:4D!Y6#f:BA!G#6!+%=A!B:D.I/!U$!Q3BF:DC:4N:6 !0$!;$!0L:6=
!O$!U$!X4BFE4D !Y$!1$!X#EG#6F !
(2003) e Mestre em Matemática - Fundamentos e Aplicações (2006) pela
tury”
da ICMI-IMU.
informações
poderão serFaculdade
obtidas de
noCiências
sítio da Universidade do Porto, com especialização em sis>J=A##EZ! 1! JLD5N4B5E!
?L=A:N!
[##EF4A! Outras
@4AC! 5D!
7DA:65BA4K:!
www.sbm.org.br, clicando em Projeto Klein em Língua Portuguesa.
temas dinâmicos. Obteve em 2012 o grau de Doutor (PhD) em Matemática
Q65SC4B5E! 7DA:6G5B:>! ;:G:6:DB:!
05D35E ! M:DA:6! G#6! 1SSE4:<!
g$.IT%6+,Q.$6%/+1!0$-.$tW0%,/$[1.T%6+$<.1$+?%$8'#+$K%/+"1pq$
d!#9f:BA4K#!B:DA65E!<#!jVE:4D!Y6#f:BA!G#6!AC:!+%=A!M:DA36Lk!
pela Universidade do Porto com a tese "Heteroclinic Phenomena". Faz investigação
em Teoria
E produzir um
livro, preparado em mais de 10 línguas,
direcionado
a Qualitativa das Equações Diferenciais. Actualmente é
Mathematics, Cornell University,
1995
docente destacado na Escola Secundária de Arouca, continuando ligado ao
21.<%##.1%#$-.$k/#,/.$V5-,.$2!1!$6.&"/,6!1h0?%#$.$<Z0%=.$%$!$Q,+!0,S6#G:==#6:=!<#!bD=4D#!0g<4#!S565!B#N3D4B56WEC:=!#!GlE:2#!:!5!K4A5E4Centro de cirricuMatemática da Universidade do Porto.
dade da pesquisa em matemática conectando-os ao conteúdo
.&/!0$!X$!\46=BC !M$!M$!Y32C!:!0$!?C39
!Invariant Manifolds,!:N!A#6D#!<:!',,!Sa24D5= !
0!1$-!$%#6.0!$%&$/RQ%0$#%6"/-B1,.:$g$0,Q1.>$%&$+.1/.$-%$)MM$2B=,/!#>$
E56!<5!:=B#E5!:N!DmK:E!=:B3D<a64#$!d!E4K6#
conterá!-&'
“pequenos
artigos” escritos
Lecture Notes in Mathematics
!?S64D2:6WH:6E52
!%(II de modo a inspirar professores
em apresentar aos alunos uma perspectiva mais informada do campo
cada vez mais interconectado e crescente da Matemática no mundo
actual. O livro terá ainda suporte de redes, textos impressos e DVDs.
Para mais
informações, vejaHETEROCLÍNICA
o sítio www.kleinproject.org
INTERMITÊNCIA
DO CAMPO MAGNÉTICO DA TERRArAlexandre Rodrigues
19