Construção de uma sequência didática com situaçõesproblema

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS
MATEMÁTICA
DEIVID GERALDO GIMENES
CONSTRUÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA COM SITUAÇÕESPROBLEMA ENVOLVENDO MATEMÁTICA FINANCEIRA
SÃO CARLOS
2016
Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas
Matemática
Deivid Geraldo Gimenes
Construção de uma Sequência Didática com Situações-Problema
envolvendo Matemática Financeira
Dissertação de Mestrado Profissional em
Matemática apresentada ao PPGECE –
Programa de Pós-Graduação em Ensino
de Ciências Exatas – Matemática, mantido
pela UFSCar, Universidade Federal de
São Carlos, como requisito parcial para a
obtenção do título de mestre.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Antônio Silvani
Caetano.
São Carlos
2016
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária UFSCar
Processamento Técnico
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
G491c
Gimenes, Deivid Geraldo
Construção de uma sequência didática com situaçõesproblema envolvendo matemática financeira / Deivid
Geraldo Gimenes. -- São Carlos : UFSCar, 2016.
106 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de
São Carlos, 2016.
1. Matemática financeira. 2. Análise de
investimentos. 3. Engenharia didática. 4.
Planejamento familiar. I. Título.
Dedico esse trabalho ao meu
filho Otávio e aos alunos da Etec Professora
Anna de Oliveira Ferraz de Araraquara que
em cada dia meu de trabalho se constituem
em fonte de inspiração e renovação de forças
para continuar nessa caminhada escolhida
com amor.
AGRADECIMENTOS
A meu orientador Prof. Dr.
Paulo Antônio Silvani Caetano, pelo incentivo,
simpatia e presteza no auxílio às atividades e
discussões sobre o andamento e normatização
dessa Dissertação de Mestrado.
Ao professor Carlos Henrique
Bocanegra e ao professor Manoel Martins da
Silva por proporcionarem importantes
conversas sobre o encaminhamento desse
trabalho.
Aos meus colegas de sala
André, Bruno, Fabrício e Gilberto que muito
contribuíram para minha formação como
professor.
A minha esposa Patrícia e meu
filho Otávio, por se constituírem diferentes
enquanto parte da família, unidade formadora
da verdadeira sociedade, íntegra e justa para
com o semelhante. Família essa, bela e
admirável em essência, que nesse período de
estudos se tornaram estímulos que me
impulsionaram a buscar vida nova a cada dia.
Meus agradecimentos por terem aceitado se
privar de minha companhia pelos estudos,
concedendo a oportunidade de me realizar
ainda mais.
Aos meus pais Geraldo e
Terezinha e aos meus irmãos Tânia, Silvio e
Silvia que em muitas vezes, desde os tempos de
menino, se privaram de vontades próprias em
favor dos meus estudos.
E finalmente a DEUS pela
oportunidade e privilégio que me foram dados
em compartilhar tamanha experiência ao
frequentar esse curso.
“Comece fazendo o que é
necessário, depois o que é possível e
repentinamente você estará fazendo o
impossível.”
São Francisco de Assis
RESUMO
Esse trabalho tratou da elaboração, estruturação e aplicação de uma sequência
didática que ensinou Matemática Financeira a alunos do ensino médio por meio da
reprodução de ambientes capazes de proporcionar aos mesmos a oportunidade de
serem protagonistas na tomada de decisões. Articulada com a metodologia francesa
de educação matemática conhecida como Engenharia Didática, essa proposta
pedagógica foi concebida com o propósito de contribuir para que o jovem participe
ativamente do planejamento financeiro familiar. A primeira atividade da sequência
teve como foco a inserção do corpo discente em contextos financeiros onde foram
simuladas situações propícias ao aprendizado e incorporação de conteúdos
fundamentais da Matemática Financeira. Já a segunda, favoreceu a aplicação do
conhecimento adquirido, em cenários onde a Análise de Investimentos é
imprescindível para o provimento de êxito financeiro. Os resultados obtidos atestam
que houve aprendizado significativo capaz de conferir aos alunos capacidade plena
de aplicar os conceitos abordados em situações reais, contribuindo para que eles
desenvolvam um novo olhar sobre esse importante ramo da matemática.
Palavras Chave: Matemática Financeira, Análise de Investimentos, Engenharia
Didática, Planejamento Familiar.
ABSTRACT
This work deals with developing, structuring and implementation of a didactic
sequence taught Financial Mathematics to high school students through reproduction
environments able to provide them the opportunity to be protagonists in decisionmaking. Articulated with the French methodology of mathematics education known as
Didactic Engineering, this pedagogical proposal has been designed with the aim of
contributing to the youth actively participate in family financial planning. The first
activity of the sequence focused on the inclusion of the student body in financial
contexts in which situations were simulated conducive to learning and incorporating
fundamental contents of Financial Mathematics. The second, favored the application
of knowledge acquired, in scenarios where the Investment Analysis is essential for
the provision of financial success. The results show that there was a significant
learning capable of conferring the full potential students to apply the concepts
covered in real situations, helping them to develop a new perspective on this
important branch of mathematics.
Keywords: Mathematical Finance, Investment Analysis, Teaching Engineering, Family
Planning.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Foto 1: Alunos em Grupo .......................................................................................... 29
Foto 2: Resolvendo a Atividade 1.............................................................................. 30
Foto 3: Resolvendo Exercícios .................................................................................. 31
Foto 4: Laboratório de Informática ............................................................................ 32
Foto 5: Projeção da Atividade 1 ................................................................................ 32
Figura 1: Tábua com o Sistema de Escrita dos Sumérios ......................................... 47
SUMÁRIO
Introdução ................................................................................................................. 10
Capítulo 1 - Alunos, Carreira e Escola ...................................................................... 13
1.1 - Alunos ............................................................................................................... 13
1.2 - Carreira ............................................................................................................. 15
1.3 - Escola ............................................................................................................... 16
Capítulo 2 - Teoria das Situações Didáticas, Engenharia Didática e Aula Inédita..... 19
2.1 - Teoria das Situações Didáticas ......................................................................... 19
2.2 - Engenharia Didática .......................................................................................... 20
2.3 - Aula Inédita ....................................................................................................... 21
Capítulo 3 - Estratégia Pedagógica ........................................................................... 23
3.1 - Planejamento da Aula Inédita ........................................................................... 23
3.1.1 - Análise Prévia - Retomando os Propósitos .................................................... 23
3.1.2 - Construção das Situações e Análise à Priori - Cronograma .......................... 25
3.1.2.1 - Propaganda - Criação de um Folder ........................................................... 25
3.1.2.2 - Pesquisa de Opinião 1 ................................................................................ 25
3.1.2.3 - Atividade 1 - Analisando Situações Cotidianas ........................................... 26
3.1.2.4 - Atividade 2 - Retomando as Situações Cotidianas ..................................... 28
3.1.2.5 - Pesquisa de Opinião 2 ................................................................................ 29
3.2 - Aplicação da Aula Inédita .................................................................................. 29
3.3 - Correção das Atividades ................................................................................... 33
3.3.1 - Atividade 1 ..................................................................................................... 33
3.3.2 - Atividade 2 ..................................................................................................... 41
Capítulo 4 - Definições, Teorias e Demonstrações ................................................... 46
4.1 - Notas Históricas da Matemática Financeira ...................................................... 46
4.2 - Princípio de Indução Matemática ...................................................................... 48
4.3 - Sequências e Progressões ............................................................................... 49
4.3.1 - Demonstração da Fórmula do Termo Geral de uma P.A ............................... 49
4.3.2 - Demonstração da Fórmula do Termo Geral de uma P.G ............................... 50
4.3.3 - Demonstração da Fórmula da Soma dos n Primeiros Termos de uma P.G ... 51
4.4 - Definição dos Principais Conceitos da Matemática Financeira ......................... 52
Capítulo 5 - Análise dos Dados Coletados ................................................................ 54
5.1 - Práticas Habituais ............................................................................................. 54
5.2 - Pesquisa de Opinião à Priori ............................................................................. 57
5.3 - Pesquisa de Opinião à Posteriori ...................................................................... 58
5.4 - Pesquisa de Opinião à Priori e à Posteriori - Comparação ............................... 59
5.5 - Correção da Atividade 1 .................................................................................... 60
6.6 - Pesquisa de Opinião - Leia e Responda - Atividade 2 ...................................... 70
6.7 - Correção da Atividade 2 .................................................................................... 73
5.8 - Comparação - Atividade 2 - Pesquisa de Opinião versus Correção ................. 75
Conclusão ................................................................................................................. 77
Referências ............................................................................................................... 81
Anexo A ..................................................................................................................... 82
Anexo B ..................................................................................................................... 83
Anexo C .................................................................................................................... 85
Anexo D .................................................................................................................... 99
Anexo E ................................................................................................................... 104
10
Introdução
A presente Dissertação de Mestrado versará sobre as etapas da
produção e execução de uma atividade didática que transmitirá conhecimentos
básicos em Matemática Financeira a alunos do Ensino Médio.
Estudos e reportagens, como a exibida pelo programa Globo Repórter
no dia 07/09/13, revelam que a população brasileira, especialmente a camada
menos favorecida, não detém tal conhecimento e também não dispõe de orientação
financeira adequada para realizar uma análise satisfatória sobre seus investimentos.
Nessas circunstâncias, muitos são levados ao endividamento financeiro e posterior
privação de recursos essenciais à manutenção das atividades familiares.
Concomitante a esse diagnóstico está a constante defasagem no ensino sobre esse
tema dentro das salas de aula de nosso país. Em resposta a esse quadro temos
como proposta qualificar nossos jovens para atuar no planejamento financeiro
familiar auxiliando a família na tomada de decisões.
Com a finalidade de estudar os principais aspectos de nossa proposta
de ensino, implementar na trajetória desse autor como docente algo inovador em
relação aos métodos tradicionais de construção de conhecimento e tornar o aluno
protagonista na obtenção de conhecimento, adotaremos a Engenharia Didática
como metodologia e a Análise de Investimentos como suporte ao desenvolvimento
desse processo ensino-aprendizagem. A Engenharia Didática foi categoricamente
estruturada e sistematizada por Brousseau e Artigue, seus principais interlocutores,
e serve de modelo de ensino até os dias de hoje. Essa metodologia está de acordo
com o ponto de vista adotado por alguns autores da escola francesa de educação
matemática e é notadamente conhecida por fornecer indicadores de aprendizado,
tornando mais fácil a tarefa de medir o grau de conhecimento adquirido pelos
aprendizes. Com a Análise de Investimentos pretendemos evidenciar situações
cotidianas que exijam certo grau de entendimento de Matemática Financeira
inserindo nossos discentes em contextos que simulem as tomadas de decisões
como forma de obtenção e fixação de conteúdos. Do ponto de vista pedagógico
essas duas ferramentas cumprem com a tarefa primordial de transmitir esses nobres
saberes e eleger importantes aspectos indicadores de aprendizagem que serão
11
pormenorizados na conclusão dessa dissertação. No que diz respeito aos valores
incorporados à carreira desse professor, os mesmos serão relatados ao longo de
todas as etapas dessa dissertação na medida em que surgir a análise das inovações
pedagógicas adquiridas durante a participação desse programa de mestrado
profissional mantido pela Universidade Federal de São Carlos. Por outro lado, a
aquisição de conhecimento por parte dos discentes nesse processo de ensinoaprendizagem será catalogada de acordo com métodos qualitativos e/ou
quantitativos de obtenção de resultados.
As atividades utilizadas serão escolhidas de modo a priorizar a
contextualização e/ou multidisciplinaridade, conforme orientações encontradas na
Proposta Pedagógica do Estado de São Paulo para o Ensino de Matemática a
alunos do ensino médio. Elas seguirão a sequência que esse autor entende ser a
mais adequada para o nível de aprendizado pretendido nessa ocasião.
O fruto desse trabalho, junto com a vasta e excelente bibliografia
disponível nos dias de hoje, poderá futuramente viabilizar a elaboração de um
simples material didático, uma espécie de apostila, ou até mesmo uma variedade de
jogo lúdico de tabuleiro com dados e cartões de perguntas e respostas.
As ideias contidas nesse texto podem e devem ser utilizadas pelo
amigo leitor, em geral professores de matemática, para a melhoria do seu trabalho
como docente ou para outros fins que culminem de alguma forma em ações que
beneficiem o desenvolvimento educacional e cultural da população brasileira.
Posto isso, apresentaremos no Capítulo 1 algumas das principais
questões atuais sobre o ensino de Matemática. Questões essas que motivaram a
estruturação da referida sequência inédita que busca a constante diminuição das
dificuldades de nossos alunos no aprendizado dessa importante disciplina. Faremos
também um breve relato da trajetória desse autor como professor e das
características do corpo discente e da escola onde será aplicada a aula.
No
Capítulo
2
realizaremos
uma
síntese
de
dois
métodos
contemporâneos de pesquisa do processo ensino-aprendizagem: A Teoria das
Situações Didáticas, também com origens na França e a já citada Engenharia
Didática, além de esclarecermos o que se entende por sequência didática inédita.
No Capítulo 3 relataremos o planejamento e aplicação da sequência
didática e apresentaremos a metodologia e estratégias que serão utilizadas para
ensinar os conceitos fundamentais da Matemática Financeira. Nessa fase também
12
apresentaremos as atividades que foram planejadas e os acessórios, como planilhas
eletrônicas e sites relacionados com a Matemática Financeira, que servirão de apoio
à realização das mesmas.
No Capítulo 4 escreveremos a fundamentação teórica da sequência
didática, ou seja, apresentaremos e/ou demonstraremos os conceitos fundamentais
da Matemática Financeira e da Análise de Investimentos.
No Capítulo 5 apresentaremos a coleta, tabulação e análise dos dados,
uma vez que a Engenharia Didática nos fornece as ferramentas necessárias para
comparação desses dados à priori e à posteriori. Também elaboraremos um breve
resumo das dificuldades encontradas na aplicação da referida sequência e de tudo
aquilo que pode ser melhorado, diante das expectativas criadas pelos alunos.
Ao final, realizaremos o estudo dos principais aspectos ocorridos em
todas as etapas desse trabalho permitindo a elaboração de uma conclusão sobre
tudo o que foi exposto, com as possíveis ressalvas, caso seja necessário.
13
Capítulo 1
ALUNOS, CARREIRA E ESCOLA.
1.1 – Alunos
“Em sua experiência como professor, você certamente encontra estudantes com falta de interesse
ou muita dificuldade para aprender Matemática. Muitos até desistem das aulas por esse motivo. E isto não é um
fato isolado” 1.
Entre as principais discussões sobre que caminhos a educação deve
seguir e quais métodos o professor deve adotar para ter êxito na construção do
conhecimento matemático está o trecho inicial que foi retirado do livro base para o
terceiro módulo do curso Matem@tica na Pr@tica oferecido pelo MEC em parceria
com a CAPES e o DM-UFSCAR, entre outros, cujo título curiosamente nos revela a
essência da atual relação juventude-sociedade-educação quando da substituição da
letra “a” pelo símbolo “@”, que é um importante caractere das novas tecnologias.
Os jovens de hoje possuem peculiaridades sociais como ilimitado
acesso a informação e interações sociais dinâmicas oriundas das novas tecnologias,
entre elas a Internet e a comunicação Wi-Fi, que nos obriga a repensar
constantemente nossas ações enquanto professores de Matemática. Isso porque
esses novos mecanismos afetam a sociedade e suas relações, das mais variadas
formas possíveis. Por esse motivo, encaramos o desafio de fazer algo inédito na
carreira docente como forma de encontrar novos caminhos que realizem o desejo de
melhorar a qualidade do ensino em matemática e o conhecimento de nossos alunos.
Durante mais de treze anos como professor, trabalhei em uma dezena
de escolas das mais variadas clientelas possíveis. Escolas tradicionais, escolas de
bairro, escolas de periferia; e a questão abordada no início desse capítulo se fez
presente em todas elas. Nas conversas de corredor, entre uma aula e outra,
encontrei colegas com opiniões distintas sobre o atual ensino em Matemática.
Alguns professores, em geral aqueles formados anteriormente a
disseminação dos computadores e seus derivados, não se sentem a vontade com o
1
Trecho retirado de Matem@tica na Pr@tica – Curso de especialização para professores do ensino médio de matemática –
Módulo III – Trabalho de Conclusão de Curso – página 12, Capítulo 2, Parágrafo 1, Vários Autores, ISBN: 978-85-88696-95-2).
14
uso das novas tecnologias. Eles geralmente defendem que giz, lousa e saliva são
suficientes para aplicar uma boa aula; que ser aluno, por si só, implica interesse,
motivação e vontade de aprender; e que o corolário disso tudo é um jovem que fará
o que for necessário para acompanhar sua explicação mesmo que ela seja a mais
tradicional possível.
Na outra ponta da discussão estão os professores que são adeptos do
uso das novas tecnologias. Alguns deles acreditam que a tecnologia basta para
garantir o aprendizado e sanar todos os problemas de aprendizado que o aluno
possa apresentar e que o contato entre professor e aluno não é tão importante uma
vez que o segundo fará o possível e o impossível para sanar suas dúvidas tendo em
vista o acesso a qualquer informação do mundo a apenas um clique.
Nesse aspecto, creio que o bom senso é o melhor caminho. Não
podemos esperar que o aluno faça o impossível para acompanhar uma explicação
tradicional apenas porque acreditamos que a obtenção de conhecimento é por si só
a mãe de todas as motivações e também não podemos confiar que o aluno tenha a
responsabilidade de se auto conduzir nos estudos apenas com um computador.
“Muitos professores reportam que a falta de motivação dos estudantes é uma das maiores
dificuldades em suas atividades de docência” 2
Aliado ao trecho acima está a fala de alguns profissionais de ensino.
Vejo frequentemente diretores, gestores e coordenadores dizendo que o professor
tem que vender uma ideia, que o professor tem que fazer propaganda do seu
produto, que o professor tem que ter postura de pai, de irmão, de motivador, de
psicólogo e outras tantas profissões para garantir a permanência do aluno na sala,
permitindo que ele possa viver bem em sociedade e alcance a tão sonhada
motivação que o fará aprender. Penso que existe aí um equivoco, pois acredito que
a evasão escolar e a falta de motivação dos nossos alunos para os estudos são
problemas sócio-culturais e não educacional. Comparado a alunos de outros países,
uma grande parcela de nossos jovens valoriza menos os estudos inclusive ostentam
isso com atitudes indevidas, e frente a isso a experiência desses anos na educação
nos revela que o professor pode muito pouco fazer.
Em todo esse tempo de sala de aula venho seguindo a linha de
raciocínio dos meus professores de matemática do Ensino Médio que é basicamente
2
Trecho retirado de Matem@tica na Pr@tica – Curso de especialização para professores do ensino médio de matemática –
Módulo III – Trabalho de Conclusão de Curso – página 11, Capítulo 1, Parágrafo 7, Vários Autores, ISBN: 978-85-88696-95-2.
15
uma aula expositiva, com explicações técnicas sobre termos matemáticos, seguida
de uma bateria de exercícios de fixação de conteúdo, posterior correção dos
mesmos e eventuais atendimentos de dúvidas.
Portanto, analisando os pontos de vista expostos anteriormente e
minha postura como professor durante esses anos, cheguei a conclusão de que uma
sequência didática inédita em minha carreira como professor seria pautada em três
aspectos fundamentais. Primeiro: o aluno deve ser protagonista, participando
ativamente da obtenção de conhecimento; Segundo: a aula deve ter um meio termo
entre as posturas dos dois professores citadas anteriormente, ou seja, devo utilizar
mais
recursos
computacionais,
por
exemplo; Terceiro:
pretendo
encontrar
mecanismos que atendam a aparente necessidade que os jovens têm de algo que
os motive, que chame sua atenção e que desperte nele curiosidade e vontade de
obter conhecimento. Esses três aspectos combinados serão os pilares da transição
de uma aula tradicional expositiva para uma aula mais dinâmica onde o aluno
tomará a iniciativa no processo de ensino e aprendizagem.
1.2 – Carreira
Escolhi ser professor no ano de 2.000 por influência de minhas irmãs,
que nessa época já exerciam essa bela profissão. A carreira em Matemática se deu
pela afinidade com as exatas, com a informática e com o trabalho no comércio, que
já faz parte de minha vida desde os nove anos de idade. Em 2002, ainda como
aluno de graduação, ministrava aulas como professor substituto na E.E Abdalla
Miguel em Tabatinga, minha cidade natal. Nessa escola também passei todos os
anos de minha educação básica. Em 2003, já formado, e nos anos seguintes, fui
professor do Colégio Objetivo e do Colégio Duque de Caxias, ambos em Araraquara.
Essas escolas me proporcionaram um enorme aprendizado e evolução profissional
até o ano de 2008, quando me desliguei das mesmas para ingressar na rede
estadual de educação através da efetivação em concurso público para dois cargos
que exerço até os dias de hoje: o de professor do Centro Paula Souza ministrando
aulas na Etec Professora Anna de Oliveira Ferraz e o de professor da Secretária de
Educação do Estado de São Paulo. Pela Secretaria da Educação tive passagem em
16
várias escolas em diversas cidades até chegar a E.E João Manoel do Amaral em
Araraquara, lugar em que resido desde 2003.
Durante esses mais de trezes anos de docência sempre procurei
aprender com os mais experientes participando das discussões sobre os rumos da
educação, principalmente ouvindo os relatos de experiências vividas pelos colegas
professores para poder aplicar esse aprendizado em minhas aulas. O fruto dessas
experiências são questões que nos permitem realizar uma auto avaliação sobre o
trabalho como docente e sobre os rumos que escolhi na educação. Hoje me sinto
realizado, pois essa postura de aprender com os colegas professores aliada ao
aprendizado adquirido nesse curso de mestrado me renderam as ideias para
estruturar uma sequência didática inédita, como visto anteriormente.
1.3 – Escola
A Etec Profª Anna de Oliveira Ferraz foi criada em 23 de fevereiro de
1948 pela Lei Estadual no. 77, chamada na época, Escola Industrial, a qual extinguiu
o Núcleo de Ensino Profissional que vinha funcionando desde 1934 e encampando a
Escola Profissional Feminina Municipal, que funcionava juntamente com o Núcleo de
Ensino Profissional. Da junção destas duas escolas, nasceu a Escola Industrial
funcionando somente com classes femininas. Em 1950 ingressa a primeira turma
masculina e instala-se o curso de Mecânica de Máquinas. A equiparação da Escola
Industrial às demais escolas secundárias foi efetivada pelo Decreto Estadual no.
32.107, de 21 de janeiro de 1953. A Lei Estadual no. 3.904, de 18 de junho de 1957,
atribui como Patrona da Escola, a Profa. Anna de Oliveira Ferraz (1883-1932), de
temperamento dócil, rigor de caráter e de repassada bondade, consagrou toda a sua
vida ao ensino primário, numa época em que tudo era difícil e os recursos os mais
parcos imagináveis.
A preocupação de ensinar já lhe era natural e instala uma Escola para
Alfabetização dos Operários das Cerâmicas de Santa Gertrudes. Por essa razão a
Escola Industrial de Araraquara homenageou e reconheceu o seu trabalho
destacado e desenvolvido em prol do ensino, instituindo-a como Patrono da Escola.
Vale destacar que a professora Anna de Oliveira Ferraz era mãe do eminente
Ministro José Romeu Ferraz, figura representativa na época, que procurou fornecer
17
todo apoio ao desenvolvimento da nossa escola. Em 1965, através do Decreto
Estadual no. 44.533, de 18/02, passou a denominar-se "Ginásio Industrial". Em
1976, muda o nome para Centro Estadual Interescolar "Profa. Anna de Oliveira
Ferraz". Em 1980, volta a denominar-se Escola, mas "Escola Estadual de 2o. grau
Profa. Anna de Oliveira Ferraz", por dedicar-se a formação de técnicos e
profissionais para atuarem em Araraquara e região. Em 1994 passou a ser
administrada pelo Centro Paula Souza, procurando galgar posições como líder de
formação profissional. A ETEC “Professora Anna de Oliveira Ferraz” – 029 –
Araraquara está subordinada a Administração do Centro Paula Souza – CEETEPS –
autarquia Estadual de regime especial, vinculado à Secretaria de Desenvolvimento
do Governo do Estado de São Paulo.
O Centro Paula Souza constitui-se, hoje, numa das principais
Instituições Públicas de Educação Profissional do País, pela diversidade das áreas
de formação e regiões atendidas e pela quantidade de vagas oferecidas. A ETEC de
Araraquara está hoje inserida neste grande contexto, oferecendo 13 (treze)
Habilitações Técnicas, além do desenvolvimento de 11 (onze) turmas do Ensino
Médio e uma do Ensino Médio Integrado ao Técnico, o que se torna o principal
desafio desta estrutura, precisando ser adotadas novas formas de atuação, no
tocante ao atendimento, acompanhamento, assistência, orientação sobre a
necessidade de adequação de oferta de cursos nos diversos processos produtivos,
na organização do trabalho e nos perfis dos profissionais das habilitações a que se
propõem desenvolver no ano de 2015.
A Etec possui várias salas de aulas equipadas com TV, DVD, data
show e sistema de som, além de vários laboratórios para as aulas práticas dos seus
cursos técnicos. Tem também uma videoteca e uma biblioteca informatizada com
acesso à internet e um acervo aproximado de 2,5 mil livros. A localização
privilegiada da escola, no Centro de Araraquara, facilita o bom relacionamento com
todos da comunidade. Uma prova disso é o alto público frequentador, da cidade e da
região, das já tradicionais festas organizadas pela APM da escola, “Festa Junina” e
“Festa da Primavera”. Nos últimos três anos a escola foi premiada pelo IBTA, devido
ao desempenho do ensino médio nos exames do ENEM. Sempre buscando manterse como referência na formação técnica e profissional, a Etec vem, constantemente,
criando novos cursos e atualizando seu conteúdo didático-pedagógico procurando
suprir as necessidades do mercado regional.
18
Alinhado com os objetivos e metas do Centro Paula Souza, a ETEC de
Araraquara busca o desenvolvimento do aluno que atenda às expectativas da
comunidade onde se insere, voltado ao desenvolvimento tecnológico, econômico,
social e cultural da sociedade paulista, tendo como missão a formação de
profissionais de nível técnico para o parque industrial das várias áreas e serviços de
ensino, contribuindo com a geração de empregos e com o progresso econômico,
social, cultural e tecnológico do Estado de São Paulo.
19
Capítulo 2
TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS, ENGENHARIA
DIDÁTICA E AULA INÉDITA.
No primeiro capítulo relatamos que a autenticidade de uma aula inédita
na carreira desse professor passaria pela transição de uma aula tradicional
expositiva para outra mais dinâmica, que valorizasse o protagonismo do aluno. Para
tanto, elencamos três aspectos fundamentais que nos permitirão alcançar esse
objetivo, e de acordo com eles entendemos que os métodos que serão
apresentados abaixo satisfazem plenamente nossas expectativas.
2.1 – Teoria das Situações Didáticas
“A teoria das situações didáticas foi proposta pelo francês Guy Brousseau, no intuito
de compreender as relações existentes entre alunos, professores e o meio onde acontece o
aprendizado (sala de aula). Brousseau alega que cada conhecimento está ligado a um
tipo de situação, através da interação entre duas ou mais pessoas. Nessa teoria, o
aluno é tratado como um pesquisador, pois formula hipóteses, constrói modelos,
conceitos, estabelece teorias, faz comparações e o principal, participa ativamente no
processo de aprendizagem” 3.
Como vimos no trecho acima, seguir as orientações da Teoria das
Situações Didáticas nos permite colocar o aluno na situação de protagonista, que
justamente é um dos aspectos que objetivamos com nossa aula inédita.
Para Brousseau, “... devemos criar situações didáticas que façam
funcionar o saber, a partir dos saberes definido culturalmente nos programas
escolares.” (GALVEZ,1996, p. 32).
Com essa proposta, Brousseau pretende recriar artificialmente os
ambientes e as condições em que surgiram os saberes. Nesse contexto, o aluno faz
o papel do pesquisador e coloca a mão na massa observando e catalogando
padrões, criando e testando conjecturas, entre outros, ou seja, inserimos o aluno na
situação didática propícia para desenvolvermos determinado assunto, contribuindo
novamente para o protagonismo juvenil.
3
Trecho retirado do site: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/a-teoria-das-situacoes-didaticas.htm, Parágrafo 3,
as 15:00 h do dia 10/08/2013 Autor: Marcos Noé.
20
Dentre as relações existentes entre aluno, professor e sala de aula,
está uma espécie de contrato realizado entre as partes (professor e aluno) onde
cada qual fica responsável por executar suas tarefas e essas bem postas no início
da relação. Essa transparência também contribui para o aprendizado, segundo o
próprio Brousseau, e será utilizada por esse autor na elaboração da estratégia da
aula inédita e em todo o trabalho na sala de aula.
Almouloud (2007) indica como objetivo primordial da Didática da
Matemática a caracterização de um processo de aprendizagem por meio de uma
série de situações reprodutíveis, denominadas de situações didáticas, que
estabelecem os fatores determinantes para a evolução do comportamento dos
alunos. Assim, “[...] o objeto central de estudo nessa teoria não é o sujeito cognitivo,
mas a situação didática, na qual são identificadas as interações entre professor,
aluno e saber” (ALMOULOUD, 2007, p. 32), (apud POMMER, 2013, p.12).
Portanto, no terceiro capítulo também trataremos sobre quais situações
didáticas devemos investir para que a matemática financeira fique bem posta em
nossa sequência didática. Com essa postura, fica evidente que tecnologias como
planilhas eletrônicas e sites direcionados à Análise de Investimentos contribuem
para o aprendizado e também para nossa proposta já que o uso dessas ferramentas
transcende a características de uma aula expositiva.
2.2 – Engenharia Didática
A Engenharia Didática foi estruturada por Artigue (1996), de acordo
com os pressupostos idealizados por Brousseau. Posteriormente tornou-se um
método de pesquisa e interpretação de informações, oriundas da análise de algumas
tentativas de aprimorar o trabalho em sala de aula. Nesse contexto a Engenharia
Didática possibilita a concepção de situações de aprendizagem que depois de
aplicadas produzem subsídios que permitirão a análise da eficiência de aprendizado.
Portanto a Engenharia Didática contribui tanto na criação de sequências didáticas
quanto na verificação da eficácia das mesmas.
Por essa característica fundamental de possibilitar a criação de
situações de aprendizagem e posteriormente verificá-las temos na Engenharia
Didática uma nobre ferramenta que nos permite analisar com maior criticidade nosso
21
próprio trabalho pedagógico, amadurecido ao longo dos anos através da nossa
bagagem teórica e metodologia, bem como refletir sobre as intenções didáticas e
epistemológicas percebidas nos livros didáticos que adotamos. Juntas, essas
concepções tornam-se um norte que nos confiam maior segurança na preparação
de um material que possa ampliar o campo de ação docente.
Segundo Artigue (apud ALMOULOUD, 2007), a engenharia didática é
composta de quatro fases: a) Análises prévias; b) Construção das situações e
análise a priori; c) Experimentação; d) Análise a posteriori e validação. Portanto, a
interação entre as análises a priori e a posteriori nos fornece os comparativos
necessários para a verificação de aprendizado.
Sendo assim, os pressupostos pedagógicos até aqui discutidos nos
permitem a criação de mecanismos que irão suprir os dois últimos aspectos
pautadores da nossa aula inédita, visto que temos a possibilidade de aproximar os
relatos dos professores citados no primeiro capítulo e também criar um material que
trabalhe em nossos alunos a curiosidade de aprender.
Portanto, com os elementos da Teoria das Situações Didáticas e da
Engenharia Didática seremos capazes não só de traçar a estratégia pedagógica da
aula inédita, pautada nos três aspectos chaves, mas também analisar, através da
coleta de dados, o grau de eficiência da aplicação desta.
2.3 – Aula Inédita
“A
ideia de uma aula inédita deve ser uma novidade para você e também para muitos
estudantes que estão acostumados com aulas tradicionais.
Mas o que vem a ser uma aula inédita?
Em nossa concepção, a aula inédita significa uma aula que você nunca aplicou antes.
Dizemos isso principalmente do ponto de vista da estratégia pedagógica, pois do ponto
de vista do conteúdo talvez você já tenha esgotado, em anos anteriores, todos os
assuntos que fazem parte do planejamento anual de sua escola” 4.
De acordo com a introdução acima, uma aula inédita deve ser
composta de ações inovadoras. Devemos aplicar os conteúdos matemáticos e
utilizar o que sabemos sobre eles de uma forma planejada e sistematizada de
maneira a proporcionar algo diferente ao aluno.
4
Trecho retirado de Matem@tica na Pr@tica – Curso de especialização para professores do ensino médio de matemática –
Módulo III – Trabalho de Conclusão de Curso – página 12, Capítulo 2, Parágrafos 3,4 e 5, Vários Autores, ISBN: 978-8588696-95-2).
22
Na aplicação dessa aula inédita, devemos ter alguns cuidados para
garantir o sucesso dessa iniciativa. Entre eles está a garantia de possibilidade de
avaliação dos resultados e o compartilhamento dos mecanismos inovadores
encontrados na construção da estratégia com os colegas de profissão.
23
Capítulo 3
ESTRATÉGIA PEDAGÓGICA
3.1 – Planejamento da Aula Inédita.
Nessa seção apresentaremos a metodologia e as estratégias que
serão utilizadas no ensino sobre conceitos fundamentais em Matemática Financeira.
3.1.1 – Análise Prévia: Retomando os Propósitos.
1) Escolha do Tema: Escolhemos ensinar Matemática Financeira por
conta da grande contribuição que esse ramo da matemática traz para a vida das
pessoas, principalmente dos mais humildes, uma vez que vivemos em uma
sociedade capitalista e consumista, onde estão presentes grandes armadilhas, como
altos juros de financiamentos, de empréstimos, de cheque especial e principalmente
dos cartões de crédito que punem com rigor os desavisados. Esse fato pôde ser
notado no programa Globo Repórter que foi ao ar no dia 30/08/2013, cuja notícia
principal era o mau planejamento familiar praticado pela maioria das famílias
brasileiras. Nesse sentido, entendemos que aprender pelo menos as definições
elementares da matemática financeira contribui para que nossos jovens tenham
condições de realizar um bom planejamento financeiro pessoal e familiar. Outra
motivação para essa escolha é a percepção, durante esses anos todos como
professor, de que nossos alunos não têm uma educação financeira satisfatória.
Percebe-se uma enorme dificuldade inclusive nos cálculos básicos da matemática
financeira, entre eles a porcentagem. Secundariamente, temos na escolha desse
tema
uma
grande oportunidade
de revisar conteúdos importantes,
como
progressões geométricas, funções exponenciais e funções logarítmicas, que
também são utilizados em outras disciplinas, como Química, Física e Biologia, além
de favorecer a criação de ambientes para a leitura e escrita, contribuindo com a
disciplina de Português e também, de certo modo, oferecer apoio às disciplinas de
24
História e Geografia, quando às mesmas se referem a assuntos como Economia e
Política, trabalhando assim a interdisciplinaridade, que é elemento chave na
proposta pedagógica da Secretária da Educação do Estado de São Paulo.
2) O Papel da Análise de Investimentos: Escolhemos ensinar
matemática financeira através da Análise de Investimentos por entender que esse
tema trabalha em várias frentes da nossa estratégia. Como visto anteriormente, um
dos pontos chaves da nossa aula inédita é fazer algo de maneira diferente que
motive o aluno para o aprendizado. Desse ponto de vista, termos como Aplicações
Financeiras, Lucro, Otimização de Resultados e Investimentos, por exemplo,
aguçam a curiosidade do aluno e servirão como propaganda quando do convite para
a participação da aula inédita. Sob outra ótica, vimos através da leitura das ideias de
Brousseau e outros, que também será necessário criarmos cenários e situações
didáticas que permita ao aluno buscar conhecimento alicerçando-se nas suas
experiências escolares. Isso também será feito a partir de ideias encontradas na
Análise de Investimentos.
3) Conhecimentos Básicos: Seguindo as perspectivas da Engenharia
Didática, levaremos o aluno a aprender matemática financeira a partir dos seus
conhecimentos prévios e de um cenário proporcionado pela Análise de
Investimentos. Aqui, temos como conhecimento prévio aqueles que foram adquiridos
nos anos escolares anteriores, principalmente os pré-requisitos para a matemática
financeira, ou seja, porcentagem, razão e proporção, regra de três, função e
equação exponencial e logarítmica, progressões geométricas, entre outros.
4) Matemática Financeira: Tanto a matemática financeira quanto a
Análise de Investimentos são dotadas de tópicos que podem ser abordados em
vários níveis de aprofundamento. Posto isso e considerando nosso público alvo,
entendemos que devemos trabalhar em nossa aula inédita os conceitos de Juros
Simples, Juros Compostos, Equivalência de Taxas e Deslocamento de Quantias no
Tempo. Porém, nada impede que a estratégia aqui utilizada possa ser aplicada a
assuntos mais abrangentes da Matemática Financeira, entre eles as Séries de
Pagamentos Uniformes, Perpetuidades, os Sistemas SAC e PRICE de amortização
e as Planilhas de Financiamento.
5) Construção dos Cenários e Atividades: Para recriar os ambientes
propícios para o aprendizado da matemática financeira levando em conta que o
aluno deve ser protagonista, entendemos que as atividades devem ser compostas
25
por perguntas contextualizadas, que levem os alunos a encontrar a modelagem
matemática adequada para cada tópico ou atividades montadas na forma de jogos,
que simulem situações da vida real onde os alunos serão os gestores do dinheiro
frente às opções de compra, ou seja, situações em que uma análise de investimento
através da matemática financeira será crucial para a correta tomada de decisões.
Por alguns motivos, dentre eles o escasso tempo e a época da semana de provas
do colégio, utilizaremos textos contextualizados ao invés de jogos, deixando esses
para turmas futuras seguindo as características do famoso jogo “Banco Imobiliário” e
utilizando os princípios regidos pelo programa “Superação Jovem” mantido pelo
Instituo Ayrton Senna.
3.1.2 – Construção das Situações e Análise a Priori – Cronograma
3.1.2.1 – Propaganda - Criação de um Folder.
O primeiro passo para a aplicação de nossa sequência didática inédita
será a criação e distribuição de um Folder, que tem a finalidade de medir o interesse
dos alunos pela aula e pelo tema. Essa é a única função desse folder, que pode ser
encontrado no Anexo A, já que a aula inédita será aplicada a todos os alunos do
Terceiro Ano B da Etec Professora Anna de Oliveira Ferraz matriculados no ano
2015. Através dele contabilizaremos quantos alunos, dentre os quarenta da turma,
participariam da aula espontaneamente.
3.1.2.2 – Pesquisa de Opinião 1.
Antes da realização das atividades e com a finalidade de quantificar o
conhecimento prévio sobre matemática financeira para posterior comparação de
resultados, nossos alunos responderão duas pesquisas de opinião. Uma delas será
sobre as práticas habituais desse professor ao longo de todo o Ensino Médio. Nela
serão abordadas questões sobre aula expositiva e aula tradicional e o uso de
tecnologias durante as aulas. A outra tratará de assuntos sobre a quantificação de
saberes financeiros, tanto dos alunos quanto de seus familiares e do aprendizado de
26
matemática financeira em anos anteriores.
Ambas as pesquisas podem ser
encontradas no anexo B.
3.1.2.3 – Atividade 1 – Analisando Situações Cotidianas.
Essa primeira atividade tem como um de seus objetivos principais
apresentar situações cotidianas que simule a tomada de decisões através da Análise
de Investimentos e consequentemente através da Matemática Financeira, além de
possibilitar o estudo dos quatro temas que pretendemos ensinar. Para uma maior
familiaridade do leitor com nosso trabalho informarmos que essas situações
cotidianas serão destacadas em vermelho no layout da Atividade 1, que pode ser
encontrada no anexo C. De início, as referidas contextualizações promovidas por
essas situações cotidianas não serão resolvidas pelo corpo discente, isso será feito
na Atividade 2 como forma de verificação de aprendizado. O segundo objetivo da
Atividade 1 é fazer com que o aluno interaja com as ferramentas matemáticas
necessárias para o desenvolvimento da Atividade 2. Posto isso, destacamos que
logo abaixo de cada uma das situações cotidianas mencionadas anteriormente
faremos uma série de intervenções e questionamentos, inclusive com muitos
exercícios, que serão capazes de fornecer aos alunos os meios de discussão
necessários a resolução das mesmas. Esses questionamentos também serão
capazes de evidenciar graves equívocos cometidos pelos menos educados
financeiramente, principalmente erros de raciocínio sobre os referidos assuntos,
dando destaque a confusão feita com as taxas nominal, proporcionais e efetivas; a
diferença entre os regimes de juros simples e juros compostos, salientando que os
menos experientes acreditam que o primeiro parece ser o mais natural a ser usado
no dia-a-dia; além das confusões que são próprias da necessidade de tomadas de
decisões.
Metodologia: Os alunos serão divididos em dez grupos de quatro
integrantes, de maneira a favorecer o dialogo e promover discussões de opiniões.
Cada grupo receberá as atividades e um tempo para respondê-las, sem a
interferência do professor. Terminada essa fase, o professor fará os devidos
esclarecimentos
sobre
as
atividades
relacionadas aos pré-requisitos.
tirando
eventuais
dúvidas,
inclusive
27
É esperado que o corpo discente questione e se surpreenda com o
gabarito da atividade, uma vez que propositalmente queremos destacar os erros de
raciocínio frente aos elementos da matemática financeira. Esperamos também que,
terminada essa primeira atividade e os devidos esclarecimentos, o aluno tenha
adquirido conhecimentos relevantes, sobretudo do significado de capitalização
mensal, taxas nominais e efetivas, além de dominar plenamente o uso das fórmulas
de equivalência de capitais e de montante para juros compostos. Também
esperamos alguma habilidade no deslocamento de quantias no tempo, porém com
menos intensidade em relação à observada nos aprendizados anteriores.
Acreditamos que serão necessários de quatro a seis aulas para
aplicação e esclarecimentos sobre a Atividade 1, que por sinal serão feitos com uso
de computador e projetor eletrônico como forma de destacar o uso das tecnologias
em benefício do aprendizado.
Gostaríamos de salientar que o leitor interessado em aplicar essa aula
em uma de suas turmas pode e deve adaptá-la aumentando, diminuindo ou até
mesmo substituindo as questões por outras, de acordo com as necessidades e
características dos alunos.
Com a intenção de elencar fatos que permitam uma análise à priori da
real situação dos alunos, dividimos nossa atividade em cinco partes. A primeira é
dedicada ao aprendizado dos termos básicos como juro, taxa de juro, capital inicial,
montante, entre outros. Para realizar essa atividade recorremos a vídeo aulas
disponibilizadas pelo IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada), a
textos de alguns autores e a exercícios básicos de fixação de conteúdo encontrados
principalmente no livro A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 produzido pela
Sociedade Brasileira de Matemática.
Na segunda parte, além de textos, faremos uso de planilhas de cálculo
e de exercícios mais elaborados com a intenção de levar o aluno a descobrir, por
exemplo, que juros de 2% ao bimestre não são iguais a juros de 1% ao mês,
aplicados durante dois meses, além de preparar o aluno para os conteúdos da etapa
posterior.
A terceira etapa é praticamente o ápice da atividade, pois é nela que se
dá a conjectura da fórmula fundamental do regime de juros compostos; a diferença
entre os regimes de juros simples e juros compostos; e a apresentação da fórmula
28
de equivalência de capitais, que é essencial para a análise de investimentos pelo
fato de nos tornar capazes de deslocar quantias no tempo.
Uma vez bem ambientados os conceitos citados a pouco, somos
capazes de trabalhar com taxas nominais, proporcionais e efetivas. Isso será feito na
quarta etapa, destacando que as instituições financeiras podem se beneficiar dos
menos avisados sobre o real valor de uma dívida.
E por último, na quinta etapa, exemplos de como podemos usar o
conceito de juros simples através do cálculo de multa e juros de mora serão
elucidados pelo professor com auxílio do quadro negro.
3.1.2.4 – Atividade 2 – Retomando as Situações Cotidianas.
A Atividade 2 tem por objetivo verificar, através da resolução de
situações problemas, se o aluno assimilou o conteúdo ensinado nas atividades
anteriores. Essas situações problemas são as mesmas que foram destacadas em
vermelho na Atividade 1.
Metodologia: Novamente os alunos se organizarão em dez grupos de
quatro integrantes, preferencialmente formando os mesmos grupos da Atividade 1,
para a resolução dos exercícios. Para a execução dessas atividades acreditamos
que uma ou duas aulas serão suficientes e após o termino da atividade o professor
fará as considerações necessárias através do quadro negro.
É esperada alguma dificuldade por parte dos alunos na resolução dos
exercícios sobre deslocamento de quantias no tempo por conta da pouca
familiarização com esse tipo de abordagem da matemática financeira. Nesse
sentido, o uso de planilhas eletrônicas e até mesmo de calculadoras científicas
serão permitidos para a execução das atividades.
É importante esclarecer que existem exercícios de matemática
financeira, sobretudo os utilizados em apostilas para concursos públicos, cujos
enunciados possuem termos que não são devidamente elucidados. Espera-se que,
após essas atividades, o aluno seja capaz de identificar nos textos financeiros,
mesmo aqueles mal formulados, a real situação ofertada pelo credor. Por exemplo,
ao ler que a taxa de juros será de 4% a.m o aluno já terá em mente que a
capitalização é mensal e que o regime utilizado é o de juro composto.
29
Portanto, a Atividade 2, que pode ser encontrada no anexo D, é uma
espécie de análise à posteriori por ter a característica de confirmar se houve ou não
aprendizado significativo dos conteúdos.
3.1.2.5 – Pesquisa de Opinião 2.
Após a realização das atividades os alunos responderão a três
pesquisas de opinião que podem ser encontradas no anexo E. A primeira delas trata
da avaliação pessoal sobre o curso onde os alunos terão a oportunidade de tecer
comentários sobre a iniciativa do professor em montar essa sequência didática,
sobre os benefícios que esse aprendizado traz para a sua vida estudantil, entre
outros. A segunda aborda as diferenças entre uma aula tradicional e uma aula mais
tecnológica catalogando as impressões que os alunos tiveram sobre a diferença de
abordagem dos tópicos. E a terceira nada mais é do que a repetição de algumas
questões de pesquisas anteriores para comparação à priori e à posteriori.
3.2 – Aplicação da Aula Inédita.
No dia 23 de setembro de 2015, sete horas da manhã, iniciamos a
aplicação da nossa aula sobre matemática financeira. Nesse dia ficamos toda a
manhã única e exclusivamente para esse fim, graças a um acordo feito com os
colegas professores que gentilmente cederam suas aulas para que a atividade
acontecesse.
Foto 1: Alunos em Grupo
Fonte: Próprio autor
Inicialmente, escolhemos uma sala de aula equipada com multimídia e
os alunos foram divididos em grupos de quatro pessoas. Dos quarenta alunos
30
matriculados nessa classe apenas um faltou. Em seguida foram distribuídas aos
alunos as pesquisas de opinião individual apresentadas no item 3.1.2.2 – Pesquisa
de Opinião 1 sobre as práticas habituais desse autor como professor durante os
últimos anos letivos e sobre os conhecimentos de matemática financeira que cada
um adquiriu durante sua educação básica, que foram respondidas e recolhidas
prontamente. Logo depois foi distribuída a Atividade 1 que se iniciou com as boas
vindas, seção Leia e Responda e o vídeo exibido pelo Globo Repórter. Os alunos
fizeram em grupo as atividades relativas a esses e os demais tópicos e em seguida
partimos para o item I – Conhecendo as principais definições da matemática
financeira. Nesse item assistimos o Vídeo 1 e respondemos as atividades relativas a
esse tópico, com destaque para o exercício 1.
Foto 2: Resolvendo a Atividade 1
Fonte: Próprio autor
No item II, fizemos a seção Leia e Responda, as situações cotidianas e
os exercícios. Um dos pilares dessa aula é o protagonismo dos alunos e a menor
31
intervenção possível por parte do professor. Porém, nesse momento foi necessária a
intervenção do professor para fixar a ideia de período e a ideia de capitalização
mensal. Foi elucidado aos alunos que período é o tempo combinado entre as partes
para que ocorra a capitalização dos juros, e que a quantidade de períodos em um
empréstimo pode variar de acordo com as possibilidades do tomador do
empréstimo. Nesse sentido, surge a ideia de montante que nada mais é do que o
capital do início do período somado aos juros gerados nesse mesmo período e que
o montante gerado ao final de um período será o capital inicial do período seguinte.
Foto 3: Resolvendo Exercícios
Fonte: Próprio autor
No item III – Descobrindo uma fórmula mágica, fizemos a dedução da
fórmula fundamental do regime de juros compostos e a relacionamos com
deslocamento de quantias no tempo. Nessa fase os alunos foram levados a um dos
laboratórios de informática que a escola dispõe para ter contato com o uso de
planilhas eletrônicas e efetuarem os cálculos de juros.
32
Foto 4: Laboratório de Informática
Fonte: Próprio autor
No item IV – Nem tudo que reluz é ouro, os alunos resolveram os
exercícios, em especial aqueles que mostravam a diferença entre taxa nominal e
taxa efetiva, sempre relacionada a ideia de taxas equivalentes. E no item V – A
função do regime de juros simples no sistema monetário brasileiro os alunos
assistiram um vídeo sobre a opinião do professor Morgado a respeito desse regime,
e logo em seguida fizemos, como exemplo da aplicação de juros simples no sistema
monetário brasileiro, o cálculo de multa de juros de mora de uma duplicata bancária.
Em seguida, para finalizar, mostramos a relação entre o número de Euler e a
caderneta de poupança, baseada em uma atividade do material matemática na
prática já citado anteriormente.
Foto 5: Projeção da Atividade 1
Fonte: Próprio autor
33
No dia 24 de Setembro de 2015, nas duas primeiras aulas da manhã,
os alunos novamente se reuniram em grupo para resolver os exercícios da Atividade
2. Estiveram presentes trinta e quatro alunos. Nessa aula o professor tirou algumas
duvidas sobre a matéria e o uso de equipamentos como celular com calculadora
cientifica fizeram parte da resolução dos exercícios. No final fizemos uma breve
correção dos exercícios e os alunos responderam duas pesquisas de opinião sobre
suas impressões acerca da aula e uma contendo quatro questões utilizadas em
pesquisas anteriores que podem ser encontradas no anexo E dessa dissertação de
mestrado.
3.3 – Resolução (Gabarito) das Atividades.
Abaixo apresentaremos a resolução das Atividades 1 e 2 e para efeito
de tabulação de dados esperamos que o corpo discente tenha respondido as
questões de maneira semelhante as respostas encontrada nesse seção.
3.3.1 – Atividade 1
EXERCÍCIO 1: Paulo toma emprestado R$100,00 de Carlos. Após um mês, Carlos
recebe de Paulo R$ 110,00. Responda:
a) Quem é o tomador?
Resposta: O tomador do empréstimo é Paulo.
b) Quem é o credor?
Resposta: O credor é Carlos.
c) Qual é o valor do Juro?
Resposta: Sabendo que M  C  J  J  M  C  J  R$110,00  R$100,00  J  R$10,00 ,
temos, portanto, que o valor do juro é R$10,00.
d) Qual é a Taxa de juro?
Resposta: Sabendo que i 
J
10,00
1
i
 i   i  0,1  i  10% a.m , temos,
C
100,00
10
portanto, que a taxa de juro é 10% ao mês.
e) Qual é a operação básica da matemática financeira?
34
Resposta: A operação básica da matemática financeira é a operação de
empréstimo.
Situação 1: Fábio e Tomas tomaram emprestados a mesma quantia. O primeiro
contratou a uma taxa de juro de 2% ao mês enquanto que o segundo contratou a
uma taxa de juro de 4% ao bimestre. Sabendo que os dois quitaram os respectivos
empréstimos após dois meses da contratação, responda:
a) Ao responder o item (d) do exercício 1 você atentou para o fato de que a taxa e o
período “caminham sempre juntas”?
Resposta: Sim, atentei.
b) Qual é o período da operação feita por Fábio?
Resposta: O período da operação feita por Fábio é um mês, já que a taxa contratada
por ele mostra uma capitalização mensal.
c) Qual é a taxa de juro contratada por Fábio?
Resposta: A taxa de juro contratada por Fábio é 2% a.m.
d) Qual é o período da operação feita por Tomas?
Resposta: O período da operação feita por Tomas é de dois meses, já que a taxa
contratada por ele mostra uma capitalização bimestral.
e) Qual é a taxa de juro contratada por Tomas?
Resposta: A taxa de juro contratada por Tomas é 4% ao bimestre.
f) Quantos períodos existem na operação de Fábio?
Resposta: Na operação de Fábio existem dois períodos de um mês.
g) Quantos períodos existem na operação de Tomas?
Resposta: Na operação de Tomas existe um período de dois meses.
h) Escreva resumidamente o que seria um período.
Resposta: Período é o espaço de tempo necessário para que ocorra a capitalização
dos juros sobre o valor de uma dívida. Gostaríamos ainda de salientar que os juros
são cobrados, conforme é natural sobre a dívida do início do período.
EXERCÍCIO 2: Em relação a situação de Fábio e Tomas abordada no exercício
anterior, é correto dizer que:
a) (
) Ambos pagarão, ao final da operação, a mesma quantia.
b) (
) Fábio pagará, ao final da operação, menos do que Tomas.
c) ( X ) Fábio pagará, ao final da operação, mais do que Tomas.
Resolução: Supondo que a quantia emprestada seja de x reais temos que Fábio
pagará daqui a um mês x.1,02 e daqui a dois meses (x.1,02).1,02 = 1,0404.x já que
35
a capitalização dos juros nessa operação é mensal a uma taxa de 2% ao mês
enquanto que Tomas pagará daqui a dois meses x.1,04 já que a capitalização dos
juros nessa operação é bimestral a uma taxa de 4% ao bimestre. Portanto, Fábio
pagará mais do que Tomas conforme pudemos observar.
EXERCÍCIO 3: Observe as seguintes situações e responda:
a) José tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 2% ao bimestre.
Quanto pagará após dois meses? Quanto pagaria após dois meses se a taxa fosse
de 1% a.m?
Resposta: O pagamento após dois meses com uma taxa de 2% ao bimestre é
100.1,02 = 102 reais enquanto que o pagamento após dois meses com uma taxa de
1% ao mês é 100.(1,01).(1,01) = 102,01. (Nota: Veremos mais adiante que juros de
1% ao mês são proporcionais a juros de 2% ao bimestre e são equivalentes a juros
de 2,01% em dois meses. Em operações bancarias temos que 1% ao mês é a taxa
nominal e 2,01% é a taxa efetiva).
b) Jorge tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 4% ao bimestre.
Quanto pagará após dois meses? Quanto pagaria após dois meses se a taxa fosse
de 2% a.m?
Resposta: O pagamento após dois meses com uma taxa de 4% ao bimestre é
100.1,04 = 104 reais enquanto que o pagamento após dois meses com uma taxa de
2% ao mês é 100.(1,02).(1,02) = 104,04. (Nota: Veremos mais adiante que juros de
2% ao mês são proporcionais a juros de 4% ao bimestre e são equivalentes a juros
de 4,04% em dois meses. Em operações bancarias temos que 2% ao mês é a taxa
nominal e 4,04% é a taxa efetiva).
c) Lucas tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 3% ao trimestre.
Quanto pagaria após três meses? Quanto pagaria após três meses se a taxa fosse
de 1% a.m?
Resposta: O pagamento após três meses com uma taxa de 3% ao trimestre é
100.1,03 = 103 reais enquanto que o pagamento após três meses com uma taxa de
1% ao mês é 100.(1,01).(1,01).(1,01) = 103,03. (Nota: Veremos mais adiante que
juros de 1% ao mês são proporcionais a juros de 3% ao trimestre e são equivalentes
a juros de 3,03% em três meses. Em operações bancarias temos que 1% ao mês é
a taxa nominal e 3,03% é a taxa efetiva).
EXERCÍCIO 4: Observe abaixo as duas resoluções da segunda parte do item (c) do
exercício anterior e assinale aquela que mais se assemelha a sua resolução.
36
a) ( ) 1% de 100 é 1. Como se passaram 3 meses, temos 3 x 1 = 3 reais de juros,
logo Lucas pagaria após três meses 103 reais.
b) ( X ) 1% de 100 é 1. Logo, após 1 mês temos 101 reais. 1% de 101 é 1,01. Logo,
após 2 meses temos 101 + 1,01 = 102,01 reais. 1% de 102,01 é 1,0201. Portanto,
Lucas pagará após três meses 102,01 + 1,0201 = 103,0301 (103,03 reais
aproximadamente).
Resolução: A primeira opção não é correta, pois fere a definição de capitalização
mensal que exige que a taxa de juros seja aplicada, conforme é natural, ao valor da
dívida no início do período e não ao valor da dívida em um passado recente.
EXERCÍCIO 5: Resposta pessoal.
EXERCÍCIO 6: De acordo com o aprendido no VÍDEO 2, analise o exercício 4 e
responda qual é o único caminho a ser seguido, do ponto de vista da matemática
financeira.
( ) Caminho seguido em (a)
( x ) Caminho seguido em (b)
Resolução: Feita no exercício 4.
Situação 2: Baltazar deseja fazer um empréstimo de 100 reais que serão pagos
dentro de 10 meses. Ao consultar um banco, descobriu que a taxa de juros é de
10% a.m (com capitalização mensal). Com o uso do Excel, vamos calcular mês a
mês, as opções de pagamento que Baltazar dispõe até o final da operação.
Sua planilha deve ficar com o seguinte aspecto.
De acordo com a planilha responda.
a) Quanto Baltazar pagaria se resolvesse quitar a dívida após um mês da data de
contratação do empréstimo?
Resposta: Baltazar pagaria, após um mês da data de contratação do empréstimo,
R$110,00.
37
b) Quanto Baltazar pagaria se resolvesse quitar a dívida após dois meses da data de
contratação do empréstimo? Você concorda com esse valor?
Resposta: Baltazar pagaria, após dois meses da data de contratação do
empréstimo, R$121,00. Concordo, pois estou de acordo com o aprendizado das
atividades anteriores que esclarecem o conceito de capitalização.
c) Ao analisar a tabela, Baltazar teve a seguinte dúvida:
“Como são juros de 10% a.m, em dois meses terei que pagar 20% de juros, logo
tenho que pagar ao banco 100 . 1,2 = 120 reais e não 121 reais”.
Você concorda com a opinião de Baltazar? ( )Sim ( x )Não.
Comente: Já vimos em atividades anteriores que os juros devem ser cobrados sobre
a dívida do início do período.
d) Qual é a principal característica do Regime de Juros Compostos?
Resposta: A principal característica dos juros compostos é que os mesmos são
cobrados, conforme é natural, sobre a dívida do início do período. (Nota: Algumas
pessoas mais antigas dizem que o regime de juros compostos é aquele que cobra
“juro sobre juros”. Essa visão é totalmente inadequada uma vez que sabemos a
definição rigorosa de período e de capitalização).
EXERCÍCIO 7: Joãozinho fez o seguinte acordo com seu pai: Por cada média 10
recebida em seu boletim escolar ele ganharia um prêmio extra de 10% do valor de
sua mesada. Sabendo que a mesada de Joãozinho é de R$100,00 e que esse mês
ele conseguiu média 10 apenas em matemática, calcule quanto ele receberá de seu
pai.
Resolução: De acordo com o enunciado temos: 100,00.1,1 = R$ 110,00, ou seja, ele
receberá R$110,00.
Situação 3: Após a entrega do boletim é chegada a hora do acerto entre Joãozinho e
seu pai. Analise abaixo os métodos de resolução aplicados por eles e responda:
(*) Joãozinho
Inicialmente constatou que 10% = 10 = 0,1.
100
Em seguida fez 100 . 0,1 = 10.
E finalmente efetuou 100 + 10 = 110.
(**) Seu pai
Inicialmente fez 100% + 10% = 110% = 110 = 1,1.
100
38
Em seguida fez 100.1,1 = 110,00.
Qual dos métodos acima mais se assemelha ao usado por você para responder o
exercício 7?
(*) (
)
(**) ( x )
Resolução: Espera-se que os alunos dominem o segundo método de resolução.
Situação 4:
M 2  M1 . 1,1  M 2  100 . 1,1 . 1,1  M 2  100 . (1,1) 2
Usando esse mesmo raciocínio, preencha os parênteses.
M 3  M 2  . 1,1  M 3  (100.(1,1) 2 ) . 1,1  M 3  100 . (1,1) 3
M 4  M 3 . 1,1  M 4  (100.(1,1)3 ) . 1,1  M 4  100 . (1,1)4 
M 5  M 4  . 1,1  M 5  (100.(1,1) 4 ) . 1,1  M 5  100 . (1,1) 5
Como seria a expressão para M 6 ? E para M 10 ? E para M n onde n é uma
quantidade de períodos qualquer?
Resposta: De acordo com o raciocínio anterior, temos:
M 6  100 . (1,1) 6  ;
M10  100 . (1,1) 10 e M n  100 . (1,1) n  .
Situação 5: Observe a planilha do Excel usada no exercício 4.
a) Dívida o valor da célula B2 por 1,1. Que resultado encontrou?
Resposta: Encontrei como resultado o valor 100.
b) Dívida o valor da célula B1 por 1,1. Que resultado encontrou?
Resposta: Encontrei como resultado o valor 90,90.
2
c) Sabendo que (1,1) 2  1,21 , dívida o valor da célula B2 por (1,1) . Que resultado
encontrou?
Resposta: Encontrei como resultado o valor 90,90.
d) Multiplique o valor da célula B1 por 1,1. Que resultado encontrou?
39
Resposta: Encontrei como resultado o valor 110.
e) Multiplique o valor da célula B2 por 1,1. Que resultado encontrou?
Resposta: Encontrei como resultado o valor 121.
f) O que devo fazer para saber o valor do meu dinheiro daqui a dois meses, sabendo
que ele me rende 10% ao mês? E daqui a três meses? E daqui a quatro meses?
3
2
4
Resposta: Devemos multiplicar o dinheiro por (1,1) ; (1,1) e (1,1) , respectivamente.
g) O que devo fazer para saber quanto valia meu dinheiro dois meses atrás,
sabendo que ele me rende 10% ao mês? E a três meses atrás? E a quatro meses
atrás?
3
2
4
Resposta: Devemos dividir o dinheiro por (1,1) ; (1,1) e (1,1) , respectivamente.
EXERCÍCIO 8: Juros de 10% ao mês darão em dois meses juros de:
a) 20%
b) 21%
c) 120%
Resolução: Alternativa b, pois devemos fazer (1,1).(1,1) = 1,21 que significa 121%,
ou seja, um aumento de 21% em relação ao valor inicial.
EXERCÍCIO 9:
Senhor Carlos encontrou o panfleto rasgado acima.
Nos dizeres aparece a seguinte frase incompleta: “Juros de 10% ao mês, ou seja,
juros que em dois meses darão _____________”. É sabido que o senhor Carlos tem
bons conhecimentos de matemática financeira, portanto, ele escolheria qual das três
opções abaixo para completar a frase do panfleto?
a) Juros de 20%
b) Juros de 21%
c) Juros de 120%
Resposta: Alternativa b, de acordo com o exposto no exercício anterior.
Situação 6: Pedro recebe o seguinte e-mail do gerente de sua conta bancária.
Boa tarde senhor Pedro!
Conforme solicitado e de acordo com o seu perfil de cliente, gostaria de informar que
a taxa de juros para o senhor será de 4% ao mês.
Atenciosamente!
Gerente
40
Admitindo que Pedro faça o empréstimo nas condições impostas pelo gerente e que
seja possível pagar a dívida após três meses da contratação, calcule quanto ele
pagará de juros por essa operação.
a) 12% a.t
b) 4% a.m
c) 12,48% a.t
d) 112%a.t
3
Resolução: Basta fazer (1,04)  1,124864 que significa 112,48% aproximadamente,
ou seja, 12,48% de juros.
EXERCÍCIO 10: Salim deseja fazer um empréstimo e pesquisou a taxa de juro em
dois sites de instituições financeiras diferentes. Segue abaixo as informações
colhidas pelo senhor Salim.
Banco A
Banco B
CDC – Crédito Direto ao Consumidor
Data do contrato: __/__/__
Ag./Conta Débito:
Taxa de Juros: 2,54% a.m 35,12% a.a
Qtde de prestações:
Dia do Débito:
Valor Solicitado:
.
.
CDC – Crédito Direto ao Consumidor
Data do contrato: __/__/__
Ag./Conta Débito:
Taxa de Juros: 2,54% a.m 30,48% a.a
Qtde de prestações:
Dia do Débito:
Valor Solicitado:
.
.
.
.
Salim observou que a taxa de Juro mensal é a mesma (2,54%), porém, a taxa de
Juro anual é menor no banco B.
a) Qual Banco tem a melhor opção para a aquisição do empréstimo?
Resposta: Os dois bancos tem a mesma opção, já que a capitalização é mensal e os
dois possuem mesma taxa de juros ao mês.
b) O que representa a Taxa Anual do Banco A e o que representa a Taxa anual do
Banco B?
Resposta: A taxa anual do Banco A representa os juros que efetivamente serão
cobrados dentro de um ano enquanto que a taxa anual do Banco B representa a
taxa proporcional aos juros mensais.
c) Qual é a intenção do Banco B ao apresentar essa taxa?
Resposta: A intenção é atrair maior numero de clientes com a falsa ideia de que sua
opção é melhor que a do banco concorrente.
EXERCÍCIO 11: Destacamos algumas situações do dia-a-dia das pessoas para uma
melhor análise. Leia atentamente cada uma delas! Para responder as questões 1, 2
e 3, suponha que você deseja pagar uma conta de R$100,00 em uma loja e admita
que seu dinheiro lhe renda 10% ao mês.
1) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) ( ) Pagar R$100,00 agora ou;
41
(b) ( ) Pagar R$ 110,00 daqui a um mês.
Resolução: Pagar 100 reais agora ou pagar 110 reais daqui a um mês é indiferente,
pois se deslocarmos as quantias de modo que fiquem na mesma época os valores
serão iguais.
2) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) (
) Pagar R$100,00 agora ou;
(b) ( x ) Pagar R$ 105,00 daqui a um mês.
Resolução: Pagar 100 reais agora ou pagar 110 reais daqui a um mês é indiferente,
pois se deslocarmos as quantias de modo que fiquem na mesma época os valores
serão iguais. Portanto, devemos escolher pagar menos (105 reais) daqui a um mês.
3) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) ( x ) Pagar R$100,00 agora ou;
(b) (
) Pagar R$ 120,00 daqui a um mês.
Resolução: Pagar 100 reais agora ou pagar 110 reais daqui a um mês é indiferente,
pois se deslocarmos as quantias de modo que fiquem na mesma época os valores
serão iguais. Portanto, devemos escolher pagar menos (100 reais) hoje.
EXERCÍCIO 12: Qual é a intenção do professor Morgado ao explicar Juros Simples
com a anedota do “Conto de Fadas”?
Resposta: Pessoal.
3.3.2 – Atividade 2
1) Lúcia tomou um empréstimo de 100 reais, dois meses após pagou 140 reais.
Quanto é o Juro? Qual é a Taxa de Juro? Qual é o Capital Inicial? Qual é o
Montante?
Resolução:
De acordo com as definições vistas durante a aula temos:
(i) J  M  C  140 100  40 , ou seja, os juros são de 40 reais.
(ii) I 
J
40

 40% , ou seja, 40% ao bimestre.
C 100
(iii) O capital inicial é o valor sobre o qual recaem os juros, ou seja, 100 reais.
(iv) M  C  J  100  40  140 , ou seja, o montante é de 140 reais.
42
2) Manoel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao mês. Após
um mês, qual será o valor da dívida? E após dois meses?
Resolução:
De acordo com as definições vistas durante a aula temos:
(i) M  C0 .(1  i)  M  100.(1  0,10)  M  100.(1,10)  M  110 , ou seja, 110
n
1
1
reais.
(ii) M  C0 .(1  i)  M  100.(1  0,10)  M  100.(1,10)  M  100.1,21  M  121 , ou seja, 121
n
2
2
reais.
3) Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o montante de Pedro
três meses depois?
Resolução:
De acordo com as definições vistas durante a aula temos:
M  C0.(1  i)n  M  150.(1  0,12)3  M  150.(1,12)3  M  150.1,404928  M  210,74 , ou seja,
o montante será de 210,74 reais.
4) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor.
i) três prestações mensais de 160 cada.
ii) sete prestações mensais de 70 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro
vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Resolução:
Quando o texto afirma que o dinheiro vale para Pedro 2% ao mês, está querendo
salientar que a taxa de juros é 2%, assim, temos os seguintes esquemas de
pagamento:
0
1
2
(i) 160 160 160
0
1
2
3
4
5
6
(ii) 70 70 70 70 70 70 70
Comparando os dois esquemas de pagamento em uma mesma data qualquer (data
focal), digamos na data 0, temos:
(i) 160 
160 160

 160  156,86  153,78  470,64
1,02 1,02 2
(ii) 70  70  70 2  70 3  70 4  70 5  70 6  70  68,62  67,28  65,96  64,66  63,40  62,15  462,07
1,02 1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
43
Note que na mesma data (data focal) o esquema (ii) é mais vantajoso, pois custa
menos que o esquema (i).
5) Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
i) A vista, com 30% de desconto.
ii) Em duas prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira um
mês após a compra.
iii) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da
compra.
Qual é a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Resolução:
Sem perda de generalidade, podemos fixar o valor da dívida em 30 reais. Assim,
temos os seguintes esquemas de pagamento:
0
(i) 21
0
1
(ii)
2
15 15
0
1
2
(iii) 10 10 10
Comparando os três esquemas de pagamento em uma mesma data qualquer (data
focal), digamos na data 0, temos:
(i) 21
(ii)
15
15

 12  9,60  21,60
1,25 1,25 2
(iii) 10 
10
10

 10  8  6,40  24,40
1,25 1,252
Note que na mesma data o esquema (i) é mais vantajoso, pois custa menos que os
outros dois esquemas.
6) Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) a vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo
paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Resolução:
Sem perda de generalidade, podemos fixar o valor da dívida em 10 reais. Assim,
temos os seguintes esquemas de pagamento:
44
0
(i) 7
0
1
(ii) 5 5
Comparando os dois esquemas de pagamento em uma mesma data qualquer (data
focal), digamos na data 0, temos:
(i) 7
(ii) 5 
5
(1  i )1
Daí: 7  5 
5
5
 7.(1  i )1  5.(1  i )1  (1  i )1.
 7  7.i  5  5.i  5 
1
(1  i )
(1  i )1
 7i  5i  5  7  5  2i  3  i 
3
 i  1,5 . Portanto, os juros embutidos são de
2
150%.
7) Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo você dobrará seu
capital inicial?
Resolução:
De acordo com o enunciado temos C  2.C0 .
Daí: C  C0 .(1  i)n  2C0  C0 .(1  0,08)n  2C 0  C 0.(1,08)n  2  (1,08)n  log 2  log(1,08)n 
log 2  log(1,08)n  log 2  n. log(1,08)  n 
log 2
0,3010
n
 n  9 , portanto,
log(1,08)
0,0334
após 9 meses.
8) Qual é a taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês?
Resolução:
De acordo com as definições vistas durante a aula temos:
1  I  (1  i)n  1  I  (1  0,12)12  1  I  (1,12)12  1  I  3,8959  I  3,8959  1 
I  2,8959  I  289%
9) Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalização mensal.
Qual a taxa anual de juros a qual está investido o capital de Verônica?
Resolução:
Juros de 6% ao ano, com capitalização mensal, são proporcionais a juros de 6% : 12
= 0,5% ao mês e são equivalentes a:
45
1  I  (1  0,005)12  1  I  (1,005)12  1  I  1,06167  I  1,06167 - 1  I  0,06167 ,
portanto, juros de 6% ao ano são proporcionais a juros de 0,5% ao mês e são
equivalentes a juros efetivos de 6,16% ao ano.
10) Qual é a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com
capitalização mensal?
Resolução:
Juros de 24% ao semestre, com capitalização mensal, são proporcionais a juros de
24% : 6 = 4% ao mês e são equivalentes a:
1  I  (1  0,04)6  1  I  (1,04)6  1  I  1,2653  I  1,2653 - 1  I  0,2653 , portanto,
juros de 24% ao semestre são proporcionais a juros de 4% ao mês e são
equivalentes a juros efetivos de 26,53% ao semestre.
46
Capítulo 4
DEFINIÇÕES, TEORIAS E DEMONSTRAÇÕES.
Nesse capítulo apresentaremos as bases teóricas utilizadas na
elaboração das atividades utilizadas nessa dissertação.
Como em tudo há sempre um ponto de partida, o nosso será o de
admitir que o leitor esteja familiarizado com alguns conceitos básicos da matemática,
principalmente o conceito de função e toda a matemática dos conjuntos numéricos
necessárias para o entendimento deste.
4.1 – Notas Históricas da Matemática Financeira.
Obviamente não existe uma data correta para o surgimento da
Matemática Financeira. O que existe é uma infinidade de fatores que contribuíram
ao longo de milhares de anos para a formação desse conceito que aqui estudamos
com certo grau de profundidade. Portanto nosso objetivo aqui não é montar um
curso completo de história da Matemática Financeira e sim apenas fazer um breve
relato de alguns fatos interessantes que não necessariamente estarão listados
cronologicamente.
Assim, o que sabemos é que os conceitos, principalmente o de juro,
são bem conhecidos, divulgados e utilizados a tempos. Acredita-se que a ideia de
juro surgiu naturalmente quando o homem percebeu a estreita relação entre o
dinheiro e o tempo. A descoberta de antigas tábuas de cálculos, baseadas no
sistema sexagesimal posicional dão conta de que os antigos Sumérios já utilizavam
conceitos como empréstimos, juros simples, juros compostos, nota promissória,
entre outros, na distribuição e comercialização de produtos agrícolas.
Outros indícios de que a humanidade já dominava o conceito de juro
surgiram em textos babilônios antigos. Por volta de 2.000 a.C já existiam relações
comerciais baseadas nos juros que usavam sementes e outros bens como forma de
pagamento.
47
Registros históricos dão conta de que também na Babilônia, por volta
de 575 a.C já existia uma firma de banqueiros internacionais que cobravam juros
pelo empréstimo de dinheiro para o financiamento do comércio.
Existem hoje expostas à visitação do público, tábuas contendo
problemas antigos sobre juros. Algumas delas podem ser vistas nas coleções de
Berlin, de Yale, de Istambul e do Louvre. Em uma tábua do museu do Louvre, de
cerca de 1700 a.C há o seguinte problema: “Por quanto tempo deve-se aplicar uma
certa quantia de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?”
Figura 1:Tábua com o Sistema Escrita dos Sumérios
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-financeira.htm
Com o desenvolvimento do artesanato e da cultura dos diferentes
povos antigos houve maior comunicação possibilitando o surgimento de alguma
relação de comércio, entre elas o escambo, que se caracterizava pela troca direta de
mercadorias. Com o passar dos anos tivemos a intensificação das transações
comerciais e a troca direta de mercadorias evoluiu para um sistema relativamente
estável de avaliações e equivalências tornando possível estimar o valor de um bem.
Um exemplo disso é o fato de que a primeira unidade de escambo admitida na
Grécia Pré-Helênica (VI – IV a.C.) foi o boi. Em alguns lugares apareceram como
unidade o colar de pérolas e em outros o tecido.
Mais adiante na história, essa unidade de escambo passou a ser
desempenhada cada vez mais por metais, surgindo assim a moeda como forma de
pagamento nas relações comerciais. Acredita-se que essa tradição originou-se no
Egito faraônico (3150 a.C.) devido as mercadorias serem frequentemente pagas em
metal (cobre, bronze, ouro ou prata) que eram conhecidos como pepita ou palheta.
Já no Renascimento (XIV – XVI d.C.), o interesse pelo conhecimento
proporcionou um grande desenvolvimento da matemática financeira através da
48
criação de obras literárias sobre esse assunto. A mais antiga delas é a Aritmética de
Treviso, publicada em 1478 d.C. na cidade que leva seu nome e que até hoje é de
desconhecido autor. Ela continha uma série de ensinamentos sobre as relações e
cálculos comerciais da época.
Outro fato importante é que durante as guerras de conquista, surgiu
com maior ênfase, o comércio de dinheiro. Alguns comerciantes conhecedores das
regras de cambio da época passaram a acumular moedas de diversos países a fim
de negociá-las com viajantes que iam e vinham do exterior. Muitos desses
comerciantes de dinheiro deixaram suas antigas tarefas para se dedicarem somente
a essa atividade. As pessoas que possuíam somas altíssimas em moedas, por
questões de segurança, procuravam esses comerciantes para que eles lhe
tomassem conta do dinheiro em troca de algum lucro, dando origem ao que
chamamos hoje de bancos ou instituições financeiras. A palavra banco surgiu por
conta de que o comerciante de dinheiro, o cambista, exercia sua profissão sentado
em um banco de madeira em algum lugar do mercado.
Portanto, com esses breves relatos concluímos que milhares de anos
de atividades práticas onde o homem aprendeu a estimar, avaliar, medir, multiplicar,
somar, subtrair, dividir, registrar, entre outros, proporcionaram a álgebra, a chance de
estruturar de forma mais abstrata o que hoje conhecemos como Matemática
Financeira.
4.2 – Princípio de Indução Matemática.
O último dos quatro axiomas de Peano, conhecido como O Princípio de
Indução Matemática, é uma nobre ferramenta de demonstração da validade de
sentenças abertas no conjunto dos números Naturais N. Tudo o que se sabe sobre
o conjunto dos números Naturais pode ser demonstrado como consequência desses
axiomas criados por Giuseppe Peano (1858 – 1932), matemático italiano que no
limiar do século 20 fez essa notável síntese. Em linhas gerais, o quarto axioma nos
diz que dado um subconjunto S do conjunto dos números naturais N, tal que 1
pertence a S e sempre que um número n pertence a S, o número n + 1 também
pertence a S, tem-se que S = N. Com essa propriedade, prova-se o seguinte
49
teorema: (Princípio de Indução Matemática). Seja P(n) uma sentença aberta sobre
N. Suponha que:
(i) P(1) é verdadeira, e;
(ii) Qualquer que seja n  N, sempre que P(n) é verdadeira, segue que P(n + 1) é
verdadeira.
Então, P(n) é verdadeira para todo n  N.
Posto isso, seremos capazes de demonstrar importantes fórmulas na
teoria das progressões aritmética e geométrica, que serão estudadas nos próximos
itens.
4.3 – Sequências e Progressões.
Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto N dos
números Naturais e aqui consideramos apenas as sequências de números Reais,
isto é, funções de N em R. Sua notação usual é ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... ) que significa que a
sequência dada é a função 1  x1 , 2  x2 ,..., n  xn ,..., que a cada número natural
n faz corresponder o numero real xn , chamado de n-ésimo termo da sequência.
4.3.1 – Demonstração da Fórmula do Termo Geral de uma P.A.
Uma Progressão Aritmética (P.A) é uma sequência ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... ) em
que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor somado a uma razão
constante r.
De acordo com a definição de P.A temos:
x2  x1  r
x3  x2  r  x3  x1  r  r  x3  x1  2.r
x4  x3  r  x4  x1  2.r  r  x4  x1  3.r
x5  x4  r  x5  x1  3.r  r  x5  x1  4.r
.
.
.
50
xn  xn 1  r  xn  x1  (n  2).r  r  xn  x1  (n  1).r
Vamos demonstrar a validade da fórmula xn  x1  (n  1).r por indução
sobre n. Assim, pelo Principio de Indução Matemática temos:
(i) A fórmula é verdadeira para n = 1, pois xn  x1  (n  1).r  x1  x1  (1  1).r 
x1  x1  0.r  x1  x1 .
(ii) A validade da fórmula para n  N implica a validade da fórmula para n + 1  N.
De fato:
xn  x1  (n  1).r (Somando r a ambos os lados da igualdade temos)
xn  r  x1  (n  1).r  r  xn 1  x1  (n  1).r  r  xn 1  x1  (n  1  1).r  xn 1  x1  [(n  1)  1].r
Portanto,
pelo
Princípio
de
Indução
Matemática
temos
xn  x1  (n  1).r é verdadeira para todo n  N.
que

4.3.2 – Demonstração da Fórmula do Termo Geral de uma P.G.
Uma Progressão Geométrica (P.G) é uma sequência ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... )
em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por
uma razão constante q.
De acordo com a definição de P.G temos:
x2  x1.q
x3  x2 .q  x3  x1.q.q  x3  x1.q 2
x4  x3 .q  x4  x1.q 2 .q  x4  x1.q 3
x5  x4 .q  x5  x1  .q3.q  x5  x1.q 4
.
.
.
xn  xn 1.q  xn  x1.qn  2 .q  xn  x1.qn 1
Em muitos casos é mais natural numerar os termos a partir de zero.
Nesse caso, xn  x0 .q n , pois avançamos n termos ao passar de x0 para xn .
Vamos demonstrar a validade da fórmula xn  x1.qn 1 por indução sobre n. Assim,
pelo Principio de Indução Matemática temos:
51
(i) A fórmula é verdadeira para n = 1, pois xn  x1.qn 1  x1  x1.q11  x1  x1.q 0 
x1  x1.1  x1  x1 .
(ii) A validade da fórmula para n  N implica a validade da fórmula para n + 1  N.
De fato:
xn  x1.qn 1 (Multiplicando ambos os lados da igualdade por q temos)
xn  x1.qn 1  xn .q  x1.q n 1.q  xn 1  x1.q n 11  xn 1  x1.q( n 1) 1
Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática temos que xn  x1.qn 1 é
verdadeira para todo n N.

4.3.3 – Demonstração da Fórmula da Soma dos n Primeiros Termos de
uma P.G.
Dada a P.G ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... ) denotando por S n a soma nos n primeiros
termos temos:
(I)
Sn  x1  x2  x3  ...  xn 1  xn
(multiplicando ambos os membros da igualdade pela razão q, q ≠ 0) temos:
q.Sn  q.( x1  x2  x3  ...  xn 1  xn )
q.Sn  x1.q  x2 .q  x3.q  ...  xn 1.q  xn .q
(II)
q.Sn  x2  x3  x4  ...  xn  xn .q
Fazendo (II) – (I) temos:
q.Sn  Sn  ( x2  x3  x4  ...  xn  xn .q)  ( x1  x2  x3  x4  ...  xn )
Sn (q  1)  ( x 2  x 3  x 4  ...  x n  xn .q)  ( x1  x 2  x 3  x 4  ...  x n )
Sn (q  1)  xn .q  x1
xn .q  x1
x1. .q n  x1
qn  1
x1..q n 1.q  x1
Sn 
 Sn 
 S n  x1.
.
 Sn 
q 1
q 1
q 1
q 1
Observe que se a razão q for igual a 1 a fórmula acima não pode ser
utilizada. Porém, isso não nos causa muito transtorno, pois se q é igual a 1 então a
nossa P.G possui n termos iguais e para descobrir a soma desses n valores basta
fazer n vezes x1 .
52
Vamos demonstrar a validade da fórmula S n  x1.
qn  1
por indução
q 1
sobre n. Assim, pelo Princípio de Indução Matemática temos:
qn  1
q1  1
 S1  x1.
(i) A fórmula é verdadeira para n = 1, pois S n  x1.
 S1  x1 .
q 1
q 1
(ii) A validade da fórmula para n  N implica a validade da fórmula para n + 1  N.
De fato:
Sn  x1.
S n  x1.
qn  1
(Somando xn 1 a ambos os lados da igualdade temos)
q 1
n
n
qn  1
 n

 S n  xn1  x1. q  1  xn1  S n1  x1. q  1  x1.q n  S n1  x1. q  1  q n  
q 1
q 1
q 1
 q 1

 q n  1  q n .(q  1) 
 q n  1  q n .q  q n 
q n1  1
  S n1  x1.
  S n1  x1.
S n1  x1.
q 1
(q  1)
q 1




Portanto,
Sn  x1.
pelo
Princípio
de
Indução
Matemática
temos
que
qn  1
é verdadeira para todo n  N.
q 1

4.4 – Definição dos Principais Conceitos da Matemática Financeira.
Os conceitos e definições listados abaixo foram retirados de
compêndios devidamente registrados nas Referências contidas no final dessa
dissertação de mestrado ou de vídeo aulas produzidas pelo IMPA – Instituto de
matemática Pura e Aplicada.
1) “Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a
Matemática Financeira.” – Augusto Cesar Morgado, Impa.
2) “A operação básica da matemática financeira é a operação de
empréstimo.” – Augusto Cesar Morgado, Impa.
3) “Alguém (credor) que dispõe de um capital C (chamado de principal),
empresta-o a outrem (tomador) por um certo período de tempo, e após esse
período, recebe o seu capital C de volta, acrescido de uma remuneração J pelo
empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma C+J é chamada de
montante e será representada por M. A razão i 
J
que é a taxa de crescimento do
C
53
capital, será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros.” –
Augusto Cesar Morgado, Impa.
4) “No regime de juros compostos, os juros em cada período são
calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse período.” – Augusto
Cesar Morgado, Impa.
5) “A Análise de Investimentos tem por objetivo o apoio à tomada de
decisão por parte dos diversos agentes econômicos, no processo de alocação de
recursos financeiros escassos entre as inúmeras alternativas oferecidas pelo
mercado.” – Alexandre L Almeida, UERJ.
Teorema 1: No regime de juros compostos de taxa i, um principal C0
transforma-se, depois de n períodos de tempo, em um montante Cn  C0 (1  i)n .
Demonstração:
Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa
constante i e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão 1 + i.
Substituindo corretamente os termos na fórmula xn  x0 .qn teremos que Cn  C0 (1  i)n . □
Teorema 2: Se I é a taxa de crescimento de uma grandeza
relativamente ao período de tempo T e se i é a taxa de crescimento relativamente ao
período de tempo t, e se T = n.t, então 1  I  (1  i) n .
Demonstração:
Considere G0 como sendo o valor inicial de uma grandeza. Após um
período de tempo T, temos de acordo com o teorema 1, que o valor dessa grandeza
passará a ser G0 (1  I )1 . Temos, também de acordo com o teorema 1, que após n
períodos de tempo t, essa grandeza passará a ser G0 (1  i)n . Como um período de
tempo T equivale a n períodos de tempo iguais a t, temos que os dois cálculos se
encontram à mesma época, portanto G0 (1  I )1 = G0 (1  i)n . Logo, (1  I )1 = (1  i) n e
daí 1  I  (1  i)n .
□
O teorema 1 também é conhecido como fórmula fundamental da
equivalência de capitais uma vez que para descobrir um valor futuro basta multiplicar
o valor atual por (1  i) n enquanto que para obter o valor atual basta dividir o valor
futuro por (1  i) n .
54
Capítulo 5
ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS.
Nesse capítulo apresentaremos a tabulação dos dados relativos às
pesquisas de opinião; correções das atividades 1 e 2 e eventuais comparações entre
elementos à priori e à posteriori. Gostaríamos de ressaltar que na realização da
Atividade 2 seis alunos estiveram ausentes, e por esse motivo consideraremos que
o total obtido com a soma das frequências absolutas de cada variável será trinta e
quatro.
Com a intenção de tornar mais dinâmica a leitura das informações,
reproduziremos na integra o dado a ser analisado e imediatamente abaixo dele
apresentaremos através de uma tabela simples a distribuição da frequência absoluta
seguida da respectiva porcentagem.
Quando for necessário, faremos os devidos comentários acerca das
correções e/ou apresentação de outras formas de abordagem do tema das questões
que não produzirem resultados satisfatórios.
No que diz respeito à distribuição do folder de propaganda, cem por
cento dos alunos manifestaram interesse em participar da aula ao recebê-lo.
Portanto, acreditamos que a iniciativa de distribuí-lo cumpriu com o seu papel de
divulgação e motivação para a participação da referida aula.
Como veremos mais adiante através da reprodução de três
comentários feitos por nossos alunos, também obtivemos cem por cento de
aceitação nas avaliações pessoais abordadas no item 3.1.2.5 - Pesquisa de Opinião
2, inclusive com felicitações, palavras de agradecimentos e mensagens de incentivo
a continuar com trabalhos dessa natureza, o que de certa maneira, nos torna mais
confiantes no acerto da escolha do tema e metodologias para aplicação dessa aula
sobre matemática financeira.
5.1 Práticas Habituais.
55
1) Com relação à metodologia, como você classificaria as aulas
lecionadas por seu professor durante o ano letivo.
(
) Aula expositiva dialogada: Essa estratégia caracteriza-se pela
exposição de conteúdos com a participação ativa dos estudantes, considerando o
conhecimento prévio dos mesmos, sendo o professor o mediador para que os
alunos questionem, interpretem e discutam o objeto de estudo.
(
) Aula expositiva: Caracteriza-se pela exposição oral/escrita do
conteúdo pelo professor, sem levar em conta conhecimento prévio dos estudantes, e
espaço para questionamentos. Nesta estratégia o foco é o professor, e o aluno é
agente passivo, que recebe as informações transmitidas pelo professor.
Aula Expositiva Dialogada Aula Expositiva
27 (79%)
7 (20%)
2) Com relação à tecnologia, como você classificaria as aulas
lecionadas por seu professor durante o ano letivo.
(
) Aula Tradicional: O professor expõe determinado assunto dando participação
aos alunos, perguntando, respondendo, analisando, discutindo e no momento
propício da aula pode até projetar um vídeo curto ilustrando, contextualizando ou até
mesmo relacionando sua disciplina com outras. Em seguida propõe aos alunos
exercícios de aplicação, alguns contextualizados e outros interdisciplinares.
( ) Aula Tecnológica: Nesta aula os alunos estão equipados com tablets ou são
levados ao laboratório de informática da escola. Inicialmente, o professor cita o
assunto da aula e dá alguns minutos para os alunos o estudarem em um vídeo com
o tablet. A seguir, discute o assunto com os alunos, responde às dúvidas e estes
passam a resolver os exercícios propostos no tablet, terminando essa tarefa em
casa.
Aula Tradicional Aula Tecnológica
34 (100%)
0 (0%)
Comentário: Esses percentuais confirmam a necessidade de mudança de uma aula
tradicional para outra inédita, baseada nos três pilares citados no início dessa
dissertação de mestrado.
3) Existe um argumento contra a Aula Tradicional citada na pergunta
anterior que diz que os jovens de hoje, totalmente inseridos no mundo digital não
aturam mais discursos, giz e lousa. Você concorda?
(
)Sim
(
) Não
56
Sim
Não
5 (14%) 29 (85%)
4) Existe um argumento a favor da Aula Tradicional citada na pergunta
2 que diz que o aluno sai da sala com tudo o que precisa sobre o tema uma vez que
o professor fez todas as explicações necessárias. Você concorda?
( )Sim
( ) Não
Sim
Não
14 (41%) 20 (58%)
5) Existe um argumento a favor da Aula Tecnológica citada na pergunta
2 que diz que o aluno se motiva manejando o tablet e está sendo encaminhado rumo
ao autodidatismo. Você concorda?
(
)Sim
(
) Não
Sim
Não
9 (26%) 25 (73%)
6) Em relação aos tipos de aulas citados anteriormente, qual você
escolheria para que seja utilizado diariamente nas aulas de matemática.
( ) Aula expositiva dialogada.
( ) Aula expositiva.
( ) Aula tradicional.
( ) Aula tecnológica.
( ) Um meio termo entre os quatro anteriores.
Aula Exp. Dial. Aula Exp. Aula Trad.
13 (38%)
2 (6%)
1 (3%)
Aula Tecn.
Meio Termo
Em Branco
0 (0%)
17 (50%)
1 (3%)
Comentário: Os percentuais obtidos nas quatro questões anteriores confirmam que o
bom senso entre as várias abordagens possíveis de se ocorrer em uma aula é o
caminho mais adequado a ser seguido.
7) Com que frequência seu professor utiliza equipamentos tecnológicos
(laboratório de informática, Datashow, tablet, etc.) para a aplicação de suas aulas?
(
) Nunca
(
) Raramente
(
) Frequentemente
(
) Sempre
Nunca Raramente Frequentemente Sempre Em Branco
2 (6%)
1 (3%) 28 (82%)
3 (9%)
0 (0%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que é real a necessidade de um maior
uso das tecnologias no dia-a-dia desse autor como professor.
57
5.2 – Pesquisa de Opinião à Priori.
Questão 1: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de conhecimentos e 5
é o total domínio de conhecimentos, como você classifica seu conhecimento atual
em matemática financeira?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
3 (9%) 11 (32%) 14 (41%) 6 (18%) 0 (0%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que a maioria do corpo discente não se
considera capaz de resolver problemas de matemática financeira o que torna válida
a iniciativa de aplicação dessa aula temática.
Questão 2: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em saber administrar seu dinheiro?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
0 (0%) 1 (3%) 0 (0%) 5 (14%) 28 (83%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que a escolha do tema Matemática
Financeira foi de grande relevância para os alunos.
Questão 3: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de controle e 5 é o
total domínio de controle, como você classifica o controle que sua família tem de
onde é gasto o dinheiro de casa?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
3 (9%) 3 (9%) 10 (30%) 8 (22%) 10 (30%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que por volta de 47% das famílias não
tem controle sobre seus gastos mensais o que torna válida a iniciativa de aplicação
dessa aula temática.
Questão 4: Você ou alguém da sua família sabe o que é e pratica
planejamento financeiro familiar?
(
) Sim
(
) Não
Sim
Não
20 (60%) 14 (40%)
Questão 5: Você ou alguém da sua família usa algum tipo de planilha
para anotar/planejar os gastos mensais da casa?
58
(
) Sim
(
) Não
Sim
Não
19 (54%) 15 (46%)
Questão 6: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em aprender matemática financeira
na escola?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
Em Branco
1
2
3
4
5
2 (6%)
0 (0%) 0 (0%) 2 (6%) 5 (15%) 25 (73%)
Questão 7:
Você aprendeu matemática financeira nas séries
anteriores?
(
) Sim
(
) Não
Sim
Não
4 (12%) 30 (88%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que lamentavelmente
nossos alunos não são preparados para trabalhar com dinheiro ou planejamento
financeiro familiar. Isso contribui para que, na vida adulta, o aluno seja presa fácil
das ciladas proporcionadas por empréstimos abusivos. Portanto, a escolha do tema
matemática financeira foi de grande valia para a formação pessoal de nossos
alunos.
Questão 8: Você participaria de um curso pago de matemática
financeira?
(
) Sim
(
) Não
Sim
Não
25 (73%) 9 (27%)
5.3 – Pesquisa de Opinião à Posteriori.
Questão 1: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de conhecimentos e 5
é o total domínio de conhecimentos, como você classifica seu conhecimento atual
em matemática financeira?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
0 (0%) 0 (0%) 4 (12%) 26 (76%) 4 (12%)
59
Comentário: Esses percentuais confirmam que houve progresso em relação a
segurança do corpo discente em resolver problemas de matemática financeira o que
demonstra possível aprendizado significativo do assunto dessa aula temática.
Questão 2: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em saber administrar seu dinheiro?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (3%) 33 (97%)
Questão 3: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de controle e 5 é o
total domínio de controle, como você classifica o controle que sua família tem de
onde é gasto o dinheiro de casa?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
2 (6%) 2 (6%) 12 (36%) 11 (33%) 7 (21%)
Questão 6: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em aprender matemática financeira
na escola?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
1
2
3
4
5
0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 6 (18%) 28 (82%)
5.4 – Pesquisa de Opinião à Priori e a Posteriori - Comparação.
Questão 1: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de conhecimentos e 5
é o total domínio de conhecimentos, como você classifica seu conhecimento atual
em matemática financeira?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
Manteve Melhorou Piorou
28 (82%) 6 (18%) 0 (0%)
Questão 2: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em saber administrar seu dinheiro?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
60
Manteve Melhorou Piorou
6 (18%) 27 (79%) 1 (3%)
Comentário: Comparando as respostas pessoais de cada aluno antes e depois da
aplicação da aula concluímos que a grande maioria manteve ou melhorou seu
conceito sobre a importância de aprender matemática financeira o que valida o
processo de ensino e aprendizagem proposto para essa aula temática.
Questão 3: De 1 a 5, em que 1 é a total ausência de controle e 5 é o
total domínio de controle, como você classifica o controle que sua família tem de
onde é gasto o dinheiro de casa?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
Manteve Melhorou Piorou
9 (27%) 22 (64%) 3 (9%)
Comentário: Comparando as respostas pessoais de cada aluno antes e depois da
aplicação da aula concluímos que a grande maioria manteve ou melhorou o controle
financeiro doméstico. Isso significa que os alunos estão usando o que aprenderam
em sala de aula, o que valida o processo de ensino e aprendizagem proposto para
essa aula temática.
Questão 6: De 1 a 5, em que 1 é pouco importante e 5 é muitíssimo
importante, como você classifica a importância em aprender matemática financeira
na escola?
(
)1
(
)2
(
)3
4(
)
(
)5
Manteve Melhorou Piorou
7 (21%) 24 (70%) 3 (9%)
Comentário: Comparando as respostas pessoais de cada aluno antes e depois da
aplicação da aula concluímos que a grande maioria manteve ou melhorou seus
conceitos sobre a importância em aprender matemática financeira na escola, o que
valida o processo de ensino e aprendizagem proposto para essa aula temática.
5.5 – Correção da Atividade 1.
Nesse momento apresentaremos os resultados da correção da
Atividade 1. É importante mencionar que os critérios de correção são aqueles
habituais do cotidiano de um professor de ensino médio, ou seja, que leva em
61
consideração não só a exatidão da questão, mas também a intenção do aluno com
sua resposta.
EXERCÍCIO 1: Paulo toma emprestado R$100,00 de Carlos. Após um
mês, Carlos recebe de Paulo R$ 110,00. Responda:
a) Quem é o tomador?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
b) Quem é o credor?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
c) Qual é o valor do Juro?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
d) Qual é a Taxa de juro?
Certo Errado
33 (97%) 1(3%)
Comentário: Os poucos erros observados nessa questão estão relacionados a erros
no cálculo de porcentagem. Por exemplo, um cálculo que tem como resposta 0,10
foi traduzido erroneamente como 1% ao invés da resposta correta que é 10%.
e) Qual é a operação básica da matemática financeira?
Certo Errado Em Branco
0 (0%) 29 (85%) 5 (15%)
Comentário: A grande maioria das respostas erradas contem termos como “soma”,
“multiplicação”, “porcentagem”, “divisão”, entre outros. Portanto, ficou evidenciado
que os alunos não compreenderam o significado da pergunta, já que a grande
maioria das respostas erradas confunde o termo “operação básica” da matemática
financeira com as quatro operações fundamentais da matemática. Ficou claro
também que os alunos aprenderam o conteúdo já que as respostas dos itens
anteriores foram satisfatórias. Portanto chegamos a conclusão que o melhor a se
fazer é reformular o enunciado da questão para dirimir essa dúvida fundamental em
aplicações futuras desse material.
Situação 1: Fábio e Tomas tomaram emprestados a mesma quantia. O
primeiro contratou a uma taxa de juro de 2% ao mês enquanto que o segundo
62
contratou a uma taxa de juro de 4% ao bimestre. Sabendo que os dois quitaram os
respectivos empréstimos após dois meses da contratação, responda:
a) Ao responder o item (d) do exercício 1 você atentou para o fato de que a taxa e o
período “caminham sempre juntas”?
Certo
Errado Em Branco
1 (3%)
29 (85%) 4 (12%)
b) Qual é o período da operação feita por Fábio?
Certo
Errado
28 (82%) 6 (18%)
Comentário: A grande maioria das respostas erradas apresentou como período o
tempo total de duração da operação e não o tempo necessário para ocorrer a
capitalização.
c) Qual é a taxa de juro contratada por Fábio?
Certo Errado
33 (97%) 1 (3%)
d) Qual é o período da operação feita por Tomas?
Certo Errado
31 (91%) 3 (9%)
Comentário: A grande maioria das respostas erradas apresentou como período o
tempo total de duração da operação e não o tempo necessário para ocorrer a
capitalização.
e) Qual é a taxa de juro contratada por Tomas?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
f) Quantos períodos existem na operação de Fábio?
Certo Errado
33 (97%) 1 (3%)
g) Quantos períodos existem na operação de Tomas?
Certo Errado
32 (94%) 2 (6%)
h) Escreva resumidamente o que seria um período.
Certo Errado Em Branco
3 (9%) 25 (73%) 6 (18%)
63
Comentário: A grande maioria das respostas erradas fez alusão ao tempo total de
contratação do empréstimo ao invés de explicar que período é o espaço de tempo
necessário para que ocorra a cobrança de juros (capitalização) sobre o valor da
dívida. Portanto, ficou evidenciado que os alunos não compreenderam o significado
de período o que implica a necessidade de uma maior intervenção do professor em
aplicações futuras desse material para que ocorra aprendizado significativo dessa
questão uma vez que ela aborda uma das principais definições do regime de juros
compostos.
EXERCÍCIO 2: Em relação a situação de Fábio e Tomas abordada no
exercício anterior, é correto dizer que:
a) ( ) Ambos pagarão, ao final da operação, a mesma quantia.
b) ( ) Fábio pagará, ao final da operação, menos do que Tomas.
c) ( ) Fábio pagará, ao final da operação, mais do que Tomas.
A
B
C
5 (15%) 0 (0%) 29 (85%)
EXERCÍCIO 3: Observe as seguintes situações e responda:
a) José tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 2% ao bimestre.
Quanto pagará após dois meses? Quanto pagaria após dois meses se a taxa fosse
de 1% a.m?
Certo
Errado
26 (76%) 8 (24%)
b) Jorge tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 4% ao bimestre.
Quanto pagará após dois meses? Quanto pagaria após dois meses se a taxa fosse
de 2% a.m?
Certo
Errado
27 (79%) 7 (21%)
c) Lucas tomou emprestado R$100,00, a uma taxa de juro de 3% ao trimestre.
Quanto pagaria após três meses? Quanto pagaria após três meses se a taxa fosse
de 1% a.m?
Certo
Errado
26 (76%) 8 (24%)
EXERCÍCIO 4: Observe abaixo as duas resoluções da segunda parte
do item (c) do exercício anterior e assinale aquela que mais se assemelha a sua
resolução.
64
a) ( ) 1% de 100 é 1. Como se passaram 3 meses, temos 3 x 1 = 3 reais de juros,
logo Lucas pagaria após três meses 103 reais.
b) ( ) 1% de 100 é 1. Logo, após 1 mês temos 101 reais. 1% de 101 é 1,01. Logo,
após 2 meses temos 101 + 1,01 = 102,01 reais. 1% de 102,01 é 1,0201. Portanto,
Lucas pagará após três meses 102,01 + 1,0201 = 103,0301 (103,03 reais
aproximadamente).
A
B
5 (15%) 29 (85%)
Comentário: Os percentuais encontrados nos três últimos exercícios confirmam que
houve aprendizado significativo do conceito de capitalização e consequentemente
de cálculo de juros no Regime de Juros Compostos. A grande maioria das questões
erradas apresentou como resposta a já esperada confusão entre o Regime de Juros
Compostos e o Regime de Juros Simples.
EXERCÍCIO 5: Resposta pessoal.
EXERCÍCIO 6: De acordo com o aprendido no VÍDEO 2, analise o
exercício 4 e responda qual é o único caminho a ser seguido, do ponto de vista da
matemática financeira.
( ) Caminho seguido em (a)
( ) Caminho seguido em (b)
A
B
Em Branco
2 (6%) 31 (91%)
1 (3%)
Situação 2: Baltazar deseja fazer um empréstimo de 100 reais que
serão pagos dentro de 10 meses. Ao consultar um banco, descobriu que a taxa de
juros é de 10% a.m (com capitalização mensal). Com o uso do Excel, vamos calcular
mês a mês, as opções de pagamento que Baltazar dispõe até o final da operação.
Sua planilha deve ficar com o seguinte aspecto.
De acordo com a planilha responda.
65
a) Quanto Baltazar pagaria se resolvesse quitar a dívida após um mês da data de
contratação do empréstimo?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
b) Quanto Baltazar pagaria se resolvesse quitar a dívida após dois meses da data de
contratação do empréstimo? Você concorda com esse valor?
Certo
Errado
34 (100%) 0 (0%)
c) Ao analisar a tabela, Baltazar teve a seguinte dúvida:
“Como são juros de 10% a.m, em dois meses terei que pagar 20% de juros, logo
tenho que pagar ao banco 100 . 1,2 = 120 reais e não 121 reais”.
Você concorda com a opinião de Baltazar? ( )Sim ( )Não.
Sim
Não
Em Branco
0 (0%) 33 (97%)
1 (3%)
d) Qual é a principal característica do Regime de Juros Compostos?
Certo
Errado Em Branco
24 (70%) 9 (27%)
1 (3%)
Comentário: Após a correção das atividades notou-se que um aprofundamento
maior sobre o Regime de Juros Simples forneceria um referencial de comparação
que contribuiria para a diminuição desses mais de 25% de respostas erradas.
EXERCÍCIO 7: Joãozinho fez o seguinte acordo com seu pai: Por cada
média 10 recebida em seu boletim escolar ele ganharia um prêmio extra de 10% do
valor de sua mesada. Sabendo que a mesada de Joãozinho é de R$100,00 e que
esse mês ele conseguiu média 10 apenas em matemática, calcule quanto ele
receberá de seu pai.
Certo Errado
33 (97%) 1 (3%)
Situação 3: Após a entrega do boletim é chegada a hora do acerto
entre Joãozinho e seu pai. Analise abaixo os métodos de resolução aplicados por
eles e responda:
(*) Joãozinho
Inicialmente constatou que 10% = 10 = 0,1.
100
Em seguida fez 100 . 0,1 = 10.
66
E finalmente efetuou 100 + 10 = 110.
(**) Seu pai
Inicialmente fez 100% + 10% = 110% = 110 = 1,1.
100
Em seguida fez 100.1,1 = 110,00.
Qual dos métodos acima mais se assemelha ao usado por você para responder o
exercício 7?
(*) (
)
(**) (
)
1
2
Em Branco
31 (91%) 1 (3%)
2 (6%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que existe a necessidade de revisar com
os alunos termos como aumento e decréscimo percentuais para um maior
aprendizado da formula fundamental do Regime de Juros Compostos tendo em vista
que a mesma se caracteriza por destacar a taxa i de juros.
Situação 4:
M 2  M1 . 1,1  M 2  100 . 1,1 . 1,1  M 2  100 . (1,1) 2
Usando esse mesmo raciocínio, preencha os parênteses.
M 3  M   . 1,1  M 3  (_______) . 1,1  M 3  100 . (1,1)

M 4  M   . 1,1  M 4  (_______) . 1,1  M 4  100 . (1,1)

M 5  M   . 1,1  M 5  (_______) . 1,1  M 5  100 . (1,1)

Como seria a expressão para M 6 ? E para M 10 ? E para M n onde n é uma
quantidade de períodos qualquer?
Certo
Errado
23 (67%) 11 (33%)
Comentário: Esses percentuais confirmam que existe a necessidade de revisar com
os alunos assuntos relacionados ao tema progressão geométrica com o intuito de se
obter um maior entendimento sobre a dinâmica da formula fundamental do Regime
de Juros Compostos.
Situação 5: Observe a planilha do Excel usada no exercício 4.
67
a) Dívida o valor da célula B2 por 1,1. Que resultado encontrou?
Certo Errado Em Branco
32 (94%) 1 (3%)
1 (3%)
b) Dívida o valor da célula B1 por 1,1. Que resultado encontrou?
Certo Errado Em Branco
32 (94%) 0 (0%)
2 (6%)
2
c) Sabendo que (1,1) 2  1,21 , dívida o valor da célula B2 por (1,1) . Que resultado
encontrou?
Certo Errado Em Branco
31 (91%) 2 (6%)
1 (3%)
d) Multiplique o valor da célula B1 por 1,1. Que resultado encontrou?
Certo Errado Em Branco
31 (91%) 2 (6%)
1 (3%)
e) Multiplique o valor da célula B2 por 1,1. Que resultado encontrou?
Certo
Errado Em Branco
28 (82%) 5 (15%)
1 (3%)
Comentário: Os erros encontrados nessa questão se resumem a pequenos erros de
cálculos.
f) O que devo fazer para saber o valor do meu dinheiro daqui a dois meses, sabendo
que ele me rende 10% ao mês? E daqui a três meses? E daqui a quatro meses?
Certo
Errado Em Branco
26 (76%) 5 (15%)
3 (9%)
Comentário: Os erros encontrados nessa questão se resumem a pequenos erros de
confusão com os termos da fórmula fundamental do Regime de Juros Compostos.
g) O que devo fazer para saber quanto valia meu dinheiro a dois meses atrás,
sabendo que ele me rende 10% ao mês? E a três meses atrás? E a quatro meses
atrás?
68
Certo
Errado Em Branco
24 (70%) 6 (18%) 4 (12%)
Comentário: Os erros encontrados nessa questão se resumem a pequenos erros de
confusão com os termos da fórmula fundamental do Regime de Juros Compostos.
EXERCÍCIO 8: Juros de 10% ao mês darão em dois meses juros de:
a) 20%
b) 21%
c) 120%
A
B
C
Em Branco
1 (3%) 32 (94%) 0 (0%)
1 (3%)
EXERCÍCIO 9:
Senhor Carlos encontrou o panfleto rasgado acima.
Nos dizeres aparece a seguinte frase incompleta: “Juros de 10% ao mês, ou seja,
juros que em dois meses darão _____________”. É sabido que o senhor Carlos tem
bons conhecimentos de matemática financeira, portanto, ele escolheria qual das três
opções abaixo para completar a frase do panfleto?
a) Juros de 20%
b) Juros de 21%
c) Juros de 120%
A
B
C
0 (0%) 34 (100%) 0 (0%)
Situação 6: Pedro recebe o seguinte e-mail do gerente de sua conta
bancária.
Boa tarde senhor Pedro!
Conforme solicitado e de acordo com o seu perfil de cliente, gostaria de informar que
a taxa de juros para o senhor será de 4% ao mês.
Atenciosamente!
Gerente
69
Admitindo que Pedro faça o empréstimo nas condições impostas pelo gerente e que
seja possível pagar a dívida após três meses da contratação, calcule quanto ele
pagará de juros por essa operação.
a) 12% a.t
b) 4% a.m
c) 12,48% a.t
d) 112%a.t
A
B
C
D
1 (3%) 4 (12%) 25 (75%) 4 (12%)
Comentário: Os erros encontrados nessa questão se resumem a pequenos erros de
confusão com os termos da fórmula fundamental do Regime de Juros Compostos.
EXERCÍCIO 10: Salim deseja fazer um empréstimo e pesquisou a taxa
de juro em dois sites de instituições financeiras diferentes. Segue abaixo as
informações colhidas pelo senhor Salim.
Banco A
Banco B
CDC – Crédito Direto ao Consumidor
Data do contrato: __/__/__
Ag./Conta Débito:
Taxa de Juros: 2,54% a.m 35,12% a.a
Qtde de prestações:
Dia do Débito:
Valor Solicitado:
.
.
CDC – Crédito Direto ao Consumidor
Data do contrato: __/__/__
Ag./Conta Débito:
Taxa de Juros: 2,54% a.m 30,48% a.a
Qtde de prestações:
Dia do Débito:
Valor Solicitado:
.
.
.
.
Salim observou que a taxa de Juro mensal é a mesma (2,54%), porém, a taxa de
Juro anual é menor no banco B.
a) Qual Banco tem a melhor opção para a aquisição do empréstimo?
Certo
Errado Em Branco
5 (15%) 27 (79%)
2 (6%)
Comentário: Os erros encontrados nessa questão se resumem a confusão imposta
pela apresentação da taxa anual diferente em cada banco.
b) O que representa a Taxa Anual do Banco A e o que representa a Taxa anual do
Banco B?
Certo
Errado Em Branco
5 (15%) 25 (73%) 4 (12%)
c) Qual é a intenção do Banco B ao apresentar essa taxa?
Certo
Errado Em Branco
22 (64%) 7 (21%) 5 (15%)
EXERCÍCIO 11: Destacamos algumas situações do dia-a-dia das
pessoas para uma melhor análise. Leia atentamente cada uma delas! Para
70
responder as questões 1, 2 e 3, suponha que você deseja pagar uma conta de
R$100,00 em uma loja e admita que seu dinheiro lhe renda 10% ao mês.
1) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) ( ) Pagar R$100,00 agora ou;
(b) ( ) Pagar R$ 110,00 daqui a um mês.
A
B
Em Branco
28 (82%) 3 (9%)
3 (9%)
Comentário: Como as duas opções são equivalentes evidencia-se a necessidade do
campo “(c) A duas opções se equivalem” a fim de termos a certeza da existência de
aprendizado significativo. Sugere-se, nas próximas aplicações, a inserção dessa
opção no exercício.
2) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) ( ) Pagar R$100,00 agora ou;
(b) ( ) Pagar R$ 105,00 daqui a um mês.
A
B
Em Branco
16 (49%) 16 (49%)
2 (6%)
Comentário: Os erros encontrados nas duas últimas questões evidenciam a não
compreensão por parte dos alunos da diferença entre taxa nominal e taxa efetiva e
da diferença entre taxas proporcionais e taxas equivalentes. Nas próximas
aplicações dessa aula temática sugere-se um maior destaque no ensino da formula
1  I  (1  i)n .
3) A loja lhe oferece duas opções para que escolha apenas uma.
(a) ( ) Pagar R$100,00 agora ou;
(b) ( ) Pagar R$ 120,00 daqui a um mês.
A
B
Em Branco
32 (94%) 0 (0%)
2 (6%)
EXERCÍCIO 12: Resposta pessoal.
5.6 – Pesquisa de Opinião – Leia e Responda - Atividade 2.
1) Lúcia tomou um empréstimo de 100 reais e dois meses após, pagou
140 reais. Quanto é o Juro? Qual é a Taxa de Juro? Qual é o Capital Inicial? Qual é
o Montante?
71
Você seria capaz de responder essa pergunta?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (23%)
20 (59%) 5 (15%) 1 (3%)
2) Manoel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao
mês. Após um mês, qual será o valor da dívida? E após dois meses?
Você seria capaz de responder essa pergunta?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
25 (73%)
7 (21%)
0 (0%) 2 (6%)
3) Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o
montante de Pedro três meses depois?
Você seria capaz de responder essa pergunta?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
28 (82%)
4 (12%)
1 (3%) 1 (3%)
4) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor.
i) três prestações mensais de 160 cada.
ii) sete prestações mensais de 70 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro
vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
5) Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
i) A vista, com 30% de desconto.
72
ii) Em duas prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira um
mês após a compra.
iii) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da
compra.
Qual é a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
6) Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) a vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo
paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
7) Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo
você dobrará seu capital inicial?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
8) Qual é a taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
9 Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com
capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros a qual está investido o capital de
Verônica?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
73
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
10 Qual é a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre
com capitalização mensal?
Você seria capaz de responder essas perguntas?
( ) Sim, totalmente.
( ) Sim, parcialmente.
( ) Não seria capaz.
Totalmente Parcialmente Não Branco
8 (24%)
23 (67%) 0 (0%) 3 (9%)
Comentário: Nota-se que a maioria dos alunos teria dificuldades em responder
corretamente essas questões, o que evidencia êxito na escolha dessa proposta de
ensino e aprendizagem através da matemática financeira.
5.7 – Correção da Atividade 2.
1) Lúcia tomou um empréstimo de 100 reais e dois meses após, pagou
140 reais. Quanto é o Juro? Qual é a Taxa de Juro? Qual é o Capital Inicial? Qual é
o Montante?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
26 (76%)
8 (24%)
0 (0%) 0 (0%)
2) Manoel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao
mês. Após um mês, qual será o valor da dívida? E após dois meses?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
34 (100%)
0 (0%)
0 (0%) 0 (0%)
3) Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o
montante de Pedro três meses depois?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
31 (91%)
1 (3%)
2 (6%) 0 (0%)
4) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor.
i) três prestações mensais de 160 cada.
ii) sete prestações mensais de 70 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro
vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
21 (61%)
7 (21%)
5 (15%) 1 (3%)
74
5) Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
i) A vista, com 30% de desconto.
ii) Em duas prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira um
mês após a compra.
iii) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da
compra.
Qual é a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
16 (46%)
11 (33%)
7 (21%) 0 (0%)
6) Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) a vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo
paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
16 (47%)
2 (6%)
14 (41%) 2 (6%)
7) Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo
você dobrará seu capital inicial?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
18 (52%)
11 (33%)
4 (12%) 1 (3%)
8) Qual é a taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
15 (44%)
17 (50%)
2 (6%) 0 (0%)
9) Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com
capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros a qual está investido o capital de
Verônica?
Totalmente certa Parcialmente certa Errada Branco
2 (6%)
3 (9%)
26 (76%) 3 (9%)
10) Qual é a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre
com capitalização mensal?
Totalmente Parcialmente
Não
Branco
2 (6%)
3 (9%)
27 (79%) 2 (6%)
Comentário: Nota-se que a maioria dos alunos respondeu as questões corretamente
ou a resolveram parcialmente, o que mostra a validação do processo de ensino e
75
aprendizagem. A maioria dos acertos parciais demonstra bom domínio das técnicas
e alguns erros de cálculo que não permitiram acertar a questão totalmente. A
maioria das questões erradas se justifica pela dificuldade própria do exercício em
deslocar quantias no tempo. Como visto anteriormente, detectamos e corrigimos
uma falha no processo de ensino e aprendizagem do conteúdo abordado pelas
questões 9 e 10. O alto índice de erros detectados, conforme tabulações de dados
acima, confirma a sugestão de encaminhamento feita em sessões anteriores,
necessária a reestruturação da metodologia utilizada nas referidas questões.
5.8 – Comparação – Atividade 2 - Pesquisa de Opinião versus Correção
1) Lúcia tomou um empréstimo de 100 reais e dois meses após, pagou
140 reais. Quanto é o Juro? Qual é a Taxa de Juro? Qual é o Capital Inicial? Qual é
o Montante?
Manteve Melhorou Piorou
13 (37%) 20 (60%) 1 (3%)
2) Manoel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao
mês. Após um mês, qual será o valor da dívida? E após dois meses?
Manteve Melhorou Piorou
25 (73%) 9 (27%) 0 (0%)
3) Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o
montante de Pedro três meses depois?
Manteve Melhorou Piorou
25 (73%) 6 (18%) 3 (9%)
4) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor.
i) três prestações mensais de 160 cada.
ii) sete prestações mensais de 70 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro
vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Manteve Melhorou Piorou
14 (41%) 14 (41%) 6 (18%)
5) Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
i) A vista, com 30% de desconto.
76
ii) Em duas prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira um
mês após a compra.
iii) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da
compra.
Qual é a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Manteve Melhorou Piorou
13 (38%) 13 (38%) 8 (24%)
6) Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) a vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo
paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Manteve Melhorou Piorou
6 (18%) 13 (38%) 15 (44%)
7) Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo
você dobrará seu capital inicial?
Manteve Melhorou Piorou
15 (44%) 13 (38%) 6 (18%)
8) Qual é a taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês?
Manteve Melhorou Piorou
17 (50%) 12 (35%) 5 (15%)
9) Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com
capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros a qual está investido o capital de
Verônica?
Manteve Melhorou Piorou
3 (9%)
3 (9%) 28 (82%)
10) Qual é a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre
com capitalização mensal?
Manteve Melhorou Piorou
3 (9%)
3 (9%) 28 (82%)
Comentário: Nota-se que a maioria dos alunos manteve ou melhorou seus índices, o
que mostra a validação do processo de ensino e aprendizagem. Nota-se também
que a já esperada dificuldade em deslocar quantias no tempo se fez presente em
algumas questões, conforme tabulação dos dados acima.
77
Conclusão
Como vimos anteriormente, essa Dissertação de Mestrado Profissional
em Matemática assumiu como objetivo principal estudar importantes aspectos da
elaboração, estruturação e aplicação de uma sequência didática sobre Matemática
Financeira. Passaremos a analisar esses aspectos em busca de conclusões sobre a
eficácia das técnicas pedagógicas escolhidas para a construção da referida aula.
Assim:
Aspecto 1 – Elaboração e estruturação de uma aula inédita e os
benefícios que a aplicação da mesma agrega tanto ao docente quanto a seus
alunos: de acordo com o pressuposto apresentado no Capítulo 2 sobre o que seria
uma aula inédita para esse autor como professor; com os percentuais e
considerações encontrados no Capítulo 5 por meio da pesquisa sobre práticas
habituais, principalmente nas Questões 1, 2, 6 e 7 e da pesquisa de opinião à priori,
concluímos,
com
base
nos
desenvolvimentos
relatados
no
Capítulo
3,
principalmente aqueles que evidenciam o uso de tecnologias como projetor de
vídeos, planilhas eletrônicas, calculadoras, computadores, entre outros, que os
resultados atingidos contemplaram plena e satisfatoriamente os objetivos traçados
para esse tópico.
Aspecto 2 – O aluno como protagonista no processo ensinoaprendizagem: de acordo com o pressuposto apresentado no Capítulo 2 sobre
Engenharia Didática; com os percentuais e considerações encontrados no Capítulo
5 por meio da pesquisa de opinião à priori, principalmente nas Questões 1, 6 e 7; do
encaminhamento e correção das atividades 1 e 2 visto nos desenvolvimentos
relatados no Capítulo 3, concluímos que os resultados atingidos contemplaram plena
e satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
Aspecto 3 – Situações cotidianas e inserção do corpo discente em
contextos que simulem as tomadas de decisões como forma de obtenção e fixação
do conteúdo: de acordo com o pressuposto apresentado no Capítulo 2 sobre
Engenharia Didática; com os exercícios escolhidos para compor as atividades 1 e 2;
com os percentuais e considerações encontrados no Capítulo 5 por meio das
78
correções das referidas atividades; com as devidas sugestões e correções de
atividades que não se mostraram muito eficazes, concluímos que os resultados
atingidos contemplaram satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
Aspecto 4 – Planejamento financeiro familiar: de acordo com os
percentuais e considerações encontrados no capítulo 5, principalmente nas
Questões 2, 3, 4 e 5 das pesquisas de opinião à priori e à posteriori; com as
correções das atividades 1 e 2, concluímos que os resultados atingidos
contemplaram plena e satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
Aspecto 5 – Obtenção de indicadores de aprendizado: A engenharia
Didática supriu satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
Aspecto 6 – Dificuldades, ressalvas e necessidades de melhorias
encontradas na aplicação da aula: Conforme visto no Capítulo 5, houve falhas no
processo ensino-aprendizagem com relação às definições de taxas de juros
equivalentes e proporcionais, bem como no manuseio da fórmula 1  I  (1  i)n .
Como sugestão de correção da referida falha, acrescentamos que em uma eventual
reaplicação dessa aula deve existir uma maior intervenção do professor no sentido
de resolver mais exercícios com os alunos sobre esse tema para dirimir todas as
dúvidas possíveis. Outra necessidade de melhoria foi detectada na formulação da
questão 11, item 1 da Atividade 1. Verificou-se a necessidade de inserção de outra
opção para que a questão tenha condições de validar o aprendizado proposto pela
mesma.
Aspecto 7 – O bom senso entre a transição de uma aula tradicional
para uma mais tecnológica: Como visto no Capítulo 5, Questão 6 do item praticas
habituais, verificou-se que o bom senso entre a transição de uma aula tradicional
para uma mais tecnológica é o melhor caminho a se seguir. Verificou-se também que
isso foi feito durante o desenvolvimento dessa aula, o que valida o processo de
ensino e aprendizagem.
Aspecto 8 – Motivando os jovens para a obtenção de conhecimento:
Todos os alunos que responderam as pesquisas de opinião deixaram bem claro que
se sentiram motivados a aprender e também aprofundar o tema Matemática
Financeira. Mostraremos isso através de 3 comentários feitos por eles na pesquisa
de opinião 2 – avaliação pessoal.
“A iniciativa do professor em dar essas aulas sobre matemática financeira foi muito
importante para o desenvolvimento pessoal dos alunos. O conteúdo aprendido terá utilidade para
79
toda a vida, e será de extrema importância para entender o sistema financeiro e não adquirir
problema em finanças como os testemunhos do vídeo apresentado na aula. Seria muito importante
mais aulas como essas, a ideia de ter o aluno como protagonista e o professor como orientador
quebra a monomania das aulas comuns.”
Comentário 1
“Bem legal a iniciativa do professor. Eu entendi bem o que é a matemática financeira,
sendo isso uma coisa que vou levar por toda a vida, afinal vivemos em um mundo capitalista. Gostei
muito de saber sobre os juros, algo que se tem em todos os lugares hoje. Não entendi muito sobre a
capitalização, mas já irei procurar algo para entender melhor. Precisamos de mais aulas como essa.”
Comentário 2
“Em primeiro lugar, quero parabenizar o professor Deivid pela iniciativa em trazer um
minicurso sobre matemática financeira e transmitir seu conhecimento para os alunos e
consequentemente para os familiares e amigos. É fato que hoje em dia a grande maioria dos
brasileiros tem dívidas para pagar e dentro dessa estatística muitos não sabem lidar com essa
situação e com o dinheiro que ganha. Os benefícios do aprendizado da matemática financeira são
singulares, pois permitem um upgrade na resolução de cálculos e aplicações de formulas;
desenvolvimento de raciocínio logico e do trabalho em equipe e compartilhamento de conhecimento
com todos. Quero destacar os cálculos sobre juros compostos e juros simples como pontos principais
da atividade. Além disso, agradecer pela oportunidade de poder trabalhar com a matemática
financeira. Obrigado professor, sucesso na conclusão do mestrado e em seus caminhos! Grande
abraço!”
Comentário 3
Portanto, concluímos que os resultados atingidos contemplaram plena
e satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
Aspecto 9 – Metodologia e Estratégia Pedagógica: A utilização de
métodos como a Teoria das Situações Didáticas e a utilização de tecnologias no
ensino do conteúdo contribuiu fundamentalmente para que se alcançasse o objetivo
de tornar o aluno um agente ativo no processo ensino/aprendizagem, portanto,
concluímos que os resultados atingidos contemplaram satisfatoriamente os objetivos
traçados para esse tópico.
Aspecto 10 – Resgate de Pré-requisitos: A Matemática Financeira
concentra um grande número de pré-requisitos em torno de seu desenvolvimento.
Ao
se
fazer
Matemática
Financeira,
estamos
resgatando
temas
como
proporcionalidade direta, equações exponenciais e logarítmicas e obviamente,
progressões geométricas. Nesse sentido, concluímos que os resultados atingidos
contemplaram plena e satisfatoriamente os objetivos traçados para esse tópico.
80
Aspecto 11 – Análise de Investimentos através da Matemática
Financeira: A Teoria das Situações Didáticas proporcionou a criação de cenários
para inserção do aluno como centro das atividades. Esses cenários foram
satisfatoriamente criados pela Análise de Investimentos. Vê-se pelos exercícios
escolhidos que a Análise de Investimentos esteve presente constantemente,
contribuindo para a obtenção de um aprendizado de qualidade. Portanto, concluímos
que os resultados atingidos contemplaram plena e satisfatoriamente os objetivos
traçados para esse tópico.
Aspecto 12 – Temas da Matemática Financeira ensinados: Escolhemos
cinco temas centrais para o desenvolvimento de nossa aula sobre Matemática
Financeira. Analisando os resultados encontrados nas pesquisas de opinião, na
correção das atividades 1 e 2 e nas porcentagens encontradas no capítulo 5 com
relação aos Temas I – Conhecendo as principais definições da Matemática
Financeira, II – O segredo de tudo é o período, III – Descobrindo uma fórmula
mágica e V – A Função do regime de juros simples no sistema monetário brasileiro,
concluímos que os resultados atingidos contemplaram plena e satisfatoriamente os
objetivos traçados para esse tópico. Com relação ao tema IV – Cuidado!!! Nem tudo
que reluz é ouro, observou-se a necessidade de uma abordagem diferente, pois
verificamos através da tabulação dos dados um déficit muito grande nos resultados
de aprendizagem. Acreditamos que a sugestão de correção da metodologia feita no
Capítulo 5, sanará essa deficiência em aplicações futuras desse material sobre
Matemática Financeira.
Por fim, diante de todo o exposto e da análise detalhada dos
resultados, concluímos que essa dissertação de Mestrado Profissional em
Matemática alcançou seus objetivos em criar uma sequência didática inédita que
seja capaz de despertar no aluno a motivação em aprender cada dia mais e também
cumpriu com seu papel de apoiar e incentivar o aprendizado de Matemática em
nosso país, contribuindo para que nossa sociedade, principalmente a camada de
pessoas mais carentes tenha condições de elaborar um planejamento financeiro
familiar mais condizente com sua capacidade de compra.
81
Referências
A Matemática do Ensino Médio – Volume 1, E. L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner,
A.C. Morgado, 9ª edição, Rio de Janeiro, SBM, 2006.
A Matemática do Ensino Médio – Volume 2, E. L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner,
A.C. Morgado, 9ª edição, Rio de Janeiro, SBM, 2006.
Análise de Projetos de Investimento, P. H. S. Costa, E. V. Attie, 3ª edição, Rio de
Janeiro, Editora da Fundação Getúlio Vargas, 1990.
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática, V. Giraldo, P. A. S. Caetano, F.
R. P. Mattos, 1ª Edição, Rio de Janeiro, SBM, 2012.
Matem@tica na Pr@tica – Curso de especialização para professores do ensino
médio de matemática, Módulo III – Trabalho de Conclusão de Curso, Vários Autores,
ISBN: 978-85-88696-95-2.
Análise de Investimentos, Nelson Casarotto Filho, Bruno Hartmut Kopittke, 11ª
Edição, Editora Atlas, 2010.
Introdução à Teoria dos Números, J.C.V. Sampaio e P.A.S. Caetano, 2ª edição, São
Carlos, EduFSCar, 2009.
A Origem do Dinheiro, J. Robert, Global Editora, 1982.
História Universal dos Algarismos, G. Ifrah, Editora Nova Fronteira, 1997.
A Teoria das Situações Didáticas, S. A. Almouloud, São Paulo, Puc-SP, 2004.
Engenharia Didática, M. Artigue, In Didática das Matemáticas, J. Brun, Tradução de
Maria José Figueiredo, Lisboa, Instituto Piaget, 1996.
A Teoria das Situações Didáticas e a Formação do Professor, G. Brousseau,
Palestra, São Paulo, Puc, 2006.
A Didática da Matemática, G.Gálvez, In Didática da Matemática, C. Parra, I. Saiz,
Tradução de Juan Acuña Llorens, Porto Alegre, ArtMed, 1996.
http://g1.globo.com/index.html
http://www.institutoayrtonsenna.org.br
http://www.sbm.org.br
http://www.dm.ufscar.br
http://www.impa.br
http://www.rededosaber.sp.gov.br
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ANEXO A – FOLDER DE PROPAGANDA
Você administra bem o seu dinheiro?
Você gostaria de aplicar bem algum capital, mas
não sabe como?
Você consegue escolher, entre duas opções, qual é
a mais vantajosa?
PARTICIPE DE UMA AULA TEMÁTICA
SOBRE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
E TESTE SEUS CONHECIMENTOS
FINANCEIROS
Aqui você aprenderá a:
 Identificar taxas equivalentes, aparentes e
efetivas.
 Calcular juros simples
 Calcular juros compostos
 Deslocar quantias no tempo
 Saber identificar vantagens financeiras.
Fale com seu professor!
Aulas no mesmo período de estudos. Não é preciso
voltar para a escola à tarde.
Vagas limitadas.
Início das aulas somente depois da semana de
provas.
Totalmente grátis!
Iniciativa: Prof. Deivid G Gimenes
Orientação: Prof Dr. Paulo A. S. Caetano ( DM – UFSCar )
Colaboração:
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ANEXO B – PESQUISA DE OPINIÃO 1
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ANEXO C – ATIVIDADE 1
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ANEXO D – ATIVIDADE 2
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102
103
104
ANEXO E – PESQUISA DE OPINIAO 2
105
106