Circuito RLC em série

Física Geral II
Protocolos das Aulas Práticas
DF - Universidade do Algarve
Circuito RLC em série
1
Resumo
Um circuito RLC em série é percorrido por uma corrente sinusoidal de frequência variável.
Estuda-se a intensidade da corrente que percorre o circuito, bem como a tensão aos seus
terminais, em função da frequência.
2
Fundamento Teórico
RV
gerador
Ri
Vg
Rd
L
~
C
(figura 1)
Considere o circuito RLC em série representado na figura 1. O gerador representado produz uma
tensão sinusoidal
Os aparelhos de medida usados habitualmente (multímetros) não têm um tempo de resposta
suficientemente rápido para ler os valores instantâneos da corrente e da tensão. Na realidade
permitem aceder apenas aos valores eficazes dessas grandezas:
Vg
I
I → I ef = 0
e V g → V g ef = 0 .
2
2
Pode-se mostrar que a relação entre os valores eficazes da tensão e da corrente é:
Vgef
(1)
I ef =
2
(Ri + RV + Rd )2 +  ωL − 1 
ωC 

Na equação Ri representa a resistência interna do gerador, RV o somatório de todas as resistências
intrínsecas do circuito (dos condutores, dos contactos, da bobine, do condensador, etc.) e Rd a
resistência efectivamente introduzida no circuito. A variável ω representa a frequência angular
da corrente que flui no circuito.
Graficamente a função (1) assume a forma:
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A tensão eficaz medida aos terminais do gerador será dada por:
2
1 

ωC  .

Vef =
2
(RV + Rd + Ri )2 +  ωL − 1 
ωC 

Vgef
(RV + Rd )2 +  ωL −
Em particular, para um circuito em que não se insere resistência externa, Rd tem-se:
Vef =
Vgef
(RV
RV
2
1 

+  ωL −

ωC 

2
1 

2
+ Ri ) +  ωL −

ωC 

(2)
2
Graficamente:
Verifica-se a existência de uma ressonância em ambos os gráficos apresentados, que ocorre para
um valor da frequência a que se dá o nome de frequência de ressonância. Esse valor é o que
maximiza (ou minimiza) o valor da corrente que flui no circuito (ou da tensão aos seus
terminais) e é dado matematicamente por:
1
1
ωL −
= 0 ⇔ ωr =
(3)
ωC
LC
Para os componentes usados na experiência (C = 10 µF e L = 2 mH) temos:
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ω r = 7071 rad s -1 ⇔ f r = 1125 Hz
3
Problema experimental proposto
3.1 Estudar o comportamento do circuito RLC em série em função da frequência imposta ao
circuito sem resistência de amortecimento (Rd= 0 Ω). Pretende-se determinar experimentalmente
as curvas I × f e V × f;
3.2 Estimar o valor da resistência intrínseca do circuito, RV;
3.3 Medir as curvas de resposta de I × f para diferentes resistências de amortecimento (Rd= 0 e
50 Ω);
4
Equipamento
Gerador de sinais TG215 function generator da Thurlby Thander Insrtruments; caixa de
resistências; caixa de condensadores; bobine de L = 2 mH; 2 multímetros analógicos PHYWE
07026.0 e fios de ligação.
5
Procedimento experimental
Monte o circuito representado na figura.
No gerador de sinais:
1. Premir o botão Display Select até aparecer o menu que dá a tensão de pico a pico. Regular
até 10Vpp.
2. No mesmo botão seleccionar o menu que dá o offset. Regular para Voffset= 0 VDC.
3. O botão de selecção da onda sinusoidal deve estar premido
4. O cursor que regula a simetria do sinal deve apontar para o centro da escala (o sinal
produzido é simétrico).
5. O botão de atenuação do sinal não deve estar premido.
6. Usa-se a saída com resistência interna de 50 Ω.
7. Usar a escala de 20 kHz.
O voltímetro liga-se em paralelo à saída do gerador de sinais. Aconselha-se o uso da escala de 3
V (AC) e o amperímetro é ligado em série com os restantes elementos do circuito RLC.
Aconselha-se o uso da escala de 100 mA (AC) no decorrer de toda a experiência. A escala
escolhida para o amperímetro não pode ser alterada no decurso da experiência pois isso
alteraria a sua resistência interna; desta forma mudaria o valor da resistência intrínseca do
circuito, RV.
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O condensador e o indutor não se alteram ao longo de toda a experiência e têm, respectivamente,
os valores C= 10 µF e L= 2 mH. Tal como anteriormente referido, a resistência interna do
gerador de sinais é fixa, tendo o valor Ri = 50 Ω.
5.1 Determinação das respostas em tensão e em corrente do circuito RLC,
em função da frequência (Rd = 0 Ω).
5.1.1 Escolha, na caixa de resistências, o valor de 0 Ω.
5.1.2 Fixe uma frequência no gerador suficientemente alta para que o ponteiro do multímetro não
oscile muito, mas isto garantindo que é tão baixa quanto possível (se a frequência for muito
baixa o ponteiro oscila muito, mas se iniciarem as medidas a uma frequência muito elevada não
conseguem detectar a frequência de ressonância). Registe, numa tabela, os valores de f, I e V.
5.1.3 Aumente cuidadosamente a frequência de forma que a tensão varie com intervalos de 0.1
V. Registe na tabela os valores de f, I e V. Preste especial atenção à região onde ocorre a
ressonância (guie-se pelo valor teórico de fr). Faça variações da frequência apenas até ao limite
de f= 10 kHz.
5.2 Determinação da resposta em corrente do circuito RLC em função da
frequência (com Rd variável, 0 e 50 Ω).
5.2.1 Escolha, na caixa de resistências, o valor de 50 Ω.
5.2.2 Repita os pontos 5.1.2 e 5.1.3 nas novas condições.
6 Análise dos resultados obtidos
6.1 Corrente e tensão em função da frequência (Rd =0 Ω).
6.1.1 Construa gráficos de I×f e V×f sobre os respectivos gráficos teóricos.
6.1.2 Estime, a partir dos gráficos, o valor experimental da frequência de ressonância do circuito,
comparando-o com o que se previa teoricamente.
6.2 Cálculo da resistência intrínseca do circuito.
6.2.1 Com base no gráfico experimental de I×f e na expressão (1), estime o valor experimental
de RV.
6.3 Resposta em corrente com Rd variável.
6.3.1 Determine, para cada uma das tabelas referidas nos pontos 5.2, os valores médios das
grandezas que aí surgem. Estime os respectivos erros aleatórios.
6.3.2 Construa os gráficos experimentais de I×f para Rd = 0 e 50 Ω sobre os respectivos gráficos
teóricos.
6.3.3 Conclua, a partir dos gráficos anteriores, como varia a frequência de ressonância e a
corrente de ressonância com Rd.
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Apêndice: Circuito RLC em série (opcional)
R
Vg
~
L
C
(figura 1’)
Considere o circuito RLC em série representado na figura 1. O gerador representado produz uma
tensão sinusoidal da forma:
Vg = Vg0 cos(ωt )
ou, em notação complexa:
Vg = Vg0 e jωt .
As leis de Kirchoff permitem escrever para esse sistema:
− Vg + VR + VL + VC = 0
(1’)
sendo VR, VL, e VC as tensões aos terminais da resistência, do indutor e do condensador,
respectivamente.
Uma vez que a tensão de alimentação do circuito é sinusoidal pode-se mostrar que a corrente que
o percorre tem o mesmo tipo de dependência temporal, possuindo a mesma frequência. Nessas
condições é válida, para cada um dos elementos do circuito, uma lei de Ohm generalizada:
VR = Z R I ,
VL = Z L I ,
VC = Z C I ,
onde ZR, ZL, e ZC são as impedâncias associadas a cada um dos elementos do circuito. As
impedâncias são dadas por:
ZR = R ,
Z L = jωL ,
1
;
ZC = − j
ωC
(j representa a unidade imaginária).
A equação (1’) pode então ser escrita na forma:
1
V g = RI + jωLI − j
I⇔
ωC

1 

⇔ V g =  R + j  ωL −
 I
ωC 


A quantidade entre parentesis representa a impedância total do circuito e, sendo uma grandeza
complexa, pode ser escrita na forma exponencial:
2
1 
1  jtg


2
R + j  ωL −
 = R +  ωL −
 e
ωC 
ωC 


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−1 
ω
2
LC −1 
 ωRC 


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A relação entre a tensão imposta ao circuito e a corrente que o percorre escreve-se então na
forma:
2
1  jtg

V g = R +  ωL −
 e
ωC 

−1 
ω
2
2
LC −1 
 ωRC 


I⇔I=
Vg0
1 

R +  ωL −

ωC 

2
e

 ω 2 LC −1  

j ωt −tg −1 

 ωRC  

2
Usando as funções trigonométricas habituais, a corrente que percorre o circuito assume a forma:
I=

 ω 2 LC − 1 

cos ωt − tg −1 
2
ω
RC



1


R 2 +  ωL −

ωC 

Vg0
(2’)
ou seja, é da forma da tensão imposta no circuito mas com um ligeiro atraso na fase.
A equação (2’) pode escrever-se na forma simplificada:

 ω 2 LC − 1 

I = I 0 cos ωt − tg −1 
ω
RC



com
Vg0
I0 =
2
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

Os aparelhos de medida usados habitualmente (multímetros) não têm um tempo de resposta
suficientemente rápido para ler os valores instantâneos da corrente e da tensão. Na realidade
permitem aceder apenas aos valores eficazes dessas grandezas:
I
I → I ef = 0
2
Vg
Vg → Vg ef = 0 .
2
A relação entre a amplitude da corrente e a da tensão permite escrever:
Vgef
2Vgef
⇔ I ef =
(3’)
2 I ef =
2
2
1
1




R 2 +  ωL −
R 2 +  ωL −


ωC 
ωC 


Na prática o circuito usado no laboratório não é tão simples como o representado na figura 1’.
No circuito real existe uma resistência interna associada à fonte de tensão, Ri, e todos os fios, os
contactos, o indutor e o condensador possuem uma certa resistência. Representemos o somatório
de todas essas resistências por RV. Rd será a resistência variável que se pode adicionar ao
circuito.
RV
gerador
Ri
Vg
Rd
L
~
C
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Atendendo à nova forma dada ao circuito, a equação (3’) assume a forma:
Vgef
(4’)
I ef =
2
(Ri + RV + Rd )2 +  ωL − 1 
ωC 

Esta é a relação entre os valores mensuráveis da tensão e da corrente, sendo portanto a que se
deve observar experimentalmente.
A tensão aos terminais do gerador será dada por:
(
)
1 

V = Z RV + Z Rd + Z L + Z C I ⇔ V =  RV + Rd + jωL − j
I ⇔
ωC 

⇔V =
(RV
+ Rd )
2
2
1  jtg

+  ωL −
 e
ωC 

Vg0
(RV
1 

2
+ Rd + Ri ) +  ωL −

ω
C

2
e
−1 

ω 2 LC −1 


 ω ( RV + Rd )C 
×

 ω 2 LC −1  

j ωt −tg −1 
 ω ( R + R )C  
V
d



⇔V =
(RV
Vg0
(RV
+ Rd )
2
1 

+  ωL −

ωC 

2
1 

2
+ Rd + Ri ) +  ωL −

ω
C

2
e jωt
O valor eficaz desta tensão será:
Vef =
Vgef
(RV + Rd )2 +  ωL −

1 

ωC 
(RV + Rd + Ri )2 +  ωL −

2
1 

.
2
ωC 
Em particular, para um circuito em que não se insere resistência externa, tem-se:
Vef =
V g ef
(RV
1 

2
RV +  ωL −

ωC 

2
1 

2
+ Ri ) +  ω L −

ωC 

(5’)
2
Verifica-se a existência de uma ressonância em ambos os gráficos apresentados, que ocorre para
um valor da frequência a que se dá o nome de frequência de ressonância. Esse valor é o que
maximiza (ou minimiza) o valor da corrente que flui no circuito (ou da tensão aos seus
terminais). É dado matematicamente por:
ωL −
1
ω 2 LC − 1
=0⇔
= 0 ⇔ ω 2 LC − 1 = 0 ⇔ ω r =
ωC
ωC
7 de 7
1
LC
(6’)