V - IPS

Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
4.8
4.8––Multivibradores
Multivibradores
Esta secção tem por objectivo estudar a operação dos osciladores nãolineares ou multivibradores, fundamentalmente, enquanto geradores de
ondas quadradas, triangulares e impulsos. Como referido na secção 4.1,
do presente texto são estudados três tipos de circuitos que implementam
multivibradores, a saber,
¾circuitos biestáveis;
¾circuitos astáveis;
¾circuitos monostáveis.
Como sugere a designação de cada um dos tipos de circuitos,
•os biestáveis têm 2 estados estáveis, isto é, possuem 2 estados em que
podem permanecer por tempo indefinido, passando de um estado para
outro, por intermédio de estímulos externos;
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 171
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
4.8
4.8––Multivibradores
Multivibradores(cont.)
(cont.)
•os astáveis não possuem qualquer estado estável, ou seja, não existe
um estado no qual possam estabilizar por tempo indefinido;
•os
monoestáveis têm 1 estado estável, podem, portanto, permanecer
nele por todo o tempo, sendo necessário receber um estímulo externo para
dele saírem, mas que voltarão a ele logo que cesse o efeito do estímulo.
OOCircuito
CircuitoBiestável
Biestável
O circuito biestável pode ser implementado por intermédio da
realimentação positiva, com ganho superior à unidade, em trono de um
amplificador operacional, como se ilustra na figura 4.78.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 172
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
Biestável(cont.)
(cont.)
Tendo em conta que a operação do ampop é regida pela equação,
vo = A(v + − v − )
onde, A é o ganho do amplificador operacional sem realimentação, vO é a
tensão de saída do amplificador, v+ é a tensão presente na entrada nãoinversora e v- é a tensão presente na entrada inversora.
Figura 4.78 – Circuito biestável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 173
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OOCircuito
CircuitoBiestável
Biestável(cont.)
(cont.)
Se, por exemplo, a tensão presente em v+ sofre um incremento positivo,
eventualmente provocado por um ruído eléctrico, que está inevitavelmente
presente em qualquer sistema electrónico, a tensão vO caminha
rapidamente para a saturação positiva, L+, devido ao elevado valor
positivo do ganho A do amplificador operacional. De facto, dado que,
vo = A(v + − v − )
então,
v + > v − ⇒ (v + − v − ) > 0 ⇒ vo > 0 ⇒ vo = L+
Como o divisor de tensão R1, R2 realimenta uma fracção de vO com o valor
β=R1/(R1+R2), em fase com a tensão presente em v+, a saída permanece na
saturação positiva L+. Este é então, um dos estados estáveis do circuito.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 174
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OOCircuito
CircuitoBiestável
Biestável(cont.)
(cont.)
Se a tensão presente em v+ sofrer um incremento negativo, então a
tensão vO evolui para a saturação negativa, L-, uma vez que a equação,
explicita que,
vo = A(v + − v − )
v + < v − ⇒ (v + − v − ) < 0 ⇒ vo < 0 ⇒ vo = L−
E como o divisor de tensão R1, R2 realimenta uma fracção de vO com o
valor β=R1/(R1+R2), em fase com a tensão presente em v+, que desta vez
é negativa, então a saída permanece saturada negativamente com o valor
L-. Este é o outro estado estável do circuito.
Conclui-se assim, que o circuito possui dois estados estáveis, um com o
ampo na saturação positiva, L+, e o outro com o ampop na saturação
negativa, L-.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 175
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor
A figura 4.79 mostra o circuito biestável com a fonte vI aplicada ao
terminal da entrada inversora v-. Para derivar a característica de
transferência vO=f(vI) deve considerar-se que o circuito está num dos
estados estáveis, uma vez que outra situação não seria realista. Assuma-se
então, que vO=L+.
Figura 4.79 – Circuito biestável inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 176
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
Repare-se que nesta situação a realimentação presente em v+ é positiva,
isto é, com o mesmo sinal de vO, e com o valor correspondente à fracção
da tensão de saída dada por β=R1/(R1+R2). Considere-se agora que a fonte
vI se encontra em zero e começa a crescer no sentido positivo. Tendo em
conta a equação,
vo = A(v + − v − )
constata-se que até vI alcançar o valor de βL+, nada acontece. Porém, logo
que vI começa a exceder aquele valor, a tensão de saída vO evolui
rapidamente para a saturação negativa L-. Neste novo estado a
realimentação aplicada a v+ é agora βL- o que faz com que o circuito
permaneça neste novo estado. Isto é,
R1
vi < β L+ ⇒ vo = L+ ⇒ v + = βL+ ; com β =
R1 + R2
vi > βL+ ⇒ vo = L− ⇒ β L− ; (muda de estado)
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 177
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
A figura 4.80 mostra a característica de transferência para vI crescente.
Observe-se que logo que se dá a transição para o novo estado, o
crescimento de vI não origina qualquer alteração no circuito. A tensão
positiva que provoca a transição de estado designa-se por tensão de
limiar superior (threshold-VTH), de valor VTH=βL+, com β=R1/(R1+R2).
Figura 4.80 – Transição L+→L- no biestável inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 178
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
Considere-se agora que a fonte vI se encontra de no em zero e inicia o
crescimento no sentido negativo. De novo pela equação,
vo = A(v + − v − )
se pode concluir que até vI alcançar o valor de βL-, nada acontece. No
entanto, logo que vI se torna mais negativo que a tensão presente em
v+=βL-, a tensão de saída vO transita rapidamente para a saturação positiva
L+. Neste novo estado a realimentação aplicada a v+ é agora βL+ o que faz
com que o circuito permaneça neste estado. De facto,
R1
vi > β L− ⇒ vo = L− ⇒ v + = β L− ; com β =
R1 + R2
vi < β L− ⇒ vo = L+ ⇒ βL+ ; (muda de estado)
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 179
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
A figura 4.81 mostra a característica de transferência para vI decrescente.
Repare-se que assim que se verifica a transição para o novo estado, o
decréscimo de vI não provoca qualquer alteração no circuito. A tensão
negativa que dá origem à transição de estado designa-se por tensão de
limiar inferior (threshold-VTL), de valor VTL=βL-, com β=R1/(R1+R2).
Figura 4.81 – Transição L-→L+ no biestável inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 180
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
Na figura 4.82 ilustram-se as características de transferência completas do
circuito biestável inversor. Este circuito biestável tem a designação de
inversor porque a transição da saturação positiva, L+, para a saturação
negativa se faz com a tensão de limiar inferior, VTL, e a transição da
saturação negativa, L-,para a saturação positiva se verifica na tensão de
limiar superior, VTH. As tensões de transição, são também designadas por
tensões de disparo.
Figura 4.82 – Características completas do circuito biestável inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 181
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
As tensões de limiar VTH e VTL do circuito biestável inversor representado
na figura 4.79 são simétricas relativamente à tensão VR=0, uma vez que a
resistência R1 está referenciada à massa. Porém, algumas aplicações
exigem biestáveis cujas tensões de limiar se localizam em posições
simétricas relativamente a uma tensão VR≠0. Para implementar um
biestável inversor com estas características (figura 4.83), é suficiente ligar
a extremidade de R1 a uma tensão V que, deste modo proporciona uma
tensão de referência, VR, diferente de zero, cujo valor é dado pela relação,
R2
VR = V ×
R1 + R2
como a seguir será demonstrado.
A característica de transferência de um bistável inversor com VR≠0, está
representada na figura 4.84.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 182
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
Por aplicação do Teorema da Sobreposição obtém-se,
VAV
R1
R2
R1
R2
=V
+ vo
; VAo = vo
; VA = V
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
vI
+V
Figura 4.83 – Biestável inversor com VR≠0.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 183
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
E dado que,
vo = A(v + − v − )
Obtém-se por substituição em v+ e v-,
vo = A(V
Logo,
V
R2
R1
+ vo
− vI )
R1 + R2
R1 + R2
R2
R1
+ vo
− vI ⇒ vo > 0 ⇒ vo = L+
R1 + R2
R1 + R2
Assumindo que o circuito se encontra no estado de saturação positiva, L+,
R1
R2
− vI > − L
−V
⇒ vo = L+
R1 + R2
R1 + R2
+
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 184
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
Assim,
R1
R2
vI < L
+V
⇒ vo = L+
R1 + R2
R1 + R2
+
Logo,
R1
R2
+V
⇒ vo = L− (muda de estado)
R1 + R2
R1 + R2
Ou seja, o circuito comuta do estado L+ para o estado L- , quando vI excede
a tensão VTH , dada pela expressão,
R1
R2
VTH = L+
+V
R1 + R2
R1 + R2
vI > L+
Com o biestável no estado L-, e na condição,
R2
R1
−
V
+L
− vI < 0 ⇒ vo = L−
R1 + R2
R1 + R2
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 185
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
que em termos de vI, assume a forma,
− vI < − L−
vI > L−
Logo,
R1
R2
−V
⇒ vo = L−
R1 + R2
R1 + R2
R1
R2
+V
⇒ vo = L−
R1 + R2
R1 + R2
R1
R2
vI < L
+V
⇒ vo = L+ (muda de estado)
R1 + R2
R1 + R2
−
Isto é, o biestável comuta do estado L- para o estado L+ , quando vI se torna
menor do que a tensão de limiar VTL , que é dada pela expressão,
R1
R2
VTL = L
+V
R1 + R2
R1 + R2
−
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 186
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelInversor
Inversor(cont.)
(cont.)
A figura 4.84, representa a característica de transferência vO=f(vI) para um
circuito biestável inversor com VR≠0 e positiva.
VR
vI
Figura 4.84 – Característica de transferência vO=f(vI) biestável inversor com VR≠0 e positiva.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 187
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor
A figura 4.85 mostra o circuito biestável com a fonte vI aplicada ao
terminal da entrada não-inversora v+. A fim de ser determinada a
característica de transferência vO=f(vI) considere-se que o circuito está
num dos estados estáveis, por exemplo vO=L+.
Figura 4.85 – Circuito biestável não-inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 188
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Por intermédio do Teorema da Sobreposição, pode determinar-se a
expressão para a tensão presente na entrada não-inversora. De facto,
R1
R2
R1
R2
+
+
; vO = vO
; v = vI
v = vI
+ vO
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
+
I
E tendo em conta que,
vo = A(v + − v − )
obtém-se,
vO = A(vI
vI
R1
R2
R1
R2
+ vO
− 0) ⇒ vo = A(vI
+ vO
)
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R2
R1
R2
R1
+ L+
> 0 ⇒ vO = L+ ⇔ vI
> − L+
⇒ vO = L+
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 189
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Assim,
vI
vI
R2
R1
+ L+
> 0 ⇒ vO = L+
R1 + R2
R1 + R2
R2
R1
> − L+
⇒ vO = L+
R1 + R2
R1 + R2
Dividindo por R1+R2 obtém-se,
vI R2 > − L+ R1 ⇒ vO = L+ ⇔ vI > − L+
R1
⇒ vO = L+
R2
Isto é,
vI > − L+ β ⇒ vO = L+ ; com β =
Octávio Páscoa Dias
R1
R2
cap.4 - 190
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Deste modo, dado que se assumiu vO=L+, nada acontece para valores
positivos de vI. Porém, quando vI se torna mais negativo do que (–L+×β),
com β=R1/R2, a tensão de saída vO evolui rapidamente para a saturação
negativa L-. Isto é,
vI > − L+ β ⇒ vO = L+ ; com β =
R1
R2
vI < − L+ β ⇒ vO = L− ; (muda de estado)
O circuito permanece neste novo estado enquanto a tensão vI não for
suficientemente positiva para provocar a alteração da polaridade em v+.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 191
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
A figura 4.86 mostra a característica de transferência para vI decrescente.
Observe-se que após a transição para o novo estado, o decréscimo de vI
não origina qualquer alteração no circuito. A tensão negativa que provoca
a transição de estado designa-se por tensão de limiar inferior (thresholdVTL), de valor VTL=-βL+, com β=R1/R2.
Figura 4.86 – Transição L+→L- no biestável não-inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 192
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Com vO=L-, nada acontece para valores negativos de vI. Porém, quando vI
se torna mais positivo do que (–L-×β), com β=R1/R2, a tensão de saída vO
transita para a saturação positiva L+. Isto é,
vI < − L− β ⇒ vO = L− ; com β =
R1
R2
vI > − L− β ⇒ vO = L+ ; (muda de estado)
O circuito permanece na saturação positiva enquanto a tensão vI não
assumir um valor negativo suficiente para alterar a polaridade em v+.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 193
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
A figura 4.87 mostra a característica de transferência para vI crescente. É
de realçar que após a transição para o novo estado, o crescimento de vI não
provoca qualquer alteração no circuito. A tensão positiva que dá origem à
transição de estado é designada por por tensão de limiar superior
(threshold-VTH), de valor VTH=-βL-, com β=R1/R2.
Figura 4.87 – Transição L-→L+ no biestável não-inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 194
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Na figura 4.88 ilustram-se as características de transferência completas do
circuito biestável não-inversor. Repare-se que neste circuito biestável a
transição da saturação positiva, L+, para a saturação negativa se faz com a
tensão de limiar inferior, VTL, e que a transição da saturação negativa, Lpara a saturação positiva se verifica na tensão de limiar superior, VTH, daí,
a sua designação de biestável não-inversor.
Figura 4.88 – Características completas do circuito biestável não-inversor.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 195
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Do mesmo modo que para o biestável inversor, também para o biestável
não-inversor, algumas aplicações requerem que as tensões de limiar VTH e
VTL sejam simétricas relativamente a uma tensão, VR, diferente de zero.
A figura 4.89 ilustra um circuito biestável com essas características, em
que, como será demostrado, a tensão de simetria VR é determinada pela
expressão,
R + R2
VR = V × 1
R2
Aplicando o Teorema da Sobreposição ao circuito da figura 4.89, obtémse,
R2
R1
R2
R1
VAI = vI
; VAo = vo
; V A = vI
+ vo
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 196
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
vI
+V
Figura 4.89 – Biestavel não-inversor, com histerese, com VR≠0.
E dado que,
vo = A(v + − v − )
Obtém-se por substituição em v+ e v-,
R1
R2
+ vo
−V )
vo = A(vI
R1 + R2
R1 + R2
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 197
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Logo,
R1
R2
+ vo
− V > 0 ⇒ vo > 0 ⇒ vo = L+
vI
R1 + R2
R1 + R2
Assumindo que o circuito se encontra no estado de saturação positiva, L+,
R1
R2
+
+L
− Vref > 0 ⇒ vo = L+
vi
R1 + R2
R1 + R2
R1
R2
+
> −L
+ Vref ⇒ vo = L+
vi
R1 + R2
R1 + R2
Dividindo ambos os membros por (R1+R2),
vi R2 > − L+ R1 + Vref ( R1 + R2 ) ⇒ vo = L+
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 198
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Explicitando vI,
vI > − L+
e por consequência,
R + R2
R1
+V 1
⇒ vo = L+
R2
R2
R1 + R2
R1
+ Vref
⇒ vo = L− (muda de estado)
vi < − L
R2
R2
+
Portanto, o circuito comuta da saturação positiva, L+ para a saturação
negativa, L- , quando vI é inferior à tensão VTH , dada pela expressão,
VTL = − L+
R1
R + R2
+V 1
R2
R2
Com o biestavel no estado L-, e na condição,
R2
R1
vI
+ L−
− V < 0 ⇒ vo = L−
R1 + R2
R1 + R2
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 199
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OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
Que em termos de vI, toma a forma,
R2
R1
−
+L
− V < 0 ⇒ vo = L−
vI
R1 + R2
R1 + R2
vI
R1
R2
< − L−
+ V ⇒ vo = L−
R1 + R2
R1 + R2
vI R2 < − L− R1 + V ( R1 + R2 ) ⇒ vo = L−
vI < − L−
Logo,
R + R2
R1
+V 1
⇒ vo = L−
R2
R2
R1
R + R2
+V 1
⇒ vo = L+ (muda de estado)
R2
R2
Isto é, o biestável comuta do estado L- para o estado L+ , quando vI excede a
tensão de limiar VTH,que é dada pela expressão,
vI > − L−
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 200
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoBiestável
BiestávelNão-Inversor
Não-Inversor(cont.)
(cont.)
R + R2
R1
+V 1
R2
R2
Na figura 4.90, representa-se a característica de transferência do biestável
inversor com VR≠0 e positiva.
VTH = − L−
VR
vI
Figura 4.90 – Característica de transferência vO=f(vI) do biestável não-inversor, com VR≠0 e positiva.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 201
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OOCircuito
CircuitoBiestável
Biestávelcomo
comoElemento
Elementode
deMemória
Memória
Observe-se, por exemplo, as características de transferência do biestável
inversor, representadas na figura 4.82, onde se pode constatar que para as
tensões de entrada, vI, no intervalo VTL<vI<VTH, a saída pode ser L+ ou L-,
dependendo do estado anterior do circuito. Pode assim, concluir-se,
que o circuito possui memória. Estes circuitos são também conhecidos
pela designação de Schmitt Trigger.
Utilização
Utilizaçãodo
doCircuito
CircuitoBiestável
Biestávelcomo
comoComparador
Comparador
Um comparador é um elemento de circuito que pode ser usado numa
grande variedade de aplicações, por exemplo, como detector do nível do
sinal de entrada de um sistema electrónico, em relação a um valor de
limiar predeterminado.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 202
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Utilização
Utilizaçãodo
doCircuito
CircuitoBiestável
Biestávelcomo
comoComparador
Comparador(cont.)
(cont.)
Embora em algumas aplicações possam ser utilizados comparadores sem
histerese, outras há, em que é de grande utilidade a introdução de uma
tensão de histerese na comparação. Para esta utilização, o circuito
biestável desempenha um papel importante pela simplicidade com que
podem ser implementados os dois níveis de limiar, VTH e VTL.
Para exemplificar a necessidade da histerese, assuma-se que se pretende
projectar um circuito para detectar e contar os cruzamentos por zero de um
qualquer sinal de entrada de um sistema. Essa funcionalidade pode ser
implementada por intermédio de um comparador, com o valor de
referência igual a zero, e cuja saída excita um contador, o qual totalizará o
número de vezes que o sinal passa por zero. De facto, a mudança de
estado do comparador (passagem do sinal por zero) pode ser usada para
produzir um impulso que irá incrementar o contador.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 203
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Utilização
Utilizaçãodo
doCircuito
CircuitoBiestável
Biestávelcomo
comoComparador
Comparador(cont.)
(cont.)
Se o sinal a processar estiver livre de ruído (figura 4.91), um comparador
sem histerese pode desempenhar a função exigida. Porém, se o sinal
contiver ruído (figura 4.92), como é o caso mais comum, os múltiplos
cruzamentos por zero, devido ao ruído, induzem o sistema a uma
contagem errada. Assim, se for possível estabelecer uma estimativa do
valor pico-a-pico da tensão de ruído que se sobrepõe ao sinal a processar,
o problema pode ser resolvido por intermédio da introdução de uma
histerese, de largura apropriada, na característica do comparador. Assim,
se a amplitude do sinal de entrada aumentar, o comparador com histerese
permanecerá no mesmo estado, até que o nível da entrada ultrapasse o
valor de VTH. Do mesmo modo, o comparador permanecerá no mesmo
estado se a amplitude do sinal descer a um valor inferior a VTH. De facto, o
biestável só comuta de estado quando o sinal de entrada diminuir a um
valor inferior a VTL.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 204
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Utilização
Utilizaçãodo
doCircuito
CircuitoBiestável
Biestávelcomo
comoComparador
Comparador(cont.)
(cont.)
Esta situação, está ilustrada na figura 4.92, onde se constata que o
comparador constitui um meio eficaz para rejeitar a interferência.
Figura 4.91 – Sinal sem ruído.
Octávio Páscoa Dias
Figura 4.92 –Sinal com ruído.
cap.4 - 205
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Ajuste
Ajustedos
dosNíveis
Níveisde
deSaída
Saídado
doBiestável
Biestável
Por conveniência, torna-se muitas vezes necessário alterar os níveis da
saída do circuito biestável para valores diferentes das tensões de saturação
do ampop. As figuras 4.93 e 4.94, ilustram duas implementações possíveis
de limitadores que fixam, com precisão, as tensões de saída do circuito.
Repare-se que o limitador da figura 4.93 impõe,
vo _ ampop = L+ ⇒ vO = + (VZ 1 + VD )
vo _ ampop = L− ⇒ vO = −(VZ 2 + VD )
E que o limitador da figura 4.94 faz com que,
vo _ ampop = L+ ⇒ vO = +(VZ + VD1 + VD 2 )
vo _ ampop = L− ⇒ vO = −(VZ + VD 3 + VD 4 )
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 206
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Ajuste
Ajustedos
dosNíveis
Níveisde
deSaída
Saídado
doBiestável
Biestável
Como referido, nas figuras 4.93 e 4.94, estão representados dois tipos de
limitadores, para fixar com precisão os níveis da saída dos biestáveis.
vO _ ampop
Figura 4.93 –Biestável com limitador simples.
Octávio Páscoa Dias
vO _ ampop
Figura 4.94 –Biestável com limitador em ponte.
cap.4 - 207
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.26
O ampop no circuito biestável da figura 4.95 tem as tensões de saturação de ±13 V. Projecte o circuito para
obter as tensões de limiar de ±5 V. Assuma R1=10 kΩ e determine o valor de R2.
Solução: R2=16 kΩ.
Figura 4.95 – Circuito para o exercício 4.26.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 208
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.27
Se o ampop do circuito representado na figura 4.96 tiver os niveis de saturação de ±10 V, projecte o circuito
para obter as tensões de limiar de ±5 V. Assuma R1=10 kΩ e determine o valor de R2.
Solução: R2=20 kΩ.
Figura 4.96 – Circuito para o exercício 4.27.
Exercício 4.28
Considere um circuito biestável com a característica de transferência não-inversora, e assuma L+=-L-=10 V
e VTH=-VTL=5 V. Se vI for uma onda triangular como valor médio de 0 V, e o período de 1 ms, esboce a
forma de onda de vO e calcule o intervalo de tempo entre o cruzamento por zero de vI e vO.
Solução: vO é uma onda quadrada com o valor médio de 0 V, amplitude de 10 V, período de 1 ms e está 125
µs atrasada em relação a vI.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 209
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.29
Considere um ampop com os níveis de saturação de ±12 V usado sem realimentação, com o terminal da
entrada inversora ligado a +3 V e o terminal da entrada não-inversora ligado a vI.
a) caracterize a sua operação como comparador;
b) determine os valores de L+, L- e da tensão de simetria VR.
Solução: b) L+=12 V; L-=-12 V; VR=+3 V.
Exercício 4.30
No circuito da figura 4.97, assuma L+=-L-=10 V e R1=1 kΩ. Determine R2 para que o circuito produza uma
histerese com 100 mV de largura.
Solução: 200 kΩ
Figura 4.97 – Circuito para o exercício 4.30.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 210
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.31
Para o circuito da figura 4.98, denote as tensões de zener, por VZ1 e VZ2 e assuma que na polarização directa
a queda de tensão aos terminais dos díodos é aproximadamente 0,7 V. Esboce a a característica de
transferência do circuito e indique sobre ela os valores que considere relevantes.
Solução: vI<Vref⇒vO=+(VZ2+0,7) V; vI>Vref⇒vO=-(VZ1+0,7) V.
Figura 4.98 – Circuito para o exercício 4.31.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 211
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.32
Para o circuito da figura 4.99, denote as tensões de zener por VZ1 e VZ2, e assuma que na polarização directa
a queda de tensão aos terminais dos díodos é aproximadamente 0,7 V. Esboce a a característica de
transferência do circuito e indique sobre ela os valores que considere relevantes.
Solução: vI<0⇒vO=+(VZ2+0,7) V; vI>0⇒vO=-(VZ1+0,7) V.
Figura 4.99 – Circuito para o exercício 4.32.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 212
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.33
Considere o circuito biestável representado na figura 4.100.
a) determine as expressões para as tensões de limiar, VTH e VTL, em função dos níveis de saturação do ampop,
L+ e L-, e de R1, R2; R3 e V. Assuma VTL>0.
b) para L+=-L-=13 V, V=15 V e R1=10 kΩ. Determine os valores de R2 e de R3 de forma a impor VTH=+5,1 V
e VTL=+4,9 V.
Soluções: a) VTH=(V/R3+L+/R2)×(R1//R2//R3); VTL=(V/R3+L-/R2)×(R1//R2//R3); b) R2=865,3 kΩ; R3=14,5 kΩ
R3
+V
Figura 4.100 – Circuito para o exercício 4.33.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 213
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.34
Considere o circuito biestável representado na figura 4.101.
a) determine as expressões para as tensões de limiar, VTH e VTL, em função dos níveis de saturação do ampop,
L+ e L-, e de R1, R2; e V.
b) Assuma que L+=-L-=V1 e R1=10 kΩ. Determine R2 e V (em função de V1) para impor as tensões de
limiar de VTL=0 V e VTH=V1/10
Soluções: a) VTH=V(1+R1/R2)-L-×R1/R2; VTL=(1+R1/R2)-L+×R1/R2; b) R2=200 kΩ; V=4,76% ×V1.
+V
Figura 4.101 – Circuito para o exercício 4.34.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 214
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.35
O ampop do circuito representado na figura 4.102, satura nos valores de ±12 V, e os díodos apresentam
aos terminais uma queda de tensão constante de 0,7 V, quando polarizados directamente.
a) identifique o circuito;
b) Esboce a característica de transferência vO=f(vI ), e indique todos os valores que considere relevantes;
c) Determine a corrente máxima em cada díodo.
Soluções: b) VTH=-VTL=0,1 V; L+=-L-=0,7 V; c) iD=1,12 mA.
Figura 4.102 – Circuito para o exercício 4.35.
Exercício 4.36
Considere o circuito da figura 4.102, e assuma que R1 foi retirada do circuito e que R2 foi colocada em
curto-circuito. Esboce a característica de transferência, vO=f(vI ), do circuito após estas alterações,
indicando todos os valores relevantes para a caracterização do comportamento do circuito. O ampop
satura a ±12 V e os díodos têm aos terminais 0,7 V para a polarização directa.
Soluções: VTH=-VTL=0,7 V; L+=-L-=0,7 V.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 215
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.37
Considere um circuito biestável com característica de transferência não-inversora, e assuma L+=-L-=12 V e
VTH=-VTL=1 V.
a) caracterize a tensão de saída do circuito, para uma tensão de entrada sinusoidal, de valor médio nulo,
com 0,5 V de amplitude;
b) descreva a tensão de saída, para uma tensão sinusoidal de frequência, f, amplitude de 1,1 V, e valor médio
nulo;
c) determine o valor máximo que o do módulo do valor médio pode tomar, para que a saída ainda varie
entre ±12 V.
Soluções: a) não existe comutação entre os dois estados, assim, a tensão de saída será uma tensão dc com o
valor de +12 V ou de -12 V; b) a saída é uma onda quadrada simétrica de ±12 V, com a frequência f. Os
pontos de comutação entre os dois estados ocorrem para θ=+65,38º e θ=+245,38º; c) |valor médio|<0,1 V.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 216
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.38
Projecte o circuito biestável ilustrado na figura 4.103, para que tenha ±7,5 V para os níveis da saída e
±7,5 V para as tensões de limiar. O projecto deve ser desenvolvido de forma a que, para vI=0 V, circule
uma corrente de 0,1 mA na resistência R2 e uma corrente de 1 mA nos díodos de zener. Assuma que os
níveis de saturação do ampop são de ±12 V e que em condução directa as tensões nos díodos são de 0,7 V.
Especifique as tensões dos díodos de zener e determine os valores de todas as resistências.
Solução: VZ1=VZ2=6,8 V; R1=R2=37,5 kΩ; R=4,1 kΩ.
Figura 4.103 – Circuito para o exercício 4.38.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 217
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOMultivibrador
MultivibradorAstável
Astável
Neste texto, o multivibrador astável é utilizado para implementar um
circuito gerador de ondas quadradas, cujo diagrama de princípio de
funcionamento está representado na figura 4.104, e um circuito que gera
em simultâneo, em saídas distintas, uma onda quadrada e uma onda
triangular. O diagrama de princípio de operação deste último circuito está
representado na figura 4.108.
O astável gerador de ondas quadradas é implementado por intermédio da
associação de um circuito biestável inversor com uma malha RC de 1º
ordem (figura 4.104), e o astável gerador de ondas quadradas e de ondas
triangulares é realizado através da associação adequada de um circuito
biestável de característica não-inversora com um integrador de Miller
(figura 4.108).
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 218
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas
A figura 4.104, ilustra o diagrama de principio de operação de um circuito
gerador de ondas quadradas, cuja realização se baseia na associação de
biestável inversor, com uma RC de 1ª ordem (figura 4.104)
Figura 4.104 – Diagrama de princípio de operação de multivibrador astável, gerador de ondas quqdradas.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 219
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas(cont.)
(cont.)
Para entender o princípio de funcionamento do gerador de ondas
quadradas, considere-se o diagrama representado na figura 4.104, e
assuma-se que o biestável está num dos dois estados possíveis, por
exemplo L+. Nesta situação, o condensador tenderá a carregar através de
R, até atingir o valor de L+. Dado que vC=vI, logo que vC=βL+ o bistável
comuta de estado, para L-. Assim, o condensador inicia a descarga, passa
por zero e tende a atingir o valor de L-. Quando vC=vI=βL-, o circuito
biestável volta a transitar de estado, desta vez de L- para L+. Este
comportamento repete-se no tempo, dando origem a uma onda quadrada
em vO. A operação do circuito total, ou seja, o biestável associado à malha
RC, justifica a designação do circuito por multivibrador astável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 220
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoGerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas
Na figura 4.105 representa-se o circuito real do multivibrador astável,
gerador de ondas quadradas.
A análise qualitativa do funcionamento do circuito, em tudo semelhante à
descrição do princípio de operação, pode ser feita de acordo com a
seguinte abordagem,
Figura 4.105 – Circuito do multivibrador astável, gerador de ondas quadradas.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 221
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoGerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas(cont.)
(cont.)
estado actual: vO=L+
condições iniciais: vC=0
Dado que a tensão do condensador está aplicada à entrada v- do ampop, a
tensão nesta entrada cresce exponencialmente, de acordo com a constante
de tempo τ=RC, tendendo a atingir o valor de L+.
Tendo em conta que na a tensão presente na entrada não-inversora tem o
valor v+=βL+, logo que a evolução da carga do condensador coloca em vo valor de βL+, o biestável transita para o estado L-. Tem-se assim,
vO=L-, v+=βL- e vC=βL+.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 222
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoGerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas(cont.)
(cont.)
novo estado: vO=Lcondições iniciais: vC=βL+
Agora o condensador inicia o processo de descarga, passa por zero, e
segundo a constante de tempo τ=RC, tende a atingir o valor de L-.
Uma vez que na entrada não-inversora está a tensão βL-, assim que a
tensão no condensador coloca v- àquele valor, isto é, quando vC=βL-, o
circuito biestável comuta de novo, voltando ao estado L+. Então,
vO=L+, v+=βL+ e vC=βL- .
Este comportamento repete-se no tempo, como se ilustra nos gráficos da
figura 4.106.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 223
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOCircuito
CircuitoGerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
Quadradas(cont.)
(cont.)
Figura 4.106 – Evolução temporal das tensões no multivibrador astável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 224
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada
A dedução da expressão do período, T, da onda quadrada, gerada pelo
multivibrador astável, é conduzida de acordo com a evolução temporal das
tensões ilustradas nos gráficos da figura 4.107, onde se indica o início e
fim dos intervalos de tempo de interesse para determinação da expressão
do período, T ,da onda quadrada.
Dedução da expressão para o intervalo de tempo T1.
Considere-se para origem do tempo, t=0, o início de T1. Repare-se que a
tensão em v-, corresponde à tensão aos terminais do condensador, vC(t), a
qual é dada pela expressão (consultar Octávio Páscoa Dias, “Resposta Completa dos
Circuitos de 1ª Ordem RC e RL, ” capítulo 1, texto de apoio à cadeira de Electrónica II, do curso de
Engenharia de Electrónica e Computadores (EEC), 2004),
vC (t ) = vC (∞) − (vC (∞) − vC (0) )e
Octávio Páscoa Dias
−
t
τ
cap.4 - 225
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
onde, vC(∞) é o valor da tensão no condensador em t=∞, vC(0) é a tensão
do condensador em t=0, e τ=RC é a constante de tempo do circuito.
Por intermédio da análise dos gráficos da figura 4.107, conclui-se,
que no início do intervalo de tempo T1 (t=0 ), se tem,
estado actual: vO=L-; v+=βLe que no final do intervalo de tempo T1 (t=T1), o circuito transita para,
estado futuro: vO=L+; v+=βL+
Deste modo: vC(∞)=L+, uma vez que, seria este o valor da tensão no
condensador, se o astável não comutasse de estado, antes daquele valor ser
alcançado; e em t=0, tem-se, vC(0)=βL-.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 226
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Deste modo, a expressão da carga do condensador pode ser concretizada
t
com os valores,
−
(
)
vC (t ) = L+ − L+ − β L− e
τ
Repare-se que esta expressão é compatível com o valor inicial da carga
no condensador, indicada no gráfico (figura 4.107). De facto, para t=0,
(
)
vC (0) = L+ − L+ − β L− e
−
0
τ
⇔ vC (0) = L+ − L+ + β L− ⇒ vC (0) = β L−
E em t=T1, conclui-se, do gráfico da figura 4.107, que vC=v-=βL+. Assim,
(
)
vC (T1 ) = L+ − L+ − β L− e
Octávio Páscoa Dias
−
T1
τ
(
)
⇒ β L+ = L+ − L+ − β L− e
−
T1
τ
cap.4 - 227
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Logo,
βL+ = L+ − (L+ − βL− )e
−
T1
τ
(
)
⇔ β L+ − L+ = − L+ − β L− e
−
T1
τ
(
)
⇔ L+ − β L+ = L+ − β L− e
+
+
+
−
+
−
1
1
− 1
−
−
−
L+ − β L+
L
L
L
L
L
L
β
β
β
1
=e τ ⇔ +
= T1 ⇔ +
= e τ ⇔ ln +
= ln e τ
+
−
−
+
+
L − βL
L − βL
L − βL
L − βL
eτ
T1
L+ − β L−
L+ − β L−
⇔ T1 = τ ln +
= ln +
+
τ
L − βL
L (1 − β )
T
T
T
Colocando L+ em evidência no numerador,
−
⎛ β L− ⎞
L
β
L ⎜⎜1 − + ⎟⎟
1− +
L ⎠
⎝
L
T1 = τ ln +
⇔ T1 = τ ln
L (1 − β )
1− β
+
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 228
−
T1
τ
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Dedução da expressão para o intervalo de tempo T2.
Considere-se para origem do tempo, t=0, o início de T2. Como referido,
tem-se, v-=vC(t). Da figura 4.107, retira-se que,
no início do intervalo de tempo T2 (t=0 ), se tem,
estado actual: vO=L+; v+=βL+
e que no final do intervalo de tempo T2, (t=T2), o circuito comuta para,
estado futuro: vO=L-; v+=βLAssim: vC(∞)=L-, dado que a tensão no condensador tomaria este valor, se
o astável não comutasse de estado, antes daquele valor ser alcançado; e
em t=0, tem-se, vC(0)=βL+.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 229
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Então, a expressão da evolução da tensão aos terminais do condensador, é
dada por,
t
(
)
vC (t ) = L − L − β L e
−
−
+
−
τ
De facto, esta expressão é compatível com o valor inicial da tensão no
condensador, indicada na figura 4.107. Isto é, para t=0,
(
)
vC (0) = L− − L− − β L+ e
−
0
τ
⇔ vC (0) = L− − L− + β L+ ⇒ vC (0) = β L+
E como em t=T2, vC=v-=βL- (figura 4.107). Então,
(
)
vC (T2 ) = L− − L− − β L+ e
Octávio Páscoa Dias
−
T2
τ
(
)
⇒ β L− = L− − L− − β L+ e
−
T2
τ
cap.4 - 230
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Assim,
βL− = L− − (L− − βL+ )e
−
T2
τ
(
)
⇔ β L− − L− = − L− − β L+ e
−
(
T2
)
⇔ L− − β L− = L− − β L+ e
τ
−
−
−
+
−
+
2
2
− 2
−
−
−
L− − β L−
L
L
L
L
L
L
β
β
β
1
=e τ ⇔ −
= T2 ⇔ −
= e τ ⇔ ln −
= ln e τ
−
+
+
−
−
L − βL
L − βL
L − βL
L − βL
eτ
T2
L− − β L+
L− − β L+
= ln −
⇔ T2 = τ ln −
−
τ
L − βL
L (1 − β )
T
T
T
Colocando L- em evidência no numerador,
+
⎛ β L+ ⎞
L
β
L ⎜⎜1 − − ⎟⎟
1− −
L ⎠
⎝
L
T2 = τ ln −
⇔ T2 = τ ln
−
L (1 − β L )
1− β
−
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 231
−
T2
τ
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
O período T resulta da soma dos intervalos de tempo T1 e T2,
T=T1+T2
então,
βL−
⎛
βL−
βL+
⎜ 1− +
1− +
1− −
1− −
L + τ ln
L ⇔ T = τ ⎜ ln
L + τ ln
L
T = τ ln
⎜
1− β
1− β
1− β
1− β
⎜
⎝
βL−
βL+
⎛ β L−
βL+
⎜1− + 1− −
1− +
1− −
L + τ ln
L ⇔ T = τ ln⎜
L ×
L
T = τ ln
⎜ 1− β
1− β
1− β
1− β
⎜
⎝
Octávio Páscoa Dias
βL+
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
cap.4 - 232
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
⎛ ⎛ β L− ⎞ ⎛ β L+ ⎞ ⎞
− +
⎛
L+
L−
2 L L ⎞
⎜ ⎜⎜1 − + ⎟⎟ × ⎜⎜1 − − ⎟⎟ ⎟
⎜1− β − − β + + β + − ⎟
L ⎠ ⎝
L ⎠⎟
⎜⎝
L
L
LL ⎟
T = τ ln⎜
⇔ T = τ ln⎜
2
2
⎟
⎟
⎜
(1 − β )
(1 − β )
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎠
⎝
⎞
⎛
L+
L−
⎜1− β − − β + + β 2 ⎟
L
L
⎟
T = τ ln⎜
2
⎟
⎜
(1 − β )
⎟
⎜
⎠
⎝
Tendo em conta que L+=-L-, pode escrever-se,
⎛
L−
− L−
2 ⎞
⎟
⎜1− β − − β
β
+
2
2
−
⎛
⎞
⎛
⎞
1
β
β
β
1
2
β
β
+
+
+
+
+
L
−L
⎟ ⇔ T = τ ln⎜
⎟
⎜
⎟⎟
τ
ln
⇔
=
T = τ ln⎜
T
2
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
(1 − β )
(1 − β ) ⎠
(1 − β ) ⎠
⎝
⎝
⎟
⎜
⎠
⎝
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 233
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Assim,
⎛ (1 + β ) 2 ⎞
⎛1+ β
⎟
⎜⎜
T = τ ln⎜⎜
T
τ
ln
⇔
=
2 ⎟
⎝1− β
⎝ (1 − β ) ⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2
Recordando que, ln(x)2=2ln(x), obtém-se,
T = τ 2 ln
1+ β
1+ β
⇒ T = 2τ ln
1− β
1− β
com,
τ = RC e β =
R1
R1 + R2
em que, τ impõe o período, T, e β ajusta as tensões de limiar VTH e VTL.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 234
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodo
doPeríodo
Períododa
daOnda
OndaQuadrada
Quadrada(cont.)
(cont.)
Figura 4.107 –Intervalos de tempo de interesse, para o cálculo de T para o multivibrador astável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 235
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares
A figura 4.108, mostra o diagrama de princípio de operação de um
circuito capaz de gerar, em simultâneo, ondas quadradas e ondas
triangulares. A implementação deste circuito baseia-se na associação de
um biestável não-inversor, com um integrador de Miller (figura 4.108!!!).
Figura 4.108 – Diagrama de princípio de operação do multivibrador astável, gerador de ondas quadradas e de triangulares.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 236
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares(cont.)
(cont.)
A abordagem ao princípio de operação do gefador de ondas quadradas e
triangulares pode ser feita assumindo que o biestável está no estado L+.
Deste modo, uma corrente de valor L+/R irá percorrer a resistência R e o
condensador C, fazendo com que a saída do integrador diminua
linearmente com o declive –L+/RC, como se ilustra na figura 4.109.
vO1
Figura 4.109 – Onda triangular na saída do integrador.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 237
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares(cont.)
(cont.)
De facto, tendo em conta que durante o intervalo de tempo T1 a saída do
integrador se encontra no estado L+, e fazendo t=0 para o início do
intervalo de tempo T1, e por consequência t=T1 para o fim deste intervalo,
tem-se então,
T1
1
vI = − ∫ iC dt
C 0
Como a corrente iC no condensador é dada por,
L+
iC =
R
Então,
t =T1
1 1 L+
L+ 1
L+
vI = − ∫ dt ⇔ vI = −
dt ⇒ vI = −
t
C0 R
RC ∫0
RC t =0
T
Octávio Páscoa Dias
T
cap.4 - 238
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares(cont.)
(cont.)
O que explica a forma da onda na saída do integrador, no intervalo T1. De
facto, a rampa de tensão na saída do integrador evolui linearmente com o
tempo, segundo o declive –L+/RC até atingir o valor a tensão de limiar
inferior, VTL, do biestável, em t=T1. Logo que o nível VTL é igualado pela
tensão de saída do integrador, o biestável comuta para o estado L-, fazendo
com que a corrente através do condensador inverta o sentido, passando a
ser dada por,
−
iC =
L
R
Durante o intervalo de tempo T2 a saída do integrador encontra-se no
estado L-. Fazendo t=0 coincidir com o início do intervalo de tempo T2, o
que leva a que t=T2 coincida com o fim desse intervalo, tem-se,
vI = −
Octávio Páscoa Dias
1
C
T2
−
− T2
−
t =T2
L
L
L
dt
⇔
v
=
−
dt
⇒
v
=
−
t
I
I
∫0 R
RC ∫0
RC t =0
cap.4 - 239
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares(cont.)
(cont.)
Deste modo, a tensão na saída do integrador começa a aumentar
linearmente com o tempo, de acordo com o declive –L-/RC, até que o seu
valor alcance o valor de VTH. Nesse instante, t=T2, o circuito biestável
comuta, a sua saída torna-se positiva com o valor de L+, a corrente no
integrador inverte de novo o sentido, e a tensão na saída do integrador
começa a diminuir linearmente com o tempo, iniciando-se um novo ciclo.
Fica assim, explicada a forma de onda triangular na saída do integrador. É
de realçar que no intervalo de tempo T1 o declive é negativo, com o valor,
-L+/RC, e no intervalo de tempo T2 o declive é positivo, uma vez que a
tensão L- é negativa, o que faz com que –L-/RC seja positivo.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 240
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares(cont.)
(cont.)
Repare-se que os intervalos de tempo T1 e T2 correspondem ao tempo
necessário para que a tensão vI atinja os valores de VTL e VTH,
respectivamente do biestável. Os valores de VTH e VTL são impostos pelo β
e pelos níveis de saturação do aompop, no circuito biestável. Na descrição
da forma de onda na saída do integrador, está implícita a justificação da
forma de onda, já estudada, na saída do biestável, a qual consiste numa
onda quadrada que comuta entre os valores L+ e L-, com o período
T=T1+T2 (figura 4.110) v
O2
Figura 4.110 – Onda quadrada na saída do biestável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 241
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodos
dosIntervalos
Intervalosde
deTempo
TempoTT11eeTT22
Na figura 4.111, representa-se a onda triangular presente na saída do
integrador, sobreposta à tensão na entrada v+ do ampop do biestável
(figura 4.112), a qual consiste numa onda quadrada que comuta entre os
valores VTH e VTL.
VTH
L+
declive = −
(negativo)
RC
(0, VTH )
L−
( positivo )
declive = −
RC
VTH − VTL
t
VTL
(T1 , VTL )
T1
T2
Figura 4.111 – Tensões na saída do integrador e na entrada v+ do ampop do biestável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 242
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
(cont.)
Cálculodos
dosIntervalos
Intervalosde
deTempo
TempoTT11eeTT22(cont.)
Da figura 4.111, constata-se que durante o intervalo de tempo T1 o declive
da onda triangular é dado por,
Assim,
L+
V V
m=−
ou m = − TH − TL
RC
T1
L+
VTH −VTL
L+ VTH −VTL
−
=−
⇔
=
⇒ T1 L+ = RC (VTH −VTL )
RC
T1
RC
T1
Logo,
T1 = RC
Octávio Páscoa Dias
VTH −VTL
L+
cap.4 - 243
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Cálculo
Cálculodos
dosIntervalos
Intervalosde
deTempo
TempoTT11eeTT22(cont.)
(cont.)
Para o intervalo de tempo T2, tem-se,
L−
VTH −VTL
m=−
ou m =
RC
T2
Assim,
Logo,
L− VTH −VTL
−
=
⇒ T2 L− = − RC (VTH −VTL )
RC
T2
VTH −VTL
T2 = − RC
L−
Pode assim, concluir-se que para obter ondas quadradas, T1=T2, deve
verificar-se a condição,
L+=-LOctávio Páscoa Dias
cap.4 - 244
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Circuito
Circuitodo
do Gerador
Geradorde
deOndas
OndasQuadradas
QuadradaseeTringulares
Tringulares
A figura 4.112 ilustra o circuito de um multivibrador astável que realiza
um gerador de ondas quadradas e ondas triangulares.
vO1
C
R
t
R2
vI
R1
vO 2
t
Figura 4.112 – Circuito do gerador de ondas quadradas e ondas triangulares.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 245
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.39
Para o circuito da figura 4.113, assuma que a tensão de saturação do ampop é de ±10 V, R1=100 kΩ,
R2=R=1 MΩ e C=0.01 µF. Calcule a frequência de oscilação.
Solução: f0=274,3 Hz.
Figura 4.113 – Circuito para o exercício 4.39.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 246
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.40
Considere o circuito da figura 4.114.
a) para L+=L-=12 V, R2=R=10 kΩ, C=0,1 µF, e designando por VD a tensão constante em condução
directa dos díodos, determine a expressão da frequência de oscilação do circuito como função de VD;
b) sabendo que o circuito pode ser utilizado para codificar medidas de temperatura como função da
frequência de vO, assuma que os díodos têm VD=0,7 V a 25º C, e um coeficiente de temperatura,
TC=-2mV/ºC, determine a frequência de vO a 0º C, 25º C e 100º C.
Solução: a) f=500/ln((12+VD)/(12-VD)); b) f(0)=3,995 kHz; f(25)=4,281 kHz; f(100)=5,451 kHz.
R2
+
vo
−
R
D1
D2
C
Figura 4.114 – Circuito para o exercício 4.40.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 247
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.41
Para o circuito da figura 4.115,
a) identifique o circuito;
b) assuma que, os ampops saturam nas tensões ±10 V, C=0,01 µF, R1=10 kΩ e, determine os valores de R
e R2 para que a tensão em vO1 tenha a frequência de 1 kHz e a amplitude de 10 Vpp.
Solução: R2=20 kΩ; R=50 kΩ.
vO1
C
R
t
R2
vI
R1
vO 2
t
Figura 4.115 – Circuito para o exercício 4.41.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 248
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.42
Determine a frequência de oscilação do circuito da figura 4.116, sabendo que R1=10 kΩ, R2=16 kΩ , e
R=16 kΩ .
Solução: f0=994,5 kHz.
Figura 4.116– Circuito para o exercício 4.42.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 249
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.43
Considere o circuito da figura 4.117. Sabendo que (1) se pretende obter na saída uma onda quadrada com
5 V de amplitude, (2) C=10 nF, (3) β=0,462, (4) o divisor de tensão, constituído por R1 e R2, deve ser
percorrido por uma corrente igual à corrente média que atravessa a malha RC durante meio-ciclo, (5) o
ampop satura com ±13 V, (6) o zener deve ser percorrido por uma corrente de 1 mA e que (7) a queda de
tensão directa nos díodos é de 0,7 V, determine,
a) O valor de R; b) os valores de R1 e de R2; c) a tensão do díodo de zener; d) o valor de R3.
Soluções: a) R=50 kΩ; b) R1=23,1 kΩ; R2=26,9 kΩ; c) VZ=3,6 V; d) R3=6,67 kΩ.
R2
R1
+
R3
vo
−
D1
R
D3
DZ
C
D4
D2
Figura 4.117– Circuito para o exercício 4.43.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 250
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.44
Associe um integrador de Miller a um circuito biestável, e projecte um gerador de sinais que forneça
ondas quadradas e ondas triangulares de 10 VPP. Tenha em conta que (1) a frequência é de 1 kHz, (2) o
condensador C do integrador tem o valor de 0,01 µF, (3) a corrente no zener deve ser no mínimo de 1 mA,
(4) a corrente no divisor resistivo deve ser no máximo de 0,2 mA, (5) o ampop satura com ±13 V e que (6)
a tensão directa nos díodos é de 0,7 V. Use o circuito da figura 4.118 para implementar o biestável e
especifique a tensão do zener e os valores de todas as resistências que utilizar.
Soluções: R1=R2=12,5 kΩ; R3=6,67 kΩ; R=25 kΩ.
vO _ ampop
Figura 4.118– Circuito para implementação do biestável do exercício 4.44.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 251
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.45
Use o circuito da figura 4.119, que mostra um multivibrador biestável inversor, com limitador na saída,
e um integrador não-inversor, para obter uma onda quadrada na saída do biestável com 15 Vpp e a
frequência de 10 kHz, sabendo que (1) todas as resistências devem ser iguais excepto R7, (2) o
condensador C tem o valor de 0,5 nF, (3) a corrente no zener deve ser no mínimo de 1 mA, (4) o ampop
satura com ±13 V e que (5) a tensão directa nos díodos é de 0,7 V.
a) especifique a tensão dos díodos de zener; b) dimensione todas as resistências; c) esboce e caracterize
a forma de onda na saída do integrador.
Soluções: a) VZ= 6,8 V; b) R1=R2=R3=R4=R5=R6=91 kΩ; R7= 6,46 kΩ; c) onda triangular com o
período de 100 µs e a amplitude de ±7,5 V.
Figura 4.119– Gerador de ondas quadradas para o exercício 4.45.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 252
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
OOMultivibrador
MultivibradorMonostável
Monostável
Em algumas aplicações são necessários impulsos com amplitude e largura
bem definidos, que são gerados como resposta a um sinal de disparo. Uma
vez que a largura destes impulsos é regular, um dos seus flancos (o
ascendente ou o descendente) pode ser usado para fins de temporização,
ou seja, para iniciar uma tarefa específica num instante específico do
tempo. Este tipo de impulsos de formatação bem conhecida, podem ser
gerados por um multivibrador monostável. O multivibrador monostável
tem um estado estável, no qual pode permanecer indefinidamente, e um
estado “quase-estável, para o qual transita mediante um sinal de disparo,
e permanece nele durante um intervalo de tempo predeterminado e igual à
largura desejada para o impulso de saída. Uma vez expirado esse intervalo
de tempo, o multivibrador monoestável regressa ao estado estável, até que
novo sinal de disparo, o faça repetir a operação de gerar um outro
impulso.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 253
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Circuito
Circuitodo
do Multivibrador
MultivibradorMonoestável
Monoestável
A figura 4.120 mostra uma implementação de um multivibrador
monoestável. Observe-se que este circuito é obtido a partir do circuito
astável da figura 4.105. Especificamente foi adicionado um díodo em
paralelo com o condensador e um circuito de disparo formado pelo
condensador C2 pelo díodo D2 e pela resistência R4.
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradordo
doMultivibrador
MultivibradorMonoestável
Monoestável
No estado estável, que prevalece na ausência do impulso de disparo, a
saída do ampop tem o valor L+ e o díodo D1 está em condução através de
R3, o que faz com que o nó B se encontre a um potencial igual à queda de
tensão aos terminais do díodo em condução, isto é, vB=VD1≈0,7 V.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 254
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradordo
doMultivibrador
MultivibradorMonoestável
Monoestável(cont.)
(cont.)
Como a resistência R4 é muito maior do que R1, então o D2 conduz uma
corrente muito reduzida, e a tensão no nó C é dada, com boa aproximação
por, vC=βL+, com β=R1/(R1+R2). Deste modo, o estado estável é mantido
porque βL+>VD1. Considere-se, que num dado instante é aplicada à
entrada do circuito de disparo o sinal em degrau, indicado na figura 4.120.
O sinal é aplicado ao díodo D2 através do condensador C2, fazendo com
que, no seu flanco descendente (de VH para 0), o díodo D2 conduza uma
corrente intensa, o que provoca o decréscimo da tensão no nó E. Reparese que a tensão vE (figura 4.121) se torna negativa sendo aplicada ao nó C
através de D2. Assim, se a amplitude do sinal de disparo for
suficientemente elevada, para fazer com que a tensão em C se torne
inferior a vB, a tensão diferencial na entrada do ampop torna-se negativa, e
o circuito biestável comuta para L-.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 255
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Operação
Operaçãodo
do Gerador
Geradordo
doMultivibrador
MultivibradorMonoestável
Monoestável(cont.)
(cont.)
Com a saída do ampop (nó A) no valor L-, tem-se o nó C com o valor βL-,
o que mantém o ampop no novo estado. Observe-se que, com a tensão βLaplicada em C, o díodo D2 é levado ao corte, o que isola o circuito de
disparo, tornando o monoestável insensível ao efeito de um novo disparo.
A tensão negativa em A provoca o corte de D1 e faz C1 iniciar a descarga,
passar por zero, e tender para a tensão L-, com a constante de tempo
τ=R3C1. O monostável mantém-se no seu estado “quase-estável” até que
a tensão em B seja inferior à tensão em C que tem o valor βL-. No instante
em que vB iguala vC o ampop transita para o estado estável L+, e a tensão
no nó C volta a ser βL+. O condensador C1 descarrega a tensão negativa,
passa por zero, e tende a carregar até L+, porém, a carga cessa logo que o
díodo D1 entra em condução, o que acontece quando a tensão em B atinge
o valor de VD≈0,7 V. O circuito volta assim, ao estado estável.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 256
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Circuito
Circuitodo
do Multivibrador
MultivibradorMonoestável
Monoestável
VH
0
Figura 4.120 – Circuito do multivibrador monoestável.
Octávio Páscoa Dias
Figura 4.121 – Tensões no multivibrador monoestável.
cap.4 - 257
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Determinação
Determinaçãoda
daLargura
Largurado
doImpulso
Impulso
Pela figura 4.121, pode observar-se que o impulso de saída do
monoestável é gerado durante o seu estado “quase-estável”. A duração, T,
do impulso é determinado pela forma de onda em vB, ou seja, pela
variação da tensão aos terminais do condensador C1. De facto, tendo em
conta a expressão que descreve a tensão aos terminais do condensador,
vC (t ) = vC (∞) − (vC (∞) − vC (0) )e
−
t
τ
e observando que vC(∞)=L-, vC(0)=VD1, e que a tensão no condensador,
vC, é igual à tensão no nó B, vB, pode concretizar-se a expressão para,
(
)
vB (t ) = L− − L− − VD1 e
Assim, para t=0, tem-se,
(
)
vB (0) = L− − L− − VD1 e
Octávio Páscoa Dias
−
0
τ
−
t
τ
⇔ vB (0) = L− − L− + VD1 ⇒ vB (0) = VD1
cap.4 - 258
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Determinação
Determinaçãoda
daLargura
Largurado
doImpulso
Impulso(cont.)
(cont.)
Repare-se que o valor de vB(0) =VD1, é compatível, com a observação no
gráfico da figura 4.121. Assim, para t=T, em que T é a duração do
impulso pelo monostável, tem-se,
(
)
vB (T ) = L− − L− − VD1 e
−
T
τ
e como, das curvas da figura 4.114, constata-se que em t=T, se tem
vB(T)=βL-. Logo,
βL− = L− − (L− − VD1 )e
βL− − L−
(
−
− L − VD1
Octávio Páscoa Dias
)
=e
−
T
τ
⇔
−
T
τ
βL− − L−
(
−
(
)
⇔ βL− − L− = − L− − VD1 e
− L − VD1
)
=
1
T
eτ
(
−
)
T
τ
− L− − VD1
τ
⇔
=
e
βL− − L−
T
cap.4 - 259
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Determinação
Determinaçãoda
daLargura
Largurado
doImpulso
Impulso(cont.)
(cont.)
Assim,
−
−
VD1 − L−
T
V
−
L
V
−
L
D1
D1
τ
ln
⇔
T
=
τ
ln
=
e
⇔
=
βL− − L−
τ
− L− (1 − β )
− L− (1 − β )
T
Se VD1<<|L-|, a expressão de T pode ser simplificada para,
− L−
1
T ≈ τ ln −
⇒ T ≈ τ ln
− L (1 − β )
1− β
onde, β=R1/(R1+R2) e τ=R3C1. É de realçar que o monoestável não deve
ser disparado até a tensão aos terminais de C1 alcançar o valor de VD1, sob
pena do impulso ser mais estreito do que o normal, isto é, a duração do
impulso será menor do que o especificado para o dimensionamento do
circuito. Este tempo de recarga, do condensador, é designado por período
de recuperação (recovery period).
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 260
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.46
Considere o circuito da figura 4.122,
a) identifique o circuito; b) determine o valor de R de forma a que o circuito produza um impulso com a
largura de 100 µs. Assuma, C=0,1 µF; β=0,1; VD=0,7 V; L+=L-=12 V.
Soluções: b) R=9,58 kΩ (usando a expressão aproximada para o cálculo de T).
R
Figura 4.122 – Circuito para o exercício 4.46.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 261
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.47
A figura 4.123 mostra um circuito multivibrador monosestável. No estado estável tem-se, vo=L+; vA=0 e
vB=-Vref. O circuito pode ser disparado pela aplicação na entrada de um impulso positivo com amplitude
maior que Vref. Para uma operação normal, C1R1<<CR.
a) Esboce as formas de onda de vo e vA; b) mostre que o impulso na saída do circuito tem uma largura ,T,
dada por,
− ⎞
⎛ +
L −L ⎟
T = RC ln⎜
⎜ V
⎟
⎝ ref ⎠
Repare que o circuito tem a particularidade, muito interessante, da largura, T, do impulso da saída pode
ser controlada pela variação de Vref.
Figura 4.123 – Circuito para o exercício 4.46.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 262
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.48
Determine o tempo de recuperação (recovery period) do circuito monoestável representado na figura
4.124. Considere, β=0,1; VD=0,7 V; L+=L-=12 V; R1=10 kΩ; R2=90 kΩ; R3=6,171 kΩ; R4=100 kΩ.
Solução: T=96 µs.
Figura 4.124 – Circuito para o exercício 4.48.
Octávio Páscoa Dias
cap.4 - 263
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
Exercício 4.49
Considere o circuito ilustrado na figura 4.125. Assuma que o ampop é quase ideal, com os níveis de
saturação ±13 V, e projecte um multivibrador monoestável que forneça na saída um impulso negativo
com a duração de 100 µs. Use condensadores de 0,1 nF e de 1 nF. Onde for possível, utilize resistências
de 100 kΩ. Os díodos têm a queda de tensão directa VD=0,7 V.
a) Dimensione os componentes do circuito; b) determine a amplitude mínima do impulso vE, capaz de
garantir o disparo; c) calcule o tempo que o circuito leva a retornar ao estado em que seja possível
aplicar um novo impulso de disparo, sem alterar as características do impulso de saída,.
Soluções: a) C1=1 nF; C2=0,1 nF; R1=R2=100 kΩ; R3=134 kΩ; b) VE= -5,8 V; c) 61,75 µs.
Figura 4.125 – Circuito para o exercício 4.48.
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cap.4 - 264