Condensadores– associação em série e em paralelo Dipolo

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Universidade Técnica de Lisboa
Bioelectricidade - Electricidade Básica
Condensadores– associação em série e em paralelo
Dipolo eléctrico, momento dipolar eléctrico
Densidade da corrente eléctrica
Lei de Ohm da corrente contínua
Intensidade da corrente eléctrica
Condutância
Leis de Kirschoff
Ponte de Wheatstone
Carga e descarga de condensadores
1
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Programa do 12º ano - Física
Interacções e Campos. Interacção electrostática. Princípio da conservação da carga
eléctrica. Lei das acções electrostáticas ou Lei de Coulomb. Permitividade do meio
Semelhanças e diferenças entre as leis da força coulombiana e da força newtoniana
Campo electrostático. Conceito de campo de forças. Grandeza campo electrostático
Campos electrostático criado por uma carga pontual estacionária.
Linhas de campo: suas propriedades. Campo electrostático uniforme.
Trabalho da força eléctrica. O campo electrostático como campo conservativo.
Expressão da energia potencial correspondente aos sistemas campo eléctrico / carga
Potencial eléctrico. Expressão analítica da função V=V(r) para um campo
electrostático radial. Superfícies equipotenciais. Relação entre o módulo do vector
campo eléctrico e a diferença de potencial, num campo electrostático uniforme.
Unidade S.I. da grandeza campo eléctrico
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Campo Eléctrico com Simetria Radial
E
1
Q
E=
ur
2
4πε 0 r
E
Q
ε0
E
E
3
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O Campo Eléctrico como um Campo
de Forças
F
E=
q
1 qQ
F=
ur
2
4πε 0 r
E
E
Q
ε0
E
q+
F=qE
E
4
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Função Potencial do Campo Radial
• Campo radial:
E = Er u r
• Função potencial V(r):
dV
Er = −
dr
1 Q
1 Q
Er =
⇒ V (r ) =
+ Const.
2
4πε0 r
4πε0 r
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Campo Uniforme
+Q
+ + + + + + + + + + + + + +
y
x
E
- - - - - - - - - - - - - -Q
E = − E yu y
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Função Potencial do Campo Uniforme
• Campo uniforme:
E = − E yu y
• Função potencial V(r):
dV
Ey = −
dy
Ey
Ey < 0
é constante
V ( y ) = − E y y + const.
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Função Potencial
V(y)
Placa
Placa
y
0
d
Escolheu-se Const.=0, logo o potencial vale 0 em y=0 (placa de baixo), e
vale V(d)=Ed (na placa superior).
O campo E é a derivada negativa da função potencial, sendo proporcional
ao declive da curva entre as placas.
O campo é nulo dentro das placas, sendo aí o potencial constante.
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Potencial e tensão eléctrica
• Um campo eléctrico pode ser
descrito pela sua função
potencial V.
• A diferença de potencial
entre dois pontos designa-se
por tensão eléctrica e
representa-se pela letra u.
• Note-se, pelo exemplo que
quando o potencial em B for
considerado nulo a tensão
entre A e B é igual ao
potencial em A. Esta situação
ocorre frequentemente nos
circuitos electrónicos.
A
VA
uAB=VA-VB
B
VB
9
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Condensador
•É uma estrutura constituída por 2
condutores (armaduras) A e B
separadas por um material não
condutor, designado dieléctrico.
•Para “carregar” o condensador
pode utilizar-se um gerador de
tensão. Assim, a diferença de
potencial entre as armaduras será
VB-VA=uG.
A
+Q
+ + + + + + + + + + +
+
−
uG
- B- - - - - - - - - -Q
•A carga de electrização das
armaduras será sempre simétrica,
QA=−QB, porque a carga positiva
em excesso em A será a que falta
em B.
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Capacidade do Condensador Plano
• Existe em geral proporcionalidade entre a carga numa
armadura e a diferença de potencial entre essa armadura
e a outra.
QA = C (VA − VB )
• A capacidade C depende da geometria do condensador e
das propriedades do dieléctrico. Para o condensador plano
essa capacidade vale:
C=
εS
d
S é a área das armaduras, d a distância entre
elas e ε é a constante dieléctrica.
11
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Símbolo de Capacidade
+Q
U
Q=C U
C
−Q
12
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Associação de Condensadores
em paralelo
U
C1
Q1=C1 U
Q2=C2 U
Q1
Q2
C2
U
Q
Ceq
Q=Q1+Q2=(C1+C2) U=CeqU Ceq=C1+C2
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Associação de Condensadores
em Série
Q
U1
U
U2= Q /C2
U
Q
U2
U1= Q /C1
C1
Q
Ceq
C2
U=U1+U2=(1/C1+1/C2) Q=(1/Ceq)U
1/Ceq=1/C1+1/C2
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Constante Dieléctrica
• Quando o condensador está ligado a uma fonte de tensão constante,
a diferença de potencial entre as armaduras é igual a essa tensão,
independentemente do material do dieléctrico.
• Para a mesma tensão a carga nas armaduras será tanto maior
quanto maior for a constante dieléctrica ε.
• A constante dieléctrica representa-se geralmente na forma
ε = ε 0ε r
em que ε0 é a constante dieléctrica do vazio e εr a constante dieléctrica relativa.
1
farad/metro
ε0 =
9
4π × 9 ×10
15
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Dipolo Eléctrico
+q
z d
p
p
p=qd uz
−q
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Dieléctrico Polarizado
+Q
A
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
uG
+
−
+
−
+
−
+
- - - - - - - - - - - - - - - B
-Q
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O Mesmo Dieléctrico Despolarizado
A
QA=0
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
−
−
−+
−
−
+ + +
+
−
− −
+
+
++
+
− +
+
+
+−
−
−
−
−
+
+ −
−
−
+
−
+ +
−−
−
+
−
−
+
+
−
+
+ +
−−
+ +
−−
+
−
−
−
+
+
−
+
B
−
−
+
−
+
+
+
−
+
−+
−
−
+
+
−
+
QB=0
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Condutibilidade Eléctrica
• Existindo mobilidade das cargas
eléctricas no material entre os
condutores A e B haverá
corrente eléctrica de A para B.
Essa corrente terá uma
densidade J (A/m2) proporcional
ao campo. A constante de
proporcionalidade σ designa-se
por condutibilidade eléctrica.
• A densidade J é a quantidade de
carga eléctrica que atravessa,
por unidade de tempo, uma
unidade de superfície
posicionada perpendicularmente
à direcção do movimento.
I
+
−
A
+ + + + + + + + + + +
uG
σ
J=σE
E
J
- B- - - - - - - - - •A intensidade de corrente I
representa toda a carga que passa do
condutor A para o condutor B, por
unidade de tempo. Verifica-se assim
que
I=JS
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Condutibilidade Eléctrica
I
Unidades
• A densidade de corrente J medese em ampère por metro
quadrado (A/m2).
• A intensidade de corrente I
mede-se em ampère (A).
+
−
A
+ + + + + + + + + + +
uG
σ
J=σE
E
J
- B- - - - - - - - - •A intensidade de corrente I
representa toda a carga que passa do
condutor A para o condutor B, por
unidade de tempo. Verifica-se assim
que
I=JS
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Conceitos de Condutância e Resistência
I=JS
I=σES
J=σE
I=
σS
d
U = GU =
U
R
E=U/d
Assim G = σS/d e R = 1/G = d / (σ S)
21
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Símbolo de Resistência
Lei de Ohm
I
U
R
U=R I
I=G U
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Associação de Resistências em Série
I
I
U1
R1
U
U
U2
U1=R1 I
U2=R2 I
Req
R2
U=U1+U2=(R1+R2) I=Req I
Req=R1+R2
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Associação de Resistências em
Paralelo
I
I1
U
I1= U /R1
I2= U /R2
I
I2
R1
R2
U
Req
I=I1+I2=(1/R1+1/R2) U=(1/Req)U
1/Req=1/R1+1/R2
Geq=G1+G2
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Unidades
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Q – carga eléctrica – coulomb (C)
u – tensão ou potencial – volt (V)
C – capacidade – farad (F)
ε – constante dieléctrica – farad por metro (F/m)
i – intensidade de corrente – ampère (A)
R – resistência – ohm (W)
G – siemens – (S)
σ – condutividade – siemens por metro (S/m)
E – campo eléctrico – volt por metro (V/m)
J – densidade de corrente – ampère por metro quadrado
(A/m2)
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Leis de Kirchhof – Lei dos Nós
I1
I2
I1+ I2+ I3+ I4=0
I4
I3
A soma das correntes que convergem num nó é nula.
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Leis de Kirchhof – Lei dos Nós
I1
I2
I1+ I2+ I3+ I4=0
I4
I3
A soma das correntes que divergem de um nó é nula.
Nota importante: Os sentidos representados para as correntes são
convencionais. Quando as correntes são positivas o seu sentido é o
indicado. Quando são negativas, o sentido real é o contrário do
indicado.
27
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Leis de Kirchhof – Lei dos Nós
I1
I2
I2+ I3= I1+ I4
I4
I3
A soma das correntes que convergem num nó é igual à soma das
correntes que divergem desse nó.
28
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“Lei” dos Nós ?
• Esta lei é válida em regime estacionário (corrente contínua).
• Em regime quase estacionário (lentamente variável) pode ser aplicada
com algum cuidado.
• Note-se que, em regime variável, se houver acumulação de carga
eléctrica no nó, a soma das correntes que convergem nesse nó já não
será nula, mas positiva.
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Leis de Kirchhof – Lei das Malhas
u1
R1
u4
R4
R2
R3
u3 u1+u4+u2+u3=0
u2
A soma de todas as tensões ao longo de um caminho fechado é zero.
Nesta soma consideram-se positivas as tensões concordantes com a
orientação do caminho e negativas as tensões contrárias à orientação
do caminho.
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Leis de Kirchhof – Lei das Malhas
u1
R1
u4
R4
R2
R3
u3 u1−u4+u2−u3=0
u2
A soma de todas as tensões ao longo de um caminho fechado é zero.
Nesta soma consideram-se positivas as tensões concordantes com a
orientação do caminho e negativas as tensões contrárias à orientação
do caminho. Note-se que uma inversão no sentidos das tensões
corresponde a uma mudança de sinal.
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“Lei” das Malhas?
• Esta lei é válida em regime estacionário (corrente contínua).
• Em regime quase estacionário (lentamente variável) pode ser aplicada
com algum cuidado.
• Note-se que, em regime variável, se houver campo magnético a
atravessar o caminho, existirá uma parcela com origem em fenómenos
de indução electromagnética que não está explicitada na soma anterior.
32
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Divisor de Tensão
I
R1
Io=0
U
R2
I=U/(R1+R2)
U2=R2 I
U2
R2
U2=
U
R1+R2
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Divisor de Corrente
I
I1
U
I1=G1U
R1
I2=G2 U
I1=
G1
I
G1+G2
I2=
G2
I
G1+G2
I1=
R2
I
R1+R2
I2=
R1
I
R1+R2
I2
R2
I=(G1+G2)U
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Aplicação: Ponte de Wheatstone
I
R1
+
−
R3
G
U
R2
Rx=?
G é um galvanómetro. Os valores de R1,R2 e R3 são conhecidos, sendo
R3 variável. Ajusta-se o valor de R3 até se anular a corrente no
galvanómetro.
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Aplicação: Ponte de Wheatstone
I
R1
+
−
R2
U Rx
Rx
=
U
R3 + Rx
R3
UG=0
U
U R2
R2
=
U
R1 + R2
UR2 URx
UR2= URx
Rx=?
U R 2 = U RX
R2 R3
⇒ RX =
R1
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Carga de um Condensador
i
Temos um gerador de tensão constante
que vai ser ligado ao circuito RC no
instante t=0.
R
uR
UG
uC
C
Tanto as tensões no condensador como
na resistência e a própria corrente não
serão constantes, mas funções do
tempo.
O condensador está descarregado no
instante de ligação.
UG=uR(t)+uC(t)
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Carga de um Condensador
Para t>0 :
Pela lei das malhas:
i
R
q(t)
uR
UG
uC
C
UG=uR(t)+uC(t)
Pela lei de Ohm:
UG=R i(t)+uC(t)
Mas:
q(t)=C uC(t)
Logo:
Finalmente:
i(t)=dq/dt=C duC/dt
UG=RC duC/dt + uC
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Carga de um Condensador
Alguns factos importantes:
• O condensador está descarregado em t=0.
• Logo, em t=0, a tensão no condensador será nula: uC(0+)=0.
• Sabemos que o processo de carga demora algum tempo.
• Quando o processo terminar será a corrente nula: limt→∞i(t)=0
• No final teremos: uC(∞)=UG
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Carga de um Condensador
Equação a resolver: UG=RC duC/dt + uC
uCF(t)=UG satisfaz a equação, mas não é a solução geral.
uCF(t)=UG é uma solução particular e designa-se por regime forçado.
Para ter a solução geral será necessário somar a solução da equação
0=RC duC/dt + uC e que pode ser:
uCL (t ) = −U G e
−
t
RC
Somando ambas:
uC (t ) = U G − U G e
−
t
RC
= U G (1 − e
−
t
RC
)
40
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Representação Gráfica de uC(t)
uCF(t)
UG
uC(t)
t (s)
τ
uCL(t)
τ =RC
−UG
41
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Representação Gráfica de uR(t)
uCF(t)
UG
uC(t)
τ =RC
uR(t)
t (s)
τ
42
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Representação Gráfica de i(t)
UG/R
i(t)
τ =RC
t (s)
τ
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