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Microeconomia - Parte I
Proposta de conteúdo
2008-09
Quarta versão - Setembro 2008
Preâmbulo
Como, felizmente, vivemos numa sociedade que permite ao indivíduo liberdade de acção (sob
restrições), os modelos económicos construídos apenas com informação passada, i.e. os
modelos empíricos, não são suficientes para prever o sentido de evolução das variáveis
económicas em resposta a choques exógenos diferentes dos que aconteceram no passado. Para
ser possível desenvolver essa capacidade de previsão, é necessário fundamentar o
conhecimento económico em modelos teóricos que sejam suficientemente genéricos e
distantes da realidade empírica a ponto de abarcarem situações novas, i.e., teremos que
construir modelos profundos. Como a realidade económica resulta da agregação das decisões
individuais, então os modelos profundos terão que ter por base teorias quanto à tomada de
decisão individual (Robert E. Lucas Júnior).
Infelizmente, por serem construções do intelecto que não resultam directamente por indução
da realidade observada, os modelos profundos terão como limitação serem apenas hipóteses
de explicação, mais ou menos fundamentadas, e não verdades incontestáveis.
Neste texto, será apresentada uma teoria do comportamento individual no qual o sistema de
preços é o guia supremo das decisões dos agentes económicos. Tentaremos também explicar
como essas decisões individuais não concertadas se conjugam na explicação do que se
observa no mercado e de como levam ao bem comum.
No capítulo 1 deste texto, tendo por fim convencer o leitor da pertinência da teoria proposta
nos capítulos seguintes, apresentamos um modelo do mercado que explica superficialmente a
evidência empírica quanto à evolução dos preços e das quantidades transaccionadas. Assim,
desagregamos o mercado em três Leis da Natureza: i) que a decisão dos vendedores quanto à
quantidade que pretendem alienar se agrega na função de oferta; ii) que a decisão dos
compradores quanto à quantidade que pretendem adquirir se agrega na função de procura; iii)
que o preço de mercado equilibra as pretensões dos compradores com as dos vendedores.
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Nos capítulos 2 e 3, apresentamos, no contexto do paradigma neoclássico, uma teoria
profunda da tomada de decisão individual dos agentes económicos enquanto compradores.
Assim, deduzimos a curva de procura de mercado assumindo o princípio não observável de
que os agentes económicos são optimizadores (i.e., o Homo Economicus). No capítulo 2
consideramos consumidores que maximizam o seu bem-estar individual (i.e., uma função de
utilidade) sob restrição do rendimento disponível e dos preços de mercado dos bens ou
serviços enquanto que no capítulo 3 consideramos produtores que minimizam o custo de
produzir uma determinada quantidade de bens ou serviços sob a restrição da tecnologia e dos
preços de mercado dos factores de produção.
Este texto, sendo de apoio à primeira parte do curso de Microeconomia, não aborda a questão
da curva da oferta nem do equilíbrio (a desenvolver numa segunda parte da disciplina).
No sentido de simplificar a apreensão dos conceitos económicos, tentei que o texto fosse o
mais simples possível de ler, apoiando a exposição em gráficos e num formalismo matemático
rudimentar (apenas se utilizando funções isoelásticas).
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Índice
I – Funcionamento do Mercado
6
1.1. Conceitos introdutórios
Limitações da teoria
Economia positiva ou Economia normativa (do bem-estar)
Factos estilizados
1.2. Quantidade transaccionada e preço de mercado
Variáveis endógenas e exógenas ao modelo
1.3. Curvas de oferta, de procura e equilíbrio de mercado
1.4. Alterações nas curvas de oferta e de procura
Deslocamento da curva de oferta
Deslocamento da curva de procura
Curvas agregadas e curvas individuais
Variações relativas, Elasticidade arco e ponto
Procura elástica
1.5. Aplicações
Preço máximo / mínimo
Imposto /subsídio
Repartição do imposto/subsídio entre vendedores e compradores
O preço do dinheiro e sua evolução.
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II – Teoria do Consumidor
36
2.0. Introdução
2.1. Preferências e gostos dos consumidores
2.1.1 Curva de indiferença
Comparabilidade entre os cabazes de bens e serviços:
Transitividade da Comparação; Insaciabilidade
Taxa marginal de substituição
Evolução da taxa marginal de substituição com a quantidade
2.1.2. Função de utilidade
Função ordinal / cardinal
2.2. Restrição orçamental
Recta orçamental
Bens privados e públicos.
Efeito na RO da alteração do rendimento.
Efeito na RO da alteração dos preços.
2.3. Decisão do consumidor – Escolha do melhor cabaz possível.
Generalização a cabazes em IRn.
Formalização matemática do problema de optimização.
Efeito de uma alteração do preço.
Bens substitutos, complementares e independentes.
Efeito de uma alteração do rendimento.
Bens inferiores e bens normais (de primeira necessidade e de luxo).
Efeito substituição e efeito rendimento.
Determinação da curva de procura individual.
Função de utilidade indirecta.
Excedente do consumidor.
2.4. Aplicações
Combate à exclusão: Subsídio em dinheiro ou em espécie. Desconto no preço.
Função de oferta de trabalho.
Taxa de juro, consumo e poupança.
Risco. Lotaria. Aversão / neutralidade / atracção pelo risco.
Capital humano e crescimento endógeno.
Contabilidade do bem-estar
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III – Teoria do Produtor
78
3.1 – O produtor
3.2 – Tecnologia de produção - Função de produção (de longo prazo).
Mapa de isoquantas
Propriedades das isoquantas
Taxa Marginal de Substituição Técnica
Função implícita e a TMST
Produtividade marginal
Progresso tecnológico
3.3 – Minimização do custo de produção
Linha de Isocusto
1ª condição da minimização do custo
Efeito de uma alteração dos preços dos inputs.
Progresso tecnológico poupador de capital ou de trabalho
Função procura de factores de produção
Função custo total (de longo prazo)
3.4 – Alteração do nível de produção - curto prazo
Curto prazo – Longo prazo
Função de produção de curto prazo
Produtividade total, média e marginal
Comportamento da produtividade com a quantidade de factor
Lei dos rendimentos decrescente
Relação entre produtividade marginal e produtividade média
Custo total de curto prazo
Custo médio e custo marginal
Custo afundado
Parcela fixa do custo variável e custo afundado
3.5 – Aplicações
A taxa de juro e o investimento
Comportamento sob risco – Método de Monte Carlo
Estimação da função de produção de um processo produtivo concreto
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I – Funcionamento do Mercado
Duração lectiva: 5 +1 aulas.
Sumário: Compreender como do observado empiricamente se pode justificar o mercado
(quanto à evolução dos preços e das quantidades transaccionadas em resultado de alterações
exógenas) como a interacção de três Leis da Natureza: A curva de oferta; a curva de procura e
o equilíbrio de mercado. Estudar a evolução do mercado em resultado da ocorrência de
choques exógenos (que induzem reforço ou enfraquecimento do padrão da procura e da
oferta) e de intervenções do governo (imposição de preço mínimo e preço máximo; impostos
e subsídios).
Objectivos: Apresentação de um modelo empírico do mercado obtido a partir da observação
de factos estilizados quanto à evolução do preço e das quantidades transaccionadas. O modelo
contempla três Leis da Natureza: i) os compradores agregam-se na curva de procura, ii) os
vendedores agregam-se na curva de oferta, e iii) a transacção de mercado acontece no ponto
de intersecção destas duas curvas (ponto de equilíbrio). Considerando o preço e a quantidade
como as variáveis endógenas do modelo empírico de mercado, compreender o efeito das
alterações na procura e na oferta (i.e., deslocamentos das curvas) e nas políticas do governo
(controlo de preços e impostos/subsídios). Neste capítulo não se pretende racionalizar as Leis
da Natureza do modelo apresentado (i.e., qual a justificação profunda para a existência das
curvas de oferta, de procura e do equilíbrio de mercado).
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1.1. Conceitos introdutórios
Objecto. A Microeconomia trata das decisões dos agentes económicos de pequena dimensão
(etimologicamente, micro que dizer pequeno). O estudo pode ser feito à escala do indivíduo
ou a um nível mais agregado como, por exemplo, à escala da família, da empresa, da indústria
ou do sindicato. A esta escala micro, sendo fixa a quantidade de recursos (bens e serviços), a
decisão dos indivíduos quanto à sua afectação tem como principal variável o preço relativo
dos diversos bens ou serviços. Os bens ou serviços poderão ser perfeitamente homogéneos
(e.g., Maça Golden calibre 40/45) ou ter um certo grau de agregação (e heterogeneidade), por
exemplo, ao nível de Maçãs, Fruta ou Produtos Vegetais Frescos.
Sendo o preço a variável fundamental da Microeconomia, então também a podemos entender
como a “teoria dos preços”.
Por oposição, a Macroeconomia trata das grandezas agregadas ao nível do país (por exemplo,
o Produto que traduz o total de bens e serviços produzido no país) não havendo a
possibilidade de estudar o efeito da alteração dos preços relativos dos diversos bens ou
serviços.
Limitações da micro-teoria. É sabido que dois indivíduos aparentemente iguais não tomam
necessariamente a mesma decisão. Em termos epistemológicos não podemos distinguir se é o
modelo que erra (por falta de informação) ou se é o comportamento individual que tem uma
parcela de “erro” (por exemplo, 30% do comportamento é racionalizado e os restantes 70% é
aleatório). Em termos de falhas de informação, podemos pensar que, apesar de parecerem
idênticos, cada indivíduo tem uma história diferente (modelizável por uma multiplicidade de
parâmetros) que é desconhecida. Apenas se a história fosse perfeitamente conhecida é que
seria possível a previsão sem erro. Em termos de racionalidade humana limitada, a
capacidade de cálculo do cérebro humano não permite resolver problemas com muito elevada
complexidade pelo que o comportamento é aproximado ao que deveria ser. Pode também
acontecer que o pensamento humano tenha uma componente aleatória: como o cérebro é
formado por células, os problemas serão divididos em pequenas partes, processados
parcelarmente e, depois, as soluções parcelares reunidas. Pode acontecer que, como a
velocidade das partes é diferente, aconteçam faltas ou repetições de parcelas, ocorrendo um
erro de cálculo (ver no final o Método de Monte Carlo).
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Motivado pelo erro de previsão dos modelos, os resultados microeconomicos devem ser
interpretado como uma fundamentação para as tendências (e.g., de aumento, diminuição ou
manutenção) e não devem ser olhados no pormenor da magnitude estimada pelo modelo.
Apesar da Microeconomia ser uma simplificação grosseira da realidade, o seu estudo é
fundamental porque permite compreender a economia em novas situações, por exemplo,
quando forem aplicadas políticas nunca antes experimentadas. Além disso, por estar a um
nível próximo da empresa (o nível dos preços e das quantidades) permite que os gestores
compreendam a evolução dos mercados em resposta à alteração das suas acções e
racionalizem como os outros agentes económicos vão responder.
Se ponderarmos, os preços relativos estão ligados até à escolha do curso universitário (de
gestão) que actualmente frequentam pois esta escolha está predominantemente ligada ao
salário que podem vir a receber (que será o preço do vosso trabalho).
Economia positiva ou Economia normativa (do bem-estar)
Positivismo: Para que haja progresso terá que ser continuamente gerado conhecimento novo.
Se nos contentarmos por saber bem o que a geração anterior sabia, a nossa geração não pode
aspirar a ter um nível de vida superior. Resulta desta certeza a reflexão de Albert Einstein
(1879-1955) de que “a imaginação é mais importante que o conhecimento porque o
conhecimento está limitado ao que sabemos e compreendemos enquanto que a imaginação
abarca todo o mundo e tudo o que vier a ser conhecido e compreendido.”
Para que possa haver conhecimento novo, o conhecimento antigo tem que poder ser retomado
por qualquer outro homem sem necessidade de o refazer. Para que isso seja possível, terá que
ser utilizado um método objectivo de criação de conhecimento: o método científico. Por
objectivo quer-se dizer que é universal e, tanto quanto possível, não pessoal.
Considera-se que o método científico é positivo no sentido de que i) o investigador não emite
opinião moral sobre o fenómeno (i.e., se a Natureza está bem ou mal); ii) o conhecimento é
um modelo (matemático) da realidade (e não a realidade); iii) resultam dos modelos predições
que podem ser testadas empiricamente e; iv) apenas as hipóteses explicativas que estão
positivamente em acordo com a realidade é que podem ser aceites como válidas (não basta
não poder provar que são falsas). Por exemplo, eu não saber o que são os OVNIs
(exactamente Objectos Voadores não Identificados) e não poder afiançar que não são
construídos por extraterrestre, não me permite afirmar que existem extraterrestres.
O conhecimento científico serão hipóteses sobre a realidade que vão sendo progressivamente
reforçadas e aceites por uma percentagem cada vez maior de pessoas, ou enfraquecidas e
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aceites por uma percentagem cada vez menor de pessoas. Por exemplo, a teoria de evolução
das espécies é uma hipótese para explicar a existência, extinção e aparecimento das espécies
vivas. Actualmente é uma hipótese muito forte e aceite pela maior parte das pessoas. No
entanto, há muitas pessoas que não a aceitam.
Conhecimento normativo: Além de haver muito conhecimento que não pode ser objectivo
(e.g., o conhecimento estético, religioso ou filosófico), o fim último do conhecimento é a
tomada de decisão (i.e., a acção). Mas a tomada de decisão obriga a classificar as situações
como boas ou más e o sentido da alteração que melhora as situações. Por exemplo, eu dizer
que a pobreza tem que ser combatida pressupõe que é uma coisa má. Então, estou a adoptar
uma perspectiva normativa: o que fazer para transformar a realidade no sentido que eu penso
ser bom.
Ex1.1: Que analises têm subjacente uma perspectiva positiva ou normativa? A) Se a EU
liberalizar a politica de vistos para os indivíduos de elevada escolaridade, os países africanos
ficam sem médicos; B) Quando a temperatura desce, o preço das verduras aumenta; C) Os
subsídios agrícolas da EU são prejudiciais às economias dos países africanos; D) O
investimento das autarquias deve ser canalizado para os espaços públicos (e.g., jardins e vias
de comunicação) em desfavor dos espaços privados (e.g., habitação e estacionamento).
R: A) e B) Perspectiva positiva; C) e D) Perspectiva normativa.
Factos estilizados. A Natureza é demasiado complexa para as nossas capacidades de
observação e raciocínio pelo que se torna necessário que decomponhamos (i.e., analisemos) a
realidade em algumas variáveis assumidas como independentes e que nos concentremos
apenas nas tendências gerais dessas variáveis de estudo. Por exemplo, o salário de uma pessoa
depende de muitos factores e condicionantes: se é homem ou mulher, a sua experiência, o
jeito natural, a idade, a altura e peso, se se relaciona bem com o chefe, etc. No entanto, se nos
concentrarmos nas “mais importantes”, comparando milhares de indivíduos, podemos ver
que, em média, existe uma tendência positiva entre o nível de escolaridade e o salário.
Denominam-se factos estilizados exactamente às “grandes tendência” das variáveis e dos seus
relacionamentos.
10
1.2. Quantidade transaccionada e preço de mercado.
Por haver diversidade de clima, de recursos naturais ou resultante da especialização na
produção, os indivíduos têm uns bens e serviços em grande quantidade e outros em pequena
quantidade. Os indivíduos, por apreciarem o consumo diversificado de bens e serviços,
podem melhorar globalmente o seu bem-estar se trocarem os bens que têm em grande
quantidade pelos que têm em pequena quantidade. Por exemplo, as pessoas que vivem à
beira-mar têm muitas sardinhas e pouco milho enquanto que as que vivem mais no interior
têm muito milho e poucas sardinhas. Então, todas as pessoas melhoram se houver a
possibilidade de trocar sardinhas por milho.
Sendo que a troca implica a mudança de mãos de determinadas quantidades de bens ou
serviços, vamos procurar construir um modelo que explique a decisão de troca que se traduz
pela quantidade transaccionada a um determinado preço. Parece evidente que o preço da
transacção é o factor mais importante na determinação da quantidade trocada.
O preço traduz a razão de troca entre cada par de bens, e.g., eu poder trocar três quilogramas
de milho por cada quilograma de sardinhas. Como vivemos numa sociedade com moeda (que
funciona como unidade de valor), cada bem terá o seu preço monetário. Então, posso
imaginar, em vez da troca directa entre bens ou serviços, a transacção de cada bem ou serviço
contra uma quantidade de moeda (i.e., o seu preço).
Vamos considerar um modelo do mercado de um bem ou serviço em que existe, por um lado,
o preço nominal e a quantidade transaccionada (que serão variáveis endógenas do modelo) e,
por outro lado, múltiplos parâmetros (que serão variáveis exógenas ao modelo).
A quantidade transaccionada num mercado é, geralmente, um fluxo, e.g., 100kg de maçãs por
hora (mercado contínuo). Existem também mercados que funcionam apenas pontualmente no
tempo (mercado por chamada). Assim sendo, tanto podemos representar a quantidade
transaccionada como “kg/hora” como apenas por “kg”. No caso do preço unitário, mesmo que
as quantidades sejam em “kg/hora”, será sempre em unidades monetárias por unidade de bem
ou serviço, “€/kg”.
Se não houvesse alteração das variáveis exógenas, o mercado ficaria sempre no mesmo ponto,
i.e., o preço de mercado e a quantidade transaccionada seriam invariantes no tempo. Por
exemplo, o preço das maçãs seria de 1.00€/kg e vender-se-iam 10000kg de maçãs por hora.
No entanto, as múltiplas variáveis exógenas estão continuamente a alterar de valor pelo que o
mercado (i.e., o preço e a quantidade transaccionada) evolui ao longo do tempo. Em termos
empíricos, apresento na Fig. 1 a evolução diária de um mercado de maçãs onde várias
vendedoras competem pelos compradores que aparecem (dados simulados com cada ponto a
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representar um quarto de hora). Desta figura não é possível conjectura qualquer regularidade
que possa ser aproveitada na explicação da evolução das variáveis endógenas (da quantidade
transaccionada em função do preço) quando ocorrem alterações exógenas. No sentido de
descobrir as Leis da Natureza que caracterizam o mercado, teremos que analisar
acontecimentos isolados (i.e., fazer uma análise parcial, Walras, 1834-1910; Cournot, 180177; Marshall, 1842-1924).
preço
2,00 €
1,50 €
1,00 €
0,50 €
0,00 €
0
5
10
Quantidade15
(t)
Fig.1.1 – Quantidade transaccionada e preço de mercado (de maçãs).
Variação no padrão da procura. Já referi que se “tudo se mantivesse constante” os preços e
as quantidades transaccionadas ficavam fixos. No entanto, nos últimos anos, o milho, além do
habitual consumo na alimentação animal e humana (que cresceu a uma taxa anual de 2%)
começou a ser usado na produção de bio combustíveis (que cresceu a uma taxa anual de
10%/ano). Pensemos que as condicionantes da oferta (tecnologia e área disponível) têm-se
mantido constantes. Apresento na Fig.2 a evolução do preço médio e das quantidades
transaccionadas a cada ano (dados simulados).
Neste exemplo, contrariamente à Fig.1.1, transparece uma regularidade na evolução (as
variáveis preço e quantidade estão positivamente correlacionadas) que se acentua se
representarmos num gráfico os preços de transacção com as quantidades transaccionadas (ver,
Fig.1.3): nas horas em que aumenta o preço de mercado (em €/tonelada), também aumenta a
quantidade transaccionada (em toneladas).
12
400 €
130
Mt
Preço
350 €
125
300 €
120
250 €
115
Quantidade
200 €
110
150 €
105
100 €
1990
1995
2000
2005
100
Ano
Fig.1.2 – Quantidade transaccionada e preço de mercado.
preço
400 €
350 €
300 €
250 €
200 €
150 €
100 €
100
105
110
115 Quantidade 120
(Mt)
Fig.1.3 – Quantidade transaccionada e preço de mercado (milho).
Vejamos outro exemplo que permite visualizar o mesmo tipo de relação entre preço e
quantidade transaccionada. Relativamente às verduras cruas, os consumidores apreciam-nas
mais no Verão que no Inverno não havendo diferenças na produção. Desta forma, o mercado
tem dois períodos distintos: o Verão e o Inverno. Na fig.1.4 apresento a evolução do mercado
(quantidades e preços) dos últimos 15 anos (dados simulados com cada ponto a representa um
semestre).
13
Preço
1,7
1,6
Verão
1,5
1,4
1,3
Inverno
1,2
1,1
100
110
120
130
140
150
Quantidade
160
170
Fig.1.4 – Quantidade transaccionada e preço de mercado (verdura).
Nas Fig.1.3 e Fig.1.4 observa-se que, em termos estilizados, existe uma associação entre a
quantidade transaccionada e o preço: a um preço mais elevado está associada uma
quantidade transaccionada maior. Vamos denominar esta correlação positiva por Curva A.
Variação no padrão da oferta. Vejamos agora exemplos que parecem contrariar a Lei da
Natureza que estávamos a induzir. A produção de leite está muito condicionada pelas
condições meteorológicas: Quando o Inverno é seco, a produção enfraquece e vice-versa. No
entanto, o consumo não se altera significativamente (com a pluviosidade durante o Inverno).
Apresento na Fig.1.5 a evolução do mercado quanto as quantidades transaccionadas e preços
do leite ao longo dos últimos 16 anos (dados simulados).
Preço
400 (€/t)
390
Seco
380
370
Húmido
360
350
100
105
110
115
Quantidade (Mt)
120
125
Fig.1.5 – Quantidade transaccionada e preço de mercado (leite).
14
Tal como nas Fig.1.3 e Fig.1.4, na Fig.1.5 também se observa, em termos estilizados, uma
associação entre a quantidade transaccionada e o preço mas de sentido contrário: um preço
mais elevado está associado a uma quantidade transaccionada menor. Vamos denominar
esta correlação negativa por Curva B.
O que podemos observar nas fig.1.3, fig.1.4 e fig.1.5? Aparentemente, não conseguimos
relacionar as quantidades transaccionadas com os preços, havendo duas possibilidades, a
relação ser positiva (a curva A) ou negativa (a curva B). (Há ainda a possibilidade de a
relação ser nula, Fig.1.1)
1.3. Curvas de oferta, de procura e equilíbrio de mercado
A divisão do mercado nestas três Leis da Natureza deve-se a Walras (1834-1910); Cournot
(1801-77) e Marshall (1842-1924).
Curva da Oferta: Na curva A, (fig.1.3 e fig.1.4), o que observamos no mercado é o efeito
isolado de uma alteração no padrão da procura (mantivemos as condições de oferta). Assim,
resulta do reforço da procura (por exemplo, pelo aumento do rendimento) um aumento da
quantidade transaccionada e do preço de mercado (e vice-versa quando há um
enfraquecimento da procura). Por estranho que pareça, quando há uma alteração no padrão da
procura e mantendo o resto constante (ceteris paribus), o que é revelado pelo mercado é o
comportamento dos vendedores: ficamos a saber que os vendedores estarão disponíveis para
vender uma maior quantidade se o preço for maior (maior quantidade disponível implica
maior preço).
Curva da Procura: Na Curva B, (fig.1.5), o que observamos no mercado é o efeito isolado
de uma alteração nas condições da oferta (mantivemos o padrão de procura). Resultou que um
reforço da oferta (por exemplo, pela ocorrência de uma inovação tecnológica) induz um
aumento da quantidade transaccionada e uma diminuição do preço de mercado (e vice-versa
quando há um enfraquecimento da oferta). Também parece estranho que, quando há uma
alteração no padrão da oferta e se mantém o resto constante (ceteris paribus), o que é revelado
pelo mercado seja o comportamento dos compradores: ficamos a saber que os compradores
estarão disponíveis para adquirir uma maior quantidade se o preço de mercado diminuir
(maior quantidade implica menor preço).
15
Equilíbrio de Mercado: Sendo que no mercado se encontram as intenções dos compradores
e dos vendedores, então, a quantidade transaccionada e o preço de mercado resultam do
equilíbrio entre as vontades destes agentes económicos: o mercado vai transaccionar no ponto
onde a vontade dos compradores (i.e., a curva de procura) iguala (i.e., está em equilíbrio) a
vontade dos vendedores (i.e., a curva da oferta). Representamos na fig.1.6 as curvas da
procura e da oferta e o equilíbrio de mercado.
Preço
130
C. Procura
120
Equilíbrio
C. Oferta
110
100
90
100
105
110
115
120
125 Quantidade
130
Fig.1.6 – Curvas da procura e da oferta e equilíbrio de mercado.
Non-tâtonnement de Walras: No mercado apenas existem as transacções do ponto de
equilíbrio (tâtonnement: tentativa e erro): Enquanto o mercado está fechado, os agentes
calculam o ponto de equilíbrio e, quando o mercado abre, realizam-se as transacções. Não nos
vamos preocupar agora sobre uma teoria profunda para o equilíbrio de mercado. Aqui é
apenas uma Lei da Natureza a utilizar sem questionar.
Nota: A quantidade transaccionada no mercado não é “a curva da procura” nem a “curva da
oferta” mas apenas um ponto destas duas curvas que coincide nas duas. Assim, falamos de
“quantidade procurada” e “quantidade oferecida” como as quantidades que de facto são
concretizadas no mercado.
Ex1.2: Supondo que a curva de oferta de mercado é dada por S(p) = 50 + 0.25p e a curva de
procura de mercado é dada por D(p) = 100 – 0.75 p, qual será a quantidade transaccionada no
mercado e a que preço?
16
R: O equilíbrio será S = D  50 + 0.25p = 100 – 0.75p  p = 50 e Q = 62.5.
1.4. Alterações nas curvas de oferta e de procura.
Quando falamos nas “alteração do padrão” da procura ou da oferta estávamos a referirmo-nos
a deslocamentos das curvas (em linguagem mais actual, funções) no espaço preço/quantidade.
Deslocamento da curva de oferta. Quando acontecem alterações nos valores das variáveis
exógenas (qualquer variável menos o preço) que influenciam a quantidade que os vendedores
oferecem para cada preço, dizemos que acontece um deslocamento da curva de oferta como
um todo. Existe um enfraquecimento da oferta quando, para cada preço, diminui a
quantidade que os vendedores disponibilizam para venda (para cada preço). Por exemplo,
quando o vento forte destrói as estufas da nossa região, a curva de oferta de legumes deslocase no sentido do enfraquecimento. Em termos gráficos, traduz-se um enfraquecimento da
oferta pelo deslocar para a esquerda e para cima da curva de oferta (ver fig. 1.7).
Preço
130
C. Procura
120
o P. Equilíbrio muda
110
100
C. Oferta
90
100
105
110
115
120
125 Quantidade
130
Fig.1.7 – Efeito no ponto de equilíbrio de mercado de um enfraquecimento da oferta.
Existe um fortalecimento da oferta quando, para cada preço, aumenta a quantidade que os
vendedores estão disponíveis para vender. Por exemplo, o acordo que permitiu ao chineses
vender camisas na EU fez com que a curva de oferta de camisas se deslocasse no sentido do
fortalecimento. Em termos gráficos, um fortalecimento da oferta implica que a curva de oferta
se desloca para a direita e para baixo (ver fig.1.8).
17
ceteris paribus é uma expressão latina que traduz a condição de que tudo o resto (neste caso, a
curva da procura) se mantém inalterado. É a condição imposta para se poder levar a cabo a
análise parcial (e o equilíbrio parcial) que estamos a apresentar. Na análise parcial apenas
temos em atenção metade de um mercado enquanto que no equilíbrio parcial apenas temos em
atenção o equilíbrio do mercado de um bem ou serviço (e assumimos tudo o resto exógeno e
constante). Em termos matemáticos consiste na “análise de derivadas parciais”.
Preço
130
C. Procura
120
110
o P. Equilíbrio muda
100
C. Oferta
90
100
105
110
115
120
125 Quantidade
130
Fig.1.8 – Efeito no ponto de equilíbrio de mercado de um reforço da procura.
Podemos confirmar visualmente nas Fig.1.7 e Fig.1.8 que quando há alterações na curva de
oferta, ceteris paribus, o equilíbrio de mercado torna visíveis pontos ao longo da curva de
procura. Associado a deslocações da curva de oferta está o aumento das quantidades
transaccionadas e a diminuição do preço de mercado (e vice-versa): do enfraquecimento
resulta um aumento do preço e diminuição da quantidade transaccionada e no fortalecimento
resulta uma diminuição do preço e um aumento da quantidade transaccionada.
Ex1.3: Referente a cada ano, a curva de oferta de leite (Mt) é positivamente influenciada pela
pluviosidade (mm), S(p) = 50 + 0.50p + 0.10h, enquanto que a curva de procura não, D(p) =
150 – 0.75 p. De que forma o preço (€/l) e a quantidade transaccionada no mercado se alteram
se num ano a pluviosidade for maior em 1mm?
R: O equilíbrio de mercado será onde S = D  50 + 0.50p + 0.01h = 150 – 0.75p  1.25p =
100 – 0.01h  p = 80 – 0.008h e Q = 90 + 0.006h. Um aumento da pluviosidade de 1mm,
ceteris paribus, induz um aumento da quantidade transaccionada de 0.006Mt = [90 +
18
0.006(h+1) – (90 + 0.006h)] e uma diminuição do preço de 0.008€/l = [80 – 0.008(h+1)–(80
– 0.008h)].
Deslocamento da curva de procura. Quando acontecem alterações nos valores das variáveis
exógenas que influenciam a procura, dizemos que se observa um deslocamento na curva de
procura como um todo. Existe um enfraquecimento da procura quando, para cada preço,
diminui a quantidade que os compradores se disponibilizam a comprar. Por exemplo, no
Inverso existe um enfraquecimento da procura de gelados. Em termos gráficos, o
enfraquecimento faz com que a curva de procura se desloque para a esquerda e para baixo
(ver fig.1.9).
Preço
130
C. Procura
120
C. Oferta
110
o P. Equilíbrio muda
100
90
100
105
110
115
120
125 Quantidade
130
Fig.1.9 – Efeito no ponto de equilíbrio de mercado de um enfraquecimento da procura.
Existe um fortalecimento da procura quando, para cada preço, aumenta a quantidade que os
compradores se disponibilizam a adquirir. Por exemplo, quando chove, existe um
fortalecimento da procura de guarda-chuvas. Em termos gráficos, a curva de procura deslocase para a direita e para cima (ver Fig.1.10).
19
Preço
130
C. Procura
120
o P. Equilíbrio muda
110
100
C. Oferta
90
100
105
110
115
120
125 Quantidade
130
Fig.1.10 – Efeito no ponto de equilíbrio de mercado de um fortalecimento da procura.
Podemos visualizar nas Fig.1.9 e Fig.1.10 que quando há alterações na curva de procura,
ceteris paribus, o equilíbrio de mercado torna visíveis pontos ao longo da curva de oferta.
Associado a alterações na curva de procura está o aumento (ou diminuição) das quantidades
transaccionadas e do preço de mercado: do enfraquecimento resulta uma diminuição do preço
e da quantidade transaccionada e no fortalecimento resulta um aumento do preço e da
quantidade transaccionada.
Ex1.4: Numa região, onde normalmente se consumem 100t/dia de pão a um preço unitário de
0.15€, têm-se ultimamente consumido 150t/dia de pão a um preço unitário de 0.18€. Será que
esta alteração é induzida por um padeiro estar doente?
R: Não. Um padeiro doente induziria um enfraquecimento na oferta sendo de espera uma
diminuição da quantidade transaccionada acompanhada por um aumento do preço. No
entanto, observa-se um aumento do preço em simultâneo com o aumento da quantidade
transaccionada o que indicia um reforço da procura.
Curvas agregadas e curvas individuais. As curvas que se observam no mercado resultam da
soma das curvas dos agentes económicos individuais que estão presentes no mercado. Se por
exemplo, ao preço de 0.50€/kg o João quer adquirir 3kg de maçãs e a Maria 5kg de maçãs,
então, no agregado, ao preço de 0.50€/kg, querem adquirir 8kg de maçãs. No caso de termos
as curvas individuais como funções explicitadas em ordem àsquantidades, bastará somá-las.
Se o Joaquim se caracteriza por sJ(p) = 5 – 0.1p e a Mariana por sM(p) = 10 – 0.2p, a curva de
20
mercado será S(p) = sJ(p) + sM(p) = 55 – 0.3p. Agregam-se de forma idêntica as curvas de
oferta.
Ex1.5: Numa mercado existem 1000 compradores idênticos cujas curvas de procura
individual são d(p) = 1 – 0.01p e 50 vendedores idênticos cujas curvas de oferta são s(p) = –1
+ 0.1p (preço em c/kg). Qual será a quantidade adquirida por cada comprador e a que preço?
R: Primeiro, somamos para cada preço as quantidades. Com compradores idênticos, teremos
D(p) = 1000d(p) = 1000.( 1 – 0.01p) = 1000 – 10p. Com vendedores idênticos, teremos S(p)
=50s(p) = 50.(– 1 + 0.1p) = –50 + 5p. Segundo, o equilíbrio de mercado que será em D(p) =
S(p)  1000 – 10p = –50 + 5p  15p = 1050  p = 70 c/kg e Q = 300 kg. Terceiro, o preço
será o de mercado, p = 70 c/kg, enquanto que a quantidade individual se obtém dividindo o
total transaccionado pelos 1000 compradores, q = 0.300 kg.
Devemos notar que a soma das curvas individuais se faz sempre nas quantidades e nunca nos
preços. Supondo que temos a representação gráfica de dois grupos de consumidores (grupo 1
e 2), em termos gráficos, como o preço está representado no eixo vertical, a soma será feita na
horizontal (ver Fig. 1.11).
120
Preço
100
80
60
S = s1 + s2
40
s1
s2
20
0
0
10
20
30
40
Quantidade
50
60
Fig.1.11 – Curva de procura como soma horizontal de duas curvas de procura individuais.
Ex1.6: Num mercado de produtos higiénicos, a curva de procura é linear e passa por dois
pontos conhecidos, para mulheres e homens (ver tabela abaixo). Existem 1000 mulheres e
1500 homens e a curva de oferta é S(p) = –2500 + 2000p. Qual o género (homem ou mulher)
que adquire mais deste produto?
21
Consumo
1 u./mês
2 u./mês
Mulheres
1€
0.5€
Homens
0.5€
0.25€
R: 1) a curva de procura de cada mulher será dm(p) = a + b.p  {1 = a + b  2 = a + 0.5b}
 {a = 3  b = –2}  dm(p) = 3 – 2p, p <3/2 e de cada homem será dh(p) = c + d.p 
{1 = c + 0.5d  2 = c + 0.25d}  {c = 5  d = –4}  dh(p) = 5 – 4p, p <3/4; 2) a curva de
procura de mercado vai ter uma quebra no preços 0,75€/u. porque os homens saem do
1500dh  1000dm, p  3 / 4 7500  8000 p, p  3 / 4
mercado: D  
3) o equilíbrio

1000dm, 3 / 4  p  3 / 2 3000  2000 p, 3 / 4  p  3 / 2
de mercado será D(p) = S(p)  7500 – 8000p = –2500 + 2000p  10000 = 10000p  p = 1€
e dm(1) = 1u. e dh(1) = –1u; 4) Não estamos no domínio aceitável para o preço. Teremos que
usar a “outra” parte da curva da procura D(p) = S(p)  3000 – 2000p = –2500 + 2000p 
5500 = 4000p  p = 1.375€ e dm(1.375) = 0.25u. e dh(1.375) = 0u. No mercado, a quantidade
transaccionada será 250u. São as mulheres que adquirem mais (os homens não compram).
Variações relativas, Elasticidade. Em termos empíricos, a evolução relativa das variáveis
económicas é mais relevante que a sua variação absoluta. Por exemplo, o produto dos países
pobres cresce em termos absolutos (em € por pessoa e por ano) muito menos que o produto
dos países ricos mas, em termos de percentagem, a taxa de crescimento é semelhante. Então,
tem importância definir as curvas de procura e de oferta (na vizinhança do ponto de
equilíbrio) em termos relativos. Por exemplo, dizer que, quando o preço aumenta 1%, a
quantidade procurada aumenta 0.75%. Esta grandeza não tem dimensões e denomina-se por
elasticidade (no exemplo seria 0.75).
Elasticidade arco. A determinação da elasticidade arco (ou média) é feita quando se
conhecem dois pontos da curva e obtém-se dividindo a variação relativa da quantidade pela
variação relativa do preço. Por exemplo, conhecemos os pontos S(5) = 90 e S(7) = 110. Então,
em torno do ponto médio, existe uma variação relativa da quantidade oferecida de
(90 – 110)/100 = 20% e uma variação relativa do preço de (7–5)/6 = 33.3% pelo que a
elasticidade preço da oferta será 20%/33% = 0.6.
Em termos de expressão matemática temos:
22
a p ,Q 
Q2  Q1
Q
p2  p1
p

Q2  Q1
0.5(Q2  Q1 )
p2  p1
0.5( p2  p1 )
Também poderíamos utilizar logaritmos (i.e., ajustar um função isoelástica). Partindo de dois
pontos, (y1, x1) e (y2, x2) determinamos  ajustando y = A.x:


ln( y1 )  ln( y2 ) ln( 90)  ln( 110)
 y1  A.x1


y
/
y

(
x
/
x
2
)




 0.596

1
2
1

ln(
x
)

ln(
x
)
ln(
5
)

ln(
7
)

y

A
.
x
1
2
2
 2
Elasticidade ponto. A determinação da elasticidade ponto é feita com recurso ao cálculo
matemático. Assim, é o limite da elasticidade arco quando a diferença dos preços se aproxima
de zero. Tem em consideração o valor da derivada da função e os valores da quantidade e do
preço no ponto. Para ficar mais claro, vou usar a definição de derivada na elasticidade preço
da procura:
  lim
p 2 p1
Q2  Q1
Q
p2  p1
p
D ( p  h)  D ( p )
p
D( p )
 D ( p  h)  D ( p )  p
 lim
 lim 
 D' ( p )

h 0
h 0
h
h
D( p )

 D( p )
p
Podemos agora confirmar que a elasticidade ponto de y = A.xe é e em qualquer abcissa:
y ' ( x)
x
x
 A.e.x e 1
e
y
A.xe
Procura elástica ou inelástica: Se a elasticidade da função de procura for menor que um,
diz-se que a procura é inelástica enquanto que se for superior a um diz-se que a procura é
elástica. No caso fronteira, a procura é de elasticidade unitária.
Ex1.7: Sendo a curva de procura D(p) = 100 – p e a curva de oferta S(p) = –10 + 10p,
relativamente ao ponto de equilíbrio, qual será a variação relativa da quantidade procurada se
o preço aumentar 1%?
R: O equilíbrio é D(p) = S(p)  100 – p = –10 + 10p  p = 10€/u. e Q = 90u. A elasticidade
no ponto é D’(p).p/Q = –1x10/ 90 = –0.11. Então, se o preço aumentar 1%, a quantidade
procurada diminui 0.11%.
23
Outro exemplo: Para a função de procura D(p) = 100 – 3p, determine a elasticidade preço da
procura. Determine o ponto em que a essa elasticidade vale –0.5.
R: Para um ponto genérico, temos
O ponto em que
dD p
p
3p
 3

.
dp D
100  3 p 100  3 p
p,D = –0.5 resolve
3p
 0.5  3 p  50  1.5 p  p  11.11€ / u. ,
100  3 p
D(11.11) = 66.67u.
Meio de transporte e utilização Elasticidade preço da procura
Viagem de avião, passeio
–1.52
Viagem de comboio, passeio
–1.40
Viagem de avião, negócios
–1.15
Viagem de comboio, negócios
–0.70
Tab. 1.1 – Estimativa da elasticidade preço da procura (eq,p)
(Fonte: Besanko, 2ªed, Table 2.2)
Ex1.8: Sendo que a curva de procura se fortalece com o rendimento disponível, D(p) = 100 –
p + 0.25R, e a curvas de oferta é S(p) = –10 + 5p, para um rendimento de 1000€ qual será a
variação relativa da quantidade procurada induzida por um aumento do rendimento em 1%?
R: O equilíbrio será D(p) = S(p)  100 – p + 0.25R = –10 + 5p  360 = 6p  p = 60€/u. e
Q = 290u. A elasticidade no ponto será relativamente ao rendimento D’R(p).R/Q =
0.25x250/290 = 0.22. Então, o aumento de 1% no rendimento induz um aumento de 0.22% na
quantidade procurada.
Alimento
Elasticidade rendimento da procura
Natas
1.72
Maças
1.32
Ervilhas frescas
1.05
Cebolas
0.58
Manteiga
0.37
Margarina
–0.20
Tab. 1.2 – Estimativa da elasticidade rendimento da procura (eq,r)
(Fonte: Besanko, 2ªed, Table 2.4)
1.5. Aplicações: intervenções do governo.
O governo, por vezes, julga que o mercado não está a funcionar de forma conveniente para o
bem da sociedade e decide intervir politicamente no sentido de alterar os preços e a
quantidade transaccionadas na direcção politicamente considerada como a mais conveniente.
24
Vamos considerar, havendo outras, as politicas de imposição de um preço máximo ou mínimo
e a cobrança de um imposto (que se soma ao preço) ou atribuição de um subsídio (que se
subtrai ao preço).
Imposição de um preço máximo. Por vezes, os governos intervêm no mercado impondo um
preço máximo. Por exemplo, as condicionantes do mercado apontam para que o preço do pão
suba de 0.15€/u. para 0.20€/u. mas o governo, pensando acalmar o descontentamento dos
consumidores, impõe que o preço não possa ultrapassar os 16€/u. Apenas existem efeitos no
mercado da imposição de um preço máximo se o preço imposto for inferior ao preço de
equilíbrio de mercado. É óbvio que se o governo impusesse que o preço do pão não podia
ultrapassar 1.00€/u., a política não teria qualquer efeito. Já a imposição de um preço máximo
de 0.16€/u. terá efeitos no mercado.
A imposição de um preço máximo inferior ao preço de equilíbrio induz uma diminuição da
quantidade transaccionada e do preço de mercado (ver Fig.1.12).
Preço
2,4
D
S
2,2
2
1,8
1,6
1,4
95
100
105
110
Quantidade
115
Fig.1.12 – Imposição de um preço máximo menor que o preço de equilíbrio.
Ao preço máximo obrigatório, os consumidores estariam disponíveis para consumir maior
quantidade mas os vendedores não estão disponíveis para colocar à venda tanta quantidade.
Observa-se que deixa de haver mercadoria disponível: no caso dos bens, as prateleiras ficam
vazias e, no caso dos serviços, aumenta o tempo de espera para o atendimento. Pode ainda
verificar-se uma degradação da qualidade do bem ou serviço e surgir um mercado paralelo em
que as transacções acontecem a um preço maior que o valor máximo imposto pelo governo.
25
Nas situações de imposição de um preço máximo efectivo, o mercado vai ficar fora do normal
ponto do equilíbrio e sobre a curva da oferta.
Ex1.9: Num mercado de pão, a curva de procura é D(p) = 280 – 6p e a curva de oferta é S(p)
= 80 + 4p (preço em c./carcaça e quantidade em milhares de carcaças). i) Qual o equilíbrio de
mercado e ii) que alterações induz o governo ao impor 16c./carcaça como preço máximo?
R: i) O equilíbrio de mercado será D(p) = S(p)  280 – 6p = 80 + 4p  200 = 10p  p = 20
e Q = 160. ii) Se for imposto como preço máximo 16c/carcaça, então haverá uma diminuição
do preço de transacção (16 < 20) acompanhada por uma diminuição da quantidade
transaccionada: Q = menor{280 – 6p; 80 + 4p} = menor{184; 144} = 144. O mercado vai
ficar sobre a curva de oferta.
Preço mínimo. Os governos também podem intervir no mercado pela imposição de um preço
mínimo. Por exemplo, o mercado aponta para que o preço da carne de vaca diminua de
5.00€/kg para 3.50€/kg mas o governo, pensando tal ser pernicioso para os agricultores,
decreta que o preço não pode ser inferior a 4.00€/kg.
Apenas existirão efeitos desta política se o preço mínimo for superior ao preço de equilíbrio.
Se, no exemplo, o governo impusesse que o preço da carne não podia ser menor que 1.00€/kg
não haveria qualquer alteração no mercado. Pelo contrário, a imposição de 4.0€/kg como
preço mínimo já terá efeitos no mercado.
A imposição de um preço mínimo superior ao preço de equilíbrio induz uma diminuição da
quantidade transaccionada e um aumento do preço de mercado (ver Fig.1.13).
Ao preço mínimo obrigatório (mais elevado que o de equilíbrio normal), os vendedores
estariam disponíveis para vender maior quantidade mas os compradores não estão disponíveis
para adquirir tanta quantidade. Observa-se que começa haver excesso de mercadoria
disponível: no caso dos bens, as prateleiras ficam cheias e, no caso dos serviços, não existem
clientes. Como os vendedores têm muitos stocks, surge um mercado paralelo em que as
transacções acontecem a um preço de saldo (preço menor que o obrigatório).
Nas situações de imposição de um preço mínimo efectivo, o mercado vai ficar fora do normal
ponto do equilíbrio e apenas sobre a curva da procura.
26
Preço
4,5
D
4
S
3,5
3
100
102
104
106
108
110
112
Quantidade
114
Fig.1.13 – Imposição de um preço mínimo superior ao preço de equilíbrio.
Ex1.10: No mercado de carne, a curva de procura é D(p) = 430 – 60p e a curva de oferta é
S(p) = 80 + 40p (preço em €/kg e quantidade em milhares de kg). Qual o equilíbrio de
mercado e que alterações induz o governo ao impor 4€/kg como preço mínimo?
R: 1) O equilíbrio de mercado será D(p) = S(p)  430 – 60p = 80 + 40p  350 = 100p  p
= 3.5€ e Q = 220t. Se for imposto 4€/kg como preço mínimo, então haverá um aumento do
preço de transacção (4 < 3.5) acompanhada por uma diminuição da quantidade
transaccionada: Q = menor{430 – 60p; 80 + 40p} = menor{190; 240} = 190. O mercado vai
ficar sobre a curva de procura.
Resumindo, a imposição pelo governo de um preço efectivo diferente do de normal
equilíbrio, induz sempre uma diminuição da quantidade transaccionada. Se for imposto um
preço máximo inferior ao de normal equilíbrio, os vendedores não querem vender tanto como
os compradores querem comprar. Se for imposto um preço mínimo superior ao de normal
equilíbrio, os compradores não querem comprar tanto como os vendedores querem vender.
Ex1.11: Num hipotético mercado, as curvas de procura D e de
oferta S são dadas na tabela ao lado. Qual será o preço e a
quantidade transaccionada em equilíbrio de mercado? Qual
será a quantidade transaccionada se o governo impuser 4€/kg
como preço máximo? E 10€/kg como preço mínimo?
27
p
2€/kg
4€/kg
6€/kg
8€/kg
10€/kg
12€/kg
D
150kg
140kg
130kg
120kg
110kg
100kg
S
25kg
80kg
130kg
137kg
140kg
155kg
R: Em equilíbrio a quantidade transaccionada será 130kg ao preço de 6€/kg. A quantidade
transaccionada a 4€/kg será 80kg (lado da oferta). A quantidade transaccionada a 10€/kg será
110kg (lado da procura).
Cobrança de um imposto. Os governos também podem intervir no mercado cobrando um
imposto sobre o preço, tipo IVA. O principal objectivo do governo, além de controlar o
mercado, é obter rendimentos para cobrir os custos do seu funcionamento (e para poder
atribuir subsídios noutros mercado).
A cobrança de um imposto faz com que o preço que os compradores pagam seja superior (no
valor do imposto) ao preço que os vendedores recebem. Assim, o imposto aumenta o preço
que os consumidores pagam e diminui o preço que os vendedores recebem de forma que
diminui a quantidade transaccionada. Na Fig.1.14, inicialmente no mercado são
transaccionadas 110u. ao preço de 3.5€/u.. e a introdução de um imposto de 1€/u. faz diminuir
a quantidade transaccionada para 105u., aumentar o preço que os compradores pagam para
4€/u. e diminuir o preço que os vendedores recebem para 3€/u.
Preço
4,5
D
4
S
Imposto
3,5
3
2,5
100
102
104
106
108
110
112
Quantidade
114
Fig.13 – Efeito da imposição de um imposto
Ex1.12: No mercado de bacalhau, a curva de procura é D(p) = 1500 – 50p e a curva de oferta
é S(p) = 950 + 5p (preço em €/kg e quantidade em toneladas). Qual o equilíbrio de mercado e
que alterações induz a imposição de 3€/kg de imposto?
R: 1) O equilíbrio de mercado será D(p) = S(p)  1500 – 50p = 950 + 5p  550 = 55p  p
= 10€/kg e Q = 1000t. 2.1) Se for cobrado o imposto de 3€/kg, o cálculo do novo ponto de
equilíbrio de mercado pode ser feito ao preço dos vendedores (o preço dos compradores será
28
maior que o preço dos vendedores, ver Fig.1.14). pc = pv + 3  D(pv + 3) = S(pv)  1500 –
50(pv+3) = 950 + 5pv  400 = 55pv  pv = 7.27€/kg, pc = 10.27€/kg e Q = 986.4t.
Preço
4,5
D
pc4
S
Imposto
3,5
pv3
2,5
100
102
104
106
108
110
112
Quantidade
114
Fig.1.14 – Determinação do equilíbrio de mercado ao “preço do comprador”
2.2) De forma equivalente, podemos calcular o novo equilíbrio de mercado ao “preço dos
compradores”: D(pc) = S(pc – 3)  1500 – 50pc = 950 + 5(pc – 3 )  565 = 55pc  pc =
10.27€/kg, pv = 7.27€/kg e Q = 990.9t. 3) Haverá uma redução de 13.6t na quantidade
transaccionada, um aumento de 0.27€/kg no preço pago preços compradores e uma redução
de 2.73€/kg no preço recebido pelos vendedores.
Repartição do imposto entre vendedores e compradores. O imposto, I, induz um aumento
do preço que os compradores pagam, pc, e uma diminuição do preço que os vendedores
recebem, pv, de tal forma que pc – pv = I. O que pretendemos calcular neste ponto é, em
termos percentuais, a distribuição do efeito relativo do imposto no preço dos compradores e
dos vendedores. Retomando o Ex.1.12, em termos absolutos, o imposto de 3€/kg repartiu-se
0.27€/kg para os compradores e 2.73€/kg para os vendedores. Então, em termos relativos, 9%
do imposto será suportado pelos compradores e 91% do imposto será suportado pelos
vendedores. Quanto mais sensível for a curva ao preço, menor será a percentagem do imposto
suportada.
Ex1.13: Num mercado de seguros, a curva de procura é D(p) = 3000 – 10p e a curva de oferta
é S(p) = –750 + 5p (preço em €/seguro e quantidade em seguros). i) Qual o equilíbrio de
29
mercado, ii) que alterações induz a imposição de 30€/s de imposto e iii) como é distribuído o
imposto?
R: i) O equilíbrio de mercado será D(p) = S(p)  3000 – 10p = –750 + 5p  3750 = 15p 
p = 250€/s e Q = 500s. ii) Se for cobrado o imposto de 30€/s, o cálculo do novo ponto de
equilíbrio de mercado ao preço dos vendedores será pc = pv + 30  D(pv + 30) = S(pv) 
3000 – 10(pv+30) = –750 + 5pv  3450 = 15pv  pv = 230€/s, pc = 260€/s e Q = 400s. iii) Os
compradores suportam (260–250)/30 = 1/3 e os vendedores (250–230)/30=2/3 do imposto.
Atribuição de um subsídio. Em termos algébricos, um subsídio corresponde a um imposto
de sinal negativo. Assim sendo, a atribuição de um subsídio faz com que o preço que os
compradores pagam seja inferior (no valor do subsídio) ao preço que os vendedores recebem.
Assim, o imposto diminui o preço que os consumidores pagam e aumenta o preço que os
vendedores recebem de forma que aumenta a quantidade transaccionada. Na Fig.1.15,
inicialmente no mercado são transaccionadas 110u. ao preço de 3.5€/u.. e a atribuição de um
subsídio de 1€/u. faz aumentar a quantidade transaccionada para 115u., baixa o preço que os
compradores pagam para 3€/u. e aumenta o preço que os vendedores recebem para 4€/u.
Preço
4,5
S
4
Subsídio
3,5
3
D
2,5
108
110
112
114
Quantidade
116
Fig.1.15 – Efeito da atribuição de um subsídio
Ex1.14: No mercado de bacalhau, a curva de procura é D(p) = 1500 – 50p e a curva de oferta
é S(p) = 950 + 5p (preço em €/kg e quantidade em toneladas). Qual o equilíbrio de mercado e
que alterações induz a atribuição de 3€/kg de subsídio?
R: 1) O equilíbrio de mercado inicial é (ver Ex1.12) p = 10€/kg e Q = 1000t. 2.1) Com o
subsídio de 3€/kg, o novo ponto de equilíbrio de mercado feito ao preço dos vendedores será
30
pc = pv – 3  D(pv – 3) = S(pv)  1500 – 50(pv – 3) = 950 + 5pv  700 = 55pv  pv =
12.73€/kg, pc = 9.73€/kg e Q = 1013.6t.
Repartição do subsídio entre vendedores e compradores. O subsídio, S, é um imposto de
sinal negativo pelo que virá o preço que os compradores pagam, pc, menor que o preço que os
vendedores recebem, pv, de tal forma que pv – pc = S. O que pretendemos calcular neste ponto
é, em termos percentuais, a distribuição do efeito relativo do subsídio no preço dos
compradores e dos vendedores. Retomando o Ex.1.13, em termos absolutos, o subsídio de
3€/kg repartiu-se 0.27€/kg para os compradores e 2.73€/kg para os vendedores. Então, em
termos relativos, 9% do subsídio vai para os compradores e 91% do subsídio vai para os
vendedores. Quanto mais sensível for a curva ao preço, menor será a percentagem do subsídio
com que ficam beneficiados.
Ex1.15: Num mercado de “tomar conta de crianças ao fim de semana”, a curva de procura é
D(p) = 500 – 25p e a curva de oferta é S(p) = –250 + 50p (preço em €/criança e quantidade
em crianças). i) Qual o equilíbrio de mercado, ii) que alterações induz a atribuição pelo estado
de um subsídio de 5€/c. e iii) como é distribuído o subsídio?
R: i) O equilíbrio de mercado será D(p) = S(p)  500 – 25p = –250 + 50p  750 = 75p  p
= 10€/c e Q = 250c. ii) Se for atribuído 30€/s de subsídio, o cálculo do novo ponto de
equilíbrio de mercado ao preço dos compradores será pc + 5 = pv  D(pc) = S(pc + 5)  500
– 25pc = –250 + 50(pc + 5) 500 = 75pc  pc = 6.67€/c, pv = 11.67€/c e Q = 333c. iii) Os
compradores beneficiam (10–6.67)/5 = 2/3 e os vendedores (11.67–10)/5=1/3 do subsídio.
O preço do dinheiro e sua evolução. O valor do dinheiro não é intrínseco (excepto para os
coleccionadores de notas e moedas) mas resulta de ter poder aquisitivo. Assim, o valor de
uma soma de dinheiro é consequência de, com ela, se poder comprar bens e serviços que têm
valor (apesar de dependente da valoração que cada pessoa faz). O preço unitário de um bem
ou serviço é a quantidade de dinheiro necessária para adquirir uma unidade desse bem ou
serviço. Então, o preço unitário do dinheiro será uma unidade monetária (e.g., como para
comprar um euro é necessário pagar um euro, então o preço de um euro será um euro)
parecendo que esta discussão não faz sentido económico. A questão ganha sentido quando
retiramos à moeda a sua função de unidade de valor e a atribuirmos a outro activo: e.g.,
custando o milho 0.50€/kg e o frango 1.75€/kg, passando o milho a ser a unidade de valor,
31
então o preço do frango passará a ser 3.5kg de milho/kg e o preço do dinheiro a ser 2kg de
milho/euro.
Considerando um bem compósito que agrega os bens e serviços que se transaccionam numa
zona monetária e assumindo uma unidade desse bem compósito como unidade de valor, então
o preço do dinheiro serão as unidades de bem compósito necessárias para adquirir uma
unidade de dinheiro (ou as unidades de bem composto que se obtêm pela venda de uma
unidade de dinheiro).
Efeito de uma variação da quantidade de moeda. Em função do preço do dinheiro, por um
lado, os vendedores de dinheiro (i.e., quem tem dinheiro e não tem bens e serviços) vão
pretender vender uma determinada quantidade de dinheiro e, por outro lado, os compradores
de dinheiro (i.e., quem não tem dinheiro e tem bens e serviços) vão pretender comprar uma
determinada quantidade de dinheiro. Então, podemos imaginar um mercado de dinheiro com
curvas de oferta, de procura e equilíbrio em que o preço do dinheiro são kg do bem compósito
por € e a quantidade transaccionada são € por dia (a quantidade transaccionada como um
fluxo):
preço
130 kg/€
Curva de Procura de €
120
Curva de Oferta de €
110
100
90
100
105
110
115
120
125
130
135
Quantidade
€/dia
Fig.1.16 – O mercado de dinheiro
Em termos verbais, definimos que o preço do dinheiro é o inverso do preço dos bens e
serviços transaccionados na zona monetária (e não a taxa de juro que é o preço do crédito).
Quando há um reforço da oferta de dinheiro (e.g., por o banco central emitir mais moeda) a
curva da oferta de dinheiro desloca-se para a direita pelo que diminui o preço do dinheiro (i.e.,
o dinheiro desvaloriza; aumenta a inflação) e aumenta a quantidade de dinheiro em
circulação. Quando há um reforço da procura de dinheiro (e.g., as pessoas aumentam o seu
rendimento, i.e., a quantidade de bens e serviços que têm) a curva da procura de dinheiro
32
desloca-se para a direita pelo que aumenta o preço do dinheiro (i.e., o dinheiro valoriza;
diminui a inflação) e aumenta a quantidade de dinheiro em circulação.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao preço de uma moeda em termos de unidades
monetárias de outra moeda (i.e., à taxa de cambio).
Exercícios de recapitulação
Ex1.16: No mercado das “Viagens à Terra Santa”, sabemos que em condições normais são
vendidas por ano 6000 viagens a 1500€ cada uma. Nos anos de intifada, há enfraquecimento
da procura de forma que são vendidas 1200 viagens a 1000€ cada uma. Sabemos ainda que,
quando o preço aumenta 1%, a quantidade procurada diminui em 0.5% e que o IVA é de 20%.
Determine o efeito no mercado de uma diminuição do IVA de 20% para 5% e como se
distribui o efeito sobre o preço.
R. Primeiro, determinamos a curva da oferta e a curva da procura.
A) D(p) = K.p–0.5  6000 = K.1500–0.5  K = 232379  D(p) = 232379.p–0.5
B) Com dois pontos podemos estimar uma recta (o preço dos vendedores é sem IVA)
6000  A  1250 B
4800  416.7 B
B  11.52
S(p) = A + B.p  


1200  A  833.3B

 A  8400
 S(p) = –8400 + 11.52p
Segundo, determinamos o equilíbrio com a nova taxa de IVA.
D(p) = S(p/1.05)
232379.p–0.5= –8400 + 11.52p/1.05
Apenas conseguimos resolver esta equação no Excel
B2: = 232379+8400*A2^0,5-10.97^A2^1,5
Atingir objectivo: definir célula B2 para o valor 0 por
alteração da célula A2.
O preço de mercado das viagens diminuirá de 1500€ para 1343.48€ e a quantidade
transaccionada aumentará de 6000 viagens para 6340 viagens. A diminuição do IVA induz
uma diminuição do preço dos compradores em 156.52€ e um aumento do preço dos
vendedores em 29.50€.
Ex1.17: Num mercado de alimentos, em termos de kg por mês, a curva de procura do
individuo i cujo rendimento é ri vem dada por d(p) = 1.75p–0.5ri0.5. A curva de oferta de cada
33
vendedor vem dada por s(p) = 20p0.25.(2h – h2) onde h mede a pluviosidade anual. Existe um
total de 50 vendedores e 300 consumidores (200 com 400€/mês e 100 com 900€/mês). i)
Determine o equilíbrio de mercado num ano em que chova 1m. ii) Determine quanto adquiriu
cada consumidor. iii) Quantifique o efeito do governo, para ajudar os consumidores, impor
como preço máximo 20€/kg. iv) Quantifique o efeito do governo, para ajudar os vendedores,
impor como preço mínimo 20€/kg.
R. Obtém-se a curva de procura de mercado somando as curvas individuais dos 300
consumidores, repartidas em duas classes de rendimento:
D( p)  200(1.75 p 0.5 4000.5 )  100(1.75 p 0.5 9000.5 )  7000 p 0.5  5250 p 0.5  12250 p 0.5
A curva de oferta obtém-se multiplicando a curva individual por 50: S ( p)  1000 p 0.25 .
No equilíbrio a quantidade procurada é igual à quantidade oferecida:
D( p)  S ( p)  12250 p 0.5  1000 p 0.25  12.250  p 0.75  p  28.239€; Q  2305kg
ii) Os mais pobres consomem D( p)  1.75(28.239) 0.5 4000.5  6.586kg por mês e os mais
ricos consomem D( p)  1.75(28.239) 0.5 9000.5  9.880kg por mês.
iii) A quantidade transaccionada será o mínimo entre a quantidade que uns querem comprar e
a que outros querem vender.


menorD( p); S ( p)  menor 12250  200.5 ; 1000  200.25  menor2739.2; 2114.7  2114.7
A quantidade transaccionada no mercado diminui porque os vendedores diminuem a
quantidade oferecida.
iv) Como o preço de mercado é superior ao preço mínimo imposto, não tem qualquer efeito.
Ex1.18: Segundo um estudo de um hipermercado, os 700 pescadores de sardinha de
Matosinhos estão disponíveis para vender 100t/dia se o preço for de 1€/kg, 200t/dia se o preço
for de 2€/kg e 200t/dia se o preço for de 3€/kg. Supondo que a curva de procura dos clientes
do hipermercado é D(p) = 500 – 10p e que o hipermercado tem 0.5€/kg de margem de
comercialização (para cobrir os custos de transporte, exposição, refrigeração, etc.). i) Qual o
preço contratado com os pescadores? ii) Qual o efeito de o governo cobrir os custos de
comercialização e quanto custa por cada pescador esta política?
R. Com os três pontos podemos estimar uma curva de oferta do segundo grau.
100  A  B  C
100  B  C  A  A  100



S ( p)  A  Bp  Cp  200  A  2 B  4C  100  3C  B  B  50
400  A  3B  9C
300  2 B  8C
C  50



2
34
i) O preço pago aos pescadores é o de equilíbrio de mercado em que o preço dos compradores
é maior em 0.5€/kg: S ( p)  D( p  0.5)
 100  50 p  50 p 2  435  10( p  0.5)  50 p 2  40 p  330  0  p  3€ / kg .
ii) Esta política ajuda mais os consumidores que os pescadores já que o preço pago aos
pescadores aumenta 0.02€/kg e o preço pago pelos consumidores diminui 0.03€/kg.
S ( p)  D( p)  100  50 p  50 p 2  435  10 p  50 p 2  40 p  335  0  p  3.02€ / kg
Como serão comercializadas 404.808t/dia, a política custará 20240€/dia que, a dividir por
700, dá 28.91€/dia/pescador (talvez fosse mais vantajoso dar-lhes uma subvenção).
Ex1.19: No mercado de Camarão há 1000 compradores idênticos com curva de procura
d(p) = 0.6 – 0.05p e 40 vendedores idênticos com curva de oferta s(p) = –1.5 + 1.5p.
i) Determine o equilíbrio de mercado. o preço e a quantidade transaccionada no equilíbrio.
ii) Se o governo quiser que as capturas diminuam em 20%, que imposto terá que impor?
iii) Se o preço mínimo fosse 8€/kg, qual a quantidade transaccionada?
R. i) D(p) = S(p)  1000( 0.6 – 0.05p) = 40(–1.5 + 1.5p)  p = 6.00€/kg; Q = 300kg.
ii) D(pv + I) = S(pv)  1000( 0.6 – 0.05(pv + I)) = 40(–1.5 + 1.5pv)  pv = 6 – 0.(45).
Resolvendo S(pv ) = 240 vem –60 + 60(6 – 0.(45)I) = 240  I = 2.2€/kg.
iii) menor{S(8); D(8)} = menor{420; 200} = 200kg. Os compradores não querem adquirir
maior quantidade.
Ex1.20: Na última década assistimos a um aumento extraordinário do preço do petróleo.
Represento na figura seguinte a evolução do preço (dólares americanos por barril) e
quantidade transaccionada (milhões de barris por dia) médias:
$/b
75
65
y = 0,3641x 2 - 53,627x + 1997,8
55
45
35
25
15
73
78
83
M.b/dia
i) O que representará a recta de ajustamento y = 0.3641x2 – 53.627x + 1997.8? ii) Será que
podemos afirmar que a responsabilidade para o aumento dos preços foi a guerra do Iraque
35
(i.e., um enfraquecimento da oferta)? iii) Sendo em 2007 a quantidade consumida foi de
85.220 Mil.b/dia ao preço médio de 72.4$/b, se essa quantidade aumentar 1% em 2008, para
quanto se prevê que aumente o preço médio?
R. i) A recta ajustada é uma estimativa para a função de oferta inversa p(S):
p  0.3641S 2  53.627 S  1997.8  S ( p) 
53.627  53.627 2  4  0.3641 (1997.8  p)
2  0.3641
ii) Como aconteceu em simultâneo um aumento do preço e da quantidade transaccionada, é o
resultado dum reforço da procura. Se fosse um enfraquecimento da oferta, observava-se um
aumento do preço associado a uma diminuição da quantidade transaccionada.
iii) Usando p(S) obtemos p  0.3641 (1.01 85) 2  53.627  (1.01 85)  1997.8  77.4$ / b .
II – Teoria do Consumidor
Duração lectiva: 14 + 1 aulas.
Sumário: Curva de indiferença, função de utilidade, recta orçamental, maximização da
utilidade, efeito substituição e efeito rendimento, aplicações.
Objectivos: Apresentar a teoria do consumidor como uma justificação para a existência da
curva de procura. A teoria contempla três axiomas: i) que os gostos e preferências dos
consumidores se condensam na função de utilidade, ii) que os consumidores têm um
rendimento disponível e iii) que escolhem o cabaz de bens ou serviços que maximiza a sua
utilidade sob restrição do rendimento disponível e dos preços de mercado (é assumido serem
price takers). Aplicar a teoria do consumidor às políticas de combate à exclusão, à oferta de
trabalho, à poupança, ao risco à teoria do bem-estar.
2.0 Introdução
36
O núcleo conceptual da Teoria do Consumidor é o princípio de que a decisão dos agentes
económicos resulta de uma comparação entre o benefício da sua acção (i.e., o ganho de bemestar que origina) com o custo de a implementar (i.e., o dispêndio de recursos escassos
disponíveis): ”La Nature a placé l’Humanité sous le gouvernement de deux souverains
maîtres, la douleur e le plaisir [...]. Par principe d’utilité, on entend ce principe qui approuve
ou désapprouve chaque action, quelle qu’elle soit, en fonction de la tendance qu’elle paraît
avoir à augmenter ou diminuer le bonheur de la partie dont l’intérêt est en cause.” Jeremy
Bentham (1789), Uma Introdução aos Princípios da Moral e da Legislação. O filósofo
Bentham (1748-1832), seguido por John Stuart Mill (1806-73) e James Mill (1773-1836),
teorizou e difundiu o utilitarismo como o fundo ético do Homem que responde a todas as
questões acerca do que fazer, do que admirar e de como viver, em termos da maximização da
felicidade individual sob restrição do permitido pela sociedade. Assim, insere-se num
movimento filosófico de libertação do Homem da esfera do sagrado (i.e., da moral cristã).
O princípio da optimização resulta directamente da teoria da Selecção Natural, Charles
Darwin (1809-82): os indivíduos mais optimizadores têm maior probabilidade de sobreviver,
de ter filhos e de transmitir essa ética aos seus filhos (e concidadãos).
2.1. Preferências e gostos dos consumidores
Na teoria do consumidor que vamos expor, consideramos que o problema económico do
indivíduo é a escolha de um cabaz formados por quantidades variáveis de dois bens ou
serviços (ocasionalmente, mais bens ou serviços) sujeita ao rendimento disponível. Vamos
assumir que os indivíduos possuem informação e raciocínio perfeitos (o que é público).
2.1.1 Curva de indiferença
Princípio da Utilidade (dos bens ou serviços): Cada indivíduo tem necessidades que, quando
satisfeitas, lhe permitem viver numa situação de maior conforto, de maior bem-estar. Em
termos económicos, as necessidades humanas são satisfeitas com a apropriação e fruição de
bens e serviços. O valor económico dos bens e serviços resulta directamente da sua
capacidade em satisfazer essas necessidades humanas. Se um objecto não satisfaz nenhuma
necessidade humana, então não tem valor económico. De entre as coisas com valor
económico, a afectação das que estão disponíveis em quantidades ilimitadas não são um
problema porque o indivíduo consegue sempre apropriar a quantidade suficiente para
satisfazer as suas necessidades. Assim, a Economia concentra-se nos bens ou serviços úteis e
que são escassos.
37
O valor das coisas (i.e., a sua utilidade) é subjectiva pois depende dos gostos e preferências da
pessoa que as vai consumir.
A aceitação do utilitarismo como princípio moral que rege a vida do indivíduo inviabiliza a
existência de uma economia centralizada eficiente.
Princípio da Comparabilidade (entre cabazes de bens e serviços): Se considerarmos um
cabaz A formado pelas quantidades a1 e a2 de dois bens ou serviços abstractos, A = (a1, a2), o
ser humano é capaz de o comparar com outro qualquer cabaz B = (b1, b2) formado por
quantidade diferentes dos mesmos bens ou serviços. O indivíduo pode considerar que o cabaz
B é pior, análogo, ou melhor, que o cabaz A. Esta comparação traduz que o indivíduo prefere
o cabaz A ao B, está indiferente entre A e B ou prefere o cabaz B ao A, respectivamente.
Princípio da Transitividade da Comparação: A transitividade das comparações traduz que
as escolhas do consumidor são consistentes. Se, por exemplo, A melhor que B e B melhor que
C, então A melhor que C. Vamos codificar “melhor que” como >; “análogo a” como =; e
“pior que” como <;
Exercício 2.1. Considere os cabazes, A, B, C e D. Se A = B, B > C e C = D como se compara
A com D? Se A = B e B = C como se compara A com C? Se A ≤ B, B ≤ C e C = D como se
compara A com D? Se A ≤ B, B = C e C ≥ D como se compara A com D?
R: A > D; A = C; A ≤ D; Não se sabe.
Princípio da Insaciabilidade: O ser humano prefere sempre apropriar uma maior
quantidade/qualidade de bens ou serviços. Sendo que, em termos de quantidade, isso não é
uma verdade absoluta, se pensarmos em termos de qualidade já se torna perfeitamente
aceitável este princípio teórico. Por exemplo, apesar de não querermos consumir maior
quantidade de comida, preferíamos comida mais saborosa (i.e., de maior qualidade). A
insaciabilidade é importante na definição teórica das escolhas do indivíduo. Sendo o cabaz A
= (a1, a2) e o cabaz B = (b1, b2), então (ver fig. 2.1) :
B é pior que A se
a1 > b1 e a2 ≥ b2;
ou se a1 ≥ b1 e a2 > b2.
B é melhor que A se
a1 ≤ b1 e a2 < b2;
ou se a1 < b1 e a2 ≤ b2.
38
Fig.2.1 – Aplicação da insaciabilidade na comparação de cabazes
Taxa marginal de substituição: Sendo o cabaz A = (a1, a2), existe uma proporção k que faz o
cabaz B = (a1 + ; a2 + .k) análogo a A (em que  é uma quantidade infinitesimal e k uma
constante de valor negativo). Isto traduz que se eu substituir a quantidade infinitesimal  do
bem 1 pela quantidade .k do bem 2, o indivíduo fica indiferentes entre os dois cabazes. Este
princípio permite-me começar a preencher as zonas “incomparáveis” da fig. 2.1. A proporção
k denomina-se por taxa marginal de substituição de a1 por a2 e traduz a inclinação da linha de
fronteira que separa a zona dos cabazes melhores que A da zona dos cabazes piores que A
(ver, fig.2.2).
Fig.2.2 – Aplicação da substituibilidade na comparação de cabazes
Curva de indiferença: Se eu continuar a aplicar a “substituição” de um pouco do bem 1 por
um pouco do bem 2 (e vice-versa), vou traçando uma linha que contêm todos os cabazes
análogos ao cabaz A. Como o indivíduo é indiferente entre os cabazes que formam essa linha,
39
esta denomina-se por curva de indiferença e separa a zona dos capazes melhores que A da
zona dos cabazes piores que A. A taxa marginal de substituição entre o bem 1 e o bem 2
indica a inclinação da curva de indiferença em cada ponto, i.e., a derivada da curva de
indiferença (ver fig. 2.3).
Evolução da taxa marginal de substituição com a quantidade: Para termos uma “teoria
bem comportada” é necessário que qualquer linha que una dois cabazes da curva de
indiferença passe apenas pela zona dos cabazes melhores que A., o que, em termos
matemáticos, traduz que a CI é convexa. Esta característica obriga a que a taxa marginal de
substituição (a inclinação da CI) diminua da esquerda para a direita. Esta característica é
aceitável em termos económicos já que traduz que se eu tiver uma pequena quantidade do
bem 1, apenas trocarei uma unidade desse bem por uma quantidade grande do bem 2 (k será
grande em grandeza). Se, pelo contrário, eu tiver uma grande quantidade do bem 1, então
estarei disponível para trocar uma unidade desse bem por uma quantidade mais pequena do
bem 2 (k será pequeno em grandeza).
Fig.2.3 – Curva de indiferença
Exercício 2.2. Um indivíduo tem como curva de indiferença y = 100/x. Qual é, em A = (x, y)
= (5, 20), a taxa marginal de substituição do bem X pelo bem Y? E no cabaz B = (20, 5)?
R: TMSxy = y’ = –100/x2  TMSA = –4: quando tenho 5 unidades do bem X, para compensar
a perda de uma unidade do bem X, necessito de adquirir 4 unidades do bem Y; TMS B = –
0.25: quando tenho 20 unidades do bem X, para compensar a perda de uma unidade do bem
X, apenas necessito de adquirir 0.25 unidades do bem Y.
40
Posso caracterizar as preferências do indivíduo por um conjunto de curvas de indiferença.
Comparando duas curvas de indiferença, as que estão à direita e acima contêm cabazes que
são preferíveis aos que se encontram nas curvas de indiferenças à esquerda e abaixo (ver,
fig.2.4).
Fig.2.4 – Curvas de indiferença “melhores”
As curvas de indiferença nunca se intersectam. Por
redução ao absurdo, observando a figura ao lado e
atendendo à insaciabilidade, o cabaz D é preferível ao
cabaz A porque contém mais do bem 1 e do bem 2. Mas,
o cabaz B que é análogo ao cabaz A (está sobre a mesma
C.I.) é preferível ao cabaz C que é análogo ao cabaz D,
resultando ser o cabaz A preferível ao cabaz D.
Exercício 2.3. Conhecem-se duas curvas de indiferença de um individuo, CI1: a2 = 100/a12 e
CI2: a2 = 10/a12. i) Verifique que estas duas curvas não se intersectam. ii) Qual das duas
curvas contêm cabazes preferíveis? iii) Calcule e interprete a taxa marginal de substituição em
A = (5, 4) e em B = (2.5, 1.6) e verifique se estão de acordo com a teoria.
R: i) Teria que haver um ponto em que as curvas coincidissem: a2 = 100/a12 e a2 = 10/a12 
100/a12 = 10/a12  100 a12 = 10 a12  a1 = 0 e a2 = +∞, mas este ponto não faz parte de IR2.
ii) Pegando num cabaz de CI1, A = (10, 1), existe em CI2 o cabaz B = (10, 0.1) que é pior que
A pelo que os cabazes da CI1 são preferíveis aos cabazes da CI2. iii) Em A pertence à CI1:
TMSA = –200/a13 = – 1.6, preciso de 1.6 unidades do bem 2 para compensar a perda de uma
unidade do bem 1. B pertence à CI2: TMSA = –20/a13 = –1.28, preciso de 1.28 unidades do
41
bem 2 para compensar a perda de uma unidade do bem 1. Apesar de eu ter menor quantidade
do bem 1, como estou em curvas de indiferença diferentes, não se verifica necessariamente o
princípio de que a TMS diminui da esquerda para a direita (quando a quantidade do bem 1
aumenta).
2.1.2. Função de utilidade
Poderíamos avançar com uma análise das escolhas do consumidor usando apenas a
representação gráfica das curvas de indiferença. No entanto, para modelizar de forma
matemática a Teoria do Consumidor, torna-se necessário atribuir um número a cada curva de
indiferença de tal forma que uma curva de indiferença com cabazes preferíveis terá que ter
associado um número superior. A esse número chama-se nível de utilidade e com ele
constrói-se uma Função de Utilidade que dá as curvas de indiferença de forma implícita.
Podemos obter a taxa marginal de substituição num determinado cabaz sem explicitar a forma
funcional da curva de indiferença que lá passa. Para isso usa-se o teorema da derivação da
função implícita (não nos vamos concentrar na apresentação deste teorema porque não tem
importância económica e o tema será tratado em Matemática I).
U ( x, y )
dy
x
Sendo y(x) dada implicitamente por U ( x, y )  q  TMSxy 
.


U
( x, y )
dx
y
Função ordinal: A função de utilidade denomina-se por ordinal porque a magnitude da
utilidade apenas é considerada em termos relativos (de ordenação). Se, por exemplo, o cabaz
A for melhor que o cabaz B, então basta que U(A) seja maior que U(B), não interessando a
magnitude da diferença (ver Ex2.4). No caso de importar a magnitude, denomina-se a função
por cardinal.
Ex2.4. Os gostos e preferências de um agente económico condensam-se na função de
utilidade U(a1,a2) = a1.a2. i) Determine a curva de indiferença que passa pelo cabaz A =
(5,10). ii) Verifique que as funções V(a1,a2) = ln(a1) + ln(a2) e Z(a1,a2) = a14. a24 condensam as
mesmas preferências que U(a1,a2). iii) Calcule directamente de U(a1,a2) e de Z(a1,a2) e
interprete a taxa marginal de substituição em A = (10, 10).
R: i) U(5, 10) = 50  a2 = 50/a1. ii) V(5, 10) = ln(5) + ln(10) = 3,912  ln(a2) = 3,912 –
ln(a1)  a2 = 50/a1; Z(5, 10) = 6.25E6  a24 = 6.25E6/a14  a2 = 50/a1 iii) TMS = –
42
U’a1/U’a2 = – a2/a1 = –10/5 = –2; TMS = – Z’a1/Z’a2 = – a12 a23/a13 a22 = a2/a1 = –10/5 = –2,
em A, preciso de 2 unidades do bem 2 para compensar a perda de uma unidade do bem 1.
2.2. Restrição orçamental
É sabido que, em termos genéricos, o estudo da Economia está dependente da circunstância
de a quantidade disponível de bens e serviços ser limitada e inferior às necessidades. Em
termos individuais, o consumidor tem um rendimento nominal (i.e., em euros) que aplica na
aquisição de bens ou serviços cujos preços de mercado são dados (o agente é price taker). O
rendimento disponível das famílias tem origem principalmente nos salários (ver, Tab. 2.1),
sendo também importantes os rendimentos do capital (e.g., dividendos) e as transferências do
estado (e.g., rendimento de inserção social). É normal usar a família como a célula individual
de decisão económica porque as decisões dos seus membros estão interligadas (em média,
metade dos seus membros não tem rendimento).
Sector de actividade principal
Portugal
Norte
Centro
Lisboa
Alentejo
Algarve
Açores
Madeira
Todos os sectores
736
684
648
899
685
687
637
693
Agricultura, silvicultura e pesca
507
446
502
646
567
456
512
522
Indústria, construção, energia e água
662
619
591
883
676
656
551
635
Serviços
787
749
696
905
710
708
687
721
Tab. 2.1 - Salário médio mensal líquido 2007, trabalhadores por conta de outrem, www.ine.pt
Ex2.5: Um determinado aluno tem 600 € /mês de rendimento que pode gastar em alimentação
cujo preço é 5€/u., vestuário cujo preço é 10€/u. e habitação cujo preço é 100€/u.. Qual será o
cabaz que o aluno pode consumir em cada mês?
R: Qualquer cabaz X = (a, v, h) que custe menos que o rendimento, 5a + 10v + 100h ≤ 600.
Tal como consideramos para as curvas de indiferença (e.g., fig.2.4), tomemos o exemplo de
um cabaz genérico com dois bens ou serviços, A = (a1, a2). Neste caso, a restrição orçamental
vem dada por p1.a1 + p2.a2 ≤ r, podendo ser representada graficamente (ver, Fig.2.5).
43
Fig.2.5 – Restrição orçamental
Recta orçamental: Denomina-se a linha fronteira entre a zona dos cabazes que o indivíduo
pode adquirir da zona de cabazes que o indivíduo não pode adquirir por recta orçamental, RO.
O indivíduo ao adquirir os cabazes sobre a RO esgota o rendimento, p1.a1 + p2.a2 = r.
Podemos explicitar a RO, a2 = r/p2 – a1.p1/p2 e verificar que na intersecção com o eixo
vertical (i.e., a1 = 0) a RO vale r/p2, na intersecção com o eixo horizontal (i.e., a2 = 0) a RO
vale r/p1, e que a inclinação da RO vale – p1/p2. A intersecção com o eixo vertical traduz o
máximo que eu posso comprar do bem 2 enquanto que a intersecção com o eixo horizontal
traduz o máximo que eu posso comprar do bem 1. A inclinação da RO traduz que para
comprar mais uma unidade do bem 1 eu tenho que abdicar de comprar – p1/p2 unidades do
bem 2: é idêntico à TMS mas aqui pretendo manter a despesa constante (e igual ao
rendimento), enquanto na TMS pretendo manter o nível de utilidade constante.
Ex2.6: Um indivíduo tem de rendimento disponível 1000€/mês que gasta em alimentação e
habitação, (a, h), cujos preços unitários são 2.5€/u. e 5€/u., respectivamente. i) Qual a
quantidade máxima de alimentação e de habitação que o individuo pode adquirir? ii) Sobre a
RO, quantas unidade de alimentação tem que abdicar para adquirir mais uma unidade de
habitação? iii) Verifique se o indivíduo pode adquirir o cabaz (a, h) = (200, 150).
R: i) amax = 1000/2.5 = 400u.; hmax = 1000/5=200u.. ii) Para manter a despesa sobre a RO,
tem que abdicar de 2 unidades de a por cada unidade a mais de h: –ph/pa = –5/2.5 = –2. iii)
Não pode adquirir pois a despesa, 200*2.5+150*5 = 1250€, seria maior que os 1000€ de
rendimento disponível.
44
Bens privados e bens públicos. No exemplo anterior os bens são privados no sentido de que
o indivíduo para os consumir tem que gastar na sua aquisição parte do rendimento que tem
disponíveis (principio da exclusão: quem não paga, não tem) e, por outro lado, os outros
indivíduos deixam de o poder consumir (princípio da rivalidade: se eu consumo, mais
ninguém consome). No entanto, existem bens ou serviços que não têm estas características: os
Bens Públicos. E.g., eu posso usufruir da iluminação de uma rua que não prejudico o
consumo de outros bens (é-me gratuito pois é paga pela Câmara Municipal) e o meu consumo
em nada diminui as possibilidades dos outros indivíduos usufruírem da iluminação.
Normalmente, o custo marginal de produzir (ou usufruir) um bem público é próximo de zero e
muito menor que o custo fixo (conceitos a desenvolver no capítulo da teoria do produtor). Há
ainda os bens comuns (não-exclusão e rivalidade) e os bens de clube (exclusão e nãorivalidade).
Efeito na RO da alteração do rendimento: Quando o rendimento aumenta (e os preços se
mantêm), o indivíduo pode consumir cabazes mais recheados. Em termos gráficos, este
acontecimento traduz-se por um deslocamento da RO para a direita e para cima (ver Fig.2.6).
Quando o rendimento diminui, passa-se exactamente o contrário: deslocando-se a RO para a
esquerda e para baixo. Como o declive traduz o rácio entre os preços (dado por –p1/p2), o
deslocamento da RO induzido pela alteração do rendimento dá origem a uma nova RO
paralela à inicial.
Fig.2.6 – Efeito da alteração do rendimento na RO
45
Ex2.6: Sendo que um indivíduo tem de rendimento disponível 500€/mês que gasta em dois
bens, (x, y), cujos preços unitários são 2€/u. e 5€/u., respectivamente. i) Represente
graficamente a RO ii) Represente graficamente um aumento no rendimento de 100€/mês.
R: i) 2x + 5y = 500  y = 100 – 0.4x  posso localizar os pontos extremos (0;100) e (250;0)
e uni-los por uma recta (linha azul) ; ii) 2x + 5y = 600  y = 120 – 0.4x  posso localizar os
pontos extremos (0;120) e (300,0) e uni-los por uma recta (linha rosa).
120
100
80
60
y
40
20
0
0
50
100
x 150
200
250
300
Efeito na RO da alteração dos preços: Quando um preço se altera, a intersecção com o eixo
que representa o bem ou serviço respectivo também se altera mas em sentido contrário. Esse
facto resulta de o ponto de intersecção ser a quantidade que eu posso comprar e por isso
inversamente proporcional ao preço, r/p: Quanto mais barato for o bem ou serviço, maior
quantidade posso comprar. Na Fig. 2.7, represento uma alteração da RO quando o preço do
bem representado no eixo dos yy diminui (mantendo-se o rendimento e o preço do bem
representado no eixo dos xx).
Fig.2.7 – Efeito da diminuição do preço do bem 2 na RO
46
A RO altera-se de forma análoga, mutatis mutandis, quando acontece uma diminuição do
preço do bem representado no eixo dos xx, situação que represento na Fig 2.8 (mantendo-se o
rendimento e o preço do bem representado no eixo dos yy).
Fig.2.8 – Efeito da diminuição do preço do bem 1 na RO
mutatis mutandis: Expressão latina que traduz “mudando o que tem que ser mudado”. É
aplicado na comparação de situações que são diferentes mas entre as quais existe alguma
analogia. e.g., o ser humano, mutatis mutandis, é anatomicamente igual ao rato.
Ex2.7: Sendo que um indivíduo tem de rendimento disponível 500€/mês que gasta em dois
bens, (x, y), cujos preços unitários são 2€/u. e 5€/u., respectivamente. i) Represente
graficamente a RO e ii) o efeito na RO de o preço do bem y passar a ser 10€.
R: i) inicialmente, 2x + 5y = 500  y = 100 – 0.4x  pontos extremos (0; 100) e (250; 0);
depois, ii) 2x + 10y = 500  y = 50 – 0.2x  pontos extremos (0; 50) e (250, 0).
120
Y
100
py = 5€/u.
80
60
py = 10€/u.
40
20
0
0
50
100
150
47
200
250
X
300
Pela comparação das Fig.2.6, Fig.2.7 e Fig.2.8, vemos que uma alteração do rendimento é
equivalente a uma alteração proporcional e de sinal contrário de ambos os preços. Por
exemplo, o aumento do rendimento em 1% é equivalente à descida de ambos os preços em
1%. Isto traduz, e veremos com mais pormenor em ponto posterior, que uma alteração da RO
pode ser decomposta numa alteração dos preços relativos (a rotação da RO) e numa alteração
do rendimento (o deslocamento da RO).
2.3. Decisão do consumidor – Escolha do cabaz.
Agora que já introduzi os conceitos de Curva de Indiferença e de Restrição Orçamental,
podemos avançar para a decisão do consumidor que, sob o princípio de que o consumidor é
optimizador, será a escolha do melhor cabaz possível (e que resulta da insaciabilidade).
Em termos gráficos, vamos reunir um exemplo de uma restrição orçamental com uma curva
de indiferença de nível de utilidade U1 (Fig.2.9). No caso representado, devido ao princípio da
insaciabilidade, qualquer cabaz à direita da CI e abaixo da RO é ainda possível de adquirir e
existem nessa área cabaz melhores que os que se localizam em U1, (os contidos na zona azul).
Fig.2.9 – Escolha do consumidor (1)
Então, o cabaz óptimo obriga a considerar outra CI mais à direita e acima, por exemplo a CI
de nível de utilidade U2 > U1. No entanto, ainda é possível a aquisição de cabazes melhores
que os da curva U2 (a zona vermelha da Fig.2.10).
48
Fig.2.10 – Escolha do consumidor (2)
Na melhor das hipóteses, o consumidor pode escolher um cabaz sobre a CI cujo nível de
utilidade é U3 > U2 > U1 (ver Fig.2.11). Neste caso limite, a CI é tangente à RO e o cabaz
óptimo encontra-se exactamente no ponto de tangencia. Em termos matemáticos, no cabaz
óptimo teremos que a taxa marginal de substituição é igual inclinação da Recta Orçamental:
TMSxy = –px/py.
Fig.2.11 – Escolha do consumidor (3)
Ex2.8: Sendo que um indivíduo tem de rendimento disponível 500€/mês que gasta em dois
bens, (x, y), cujos preços unitários são 2€/u. e 5€/u. respectivamente, e os seus gostos se
podem condensam-se na função de utilidade U(x,y) = x.y. i) Determine o cabaz óptimo. ii)
verifique que o cabaz óptimo não se altera se a utilidade se condensar em V(x,y) = x4.y4.
R: A inclinação da RO é –2/5 = –0.4. i) A TMSxy genérica é – U’x / U’y = –y/x. Então no
cabaz óptimo (y/x = 0.4 e 2x + 5y = 500)  (y = 0.4x e 2x + 2x = 500)  (x, y) = (125, 50);
49
ii) A TMSxy mantém-se, – U’x / U’y = – (3x2.y3)/(3x3.y3) = –y3/x3 = –y/x, pelo que o cabaz
óptimo também se mantém.
Generalização a cabazes em IRn: Podemos facilmente generalizar a primeira condição de
optimização a cabazes com n bens ou serviços (havendo necessidade ainda de que se verifique
a restrição orçamental). Esta forma é muito mais simples de memorizar.
Em IR 2 , 
U '2
p
U' U'
 1  1  2
U '1
p2
p1
p2
 Em IR n  i,
U 'i
k
pi
Esta condição também garante que, apesar de a função de utilidade ser diferente de
consumidor para consumidor, é possível que todos os consumidores igualem o mesmo preço
de mercado à sua utilidade marginal. Apesar da função de utilidade ser diferente de pessoa
para pessoa, utilidade marginal será igual para todos (a menos de um factor de escala).
Ex2.9: Um determinado aluno tem 600 € /mês de rendimento que pode gastar em alimentação
(5€/u.), vestuário (10€/u) e habitação (100€/u.). Sendo que as seus gostos se podem condensar
na função de utilidade U(a, v, h) = a.v.h, determine o cabaz óptimo do aluno.
R: (a, v, h) = (40, 20, 2). Como temos três bens, temos que ter um sistema com três equações:
U 'a U 'v U 'v U 'h


;

; a. pa  v. pv  h. ph  600 Resolvendo, vem

pv
pv
ph
 pa

10v  5a
a  2v

a  40




 v.h a.h a.h a.v 

;

;   100h  10v  h  0.1v  
 h  2

10 10 100 
5


10v  10v  10v  600
v  20




Formalização matemática do problema de optimização: A escolha do cabaz óptimo obriga
a utilizar a (primeira) condição de optimização que foi obtida de forma gráfica. No entanto,
podemos formalizar o problema de optimização do consumidor em termos matemáticos e
resolvê-lo:
( x, y) : V  MaxU ( x, y), sa x. p
x
 y. p y  r
Este modelo de extremos com uma equação de ligação pode ser tratado genericamente
utilizando a equação Lagrangeana (tema tratado aprofundadamente em Matemática I).
50
Lx  0 U x  . px  0
U x U y


 
L  U ( x, y )  .( x. px  y. p y  r )  Ly  0  U y  . p y  0   px p y



L  0  x. px  y. p y  r  x. px  y. p y  r
Também podemos resolver este problema de optimização por incorporação da equação de
ligação na função a optimizar. Desta forma determina-se a quantidade de um dos bens, e.g., x:
x : V  MaxU ( x, r / p
y
 x. px / p y )
E, substituindo a solução na equação de ligação, obtemos a quantidade do outro bem.
Ex2.10: Um indivíduo tem 1000 €/mês de rendimento que pode gastar em alimentação (5€/u.)
ou habitação (10€/u.) e os seus gostos condensam-se na função U(a, h) = a + 2h + a.h.
Determine i) o seu cabaz óptimo; e ii) a elasticidade preço da procura de alimentos e a
elasticidade preço-cruzado da procura de habitação.
R: i) (a, h) = (100, 50). O problema é (a, h) : V  Maxa  2h  a.h, sa 5a  10h  1000


 V  Max(200  2h)  2h  (200  2h).h  V  Max 200  200h  2h 2  200  4h  0
 h  50 e a  100 .
ii) Vou aumentar o preço de a em 1%: (a, h) : V  Maxa  2h  a.h, sa 5.05a  10h  1000

 V  Max(198.02  1.98h)  2h  (198.02  1.98h).h  V  Max 198.02  198.04h  1.98h 2
 198.04  3.96h  h  50.005 e a  99
 99  100 
 50.005  50 
ea pa  
 / 1%  1.005; eh pa  
 / 1%  0.010 .
 99.5 
 50.0025 

Também se poderia calcular a elasticidade com a resolução para um preço genérico e o
cálculo analítica da elasticidade
( x, y) : V  Maxa  2h  a.h, sa pa .a  10h  1000
505
1  h 2  a


1
 pa .a  10  10h  2 pa


a 
10
pa



 pa
10  10h  2 pa  10h  1000
 pa .a  10h  1000
 p .a  10h  1000
h  49.5  0.1 p
a
 a

da pa
505 pa
dh pa
0.1
0.1
ea pa 
.
 2
 1; ehpa 
.


 0.01
dpa a
dpa h 49.5 / pa  0.1 9.9  0.1
pa 505 / pa
Carne\preço
P. Vaca P. Porco P. Frango
C. Vaca
–0.65
0.01
0.20
C. Porco
0.25
–0.45
0.16
C. Frango
0.12
0.20
–0.65
Tab. 2.2 – Estimativa da elasticidade preço-cruzado da procurada (eqx,py)
(Fonte: Besanko, 2ªed, Table 2.5)
51
Efeito de uma alteração do preço: Quando se altera o preço de um bem ou serviço, resulta
uma alteração em sentido contrário na quantidade consumida do bem ou serviço respectivo
mas também é possível que ocorra uma alteração na quantidade consumida dos outros bens.
Do aumento do preço resulta sempre numa diminuição da quantidade consumida do bem
correspondente. Na Fig.2.12 representa-se uma diminuição do preço do bem 1.
Fig.2.12 – Efeito de uma alteração do preço
Na Fig.2.12, quando o preço do bem 1 é px1, o cabaz óptimo a adquirir é o representado pelo
ponto A. Quando ocorre uma diminuição do preço do bem 1, a recta orçamental roda para a
esquerda pelo que o indivíduo pode passar para uma curva de indiferença mais à direita
(melhor) da inicial. Desta forma passa a adquirir o cabaz representado pelo ponto B que tem
maior quantidade do bem 1 (e do bem 2). Podemos ver o que acontece com o aumento do
preço revertendo a análise (passar de px2 para px1).
Bens substitutos, complementares e independentes: Quando o preço de um bem varia, a
quantidade adquirida dos outros bens também varia. Quando acontece um aumento do preço
do bem X, se a quantidade procurada do bem Y aumenta, então Y é um bem substituto do
bem X. Se a quantidade procurada do bem Y diminui, então Y é um bem complementar do
bem X. Se a quantidade procurada do bem Y se mantém, então Y é um bem independente do
bem X. Notar que estas definições têm subjacente que existe um preço concreto para o outro
bem e que estamos na condição de ceteris paribus.
Efeito de uma alteração do rendimento: Quando o rendimento disponível aumenta,
acontece um deslocamento da recta orçamental para a direita (e para cima) pelo que a situação
52
do indivíduo melhora. O aumento do rendimento, em termos gerais, induz um aumento das
quantidades adquiridas dos bens ou serviços considerados no cabaz (ver Fig.2.13). No
entanto, também pode acontecer que a quantidade procurada de um (ou de alguns) dos bens
ou serviços (mas nunca de todos devido ao princípio da insaciabilidade) diminua.
Fig.2.13 – Efeito de um aumento do rendimento
Bens inferiores e bens normais (de primeira necessidade e de luxo): Se, quando o
rendimento aumenta, a quantidade consumida aumentar, temos um bem ou serviço normal.
De entre os bens normais, se a quantidade adquirida aumentar pouco (se a elasticidade da
quantidade relativamente ao rendimento for menor que 1), temos um bem ou serviço de
primeira necessidade; se a quantidade adquirida aumentar muito (se a elasticidade da
quantidade relativamente ao rendimento for maior que 1), temos um bem ou serviço de luxo.
Se, pelo contrário, a quantidade consumida diminuir, temos um bem inferior. Um exemplo
de bem ou serviço inferior é a estadia em parques de campismo (em relação com a estadia em
hotéis).
Para um gestor de um produto interessa saber que tipo de bem coloca no mercado pois, por
exemplo, se o seu produto for de primeira necessidade, as suas vendas vão evoluir de forma
menos positiva que a economia no geral, passando-se o contrário em períodos de crise.
Nota: Imaginando um preço genérico para os outros bens, podemos verbalizar estas
definições em termos de reforço ou enfraquecimento da curva (ou função) de procura dos
outros bens quando ocorre uma alteração do preço de mercado de um bem ou do rendimento
do individuo.
53
Efeito substituição e efeito rendimento: Quando se verifica uma alteração de um preço, por
um lado, a recta orçamental roda e, por outro lado, desloca-se. O efeito substituição (também
se pode considerar que é um efeito preço relativo) quantifica a alteração do cabaz que resulta
da rotação da recta orçamental mas compensado o rendimento de forma que o indivíduo fica
sobre a mesma curva de indiferença. O efeito rendimento quantifica a alteração do cabaz que
resulta do deslocamento da recta orçamental (depois de introduzido o efeito substituição).
Estes conceitos são importantes porque estão por detrás do cálculo da taxa de inflação (i.e., na
escolha dos ponderadores utilizados no cálculo do índice de preço). Na Fig.2.14-1,
inicialmente estamos na recta orçamental (e na CI) azul de que resulta o cabaz óptimo
representado pelo ponto A = (a1, a2). Posteriormente, acontece um aumento do preço do bem
1 para o dobro, passando o cabaz óptimo a ser o representado pelo ponto B. Indo para a
Fig.2.14-2, vemos que o efeito substituição se traduz pela alteração do cabaz do ponto A para
o ponto A’ = (a1+ ESx, a2 + ESy) em que os preços são os novos mas o rendimento do
indivíduo é compensado de forma a manter o mesmo nível de utilidade (RO cor de laranja). O
efeito rendimento traduz-se pela passagem do cabaz do ponto A’ para o cabaz do ponto B =
(a1+ ESx + ERx, a2 + ESy + ERy) e mede quanto o indivíduo piora pela não compensação do
rendimento.
Fig.2.14-1 – Efeito substituição e efeito rendimento
54
Fig.2.14-2 – Efeito substituição e efeito rendimento
Reparar que o aumento do preço de um bem ou serviço tem como efeito substituição a
diminuição da quantidade procurada do bem cujo preço aumenta (na Fig.2.14-2, ESx < 0) e o
aumento da quantidade procurada de todos os outros bens ou serviços, (na Fig.2.14-2, ESy >
0) e vice-versa.
Também podíamos decompor o efeito total determinando primeiro o efeito rendimento
(mantendo os preços iniciais e deslocando a RO para a nova CI) e depois determinando o
efeito substituição (rodando a RO sempre tangente à nova CI).
Os preços evoluem ao longo do tempo e, no fim de cada período (e.g., cada ano), nas
negociações salariais o trabalhador procura retornar, em termos de utilidade, pelo menos à
situação de partida, i.e., voltar do ponto B para o ponto A’. Sendo que nessa negociação é tido
em conta a evolução dos preços (i.e., a taxa de inflação), então, a compensação do rendimento
necessária para voltar à situação inicial, em termos percentuais, será a exacta medida dessa
taxa de inflação.
EX2.11.(rever) Um indivíduo tem de rendimento disponível 500€/mês que gasta na aquisição
de dois bens, (x, y), cujos preços unitários são 5€/u. e 10€/u., respectivamente, e os seus
gostos podem-se condensar na função de utilidade U(x,y) = x + 2y + x.y. i) Quantifique o
efeito substituição e o efeito rendimento nos bens x e y de um aumento do preço de x para
10€. ii) Determine a taxa de inflação.
 x  50
1  y 2  x

10(1  y)  5(2  x)
2 y  x


R:  5


  y  25
10

 10 y  10 y  500

U  1350
 5 x  10 y  500

Vou determinar o cabaz que, com os novos preços, mantém o nível de utilidade U = 1350:
55
1  y 2  x

10(1  y )  10(2  x)
 y  10  x




10
 10
x
(
1

y
)

2
y

1350
(
y

10
)(
1

y
)

2
y

1350


 x  2 y  x. y  1350
 y 2  7 y  1360  0  x  30.544


 y  40.544

O efeito substituição em x é –19.456u. e em y é +15.544u.
O efeito rendimento é a diferença para o novo cabaz óptimo
 x  20
1  y 2  x

10(1  y )  10(2  x)
 y  10  x




  y  30
10
 10

 10 y  10 y  600

U  680
 5 x  10 y  500

O efeito rendimento em x é –10.554u. e em y é – 10.544u.
ii) Para manter o nível de utilidade seria necessário, para adquirir x =30.544u. e y = 40.544u.,
aumentar o rendimento para 710.88€: a inflação foi de 42.2%.
Dificuldade empírica de determinação do rendimento compensado: Como a função de
utilidade não é observável, não é empiricamente possível determinar qual a compensação do
rendimento necessário para que o individuo volte ao mesmo nível de utilidade. Então, não é
possível determinar a “verdadeira” taxa de inflação. Como, em termos empíricos, apenas é
conhecido o perfil de consumo do indivíduo (i.e., o cabaz A e o cabaz B) e os preços de
mercado, teremos que os usar para obter uma estimativa da taxa de inflação.
Existem duas alternativas. Na primeira, denominada de índice de Laspeyres (ver Fig.2.15),
compara-se a despesa inicial, p x ,0 x0  p y ,0 y0 , com a despesa “final” p x ,1 x0  p y ,1 y0 que seria
necessária para voltar a adquirir, aos novos preços (px,1; py,1), o cabaz de bens adquirido
inicialmente, i.e., o cabaz A = (x0; y0),:
I L   px ,1 x0  p y ,1 y0 /  px ,0 x0  p y ,0 y0  .
Fica claro na figura que, se o rendimento for actualizado com a medida da taxa de inflação de
Laspeyres, quando a inflação é positiva, o consumidor fica numa situação melhor que a do
início do período (pois, com a RO cor de laranja, pode atingir uma curva de indiferença
superior à inicial).
56
Fig.2.15 – Compensação do rendimento com o índice de Laspeyres
Na segunda alternativa, denominada de Índice de Paasche (ver Fig.2.16), compara-se a
despesa final, px ,1 x1  p y ,1 y1 , com a despesa “inicial” px , 0 x1  p y , 0 y1 que seria necessária para
adquirir, aos preços antigos (px,0; py,0), o cabaz de bens adquirido actualmente, i.e., o cabaz B
= (x1; y1):
I L   px ,1 x1  p y ,1 y1 /  px ,0 x1  p y , 0 y1 .
Com inflação positiva, como a situação no fim do período (cabaz B), é pior que a prevista
pela RO cor de laranja (pois esta permitiria adquirir um cabaz melhor que B), se o rendimento
for actualizado com a medida da taxa de inflação de Paasche, o consumidor fica numa
situação pior (pois, com a RO cor de laranja, poderia atingir uma curva de indiferença
superior à actual: quantifica-se na Fig.2.16 a perda de rendimento a verde).
As diferenças entre os índices dão uma medida do erro da estimativa da inflação. Para
alterações pequenas dos preços relativos, as diferenças entre os índices são pouco expressivas.
Fig.2.16 – Compensação do rendimento com o índice de Paasche
57
Voltando ao EX2.11: iv) Determine a taxa de inflação segundo Laspeyres e Passche.
R: iv) Inicialmente o rendimento era 500€/mês e cabaz era x = 50 e y = 25. Segundo
Laspeyres, torna-se necessário o rendimento de 750€/mês (50x10 + 25x10) para comprar o
cabaz inicial pelo que a estimativa para a taxa de inflação é 50% (superior à “verdadeira”, i.e.,
41.04%). Segundo Passche, seria suficiente o rendimento de 377.5€/mês (24.5x5+25.5x10)
para comprar o cabaz actual pelo que a estimativa para a taxa de inflação é 32.5% (inferior à
“verdadeira”, i.e., 41.04%).
Apenas consideramos uma alteração dos preços (entre dois períodos). Se considerarmos mais
períodos (ver, tab. 2.3), o índice de Paasche vai ser calculado com um “cabaz variável” (o de
cada período), enquanto que o índice de Laspeyres vai ser calculado com um “cabaz fixo” (o
do período base).
Tab. 2.3 – Comparação do índice de Paasche com o índice de Laspeyres
F2: =B2*C2+D2*E2
G2: =B2*$C$2+D2*$E$2
I2: =$B$2*C2+$D$2*E2
J2: =I2/$I$2
H2: =F2/G2
Por ser mais fácil de construir e favorecer os consumidores, o índice de preços ao consumidor
usa o método de Laspeyres, actualizado o cabaz a intervalos de tempo espaçados. Em
Portugal, o Índice de preços no Consumidor é um índice de Laspeyres calculado com base em
2002 usando os seguintes ponderadores das classes de consumo (dados: INE, IPC - base 2002
- Nota Metodológica, 2003):
Classe
Ponderação
Alimentação e bebidas não alcoólicas
20,081%
Bebidas alcoólicas e tabaco
3,017%
Vestuário e calçado
6,965%
Habitação, água, gás e outros combustíveis
10,029%
Acessórios para o lar, equipamento doméstico e manutenção corrente da habitação
58
8,055%
Saúde
5,642%
Transportes
19,130%
Comunicações
3,439%
Lazer, recreação e cultura
5,009%
Educação
1,502%
Restaurantes e hotéis
10,790%
Bens e serviços diversos
6,341%
Tab. 2.4 – Ponderadores do IPC - Portugal, 2002 como ano base (dados: www.ine.pt)
Determinação da curva de procura individual: Quando, no capítulo 1, falamos do
mercado, referi que a curva de procura de mercado (que não é directamente observável)
resulta da soma das curvas de procura individuais dos agentes económicos. Então, se
conseguirmos obter uma teoria de que resultem curvas de procura individuais com
propriedades adequadas (serem decrescente com o preço), então fica justificado teoricamente
a existência da curva de procura de mercado (e a conjectura de que é decrescente com o
preço). A obtenção de uma curva de procura particular vai estar dependente dos gostos e
preferências do indivíduo e do seu rendimento disponível.
Vamos obter a curva da procura resolvendo o problema de maximização da utilidade
considerando o preço do bem x como variável e o preço do bem y e o rendimento disponível
como parâmetros (variáveis exógenas). Sendo o indivíduo optimizador, então resolve:
U x U y


py
X ( p) :  px
 x. p  y. p  r
y
 x
Ex2.12: Sendo que um indivíduo tem de rendimento disponível 500€ que gasta em dois bens,
A = (x, y), cujos preços unitários são px e 2€/u., respectivamente, e os seus gostos se
condensam na função de utilidade U(x,y) = x.y, determine a curva de procura individual x(px).
 y x
2 y  x. px
250
 
R: A curva de procura será  px 2
que é

x
x
.
p

x
.
p

500
p
x
x
x

 x. p  2 y  500
x

decrescente com o preço do bem x.
Ex2.13: Um indivíduo tem de rendimento R que gasta no cabaz, A = (x, y), cujo preço unitário
é P = (px, py), e os seus gostos condensam-se na função de utilidade U(x, y) = x2.y. Classifique
os bens que fazem parte do cabaz.
59
px
R


y

x
.
y
 2 x. y x 2
U 'x U ' y
2



2 py


3 py


2 x. y. p y  x px


py
p y   px



 px

 RO
 x. p  y. p  R
 x. p  x. px . p  R
x  2R
 x. px  y. p y  R
x
y
x
y




2 py
3 px


err , y  y 'R .
3p
3p
R
1
R
2

.R. y  1; er , x  x'R . 
.R. y  1; e py, x  0; e px, y  0
y 3 py
R
y 3 py
2R
Os bens x e y são bens normais com elasticidade da procura relativamente ao rendimento
unitária e são bens independentes entre si.
Função de utilidade indirecta: O cabaz que o indivíduo vai adquirir está dependente do seu
rendimento (e dos preços). Então, matematicamente, eu posso calcular a função de utilidade
indirecta como o nível de utilidade que o indivíduo atinge para cada rendimento (sob a
suposição de que escolhe o cabaz óptimo). Esta função é crescente com o rendimento (o que
resulta da insaciabilidade).
V (r )  Max{U ( x1, x2 ), s.a. p1.x1  p2 x2  r}, V ' (r )  0
Esta função será posteriormente utilizada, por exemplo, no estudo do comportamento sob
risco e na Teoria do Produtor.
Curva de Engel: A função que relaciona a quantidade adquirida com o rendimento
denomina-se por Curva de Engel. Na Macroeconomia esta curva é denominada por Curva
de Consumo e é assumido que é positiva e crescente com o rendimento. Simplificadamente,
assumem que tem como forma funcional C = C0 + k.R, em que C0 é o consumo autónomo e k
a propensão marginal ao consumo (0 < k < 1).
Ex2.14: Sendo que um indivíduo tem de rendimento disponível r que gasta em dois bens, A =
(x, y), cujos preços unitários são px. e py, respectivamente, e os seus gostos se podem
condensam-se na função de utilidade U(x,y) = x.(1 + y). i) Determine a curva de procura
individual x(px) e y(py). ii) determine a elasticidade preço da procura, a elasticidade preço
cruzado da procura e a elasticidade rendimento da procura do bem x quando r = 1000€/mês,
px = 10€/u. e py = 10€/u.; iii) determine a função de utilidade indirecta.
R: i) Como temos 2 bens, temos que resolver um sistema com duas equações:
60
x
1  y
(1  y ). p y  x. p x
r  py
r  py
 p  p

 y( p y ) 
; x( p x )  1 
y
 x
2 py
2 px
 (1  y ). p y  y. p y  r
 x. p  y. p  r
x
y

ii) ex( px )  x' ( px )
ex( p y )  x' ( p y )
ex(r )  x' (r )
py
x
r  py
r  py
px
2 px
990

px


< 0.
2
x
2 px  r  p y
2 px  r  p y
1010
2 px

py
1
2 px
10
< 0 (complementares).
py


2 px
2 Px  r  p y
2 Px  r  p y
1010
r
1
2 px
r
1000

r


x 2 px 2 px  r  p y 2 px  r  p y 1010
que é >0 e <1 (primeira
necessidade).
 r  p y  r  p y  (2 Px  r  p y )( r  p y )

1 
iii) V (r )  x.(1  y )  1 
2 px 
2 p y 
4 px . p y

Excedente do consumidor: Como a função de procura resulta do problema de maximização
da utilidade do indivíduo, então existe uma relação entre esta função e a função de utilidade
(que é uma escala do bem-estar do indivíduo) que não é observável:
U'
U 'x U ' y
U

 U ' x  y px 
 k . px
px
py
py
x
Sendo que U é uma função, então nesta expressão px deixa de ser um valor para ser a função
de procura explicitada em ordem ao preço (função de procura inversa). Se, e.g., a função de
procura fosse dada por x(p) = A + B.p, a função inversa viria dada em por p(x) = (x – A)/B.
Como existe esta relação entre o preço e a derivada da função de utilidade, podemos
algebricamente calcular o ganho de bem-estar invertendo a operação de derivação:
x
U
 k . px  U  k . px .x  U ( x)  U (0)  k . px .x
0
x
A partir da observação do mercado, não conseguimos estimar U(0) nem k. No entanto, como a
função de utilidade é ordinal, podemos construir uma função utilidade equivalente à que
desconhecemos partindo apenas da curva de procura: Ec( x)  U ( x)  U (0)/ k   px .x . Esta
x
0
função denomina-se por Excedente do Consumidor e é uma medida de quando o indivíduo
aumenta o seu bem-estar por poder comprar a quantidade x do bem ou serviço e vem dada em
unidades monetárias (i.e., euros). Em termos gráficos, o excedente do consumidor vem dado
pela área que fica abaixo da função de procura e acima do preço de transacção (ver, Fig.2.17).
61
Fig.2.17 – Excedente do Consumidor
Em termos matemáticos, como a integração é a operação inversa da derivação, se g(x) = f(x)’,
então f(x) = C + g(x). A integração é um ponto programático a tratar aprofundadamente em
Matemática II. Se, por exemplo, a curva de procura é q = 100 – 5.p, se o preço de mercado for
P = 10€/u. (e Q = 50u.), o excedente do consumidor será (comparar com a área do triangulo):
Q
q  100  5 p  p  20  0.2q  E.c(q)   (20  0.2q).x  20Q 
0
0.2 2
.Q
2
 E.c(50)  500  250  250€
Se o preço de transacção aumentar, então o excedente do consumidor diminui (ver, Fig.2.17).
Será que se, relativamente ao equilíbrio (de concorrência), o preço diminuir, aumenta
necessariamente o excedente do consumidor?
2.4. Aplicações
Neste ponto aplicamos a teoria do consumidor a alguns exemplos de políticas do governo.
Estas políticas, por actuarem ao nível dos preços e das quantidades transaccionadas de
determinados bens ou serviços, denominam-se por microeconómicas (por oposição às
políticas macroeconómicas). Pretende-se ainda neste ponto que o aluno compreenda o que é a
taxa de juro e como actua na estabilização da economia.
2.4.1. Combate à exclusão: Subsídio em dinheiro ou em espécie. Desconto no preço.
Uma economia para progredir tem que criar incentivos para que os agentes económicos
revelem as suas capacidades, arrisquem novas soluções e criem novos bens ou serviços de
maior valor. Estes incentivos têm como efeito acessório o surgir de assimetrias no
rendimento: o motor do progresso tem a exclusão como dano colateral.
62
Não se pode por em causa o benefício que resulta da existência de liberdade económica (i.e., o
modelo capitalista) porque tem esta falha. Até porque o modelo económico alternativo (a
economia planificada) não funciona. Devemos antes imaginar mecanismos que, dentro da
economia de mercado, ultrapasse as suas (relativamente pequenas) falhas.
Por exemplo, vamos supor que existem dois polícias em que um deles corre muito mais
rápido que o outro (mas o “chefe” não sabe qual). Numa economia igualitária, como ambos
ganham o mesmo salário, então o que corre mais rápido vai esconder essa capacidade (para
não se cansar tanto). Numa economia de mercado, como será dado um salário maior ao
polícia que capturar mais fugitivos, então o que corre mais vai revelar a sua capacidade
(correndo a toda a velocidade atrás deles).
Sendo que a falta de recursos é a principal causa de exclusão, as políticas dos governos de
combate à exclusão passam pela atribuição de subsídios (em dinheiro ou em espécie). Em
Portugal no ano de 2008, a principal política de combate à exclusão social é o Rendimento de
Reinserção Social que se traduz num subsídio em dinheiro de 177.05€/mês para os adultos e
88.50€ para as crianças. A atribuição de subsídios em espécie traduzem-se na oferta de bens
ou serviços de primeira necessidade (alimentação, habitação, assistência médica, ensino,
cabeleireiro, etc.), mas, pelas razões que vamos explicar usando a Teoria do Consumidor,
apenas se justifica a pessoas com uma desarticulação social de especial gravidade (e.g.,
toxicodependentes, sem abrigo, dementes, crianças e idosos). No entanto, em Portugal o
Serviço Nacional de Saúde e o Sistema Público de Ensino tem cobertura universal.
Subsídio em dinheiro: Na Teoria do Consumidor, a atribuição de um subsídio em dinheiro
induz um aumento do rendimento. Sendo que o indivíduo acrescenta o subsídio s ao
rendimento r e gasta ambos na aquisição dos bens X e Y, então passará a ter como recta
orçamental x.px + y.py = r + s. Esta nova recta orçamental ficará localizada à direita da RO
sem subsídio pelo que o nível de consumo (e consequente bem-estar) do indivíduo aumenta
(ver, Fig.2.18).
63
Fig.2.18 – Efeito da atribuição de um subsídio em dinheiro
Ex2.15: Uma família, formada por dois adultos e três crianças, tem como único rendimento
um salário líquido de 400€/mês que gasta em vestuário e alimentação cujos preços são 5€/u. e
2.5€/u., respectivamente. Os gostos e preferências da família podem ser condensados na
função de utilidade U(v, a) = a2.v0.5. Se lhes for atribuído 300€/mês de RSI, calcule em quanto
aumentará o consumo da família.
R: Vamos introduzir no sistema de equações o subsídio em dinheiro como o parâmetro s:
 2.a.v 0.5 0.5.a 2 .v 0.5
8v  a
a  128  0.32s


. Vão adquirir mais 96


5
 2.5
20
v

5
v

400

s
v

16

0
.
04
s


 2.5a  5v  400  s

unidades de alimentação e mais 12 unidades de roupa.
Subsídio em espécie: Neste caso, também vai existir um deslocamento da recta orçamental
para a direita mas não se desloca a totalidade da recta (supondo que o indivíduo não vende os
bens que recebe). Na Fig.2.19 podemos ver que o deslocamento da recta orçamental induzido
pela oferta da quantidade s do bem 1 causa uma quebra na RO. No exemplo apresentado da
Fig.2.19, a atribuição do subsídio em espécie é equivalente à atribuição do subsídio em
dinheiro (pois a CI atingida é a mesma).
64
Fig.2.19 – Efeito da atribuição de um subsídio em espécie (1)
No exemplo apresentado na Fig.2.20 já podemos ver que, a atribuição do subsídio em espécie
é menos favorável (para o indivíduo) que o correspondente subsídio em dinheiro (pois a CI
atingida é inferior). Se fosse atribuído um subsídio em dinheiro, o indivíduo podia adquirir o
cabaz representado no ponto C e atingir a CI de nível U3. O subsídio em espécie (a quantidade
s do bem 1) permite adquirir o cabaz B e atingir a CI de nível U2 que é menor que U3.
Fig.2.20 – Efeito da atribuição de um subsídio em espécie (2)
Em termos algébricos, resolve-se o modelo de optimização acrescentando o subsídio em
espécie como se fosse em dinheiro. Se a solução cair fora da zona possível, a solução será
exactamente a quantidade do subsídio. Por exemplo, se o subsídio for a dadiva da quantidade
s do bem 1, a solução estará fora da restrição se a1 < s, sendo que neste caso o cabaz será a1 =
s e a2 = r/p2.
65
Ex2.16: Uma família, formada por dois adultos e três crianças, tem como único rendimento
um salário líquido de 400€/mês que gastam em vinho e alimentação cujos preços são 5€/u. e
2.5€/u., respectivamente. Os gostos e preferências da família podem ser condensados na
função de utilidade U(v, a) = a.v10. Se lhes for atribuído um subsídio de 120u. de alimentação
(cujo valor pecuniário é 300€/mês), calcule em quanto aumentará o consumo da família.
R: Vamos introduzir no sistema de equações o subsídio em dinheiro como o parâmetro s:
 0.5.a 0.5 .v10 10.a 0.5 .v 9
a  0.1v
a  7.62  5.71
a  13.33





2.5
5

0.25v  5v  400  2.5s
v  76.19  57.14
v  133.33
 2.5(a  s )  5v  400

Como a solução algébrica não verifica a condição a ≥ s, o cabaz consumido será a = 120u.
(aumenta 102.38u.) e v = 400/5 = 80u. (aumenta 3.81u.). Se o subsídio fosse em dinheiro, a
maior parte iria para vinho (aumentava 57.14u.).
Desconto no preço: Será uma situação intermédia entre a atribuição de um subsídio em
dinheiro e um subsídio em espécie, havendo um reforço maior do bem cujo preço tem um
desconto. Em termos gráficos, vai induzir uma rotação da recta orçamental no sentido da
expansão das possibilidades de consumo.
Fig.2.21 – Efeito da atribuição de um desconto no preço
Ex2.17: Uma família, formada por dois adultos e três crianças, tem como rendimento um
salário líquido de 400€/mês que gastam em vinho e alimentação cujos preços são 5€/u. e
2.5€/u., respectivamente. Os gostos e preferências da família podem ser condensados na
função de utilidade U(v, a) = a.v10. Se lhes for atribuído um desconto no preço da alimentação
de 2.35€ calcule o aumento do consumo da família e o rendimento equivalente.
66
 0.5.a 0.5 .v10 10.a 0.5 .v 9
v  0.6a
a  126.98




2
.
5

2
.
35
5

R:
0.15a  3a  400
v  76.19
 (2.5  2.35)a  5v  400

RE : 2.5a  5v  698.41€ / mês
Notar que, como se pretendia, a quantidade adquirida de alimentação aumentou sem aumentar
a quantidade adquirida de vinho. Assim, a atribuição de um desconto no preço também é
eficaz na condução do consumo na direcção pretendida (mas não aplicável, por exemplo, aos
dementes ou às crianças).
A atribuição de um desconto no preço (do bem que se quer ver o consumo aumentado) tem a
vantagem de poder ser auxiliado pela imposição de um imposto no preço (do bem que se quer
ver o consumo diminuído) e assim tornar nula a despesa pública da política de alteração do
padrão de consumo. Exemplo desta combinação de políticas é a tributação dos combustíveis e
a atribuição de subsídios aos transportes públicos colectivos.
A atribuição de um subsídio em dinheiro permite que o subsidiado atinja um nível de bemestar (dado pela sua função de utilidade) superior a um desconto no preço ou a um subsídio
em espécie. Nos ex2.15 a 2.17, Udinh = 4.35E21 > Udesc = 1.07E21 > Uesp = 0.84E21. No
entanto, quando os gostos e preferências do indivíduo estão de tal maneira danificados (e.g.,
toxicodependentes) que socialmente as suas opções são contrários ao “seu” bem-estar, a
atribuição de desconto no preço ou de um subsídio em espécie são políticas mais eficazes na
condução do consumo na direcção socialmente considerada mais conveniente. Restarão
sempre algumas situações em que apenas os subsídios em espécie são eficazes.
2.4.2. Função de oferta de trabalho.
Podemos imaginar a economia como dois agentes económicos, as empresas e as famílias, em
que as famílias procuram (e consomem) bens e serviços e oferecem trabalho e as empresas
procuram trabalho e oferecem bens e serviços (ver Fig.2.22).
Para as famílias, o aumento do consumo tem um efeito positivo no seu nível de bem-estar
enquanto que o aumento das horas de trabalho tem um efeito negativo no bem-estar.
67
Fig.2.22 – O circuito económico com Famílias e Empresas
Considerando que i) podemos agregar todos os bens e serviços numa mercadoria compósita,
X, cujo preço unitário é 1 (é o numerário), ii) que o indivíduo nasce com uma quantidade de
tempo disponível, L0, que pode consumir como lazer, L, ou vender como trabalho, T = L0 – L,
cujo preço unitário é w (o salário real unitário), então podemos facilmente aplicar a Teoria do
Consumidor na determinação da função de oferta de trabalho do indivíduo.
( X , L) : V  MaxU ( X , L), sa X  ( L0  L).w
Precisamos formalizar a função de utilidade para podermos determinar uma forma funcional
para L(w) e, consequentemente, uma curva de oferta de trabalho, T(w) = L0 – L(w)
A recta orçamental vem dada por X = (L0 – L).w (é gasto todo o salário na aquisição do bem X
ao preço unitário) e tem a forma explícita L = L0 – X/w (a RO intersecta o eixo do lazer em L0
e o eixo dos bens e serviços em L0.w (ver Fig.2.23).
Fig.2.23 – Oferta de trabalho (1)
68
Ex2.18: Supondo L0 = 100 horas/semana e que os gostos e preferências da família podem ser
condensados na função de utilidade U(X, L) = 2L + X.L. Determine a função oferta de
trabalho da família.
L 2  X
 X  Lw  2
 L  50  1 / w
 
R:  1


 T ( w)  50  1 / w .
w
 Lw  2  (100  L) w
 X  50w  1
 X  (100  L) w
É importante notar que uma alteração do salário unitário não altera o ponto de intersecção da
RO com o eixo do lazer porque esse ponto vale sempre L0. Assim, um aumento do salário é
equivalente a uma diminuição do preço dos bens e serviços e vice-versa pelo que não tem
como efeito, obrigatoriamente, um aumento da quantidade oferecida de trabalho (ver Fig.2.24
onde se representa uma diminuição da quantidade oferecida de trabalho).
Fig.2.24 – Oferta de trabalho (2)
A evidência empírica é no sentido de corroborar que, nos países onde o salário unitário é
relativamente elevado, a curva de oferta de trabalho é decrescente (ver Fig.2.25, dados da
curva de oferta individual de trabalho dos USA retirados de Burda and Wyplosz, 2005, tabela
4.1, p. 76, transformados assumindo que cada ano tem 52 semanas, T em horas por semana e
w é um índice do salário real normalizado a w1870 = 1).
69
8
w
2000
7
6
5
4
3
2
1870
1
0
30
35
40
45
50
55
T60
Fig.2.25 – Curva de oferta de trabalho, USA, 1870-2000, Burda and Wyplosz (2005)
2.4.3. Taxa de juro, consumo e poupança.
O princípio da insaciabilidade parece excluir que a Teoria do Consumidor possa explicar a
existência de poupança. No entanto, esse resultado depende de termos considerado até agora
que a decisão do agente não tem em atenção o futuro (o modelo também é válido sob o
pressuposto de que o indivíduo tem vida infinita e que os valores assumidos pelas variáveis se
mantêm constantes para sempre). No sentido de estudarmos a influência da taxa de juro no
consumo e na poupança, vamos agora estudar uma situação que se desenvolve ao longo do
tempo.
Em termos de modelação, vamos considerar períodos de tempo distintos, começamos a
análise pelo último período de vida e andamos para traz no tempo. Está metodologia
denomina-se por Backward Induction.
Último período: Assumindo que o indivíduo i) vive o seu último período, ii) no início do
qual recebe o activo S, iii) e durante o qual obtém o rendimento r0. O princípio da
insaciabilidade garante que o indivíduo gastará S + r0 na aquisição do bem ou serviço
compósito X0 ao preço p0. O índice zero traduz que já não lhe resta mais nenhum período de
vida.
X 0  (S  r0 ). p0
Penúltimo período: Vamos agora assumir que o indivíduo i) vive o seu penúltimo período,
ii) no início do qual recebe a riqueza h1 (que também poderíamos denominas por S1), iii) e
durante o qual obtém o rendimento r1. O indivíduo tem como rendimento h1 + r1 podendo
gastar parte na aquisição de bens ou serviços (X1 ao preço p1) e poupar a parte S que transitará
para o período futuro (mais o juro). Sendo que condensamos os gostos e preferências do
70
indivíduo na função de utilidade U(x1, x2) = u(x1) +u(x0) e que a poupança é remunerada à
taxa de juro R por período, então a recta orçamental será x1.p1 + x0.p0 = h1 + r1 + S.R + r0 onde
S = (h1 + r1 – x1.p1) quantifica a poupança do período presente.
Apesar de o modelo incorporar o que se vai passar no período futuro (o período de índice
zero), a decisão quanto ao consumo e à poupança é tomada no período presente (o período de
índice um). Esta questão é importante se pensarmos que o rendimento e o preço do último
período são previsões (o modelo é aplicável no estudo da informação imperfeita: com
incerteza e expectativas).
Re-arranjando a RO na forma “descontada” e na forma explícita em relação ao presente (sem
inflação, i.e., p = p1 = p0): x1. p  x0 .
p
r
r 
1

 h1  r1  0 ; x1.   h1  r1  0  / p  x0 .
1 R
1 R
1 R 
1 R

Quando há um aumento da taxa de juro (de Ra para Rb, ver Fig.2.26), A RO roda em torno do
ponto (r0/p0, r1/p1) no sentido do bem futuro (porque o seu preço “diminui”, p0/(1 + R), e
desloca-se para baixo porque o “rendimento” futuro, r0/(1 + R), também diminui).
Fig.2.26 – Efeito na Recta Orçamental de um aumento da taxa de juro
No caso de o indivíduo apenas ter rendimento no período presente (porque no futuro está
reformado), a alteração da RO apenas sofre o efeito da “diminuição” do preço futuro. No caso
de o indivíduo apenas ter rendimento no período futuro (crianças que andam a estudar), a
alteração da RO sofre o efeito do “aumento” do preço presente.
Apesar de na realidade não haver alterações dos preços ou dos rendimentos, a taxa de juro faz
diminuir o consumo (no período presente) e, consequentemente, aumentar a poupança e o
consumo planeado para o período futuro (ver Fig.2.27).
71
Notar estar neste modelo a fundamentação teórica para as intervenções dos Bancos Centrais:
Sendo que se pretende manter um nível de preços estáveis e, no presente, há um excesso de
consumo que pressiona uma subida de preços (i.e., inflação), a forma de diminuir o consumo
(e controlar a inflação) é através de uma subida da taxa de juro (neste caso, inicialmente o
indivíduo pretendia endividar-se mas o aumento da taxa de juro faz com que equilibrasse o
orçamento: o cabaz caminha no sentido do ponto de rotação).
Fig.2.27 – Efeito no consumo de um aumento da taxa de juro (de R0 para R1)
Ex2.19: Supondo indivíduo cujo um rendimento é de r = 100€/mês, que vive este e mais
outro mês, que consome um bem ou serviço compósito X cujo preço é 5€/u., que os gostos e
preferências podem ser condensados na função de utilidade U(x1, x0) = x1+x0. Determine a
função de poupança.
 0.5 / x1 0.5 / x0
 x0  (1  R) 2 x1
 x0  20(1  R)


100 R
 5


5
/(
1

R
)
R:; 
 s( R) 

20
2 R  
1 R
5
100

 x1 (2  R )  20
 x1  1  R
5
x

x
.

100

1

R

1
0

1 R
1 R
O modelo pode ser estendido a vários períodos, começando a análise sempre no último.
2.4.4. Risco.
O risco surge de o indivíduo não ter conhecimento perfeito do que vai acontecer no período
futuro. Assim, os modelos que o incorporam traduzem a relaxação de que existe
conhecimento público e perfeito. Existem autores quem distinguem o risco da incerteza mas
não tem relevância.
72
Vamos considerar um modelo de uma lotaria simples. No entanto, este modelo é de aplicação
mais genérica (o que faremos no capítulo da teoria do produtor).
A aplicação da teoria do consumidor ao estudo do risco obriga a que a função de utilidade
seja semi-cardinal. Quer isto dizer que não basta que a função de utilidade atribua um número
maior aos cabazes melhores mas tem que dar uma medida da proporção relativa de valor dos
cabazes. Por exemplo, terá que dizer que o cabaz A é 3 vezes melhor que o cabaz B.
Lotaria: O indivíduo pretende escolher entre a quantia r certa (sem risco) e uma lotaria da
qual pode ganhar o valor P0 com a probabilidade q ou P1 com a probabilidade (1 – q). A
decisão vai ser em termos de valor esperado. Sendo V(r) o nível máximo de utilidade que o
indivíduo atinge com o rendimento r, V (r )  Max U ( x, y ), sa x. px  y. p y  r , o indivíduo vai
comparar V(r) com a utilidade esperada da lotaria e escolher a opção a que corresponder
maior valor: se V (r )  V ( P0 ).q  V ( P1 ).(1  q)  Lotaria; senão  r
Ex2.20: Um indivíduo ganha actualmente 600€/mês que gasta em vestuário e alimentação
cujos preços são 5€/u. e 2.5€/u., respectivamente e os seus gostos e preferências podem-se
condensar na função de utilidade U(a, v) = a0.5.v0.5. Se se despedir, tem 40% de probabilidade
se arranjar um novo emprego cujo salário é 1000€/mês mas pode não o arranjar e ficar
reduzido a ganhar apenas 400€/mês. Será de se despedir?
R: Primeiro, determinamos a função utilidade indirecta V(r):
 0.5.a 0.5 .v 0.5 0.5.a 0.5 .v 0.5
a  2v
a  0.2r




 V (r )  0.020.5 r
2.5
5

5v  5v  r
v  0.1r
2.5a  5v  r

Segundo, comparamos o certo com o valor esperado: V (600) ?? 0.4V (1000)  0.6V (400)


 0.020.5  600 ?? 0.4  0.020.5  1000  0.60  0.020.5  400  84.85  90.51
Conclui-se que se deve despedir e tentar a sua sorte.
Aversão / neutralidade / atracção pelo risco: Vamos supor a situação em que o rendimento
fixo (sem risco) é igual ao rendimento esperado (médio) da lotaria (com risco). Neste caso, se
o indivíduo preferir o rendimento fixo, é avesso ao risco (risk averse); se estiver indiferentes,
é neutro ao risco (risk neutral), se preferir a lotaria, é atraído pelo risco (risk lover).
73
No Ex2.20, o indivíduo é neutro ao risco: se a lotaria fosse ganhar 900€/mês com 40% de
probabilidade ou 600€/mês com 60% de probabilidade, o valor esperado (médio) seria
exactamente o que ganha agora, i.e., 600€/mês e teríamos uma igualdade nas utilidades:
0.02
0.5

 600 ?? 0.4  0.020.5  900  0.60  0.020.5  400  84.85  84.85
2.4.5. Capital humano e crescimento económico endógeno.
A evidência empírica mostra que o aumento da escolaridade é o principal factor que justifica a
tendência secular do crescimento económico per capita. Em termos estáticos, a capacidade de
um indivíduo criar riqueza é crescente com a sua escolaridade e, em termos dinâmicos, os pais
transmitem aos filhos um nível de escolaridade superior ao seu.
Como a escolarização dos filhos implica que os pais diminuam o rendimento disponível para
consumo, para racionalizarmos este comportamento teremos que assumir que os pais
incorporam na sua função de utilidade o bem-estar futuro dos filhos, i.e., os pais são altruístas.
Vamos assumir que i) o rendimento é linearmente crescente com a escolaridade, R = k.E, e
que ii) quem não tem filhos maximiza o bem-estar consumindo os bens x e y cujos preços são
unitários. iii) Sendo a função de utilidade U(x, y) = x.y, teremos como função utilidade
indirecta:
x y
 x  0.5kE
 

 V (k.E )  0.25k 2 E 2
1 1
 y  0.5kE

 x  y  kE
Vamos ainda supor que iv) quem tem filhos, gasta parte do rendimento na sua escolarização e
v) inclui na sua utilidade, a utilidade dos filhos. Supondo que vi) escolarizar os filhos tem um
preço unitário p, teremos para os pais altruístas com n filhos:
VP (k .E0 )  V (k .E0  n. p.E ).V (k .E ) n
Então, os pais altruístas vão determinar o nível de escolaridade dos filhos que maximiza esta
nova medida de bem-estar:
VP (k .E0 )  V (k .E0  n.E. p ).V (k .E ) n
VP (k .E0 )  0.25(k .E0  n.E. p) 2 .0.25n k 2 n .E 2 n
dVP
 0.5(k .E0  E. p)( n. p).0.25n k 2 n .E 2 n  0.25(k .E0  n.E. p ) 2 .0.25n k 2 n .2nE 2 n 1  0
dE
k
E
E0
(1  n). p
74
Análise de estática comparada. Podemos agora estudar como evolui a escolaridade de
geração para geração com as diversas variáveis exógenas do modelo (o número de filhos, o
preço da escolaridade e a “produtividade” da escolaridade). Apenas haverá progresso se os
pais tiverem poucos filhos (n pequeno), se o aumento do rendimento com a escolaridade for
elevada (k elevado) e se o preço da escolarização for baixo (p pequeno):
E  E0
sse
k
k
1 p 
(1  n). p
1 n
Não precisamos de supor que os pais antecipam que o bem-estar dos filhos vai depender da
escolaridade dos netos para modelizarmos um processo dinâmico de progresso económico.
2.4.6. Contabilidade do bem-estar.
Como os gostos e preferências dos indivíduos são codificados em funções de utilidade
ordinais, então não podemos comparar os indivíduos pelo nível de utilidade. Em particular,
não podemos calcular o efeito social de uma política pela simples soma das utilidades dos
indivíduos afectados. O caminho certo é determinar o saldo (em termos monetários) das
compensações dos rendimentos (mais os impostos cobrados) que permitem retornar à situação
de bem-estar inicial de todos os indivíduos.
Ex2.21: Existem dois indivíduos, I1 e I2, que gastam o seu rendimento em alimentação, a, e
em vinho, v. Actualmente, um tem 500€/mês de rendimento e os seus gostos condensam-se na
função de utilidade U(a, v) = 10.a0.3.v0.7 e outro tem 1000€/mês de rendimento e seus gostos
condensam-se na função de utilidade U(a, v) = a0.7.v0.3. Os preços da alimentação e do vinho
são 2€/kg e 5€/l, respectivamente. Supondo que a diminuição do consumo de vinho em 1%
aumenta o rendimento em 0.1%, deverá o governo cobrar um imposto de 1€/l de vinho?
R: Primeiro, determinamos o nível de bem-estar inicial:
 3.a 0.3 .v 0.7 7.a 0.3 .v 0.7
v  0.933a
v  70


I1:  2a


 U1  714.640
5v
2a  4.667 a  500
a  75
2a  5v  500

 0.7.a 0.7 .v 0.3 0.3.a 0.7 .v 0.3
v  0.171a
v  60


I2: 


 U 2  206.202
2a
5v
2
a

0
.
857
a

1000
a

350


2a  5v  1000

Depois, determinamos a nova situação para um rendimento genérico:
75
 3.a 0.3 .v 0.7 7.a 0.3 .v 0.7
v  0.777a
v  0.117 r


I1:  2a


 V1 (r )  1.258r
6v
2
a

4
.
667
a

r
a

0
.
150
r


2a  5v  r

 0.7.a 0.7 .v 0.3 0.3.a 0.7 .v 0.3
v  0.143a
v  0.05r




 V2 (r )  0.195r
I2: 
2a
6v
2a  0.857a  r
a  0.35r
2a  5v  r

Compensamos o rendimento para voltarem a uma situação idêntica à inicial:
r1 : V1 (r )  714.640  r1  714.640 /1.258  568.06€  v1  66.274 (diminui 5.3%)
r2 : V2 (r )  206.202  r2  206.202 / 0.195  1056.22€  v2  52.811 (diminui 12.0%)
E determinamos o saldo da política somando os efeitos sobre os dois indivíduos:
i=(Rnecessário – salário + imposto)
  1  2  568.06  500 1.0053  66.27  1056.22  1000 1.012  52.81  9,44€
Como o saldo é positivo, o governo deverá implementar esta política.
Exercício de recapitulação
Ex2.22: Um homem que ganha 600€/mês está a pensar casar-se com uma mulher que ganha
1500€/mês. Agora é ele que decide o que comprar com o seu rendimento mas, depois de casar
será a mulher a gerir o lar. O dinheiro pode ser gasto em habitação (4€/m 2/mês), alimentação
(3€/kg) ou diversões (10€/u.). Os gostos do homem condensam-se na função de utilidade
Uh(h, a, d) = 10h0.1a0.3d0.6; e os da mulher na função Um(h, a, d) = 10h0.5a0.3d0.1.
i) Sendo que quando casados, a habitação é desfrutada plenamente por ambos, a alimentação é
dividida por 2 e as diversões por 1.1, e.g., Um(h, a, d) = 10h0.5(a/2)0.3(d/1.1)0.1, devem casar?
ii) E se fosse o homem a decidir o que comprar?
R. Enquanto solteiros, o nível de bem-estar do homem é 448.1 e o da mulher 1761.9:
 h0.1a 0.3d 0.6 3h0.1a 0.3d 0.6


4
h
3a
 0.1 0.3 0.6
h  15m 2
a  4h
0.1 0.3 0.6
h
a
d
6
h
a
d




 d  2.4h
 a  60kg  u  448.1

4h
10d

 4h  12h  24h  600
d  36u.


4
h

3
a

10
d

600



76
 6h0.6 a 0.3d 0.1 3h0.6 a 0.3d 0.1


3a
h  260.9m 2
 0.64h0.3 0.1
a  0.667h
0.5 0.6 0.1
h a d

 6h a d

 d  0.067h
 a  173.9kg


4h
10d

4h  3h  0.667h  2000
d  17.4u.




4h  3a  10d  1500
Depois de casados, a mulher adquirirá:
 6h 0.6 (a / 2)0.3 (d / 1.1)0.1 3h 0.6 (a / 2)0.3 (d / 1.1)0.1


4
h
3a
 0.6
h  339.13m 2
a  0.667h
0.3
0.1
0.5 0.6
0.1
h a (d / 1.1)
 6h (a / 2) (d / 1.1)



 d  0.067h
 a  226.09kg

4h
10d

 4h  3h  0.667h  2600
d  22.61u.


 4h  3a  10d  2600


Devem casar pois os níveis de bem-estar do homem e da mulher subirão (para 453.7 e 1786.5,
respectivamente).
77
III – Teoria do Produtor – parte I
Duração lectiva: 11 aulas
Sumário: Produção de um determinado nível de output. Função de produção de longo prazo,
isoquanta, minimização do custo, curva de procura de factores de produção. Expansão da
produção no curto prazo.
Objectivos: Apresentar o produtor no lado dos factores de produção. Assim, supondo o nível
de produção predeterminado, estudar o produtor como minimizador do custo de fabricar esse
nível de output sob a restrição tecnológica (função de produção de longo prazo) e sob os
preços de mercado dos factores de produção (agente price taker). Consolidar a metodologia
(de optimização) apresentada na teoria do consumidor. Apresentar a possibilidade tecnologia
de alteração, no curto prazo, do nível de output (sem determinação do nível óptimo).
3.1 – O produtor
Em termos genéricos, a actividade económica do produtor consiste em ir ao mercado adquirir
factores de produção (i.e., os inputs), transformá-los em bens e serviços (i.e., produzir os
outputs) e voltar ao mercado para a sua venda. Os inputs podem ser recursos naturais, terra,
maquinaria, instalações, bens e serviços intermédios, trabalho, royalties, patentes,
conhecimento, ideias, etc. Os outputs podem ser bens e serviços intermédios (a usar por
outros produtores/vendedores), bens de capital (maquinaria, instalações, etc. a usar em
processos produtivos) ou bens e serviços finais (a serem consumidos).
O produtor será, em simultâneo, um comprador, um transformador e um vendedor que se
localiza entre o mercado de inputs e o mercado de outputs: primeiro, vai adquirir os inputs,
segundo, vai aplicar uma tecnologia na transformação desses inputs nos outputs e, terceiro,
78
volta ao mercado para vender os outputs (ver Fig.3.1). Por exemplo, um agricultor vai ao
mercado arrendar terra e adquirir sementes, estrume, produtos químicos, máquinas agrícolas,
trabalho, vacas e conhecimento, depois transforma-os em milho, feijão, batatas e leite de vaca,
e volta ao mercado para vender os produtos produzidos.
Fig.3.1 – Localização económica do Produtor
A actividade de transformação pode ser diminuta de forma que o produtor seja um
intermediário. Por exemplo, a Sonae Distribuição, S.A adquire um espaço de venda, bens
diversos e contrata trabalhadores e revende os bens adquiridos. Podemos ainda pensar a
actividade de produção como mais um dos inputs: um agente económico que adquire ouro,
pedras preciosas, design de joalharia e contrata um joalheiro que lhe executar as jóias (a
feitio) que depois vende.
No mercado real que é descentralizado (e tem informação imperfeita), a característica mais
importante do comprador/transformador/vendedor é a sua capacidade de explorar as
oportunidades que vão surgindo no mercado de forma mais eficiente que o próprio
mercado, i.e., realizar operações de arbitragem. Este ganho de eficiência surge de a firma
ser organizada de forma centralizada (tendo informação menos imperfeita que o mercado). A
discussão que existiu durante todo o século XX sobre a eficiência das economias
centralizadas (i.e., planificadas - socialistas) e das descentralizadas (i.e., de mercado capitalistas) deveu-se ao facto da decisão centralizada ser mais eficiente à escala pequena
(i.e., ao nível da empresa) e a decisão descentralizada ser mais eficiente à escala grande (i.e.,
ao nível dos países).
Sendo que neste capítulo (adequado a undergraduate students) é assumido o pressuposto de
que a informação é pública (i.e., que todos sabem) e perfeita, a actividade económica de
transformação assume-se como a mais importante do produtor.
79
3.2 – Tecnologia de produção - Função de produção. A transformação dos inputs nos
outputs é um intrincado problema de engenharia que tem muitas variáveis de controlo mas
que pode, em termos de ciência económica, ser simplificado numa Função de Produção.
Esta função pressupõe que o processo produtivo está afinado e, por isso, não necessita serem
consideradas as variáveis de engenharia. Fique claro que a realidade do produtor é muito mais
complicada do que se pode depreender da Função de Produção que vamos apresentar sendo
que esta abstracção serve apenas para apresentar, em termos genéricos, os conceitos
económicos. A estimação, num caso concreto, da função de produção é um problema
complicado de realizar (no fim do texto veremos um exemplo simples).
Podemos condensar a tecnologia de transformação numa função de produção f, de forma que
o produtor, consumindo as quantidades de inputs X = (x1, x2, …, xn), produz as quantidades de
outputs Y = (y1, y2, …, yn) segundo a desigualdade:
(y1, y2, …, yn) ≤ f(x1, x2, …, xn).
A desigualdade inclui a possível de existência de ineficiências. Sendo o agente económico
insaciável, então diligenciará no sentido de produzir uma dada quantidade de output
utilizando a mínima quantidade possível de inputs, i.e., vai afinar o processo produtivo de
forma a atingir a igualdade, Y = f(X).
A função produção relaciona quantidades físicas (e.g., relaciona horas de trabalho,
quilogramas de fertilizante e metros quadrados de terra com litros de leite).
Nota: Representando a tecnologia como uma aplicação de X em Y (i.e., a função Y = f(X)),
então não se podem usar quantidades negativas de factores de produção ou produzir uma
quantidade negativa de bens ou serviços. Alternativamente, a tecnologia pode ser representada
como uma ligação (i.e., a equação de restrição g(X, Y) = 0), em que as quantidades dos inputs
são negativas e as quantidades dos outputs são positivas.
Dois inputs e um output. Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o produtor
produz um bem ou serviço y usando dois factores de produção x1 e x2: y = f(x1, x2). Podemos
dar interpretação física a estes dois inputs considerando que consistem em trabalho, L, e em
capital, K. O trabalho agrega a actividade laboral das pessoas enquanto que o capital agrega as
máquinas, equipamentos, imóveis, etc.
80
Ex.3.1. Na produção de consultas médicas, usam-se como inputs o tempo do médico e da sua
assistente (que agregamos como factor Trabalho) e o consultório e equipamento (que
agregamos como factor Capital). Em termos matemáticos, sendo o processo produtivo
condensado na função de produção Y = 5.L0.6.K0.3, qual será o nível de produção se forem
utilizadas 10 unidades de trabalho e 50 unidades de capital?
R. Y = 5.100.6.500.3 = 64: serão produzidas 64 consultas.
Mapa de isoquantas – linha de igual nível de produção. Considerando que o nível de
output é fixo, f(x1, x2) = q, a função de produção (com dois inputs e um output) pode ser
representada graficamente como uma linha de nível q sobre o domínio dos inputs. Essa linha
de igual quantidade de produção contém todas as combinações possíveis de inputs (i.e., todos
os cabazes de factores) que permitem atingir esse nível de produção. Essa linha que, em
termos matemáticos, será uma relação entre os dois inputs, x2 = g(x1), obtém-se explicitando a
equação f(x1, x2) = q. Sendo que a função de produção já traduz os locais de eficiência, então a
isoquanta traduz as menores quantidades de inputs que permitem atingir o nível de produção
considerado.
Propriedades das isoquantas: As isoquantas “bem comportadas”
São decrescentes,
A inclinação vai diminuindo (têm curvatura virada para cima) e
Nunca se intersectam.
Em termos económicos, considerando que o trabalho está no eixo dos xx, as isoquantas
serem decrescentes traduz que eu posso manter um determinado nível de output substituindo
trabalho por capital (um input por outro input), e.g., aumentando a quantidade de trabalho e
diminuindo a quantidade de capital.
A inclinação ir diminuindo traduz que a proporção de troca vai diminuindo com a
quantidade utilizada do input, e.g., quando uso 100h de trabalho, para diminuir o trabalho
numa hora preciso aumentar a quantidade de terra em 10m2, enquanto que quando uso 200h
de trabalho, para diminuir o trabalho numa hora já só preciso de aumentar a quantidade de
terra em 8m2.
Nunca se intersectarem traduz que a isoquanta representa pontos de eficiência produtiva.
81
Ex.3.2. A produção de batatas depende da quantidade de terra e de trabalho segundo a função
de produção, y(L, K) = 25L0.4.K0.5 kg. Determine a isoquanta q = 1000 kg.
R: y(L, K) = q  25L0.4.K0.5 = 1000  L0.4.K0.5 = 40  K = 1600 / L0.8. Se a quantidade de
trabalho for 32h, , serão necessários 100m2 de terra. Se se reduzir a quantidade de trabalho
para 31h, será necessário aumentar a quantidade de terra para 102.57h.
**
Ainda sobre o problema do Ex.3.2, mostro na Fig.3.2 duas isoquantas: a de nível de produção
1000kg e a de nível de produção 200kg. Pode-se verificar em ambas essas isoquantas que, em
termos genéricos, posso produzir a mesma quantidade trocando o uso de um factor de
produção por outro (caminhando sobre uma das isoquanta): aumentando a quantidade de
trabalho posso diminuir a quantidade de terra e vice-versa.
250
Terra
200
Y = 2000kg
150
100
Y = 1000kg
50
0
0
50
100
150
200
Trabalho
250
Fig.3.2 – Duas isoquantas da função produção de batatas
Taxa Marginal de Substituição Técnica: A proporção de substituição que permite manter o
mesmo nível de produção denomina-se por Taxa Marginal de Substituição Técnica e vem,
em termos geométricos, dada pela tangente à isoquanta. Assim (estando o trabalho no eixo
das abcissas), traduz quantas unidades de capital eu tenho que aumentar para poder diminuir a
quantidade de trabalho numa unidade e manter o mesmo nível de produção.
No Ex.3.2., em termos contínuos, como K = 1600 / L0.8 vem TMST = –1280/L1.8. No ponto
(32m2, 100h), a TMST vale 2.5: posso substituir 1m2 de terra por 2.5h de trabalho que
mantenho o mesmo nível de produção. A TMST decresce em grandeza quando se caminha da
esquerda para a direita: TMST’ = 2340/L2.8 = 0.006.
82
Função implícita e a TMST: Sendo que a equação q = f(L, K) define implicitamente a
isoquanta de nível q, então, pelo teorema da derivação da função implícita, podemos calcular
matematicamente a Taxa Marginal de Substituição Técnica a partir das derivadas parciais da
função de produção (que traduzem as produtividades marginais, ver o ponto seguinte):
TMSTL,K = – f’L/ f’K.
Ex.3.3. Na produção de comunicações telefónicas, a tecnologia condensa-se na função
produção, y(L, K) = 10L0.1.K0.8, i) determine a TMST de trabalho, L, por capital, K, quando o
nível de capital é 100u. e o de trabalho é 10u. ii) determine a elasticidade de substituição
técnica de trabalho por capital.
R:
i)
K ( L)  TMSTL , K 
K ( L)
f'
L0.9 K 0.8
K
100
  L   0.1  0.2  1.25  1.25
 12.5 :
L
f 'K
8L K
L
10
Quando se pretende diminuir em uma unidade a quantidade de trabalho, para manter o mesmo
nível de produção será necessário aumentar em 12.5 unidades a quantidade de capital.
ii)
TMSTL , K 
K ( L)
K ( L) L
f' L
K L
 eSTL , K 
 l
 1.25
 1.25 :
L
L K
f 'k K
L K
Quando
se
pretende diminuir em 1% a quantidade de trabalho, será necessário aumentar em 1.25% a
quantidade de capital para manter o mesmo nível de produção.
Produtividade marginal: A função produção quantifica quanto é, em termos físicos, a
produção total de usar determinadas quantidades dos factores. A produtividade marginal
traduz o aumento de produção induzido pela última unidade de um dos factores utilizados
sendo que as quantidades de todos os outros factores se mantêm inalteradas (i.e, ceteris
paribus). Em termos matemáticos contínuos, a produtividade marginal de um input consiste
na derivada parcial relativamente a esse inputs.
Ex.3.4. Na produção de cortes de cabelo (c/dia), a tecnologia condensa-se na função de
produção, y(L, K) = L + 10L0.7.K0.2, i) determine a TMST de trabalho, L, por capital, K,
quando o nível de capital é 10u. e o de trabalho é 8h/dia. ii) determine a elasticidade de
substituição técnica de trabalho por capital. iii) Determine a produtividade marginal do
trabalho.
83
R: i) K ( L)  TMSTL , K 
K ( L)
f'
1  7 L0.3 K 0.2
 L 
 5.11: Quando se pretende
L
f 'K
2 L0.7 K  0.8
diminuir em uma h/dia a quantidade de trabalho, para manter o mesmo nível de produção (de
76c/dia) será necessário aumentar em 5.11 unidades a quantidade de capital.
ii) eSTL , K  TMSTL , K
L
8
 5.11  4.09 : Quando se pretende diminuir em 1% a
K
10
quantidade de trabalho, para manter o mesmo nível de produção será necessário aumentar em
4.09% a quantidade de capital.
iii) Em termos discretos, a Pmg será a produção atribuída à ultima unidade do factor trabalho:
PmgL = y(8, 10) – y(7, 10) = 75.946 – 68.883 = 7.063 c/dia/h. Em termos contínuos, será a
derivada da função produção em ordem ao trabalho y’L(8,10) = 1 + 7L–0.3K0.2 = 6.943 c/dia/h;
Também poderíamos calcular na vizinhança do valor, (por exemplo, se pudéssemos dividir o
input em centésimas): PmgL = [y(8.01, 10) – y(7.99, 10)]/0.02 = 6.945 c/dia/h.
A expressão que se obtém para a TMST usando a derivação da função implícita traduz que
esta grandeza é o rácio das produtividades marginais.
Ex.3.5. Num restaurante, mediu-se que a produção de refeições depende das horas de trabalho
e da área do estabelecimento. Mais uma hora de trabalho permite produzir mais 4 refeições
enquanto que mais 1 m2 de área permite produzir mais 0.2 refeições. i) Determine a TMST de
trabalho, L, por capital, K. ii) Quanto será necessário aumentar a área do estabelecimento se se
pretender diminuir a quantidade utilizada de trabalho em 8 horas?
R: i) TMSTL , K  
f 'L
4

 20 . ii) Como 1h de trabalho a menos obriga a ter 20m2 de
f 'K
0.2
área a mais, será necessário aumentar o estabelecimento em 160m2.
Progresso tecnológico: O progresso tecnológico permite produzir igual quantidade de output
com menor quantidade de inputs. Em termos de isoquanta, o progresso técnico traduz-se por
uma deslocação da isoquanta para a esquerda (no sentido de gastar menos inputs), ver Fig.3.3.
Notar que o deslocamento da isoquanta pressupõe que o progresso tecnológico “caiu do céu”,
i.e., abstraímos que têm que ser dispendidos recursos escassos em actividades de investigação
e desenvolvimento, I&D, para que o progresso tecnológico aconteça, o que, na generalidade
dos casos, infelizmente não é verdade.
84
Como exemplo de inovação tecnológica, em 2002 descarregaram-se nas lotas 148 mil
toneladas de pescado (“Peixes marinhos” + “Crustáceos” + “Moluscos”) utilizando 10548
barcos e 22025 trabalhadores. Em 2007, apesar de as descargas terem aumentado para 161 mil
toneladas, foram utilizados menos recursos: 5050 barcos e 17021 trabalhadores (fonte:
www.ine.pt).
Fig.3.3 – Efeito do progresso tecnológico numa isoquanta
3.3 – Minimização do custo de produção
Já está consolidada a ideia de que, para produzir um bem ou serviço que vai ser vendido no
mercado, é necessário utilizar/gastar factores de produção que têm que ser adquiridos no
mercado a um determinado preço.
O produtor, como ser humano, pretende consumir bens e serviços que adquire no mercado
com o benefício que obtém da sua actividade. Então, por um lado, dado um nível de
rendimento (e os preços de mercado), o seu problema económico é idêntico ao tratado na
Teoria do Consumidor: o objectivo é maximizar a utilidade. O seu problema como
consumidor traduz-se em escolher o cabaz óptimo que maximiza a utilidade dado o
rendimento (e os preços). Vimos no capítulo 2 que podemos sumariar o resultado da decisão
óptima do consumidor na função de utilidade indirecta que é crescente com o rendimento:
V (r )  MaxU (a1 , a2 ,..., an ), s.a. p1.a1  p2 .a2  ...  pn .an  r 
Acrescenta agora que, o produtor tendo o nível de output fixo, vai escolher os inputs que
maximizam esta utilidade indirecta (sujeito à função de produção e aos preços de mercado).
( x1 , x2 ,...) : z  Max V q. p y  ( x1. p1  x2 . p2  ...), s.a. q  f ( x1 , x2 ,...)
Como V(r) é monótona crescente com o rendimento, então a escolha das quantidades de
inputs a utilizar será independente da forma da função de utilidade e traduz-se na
85
maximização do rendimento que, dada a restrição do nível de output ser fixo, é equivalente à
minimização do custo de produção. Assim, podemo-nos abstrair do problema da escolha do
cabaz de consumo óptimo e concentrarmo-nos no problema da minimização do custo:
( x1, x2 ,...) : z  Min x1. p1  x2 . p2  ..., s.a. q  f ( x1, x2 ,...)
Vamos, primeiro, apresentar em termos gráficos o problema económico da determinação das
quantidades óptimas de factores de produção a utilizar como inputs na produção de uma
quantidade pré determinada de output assumindo que o preço desses inputs é um dado (obtido
no mercado) do problema de minimização do custo que é resolvido pelo produtor (i.e., é um
agente price taker dos factores de produção).
Linha de Isocusto - de igual nível de custo : Na produção usando mais do que um input não
faz sentido económico agregar os recursos dispendidos na produção como a soma das
quantidades dos diferentes inputs. É necessário identificar um ponderador que normalize as
quantidades dos diversos factores de produção às mesmas unidades. Em termos económicos é
norma usar o preço de aquisição (no nosso caso, o preço de mercado) como ponderador das
quantidades, resultando uma despesa.
Ex.3.6. Na produção de “transporte de 100 pessoas em comboio a carvão”, por cada 1000km,
gastam-se 100kg de carvão, 1000 litros de água, 0.3 litros de óleo, 75 horas de trabalho e 30
horas de comboio cujos preços de mercado são 0.25€/kg, 0.01€/l, 7.5€/l, 12.5€/h e 500€/h,
respectivamente. Determine o custo de produzir cada 1000km de “transporte de 100 pessoas
em comboio a carvão”.
R: Custo = 100x0.25 + 1000x0.01 + 0.3x7.5 + 75x12.5 + 30x500 = 15974.25€/1000km.
Em termos genéricos, sendo que são usadas as quantidades L e K dos inputs trabalho e capital,
cujos preços de mercado são pL e pK, respectivamente, então o custo dos inputs em termos
monetários vem dado por
C = L.pL + K.pK.
Sendo que impomos um determinado nível para o custo C, podemos explicitar a função custo
em ordem a um dos inputs, e.g., em ordem ao capital,
K(L) = C/pK – L.pL/pK,
e representá-la graficamente (a linha a vermelho da fig. 3.4) no mesmo gráfico que a
isoquanta de nível de produção q (a linha a preto da fig. 3.4). A intersecção desta linha de
isocusto com o eixo vertical é no ponto (0, C/pK) e com a linha horizontal é no ponto (C/pL,
86
0). A inclinação da linha de isocusto obtém-se derivando K(L). É negativa e, em termos de
grandeza, é igual ao rácio dos preços dos factores de produção, i.e., traduz o preço relativo do
inputs do eixo dos xx, – pL/pK.
Fig.3.4 – Linha isocusto C e isoquanta q
1ª condição da minimização do custo: Esta Fig.3.4 é muito semelhante à representação
gráfica do problema de optimização resolvido pelo Consumidor (ver, Fig.2.9). Mutatis
mutandis, a linha isocusto representa a recta orçamental e a linha isoquanta representa a linha
de indiferença. Comparando as situações, torna-se óbvio que a decisão do produtor se pode
localizar em qualquer ponto da zona sombreada a azul pois ai tem quantidades de inputs
suficientes para atingir o nível de output q e tem um custo menor que se se localizar sob a
recta isocusto C. Então, se se colocar numa curva de isocusto mais próxima da origem, produz
o mesmo e tem um custo menos (A curva C2 da Fig.3.5)
Fig.3.5 – Zona possível de produzir q mas com custo menor
87
O produtor pode-se deslocar para uma recta de isocusto ainda mais próxima da origem, C*,
até que esta se torna tangente à recta isoquanta q (Ver, Fig. 3.6). Este ponto de tangencia
traduz o custo mínimo de produzir a quantidade q.
Fig.3.6 – Linha de custo mínimo que permite produzir q
A condição de tangencia traduz a 1ª condição da minimização do custo de produção:
min( C )  TMSTL , K  
pL
pK
Em termos económicos, esta condição traduz que a mistura óptima de outputs faz a Taxa
Marginal de Substituição Técnica igual à razão dos preços. Sendo f(L, K) a função de
produção, em termos matemáticos resulta como condição de minimização do custo uma
expressão idêntica à condição de maximização da utilidade e em que a “restrição orçamental”
é substituída pela “restrição tecnológica”.
TMSTL , K  
pL
f'
p
 L  L 
pK
f 'K
pK
f 'L f 'K

pL
pK
Equivalente à restrição orçamental, agora, para termos duas equações (pois precisamos de
determinar duas incógnitas) acrescenta-se a restrição tecnológica, i.e., a isoquanta que se
pretende atingir.
 f 'L f 'K


pK
( L, K ) : min C , s.a. q  f ( L, K )   pL
q  f ( L, K )

Esta equação é facilmente generalizável a n inputs.
88
 f '1 f '2
p  p
2
 1
...
( x1 , x2 ,..., xn ) : 
 f '1  f 'n
 p1
pn

q  f ( x1 , x2 ,..., xn )
Ex.3.6. Num estabelecimento do ensino superior, a produção de conhecimento (cujas
unidades traduzem a quantidade de conclusões a multiplicar pela média em dezenas de
valores) depende do número de professores e da dimensão das instalações segundo a
proporção Y = 10.L0.8.K0.3 – 50. Sendo que os preços unitários de L é 30000€/ano e de K é
1000€/ano, determine o nível de inputs que se implica uma custo mínimo de atingir o nível de
produção Y = 330u.
f 'K
K  171.36
 8L0.2 K 0.3 3L0.8 K 0.7
 f 'L


K  12.5L



pK   30000
R:  pL
 L  13,709
1000  
L  13,709 C  582634€
Y  f ( L, K ) 330  10 L0.8 K 0.3  50



Em termos matemáticos, a função objectivo do problema de minimização do custo é a curva
de isocusto sob a restrição tecnológica que se traduz na isoquanta que se pretende atingir:
(l , k ) : c  min l. pl  k. pk , s.a. f (l , k )  q
Este problema pode ser algebricamente resolvido utilizando a Lagrangeana. Como explicado
em Matemática I, a Lagrangeana consiste em acrescentar a equação de ligação à função
objectiva a multiplicar por um parâmetro (o multiplicador de Lagrange). Quando se verifica a
restrição, mesmo que o parâmetro utilizado seja diferente de zero, a minimização da
Lagrangeana será igual à minimização da função objectivo. Se houver n restrições, será
necessário utilizar n parâmetros.
L  l. pl  k. pk  . f (l , k )  q   (l , k ) : c  min L  min l. pl  k. pk  . f (l , k )  q 
L'l  0
 pl  . f 'l  0
f 'l
 pl


 
f 'k
 L'k  0   pk  . f 'k  0   pk
 L'  0
 f (l , k )  q  0
 f (l , k )  q

 

A condição de segunda ordem ultrapassa a necessidade deste curso.
Efeito de uma alteração dos preços dos inputs. A alteração dos preços de um input vai fazer
com que a linha de isocusto rode (porque se altera a inclinação – pL/pK) e se desloque a
89
intersecção com o eixo coordenado que representa o input cujo preço aumenta, (0, –c/pK) ou
(c/pL, 0). Na Fig.3.7 represento um aumento para o dobro do preço do capital.
Fig.3.7 – Efeito do aumento do preço do capital (sentido da seta) na linha de isocusto
O aumento do preço dos inputs tem como consequência que, para atingir o mesmo nível de
produção, há um aumento do custo mas também o produtor altera a mistura relativa dos
factores de produção: utiliza menos quantidade do factor cujo preço aumentou e utiliza mais
do factor cujo preço se manteve (ver, Fig.3.8). Esta situação é muito semelhante ao que
acontece ao consumidor quando se verifica um aumento dos preços dos bens e serviços e o
consumidor pretende manter o mesmo nível de utilidade: a despesa aumenta e altera-se a
mistura de bens e serviços no cabaz no sentido do aumento da proporção dos bens cujo preço
se tornam relativamente mais baratos.
Fig.3.8 – Efeito do aumento do preço nas quantidades de inputs
90
Ex.3.7. Na produção de “aulas de ginástica personalizadas”, a tecnologia condensa-se na
função produção, y(l, k) = l0.7.k0.2 aulas, i) Sendo que o preço do capital é 0.05€/u. e o do
trabalho é 15€/h, determine o custo mínimo que permite atingir o nível de produção de 1000
aulas. ii) determine as mudanças que ocorrem se o preço da mão de obra subir para 16€/h.
 fl f k
l  821.25
 0.7l  0.3k 0.2 0.2l 0.7 k  0.8
k  85.71 l

p  p


R: i)  l

 k  68678
k
15
0.05  

1000  l 0.7 k 0.2

c  15452.60€



l  789.84
 0.7l 0.3k 0.2 0.2l 0.7 k 0.8

k  85.71 l


ii) 
 k  72214
15
0.05  

1000  l 0.7 k 0.2
c  16248€


O trabalho diminuiu 11.4h (despedimentos), o capital aumentou 3535u. (mais máquinas) e o
custo aumentou 795.47€ (mais 0.795€/aula). Se não houvesse alteração nos inputs, o custo
teria aumentado 801.25€ (mais 0.801€/aula).
Progresso tecnológico poupador de capital ou de trabalho: Retomando o progresso
tecnológico, por comparação com a linha de isocusto, torna-se possível visualizar que o
progresso tecnológico pode ser relativamente (mais) poupador de capital ou de trabalho.
Inovação poupadora de capital. Quando, mantendo a mesma proporção de inputs, o
deslocamento da isoquanta é no sentido de aumentar (em grandeza) a TMSTL,K (de trabalho
por capital), i.e., vamos para o ponto A da Fig.3.9, então torna-se maior (em grandeza) que o
preço relativo do trabalho. No sentido de igualar a TMSTL,K com o rácio dos preços, como
esta é decrescente com a quantidade (de trabalho), a proporção de trabalho aumentará e a de
capital diminuirá (ponto B da Fig.3.9) pelo que esta inovação tecnologia é (relativamente
mais) poupadora de capital.
91
Fig.3.9 – Progresso tecnológico poupador de capital
Inovação poupadora de trabalho. Quando, mantendo a mesma proporção de inputs, o
deslocamento da isoquanta é no sentido de diminuir (em grandeza) a TMSTL,K (de trabalho
por capital), i.e., vamos para o ponto A da Fig.3.10, então a TMSTL,K torna-se menor (em
grandeza) que o preço relativo do trabalho. No sentido de igualar a TMST L,K com o rácio dos
preços, como esta é decrescente com a quantidade (de trabalho), a proporção de trabalho
diminui e a de capital aumenta (ponto B da Fig.3.10) pelo que esta inovação tecnologia é
(relativamente mais) poupadora de trabalho.
Fig.3.10 – Progresso tecnológico poupador de trabalho
A inovação tecnológica poderá levar ao aumento da quantidade utilizada de um (ou alguns)
dos factores de produção mas nunca de todos, e leva sempre a uma redução do custo.
92
Ex.3.8. Em 1980, em 1980, a tecnologia de produção de “seguros automóveis” condensava-se
na função de produção Y1980 = 10.L0.8.K0.3 milhares de seguros em que L traduz o número de
agentes e K o número de balcões de atendimento. O aparecimento da Internet alterou a
tecnologia passando a função de produção, em 2000, a ser Y2000 = 20.L0.3.K0.8. Considerando
que, em ambos os períodos, os preços dos agentes era 2000€/u. e do capital era 3000€/u., para
um nível de produção de 4000 milhares de seguros, i) Determine quantos agentes havia por
posto em 1980, o número de postos e a TMST. ii) Comparando a evolução da TMSTL,K,
determine se a inovação tecnológica foi poupadora de trabalho.
 8l 0.2 k 0.3 3l 0.8k 0.7
 f l f k

l  4k
l  338.62
 

pk   2000
R: i)  pl

3000  

k  84.65
 y  f (l , k ) 4000  10l 0.8k 0.3


TMSTL , K  
fl
8l 0.2 k 0.3 3l 0.8k 0.7
8l 0.2 k 0.3 3000
4k

/


 1
0.8  0.7
f k
2000
3000
2000 3l k
l
ii) Mantendo a proporção de 1980, 4000  20(4k )0.3 k 0.8  k  45.08; l  180.32 , teríamos
TMSTL, K  
fl
6l 0.7 k 0.8 16l 0.3k 0.2
6l 0.7 k 0.8 3000
9k

/


 0.141
0.3  0.2
f k
2000
3000
2000 16l k
16l
Como a TMSTL,K diminuiu em grandeza, a inovação foi poupadora de trabalho.
 6l 0.7 k 0.8 16l 0.3k 0.2

l  0.5625k
l  81.21


3000  
 2000

k  144.54
4000  20l 0.8k 0.3

A inovação tecnológica levou à redução em 76% do trabalho e ao aumento em 71% dos
postos de atendimento, resultando numa redução em 34.5% dos custos de produção.
Notar que a tecnologia ser poupadora de trabalho não implica que vá aumentar a taxa de
desemprego. Por um lado, o pressuposto de informação pública e perfeita garante sempre o
pleno uso dos factores de produção. Por outro lado, o progresso tecnológico (“caído do céu”)
é sempre positivo pois permite poupar recursos escassos o que potencia o aumenta das
possibilidades de produção (e de consumo) da sociedade como um todo. Recordar, no entanto,
que o progresso tecnológico pode, pelo menos transitoriamente, não ser benéfico para todos
(e.g., pode obrigar à reconversão do factor trabalho).
Por exemplo. Existe uma economia com duas empresas com nove trabalhadores cada: uma
padaria onde cada trabalhador produz (e recebe como ordenado) dois pães e uma salsicharia
onde cada trabalhador produz (e recebe como ordenado) duas salsichas. Supondo que os
93
consumidores apenas retiram utilidade de comer cachorros quentes (i.e., um pão com uma
salsicha), a troca no mercado de um pão por uma salsicha permite que todos consumam um
cachorro quente. De repente, uma inovação tecnológica passa a permitir que cada padeiro
produza (e receba como ordenado) 4 pães. Então, ninguém quer tanto pão pelo que o preço do
pão diminui tornando-se obrigatório despedir 3 padeiros que, transitoriamente, ficam no
desemprego pois precisam de aprender a ser salsicheiros. No final, apesar de a padaria ficar
com apenas 6 trabalhadores e do preço diminuir para 0.5 pães por salsicha, a salsicharia passa
a ter 12 trabalhadores de forma que não existe desemprego e todos os indivíduos melhoram
aumentando o consumo para 1.33 cachorros quentes. (Ideia retirada de Paul Krugman, 1998,
The Accidental Theorist).
Função procura de factores de produção. Para atingir um determinado nível de produção é
necessário adquirir inputs no mercado de factores de produção. Então, considerando preços
de mercado genéricos, da resolução da minimização do custo, podemos determinar as funções
de procura dos factores de produção que permitem atingir um determinado nível de produção.
Ex.3.9. Na produção de “contas bancárias” é utilizado capital (instalações, computadores,
etc.) e trabalho (funcionários) segundo a proporção y(l, k) = 10l0.5.k0.8 contas. Determine as
funções procura de trabalho e de capital para um nível de produção de 100000contas.
 5l 0.5 k 0.8 8l 0.5k 0.2
 f l f k


l  893.94( pk / pl )0.6154
k  1.6 l. pl / pk


p
p
p
p



 l
k
l
k
1.3
0.8
k  1430.3( pl / pk )0.3846
10000  l (1.6 pl / pk )
 y  f (l , k ) 100000  10l 0.5 k 0.8


A quantidade procurada de trabalho é decrescente com o preço unitário do trabalho (e
crescente com o preço unitário do capital). A quantidade procurada de capital é decrescente
com o preço unitário do capital (e crescente com o preço unitário do trabalho). Estes dois
inputs são factores de produção substitutos.
Apesar de não considerarmos a possibilidade de ocorrerem alterações do nível de produção, a
quantidade procurada de factores de produção é crescente com este parâmetro de forma que,
havendo um aumento do nível de produção, haverá um deslocamento (fortalecimento) da
função de procura para a direita e para baixo (e vice-versa): para cada preço de mercado,
aumentará a quantidade procurada de factor de produção.
94
Função custo total (de longo prazo). O custo total será dado pela despesa incorrida pelo
produtor vendedor na aquisição dos factores de produção ao custo de mercado. Apesar de ser
obtida sob o pressuposto de que a quantidade a produzir é fixa (ser um parâmetro), podemos
obter uma função que relacione o custo total para cada nível de produção.
Realço que esta função custo total é determinada sob o pressuposto de que existe tempo
disponível entre os níveis de produção que permite um ajustamento de longo prazo de
ambos os factores de produção pelo que não tem relevância económica para ser utilizada
em alterações de mercado de curto prazo.
Ex.3.10. Na produção de sardinha, a tecnologia condensa-se na relação y(L, K) = 5ln(L) +
10ln(K) cabazes. Determine a função custo para um nível genérico de capital q quando os
preços de mercado do trabalho e do capital são 25€/u. e 5€/u., respectivamente.
 f l f k
 5.1 / L 10.1 / K


 K  10 L
 K  10 exp( q / 15  1.535)


pk   25


5
 pl
q  10 Ln(10)  15Ln( L)
 L  exp( q / 15  1.535)
 y  f (l , k ) q  5Ln( L)  10 Ln( K )

C (q)  25L  5K  75 exp( q / 15  1.535)
3.4. Alteração do nível de produção - curto prazo
O mercado está em constante evolução, sendo obrigatório que o produtor, para se manter
vivo, responda rapidamente. No longo prazo, a resposta pode consistir numa variação,
percorrendo uma isoquanta, da proporção dos diversos inputs ou uma alteração de isoquanta
(i.e., uma variação dos inputs de forma a alterar também a quantidade produzida). No entanto,
na resposta rápida, dos diversos factores de produção utilizados, existem alguns que não é
possível alterar a intensidade/quantidade que é utilizada. Por exemplo, se eu tenho uma
empresa de autocarros, precisando aumentar a minha produção em resposta a uma avaria do
Metropolitano, posso aumentar o horário dos meus motoristas em duas horas mas não posso
variar o número de autocarros.
Curto prazo – Longo prazo. É corrente ouvir os agentes económicos referirem-se à
capacidade de ajustamento do seu negócio em termos de curto e longo prazo. A escala
temporal destes conceitos não é objectiva, podendo o curto prazo ser na ordem dos dias,
semanas ou meses e o longo prazo na ordem dos anos ou dezenas de anos. A questão
fundamental é que, no longo prazo, todos os inputs são ajustáveis enquanto que no curto
prazo, apenas alguns dos inputs são ajustáveis.
95
Função de produção de curto prazo. Porque consideramos que na produção apenas são
utilizados dois factores de produção, o trabalho e o capital, vamos agora assumir que no curto
prazo apenas é possível ajustar o nível de trabalho às condicionantes do mercado. Assim, no
curto prazo, posso variar a quantidade de trabalho mas tenho que manter fixa a
quantidade de capital (e que foi decidida num tempo anterior). Notar que eu não vou
determinar qual o nível óptimo de output mas apenas responder a uma vontade exógena de
alterar rapidamente o nível de produção.
Ex.3.11. Na produção de “uma aula de Judo com Y alunos”, a função de produção (de longo
prazo) é Y(L, K) = 10.L0.8.K0.5u. Sendo que os preços de mercado dos Mestres e do Dojo são
50€/h e 5€/m2, respectivamente i) determine o nível óptimo de factores de produção para
produzir uma aula com 100 alunos. ii) Sendo que, de forma imprevista, é necessário aumentar
rapidamente o nível de produção para uma aula com 200 alunos, determine a resposta em
termos de factores de produção.
 8L0.2 K 0.5 5L0.8 K 0.5
 f l f k

 K  6.25L
 K  18.155m 2



pk   50
i)  pl


5
 1.3

L  4
 L  2.9h
 y  f (l , k ) 100  10 L0.8 K 0.5


ii) Só é possível aumentar o trabalho do Mestre: 200  10 L0.818.1550.5  L  6.9h
Produtividade total, média e marginal. Considerando irrelevante na análise de curto prazo
os factores fixos, então a função produção de curto prazo quantifica, em termos físicos, a
produtividade total do factor trabalho. Por exemplo, se a função de produção de batatas for
dada por y(L) = 60L0.8 – 50, sendo L horas de trabalho, então com 100h de L, a
produtividade total será 2338.6 kg de milho.
A produtividade média traduz quanto, em média, produz cada unidade de factor utilizado e
obtém-se dividindo a produção total pela quantidade de factor variável utilizado. Não tem em
conta a importância e contributo no nível de output dos outros factores de produção. No
exemplo do milho teremos ymed(L) = (60L0.8 – 50)/L de que resulta uma produtividade média
de 23.4 kg/h (quilogramas de milho por cada hora de trabalho). Também é normal ouvir falar
de produtividade de um recurso natural, como por exemplo, a produtividade por hectare de
terra (sem atender aos outros factores utilizados como quantidade de trabalho, de adubos,
maquinaria, etc.). Na Fig. 3.11 apresento exemplos de produtividade da terra de sequeiro.
96
Culturas \ Ano
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Trigo mole
1 199
1 648
666
2 388
1 865
2 240
Trigo duro
787
1 543
559
2 298
1 790
2 060
Triticale
839
1 397
403
2 093
1 582
1 980
Cevada
1 133
1 651
765
2 390
1 994
2 290
Centeio
888
953
779
1 014
1 022
1 020
Aveia
721
1 099
469
1 623
1 347
1 685
8 985
11 821
8 319
9 499
10 358
9 840
Batata de sequeiro
Fig.3.11 – Produtividade em Portugal Continental, kg/ha (fonte: www.ine.pt)
A produtividade marginal traduz o aumento de produção induzido pela última unidade de
factor utilizado. No exemplo do milho teremos ymarg(L) = y(L) – y(L–1) de que resulta uma
produtividade marginal de 2338.643 – 2319.515 = 19.128 kg/h para a 100ª hora. Se a variável
L puder ser aproximada por uma quantidade contínua, então a produtividade marginal vem
dada pela derivada da função produção ymarg(L) = y’(L). No exemplo teremos ymarg(L) =
48L–0.2 pelo que virá ymarg(100) = 19.109 kg/h. Notar neste exemplo a grande semelhança
entre os resultados de considerarmos a variável discreta ou contínua (0.1%).
Em termos gráficos (ver Fig.3.12), a produtividade total é o valor da ordenada, a
produtividade média (linha a vermelho) é dada pela inclinação da recta que une a origem das
ordenadas, o ponto (0, 0), ao nível de produção considerado, enquanto que a produtividade
marginal (linha a azul) traduz a inclinação da função no nível de produção considerado.
Fig.3.12 – Produtividade total, média e marginal
Comportamento da produtividade com a quantidade de factor. Em termos empíricos, a
generalidade dos processos produtivos pode ser condensado numa função de produção de
curto prazo com inclinação variável com o nível de produção, i.e., a produtividades marginal
do trabalho é variável (ver, Fig.3.13). Podemos tipificar a função produção em três troços.
97
No primeiro troço, a produção é pequena mas aumenta a uma velocidade maior que o
consumo do trabalho (troço a azul da Fig.3.13), i.e., a produção e a produtividade são
crescentes com o nível de trabalho utilizado (a curvatura é virada para cima). Temos
rendimentos crescentes com o aumento do uso do factor.
No segundo troço, a produção aumenta a uma velocidade menor que o consumo do trabalho
(troço a vermelho da Fig.3.13), i.e., a produção é crescente mas a produtividade é
decrescente com o nível de trabalho utilizado (a curvatura é virada para baixo). Temos
rendimentos decrescentes com o aumento do uso do factor.
No terceiro troço, existe congestionamento do factor (troço a preto da Fig.3.13), i.e., a
produção e a produtividade são decrescente com o aumento do uso do factor.
Lei dos rendimentos decrescente. A propriedade mais importante da função produção de
curto prazo é ter um troço em que a produtividade é crescente mas a velocidade
decrescente. Quando for apresentada a determinação do nível óptimo de produção (no
capítulo IV), será mostrado que a decisão óptima do produtor se vai localizar nesse troço (em
que a derivada da função produção é positiva e a sua segunda derivada é negativa).
Historicamente, o surgir, na segunda metade do século XIX, do princípio de que a
produtividade marginal é decrescente está ligado à actividade agrícolas que utiliza primeiro as
áreas de terra mais produtivas, donde a produtividade marginal ser decrescente.
Fig.3.13 – Função produção de curto prazo (capital = K*)
Ex.3.12. Na produção de batatas, sendo fixo a quantidade de terra, a função de produção de
curto prazo vem dada por Y(L) = 5L + 3L2 – 0.1L3. i) Determine o domínio em que a
produtividade do factor trabalho é crescente mas a velocidade decrescente.
98
R. A abcissa inferior é a do ponto de inflexão: Y’’L = 0  6 – 0.6L = 0  L = 10u.; e a
superior, a do ponto de produtividade máxima: Y’L = 0  5 + 6L – 0.3L2 = 0  L = 19.13u.
A diminuição da produtividade com o aumento da dimensão prende-se com o facto de haver
factores de produção que não se conseguem aumentar, passando a haver necessidades
acrescidas do factor variável. Por exemplo, motivado pelo aumento do preço dos
combustíveis, o fluxo de passageiros no metropolitano de Paris tem aumentado rapidamente
(cerca de 10% ao mês). A administração, como não consegue aumentar as dimensões físicas
dos túneis, para aumentar a cadência das composições, tem contratado pessoas para auxiliar
os passageiros a entrar nas carruagens, o que é cada vez menos eficaz.
Relação entre produtividade marginal e produtividade média. Tendo presente a figura
Fig.3.12, no estágio inicial da função de produção, a produtividade marginal é superior à
produtividade média (ver Fig.3.13).
Fig.3.14 – Produtividade média e marginal (1)
Pelo contrário, no estágio seguinte da função de produção, a produtividade marginal é inferior
à produtividade média (ver Fig.3.15).
99
Fig.3.15 – Produtividade média e marginal (2)
Então, relativamente à produtividade média, a produtividade marginal é superior no estágio
inicial e inferior depois (ver Fig.3.16). É importante notar que a produtividade media atinge o
máximo no ponto em que iguala a produtividade marginal. O ponto de produtividade marginal
máxima corresponde ao ponto de inflexão da F.P e o ponto de produtividade média máxima
encontra-se já dentro do troço de rendimento decrescente da F.P.
Fig.3.16 – Produtividade média e marginal (3)
Custo total de curto prazo. A função custo, como a função de produção, é uma forma de
traduzir a tecnologia de transformação, mas tendo em atenção os preços dos factores de
produção. Sendo que, no curto prazo, a alteração do nível de produção é feito pela alteração
de apenas um factor de produção, então, em termos matemáticos, a função custo total, c(y),
obtém-se substituindo a função de produção e o nível de capital na expressão de cálculo do
custo.
100
c(q)  K. pK  L. pL , s.a. q  f (L, K ), K  K *
Como nesta análise consideramos apenas um factor variável, não é necessário resolver
qualquer problema de minimização.
Ex.3.12. Sendo a função de produção de milho y(L) = 12L0.8K0.7 sacas, para K = 100u. e
preços de mercado pL = 5€/h e pK = 1€/u., determine a função custo total de curto prazo.


R: A função custo total de curto prazo resolve c(q)  2K  5L, s.a. q  6L0.8 K 0.7 , K  100 ,
pelo que vem dada por c(q)  200  1.043q1.25 .
Ex.3.13. Usando trabalho, adubos e terra, um agricultor produz maçãs segundo a função de
produção Y(L, A, K) = 0.25L0.6.A0.2.K0.2 toneladas. Assumindo que os preços de L é 5€/h, de A
é 6€/saca e de K é 200€/há, determine a curva de custo de longo prazo e compare-a com a
curva de custo de curto prazo (K* fixo para um nível de produção de 20 toneladas).
R. O custo de longo prazo é 112.20€ por tonelada, qualquer que seja o nível de output:
 0.15L0.6 A0.2 K 0.2 0.05L0.6 A0.2 K 0.2
 f l f a



p
pa
5
L
6A
l


 A  0.278L
 A  3.740q
0.6 0.2 0.2
0.6 0.2 0.2
0.05L A K
 0.15L A K
 f l f k




  K  0.00833L   K  0.1122q
 
pk
5L
200 K
 pl

 L  13.463q

0.6 0.2 0.2


 y  f (l , a, k ) q  0.25L A K




C (q)  112.196q
Para produzir 20t, no longo prazo usava-se 2.244ha de terra. No curto prazo posso alterar a
quantidade de trabalho e de adubo pelo que a função custo de curto prazo será:
 A  1.768q1.25
 A  0.278L
 0.15L0.6 A0.2 K 0.2 0.05L0.6 A0.2 K 0.2
 f l f a


 


pa


 
5L
6A
 pl
 y  f (l , a, k ) q  0.25L0.6 A0.2 2.2440.2
 L  6.366q1.25





1.25
C (q | K *  2.244)  448.782  42.44q
101
6.000 €
Custo cp
5.000 €
4.000 €
Custo lp
3.000 €
€
2.000 €
1.000 €
0€
0
10
20
30
40
q
50
Custo médio e custo marginal.
Se dividirmos o custo total pela quantidade total produzida, obtemos a função custo médio,
c.médio = c(y)/y. No Ex.3.12., a produção de 2500 sacas de milho tem como custo médio
7.46€/saca. A função custo marginal consiste, em termos discretos, no custo de produzir a
última unidade de bem, c.mg(y) = c(y) – c(y–1). No caso das 2500 sacas, o custo marginal
será c.mg(y) = 18638.38 – 18629.16 = 9.22€/saca.
É importante realçar no troço em que a produtividade cresce a velocidade decrescente, o custo
total é crescente a velocidade crescente. Quando a função produção é concava, i.e., f(x)’’ < 0,
o incremento de mais uma unidade de factor de produção induz uma aumento menos que
proporcional do output. Como contrapartida, a função custo virá convexa, i.e., c(y)’’ > 0, o
que traduz que para produzir mais uma unidade de output, o custo aumenta mais que
proporcionalmente.
102
Fig.3.17 – Função custo, custo médio e marginal
Custo afundado: Como a implementação do nível de capital demora “muito tempo” a sua
aquisição é feita “muito” antes da decisão quanto ao nível de output. Então, a despesa feita na
aquisição do capital é irreversível, não sendo relevante na posterior tomada de decisão quanto
à quantidade de trabalho a utilizar. O custo afundado será apenas um custo a considerar em
termos contabilísticos.
Ex.3.13. Um agricultor tem que arrendar (e pagar) a terra em Novembro para apenas decidir
em Março a quantidade de batatas que vai produzir. Supondo que a função de produção de
batata usa terra, T, trabalho, L, e fertilizantes, F, segundo y(T, L, F) = 0.5T0.6.L0.4.F0.2t, cujos
preços unitários de mercado são 200€/ha, 5€/h e 0.30€/kg, respectivamente. i) Sendo que, em
Novembro, o agricultor pensa produzir 150t de batatas, determine quanta terra é óptimo
arrendar. ii) Quando, em Março, ao falharem as encomendas o agricultor decidiu produzir
apenas 50t de batatas, qual o consumo de inputs que minimiza o custo?
R. i) O agricultor vai determinar a quantidade de terra variando todos os factores de produção:
 0.3T 0.4 L0.4 F 0.2 0.2T 0.6 L0.6 F 0.2
 fT f L



p
pL
200
5
T


 L  26.67T
 0.4 0.4 0.2
0.6 0.4  0.8
0.1T L F
 0.3T L F
 fT f F




  F  222.2T  T  15.76ha

pF
200
0.30
 pT

150  5.48T 1.2
0.6 0.4 0.2

q  f (T , L, F ) 150  0.5T L F




ii) O agricultor, se pudesse, só arrendava 6.31ha de terra e usava 168.3h de trabalho e
1402.8kg de fertilizante a que corresponderia um custo de 2525€. Mas já que não pode alterar
a quantidade de terra, vai assumir esse custo como afundado, 3154€, e optimizar o que é ainda
possível variar: a quantidade de trabalho e de fertilizante.
 0.2T 0.6 L0.6 F 0.2 0.1T 0.6 L0.4 F 0.8
 f F f L

 L  0.12 F

 L  67.4h


pL



5
0.30
 pF
0.6
 F  561.6kg
50  1.12 F
q  f (15.76, L, F ) 150  0.5 x15.760.6 L0.4 F 0.2


O custo será de 3659€.
Notar que o agricultor, mesmo que não produzisse nada, tinha na mesma 3154€ de custo.
A actual agitação social que resulta do aumento do custo dos combustíveis (principalmente
nos sectores dos transportes, pescas e agricultura) resulta de os elevados custo com os
103
equipamentos serem custos afundados o que faz com que ao nível óptimo de actividade quase
seja insensível ao preço dos combustíveis pelo que não há alterações nos mercados dos
outputs. Se o custo em equipamento não fosse afundado, haveria um enfraquecimento da
oferta que induziria um aumento do preço dos bens ou serviços produzidos nesses sectores.
Parcela fixa do custo variável e custo afundado: Sendo que a produção tem uma escala
mínima (por exemplo, se uma pessoa empurrar um comboio, ele não se mexe), então existirá
um custo mínimo que é independente da quantidade produzida e que, por ser independente do
nível da quantidade produzida, se denomina por custo fixo. No entanto, este custo fixo é
diferente do custo do factor fixo no curto prazo por não existir se for decidido não produzir
nada. Assim, esta parcela fixa não é um custo afundado.
Ex.3.14. Um pastor comprou 100 cabras por 3500€ (que não pode vender pois recebeu um
subsídio), produzindo litros de leite segundo a relação Y(L) = 2.5L – 12.5. Para um salário de
5€/h, determine o custo afundado e a parcela fixa do custo variável.
R: Se decidir não produzir nada, incorre no custo das cabras que é o custo afundado: 3500€.
Se decidir produzir, o custo do factor variável será
cv (q)  5L, s.a. q  2.5L  12.5
cv (q)  2q  25 que tem 25€ como parcela fixa (i.e., 5 h de trabalho gastas na alimentação).
Custo de curto prazo e de longo prazo: Em resposta às flutuações dos preços de mercado, o
produtor apenas pode ajustar, no curto prazo, o nível de trabalho utilizados na produção
enquanto que, no longo prazo, pode ajustar também o capital. Então, o custo de curto prazo é
sempre maior (ou igual) ao custo de longo prazo (ver, Fig.3.18). Apenas será igual quando a
quantidade de capital coincidir com a óptima de longo prazo (no ponto A da Fig.3.18).
104
Fig.3.18 – Custo de longo prazo e de curto prazo
3.3. Aplicações
Vamos apresentar aqui dois exemplos que são importantes em termos de compreensão do
funcionamento da empresa. Primeiro vamos formalizar o custo do capital como sendo a taxa
de juro a multiplicar pelo preço do capital. Segundo, vamos a aplicação a teoria do risco à
decisão de longo prazo do produtor (com o nível de output fixo).
A taxa de juro e o investimento: O input denominado como capital agrega os factores de
produção que não se destroem no processo produtivo, (por exemplo, maquinaria, terrenos,
instalações fabris, veículos, patentes, etc.). Pelo contrário, o input trabalho agrega os factores
de produção que se destroem durante o processo produtivo. Vamos desprezar que parte do
capital se degrada durante a produção (i.e., não existe amortização). Então, o preço do capital
vai ser uma “taxa de utilização” denominada por taxa juro, r, paga ao preço de mercado do
capital (enquanto que o preço do trabalho é o salário horário, w). Por exemplo, se o preço de
mercado do capital for de 10€/unidade, a empresa usar 50000 unidades de capital e a taxa de
juro for de 7% ao ano, então o custo do capital será de 35000€/ano.
Incorporando esta forma de contabilizar o custo do capital, então a minimização do custo de
produção (de longo prazo) resolve um problema de optimização com duas variáveis, L e K:
( L, K ) : C(q)  min L.w  K.(r. pK ), s.a. q  f (L, K )
Em termos matemáticos, construindo a Lagrangeana L.w  K.(r. pK )   ( f  q) , obtemos a
condição de 1ª ordem da minimização desta função custo:
105
 p L  f ' L  0
f'
 f 'L
 K


r. pK  f 'K  0   pL r. pK
q  f
q  f


Resulta deste sistema de equações a função investimento (procura de capital) que é
decrescente com a taxa de juro.
Ex.3.15. A produção de navios tem como função produção, y(L, K) = l0.4.k0.5u. Sendo os
preços unitários do trabalho 10€/h e do capital 15€/u., determine a função investimento (em
função da taxa de juro) para um nível de produção de 10 navios.
f 'K
 0.4l 0.6 k 0.5 0.5l 0.4 k 0.5
 f 'L


l  1.2 r.k
11.91


R: i)  pL r. pK  

 k  0.444
10
15r
r

q  f
10  l 0.4 k 0.5


Se recordarmos o efeito da taxa de juro nos consumidores (o seu aumento faz enfraquecer a
procura de bens ou serviços – ver, Fig2.27), a taxa de juro, tendo também o efeito de diminuir
o investimento, é sem margem para dúvida, a variável económica que regula a economia
relativamente ao desajustamento inter-temporais.
Comportamento sob risco – Método de Monte Carlo: (Este ponto é apenas ilustrativo
porque obriga a que o aluno tenha conhecimentos de estatística e de informática) No curto
prazo, o produtor não pode alterar o nível de capital. Então, como a determinação do nível de
capital que permite que o custo seja mínimo é obtido no longo prazo e este, está dependente
dos preços dos inputs, é necessário, prever antecipadamente quais vão ser esses preços, o que
não é possível sem algum erro. Esta ideia pressupõe a relaxação do pressuposto de que existe
conhecimento público e perfeito (quanto aos preços futuros).
Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o produtor tem conhecimento perfeito do
preço do capital (pois é adquirido agora) mas não sabe qual vai ser a taxa de juro nem o preço
unitário do trabalho (que apenas vão sendo revelados ao longo do tempo quando o
investimento já está feito e é um custo afundado).
A prudência aconselha a que o produtor tenha um certo grau de aversão ao risco isto porque,
está matematicamente provado, um investidor neutro ao risco acaba por falir. Uma forma de
incorporar esse grau de prudência é fazer com que a função objectivo a minimizar seja
crescente com o risco (e.g., medido o risco pelo desvio padrão do custo de produção), e
crescente com o custo médio. Por exemplo, pode ser usada como função objectivo a forma
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funcional Z (k )  CM (k )   .SC (k ) , em que CM traduz o custo médio, SC o desvio padrão do
custo e  quantifica a aversão ao risco ( > 0). Como os preços são desconhecidos (a menos
da sua distribuição probabilística), e o nível de trabalho é ajustável, CM e SC têm o nível
utilizado de capital como única variável.
Como esta função objectivo Z(k) é calculada sob o pressuposto de que existe erro na previsão
dos preços, torna-se muito difícil a sua determinação algébrica. Uma metodologia simples é
construir um modelo do Excel e simular variações aleatórias dos preços (usando a distribuição
probabilística que se considera apropriada) que permitam calcular em termos computacionais
qual é o custo médio e o seu desvio padrão em função do nível de capital. Este método
computacional denomina-se por Método de Monte Carlo e a solução encontrada tem
associada um erro que decresce com o aumento do número de simulações realizadas.
Ex.3.16. A produção de “dormidas de hotel” segue a função produção é, y(L, K) = l0.5.k0.8u.
Sendo que cada quarto do hotel custa 15000€, que a taxa de juro estará entre 5% e 10% por
ano e o preço do trabalho estará entre 5€ e 10€ por hora, determine a dimensão óptima do
hotel para um nível de produção de 10000 dormidas por ano. Suponha que o produtor
minimiza a soma do custo médio acrescido de metade do desvio padrão do custo:
Z  C  0.5SC .
R: Para um nível K de capital, a quantidade de trabalho será L = 100002/K1.6. Se houvesse
mais que um factor variável (por exemplo, trabalho e aquecimento), seria necessário
determinar a quantidade óptima de factores variáveis em função dos preços.
Vamos usar o Excel para simular preços (sortear da distribuição uniforme nos intervalos
previstos) e calcular o custo (por dormida) esperado e o desvio padrão em função do nível de
capital (e de trabalho). Consideramos a média de 2000 iterações (ver, Fig. 3.17).
D2: =Media(D6:D2005); E2: =Desvpad(D6:D2005); F2: =D2+0,5*E2
B6: =5%+Aleatorio()*5%; C6: =5 + Aleatorio()*5; D6: =($C$2*$B$3*B6+$B$2*C6)/500
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Fig.3.19 – Exemplo de aplicação do Método de Monte Carlo
Usamos agora este modelo de simulação implementado no Excel para estudar a evolução do
lucro e da função objectivo com o nível de capital. Para simplificar a rotina (podermos copiar
os resultados da simulação para as colunas H, I, J e K usando o comando past+special+values
e repetir com a tecla F4), colocamos na célula C2 a formula =Maximo(H5:H39)+5.
Os resultados (ver Fig.3.18) apontam para que a dimensão óptima do hotel seja próximo dos
210 quartos.
"Custo"
50,0 €
47,5 €
45,0 €
42,5 €
40,0 €
100
150
200
250
300
Quartos
350
Fig.3.20 – Nível óptimo de capital para um produtor avesso ao risco
Estimação da função de produção de um processo produtivo concreto. Como, na
generalidade dos processos produtivos, os factores de produção são complementares, é
adequado usar para a função de produção a forma funcional de Cobb-Douglas (i.e., a forma
isoelástica). Acresce que também é frequente que a soma dos expoentes seja próxima da
unidade. Então, identificados os principais factores de produção, podemos assumir para as
potências (i.e., elasticidades) da função produção a proporção de cada factor nos custos totais.
Esta propriedade faz com que, por um lado, havendo um aumento do preço de um factor, a
quantidade utilizada seja reduzida na mesma proporção e que, por outro lado, se a proporção
nos custos totais de um factor variar ao longo do tempo, então o produtor não está a ser
optimizador (ou ocorreram inovações tecnológicas).
Prova por exemplo: Um produtor tem como função de produção Y(T, L, F) = 0.5T0.5.L0.3.F0.2.
Sendo os preços de mercado dos inputs 20€/u, 5€/u e 1€/u, respectivamente e o nível de
produção 100. O produtor vai determinar a quantidade de inputs óptima resolvendo:
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 0.5T 0.5 L0.3 F 0.2 0.3T 0.5 L0.7 F 0.2
 fT f L



p
pL
20
5

 T
 L  2.4T
T  152.209
 0.5 0.3 0.2
0.5 0.3  0.8
0.2T L F
 0.5T L F
 fT f F





  F  8T
  L  365.301

pF
20
1
 pT

T  152.209
 F  1217.67
0.5 0.3 0.2


q  f (T , L, F ) 150  0.5T L F




Os custos relativos virão iguais aos expoentes dos factores de produção:
CL  365.301  20  3044.18  50%

CF  1217.67  5  1826.51  30%
C  152.209  1  1217.67  20%
 T
Se a forma funcional aplicável não for a Cobb-Douglas, a proporção dos inputs não for a
óptima ou se a soma dos expoentes não for unitária, haverá algum erro em assumir os valores
estimados como os verdadeiros.
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