Gabarito P1 - IME-USP

1a. Prova - Gabarito (tipo B2)
Questão 1. Prove, pela definição que a sequência (an )n∈N dada por an =
explicitando seu limite.
Solução:
2n
−10 10
10
10
−
2
< ε ⇐⇒ n + 5 >
⇐⇒ n >
−5
=
=
n+5
n+5
n+5
ε
ε
10
10 Assim, dado ε > 0 tome N >
− 5 ou >
. Se n > N teremos que
ε
ε
2n
10
10
−
2
<
<ε
=
n+5
n+5
N +5
2n
n+5
é convergente
Logo an −→ 2
Quem não fez pela definição, zerou. Quem partiu do que queria mostrar, zerou.
Questão 2. Decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Cada 1,5 respostas
erradas anulam uma certa. Responda nessa folha
( F ) Toda sequência limitada converge
( V ) Toda sequência convergente é limitada
( V ) Toda sequência limitada e crescente converge
( F ) Toda sequência crescente converge
( F ) Todo conjunto não vazio de números reais possui supremo
( V ) O conjunto dos números irracionais não é enumerável
( F ) Não existe uma bijeção entre Q e N
( V ) Se an converge para l 6= 0, então existe n ∈ N tal que an . l > 0
Questão 3. Considere A = {m + n1 : n ∈ N; m ∈ N}. Determine o ı́nfimo de A. Justifique
formalmente usando a definição de ı́nfimo.
Solução:
m ∈ N ⇒ m ≥ 1. Como n1 > 0, ∀n ∈ N segue que m + n1 > 1 ∀n, m. Logo 1 é cota inferior.
Seja s > 1. Então s − 1 > 0. Logo existe n ∈ N tq n1 < s − 1, ou seja 1 + n1 < s. Como
1 + n1 ∈ A(m = 1) segue que s não é cota superior de A.
Assim, 1 é a maior cota inferior de A e portanto 1 = inf A.
Quem não fez pela definição, zerou. Quem partiu do que queria mostrar, zerou.
Questão 4. Considere a sequência dada por sn =
n
X
k=1
1
1
1
1
=
+
+ ··· +
k
2
k·2
1·2 2·2
n · 2n
(a) Mostre que (sn ) é crescente.
(b) Prove que (sn ) converge. Você não precisa calcular o limite!!
Sugestão: Note que k·21 k ≤ 21k , ∀k ∈ N
Solução:
1
(a)sn+1 − sn =
> 0. ∴ sn+1 > sn . Quem testou p n=1, n=2, n=3, está
(n + 1)2n+1
obviamente errado.
n
X
1
1
(b)Pela sugestão, sn ≤
= 1 − n < 1, ∀n. ∴ sn é limitada e crescente, logo converge.
k
2
2
k=1
Atenção: sn não é uma PG!!!.