Primalidade e φ(42) Meu nome é Bruno Becker. Há mais de 10

Primalidade e φ(42)
Meu nome é Bruno Becker.
Há mais de 10 anos sou fascinado pelos números primos e, assim como tantos outros com o mesmo interesse,venho estudando o dito
“problema dos números primos”,ou seja, a aparente falta de ordem em seu aparecimento e em seus intervalos.
Pretendo ser breve e objetivo tanto quanto possível e, por seguinte, afirmo “ Existe sim uma ordem no aparecimento dos números
primos e ela está intrinsecamente relacionada a lista de números de φ(42) = [ 1, 5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41].
Já existiam duas teorias que indicavam tal fato: o Polinômio de Euler (f(n) = n2 + n + 41), e o teste de primalidade de fermat ( Ip=6K
±1 ...).
Porém, tais teorias não geram números primos com exatidão,gerando números não primos também.
O primeiro padrão encontrado
Há mais de 10 anos atrás,eu nem sabia o que era phi mas, de forma bem rudimentar,descobri um padrão cíclico no aparecimento de
números primos,apenas usando tentativas e acertos,dividindo,comparando e criando uma matemática pessoal...
O primeiro padrão foi encontrado ao notar que em uma sequência de números ímpares,começando pelo 1,a cada 21 números este
padrão se repetia : x0x00xx0xx0xx0xx00x0x ,começando pelos respectivos números:
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41.
Sendo “0“ números divisíveis por 3 ou por 7
E “X” somente números divisíveis por “X” ou Primos.
Ou seja,descobri que a cada 21 números ímpares,o padrão se repetia,infinitamente,onde todos os números primos maiores que 5
( com exceção do 7) estavam na faixa de “X”.
Anos mais tarde...
No início do ano de 2015,decidi publicar este padrão no fórum Python Brasil no Google Groups, publiquei com o nome de “Teorema
Becker”.
Tal “teorema” tem por base o uso dos 12 primeiros números na faixa de “x” do padrão cíclico anterior,sendo eles: [ 1,
5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41]
Onde era afirmado que todos os números primos maiores que 11 estavam na faixa da chave acima + 42, ou seja:
[1+ 42, 5+42, 11+42, 13+42...] e assim por diante,somando 42 à próxima chave gerada com 12 números.
Algumas pessoas do fórum me criticaram,outras se interessaram,mas sou igualmente grato a todos.
Aos poucos o tal “Teorema” foi amadurecendo,e varias versões de programas para gerar números primos baseados neste padrão
foram feitos,mas nenhum se igualou ao Crivo de Eratóstenes no que diz respeito a velocidade,apesar de confirmado o “teorema
becker”, realizando o teste de primalidade para os 10.000 primeiros primos,sem erros.
Dentre as críticas que tive no fórum, a mais construtiva foi a de que meus “12 números mágicos”nada mais eram que os únicos
números que não compartilham nenhum divisor com 42 no anel comutativo de Z42, ou seja, a lista de números pertencentes a φ(42).
.
Como nunca tinha ouvido falar nisso,procurei estudar o assunto,e digo,essa critica me fez ver além...
Ciclos, Fractais
A partir disto,para efeito de utilização, passei a chamar estes 12 numeros especiais( [ 1, 5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41] ) em φ(42) de
CICLO BASE, onde, somando 42 a cada número,obtém-se a faixa de todos os números primos > 11 ou os produtos dos próprios
números do ciclo.
Agrupando os números gerados pelo ciclo base,de doze em doze,obtém-se os demais “ciclos”.
Ou,pode-se conseguir os “ciclos” usando a formula φ(n*42) ,ou seja,a lista dos números de phi para os múltiplos de 42,englobam a
faixa de todos números primos > 11.
Uma característica destes ciclos é seu comportamento fractal,ou seja, a capacidade de replicar os valores de um ciclo anterior
seguindo este curioso método:
“Ao gerar número de ciclos iguais a (n) de um ciclo,encontram-se 12 múltiplos deste número que, divididos pelo mesmo, geram um
ciclo anterior.”
Exemplo:
A cada 5 ciclos encontram-se 12 múltiplos de 5,que se divididos por 5 geram um ciclo:
Múltiplos de 5 encontrados no primeiros 5 ciclos: [5, 25, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 185, 205]
Dividindo-os por 5 : [1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41]
Mais 5 ciclos:
dividindo por 5:
[215, 235, 265, 275, 295, 305, 325, 335, 355, 365, 395, 415]
[43, 47, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 79, 83]
A cada 11 ciclos:
[11, 55, 121, 143, 187, 209, 253, 275, 319, 341, 407, 451]
Dividindo-os por 11 :[1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41]
E assim por diante,repetindo o processo infinitamente...
A ordem dos números primos
Outra característica do ciclo base,e a mais importante,pois revela o porque da aparente falta de ordem no aparecimento dos números
primos, que descobri recentemente, trata-se de uma progressão aritmética no aparecimento de todos não primos,ou seja,se há uma
ordem no aparecimento de todos não primos,por seguinte, há uma ordem no aparecimento de todos números primos...
Esta p.a se aplica a cada um dos números gerados pelo ciclo base,de modo que, ao aplicá-la a um dado número, consegue-se todos
os seus múltiplos dentro dos ciclos,de forma precisa e infinita. Eis a razão desta p.a:
r = [a*4+b, a*6+b, a*2+b, a*4+b, a*2+b, a*4+b, a*2+b, a*4+b, a*2+b, a*6+b, a*4+b, a*2+b] ... Ciclicamente
Sendo (a) um dos números gerados pelo ciclo base, e (b) o resultado anterior.
Se o termo usado for o número (1),serão gerados todos os números do ciclo base:
[1*4+1, 1*6+5, 1*2+11, 1*4+13, 1*2+17, 1*4+19, 1*2+23, 1*4+25, 1*2+29, 1*6+31, 1*4+37, 1*2+41]...
Se o termo for um dos demais números gerados pelo ciclo base,tem-se seus múltiplos dentro dos ciclos. Exemplo para o numero 11:
[11*4+11, 11*6+55, 11*2+121, 11*4+143, 11*2+187, 11*4+209, 11*2+253, 11*4+275, 11*2+319, 11*6+341, 11*4+407, 11*2+451]...
E assim por diante. Essa p.a pode ser aplicada a cada número gerado pelos ciclos.
Se aplicarmos esta p.a a cada número dos ciclos a partir do número 5,de forma linear, tem-se todos os múltiplos do conjunto e, ao
eliminarmos do conjunto, sobram apenas os números primos.
Ou seja,os números primos maiores que 11 estão todos sujeitos à ordem dos números gerados por essa p.a e, por seguinte, seguem
uma ordem em seu aparecimento.
Os intervalos aparentemente caóticos entre os primos nada mais são que cruzamentos de evoluções da p.a de cada número do
conjunto,sendo que estes cruzamentos são tão concentrados em certos pontos da evolução das p.a,que geram os “abismos” entre os
números primos.
Uma curiosidade é que a soma da razão da p.a resulta em 42:
[4+6+2+4+2+4+2+4+2+6+4+2] = 42
Após este trabalho,creio ter contribuído para a elucidação do dito “mistério da ordem dos números primos”,sabendo que o mesmo é
apenas o inicio de novos estudos neste sentido.
site para calcular a lista de phi,facilmente: http://www.dcode.fr/euler-totient?#
Qualquer crítica será bem vinda:
[email protected]
Bruno Becker, São José do Rio Preto, São Paulo , Brasil.
2015