Guia do Professor

Guia do Professor
Consumo de Energia
Experimentos
Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Bárbara Alvim Souza
Karina Pessoa
Lourdes Maria Werle de Almeida
Luciana Gastaldi S. Souza
Márcia da Costa Trindade Cyrino e
Rodolfo Eduardo Vertuan
Revisão Textual
Elizabeth Sanfelice
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
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EXPERIMENTO DE ENSINO
CONSUMO DE ENERGIA
1 Introdução
O experimento “Consumo de Energia” é constituído por três seções, a primeira introduz o conceito de função e de variáveis independente e dependente, a segunda apresenta um exercício resolvido e a terceira propõe dois exercícios para o estudante.
O objetivo deste experimento é discutir o conceito de função, de variáveis independentes e dependentes, dando ênfase ao aspecto histórico. O tipo de função trabalhado é
o de função de 1º. Grau, com especial atenção ao conceito de coeficiente angular.
Recomenda-se enfaticamente a leitura do capítulo 1, parte 2: “Funções” do livro de
CARAÇA (1998) que trata do surgimento do conceito de função e de variável.
Sobre o conceito de função
O objetivo principal da primeira figura é chamar a atenção para a dependência que o
valor a ser pago pelo consumo de energia elétrica tem do tempo que o ar condicionado
fica ligado. Ilustra a relação entre variável, dependente e independente.
Em qualquer casa, há aparelhos elétricos que consomem energia. Quanto mais tempo
deixamos estes aparelhos ligados, mais pagamos. Ou seja, os valores V e de Q (quantidade
de energia gasta) dependem dos valores de t (tempo gasto) e por essa razão, t é chamada
de variável independente e Q de variável dependente.
Como a quantidade de energia gasta (Q) é calculada pelo produto entre a potência e o
tempo (t), temos que a quantidade de energia depende do tempo gasto e varia conforme
a potência (P) de cada aparelho.
Sobre o Coeficiente Angular
No caso do exemplo dado, a potência do aparelho de ar condicionado é de 1,20 Kwh,
o que, graficamente significa que a cada unidade que tomarmos na direção do eixo do t,
a função desloca-se no sentido crescente do eixo dos y, de 1,20 unidades.
Como foi visto no experimento, a equação da função anterior é
Figura 1 – Representação
gráfica da quantidade de
energia consumida (Q) pelo ar
condicionado em função do
tempo (t)
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A intenção é chamar a atenção para o valor do coeficiente angular: 1,20. É ele que indica se o aparelho gasta maior ou menor quantidade de energia. Quanto maior a declividade da reta, maior é o consumo. Nesse sentido, foi proposto o problema 1: “Explorando
o Coeficiente Angular”, cuja resposta encontra-se a seguir.
Figura 2 – Representação
gráfica da quantidade de
energia consumida (y) de
vários aparelhos em função
do tempo (x)
As equações são:
Televisor:
Freezer:
Lavadoura de roupa ou
Ferro de passar roupa:
Forno de microondas:
Chuveiro:
Pode-se aproveitar a ocasião para mostrar o quanto o chuveiro elétrico consome de
energia e aconselhar banhos menos demorados.
O exercício proposto visa verificar se o aluno se apropriou do conceito de coeficiente
angular.
Generalizando:
As equações apresentadas anteriormente são funções do 1º. grau da forma:
Y=ax
O coeficiente a é chamado inclinação ou coeficiente angular da reta r, e pode ser obtido por meio do cálculo da tangente trigonométrica do ângulo a que a reta r faz com o
eixo Ox. Pode ser obtido também tomando-se dois pontos conhecidos da reta.
a=
y2 − y1
= tgθ
x2 − x1
, onde P1(x1,y1) e P2(x2,y2) são dois pontos distintos quaisquer de r,
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Figura 3 - Representação
gráfica de uma função do 1º
grau
O problema 2 a seguir
t e m
como objetivo introduzir
o conceito de função de primeiro grau completa, com o coeficiente linear não nulo.
Segue o enunciado e a sua resolução.
Problema 2
Para um período de 2000 horas, qual é a mais econômica, a lâmpada incandescente ou a
lâmpada fluorescente?
Dados: O custo com a instalação de uma lâmpada incandescente de 60W é de R$23,00, incluindo mão de obra, lâmpada e bucal.
O custo com a instalação de uma lâmpada tubular fluorescente de 20W é de R$41,00, incluindo mão de obra, lâmpada, reator e calha.
Considere que a tarifa de energia elétrica é de R$0,3974 o KWh e que a luminosidade de
uma lâmpada incandescente de 60W equivale a de uma lâmpada tubular fluorescente de 20W.
Resolução:
Lâmpada incandescente:
Como esta lâmpada consome 60W e o preço do Kwh é de
R$0,3974, o preço de 60w será dado por:
1 Kwh = 1000w
0,023844
60w
0,3974
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Dessa forma, a lei matemática que descreve o valor (V) a ser pago pela utilização da lâmpada em um determinado período de tempo (t), medido em horas, é dada, portanto, por:
Como o custo de instalação é de R$23,00, o custo total Vi para instação da lâmpada
incandescente será dado por:
Lâmpada Fluorescente:
Como esta lâmpada consome 20W e o preço do
Kwh é de R$0,3974, temos que o preço de 20w será
dado por:
1 Kwh = 1000w
0,007948
20w
0,3974
Dessa forma, a lei matemática que descreve o valor (V) a ser pago pela utilização da lâmpada em um determinado período de tempo (t), medido em horas, é dada, portanto, por:
Como o custo de instalação é de R$41,00, o custo total total Vf para instação da lâmpada fluorescente será dado por:
Se fizermos os gráficos dessas duas funções dentro de um domínio adequado (perceba
que t=2000 tem que fazer parte deste domínio), teremos:
90
80
70
lâmpada incandescente
60
lâmpada fluorescente
50
40
Vf
30
20
Vi
10
0
-400
-200
0
200
400
600
800
1000 1200 1400 1600 1800 2000
2200 2400 2600
Figura 4 – Representação
gráfica do valor a ser pago
(V) (considerando instalação
e consumo) por cada uma
das lâmpadas em função do
tempo (t)
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Percebe-se, pelo gráfico, que a partir de certo tempo, a lâmpada fluorescente torna-se
mais econômica que a incandescente. Para encontrar este tempo, basta fazer a interseção
das duas equações de retas:
Logo, para um período de 2000h, a lâmpada fluorescente é a mais econômica.
Generalizando:
Este problema apresenta duas funções do 1º. grau genéricas, ambas da forma:
Y=ax+b
Para encontrar a equação da reta r, pode-se tomar dois pontos conhecidos da reta, por
exemplo, P1(x1,y1) e P2(x2,y2) e um ponto genérico P(x,y) e trabalhar com a igualdade da
tangente do ângulo agudo a para os triângulos P2P1P2’ e PP1P’, como mostrado a seguir.
Figura 5: Representação gráfica de uma função do 1º grau
a = tgα =
cateto oposto
cateto adjacente
P2 P2' PP '
=
P1 P2' P1 P '
y2 − y1 y − y1
=
x2 − x1 x − x1
y − y1 =
y2 − y1
.( x − x1 )
x2 − x1
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Assim, toda vez que tivermos que construir o gráfico de uma função y=ax+b, saberemos que é uma reta, bastando, portanto, determinar apenas dois de seus pontos.
Quando o valor de a>0 a função é crescente, ou seja, os valores de x e y crescem na
mesma proporção.
Quando o valor de a<0 a função é decrescente, ou seja, quando o valor de x cresce o
valos de y decresce na mesma proporção.
O ponto onde o gráfico corta o eixo x, correspondente ao valor de x tal que f(x)=0 é
chamado de zero ou raiz da função de 1° grau.
O ponto onde o gráfico corta o eixo y, corresponde ao valor de y no qual x=0, ou seja,
y=b e é chamado de coeficiente linear.
2 Objetivos
- Conceituar função e função do 1º grau.
- Identificar e determinar os coeficientes de uma função do 1º grau.
- Analisar a representação gráfica de uma função do 1º grau.
- Encontrar o ponto de interseção de duas retas.
3 Tempo previsto para a atividade
O tempo previsto para a atividade é de aproximadamente 4 horas. No entanto esse
tempo pode variar de acordo com o potencial de intervenção do professor previamente
à execução da atividade, ou durante sua realização.
Atividade 1
Represente graficamente as funções y=-3x e y=3x+3, e encontre o ponto de interseção
entre elas.
a) Qual o valor do coeficiente angular de ambas as funções?
b) E o do coeficiente linear?
Comentários:
O professor pode chamar a atenção dos alunos para o fato de que o coeficiente angular
de uma é o oposto do coeficiente angular da outra. Uma é crescente e a outra decrescente.
Uma delas passa pela origem porque o coeficiente linear é zero e a outra intercepta o
eixo dos y no ponto 3.
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6 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos como os sugeridos anteriormente. O professor pode aproveitar
as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
7 Sugestões de sítios
Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:
http://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/e_sebast/conc_fun.pdf
http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Conceito-funcao.pdf
8 Indicações de leituras
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 2ª ed. Lisboa/Portugal: Gradiva, 1998.
MOURA, M. O. de; MORETTI, V. D. Investigando a aprendizagem do conceito de função a
partir dos conhecimentos právios e das interações sociais. Ciência & Educação, v. 9, n. 1, p. 67-82,
2003.
PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do Ensino Fundamental
e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008
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Condigital
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