Lista 3

UFPR - Universidade Federal do Paraná
Departamento de Matemática
CM121 - Equações diferenciais e aplicações - 2012/2
Prof. José Carlos Eidam
Lista 3
P Equações diferenciais lineares de segunda ordem
1. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(a) y 00 + 2y 0 + y = 0
(d) 2y 00 − 4y 0 − 8y = 0
(g) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0
(j) y 00 − 2y 0 + 2y = 0
(b) y 00 − 4y 0 + 4y = 0
(e) y 00 − 9y 0 + 20y = 0
(h) y (i v) + y = 0
(k) y 00 + 4y = 0
(c) y 000 − y 00 + y 0 − y = 0
(f ) 2y 00 + 2y 0 + 3y = 0
(i) y (v) + 2y 000 + y 0 = 0
(l) y 00 + 4y 0 + 5y = 0
2. Verifique que y 1 é solução da equação dada e determine, a partir de y 1 , outra solução y 2 da
equação, de forma que o conjunto {y 1 (x), y 2 (x)} seja linearmente independente.
(a) x 2 y 00 + x y 0 − 4y = 0, y 1 = x 2
1
x
y0 +
y = 0, y 1 = x
(c) y 00 −
x −1
x −1
(e) x y 00 + 3y 0 = 0, y 1 = 1
(b) (1 − x 2 )y 00 + 2x y 0 − 2y = 0, y 1 = x
(g) x y 00 − (2x + 1)y 0 + (x + 1)y = 0, y 1 = e x
(i) x 2 y 00 + 2x y 0 = 0, y 1 = 1
(k) x 2 y 00 − x(x + 2)y 0 + (x + 2)y = 0; y 1 = x
(d) x 2 y 00 + 2x y 0 − 2y = 0, y 1 = x
µ
¶
1
2 00
0
2
(f) x y + x y + x − y = 0, y 1 = x −1/2
4
(h) y 00 − 4y 0 + 12y = 0, y 1 = e 6x
(j) x 2 y 00 + 3x y 0 + y = 0, y 1 = x −1
(l) (1 − x 2 )y 00 − 2x y 0 + 6y = 0; y 1 = 3x 2 − 1
3. Considere a equação diferencial
x y 00 − (x + n)y 0 + n y = 0 ,
onde n é um inteiro não-negativo.
(a) Mostre que y 1 = e x é solução da equação.
R
(b) Mostre que y 2 = C e x x n e −x d x, C ∈ R, é uma solução da equação dada e {y 1 , y 2 } é linearmente independente.
(c) Estude os casos n = 1 e n = 2.
4. Resolva as seguintes equações de Euler em (0, +∞):
(a) x 2 y 00 + x y 0 + y = 0
(d) 2x 2 y 00 + 10x y 0 + 3y = 0
(g) x 2 y 00 + 5x y 0 + 4y = 0
(j) x 2 y 00 − x y 0 + y = 0
(m) x 2 y 00 − 5x y 0 + 9y = 0
(b) x 2 y 00 − 3x y 0 + 4y = 0
(e) x 2 y 00 + 2x y 0 − 12y = 0
(h) x 2 y 00 + x y 0 + y = 0
(k) x 2 y 00 + 3x y 0 + 5y = 0
(n) x 2 y 00 + 2x y 0 + 4y = 0
1
(c) x 2 y 00 + 3x y 0 + 10y = 0
(f ) 2x 2 y 00 + 3x y 0 − y = 0
(i) x 2 y 00 + 4x y 0 + 2y = 0
(l) 2x 2 y 00 − 4x y 0 + 6y = 0
(o) x 2 y 00 − 2y = 0
5. Determine a solução geral das seguintes equações lineares de segunda ordem não-homogêneas:
(a) y 00 + 2y 0 + y = e −x ln x
(d) y 00 − 2y 0 = 12x − 10
(g) y 00 + 2y 0 + 2y = e −x sen x
(j) y 00 − 4y = x 2 e 2x
(m) y 0000 − 2y 000 + y 00 = x 3
(p) y 00 − 3y 0 − 4y = 2sen x
(b) y 00 − 2y 0 − 3y = 64xe −x
(e) y 00 + y = 2 cos x
(h) y 00 + 4y = 3sen x
(k) y 00 + y 0 − 2y = 8sen x
(n) y 000 − y = x 3 − 1
(q) y 00 − 3y 0 − 4y = 4x 2
(c) y 00 + 2y 0 + 5y = e −x sec 2x
(f ) y 00 + 2y 0 + y = 3e −x
(i) y 00 + 10y 0 + 25y = 14e −5x
(l) y 00 − 3y 0 = x + cos x
(o) y 00 − 2y = 2e x (cos x − sen x)
(r) y 00 − 5y 0 + 6y = 2e x
(s) y 00 + 9y = 9 sec2 (3x)
(v) y 00 + 4y = cossec 2x
(y) x y 00 − y 0 = 3x 2
(t) y 00 + y = tg x
(w) y 00 + y = sec x
(z) x 2 y 00 + x y 0 − y = x 2
(u) y 00 − 4y 0 + 4y = e x 2
(x) y 00 − 3y 0 + 2y = e x sen x
−2x
6. Determine a solução geral das seguintes equações lineares de segunda ordem não-homogêneas
(com coeficientes variáveis):
(a) (x 2 − 1)y 00 − 2x y 0 + 2y = (x 2 − 1)2
(c) x 2 y 00 + 7x y 0 + 5y = x
(e) x y 00 − (1 + x)y 0 + y = x 2 e 2x
(b) x 2 y 00 − 2x y 0 + 2y = 4x 2
(d) x 2 y 00 − x(x + 2)y 0 + (x + 2)y = 0
(f) x 2 y 00 + x y 0 + (x 2 − 14 )y = 3x 3/2 sen x (Use o exercício 1(f ))
7. (Princípio de superposição) Se y 1 e y 2 são soluções de y 00 + f (x)y 0 + g (x)y = h 1 e y 00 + f (x)y 0 +
g (x)y = h 2 , respectivamente, mostre que y = y 1 + y 2 é solução de y 00 + f (x)y 0 + g (x)y = h 1 + h 2 .
Use este fato para resolver:
(a) y 00 + 3y 0 + 2y = e x + e 2x
(b) y 00 + y = cos x + 8x 2
P Roteiro para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem y 00 + p y 0 + q y = f (via
método de variação dos parâmetros):
1. Encontre soluções linearmente independentes y 1 , y 2 da equação homogênea associada y 00 +
p y 0 + q y = 0;
³y y ´
1 2
2. Calcule o Wronskiano W (y 1 , y 2 ) = det y 0 y 0 ;
1
2
3. A solução geral da equação é soma de uma solução particular com uma solução geral da equação
homogênea associada:
µZ
¶
µZ
¶
y2 f
y1 f
y =−
d x y1 +
d x y 2 +C 1 y 1 +C 2 y 2
W (y 1 , y 2 )
W (y 1 , y 2 )
2
P Respostas
(1)
(a) y = C 1 e −x +C 2p
xe −x ; (b) y = Cp1 e 2x +C 2 xe 2x ; (c) y = C 1 e x +C 2 sen x +C 3 cos x;
x
(d) y = e (C 1 sen ( 3x)
+C 2 cos( 3x));
(e) y = C 1 e 5x +C 2 e 4x ;
p
p
3
3
x
x
2 x
2 x) +C 2pcos( 2 x)); (g) y = C 1 e +C 2 xe +C 3 x e ;
p
(h) y = C 1 cos( 22 x) +C 2 sen ( 23 x); (i) y = C 1 + (C 2 +C 3 x) cos x + (C 4 +C 5 x)sen x;
(j) y = C 1 e x cos x +C 2 e x sen x; (k) y = C 1 sen (2x) +C 2 cos(2x); (l) y = C 1 e −2x cos x +C 2 e −2x sen x.
(f) y = e −x/2 (C 1 sen (
(2)
¡
¢
x
−2
−2
−1/2
(a) y 2 = x −2 ; (b) y 2 = 1 − x2 ln 1+x
cos x;
1−x ; (c) y 2 = e ; (d) y 2 = x ; (e) y 2 = x ; (f ) y 2 = x
¡
¢
3x
3x 2 −1
x 2
−2x
−1
−1
x
(g) y 2 = e x ; (h) y 2 = e
; (i) y 2 = x ; (j) y 2 = x ln x; (k) y 2 = xe ; (l) y 2 = 4 + 8 ln 1−x
(Dica:
1+x
Escreva
µ
¶
¶
µ
1
1
1
1
1
=A p
+
.
+ p
+B
(3x 2 − 1)2 (1 − x 2 )
1−x 1+x
( 3x − 1)2 ( 3x + 1)2
(4)
(a) y = C 1 cos(ln
x) + C 2 sen p(ln x) + 1; (b) y = C 1 x 2 + C 2 x 2 ln x; (c) y = x −1 {C 1 cos(ln x 3 ) + C 2 sen (ln x 3 )};
p
10
10
(d) y = C 1 x −2+ 2 +C 2 x −2+ 2 ; (e) y = C 1 x 3 +C 2 x −4 ;
(f) y = C 1 x 1/2 +C 2 x −1 ; (g) y = x −2 (C 1 +C 2 ln x);
(h) y = C 1 cos(ln x) +C 2 sen (ln x); (i) y = C 1 x −1 +C 2 x −2 ;
−1
−1
(j) y = C 1 x +C 2 x ln
³ pln x) +C
´ 2 x sen (2 ln x);
³ px; (k) ´y = C 1 x cos(2
(l) y = C 1 x 3/2 cos
3
2 ln x
3
3
2 ln³x ;
´
³p
´
p
= C 1 x −1/2 cos 215 ln x +C 2 x −1/2 sen 215 ln x ; (o)
+C 1 x 3/2 sen
(m) y = C 1 x 3 +C 2 x ln x; (n) y
y = C 1 x −1 +C 2 x 2
(5)
(a) y = 21 x 2 e −x ln x − 34 x 2 e −x +C 1 e −x +C 2 xe −x ; (b) y = −e −x (8x 2 + 4x + 1) +C 1 e −x +C 2 e 3x ;
(c) y = 12 xe −x sen 2x + 14 e −x cos 2x +C 1 e x cos 2x +C 2 e x sen 2x; (d) y = −3x 2 + 2x + 1 +C 1 +C 2 e 2x ;
(e) y = xsen x +C 1 sen x +C 2 cos x; (f ) y = (3/2)x 2 e −x +C 1 e −x +C 2 xe −x ;
(g) y = (1/2)e −x {cos x(x − (1/2)sen 2x) + sen 3 x} +C 1 e −x sen x +C 2 e −x cos x ;
(h) y = C 1 cos 2x +C 2 sen 2x + sen x;
(i) y = e −5x (7x 2 +C 1 x +C 2 ); (j) y = e 2x (x 3 /12 − x 2 /16 + x/32 − 1/128 +C 1 ) +C 2 e −2x ;
(k) y = C 1 e x +C 2 e −2x − (2/5)(3sen 2x + cos 2x); (l) y = C 1 +C 2 e 3x − (cos x + 3sen x)/10 − x 2 /6 − x/9;
2
3
4
5
x
(m) y = C 1 +C 2 x + 12x
³ + 3xp + x /2 + x p/20´+ (C 3 +C 4 x)e ;
p
p
3
3
3
x 2
+C 2 e −x 2 + e x sen x;
2 x +C 3 sen 2 x − x − 5; (o) y = C 1 e
(p) y = (1/17)(3 cos x − 5sen x) +C 1 e 4x +C 2 e −x ; (q) y = −x 2 + (3/2)x − 13/8 +C 1 e 4x +C 2 e −x ;
(r) y = e x +C 1 e 3x +C 2 e 2x ; (s) y = C 1 cos 3x +C 2 sen 3x + {(sen 3x)(ln(sec(3x) + tg (3x))) − 1};
(t) y = − ln(tg x + sec x)) cos x +C 1 sen +C 2 sen x; (u) y = −e −2x ln x +C 1 e −2x +C 2 xe −2x ;
(n) y = C 1 e x + e −x/2 C 2 cos
(v) y = (3/4)sen 2x ln(sen 2x) − (3/2)x cos 2x +C 1 sen 2x +C 2 cos 2x;
(w) y = xsen x + cos x ln(cos x) +C 1 cos x +C 2 sen x; (x) y = (e x /2)(cos x − sen x) +C 1 e x +C 2 e 2x
(y) y = x +C 1 x 2 +C 2 ; (z) y = x 2 /3 +C 1 x +C 2 /x
(6)
(a) y = C 1 x +C 2 (x 2 + 1) + x 4 /6 − x 2 /2; (b) y = C 1 x +C 2 x 2 + 4x 2 ln x; (c) y = C 1 x −1 +C 2 x −5 + x/12;
(d) y = C 1 x +C 2 xe x − 2x 2 ; (e) y = C 1 (1 + x) +C 2 e x + (1/2)e 2x (x − 1);
(f) y = C 1 x −1/2 cos x +C 2 x −1/2 sen x − (3/2)x −1/2 cos x;
(7)
(a) y = e x /6 + e 2x /12 +C 1 e −x +C 2 e −2x ; (b) y = ((1/2)x +C 1 )sen x +C 2 cos x + 8x 2 − 16
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