exercícios - Milton Procópio de Borba

EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES E DETERMINANTES
1) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j
− 2 se i > j

2 ) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij=  1 se i = j
 3 se i < j

3) Encontre a transposta da matriz A= (aij)3x2 tal que aij = j-2i
 i + j se i = j
4) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que: cij = 
− i − j se i ≠ j
5) Escreva a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
A e uma matriz do tipo 3 x 4 com:
a)
aij = -1 para i = 2j
aij = a para i ≠ 2j
b)
A é uma matriz quadrada de 4a ordem com:
aij = 0 para i+j = 4
aij -1 para i+j ≠ 4
c)
A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1
1 −2
1 2 −3
e B= 3 0 determine A + 2Bt
6) Dadas as matrizes A =
4 5 0
4 −3
7) Determinar x e y sabendo que:
 x 2 − 1  9 − 1 
 x + y 2  4 x − y 
 0 x + 3y   0 8 
 = 

 = 
 c) 
 = 

a) 
b) 
2

 3 1   3 1 
 2 5   2 y + 1
 4 0   2x − y 0
 − 1 2 5
0 − 2 3


8) Considere as matrizes: A = 0 1 − 4 B = 1 4 − 5  , determine:




3 − 2 7 
 − 3 2 0 
a) At + Bt b) (A+B)t c) Compare os resultados a) e b)
 2x − 5 0 0 


9) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade  0 1 0 
 0 y+x 1


1 3
 − 2 1
 − 1 − 2
 B = 
 e C= 
 encontre a matriz X tal que X + 2C = A +3B
10) Dadas as matrizes A= 
 0 2
 0 − 3
 −3 0 
11) Dadas as matrizes: A=
a) A . B
0
12) Se A = 
3
1
13) Se A= 
−1
1 4 0
1 −3 1
b) B . A
1 −1
e B= − 1 1 , calcule:
5 0
c) Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta.
1
 − 1 1
 e B= 
 , verifique que (A .B)t = Bt . At
2
 0 1
1
, calcule A2 -2A +3I2
1
1 2 
1 0 
 1 − 1
 , B = 
 e C = 
 , teste as propriedades:
14) Dadas as matrizes: A= 
3 4
 2 3
 0 1
a) A . (B+C) = AB + AC
b) A.(B.C) = (A.B).C
 − 5 8
 e da matriz B =
15) Determine a inversa da matriz A = 
 2 − 3
3 0
 1


− 4 − 2 1
 3 − 1 2


16) Assinale ( V ) verdadeiro ou ( F ) falso:
( ) Se T é triangular do tipo nxn então det(T) ≠ 0
( ) Com matrizes, YxZ = ZxY, só se Y, Z ou YxZ for a identidade.
( ) Sempre é possível fazer AxAT e o resultado é uma matriz quadrada simétrica.
( ) Se A é triangular do tipo nxn então det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann.
( ) Se det(A) ≠ 0 então ∃ A-1.
( ) Se AxB pode ser calculada então BxA tem como resultado uma matriz diferente
( ) O cálculo de MTxM sempre é possível e o resultado é uma matriz simétrica.
( ) Se C é triangular então det(C) será o produto da diagonal principal.
( ) det(PxQ) = 0 só se P ou Q tiver determinante zero.
( ) O resultado de YxZ é sempre diferente de ZxY.
RESPOSTAS:
 1 3 3 
 2 − 3 − 4




t  −1 − 3 − 5
 4) C=  − 3 4 − 5 
2) B=  − 2 1 3  3) A = 
 0 −2 −4 
 − 2 − 2 1
 − 4 − 5 6




 −1 −1 0 −1 


a a a a
 4 7 10 




 −1 0 −1 −1 
5) a) A=  − 1 a a a  b) A= 
c)
A=
6
9
12


0 −1 −1 −1 
a a a a
 8 11 14 






 − 1 − 1 − 1 − 1


 3 8 5 

7) a) (x,y) = (3,2) ou (-3,-10) b) x=3 e y=1 c) (x,y) = (2,2) ou (14,-2)
6) 
 0 5 − 6
−1 1 0
 − 3 10 
t
t 

8) A +B = 0 5 0  = (A+B)t
9) x=3 e y=-3
10) X= 


6 − 7 

8 − 9 7 
 0 7 − 1


 − 3 3
 B.A=  0 − 7 1 A.B ≠ B.A (produto de matrizes não é comutativo)
11) A.B= 
9 − 4
 5 20 0 


0
−
3


1 0 


12) (A .B)t=Bt.At= 
13) 
 1 5 
 0 1
 2 1 0 

1) A= 
11 10 9 
 6 7 

14) a) A.(B+C)=AB+BC= 
14 13 
3 8
 e B-1 =
15) A-1= 
 2 5
− 3 − 6

 11 2
 10 10

 5 1

b) A.(B.C)=(AB).C 
11 1
3 

− 1  /30
10 