1 CONSTRUÇÃO DE DOMOS GEODÉSICOS Guy Grebot1

1
CONSTRUÇÃO DE DOMOS GEODÉSICOS
Guy Grebot1, Universidade de Brasília,
[email protected]
Kevin Szczpanski1, Universidade de Brasília,
[email protected]
RESUMO
Este minicurso apresenta resultados de observações feitas com alunos de escolas públicas do
Distrito Federal e visa reforçar o papel fundamental da geometria no ensino básico. Os
resultados apresentados surgiram da aplicação de atividades que compõem uma sequência
didática, desenvolvida com base na metodologia de resolução de problemas, cujo objetivo é o
estudo da esfera. Neste minicurso, abordamos aproximações poliedrais da esfera e o aluno é
levado à construção de um domo geodésico. A sequência didática que deu origem a este
minicurso foi escrita de forma a propiciar o desenvolvimento, no aluno, tanto do raciocínio
por imagem quanto do raciocínio por linguagem.
Palavras-chave: resolução de problemas, geometria plana, poliedros convexos.
Público-alvo: Anos Finais do Ensino Fundamental.
Introdução
Lorenzato (1995) afirma que a geometria tem função essencial na formação dos indivíduos,
pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais
abrangente de ideias e uma visão mais equilibrada da matemática.
De acordo com os PCNs de Matemática (BRASIL, 1998), o ensino da geometria deveria
constituir uma parte importante do currículo de matemática no ensino fundamental pois, por
meio dele, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Mais ainda, a geometria
1
Os autores foram bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à
Docência – PIBID/CAPES.
2
é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos
costumam se interessar naturalmente.
Infelizmente, e apesar dessas observações, podemos dizer que o ensino de geometria
praticamente inexiste nas nossas escolas de ensino básico. Gaspar (2003, p.13) aponta que a
geometria vem sendo ensinada a partir de uma concepção formalista e destituída de suas
referências históricas e culturais. Parte dessa dissociação é feita nos próprios cursos de
licenciatura, o que leva o professor a buscar por si mesmo a formação adequada para o seu
trabalho em sala de aula. Como, segundo Oliveira e Velasco (2007), o ensino da geometria é
um processo didático que requer maior sensibilidade do professor, pois trabalha a união das
formas visuais com conceitos e propriedades, a auto-formação do professor nesta área se torna
mais difícil.
Como reação ao abandono da geometria no programa de matemática do ensino básico, foi
elaborada uma sequência didática, baseada na metodologia de resolução de problemas, que
visa o estudo da esfera. Essas atividades foram desenvolvidas no âmbito do Programa
Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – PIBID/CAPES do Departamento de
Matemática da Universidade de Brasília e uma parte já foi apresentada em outro minicurso
em 2013 (K. Szczpanski e G. Grebot, 2013). Nosso objetivo, neste minicurso, é apresentar a
segunda parte dessa sequência de atividades, referente às aproximações poliedrais da esfera e
relatar as respostas de alunos do ensino fundamental frente a essas atividades.
Nas próximas seções deste artigo, apresenta-se a metodologia utilizada, os objetivos do
minicurso, os resultados alcançados, conclusões e as atividades a serem desenvolvidas.
Metodologia
Tanto a elaboração da sequência didática que gerou este minicurso, quanto a sua aplicação,
seguiram a metodologia de resolução de problemas. Esta metodologia permite levar o aluno à
construção de conhecimentos matemáticos, fazendo com que ele desenvolva uma certa
autonomia diante da resolução de problemas dados. De acordo com os PCNs de Matemática
(BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e
desenvolver a capacidade de gerenciamento das informações que estão ao seu alcance.
Segundo Soares e Pinto (2001), é através da resolução de problemas que os alunos
desenvolvem sua capacidade de aprender a aprender. Eles são levados a determinar por si
3
próprios respostas às questões que os inquietam, deixando de lado o hábito de esperar uma
resposta dada pelo professor ou livro-texto.
O papel do professor é acentuado e reforçado por esta metodologia pois, durante a busca por
soluções para os problemas propostos, podem ocorrer situações inesperadas para as quais o
professor deve estar sempre preparado.
Borba e Penteado (2001) argumentam que, em geral, professores optam por trabalhar no que
eles chamam de zona de conforto, na qual quase tudo é previsível, conhecido e,
consequentemente, controlável. Este seria um dos fatores pelos quais a metodologia de
resolução de problemas ainda é pouco utilizada no ensino básico brasileiro.
O minicurso
O objetivo do minicurso é a construção de um domo geodésico de frequência 2 e a
apresentação dos resultados da aplicação das atividades propostas a uma turma de alunos do
ensino fundamental.
Os participantes serão levados a se familiarizar com vários conceitos através de visualização,
manipulação de objetos, construções com régua e compasso e deduções formais. Nas
atividades propostas, as construções com régua e compasso substituem o uso de funções
trigonométricas e de geometria analítica já que o público-alvo se restringe aos alunos do
ensino fundamental.
Resultados
A sequência didática completa foi aplicada, no ano de 2013, em uma turma do nono ano do
ensino fundamental durante vinte e três encontros semanais de noventa minutos.
Os primeiros encontros revelaram que os alunos: não estavam habituados a redigir e organizar
seus pensamentos; não conseguiam estabelecer uma correspondência entre a matemática e
situações práticas; traziam conceitos fragilizados e notação deficiente. Vale observar que esses
obstáculos foram vencidos através de mediação em função da metodologia utilizada. A
frustração dos alunos, em terem de redigir seu raciocínio de maneira organizada em uma aula
de matemática, se tornou entusiasmo ao longo do tempo. De fato, a riqueza dos registros
acompanha claramente a capacidade crescente de argumentação. O material didático concreto
mediador foi fundamental nesse processo por motivar e permitir diversas verificações.
4
Através do processo de construção do domo, foram introduzidas as planificações e a
construção dos poliedros regulares, juntamente com suas propriedades.
Conclusão
Através da metodologia de resolução de problemas, os obstáculos foram evidenciados e
vencidos, fazendo com que os alunos estabelecessem as relações esperadas relativas aos
tópicos de geometria abordados. As atividades da sequência contribuíram para o
desenvolvimento de habilidades essenciais à formação do aluno do ensino fundamental. Por
último, através deste exemplo, evidenciamos que o ensino de geometria não só é exequível
neste nível de escolaridade, mas é fundamental.
Atividades propostas
Atividade: comprimentos de arcos subtendidos por um dado segmento
Trace, na folha, um segmento AB de comprimento d de sua escolha.
Trace o arco de circunferência AB de centro O1 e raio R1 de sua escolha. Marque o
ângulo central <AO1B.
Repita o procedimento do item anterior para arcos AB de raio R2 < R1 e raio R3 > R1.
O que pode ser inferido a respeito dos comprimentos desses três arcos?
Dada uma corda, qual relação pode ser estabelecida entre o raio e o comprimento do
arco que a corda subtende?
Atividade: seções da esfera
Mostre que um plano intercepta uma esfera em um ponto ou numa circunferência.
Considere um plano P que passa pelo centro de uma esfera. Determine as interseções
entre esta esfera e os planos paralelos a P.
Mostrar que entre todos os arcos de circunferência que ligam dois pontos da esfera, o
menor é um arco de círculo máximo.
Atividade: O icosaedro
Com base nos modelos, complete a tabela a seguir.
Quantidade de faces Quantidade de arestas Quantidade de vértices
Icosaedro
5
Dodecaedro
Tome um dodecaedro. Mostre que ele admite esferas circunscrita e inscrita.
Qual é o poliedro formado pelos centros das faces do dodecaedro?
O que você conclui a partir disso?
Atividade: divisão alternada – construção
Construa um triângulo equilátero.
Escolha um número natural v e divida cada lado do triângulo em v segmentos
congruentes.
Ligue os novos pontos, obtidos através das divisões, de maneira a criar somente
segmentos paralelos a cada um dos lados do triângulo.
Atividade: divisão alternada – cálculo
Expresse, em função de uma frequência v, a quantidade de faces do domo.
Expresse, em função de uma frequência v, a quantidade de arestas do domo.
Expresse, em função de uma frequência v, a quantidade de vértices do domo.
Atividade: achar o centro O da esfera circunscrita, com régua e compasso
Por que o problema da determinação de OA, se resume à construção de OM, em que M
é ponto médio da aresta por A?
Dado o segmento a, construa o segmento de comprimento OM.
Dado a, como podemos obter o raio R da esfera circunscrita?
Dado a, como podemos obter OM?
Dado a, como podemos obter OC, em que C é o centro de uma face?
Atividade: projeção das arestas
Trace um segmento AB de comprimento a = 14cm.
Divida o segmento em v = 2 partes congruentes.
Trace a mediatriz do segmento AB e ache o centro O da esfera circunscrita.
Trace o arco AB com centro O e raio OA = OB e construa as arestas projetadas.
Repita o processo para v = 3 e v=4;
As arestas projetadas têm todas o mesmo tamanho?
É possível determinar quais e quantas arestas de tamanhos distintos deverão ser
construídas dada a frequência v?
Atividade: grupos de arestas distintas para divisão alternada com v = 2
6
Represente os diferentes tamanhos de arestas em uma face do icosaedro com divisão
alternada de frequência 2.
Quantas arestas de cada comprimento teremos no domo de frequência 2?
Atividade: construção do domo
Represente na folha de papel A4 uma face do icosaedro de aresta a=14cm.
Faça a divisão alternada de frequência 2.
Trace as arestas de comprimentos distintos e determine a quantidade de cada grupo de
arestas.
Recorte os canudinhos que servirão de arestas.
Use o fio de telefone para montar o domo.
Referências bibliográficas
Borba, M., Penteado. M. (2001). Informática e educação matemática. Belo Horizonte:
Autêntica.
Brasil. MEC. (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF.
Gaspar, M. T. (2003) Aspectos do desenvolvimento do pensamento geométrico em algumas
civilizações e povos e a formação de professores. (Tese de Doutorado). Universidade
Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Campus de Rio Claro.
Lorenzato, S. (1995). Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista –
SBEM 4, 3-13.
Oliveira, L., Velasco, A. (2007). O ensino de geometria nas escolas de nível médio da rede
pública da cidade de Guaratinguetá.
http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/OENSINO.pdf. Consultado 27/06/2013.
Szczpanski, K., Grebot, G. (2013) O estudo da esfera através da sua construção. VII
congresso Ibero-Americano de Educação Matemática, Montevidéu, 16 a 20 de setembro de
2013.
Soares,
M.,
Pinto,
N.
(2001).
Metodologia
da
resolução
de
problemas.
http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_24/metodologia.pdf
Consultado 27/05/2013.
7