Caderno RQ5 Probabilidade

0
Caderno RQ5
Probabilidade
Prof. Milton Araujo
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br
1
Sumário
1
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................3
2
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE .......................................................................................4
2.1
2.2
3
INTERVALO DE VARIAÇÃO ...............................................................................................................6
COMPLEMENTO ...........................................................................................................................6
COMBINAÇÃO DE EVENTOS ............................................................................................................8
3.1
3.2
3.3
3.4
EVENTOS INDEPENDENTES ..............................................................................................................8
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ............................................................................................. 11
EVENTOS DEPENDENTES (PROBABILIDADE CONDICIONAL) ....................................................................11
UNIÃO DE EVENTOS ....................................................................................................................13
4
TEOREMA DE BAYES ......................................................................................................................16
5
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................20
6
INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................39
7
CURRÍCULO INFORMAL .................................................................................................................46
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2
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tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos
ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos.
Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente.
Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão
corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua
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Devido à quantidade e à frequência de nossas revisões, é impossível
"marcar" ponto a ponto as alterações introduzidas em cada versão.
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3
1 Introdução
“A confiança em si mesmo é o primeiro segredo do sucesso.”
[Ralph Waldo Emerson]
O assunto "probabilidade" a princípio assusta e pode parecer complicado, mas,
como tudo na matemática, basta uma boa dose de paciência para se resolver o
problema.
A palavra probabilidade deriva do Latim probare, que significa provar ou testar.
Para os eventos incertos, utilizam-se outros termos como sorte, azar, incerteza,
risco, etc.
O conceito de probabilidade é apresentado de duas formas, que dependem da
natureza do fenômeno:
 Probabilidade de frequência ou probabilidade aleatória, que representa
uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns
fenômenos físicos aleatórios. Este conceito pode ser subdividido em
fenômenos previsíveis, quando se tem informação suficiente (exemplo:
probabilidade de ocorrer face par no lançamento de um dado), e
fenômenos imprevisíveis, que pode ser exemplificado por um decaimento
radioativo.
 Probabilidade epistemológica ou Bayesiana, que representa nossas
incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo
das causas. Exemplos: designar uma probabilidade à proposição de que
uma lei da Física proposta seja verdadeira; determinar o quão provável é
que um suspeito tenha cometido um crime, baseado nas provas
apresentadas.
Neste Caderno, concentraremos nossa atenção apenas na probabilidade de
frequência, ou aleatória, que é calculada através do quociente entre o número de
casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis.
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2 Definição Clássica de Probabilidade
Supondo-se que um evento A possa ocorrer de m maneiras distintas em um total
de n modos possíveis, igualmente prováveis1. A probabilidade de que esse evento
ocorra (sucesso) é definida por:
onde:
é a probabilidade de ocorrência do evento A.
m é a quantidade de casos favoráveis ao evento (por simplificação, usaremos a
abreviatura c.f.).
n é a quantidade de casos possíveis (por simplificação, usaremos a abreviatura
c.p.).
A fórmula acima também é grafada por alguns autores como:
onde:
é a probabilidade de ocorrência do evento A.
é o número de casos favoráveis ao evento A.
é o número de casos do espaço amostral S.
Ao longo deste caderno, usaremos muitas vezes a nossa notação simplificada:
1
A expressão "igualmente provável" é vaga, pois parece sinônima de "igualmente possível", o que torna
a definição circular, uma vez que define a probabilidade com seus próprios termos. Por esta razão,
vários autores defendem uma definição estatística de probabilidade, que diz que a probabilidade
estimada ou probabilidade empírica de um evento é considerada como a frequência relativa de sua
ocorrência, quando o número de observações é muito grande. Então, a probabilidade propriamente dita
é o limite da frequência relativa, quando o número de observações tende ao infinito.
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5
onde:
p é a probabilidade de sucesso.
c.f. é o número de casos favoráveis ao evento.
c.p. é o número de casos possíveis.
Exemplo 1:
Qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda?
Solução:
Note que (o evento) A é um conjunto que contém todos os casos favoráveis a esse
evento.
(o conjunto A tem um elemento).
Note que o espaço amostral S também é um conjunto que contém todas os casos
possíveis.
(o conjunto S tem dois elementos).
Exemplo 2:
Qual é a probabilidade de ocorrer face maior do que 4 no lançamento de um
dado?
Solução:
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Note que (o evento) B é o conjunto que reúne todos os casos favoráveis a esse
evento.
(o conjunto B tem dois elementos).
O espaço amostral S contém todos os casos possíveis (as seis faces do dado).
(o conjunto S tem seis elementos).
2.1 Intervalo de variação
A probabilidade de que um evento qualquer A ocorra estará sempre no intervalo
entre zero e um.
Se
Se
, o evento é dito impossível.
, tem-se o chamado evento certo.
2.2 Complemento
O complemento da probabilidade de um evento A, é dado por:
onde:
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7
é a probabilidade de que o evento A não ocorra;
é a probabilidade de que o evento A ocorra.
Exemplo:
A probabilidade de um atirador acertar o alvo na primeira tentativa é de 40%.
Qual é a probabilidade desse atirador errar o alvo na primeira tentativa?
Solução:
Seja A o evento "acertar o alvo na primeira tentativa".
(Lembre-se de que a probabilidade deve estar na forma unitária! 40% = 0,4)
Resposta: A probabilidade de o atirador errar o alvo em sua primeira tentativa é
de 60%.
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3 Combinação de Eventos
A combinação de eventos consiste em se calcular a probabilidade da ocorrência
simultânea de eventos.
Deve-se considerar previamente a natureza dos eventos: (1) independentes; (2)
mutuamente exclusivos; (3) dependentes.
As retiradas sucessivas podem ser: (1) com reposição; (2) sem reposição.
As palavras-chave importantes são: (1) pelo menos, ou; (2) e, ambos, todos; (3)
apenas, somente.
3.1 Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrência de um
desses eventos não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Definição probabilística:
onde:
é a probabilidade de ocorrência dos eventos A e B;
é a probabilidade de ocorrência do evento A.
é a probabilidade de ocorrência do evento B.
A fórmula acima é chamada de Teorema do Produto para eventos independentes
Exemplo:
1) Uma urna contém 10 bolinhas, sendo 7 brancas e 3 pretas. Retirando-se duas
bolinhas, ao acaso, qual a probabilidade de se obter duas bolinhas pretas,
considerando:
a) retiradas com reposição; e
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b) retiradas sem reposição.
Solução:
Sejam os eventos:
: retirada de uma bolinha branca; e
: retirada de uma bolinha preta.
a) retiradas com reposição:
a) retiradas sem reposição:
2) FAURGS-2001 – Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Duas
crianças são sorteadas para constituírem uma dupla de ping-pong. A
probabilidade de as duas crianças escolhidas serem do mesmo sexo é
a) 4/25.
b) 9/25.
c) 21/50.
d) 7/15.
e) 8/15.
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Solução 1:
Esta solução se baseia na probabilidade clássica ou frequencial, descrita nas
páginas 3, 4 e 5 deste livro digital.
2 meninas
2 meninos
ou
Candidatos
Vagas
Casos favoráveis
Casos possíveis
Solução 2:
Sejam os eventos:
: retirada de uma menina do grupo de 10 crianças; e
: retirada de um menino do grupo de 10 crianças.
2 meninas
ou
+
+
2 meninos
+
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3.2 Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois ou mais eventos são ditos mutuamente exclusivos quando a ocorrência de
um deles exclui a dos outros.
Assim, dois eventos mutuamente exclusivos jamais ocorrerão simultaneamente,
ou seja:
Exemplo:
Lança-se uma moeda honesta uma única vez. Qual é a probabilidade de ocorrer
cara e coroa neste lançamento?
Solução:
Seja A o evento cara e B o evento coroa.
Então:
3.3 Eventos Dependentes (Probabilidade Condicional)
Dois eventos são dependentes quando se tem a ocorrência condicional de um
deles, após a ocorrência do outro, ou:
– lê-se: Probabilidade de que ocorra o evento
já ocorreu.
sabendo que o evento
– lê-se: Probabilidade de que ocorra o evento
já ocorreu.
sabendo que o evento
A fórmula:
é chamada de Teorema do Produto
para eventos dependentes, em que o evento está condicionado ao evento .
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A fórmula:
é chamada de Teorema do Produto
para eventos dependentes, em que o evento está condicionado ao evento .
Exemplo:
O quadro a seguir apresenta uma amostra de 200 pessoas (100 mulheres e 100
homens), no qual há fumantes (evento ) e não fumantes (evento ).
Mulheres 10 90
Homens 15 85
25 175
100
100
200
Desse grupo, retira-se uma pessoa totalmente ao acaso. Calcule a probabilidade
de a pessoa:
a) ser mulher;
b) ser fumante;
c) ser mulher fumante;
d) ser mulher, sabendo que é fumante;
e) ser fumante, sabendo que é mulher.
f) os eventos ser mulher e ser fumante são dependentes? Justifique.
Solução:
a) Probabilidade de ser mulher:
b) Probabilidade de ser fumante:
c) Probabilidade de ser mulher fumante:
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d) Probabilidade de ser mulher, sabendo que é fumante;
e) Probabilidade de ser fumante, sabendo que é mulher.
f) os eventos ser mulher e ser fumante são dependentes? Justifique.
3.4 União de Eventos
Num conjunto de eventos, quando se quer calcular a probabilidade de que pelo
menos um deles ocorra, utiliza-se uma das fórmulas a seguir:
Exemplos:
1) ESAF 2001 (Adaptada) – Beraldo espera ansiosamente o convite de um de
seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol.
A probabilidade de que Adalton convide Beraldo é de 25%, a de que Cauan o
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convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo-se que os convites
são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que
Beraldo seja convidado por pelo menos um dos seus três amigos para participar
do jogo de futebol é:
a) 22,5%.
b) 25,5%.
c) 55,5%.
d) 67,5%.
e) 77,5%.
Solução:
Sejam os eventos:
Adalton convida Beraldo;
Cauan convida Beraldo;
Délius convida Beraldo;
Resposta: Alternativa E.
2) Uma empresa possui dois sistemas de alarmes, que funcionam
independentemente um do outro, com 90% de eficiência cada um. No caso de
ocorrer algum sinistro na empresa, qual é a probabilidade de o alarme disparar?
a) 81%.
b) 85%.
c) 90%.
d) 95%.
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e) 99%.
[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
Sejam os eventos:
O alarme A funciona;
O alarme B funciona;
Para que o alarme dispare, é necessário que pelo menos um deles funcione, logo:
Resposta: alternativa E.
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4 Teorema de Bayes
Em teoria da probabilidade o Teorema de Bayes mostra a relação entre uma
probabilidade condicional e a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de uma
hipótese dada a observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada
pela hipótese.
Em outras palavras, o Teorema de Bayes modela de forma matemática a
inferência estatística, como segue (por simplicidade, trabalharemos com dois
eventos):
Ou
Em diagramas:
Onde:
: é o espaço-amostral;
partição A do espaço-amostral;
partição B do espaço-amostral;
Evento.
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Exemplos:
1) Uma fábrica de xispits possui 3 máquinas: A, B e C, responsáveis por toda a
produção. A máquina A detém 40% da produção total e a máquina B fabrica 30%
do total de xispits. Sabe-se, ainda, que:
 1% da produção da máquina A apresenta defeito;
 2% da produção da máquina B têm defeito; e
 3% da produção da máquina C têm defeito.
De um lote recém fabricado, retira uma peça ao acaso.
Calcule a probabilidade de a peça:
a) ter defeito;
b) ter vindo da máquina A sabendo que tem defeito.
[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
Uma sugestão para a solução rápida, consiste em se tomar um espaço amostral
com 1.000 itens (no caso da questão em tela, tomaremos um lote com 1.000
xispits). A seguir, deve-se particionar o espaço-amostral (produção das máquinas
A, B e C):
Máquina A produz 40% de 1000 = 400 peças;
Máquina B produz 30% de 1000 = 300 peças;
Máquina C produz 30% de 1000 = 300 peças.
Agora, passamos ao evento (que, neste caso é o defeito nas peças):
1% de 400 = 4;
2% de 300 = 6;
3% de 300 = 9.
Assim, em nosso lote de 1.000 xispits, teremos 19 peças com defeito, ou seja:
a) Probabilidade de a peça ter defeito:
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b) Probabilidade de a peça ter vindo da máquina A, sabendo que tem defeito:
2) ANPAD-2015 – Em uma sacola preta, há duas maçãs e, em outra sacola
idêntica, há uma maçã e uma laranja. Escolhe-se aleatoriamente uma das sacolas
e retira-se dela uma fruta sem olhar o conteúdo da sacola. Sabendo que a fruta
retirada é uma maçã, qual é a probabilidade de a fruta que sobrou na sacola ser
uma laranja?
a) 1/4.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 3/4.
Solução/Comentários:
Eventos:
retirar maçã.
escolher sacola A.
Escolher sacola B.
Com os dados da questão podemos escrever:
(probabilidade de escolher a sacola A)
(probabilidade de escolher a sacola B)
(probabilidade de escolher uma maçã, sabendo que foi escolhida a
sacola A)
(probabilidade de escolher uma maçã, sabendo que foi escolhida a
sacola B)
O enunciado pede que se calcule a probabilidade de a fruta que ficar na sacola ser
uma laranja, sabendo que a fruta retirada foi uma maçã, ou
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Pelo Teorema da Bayes:
Mas
Então:
Gabarito: alternativa B.
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5 Exercícios
1) ANPAD2014 – Manuel acerta uma vez o alvo a cada cinco tiros. Se ele
dispara três tiros, a probabilidade de acertar o alvo, pelo menos uma vez, é de
a) 64/125.
b) 61/125.
c) 49/125.
d) 48/125.
e) 21/125.
[Nota: esta questão está resolvida no Caderno de Testes ANPAD - Vol. 2,
disponível, gratuitamente, neste link:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/]
2) ANPAD-2014 – Em uma sacola preta, há duas maçãs e, em outra sacola
idêntica, há uma maçã e uma laranja. Escolhe-se aleatoriamente uma das sacolas
e retira-se dela uma fruta sem olhar o conteúdo da sacola. Sabendo que a fruta
retirada é uma maçã, qual é a probabilidade de a fruta que sobrou na sacola ser
uma laranja?
a) 1/4.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 3/4.
3) ANPAD-2014 – Raul precisava ligar para o chefe, mas não estava com o
celular e não conseguia lembrar exatamente qual era o número. Somente sabia
que o número tinha oito dígitos, começava com "975" e terminava com "87" ou
com "78". Qual é a probabilidade de Raul discar um número com essas
características que seja exatamente o número do telefone de seu chefe?
a) 0,01%.
b) 0,05%.
c) 0,10%.
d) 0,50%.
e) 1,00%.
4) ANPAD-2014 – Foi aberta uma vaga de gerente em uma empresa. Sabe-se
que:
I.
II.
Um terço dos candidatos ao cargo tinha filhos.
Um terço era formado por mulheres.
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III. Metade das candidatas mulheres tinha filhos.
Determine qual é a probabilidade de o novo gerente ser homem e não ter filhos.
a) 1/6.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 3/4.
5) ANPAD-2015 – Daniel propôs um jogo para o seu avô em que, no início, cada
um tinha que contribuir com R$ 10,00 para a banca. Em seguida, Daniel lançava
uma moeda honesta repetidas vezes. Quando dava cara, seu avô ganhava R$ 2,00
da banca, ao passo que, quando dava coroa, Daniel ganhava R$ 2,00 da banca. O
jogo só terminaria quando não houvesse mais dinheiro na banca. Se P é a
probabilidade de Daniel terminar o jogo com um lucro de exatamente R$ 4,00,
então
a)
b)
c)
d)
e)
.
.
.
.
.
6) ANPAD-2015 – Em um dado viciado de seis lados, sabe-se que a chance de
sair o número j é j vezes maior do que a de sair o número 1. Então a chance de
sair o número 4 é de
a) 2/11.
b) 4/21.
c) 1/5.
d) 4/23.
e) 1/6.
7) ANPAD-2015 – Dizemos que dois números naturais são primos entre si se o
número 1 for o único divisor comum a ambos.
Se lançarmos dois dados honestos de seis lados, qual é a probabilidade de que os
números sorteados sejam primos entre si?
a) 8/36.
b) 13/36.
c) 23/36.
d) 27/36.
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e) 28/36.
8) ANPAD-2015 – Pedro estava na dúvida se iria passar a tarde estudando ou se
iria à praia com a namorada. Para ficar com a consciência tranquila, resolveu
deixar a sorte decidir. Ele lançaria uma moeda no máximo cinco vezes e, se em
algum momento desse cara, iria à praia com a namorada; se não desse nenhuma
cara nos cinco lançamentos, iria estudar. Sabendo que os três primeiros
lançamentos deram coroa, qual é a probabilidade de Pedro ir à praia com a
namorada?
a) 1/8.
b) 1/4.
c) 3/8.
d) 3/4.
e) 1/2.
[Nota: esta questão está resolvida no Caderno de Testes ANPAD - Vol. 2,
disponível, gratuitamente, neste link:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/]
9) ANPAD-2015 – Em uma sacola preta, há duas maçãs e, em outra sacola
idêntica, há uma maçã e uma laranja. Escolhe-se aleatoriamente uma das sacolas
e retira-se dela uma fruta sem olhar o conteúdo da sacola. Sabendo que a fruta
retirada é uma maçã, qual é a probabilidade de a fruta que sobrou na sacola ser
uma laranja?
a) 1/4.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 3/4.
[Nota: esta questão está resolvida no Caderno de Testes ANPAD - Vol. 2,
disponível, gratuitamente, neste link:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/]
10) ANPAD-2015 – Raul precisava ligar para o chefe, mas não estava com o
celular e não conseguia lembrar exatamente qual era o número. Somente sabia
que o número tinha oito dígitos, começava com "975" e terminava com "87" ou
com "78". Qual é a probabilidade de Raul discar um número com essas
características que seja exatamente o número do telefone de seu chefe?
a) 0,01%.
b) 0,05%.
c) 0,10%.
d) 0,50%.
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23
e) 1,00%.
11) ANPAD-2015 – Foi aberta uma vaga de gerente em uma empresa. Sabe-se
que:
I.
Um terço dos candidatos ao cargo tinha filhos.
II. Um terço era formado por mulheres.
III. Metade das candidatas mulheres tinha filhos.
Determine qual é a probabilidade de o novo gerente ser homem e não ter filhos.
a) 1/6.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 3/4.
[Dica: faça um quadro semelhante ao da página 12 e atribua um número,
múltiplo de 2 e 3, para o total de elementos, digamos, 60]
12) ANPAD-2013 – Em um jogo de “zerinho-ou-um” com n jogadores (n ≥ 3),
os jogadores devem indicar com a mão, simultaneamente, uma escolha de zero
ou um. O jogo termina quando a escolha de um dos jogadores for diferente da
escolha dos demais. Qual é o número máximo de pessoas que devem jogar para
que a probabilidade de o jogo terminar na primeira tentativa seja maior ou igual a
0,25?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
[Nota: esta questão está resolvida no Caderno de Testes ANPAD - Vol. 2,
disponível, gratuitamente, neste link:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/]
13) ANPAD-2009 – Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma
pessoa para o cargo de secretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso
superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem
os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se
um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele
não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado
Bilíngüe nem curso de Informática, é de
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24
a)
b)
c)
d)
e)
14) ANPAD-2009 – A turma de Otávio está se formando e, para arrecadar
recursos financeiros para o baile, lançou duas rifas (A e B), sendo que a rifa A
tem 2.000 bilhetes e a B tem 1.000. Otávio vendeu a Pedro 20 bilhetes de cada
uma das rifas. Se cada rifa tem um único ganhador e todos os bilhetes de ambas
as rifas foram vendidos, pode se afirmar que a probabilidade de Pedro ganhar
algum prêmio é de
a) 0,0298.
b) 0,0296.
c) 0,0198.
d) 0,0098.
e) 0,0002.
15) ANPAD-2009 – Leonardo tem 50% e 60% de chance de receber uma oferta
de emprego da empresa A e da empresa B, respectivamente. A probabilidade de
Leonardo não receber nenhuma dessas ofertas é
a) 20%.
b) 45%.
c) 50%.
d) 55%.
e) 70%.
16) ANPAD-2010
exatamente cinco
reposição) 5 dos
aperfeiçoamento. A
– Uma empresa tem 100 funcionários, dentre os quais
são advogados. Foram sorteados aleatoriamente (sem
100 funcionários para participar de um curso de
probabilidade de que os cinco advogados sejam sorteados é
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de
a)
b)
c)
d) 1/20
e) 0,01
17) ANPAD-2010 – Sabe-se que, para cada lote de 50 unidades produzido e
vendido por uma metalúrgica, 1/5 das unidades apresenta defeito. Mário,
representante de certa empresa, comprará dessa metalúrgica se, ao extrair três
itens de um lote qualquer (de forma aleatória e com reposição), obtiver nenhuma
peça com defeito. A probabilidade de Mário adquirir o produto dessa metalúrgica
é de, aproximadamente,
a) 0,6.
b) 0,5.
c) 0,4.
d) 0,3.
e) 0,2.
18) ANPAD-2010 – Após um longo processo de seleção para o preenchimento
de duas vagas de emprego, uma empresa chegou a um conjunto de nove
engenheiros e cinco engenheiras, igualmente capacitados para o cargo. Indeciso,
o pessoal do setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para
preencher as duas vagas oferecidas. A probabilidade de ser sorteado um
profissional de cada sexo para ocupar as vagas é de aproximadamente
a) 60%.
b) 50%.
c) 40%.
d) 25%.
e) 20%.
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19) ANPAD-2011 – Uma prova é composta por duas questões de múltipla
escolha, cada qual com cinco alternativa. Então, qual é a probabilidade de um
indivíduo acertar apenas uma questão se ele absolutamente desconhecer o
conteúdo da prova, ou seja, se ele “chutar todas as respostas”?
a) 0,50.
b) 0,48.
c) 0,32.
d) 0,20.
e) 0,04.
20) ANPAD-2011 – Em uma indústria qualquer, constatou-se que, de um lote de
40 pacotes de biscoitos, 3 estão fora do peso especificado. Escolhendo-se dois
pacotes desse lote ao acaso e sem reposição, a probabilidade de que ambos
estejam fora do peso especificado é aproximadamente igual a
a) 0,85.
b) 0,1.
c) 0,08.
d) 0,03.
e) 0,004.
21) ANPAD-2011 – João e José foram indicados para fazer parte de um torneio
de truco. As probabilidades de João e de José serem escolhidos para jogar são,
respectivamente, 2/5 e 1/3. Sabendo que a escolha de um não afeta a escolha do
outro, a probabilidade de somente João ser escolhido para jogar é de
a) 2/15.
b) 3/15.
c) 4/15.
d) 2/5.
e) 2/3.
22) ANPAD-2010 – Após um longo processo de seleção para o preenchimento
de duas vagas de emprego para advogados, uma empresa chegou a um conjunto
de 5 homens e 3 mulheres, todos com capacitações bastante semelhantes.
Indeciso, o setor de recursos humanos resolveu realizar um sorteio para
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preencher as duas vagas oferecidas. Sabendo-se que ambos os selecionados são
do mesmo sexo, a probabilidade de serem homens é de aproximadamente
a) 86%.
b) 81%.
c) 76%.
d) 71%.
e) 66%.
23) ANPAD-2012 – A probabilidade de certo policial atirar e acertar o alvo é de
2/5 independentemente da quantidade de tiros dados. Se ele atirar ao alvo até
atingi-lo pela primeira vez, a probabilidade de que sejam necessários seis tiros
para atingir o alvo é de
a)
b)
c)
d)
e)
24) ANPAD-2007 – Um baralho tem quatro naipes, sendo que cada naipe tem 12
cartas. A probabilidade de se retirar, sem reposição, três cartas do mesmo naipe
desse baralho é
a)
b)
c)
d)
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28
e)
25) ANPAD-2006 – Numa cidade, a passagem de uma linha de ônibus custa R$
1,50. Sabe-se que os cobradores possuem apenas quatro espécies de moedas, a
saber, R$ 0,50, R$ 0,25, R$ 0,10 e R$ 0,05. Suponha que todas as possibilidades
de troco, utilizando combinações dos valores de moedas citados, têm a mesma
probabilidade. Qual é a probabilidade de Afrânio, que usou essa linha de ônibus,
ter o seu troco com três espécies de moedas, sabendo-se que ele entregou ao
cobrador R$ 2,00?
a) 1/11.
b) 2/11.
c) 4/11.
d) 5/11.
e) 6/11.
26) ANPAD-2006 – Há 10 funcionários em uma empresa, todos com curso
superior completo. Desses, 4 são formados em Administração, 2 em Economia, 3
em Contabilidade e 1 em Engenharia. Selecionando-se ao acaso 4 desses
funcionários, a probabilidade de cada um ser de uma área diferente é de,
aproximadamente.
a) 1%.
b) 3%.
c) 6%.
d) 8%.
e) 11%.
27) ANPAD-2005 – Com as frutas abacaxi, acerola, banana, laranja, maçã e
mamão, Teresa deseja preparar um suco usando três frutas distintas. A
probabilidade de o suco conter laranja é de
a) 0,4.
b) 0,5.
c) 0,6.
d) 0,7.
e) 0,8.
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28) ANPAD-2004 – Uma máquina produziu 40 peças, das quais 3 eram
defeituosas. Ao pegar duas peças ao acaso, a probabilidade de que pelo menos
uma delas seja defeituosa é
a)
b)
c)
d)
e)
29) ANPAD-2003 – Entre os 20 melhores funcionários de uma empresa, serão
sorteados 4 prêmios iguais. Dentre os funcionários estão Antônio e Matias. Se
cada funcionário pode receber apenas um prêmio, a probabilidade de que
Antônio ou Matias façam parte dos premiados é
a)
b)
c)
d)
e)
30) ANPAD-2003 – Em uma cesta com 10 frutas, 3 estão estragadas.
Escolhendo-se 2 frutas quaisquer, a probabilidade de ambas estarem boas é
a)
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30
b)
c)
d)
e)
31) ANPAD-2003 – Um baralho comum é constituído de cartas com números, de
2 a 10, e cartas com letras, (ás), (valete),
(dama) e
(rei). Temos um
conjunto dessas cartas para cada um dos quatro naipes: copas, ouros, espadas e
paus, totalizando 52 cartas. Retirando-se ao acaso uma carta desse baralho, qual é
a probabilidade de ela ser um valete ou um ouros?
a)
b)
c)
d)
e)
32) NCE/UFRJ-2000 – Um arquivo contém 24 fichas, numeradas de 1 a 24.
Retirando-se ao acaso uma ficha, a probabilidade de se retirar uma ficha com o
número maior ou igual a 15 é aproximadamente igual a
a) 20,93%.
b) 37,50%.
c) 41,67%.
d) 43,48%.
e) 50%.
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33) ESAF 2001 (Adaptada) – Beraldo espera ansiosamente o convite de um de
seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol.
A probabilidade de que Adalton convide Beraldo é de 25%, a de que Cauan o
convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo-se que os convites
são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que
Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é:
a) 12,5%.
b) 15,5%.
c) 22,5%.
d) 25,5%.
e) 30%.
34) PMPA-2000 – Uma frota de 20 veículos de mesmo modelo e tipo, apresenta
cinco deles com defeito na surdina. Se escolhermos, aleatoriamente, um veículo
dessa frota, qual é a probabilidade dele ter defeito na surdina?
a) 40%.
b) 35%.
c) 32%.
d) 28%.
e) 25%.
35) PMPA-2000 – Num fichário existem 12 nomes de mulher e 28 nomes de
homem. Se retirarmos ao acaso duas dessas fichas, com reposição, qual é a
probabilidade de ambas serem com nomes de mulher?
a) 3%.
b) 5%.
c) 9%.
d) 15%.
e) 30%.
36) FAURGS-2001 – Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém
todos os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os
números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários
seja premiado no sorteio da rifa é de
a) 12%.
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32
b) 18%.
c) 20%.
d) 22%.
e) 30%.
37) PMPA-2001 – As placas das motos em Porto Alegre são formadas por duas
letras e três algarismos, podendo existir repetição de letras e de algarismos numa
mesma placa. Sabendo-se que foram utilizadas apenas 10 letras do alfabeto, a
probabilidade de sortear-se, ao acaso, uma moto de uma empresa de tele-entrega,
que possui 100 motos emplacadas, é de
a) 0,001%.
b) 0,01%.
c) 0,1%.
d) 1%.
e) 10%.
38) FAURGS-2001 – A probabilidade de pelo menos um dos animais de um
casal de animais do zoológico estar vivo em 10 anos é de 90%. Se a
probabilidade de o macho estar vivo nesse tempo for de 60%, então, para a fêmea
essa probabilidade será de
a) 65%.
b) 75%.
c) 80%.
d) 85%.
e) 90%.
39) FAURGS-2001 – Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Duas
crianças são sorteadas para constituírem uma dupla de ping-pong. A
probabilidade de as duas crianças escolhidas serem do mesmo sexo é
a)
b)
c)
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33
d)
e)
40) O medicamento A, usado para engorda de bovinos, é ineficaz em cerca de
20% dos casos. Quando se constata sua ineficácia, pode-se tentar o medicamento
B, que é ineficaz em cerca de 10% dos casos. Nessas condições, é verdade que
a) o medicamento B é duas vezes mais eficaz que o medicamento A.
b) numa população de 20.000 bovinos, A é ineficaz para exatamente 4.000
indivíduos.
c) numa população de 16.000 bovinos, B é ineficaz para exatamente 12.800
indivíduos.
d) a aplicação de A e depois de B, se o A não deu resultado, deve ser ineficaz
para cerca de 2% dos indivíduos.
e) numa população de 20.000 bovinos, A é eficaz para cerca de 18.000
indivíduos.
41) Oito casais participam de um jantar. São escolhidas, aleatoriamente, duas
pessoas para discursar. A probabilidade de que as pessoas escolhidas sejam
marido e mulher é
a)
b)
c)
d)
e)
42) Um baralho consiste em 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2
cartões ao acaso, sem reposição. A probabilidade de que a soma dos dois
números dos cartões retirados seja igual a 100 é
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a) 1/100.
b) 1/2.
c) 49/99.
d) 49/4950.
e) 5/99.
43) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão misturados. Retirandose ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é
a) 1/5.
b) 1/10.
c) 1/4.
d) 1/9.
e) 1/45.
44) Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo de cada criança
que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo
menos duas previsões é de
a) 5%.
b) 12,5%.
c) 25%.
d) 45%.
e) 50%.
45) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis.
Alguém querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se
alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade
de ganhar, então quem
escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar?
a)
b)
c)
d)
e)
.
46) ANPAD-2008 – Em uma urna há nove fichas, cada uma das quais traz um
número de 1 a 9, todos distintos. Retira-se uma ficha, e o número nela escrito é
anotado. Em seguida, sem haver reposição da ficha anterior, retira-se outra, cujo
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número também é anotado. A probabilidade de que a média dos números
observados seja igual a 4 é de
a) 7/12.
b) 1/12.
c) 1/8.
d) 1/24.
e) 1/19.
47) ANPAD-2008 – Mário resolveu presentear os netos Osvaldo e Rui com uma
quantia total de R$ 240,00, que seria disputada em cinco lançamentos de um
dado comum. Levaria o prêmio aquele que acertasse três ou mais lançamentos.
Osvaldo escolheu par e Rui, impar. Entretanto, por descuido deles, o cachorro da
família engoliu o dado após os dois primeiros lançamentos, nos quais ocorreu
ímpar. Como não havia outro dado para que a disputa prosseguisse, Mário
decidiu repartir o prêmio de maneira justa, utilizando o critério probabilístico.
Então,
a) cada neto recebeu R$ 120,00.
b) Rui recebeu R$ 240,00.
c) Rui recebeu R$ 150,00 e Osvaldo recebeu R$ 90,00.
d) Rui recebeu R$ 180,00 e Osvaldo recebeu R$ 60,00.
e) Rui recebeu R$ 210,00 e Osvaldo recebeu R$ 30,00.
48) ANPAD-2008 – Em uma caixa há 49 bolinhas de gude brancas e 49 azuis.
Ludovico tirou duas bolinhas da caixa sem olhar. Se é a probabilidade de as
duas bolinhas serem de cores diferentes, e , a probabilidade de serem da mesma
cor, a diferença entre e é
a) 1/49.
b) 1/97.
c) 1/98.
d) 1/194.
e) 1/196.
49) ANPAD-2008 – Dois cubos têm faces pintadas em vermelho ou azul. O
primeiro cubo tem quatro faces vermelhas e duas faces azuis. Quando os dois
cubos são lançados, a probabilidade de suas faces voltadas para cima serem da
mesma cor é de 5/9. O número de faces vermelhas do segundo cubo é
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a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
50) ANPAD-2008 – No cadastro de uma determinada loja estão registrados 200
clientes, sendo que:
I.
II.
III.
70 são homens;
100 são mulheres que já compraram alguma mercadoria nessa loja; e
15 são homens que não compraram nenhuma mercadoria nessa loja.
Um nome cadastrado nessa loja foi retirado ao acaso. Sabendo-se que o nome
retirado foi de um homem, a probabilidade de ele já ter comprado alguma
mercadoria nessa loja é de
a) 11/14.
b) 11/40.
c) 10/13.
d) 3/14.
e) 1/2.
51) ANPAD-2007 – No jogo de bisca é utilizado o baralho espanhol, composto
de 40 cartas no total, classificadas em quatro naipes e numeradas de 1 a 12
(excluindo o 8 e o 9). Os quatro naipes são: ouros, espadas, copas e bastões. As
cartas 1 e 7 são chamadas de bisca. Duas cartas são extraídas ao acaso e sem
reposição. A probabilidade de ambas serem biscas é de
a) 1/25.
b) 4/25/
c) 5/195.
d) 6/195.
e) 7/195.
52) ANPAD-2007 – A empresa Delta investe mensalmente determinado valor
fixo em ações. A probabilidade de essa empresa tomar a decisão correta três
vezes ou menos é de 58%; a probabilidade de ela tomar a decisão correta três
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vezes ou mais é de 71%. A probabilidade de a empresa Delta tomar a decisão
correta exatamente três vezes é de
a) 13%.
b) 15%.
c) 29%.
d) 58%.
e) 71%.
53) ANPAD-2003 – Em uma indústria, 5% dos homens e 2% das mulheres têm
menos de 25 anos. Por outro lado, 60% dos funcionários são homens. Se um
funcionário é selecionado aleatoriamente e tem menos de 25 anos, a
probabilidade de ser mulher é
a)
b)
c)
d)
e)
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[Nota] Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões
por Assunto no livro "500 questões resolvidas".
Baixe o caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral!
http://www.facebook.com/groups/souintegral/
Gabarito
1-B
11-C
21-C
31-B
41-D
51-E
2-B
12-C
22-C
32-C
42-D
52-C
3-B
13-A
23-A
33-C
43-D
53-B
4-C
5-A
14-A 15-A
24-B 25-B
34-E 35-C
44-E 45-D
6-B
16-A
26-E
36-C
46-B
7-C
17-B
27-B
37-C
47-E
8-D
9-B
18-B 19-C
28-A 29-C
38-B 39-D
48-B 49-B
10-B
20-E
30-B
40-D
50-A
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"The pen is mightier than the sword." [Edward Bulwer-Lytton]
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6 Instituto Integral Editora - Catálogo
1. Raciocínio Lógico Formal
2. Raciocínio Lógico Informal
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3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos
4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade
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452690272552/
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512393299915/
5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira
6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I
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923325725487/
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788225172332/
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7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II
8. 500 questões resolvidas
http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesa
npad
https://www.facebook.com/groups/souintegral/648
787848505703/
9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória
10. Caderno RQ5 – Probabilidade
https://www.facebook.com/groups/souintegral/810
897222294764/
https://www.facebook.com/groups/souintegral/files
11. Caderno RQ6 - Estatística
12. Caderno RQ7 – Funções
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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões
14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes
https://www.facebook.com/groups/souintegral/files
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15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,
Geometria Espacial, Geometria Analítica
16. Caderno RQ11 – Matemática
Básica
https://www.facebook.com/groups/souintegral/files
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17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro
Grau – 1 ou 2 incógnitas
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Acompanhe os lançamentos da Série "Cadernos RQx":
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Próximos lançamentos:
12. Caderno RQ7 - Funções
13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões
14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes
15. Caderno RQ10 - Geometrias Plana, Espacial e Analítica
16. Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques
17. Caderno RQ12 – Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas
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MATERIAL EXCLUSIVO!
Manual do Candidato - Teste ANPAD
O Manual contém, entre outros assuntos:
- O que é Teste ANPAD?
- Provas do Teste ANPAD
- Como se preparar:
- - Material da ANPAD
- - Apostilas e livros
- - Aulas particulares
- - Grupos de estudos
- - Cursos preparatórios
- Roteiro de estudos
- Estratégias para a prova
- Jornada de estudos
- Véspera da prova
- No dia da prova
- Durante a prova
- Ordem de realização das provas
- Escore ANPAD
- Resultado Geral
- Próximas edições
- Edital
E muitas DICAS!
Disponível através da Lista Preferencial do Instituto Integral.
Inscreva-se agora mesmo e receba as instruções para baixar o seu:
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O Manual do Candidato Teste ANPAD também pode ser baixado
diretamente na Comunidade Sou Integral, no Facebook:
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LANÇAMENTO EXCLUSIVO!
Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards
Alguns tópicos abordados neste livro:
- O que é um flash card?
- Como confeccionar um flash card?
- Como memorizar o conteúdo de um flash card?
- Uso de flash cards nas operações lógicas
- Aplicações dos flash cards nas operações
lógicas
- - Aplicações dos flash cards no argumento
lógico dedutivo
- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas
notáveis
- Uso de flash cards em Tautologias,
Contradições e Contingências
- Uso dos flash cards nas negações:
Leis de De Morgan
Negação da Condição
Negação da bicondição
Negação das proposições categóricas:
todo, nenhum, algum, algum não é
Disponível em:
http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem
Também disponível aqui:
http://iintegral.leadlovers.com/iintegral
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7 Currículo Informal
Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por
minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.
Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em
dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.
Ali nasceu o gosto por ensinar...
Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha
mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá
para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e
espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes
deliciosos e irresistíveis.
Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de
Matemática, Estatística e Matemática Financeira.
Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de
Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um
professor amigo, durante o ano de 1980.
Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico
Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas
conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica
de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois
conheci o Padre Chico.
Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o
Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.
O Padre Chico
Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um
nome impronunciável em português.
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Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de
aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia
de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!
Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim
(Alemanha).
Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi
jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada
explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico
gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.
Primeira Lição
Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre
Chico a respeito da Lógica Formal.
– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com
sua peculiar cordialidade.
– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas
conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de
aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.
– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares
raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente
filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância
na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a
Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.
Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.
“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,
pensei.
– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,
“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de
Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou
matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa
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confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou
interpretando erroneamente seus conceitos.”
...
Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um
dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.
Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a
faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia
Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi
interrompido, e só foi concluído em 1998.
Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.
De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,
Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para
concursos públicos.
Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar
candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar
Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).
De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na
Esade e na Unifin.
Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras
FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de
Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para
diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e
Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.
Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa
Federal.
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693
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Instituto Integral Editora - 4 anos
Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/
Instituto Integral EaD - 4 anos
Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/
Instituto Integral - 16 anos
Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br
Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!
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