Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica

Fundamentos de Matemática
Curso: Informática Biomédica
Profa. Vanessa Rolnik Artioli
Assunto: Funções modular, exponencial,
logarítmica e outras
15 e 16/05/14
Introdução
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas.
Exemplo: f : R −→ R, definida por

se
 1
x + 1 se
f (x) =

3
se
x <0
0≤x <2
x ≥2
Exercício 1: Construa o gráfico da função f acima.
Exercício 2: Construa o gráfico da função g : R −→ R, definida por
{
−x
se x < −1
g (x) =
x 2 − 1 se x ≥ −1
Módulo
Definição: Sendo x ∈ R, define-se módulo ou valor absoluto de x
notação: |x|) por
{
x
se x ≥ 0
|x| =
ou − x se x < 0
Para todo x, y ∈ R valem as seguintes propriedades:
I. |x| ≥ 0
II. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
III. |x|.|y | = |xy |
IV. |x|2 = x 2
V. x ≤ |x|
VI. |x + y | ≤ |x| + |y |
VII. |x − y | ≥ |x| − |y |
VIII. |x| ≤ a e a > 0 ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
IX. |x| ≥ a e a > 0 ⇐⇒ x ≤ −a ou x ≥ a
Função Modular
f :
R
x
−→
7→
R
|x|
Ex. Reescreva a função f (x) usando o conceito de módulo de um número
real, esboce o gráfico da função módulo e encontre sua imagem.
Exercício 3: Construa o gráfico das funções reais
(a) f (x) = |x + 1|
(c) f (x) = |x + 2| + x − 1
(b) f (x) = |x − 1| + 2
(d) f (x) = |x + 2| + |x − 1|
Equações e inequações modulares
Exercício 4: Resolver:
(a) |2x − 1| = 3
(b) |3x − 1| = |2x + 3|
(c) |x + 1| = 3x + 2
(d) |2x + 1| < 3
(e) |4x − 3| > 5
(f) |2x − 6| − |x| ≤ 4 − x
Função cúbica
f :
R
x
−→
7→
R
x3
Ex. Esboce o gráfico da função cúbica, analise seu crescimento e
encontre sua imagem.
Exercício 5: Faça o esboço dos gráficos das funções reais
(a) g (x) = x 3 + 1
(b) h(x) = (2 − x)3
Função recíproca
f :
R∗
−→
x
7→
R
1
x
Ex. Esboce o gráfico da função recíproca e encontre sua imagem.
Exercício 6: Faça o esboço dos gráficos das funções reais
g (x) =
1
x +1
h(x) =
x
x −1
Função máximo inteiro
f :
R∗
x
−→
7→
R
[x]
Essa função associa a cada elemento x ∈ R o maior inteiro que não
supera x.
Ex. Esboce o gráfico da função máximo inteiro e encontre sua imagem.
Exercício 6: Faça o esboço dos gráficos das funções reais
g (x) = [2x]
h(x) = [|x|]
Potência de expoente real
Definição: Sejam a ∈ R∗+ e b ∈ R, define-se a operação matemática
potênciação ou exponenciação (notação: ab ) por
ab = a × a × ... × a
|
{z
}
b vezes
Para todo a ∈ R∗+ e b, c ∈ R, valem as seguintes propriedades:
I. a > 0 =⇒ ab > 0
III.
V.
ab
= ab−c
ac
( a )c
b
=
ac
,
bc
II. ab .ac = ab+c
IV. (a.b)c = ac .b c ,
b ∈ R∗+
VI. (ab )c = ab.c
b ∈ R∗+
Função exponencial
f :
R
x
−→
7→
R
ax ,
a ∈ R, a > 0, a ̸= 1
√
Ex. f (x) = 2x , g (x) = ( 21 )x , h(x) = ( 2)x
Propriedade: a > 1 =⇒ f (x) = ax é crescente e
0 < a < 1 =⇒ f (x) = ax é decrescente
Imagem da função exponencial: Im = R∗+
Ex: Construa os gráficos das funções exponenciais
f (x) = 2x
g (x) = ( 21 )x
h(x) = e x
Equações e inequações exponenciais
Resolver (método de redução a uma base comum):
1
32
(a) 2x = 64
(b) 8x =
√
√
(c) ( 3)x = 3 81
(d) (2x )x−1 = 4
(e) 32x−1 .93x+4 = 27x+1
(f) 4x − 2x = 56
(g) 4x+1 − 9.2x + 2 = 0
(h) 2x−1 + 2x + 2x+1 − 2x+2 + 2x+3 = 120
( 3 )x
≥
125
27 )
(i) 2x > 128
(j)
√
√
(k) ( 3 2)x < 4 8
(l) (3x )2x−7 >
(m)
( 1 )3x+1
2x
2
.41+2x−x ≥
( 1 )x−1
8
(n)
5
1
27
√
√
√
x+1
7x+1 .
7x−1 < 343
x−1
Logaritmo
Definição: Sejam a, b ∈ R, 0 < a ̸= 1 e b > 0, define-se a operação
matemática logaritmação por
loga b = x ⇐⇒ ax = b
a: base
b: logaritmando
x: logaritmo
Ex: log2 8 = 3, log3
Consequências
I. loga 1 = 0,
1
9
= −2, log0,2 25 = −2
II. loga a = 1,
Exercício: Calcular: a) 8log2 5 ,
III. aloga b = b
b) 31+log3 4
Propriedades do logaritmo
Para todo a ∈ R∗+ , a ̸= 1 e b, c ∈ R∗+ , valem as seguintes propriedades:
I. loga (b.c) = loga b + loga c
III. loga b α = α loga b,
α∈R
( )
b
II. loga
= loga b − loga c
c
IV. loga b =
logc b
,
logc a
c ̸= 1
Exercício: Desenvolva aplicando as propriedades:
a) log2
( 2ab )
c
(
b) log3
a3 b 2
c4
)
(
c) log
d) Sabendo que log30 3 = a e log30 5 = b, calcule log10 2.
3
a√
b2
)
c
Função logarítmica
f :
R∗+
x
−→
7→
R
loga x,
a ∈ R, a > 0, a ̸= 1
Ex. f (x) = log2 x, g (x) = log 21 x, h(x) = ln x, s(x) = log x
Propriedade: a > 1 =⇒ f (x) = loga x é crescente e
0 < a < 1 =⇒ f (x) = loga x é decrescente
Imagem da função logarítmica: Im = R
Ex: Construa os gráficos das funções logarítmicas
f (x) = log2 x
g (x) = log( 21 ) x
Ex. Determine o domínio das funções s(x) = log3 x 2 − 4 e
t(x) = logx+1 (2 x 2 − 5x + 2)
h(x) = ln x
Equações exponenciais e logarítmicas
Resolver:
(a) 2x = 3
(b) 52x−3 = 3
(c) 23x−2 = 32x+1
(d) log2 (3x − 5) = log2 7
(e) log3 (2x − 3) = log3 (4x − 5)
(f) log5 (x 2 − 3x − 10) = log5 (2 − 2x)
(g) log2 (3x + 1) = 4
(h) log3 (x 2 + 3x − 1) = 2
(i) log2 [1 + log3 (1 − 2x)] = 2
(j) log22 x − log2 x = 2
(k)
log3 x
2 = log +3x
+
=2
log3 x
1 + log3 x
(l) logx (2x + 3) = 2
Inequações exponenciais e logarítmicas
Resolver: