Semelhança entre triângulos

Professor(a)
O material desta seção pretende atender suas necessidades diárias e práticas da sala de aula.
Ao selecionar o material, considere o Projeto Pedagógico de sua escola.
Corte, recorte, monte, copie, cole... Enfim, adapte-o à sua realidade!
Semelhança entre triângulos
Semelhança entre triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos são, respectivamente,
iguais e seus lados homólogos proporcionais.
Para identificar os lados homólogos basta verificar aqueles que se opõem a ângulos iguais.
Os lados homólogos são aqueles que se opõem a ângulos iguais. Aos ângulos
respectivamente iguais, também se dá o nome de ângulos homólogos e os vértices respectivos
dizem-se vértices homólogos.
Na figura, os ângulos A e A’, B e B’, C e C’ são correspondentes ou homólogos. A estes
ângulos opõem-se os lados a e a’, b e b’ e c e c’, respectivamente. Estes lados são chamados
homólogos.
Ao quociente entre as medidas de dois lados homólogos chamamos “Razão de Semelhança”
(k).
Na figura, k =
a = b = c
a' b' c'
CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Serão semelhantes dois triângulos que tenham:
1 - dois ângulos iguais
O ângulo A é comum aos triângulos ABC e
ADE.
O ângulo B é congruente a D.
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
2 - os três lados proporcionais
Considerando proporcionais a = b = c , então ABC é semelhante a A’B’C’
a' b' c'
3 - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual
Supondo que a = c e que os ângulos B e B’ são congruentes, então ABC é semelhante a
c'
a'
A’B’C’
RELAÇÕES ENTRE OS LADOS E OS ÂNGULOS DE TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Os ângulos opostos a lados homólogos, de triângulos semelhantes, possuem a mesma medida
que seus correspondentes.
A’, B’ e C’ são os ângulos opostos aos lados a’, b’ e c’, respectivamente homólogos a a, b e c.
Logo, possuem medidas congruentes a A, B e C.
As medidas dos lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos semelhantes são
proporcionais.
A e A’, B e B’, C e C’ são homólogos ou correspondentes. Então são congruentes a e a’, b e b’,
c e c’, lados respectivamente opostos aos ângulos mencionados.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Dois triângulos retângulos são semelhantes quando:
1 - têm os catetos proporcionais
Se
AB
AC , pode-se afirmar que ABC é semelhante a A’B’C’
=
A' B ' A' C '
2 - têm um ângulo agudo igual
Se os ângulos B e B’ ou C e C’ forem congruentes, da mesma forma, pode-se afirmar que ABC
é semelhante a A’B’C’.
ATIVIDADE
1) O esquema abaixo foi utilizado para determinar a largura de um lago. Calcule a largura do
lago.
D
B
100m
P
A
C
2) Calcule a altura da árvore mostrada na figura, a partir do esquema abaixo.
5m
4m
30 m
3) Calcule a altura de um poste, sabendo que no mesmo instante em que sua sombra mede
9,60 m, um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento.
1) Calcule a largura do rio representado na figura abaixo a partir das medidas dadas.
S
x
100 m N
R
400 m
75 m
M
2) Na figura abaixo, a altura da árvore é de 25m. As distâncias entre o observador e a árvore é
de 150m e entre o observador e o ponto A é de 450m. Calcule a altura do morro,
considerando alinhados num mesmo plano o olho do observador, o topo da árvore e o topo
do morro.
Observador
150 m
300 m
A
3) Calcule a dimensão “x” do lago, conforme indicado no esquema, considerando o triângulo
ABC semelhante a EDC.
E
300 m
B
x
C
60 m
D
36 m
A