Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Sistema de numeração decimal (base 10): baseado na utilização de 10 algarismos diferentes 537=5 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100 Genericamente: N = dn-1bn-1 + dn-2bn-2 + ...... + d0b0 + d-1b-1 + ...... + d-nbn dígito base Parte inteira Parte fraccionária N = NI + NF Exemplo: n 537.54(10) = 5 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100 + 5 x 10-1 + 4 x 10-2 2 1 0 -1 -2 SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) 1 Sistema de numeração octal (base 8): baseado na utilização de 8 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Quando temos de escrever números em diferentes sistemas ou bases de numeração é necessário indicar em que base esse números são escritos, para evitar ambiguidades. Exemplos: 10(8) = 8(10) 136(8) = 1 x 82 + 3 x 81 + 6 x 80 = 64 + 24 + 6 = 94(10) Sistema de numeração hexadecimal (base 16): baseado na utilização de 8 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Exemplos: A(16) = 10(10) C(16) = 11(10) E(16) = 12(10) 8D2(16) = 8 B(16) = 13(10) D(16) = 14(10) F(16) = 15(10) x 162 + 14 x 161 + 2 x 160 = 2258(10) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 2 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 1 Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Sistema de numeração binário (base 2): baseado na utilização de 2 algarismos (0, 1). Exemplos: 10(2) = 2(10) 1011(2) = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 2 + 1 = 11(10) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Decimal (10) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 Octal (8) 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Hexadecimal (16) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 Binário (2) 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 É possível escrever um número, por maior que seja, em qualquer base. SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 4 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 2 Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Conversões entre bases Conversão genérica de uma base b1 para uma base b2: 1. Converte-se o número da base b1 para a base decimal 2. Converte-se o número da base decimal para a base b2 Conversão de um número de uma base para a base decimal: N = NI.NF N = NI + NF NI = dn-1bn-1 + dn-2bn-2 + ...... + d0b0 NI(10) = dn-110n-1 + dn-210n-2 + ...... + d0100 NF = d-1b-1 + d-2b-2 + ..... + d-nbn NF(10) = d-110-1 + d-210-1 + ...... + d-n10n N(10) = NI(10) + NF(10) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) 5 Conversão de um número de uma base decimal para outra base: N(10) = NI + NF Parte inteira: NI / b, sendo o resto d0 NI d0 b X d1 b X d2 b X .... b b 0 NI(b) = ....d2d1d0 SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 6 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 3 Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Parte fraccionária: NI x b, sendo a parte inteira d-1 NF x b = d-1.y y x b = d-2.y y x b = d-3.y .... 0 NF(b) = d-1d-2d-3...... N(b) = ....d2d1d0.d-1d-2d-3...... SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) 7 Exemplos: D1AB.D2(16) = ? (10) NI(10) = 13 x 163 + 1 x 162 + 10 x 161 + 11 x 160 = 55248 + 1792 + 160 + 13 = 2258 NF(10) = 13 x 16-1 + 2 x 16-2 = 0.8125 + 0.0078125 = 0.82 N(10) = 2258 + 0.82 = 2258.82 7304.251(8) = ? (10) NI(10) = 7 x 83 + 3 x 82 + 0 x 81 + 4 x 80 = 3584 + 192 + 4 = 3780 NF(10) = 2 x 8-1 + 5 x 8-2 + 1 x 8-3 = 0.25 + 0.078125 + 0.001953125 = 0.330078215 N(10) = 3780 + 0.330078215= 3780.330078215 11001.101(2) = ? (10) NI(10) = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 1 = 25 NF(10) = 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 0.5 + 0.125 = 0.625 N(10) = 25 + 0.625 = 25.625 SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 8 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 4 Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Exemplos: 100.5(10) = ? (16) 100 16 4 6 16 6 0 16 x 0.5 = 8.0 100.5(10) = 64.8(16) 100.5(10) = ? (8) 100 8 4 12 8 4 1 8 1 0 0.5 x 8 = 4.0 N(10) = 144.4(8) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) 9 100.5(10) = ? (2) 100 0 2 50 2 0 25 2 0.5 x 2 = 1.0 1 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 N(10) = 1100100.1(2) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 10 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 5 Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 4 – Sistemas de Numeração Conversões especiais Binário octal 011 001 011 001. 101 100(2) 3 1 3 1 . 5 4(8) Octal binário 7 3 1 5 . 2 4(8) 111 011 001 101. 010 100(2) Binário hexadecimal 0110 0101 1001. 1011(2) 6 5 9 . D(16) Hexadecimal binário 7 A 1 F . D 2(16) 0111 1010 0001 1111. 1101 0010(2) SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) 11 Sistema de numeração BCD (Binary Coded Decimal) Cada grupo de 4 bits representa um dígito decimal Este sistema de numeração facilita a conversão de números na base decimal para um código binário. 738(10) = 0111 0011 1000 (BCD) 7 3 8 1001 0100 0001 0110 (BCD) = 9416(10) Este código usa um maior número de bits. SD / SD1 - Sistemas de Numeração (4) Filipe Moreira ESTiG, IPB 12 SD / SD1 – 2000/01 Pág. 6