Topicos de Eletromagnetismo I

FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
FIW 591 Tópicos de Eletromagnetismo I
(http://www.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.pdf)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Objetivos:
Introduzir a teoria eletromagnética de Maxwell, explorando o seu aspecto matemático e
particularmente suas aplicações.
Ementa:
Primeira parte (P1):
Análise vetorial (capítulo 1 - 5 aulas)
Eletrostática (capítulo 2 – 5 aulas)
Segunda parte (P2):
Magnetostática (capítulo 5 – 4 aulas)
Eletrodinâmica (capítulo 7 – 4 aulas)
Terceira parte (P3):
Leis de conservação (capítulo 8 – 2 aulas)
Ondas eletromagnéticas (capítulo 9 – 6 aulas)
Avaliação:
3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (Li),
onde Li é a média entre as 75% maiores notas
daquele período correspondente, uma prova de
segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada
prova será atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni
= 0,7*Pi + 0,3*Li
Cálculo da Média (M):
Presente às provas parciais:
M = (N1 + N2 + N3)/3
Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M
Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau
igual à M
Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então grau =(M + E)/2;
Ausente em uma das provas
Fará o exame final obrigatoriamente.
riamente. M será
calculado como anteriormente, com E
substituindo a nota da prova não realizada.
Pedidos de revisão:
Os pedidos de revisão deverão ser submetidos na
forma escrita com informação detalhada sobre o
porquê o aluno acredita que deveria
de
ter recebido
mais pontos. (dizer somente “por favor revise a
questão tal” não é suficiente).
Bibliografia:
Livro texto: GRIFFITHS, D.J., Eletrodinâmica,, Pearson Education, Terceira Edição.
Referências adicionais:
•REITZ,
REITZ, J.R, MILFORD, F.J.,
F.J. CHRISTY, R.W., Fundamentos da Teoria
Eletromagnética, Rio de Janeiro: Editora Campus, 1982.
•Kleber
Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo,, vols. 1,2 e 3, Editora
UEPG, 2004.
• Anita Macedo, Eletromagnetismo, Editora Guanabara.
A lista completa está disponível em: http://omnis.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.
Dicas de sites:
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/ (animações superlegais)
“Não se pode ensinar alguma coisa a alguém, pode-se
pode se apenas auxiliar a descobrir por si mesmo”
1
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
O que é ensino interativo? Dr. Louis Abrahamson (tradução e adaptação livre)
A primeira coisa a entender sobre o ensino interativo é que não é algo novo ou misterioso. Se você é um professor e
faz perguntas em sala de aula, atribui e verifica a lição de casa, ou mantém discussões em classe ou em grupo,
então você já ensina de forma interativa. Basicamente, então, o ensino interativo trata-se apenas de dar aos alunos
algo para fazer, recebendo de volta o que eles têm feito, e depois assimilando, de modo que você possa decidir
sobre o melhor fazer a seguir.
Mas, quase todos os professores já fazem essas coisas, assim o que há de novo? Para responder a esta questão,
devemos pensar sobre o processo ensino aprendizagem. Nos últimos vinte anos, o campo da ciência cognitiva nos
ensinou muito sobre como as pessoas aprendem. Um princípio central que tem sido geralmente aceito é o de que
tudo o que aprendemos, nós "construimos" para nós mesmos. Isto é, qualquer agente externo é essencialmente
impotente para ter um efeito direto sobre o que aprendemos. Se o nosso cérebro não fazê-lo em si, - isto é, levar
em informação, procurar conexões, interpretar e dar sentido a ela, - nenhuma força externa terá qualquer efeito.
Isso não significa que o esforço tem que ser expressamente voluntário e consciente da nossa parte. Nosso cérebro
fornece-nos informações e opera continuamente em vários de níveis, dos quais apenas alguns são conscientemente
dirigidos. Mas, consciente ou não, a coisa importante a entender é que é o nosso cérebro que esta realizando o
processo de aprendizagem, e que este processo está apenas indiretamente relacionado com o professor e do
ensino.
Por exemplo, mesmo uma exposição lúcida e brilhante sobre um assunto por um professor em uma aula, pode
resultar numa aprendizagem limitada se os cérebros dos alunos não realizarem o trabalho necessário para
processá-la. Há várias causas possíveis para a aprendizagem dos alunos ficarem aquém das expectativas em tal
situação. Eles podem, não entender totalmente um conceito crucial sobre um determinado assunto e assim o
assunto seguitne torna-se ininteligível. Pode também estar faltando informação prévia ou não ter uma boa
compreensão do que foi visto antes. Consequentemente as estruturas conceituais sobre as quais se baseia a aula
ficam ausentes. Falta de interesse, de motivação, ou não querer realizar um esforço mental para acompanhar a
aula, de entender os argumentos, etc...
No entanto, qualquer que seja a causa, sem interagir com os alunos (no caso mais simples, fazendo perguntas), um
professor não tem como saber se o seu esforço para explicar o tema foi bem sucedido.
Isto leva-me ao primeiro (o que eu acredito que são) três razões distintas para o ensino interativo. É uma tentativa
para ver o que realmente existe no cérebro de seus alunos. Este é o aspecto "sumativo". Este é o aspecto mais fácil
de compreender e está bem descrito na literatura. Mas, ele está longe de ser a única perspectiva! A segunda razão
é "formativa", onde o professor tem como objetivo, através da tarefa atribuída, acessar o processamento mental
dos alunos. A intenção é que, conforme os alunos pensem nas questões necessárias para chegar à solução, a
construção mental resultante que é desenvolvida na cabeça do aluno irá possuir as propriedades que o professor
está tentando ensinar. Como Sócrates descobriu, uma boa pergunta pode realizar este resultado melhor do que,
apenas dizer a resposta.
O terceiro aspectro pode ser chamado de "motivacional". Aprender é um trabalho duro, e uma injeção de
motivação no momento certo pode fazer toda a diferença. Um fator de motivação fornecido pelo professor
interativo é a exigência de uma resposta a uma tarefa em sala de aula. Isso serve para sacudir o aluno para a ação,
para tirar o seu cérebro da preguiça, por assim dizer. Eventos adicionais mais sutis e agradáveis podem vir a seguir
aproveitando o impulso criado por esta explosão inicial. Um deles é um resultado das nossas tendências humanosociais. Quando os professores pedem aos alunos que trabalhem juntos em pequenos grupos para resolver um
problema, uma discussão se segue que não serve apenas em si mesma para construir estruturas de conhecimento
mais robustas, mas também para motivar. A antecipação de feedback imediato na forma de reação de seus pares,
ou do professor é um elemento motivador muito forte. Se não for constrangedor ou ameaçador, os alunos desejam
saber se seu entendimento está progredindo ou apenas à deriva. Saber que eles não estão autorizados a vagar
longe demais fora da pista proporciona uma enorme energia para continuar
2
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Questionário de apresentação (baseado em Peer Instruction, de Eric Mazur)
1- O quê você espera aprender neste curso?
2- O que você espera fazer com este conhecimento?
3- O que você espera que as aulas façam por você?
4- O que você espera que o livro faça por você?
5- Quantas horas você imagina serão necessárias para aprender tudo que você precisa saber
sobre este curso ? inclua tudo (dever de casa, aulas, etc..)______________horas por semana.
Formato geral da nossa aula:
1) pergunta feita;
2) Estudantes têm tempo para pensar;
3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais;
4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;
5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas;
6) Feedback para o professor: distribuição de respostas;
7) Explicação da resposta correta;
Dicas para a aula:
1)
2)
3)
Leia o tópico a ser apresentado ANTES da aula;
não é necessário copiar o material do quadro. Está tudo no livro! Você pode fotocopiar as notas de aula se
desejar;
seja ativo!
3
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Alguns pioneiros do Eletromagnetismo
Nome
Datas
contribuição
Thales de Mileto (grego)
636-546
a.C.
Percebeu que quando o âmbar é atritado com seda produz
pequenas descargas e possuía o poder “mágico” de atrair
partículas de palha e penugem. Em grego âmbar = elektron.
Também notou o poder atrativo de algumas
umas pedras encontradas
em Magnésia, de onde vem o nome magnetismo.
tismo.
William Gilbert (inglês)
1540-1603
d.C
Realizou os primeiros experimentos de forma sistemática sobre
eletricidade e magnetismo descritos no livro De Magnete.
Inventou o eletroscópio e foi o primeiro a reconhecer que a
Terra era um grande imã, inspirando os princípios da bússola
Benjamin Franklin (americano)
1706-1790
Cientística e político americano. Seus experimentos o levaram a
inventar o pára-ráios. Estabeleceu a lei de conservação da carga
e as chamou de positiva e negativa.
Charles Augustin de Coulomb (francês)
1736-1806
Karl Friedrich Gauss (alemão)
1777-1851
Alessandro Volta (italiano)
1745-1827
Hans Christian Oersted (dinamarquês)
1777-1855
André Marie Ampère (francês)
1775-1836
Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e
outros sobre os fenômenos de torção, o atrito entre sólidos etc.
Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experiência
histórica com uma balança de torção para determinar a força
exercida entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb).Durante
os últimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino
Público e teve um papel importante no sistema educativo da
época.
Formulou o teorema da divergência relacionando
relaciona
o volume e a
sua superfície, a lei de Gauss é a lei que estabelece a relação
entre o fluxo elétrico que passa através de uma superfície
fechada e a quantidade de carga elétrica que existe dentro do
volume limitado por esta superfície.. Em 1840, publicou seu
influente Dioptrische Untersuchungen,, no qual fez a primeira
análise sistemática da formação de imagens sob a aproximação
paraxial.
Por volta de 1800, Volta inventou
nventou a célula voltaica e, conectando
várias em série, inventou a bateria. Em setembro de 1801, Volta
viajou até Paris aceitando um convite do próprio imperador
Napoleão Bonaparte, para mostra as características de seu
invento (a pilha) no Institut de France.. E, em honra ao seu
trabalho no campo de eletricidade, Napoleão nomeou Volta
V
conde em 1810. Em 1815, o imperador da Áustria nomeou Volta
professor de filosofia na Universidade de Pádua.
Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de
Abril de 1820, Oersted reparou que a agulha de uma bússola se
defletia quando uma corrente elétrica era ligada e desligada.
Esta deflexão convenceu-o
o que os campos magnéticos radiam a
partir de todos os lados de um fio carregando uma corrente
elétrica,
trica, tal como ocorre com a luz e o calor,
calo e que isso
confirmava uma relação direta entre eletricidade
tricidade e magnetismo.
magnetismo
Influenciou o desenvolvimento de uma forma matemática única
que representasse as forças magnéticas entre condutores
portadores de corrente por parte do físico francês André-Marie
André
Ampère.
Partindo das experiências feitas pelo dinamarquês Hans
Christian Oersted sobre o efeito magnético da corrente elétrica,
soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construção
de um grande número de aparelhos eletromagnéticos. Além
disso descobriu as leis que regem as atrações e repulsões das
correntes elétricas entre si. Idealizou o galvanômetro, inventou
o primeiro telégrafo elétrico e, em colaboração com Arago, o
eletroímã. Inventou também o solenóide.
4
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Joseph Henry
1797-1878
Em 1830, enquanto construía eletroimãs, descobriu o fenômeno
eletromagnético chamado indução electromagnética ou autoindutância e a indutância mútua. O seu trabalho foi
desenvolvido independentemente de Michael Faraday, mas é a
este último que se atribuí a honra da descoberta por ter
publicado primeiro as suas conclusões. A Henry também é
creditada a invenção do motor elétrico, embora mais uma vez
não tenha sido o primeiro a registrar a patente. Seus estudos
acerca do relê eletromagético foram a base do telégrafo
elétrico, inventado por Morse e Wheatstone. Mais tarde provou
que as correntes podem ser induzidas à distância, magnetizando
uma agulha com a ajuda de um relâmpago a 13 km de distância.
James P. Joule
1818-1889
(pronuncia-se /ˈdˈuˈl/[Jule]). Estabeleceu que o aquecimento é
proporcional ao quadrado da corrente
James Clerck Maxwell (britânico)
1831-1879
Estabeleceu de maneira profunda e elegante a
interdependência entre eletricidade e magnetismo. Postulou
que a luz era de natureza eletromagnética e que outros
comprimentos de onda poderiam existir.
Heinrich Hertz
1857-1894
Pai do rádio, Hertz gerou e detectou ondas de rádio. Hertz
demonstrou que, exceto por diferenças no comprimento de
onda, a polarização, reflexão e refração de ondas de rádioeram
idênticas à luz. Mas sua invenção permaneceu como uma
curiosidade de laboratório até que Marconi adicionou um
sintonizador e uma grande antena.
Guglielmo Marconi
1874-1937
Inventor do primeiro sistema prático de telegrafia sem fios, em
1896. Marconi se baseou em estudos apresentados em 1897 por
Nikola Tesla para em 1899 realizar a primeira transmissão pelo
canal da mancha. A teoria de que as ondas electromagnéticas
poderiam propagar-se no espaço, formulada por Maxwell, e
comprovada pelas experiências de Hertz, em 1888, foi utilizada
por Marconi entre 1894 e 1895.
Thomas A. Edison (americano)
1847-1931
Transformou a eletricidade e o magnetismo em aplicações
práticas em telegrafia, telefonia, iluminação e geração e
transmissão de energia. O Feiticeiro de Menlo Park (The Wizard
of Menlo Park), como era conhecido, foi um dos primeiros
inventores a aplicar os princípios da produção maciça ao
processo da invenção.
Nikola Tesla (Iuguslávo)
1856-1943
Demonstrou o valor das correntes alternadas e inventou o
motor de indução. Projetou sistema de potência em Niagara
Falls.
Albert Einstein (alemão)
1879-1955
Tornou as equações de Maxwell universais através da teoria da
relatividade.
5
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Formulário
Equações de Maxwell
Forma diferencial
r
∇⋅D = ρ
r
r r ∂D r
∇×H −
=J
∂t
r r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇×E = −
∂t
Forma integral
r r
Condições de contorno
r
nˆ.∆D = σ
r r
nˆ × ∆H = κ
r
nˆ.∆B = 0
r r
nˆ × ∆E = 0
r
∂σ
nˆ.∆j = −
∂t
Valores numéricos
Carga do elétron (módulo):
e =1,6×10-19 C
Permeabilidade do vácuo:
µo = 4π×10-7 H/m
Permissividade do vácuo:
εo = 8,854×10-12 F/m
1/4πεo = 8,988×109 Nm2/C2
Velocidade da luz no vácuo:
c =(εoµo)-1 = 2,998×108 m/s
∫∫ D.dS = ∫∫∫ ρdV
Potenciais
r r d
r r
r r
∫C H .dl − dt ∫∫S D.dS =∫∫S j .dS
r r
∫∫ B.dS = 0
r
r
1
ρ (r ' )
V (r ) =
r
r dV '
4πε o ∫∫∫
r − r'
V'
r
r
r
∂A
E = −∇V −
∂t
r r r
B = ∇× A
r
r µ
 J (rr ' ) 
o


A=
 rr − rr ' dV
4π ∫∫∫
V 

r
r
µ m × rˆ
A(r ) =
4π r 2
r2 r
r
∇ ⋅ A = − µj
S
V
S
r r
r r
d
∫ E.dl + dt ∫∫ B.dS =0
C
S
Equações constitutivas
r tr
D = εE
r tr
B = µH
r
r
j = σE
Campos auxiliares
r
r r
D = εoE + P
r
r B
r
H=
−M
µo
r
r
P = ε o χe E
r
r
M = χm H
Força de Lorentz
r
r
r r r ∂℘
mec
f = ρE + j × B =
∂t
r
r
r r r
∂p
F = ∫∫∫ ρE + j × B dV = mec
∂t
V
Lei de Biot-Savart
r µ qvr × rˆ
B=
4π r 2
r
r µI dl '×rˆ
B=
4π C∫ r 2
r
r µ
j × rˆ
B=
dV '
∫∫∫
4π V r 2
r µ κr × rˆ
B=
dS '
4π ∫∫
r2
S
(
)
Zo =(µo/εo)
Energia, momento
r r r
S = E×H
S = uv
r r ∂u
= −w
∇⋅S +
∂t
1 r r r r
u = E.D + H .B
2
U = ∫∫∫ udV
(
)
V
r r
w = j .E
r
r r
r
℘em = D × B = µεS
r
r
r
pem = ∫∫∫℘em dV = µε ∫∫∫ SdV
V
S ≡I=
V
cε o E
2
2
o
Ondas
r
r2 r
∂E
∇ E − µε
=0
∂t
r r r
E = B×v
r r
r
k × E = ωB
Z=
µ
ε
1/2
= 120πΩ ≅ 377Ω
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Formulário
Delta de Dirac
r
δ (ar ) =
Coordenadas esféricas
r
dl = drrˆ + (rdθ )θˆ + (rsenθdφ )φˆ
r
dS = r 2 senθdθdφ rˆ + (rsenθdrdφ )θˆ + (rdrdθ )φˆ
r
δ ( ar )
(
a
1
δ (x − a ) =
[δ ( x + a) + δ ( x − a)]
2a
2
d
δ ( x) = −δ ( x)
dx
n
dn
nd f
∫R f ( x) dx n δ ( x − xo )dx = (−1) dx n
x
xo
)
dV = r senθdrdθdφ
r
∂f
1 ∂f ˆ csc θ ∂f ˆ
φ
θ+
∇f =
rˆ +
r ∂θ
r ∂φ
∂r
r r
cscθ
δ (r − ro ) = 2 δ ( r − ro )δ (θ − θ o )δ (φ − φo )
r
1
= 2 δ (r − ro )δ (cos θ − cos θ o )δ (φ − φo )
r
2
2
( xo ∈ R )
Relações entre os unitários
vetores
xˆ = (cosφ )ρˆ − (senφ )φˆ
yˆ = (senφ )ρˆ + (cos φ )φˆ
)
zˆ = z
ρˆ = (cos φ )xˆ + (senφ ) yˆ
φˆ = (− senφ )xˆ + (cos φ ) yˆ
)
zˆ = z
xˆ = senθ cosφrˆ + cosθ cos φθˆ − senφφˆ
yˆ = senθsenφrˆ + cosθsenφθˆ + cos φφˆ
)
z = cosθrˆ − senθθˆ
Coordenadas cartesianas
r
dl = dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ
r
dS = dydzxˆ + dxdzyˆ + dxdyzˆ
dV = dxdydz
r
∂f
∂f
∂f
∇f =
xˆ +
yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
Coordenadas cilíndricas
r
dl = dρρˆ + ρdφφˆ + dzzˆ
r
dS = (ρdφdz )ρˆ + (dzdρ )φˆ + (ρdρdφ )zˆ
dV = ρdρdφdz
r
∂f
1 ∂f ˆ ∂f
∇f =
ρˆ +
φ + zˆ
∂ρ
∂z
ρ ∂φ
r r 
∂v 


1 
1  ∂v
∇ 2v = ∇ 2vρ − 2  vρ + 2 φ  ρˆ + ∇ 2vφ − 2  2 ρ − vφ φˆ + ∇ 2vz zˆ
ρ 
ρ  ∂φ
∂φ 



r r
1
δ (r − ro ) = δ ( ρ − ρ o)δ ( z − zo )δ (φ − φo )
ρ
r r r
r r r
r r r
A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B) = B ⋅ (C × A)
r r r
r r r r r r
A × ( B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B)
Operador Nabla
∇( fg ) = f∇g + g∇f
r r
r
r
r
r
∇( A ⋅ B ) = A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) +
r
r
r
r
+ ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇) A
r
r
r
∇( fA) = f (∇ ⋅ A) + A ⋅ (∇f )
r r
r r
r
r
∇( A × B) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B)
r
r r
∇ × ( fA) = f (∇ × A) − A × (∇f )
r r
r r
r
r
r r
r r
∇ × ( A × B ) = ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B + A(∇ ⋅ B) − B (∇ ⋅ A)
r
∇ ⋅ (∇ × A) = 0
r
∇ × (∇f ) = 0
r
r
r
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
Integrais
r r
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ v dV =∫∫ v ⋅ dS
(
V
)
∫∫∫ (
S
)
r r
r r
∇ × v dV = ∫∫ dS × v
V
S
∫∫∫ ( )
V
r
r
∇f dV = ∫∫ fdS
∫∫ (
S
)
S
r r r
r r
∇ × v dS = ∫ v ⋅ dl
C
r
r r
∫∫ dS × ∇f = ∫ fdl
S
C
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Aula 1 – Álgebra vetorial
Nome:______________________________________________________________________________
Dados os vetores A = 1i – 2k e B = -1 i + 1j . Calcule:
1) A - 2B
A) (
B) (
C) (
D) (
2)
A)
B)
C)
D)
) +3i - 2j -2k;
) -3i +2j -2k;
) +3i +2j –2k;
) -3i -2j – 2k;
A.B
( ) +1;
( ) -1;
( ) 2;
( )-2;
3) A×B
A) (
B) (
C) (
D) (
) -2i +2j -1k;
) 2i - 2j -1k;
) 2i +2j +1k;
) 2i +2j -1k;
4) Qual o ângulo entre os vetores A e B no exercício anterior?
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
-1
-1/2
) cos (10 );
-1
+1/2
) cos (10 );
-1
-1/2
) cos (-10 );
-1
+1/2
) cos (-10 );
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Aula 2 – Cálculo diferencial I
Nome:______________________________________________________________________________
2
2
2
1- O gradiente de f(x,y,z) = x + y + z é:
A) ( ) 2xi+2yj+2z
+2zk;
B) ( ) 2i+2j+2k;
C) ( ) xi+yj+zk;
D) ( ) 2xi-2yj+2z
+2zk;
2- Qual a opção que melhor descreve o gradiente no ponto A da função representada pelas curvas
de nível abaixo?
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) ↑;
) ↓;
) →;
) ←;
2
2
3- A divergência de v = x i + 3xz j -2xz k é:
A) ( ) 2x-2z;
B) ( ) 2x+2z;
C) ( ) 2x-3z;
D) ( ) 2x-2x;
4- Qual das opções abaixo representa uma função com divergência positiva?
A)( )
B)( )
C)( )
D)( )
5- Dado um campo magnético B=Bok=rot A,, qual das opções da figura do item anterior melhor
representa as linhas de campo de
d A?
A) ( );
B) ( );
C) ( );
D) ( );
6- O rotacionai de xyi+yzj+zx
+zxk é:
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) +yi+ zj +xk;
) –yi+ zj +xk;
) –yi-zj-xk;
) +yi +zj -xk;
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Aula 3 – cálculo diferencial II
Nome:______________________________________________________________________________
1- O Laplaciano da função g(x, y, z)=senx.seny.senz é:
A) ( ) –senx.seny.senz;
senx.seny.senz;
B) ( ) +senx.seny.senz;
C) ( ) +3senx.seny.senz;
D) ( ) –3senx.seny.senz;
3senx.seny.senz;
2-
Dos campos vetoriais abaixo, quais podem ser gradiente de uma função?
I)
II)
A)
B)
C)
D)
E)
F)
(
(
(
(
(
(
) todos;
) nenhum;
)somente I;
)somente II;
) somente III;
) somente I e II;
3- Seja B=rotA , então podemos afirmar que necessariamente:
A) ( ) divB =0;
B) ( ) divA =0;
C) ( ) rotB =0;
D) ( ) grad(divB) =0;
III)
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
11
Aula 3 – cálculo diferencial II (para casa)
Nome:______________________________________________________________________________
2
1- Prove que a divergência de um rotacional é sempre zero. Verifique para a função va = x i + 3xz
j – 2xz k.
2 3 4
2- Prove que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Verifique para a função f=x y z
2
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 4 – Cálculo Integral
Nome:______________________________________________________________________________
2
2
1 – A integral de linha da função v = x i + 2yz j +y k da origem (0,0,0) até o ponto (1,0,0) ao longo do
eixo x resulta em:
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) 1;
) -1;
) 1/3;
) -1/3;
2
2
2-A integral de linha da função v = x i + 2yz j +y k da origem (0,0,0) até o ponto (0,1,0) ao longo do eixo
y resulta em:
A) ( ) 1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 2;
D) ( ) 0;
3- O vetor dS que da superfície quadrada de arestas (0,0,0), (0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) é igual a:
A) ( ) dxdyk;
B) ( ) dydzi;
C) ( ) dxdzj;
D) ( ) dxdzk;
2
2
4- O fluxo da função vetorial D=x yi+y xj+zk através da superfície quadrada de arestas (0,0,0),
(0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) é igual a:
A) ( ) 0;
B) ( ) 1;
C) ( )-1;
D) ( ) 2;
5- A integral de volume da função constante ρ para a centrada na origem e raio R é.
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
3
) 4ρπR ;
3
) ρπR ;
3
) (4/3)ρπR ;
3
) 3ρπR ;
6- (Teorema de Gauss) Se div E=ρ/ε, então:
ε ∫∫ (∇ × E ).dS = ∫∫∫ ρdV ;
r
A) ( )
r
S
V
r r
B) ( ) ε ∫∫ E .dS = ∫∫∫ ρdV ;
S
V
r r
C) ( ) ε ∫ E .dl = ∫∫∫ ρdV ;
V
[ ]
r
r r
D) ( ) ε ∫∫ E .dS = ∫∫∫ ∇ρ dV ;
S
V
12
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
7- (Teorema de Stokes) Se rotB=µj, então:
A) ( )
r r
r r
B
.
d
l
=
µ
∫
∫ j .dl ;
C
C
r r
r r
B) ( ) ∫ B.dl = µ ∫∫ j .dS ;
C
C) ( )
∫(
)
S
r r r
r r
∇ × B .dl = µ ∫∫ j .dS ;
C
(
S
)
r r r
r r
D) ( ) ∫ B.dl = µ ∫∫ ∇ × j .dS ;
C
S
8- Se rotC=0 então:
A) ( ) divC=0;
B) ( ) C=gradV;
C) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado é positiva;
D) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado é negativa;
Para casa: Probs. 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58
13
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 4 – para casa
Adaptado de McDermottt, Shaffer, & P.E. G. U. Wash,Tutorials
Tutorials in Introductory Physics
Área como um vetor
1- Pegue uma folha de papel. A folha pode ser vista com parte de uma superfície plana maior.
Qual linha ou segmento de reta que você usaria para especificar a orientação da folha, de
modo que qualquer pessoa possa manter o papel no mesmo plano ou em um plano paralelo ao
seu?
2- A área de uma superfície plana pode ser representada por um único vetor,, chamado vetor área
A.. O que a direção deste vetor representa?
3- O quee você esperaria que a magnitude deste vetor representasse?
4- Coloque uma folha de papel
quadriculado sobre uma mesa.
Descreva a direção e a magnitude
do vetor área para a folha de
papel.
5- Dobre a folha duas vezes de modo
a formar um tubo triangular oco. A
folha inteira pode ser representada
por um único vetor área? Se não
qual é o número mínimo de vetores
necessários?
6- Dobre agora a folha de modo a
formar um tubo oco cilíndrico. A
orientação de cada quadrado que
compõe a folha pode ser
representada por um vetor dA?
Explique
14
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 5 – a função delta de Dirac, sistema de coordenadas
Nome:______________________________________________________________________________
6
∫ (3x
1- A integral
2
− 2 x − 1)δ ( x − 3)dx resulta em :
2
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
) 19;
) 20;
) 21;
) 22;
) 0;
3
2- A integral
∫ x δ ( x + 1)dx
3
resulta em:
0
A) ( ) 1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 0;
F) ( ) 2;
3- Qual é a dimensão da função δ(x) se x é dado em metros:
A) ( ) [δ(x)] = m;
B) ( ) [δ(x)] = adimensional;
-1
C) ( ) [δ(x)] = m ;
3
4- Qual é a dimensão da função δ(x)δ(y)δ(z)=δ(r)= δ (r)= se x,y e z são expressos em metros:
A) ( ) [δ(x)] = m ;
3
B) ( ) [δ(x)] = adimensional;
C) ( ) [δ(x)] = m ;
5- Uma carga pontual q se encontra na posição (3,2,-1). A densidade volumar de carga ρ=dq/dV é
dada por:
A) ( ) ρ=q;
B) ( ) ρ=∞;
C) ( ) ρ =qδ(x-3)δ(y-2)δ(z-1);
D) ( ) ρ =qδ(x+3)δ(y+2)δ(z-1);
E) ( ) ρ =qδ(x-3)δ(y-2)δ(z+1);
6- O vetor deslocamento r é representado em coordenadas cilíndricas. Nesta representação,
encontre o vetor velocidade
-3
A – ( ) ̂
B- ( ) ̂
C- ( ) ̂
D - ( ) ̂ Para casa: probls. 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41, 1.42, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47,1.48, 1.53, 1.54, 1.55,
1.56, 1.57, 1.58
15
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 6 – O campo elétrico
Nome:______________________________________________________________________________
1- Duas esferas de chumbo idênticas, pequenas, são separadas pela distância de 1 m. As esferas
tinham originalmente a mesma carga positiva e a força entre elas é Fo. Metade da carga de uma
esfera é então deslocada para a outra esfera. A força entre as esferas será
A- ( ) Fo/4 ;
B- ( ) Fo/2 ;
C- ( ) 3Fo/4 ;
D- ( ) 3Fo/2 ;
E- ( ) 3Fo ;
2- Doze cargas iguais, q, estão situadas nos vértices de polígono regular de 12 lados ( por
exemplo, uma em cada número de um relógio de ponteiros) definido por um círculo de raio R.
-1
Qual a força total sobre uma carga de prova q no centro [k=(4πεo) ] ?
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
) zero;
2 2
) kq /R ;
2 2
) 12kq /R ;
2 2
) 2kq /R ;
2 2
) 6kq /R ;
3- Suponha que uma das 12 cargas é removida (a que estava na posição 6 horas). Qual é a força
sobre q?
A) ( ) zero;
2 2
B) ( ) kq /R ;
2 2
C) ( ) 12kq /R ;
2 2
D) ( ) 2kq /R ;
2 2
E) ( ) 6kq /R ;
4- Agora 13 cargas iguais, q, são dispostas de polígono regular de 13 lados. Qual é a força sobre a
carga de prova q no centro?
A) ( ) zero;
2 2
B) ( ) kq /R ;
2 2
C) ( ) 12kq /R ;
2 2
D) ( ) 2kq /R ;
2 2
E) ( ) 6kq /R ;
5- Se uma das 13 cargas é removida, qual é a força sobre q? Explique o seu raciocínio.
A) ( ) zero;
2 2
B) ( ) kq /R ;
2 2
C) ( ) 12kq /R ;
2 2
D) ( ) 2kq /R ;
2 2
E) ( ) 6kq /R ;
6- Quatro partículas puntiformes, de mesma carga q, situam-se nos vértices de um quadrado do
plano xy com centro na origem e com lados, de comprimento 2a, paralelos aos eixos desse
plano. Determine (a) a expressão cartesiana da densidade volumar de cargas; (b) a carga total,
integrando a densidade de cargas. Resp: (a) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; (b) qtot = 4q
A) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)- δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q
B) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)- δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q
C) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y+a)] [δ(z)]; qtot = 4q
D) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q
16
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 6 – O campo elétrico
Para casa: Probs. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8
Curiosidades sobre o campo elétrico: Fogo-de-santelmo. Santo Elmo é o padroeiro dos
marinheiros. Conta-se que os marinheiros do passado atribuíam a um fenômeno eletrostático
um significado divino- a aparição do referido santo. Na realidade, o que a crença dos antigos
acabou endeusando é o fenômeno conhecido por efeito corona. Os mastros dos navios eram
envoltos por uma luminosidade suave, resultado da emissão de luz na recombinação de íons e
elétrons. As nuvens eletrizadas provocavam a indução de cargas elétricas nas pontas dos
mastros. O intenso campo elétrico nas vizinhanças das pontas ionizava as partículas de ar que,
posteriormente, emitiam a luz durante a recombinação. A superstição acabou denominando o
fenômeno fogo-de-santelmo. O mesmo efeito corona pode também ser observado, por
exemplo, em linhas de transmissão elétrica com sobrecarga, que ficam envoltas por uma
luminosidade ao longo de sua extensão. Retirado de Carlos, Kazuhito, Fuke, Os alicerces da
Física vol.3
17
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 7 – A divergência e o rotacional dos campos eletrostáticos
Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma carga q está uniformemente distribuída no volume de uma esfera de raio R com centro
em ro. Qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio r<R de mesmo centro?
3
3
a) ( ) q/εo; b) ( ) (q/εo)(r/R) ;
c) ( ) (q/εo)(R/r) ; d) ( ) 0;
2- Uma carga q está uniformemente distribuída no volume de uma esfera oca de raio interno a e
raio externo R com centro em ro. Qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio
r<a de mesmo centro?
3
3
a) ( ) q/εo; b) ( ) (q/εo)(r/R) ;
c) ( ) (q/εo)(R/r) ; d) ( ) 0;
3- Qual o fluxo do campo elétrico da esfera da questão 2 sobre uma superfície de raio a<r<R?
3 3
3 3
3
a) ( ) q/εo; b) ( )(q/εo)(r -a )/(R -a ) c) ( ) (q/εo)(r/R) ; d) ( ) 0;
4- Ainda sobre a esfera da questão 2, qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio
r>R?
3 3
3 3
3
a) ( ) q/εo; b) ( )(q/εo)(r -a )/(R -a ) c) ( ) (q/εo)(r/R) ; d) ( ) 0;
5- Prova de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2011):
6- Seleção ao mestrado em Ensino (2013)
18
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
7- Três
lâminas
infinitas
uniformemente carregadas são
colocadas lado a lado conforme
mostrado na figura ao lado.
Considere
as
densidades
superficiais de cargas das lâminas
indicadas na figura , com σ>0.
Qual
das
opções
abaixo
corresponde ao campo elétrico
resultante nas posições 1,2,3 e 4
indicadas na figura?
A) ( ) E1 =-3σ/εoi, E2 =-σ/εoi, E3
= σ/εoi, E4 =3σ/εoi;
B) ( ) E1 =3σ/2εoi, E2 =σ/2εoi, E3
= -σ/2εoi, E4 =-3σ/2εoi;
C) ( ) E1 =σ/2εoi, E2 =3σ/2εoi, E3
= -3σ/2εoi, E4 =-σ/2εoi;
D) ( ) E1 =-σ/2εoi, E2 =-3σ/2εoi,
E3 = -σ/2εoi, E4 =σ/2εoi;
E) ( ) E1 =σ/εoi, E2 =-3
3σ/εoi, E3 =
-3σ/εoi, E4 =σ/εoi;
F) Nenhuma das respostas
anteriores.
8- Dois planos não condutores de
extensão
infinita
e
perpendiculares entre si estão
uniformemente carregados com
uma densidade superficial de
carga σ>0. Assinale em qual dos
quadrantes as linhas de força
associadas ao campo elétrico
estão
representadas
corretamente.
A) ( ) I;
B) ( ) II;
C) ( ) III;
D) ( ) IV;
Para casa: probls. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.50
Atenção! Este tópico apresenta alto índice de erro
nas avaliações.
19
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 8– Potencial Elétrico
Nome:______________________________________________________________________________
1- O que define um campo conservativo?
A) ( )
r r
r r
F
.
d
S
=
0
ou
∇
.F = 0
∫
B) ( ) A força deve ser de fricção
C) ( ) A força deve ser nuclear
D) ( ) A força deve ser eletromagnética
r r
E)
( )
∫ F .dl
r r r
= 0 ou ∇ × F = 0
2- Pode-se dizer que o potencial da Terra é de + 100 V em vez de zero? Que efeito teria esta
suposição nos valores medidos de (a) potenciais (b) diferença de potenciais?
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
) sim, não seria alterado, seria alterado;
) não, não seria alterado, seria alterado;
) não, seria alterado, não seria alterado;
) não, seria alterado, seria alterado;
) sim, seria alterado, não seria alterado;
3- Um dos campos eletrostáticos abaixo é impossível. Qual? (k é uma constante com dimensões
apropriadas)
A) ( ) E =k[xyi+2yzj+3xzk]
2
2
B) ( ) E =k[y i+(2xy+z )j+2yzk]
4-
Para o campo possível, calcule o potencial no ponto (x,y,z) utilizando a origem com ponto de
referência. Verifique a sua resposta calculando ∇V. (Dica: você deve escolher um caminho
específico para integrar. Não importa qual o caminho, uma vez que a resposta é independente
do caminho, mas você não pode integrar a menos que tenha um caminho em particular em
mente).
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
2
2
) V (x,y,z) = -k( y x-yz )
2
2
) V (x,y,z) = -k( -y x+yz )
2
2
) V (x,y,z) = +k( y x+yz )
2
2
) V (x,y,z) = -k( y x+yz )
20
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
21
Aula 8 – Exemplo
r
1
Problema 2.28 – Use a equação V (r ) =
4πε o
r
ρ (r ' )
∫∫∫ rr − rr' dV ' para calcular o potencial dentro
V'
de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q.
Solução: Um problema importante é o da infinitude do potencial. A solução deste problema
envolve sabermos o que acontece quando o observador
observador resolve medir o potencial num ponto
situado dentro da distribuição de cargas, ou seja, quando r’ →r, ou seja, r= rr r’→0.Para vermos
o que acontece com a integral acima, vamos escolher como ponto de observação a origem do
sistema de coordenadas. Fisicamente,
Fisicamente, esse é um ponto como qualquer outro do espaço, mas,
matematicamente r = 0 simplifica a expressão da distância entre o observador e a fonte para r=
|r- r’|= r’. Então:
r
r
1
ρ (r ' )
1  3q  r '2 senθ ' dθ ' dr ' dφ ' . Como se vê, desaparece do
V (r ) =


r r dV ' =
∫∫∫
4πε o V ' r − r '
4πε o  4πR 3  ∫∫∫
r'
V'
2
denominador o pólo r’, cancelado pelo fator r’ do elemento de volume em coordenadas
esféricas.
r r
r − r ' = r 2 − 2rr ' cos θ '+ r '2
r
1  3q 
r '2 senθ ' dθ ' dr ' dφ '
V (r ) =

3  ∫∫∫
4πε o  4πR  V ' r 2 − 2rr ' cos θ '+ r '2
π
1  3q 
senθ ' dθ '
r
2
V (r ) =

2π r ' dr ' ∫ 2
4πε o  4πR3  ∫0
r
−
2rr ' cos θ '+ r '2
0
u = 2rr ' cos θ '
du = −2rr ' senθ ' dθ '
R
u (π )
1  3q  2π
− du
r
V (r ) =
r ' dr ' ∫


4πε o  4πR3  2r ∫0
r 2 + r '2 −u
u (0)
R
u (π )
∫
u ( 0)
− du
r 2 + r '2 −u
= 2 r 2 − 2rr ' cos θ '+ r '2
π
= 2[ r + r ' − r − r ' ]
0
Como r e r’ são positivos, sua soma é sempre positiva. A diferença r-r’
r r’ pode ter qualquer sinal
u (π )
∫
u ( 0)
du
r + r ' −u
2
V (r ≥ R) =
2
=
2r ' ( r > r ' )
2r ( r < r ' )
R
 3q  R 3  q 
1  3q  2 2



r
'
dr
'
=
= 


3 
2ε o  4πR 3  ∫0 r
 8πε o R  r  4πε o r 
Se o observador
bservador estiver dentro volume, a integral do potencial deverá se desmembrar
nas duas contribuições (r>r’) e (r<r’).
V (r ≥ R ) =
R
R
1  3q   2 2
2 
1  3q  2 2
r
'
dr
'
+
r '2 dr ' =



 3R − r

3
∫
∫
2ε o  4πR   0 r
r '  6ε o  4πR 3 
0
(
)
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 8– Para Casa
1-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2012):
2-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2011):
22
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 8– Para Casa (continuação)
5- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2010):
6- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2013)
23
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 9 – Trabalho e energia em eletrostática
Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma carga q é colocada a uma distância r da origem. Em uma segunda configuração, a carga q
é removida e uma carga 2q é colocada a uma distância 2r. Em ambos os casos há uma carga Q
na origem. Se todas as cargas são positivas, qual carga está em potencial maior?
a) ( ) q
b) ( ) 2q
c) ( ) as duas cargas possuem o mesmo potencial
2- Qual carga na questão anterior tem uma energia potencial eletrostática maior?
a) ( )Q
b) ( )2q
c) ( ) as duas cargas possuem a mesma energia potencial
3- No modelo de quark de partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks: dois
“up” , cada um com carga 2e/3 e um quark “down”, com carga de –e/3. Suponha que os três
quarks estão eqüidistantes uns dos outros. Assuma essa distância como d e calcule (a) a energia
potencial das interações entre os dois quarks “up” e (b) a energia potencial elétrica total do
-1
sistema [k=(4πεo) ] .
2
2
A) ( ) 4ke /9d; +8ke /9d;
2
2
B) ( ) 4ke /9d; +4ke /9d;
2
2
C) ( ) 4ke /9d; -ke /9d;
2
D) ( ) 4ke /9d; 0;
2
2
E) ( ) 4ke /9d; -4ke /9d;
4- Quais das grandezas eletrostáticas abaixo obedecem ao princípio da superposição
a) ( ) campo elétrico, potencial elétrico e energia;
b) ( ) campo elétrico e potencial elétrico;
c) ( ) potencial elétrico e energia;
d) ( ) campo elétrico e energia;
e) ( ) campo elétrico, potencial elétrico e trabalho;
5- Três cargas (2 positivas e 1 negativa) estão situadas nos cantos de um quadrado (lado a).
Quanto trabalho é necessário para trazer outra carga +q, do infinito até o quarto canto?
Quanto trabalho é necessário para juntar as quatro cargas?
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
2
1/2
2
1/2
) (q /4πaεo)(2+2 ) ; (2q /4πaεo)(2+2 ) ;
2
1/2
2
1/2
) (q /4πaεo)(-2-2 ) ; (2q /4πaεo)(-2-2 ) ;
2
1/2
2
1/2
) (q /4πaεo)(+2+2 ) ; (2q /4πaεo)(+2-2 ) ;
2
1/2
2
1/2
) (q /4πaεo)(-2-2 ) ; (2q /4πaεo)(-2+2 ) ;
2
1/2
2
1/2
) (q /4πaεo)(-2+2 ) ; (2q /4πaεo)(-2+2 ) ;
para casa: probls. 2.34
24
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Questionário para ser respondido e entregue (não é preciso se identificar) (baseado em Peer Instruction, de
Eric Mazur)
1- O que você gosta nesta aula ?
2- O que você detesta nesta aula?
3- Se você estivesse lecionando este curso, o quê você faria?
4- Se você pudesse mudar algo nesta aula, o quê seria?
25
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 10 – Condutores
Nome:______________________________________________________________________________
1-
Duas cavidades esféricas de raios a e b são escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio
R (figura). No centro de cada cavidade é colocada uma carga pontualpontual chame essas cargas de qa e qb.
a)
b)
c)
Ass densidades superficiais de carga σa , σb e σR, são respectivamente.
2
2
2
A) ( ) –qa/4π
πa ; +qb/4πa ; (qa - qb)/4πR ;
2
2
2
B) ( ) +qa/4π
πa ; -qb/4πa ; -(qa +qb)/4πR ;
2
2
2
C) ( ) +qa/4π
πa ; +qb/4πa ; (-qa +qb)/4πR ;
2
2
2
D) ( ) –qa/4π
πa ; –qb/4πa ; (qa +qb)/4πR ;
Qual é o campo fora do condutor (a uma distância r do centro)?
2
A) ( ) -(qa +qb)/4πεor ;
2
B) ( ) (qa -qb)/4πε
)/4 or ;
2
C) ( ) (qa+ qb)/4πεor ;
D) ( ) 0;
d)
A)
Qual é o campo dentro de cada cavidade?
A) ( ) ambos nulos;
2
2
B) ( ) –qa/4π
πεoa ; -qb/4πεob ;
2
2
C) ( ) qa/4πεoa ; -qb/4πεob ;
2
2
D) ( ) +qa/4π
πεoa ; +qb/4πεob ;
Qual é a força entre qa e qb ?
( ) nula;
B)
( ) –qaqb/4πεo (a+b) ;
C)
( ) +qaqb/4πεo (a+b) ;
D)
( ) qaqb/8πεo (a+b) ;
e)
Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga, qc, fosse aproximada
do condutor?
A) ( ) as letras a e b;
B) ( ) todas;
C) ( ) nenhuma;
D) ( ) a letra a e d;
E) ( ) somente a letra c;
2
2
2
2-
Uma casca esférica condutora e isolada possui carga negativa. O que irá acontecer se um objeto de metal
positivamente carregado é posto em contacto com o interior da casca? Discuta os três casos em que a
carga positiva é (a) menor que, (b) igual a e (c) maior que a carga negativa.
3-
Uma camada de metal esférica possui uma distribuição superficial uniforme de cargas. O potencial é o
mesmo sobre a superfície da camada. Qual afirmação é correta?
a)
b)
c)
( ) O potencial é maior no centro geométrico do volume esférico;
( ) O potencial é menor no centro geométrico do volume esférico;
( ) O potencial no centro do volume é o mesmo que o da superfície;
26
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
4-
A figura mostra o corte transversal de uma cavidade no interior de um condutor elétrico metálico neutro.
Uma carga positiva q está dentro da cavidade. A linha tracejada representa um corte de uma superfície
gaussiana fechada. A superfície gaussiana está no interior do condutor e envolve a cavidade interna.
Marque a afirmativa correta.
(a) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana é q .
(b) O campo elétrico no interior da cavidade é nulo.
(c) O campo elétrico no exterior do condutor é nulo.
(d) Se o condutor for aterrado, o campo elétrico se anula em
seu exterior.
5-
Uma esfera de metal de raio R, contendo uma carga q, é envolvida por uma camada de metal espessa e
concêntrica (raio interno a, raio externo b). A camada não contém nenhuma carga elétrica.
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
I)
Encontre a densidade superficial de carga σ em r=R, em r=a e em r = b.
2
2
2
) -q/4πR ; q/4πa ; q/4πb ;
2
2
2
) q/4πR ; q/4πa ; q/4πb ;
2
2
2
) q/4πR ; -q/4πa ; -q/4πb ;
2
2
2
) q/4πR ; -q/4πa ; q/4πb ;
II)
Encontre o potencial no centro, usando o infinito como ponto de referência.
A) ( ) (-q/4πεo)(1/b+1/a+1/R);
B) ( ) (q/4πεo)(1/b-1/a-1/R);
C) ( ) (q/4πεo)(1/b+1/a+1/R);
D) ( ) (q/4πεo)(1/b+1/a-1/R);
E) ( ) 0;
III)
Agora a superfície externa é tocada com um fio aterrado, que abaixo o seu potencial à zero
(mesmo que no infinito). Como as suas respostas em A) e B) mudam?
Atenção! Este tópico apresenta alto índice de erros nas avaliações!
27
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 10 – Condutores (para casa)
1-prova de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS -2012)
28
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
29
Aula 11 – Força de Lorentz
Nome:______________________________________________________________________________
1-
Uma particula de carga q < 0 está se movendo com velocidade constante v = vj quando em t = 0 entra em
uma região de campo magnético uniforme B = Bi.
B A força que atua na partícula em t=0 é:
A) +qvBi
B) -qvBi
C) +qvBj
D) -qvBz
E) +qvBz
2-
Um próton se move na direção +z após ser acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial
V. O próton então passa através de uma região onde há um campo elétrico uniforme E na direção +x e um
campo magnetico uniforme na direção +y, mas a trajetória do próton não é afetada pelos campos. Se o
experimento fosse
sse repetido usando uma diferença de potencial de 2V, o próton seria:
A) Defletido na direção +x;
B) Defletido na direção -x;
C) Defletido na direção +y;
D) Defletido na direção –y;
E) Não seria defletido;
3-
Uma corrente de 1 A passa por um fio de 2 mm de diâmetro . O módulo da densidade superficial de
corrente j é:
2
A) 1 A/mm ;
2
B) 4/π A/mm ;
-1
2
C) π A/mm ;
2
D) 2/π A/mm ;
2
E) 0,5 A/mm ;
4-
Uma corrente de 0,5 A é transportada na superfície de um lâmina fina e comprida de 5 mm de largura,
conforme ilustrado pela figura abaixo. A densidade linear
li
de corrente κ é:
A) 0,1 i A/mm;
B) 0,5 i A/mm;
C) 0,1 j A/mm;
D) 0,5 j A/mm;
E) 2,5 i A/mm;
5-
Uma lâmina fina e comprida de 2 mm de largura se estende ao longo do eixo x. A lâmina está situada no
plano z =0 e os limites laterais da lâmina são y =±
= 1 mm. A o vetor densidade linear de corrente é dado
2
por κ= (1-y ) i,, onde y é dado em mm e κ em A/mm. Qual a corrente I, ( I
r
r
= ∫ κ .(nˆ × dl ) ) que
C
atravessa a a reta x=0?
A)
B)
C)
D)
E)
1/3 A;
2/3 A;
1 A;
4/3 A;
5/3 A;
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
30
-2
6-
Um fio fino transporta uma densidade linear de carga λ = 2 C/m com velocidade v = 10 m/s. A corrente
que atravessa o fio é:
A) 0,2 mA;
B) 2,0 mA;
C) 20,0 mA;
D) 0,02 mA;
E) 0,002 mA;
7-
A densidade de corrente que atravessa (entra) uma superfície fechada S é dada por j= xi (A/m ). A
densidade volumar de carga ρ que se acumula por unidade de tempo no volume definido por S é:
-3 -1
A) 0,1 C.m .s ;
-3 -1
B) 1,0 C.m .s ;
-3 -1
C) 10 C.m .s ;
-3 -1
D) 100 C.m .s ;
-3 -1
E) 0,01 C.m .s ;
2
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 11 – Para Casa
1-
Uma partícula de carga q entra em uma
região de campo magnético uniforme B
(apontando para dentro da folha). O campo
deflete a partícula de uma distância d,
conforme mostrado na figura. A carga é
positiva ou negativa? Em termos de a, d, B e q
encontre o momento
mento da partícula.
2-
Uma trajetória exótica ocorre se uma partícula carregada está sujeita a ação de um campo elétrico
perpendicular a um campo magnético. Suponha que B aponta na direção x e E na direção z. Encontre a
trajetória de uma partícula que parte da origem com velocidade:
A) v (0) = (E/B)j
B) v (0) = (E/2B)j
C) v (0) = (E/B)(j+k)
3-
A superfície carregada r =a ( em coordenadas esféricas) com densidade volumar de carga ρ(r) = σoδ(r-a),
gira em torno do eixo z com velocidade angular ω=ωz.. Determine a densidade superficial da corrente
assim gerada, usando a (a) densidade volumar de cargas;; (b) a densidade linear da corrente superficial.
Resp(a) e (b) j = σoωasenθ
θδ(r-a)φ
φ.
4-
Uma corrente I flui por um fio de raio a. (A) Se ela estiver distribuída uniformemente sobre a superfície,
qual é a densidade de corrente κ?? (B) Se ela estiver distribuída de forma que a corrente volumétrica seja
inversamente proporcional à distância do eixo,
ei quanto vale J?
5-
Uma superfície cônica tem uma distribuição de cargas uniforme, com densidade σo e gira em torno do seu
eixo de simetria com velocidade angular ω=ωz.. Determine (a) a expressão da densidade linear de
2
2 1/2
corrente; (b) a corrente gerada pela rotação do cone. Resp (a) κ = σoω(a/h)zφ
φ. (b) I=(1/2) σoωa(a + h )
31
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
6- Um fio de 100 cm de comprimento transporta uma corrente de 1,0 A em uma região onde um
campo magnético uniforme de 100 T na direção x. Calcule a força magnética sobre o fio se θ=
o
45 é o ângulo entre o fio e a direção x.
A- ( ) 70,7zNB- ( ) 141,4 zNC- ( ) -141,4 zN D- ( ) -70,7ZN E- ( ) 0
32
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 12 – Lei de Biot-Savart
Nome:______________________________________________________________________________
1- Duas cargas q e Q se movem com velocidades não nulas com respeito a um referencial fixo. A força magnética
sobre q exercida por Q é
a)
b)
c)
d)
9-
Perpendicular à velocidade de q e depende somente da velocidade de Q;
Perpendicular à velocidade de q e depende tanto da velocidade de Q quanto da velocidade de q;
Perpendicular à velocidade de Q e depende somente da velocidade de q.
Perpendicular à velocidade de Q e depende tanto da velocidade de q quanto da velocidade de Q;
Duas cargas positivas q1 e q2 estão se movendo para a direita. Qual a direção e o sentido da força sobre a
carga q1 devido ao campo magnético produzido por q2?
a) ( ) Entrando na página;
b) ( ) Saindo da página;
c) ( ) para cima;
d) ( ) para baixo;
10- Ainda sobre a questão anterior: qual a direção e o sentido da força sobre a carga q2 devido ao campo
produzido por q1?
a- ( ) Entrando na página;
b- ( ) Saindo da página;
c- ( ) para cima;
d- ( ) para baixo;
situa ao longo do eixo-xx e transporta uma corrente de elétrons que se
11- Um fio longo e reto situa-se
movem no sentido de x positivo.
positivo. O campo magnético devido a essa corrente, em um ponto P
sobre o semi-eixo
eixo negativo y, aponta em qual direção?
a) +x b)-x
c) +y
d) –y
e)+z
f)-z
33
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 13 – A divergência e o rotacional de B
Nome:______________________________________________________________________________
1-
Qual o valor de
r r
B
∫ .dl para o caminho mostrado
C
na figura ao lado??
A) ( ) Iµo;
B) ( ) -Iµo;
C) ( ) -2Iµo;
D) ( ) 2Iµo;
2-
A figura mostra três correntes de mesmo valor
absoluto i (duas paralelas e uma antiparalela) e quatro
amperianas. Coloque as amperianas em ordem de
acordo com o valor absoluto do fluxo magnético,
começando pelo maior.
maior
3-
Um fio longo e reto conduz uma corrente elétrica de
10 A. O valor do campo magnético em um ponto A
distando R = 0,5
,5 m do fio vale, em Tesla (N/A.m),
lembrando que µo =4π×10-7 N/A2
(a)
(b)
(c)
(d)
4-
16×10-6 k
4×10-6 r
4×10-6 ϕ
-4×10-6 ϕ
Um condutor muito longo tem uma seção transversal quadrada e contém uma cavidade coaxial com
seção transversal quadrada. A corrente é uniformemente distribuída ao logo da seção transversal do
condutor. O campo magnético na cavidade é nulo? Justifique a sua resposta.
Este tópico apresenta alto índice de erros nas
avaliações!
34
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 13 – para casa
1-Um fio cilíndrico longo de raio a conduz uma corrente uniformemente distribuída I.
Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância a) r>a e b)
r<a;
2- Em uma certa região existe uma densidade de corrente uniforme J no sentido positivo do
eixo z. Determine o valor da integral de caminho do campo magnético quando a integral é
calculada ao longo de três segmentos de reta, de (4d,0,0) →(4d,3d,0)→ (0,0,0)→(4d,0,0).
3- Um cilindro longo condutor oco de raio interno a e raio externo b conduz uma corrente ao
longo de seu eixo de simetria. O módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por
J=cr2 . Qual é o vetor campo magnético B em todos os pontos do espaço?
35
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 14 – Potencial Vetor Magnético
Nome:______________________________________________________________________________
1- Se o potencial vetor é dado por A=-yi+xk, então o campo B é:
A) ( ) B = 2k;
B) ( ) B = -2k;
C) ( ) B = -j+k;
D) ( ) B = -1k;
2
2- Se o potencial vetor é dado por A=-(1/4)µoJoρ k, (em coordenadas cilíndricas) onde Ao é uma
constante, então a densidade de corrente J é:
A) ( ) J = Jo k;
B) ( ) J = -Jo/4 k;
C) ( ) J = -Jo k;
D) ( ) J = 0
3- Num meio uniforme de permeabilidade µ, uma espira circular de raio a, com eixo OZ e centro
na origem, conduz uma corrente I no sentido do unitário azimutal φˆ . O momento magnético da
espira vale:
2
A) ( ) m = πa Ik
2
B) ( ) m = -πa Ik
2
C) ( ) m = 2πa Ik
2
D) ( ) m = -2πa Ik
r r
r
r '×dl '
4- Repita o item anterior usando a expressão m = I ∫
2
C
36
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
5-
Vamos obter uma expressão para o potencial
vetor de um dipolo magnético. Vamos
trabalhar
a
partir
da
equação
r
r
pode ser
µ
dl ' . O termo
1
A( r ) =
I r r
r r
4π C∫ r − r '
r − r'
escrito como:
A)
( )
B)
( )
C)
( )
D)
6-
(r
2
1
rr
− 2r .r '+r '2
)
2
1
rr
2
r − 2r .r '+ r '2
1
rr
r 2 + 2r .r '+r '2
A)
(
)
B)
(
) 1
r
C)
(
)
(
)
1
r
1
r
1
r2
1
rr
2r .r '
1−
r
1
rr
2r .r '
1+
r
1
rr
2r .r '
1− 2
r
1
rr
2r .r '
1−
r
Podemos desenvolver a raiz quadrada usando
uma expressão válida quando x<<1,
(1+x)n≅1+nx. A partir das respostas anteriores,
1 é aproximadamente igual a:
r r
r − r'
A)
( )
B)
( )
C)
( )
r
r
1
1  rˆ.r  1 rˆ.r
= + 2
r r ≈ 1 +
r − r' r 
r  r r
r
r
1
1  rˆ.r  1 rˆ.r
= − 2
r r ≈ 1 −
r − r' r 
r  r r
r
r
1
1  rˆ.r  1 rˆ.r
= 2 + 3
r r ≈ 2 1 +
r −r' r 
r  r
r
A partir dos itens anteriores, verifique que o
potencial vetor pode ser escrito como
r
O
r r .
µ  1 r 1
A(r ) =
I  ∫ dl ' + 2 ∫ (rˆ.r ')dl ' 
4π  r C
r C

primeiro termo é nulo. Você pode ver porquê?
Vamos trabalhar com o segundo termo. O
r
integrando (rˆ.rr')dl ' pode ser escrito como:
r
r
r
A) ( ) (rˆ.rr')dl ' = rr × dl ' × rˆ + dl '.rˆ rr'
r
r
r
B) ( ) (rˆ.rr')dl ' = rr'×dl ' × rˆ + dl '.rˆ rr
r
r
r
C) ( ) (rˆ.rr')dl ' = rr × dl ' × rˆ + dl '.rˆ rr
r
r
r
D) ( ) (rˆ.rr')dl ' = rr'×dl ' × rˆ + dl '.rˆ rr'
(dica: (u×v)×w=(u.w)v-(v.w)u
A diferencial d nas variáveis com linha é
expressa
como
r r
r r
r r
onde
d [(rˆ.r ')r '] = [(rˆ.dr ')r '+(rˆ.r ')dr '] ,
(
(
(
(
1
rr 2
r − 2r .r '+ r '
2
A partir da sua resposta do item anterior,
fazendo r >> r’, podemos afirmar que o termo
1 é aproximadamente igual a:
r r
r − r'
D)
7-
( )
8-
37
9-
)
)
)
)
( )
( )
( )
( )
r
r
dr ' = dl ' . Somando membro a membro esta
expressão com a resposta do item 6,
encontramos
.
r r 1
r r
r r
(rˆ.r ')dl ' =
2
{d [(rˆ.r ')r '] + (r '×dl ' ) × rˆ}
Quando substituímos esta expressão no
segundo termo da integral do item 8, a
primeira parcela desaparece, uma vez que é a
circulação de uma diferencial exata. A segunda
parcela dá:
r r
A) ( ) r
µ 1  r '×dl ' 
A(r ) =
I
× rˆ
3  ∫
4π r  C 2 
r r
B) ( ) r
µ 1  r '×dl ' 
A(r ) =
I
× rˆ
4π r 2  ∫C 2 
r r
C) ( ) r
µ 1  r '×dl ' 
× rˆ
A(r ) =
I
∫
4π r  C 2 
r
r
D) ( ) r
µ 1  r × dl ' 
A(r ) =
I
× rˆ'
2  ∫
4π r  C 2 
Finalmente, note que o termo entre colchetes
da resposta do item anterior é justamente o
momento
magnético
m.
Então:
r
r
µ m × rˆ . Parabéns! Você chegou lá!
A( r ) =
4π r 2
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Complemento da aula 14 – obtendo o potencial vetor a partir de J
r µo
Partindo da lei de Biot-Savart B =
4π
r 1 
Mas ∇ r r  = −
 r − r' 


r
µ
B=− o
4π
r r
r r
r − r'
J (r ' ) × r r 3 dV (1).
∫∫∫
r − r'
V
r r
r − r'
r r 3 , de modo que podemos escrever
r − r'
r r
r 1 
 r r dV (2).
×
∇
J
(
r
'
)
∫∫∫
 r − r' 
V


Usando que
r
r
r r
r
r
∇ × ( fv ) = ∇f × v + f∇ × v , obtemos
r
r  J (rr' )  r  1  r r
1 r r r
∇ ×  r r  = ∇ r r  × J (r ' ) + r r ∇ × J (r ' )
r − r'
 r − r' 
 r − r' 
(
)
Como o vetor densidade de corrente depende das variáveis com linha e o rotacional atua nas
coordenadas com linha, o segundo termo da equação acima é nulo.
r
r  J 
r r 1 
r µ
∇ ×  r r  = − J × ∇ r r  (3). Substituindo a Eq. (3) em (2): B = o
4π
 r − r' 
 r − r' 
r
r  J 
∇ ×  r r dV
∫∫∫
V
 r − r' 
r
r r  µo
 J (rr ' )  
 r r dV  .
. Como o operador nabla não atua nas variáveis com linha: B = ∇ × 
∫∫∫
 r − r' 
π
4
V 
 

r r
r µo
r r r
 J (r ' ) 
 r r dV
Comparando com B = ∇ × A , encontramos finalmente: A =
 r − r' 
4π ∫∫∫
V 

PARA CASA: Probls. 5.33-5.37, 5.55-5.61
38
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 15 – Força eletromotriz
Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma corrente pequena, porém mensurável de I atravessa um fio de cobre de diâmetro d. O
número de portadores de carga por unidade de volume é ρ. Supondo que a corrente é
uniforme. A densidade de corrente é
2
A) ( ) j=I/πd ;
2
B) ( ) j=4I/πd ;
2
C) ( ) j=I/2πd ;
2
D) ( ) j=I/d ;
2-
Sobre o item anterior, a velocidade de deriva é:
2
A) ( ) I/ρπd ;
2
B) ( ) 4I/ρπd ;
2
C) ( ) I/ρ2πd ;
2
D) ( ) I/ρd ;
m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui através
3- O sentido da f.e.m
desta bateria? ( ) SIM ( )NÃO
4- Um resistor cilíndrico cujo corte transversal tem área A e comprimento L é feito de material
com condutividade σ. Se o potencial é constante nas duas extremidades e a diferença de
potencial é V, que corrente está passando?
pa
Resp: I=σAV/L
5- Uma bateria de fem E e resistência interna r está ligada a uma resistência de carga variável R.
Se você quiser fornecer o máximo possível de potência para a resistência de carga, que
resistência R deve escolher?
6-Prova de Mestrado (2012)
39
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 16 – Indução eletromagnética
Nome:______________________________________________________________________________
1- O fluxo magnético através de uma espira de fio varia de ∆Φ durante o intervalo de tempo ∆t. A
mudança de fluxo ∆Φ é proporcional:
A) ( ) A corrente no fio;
B) ( ) A resistência do fio;
C) ( ) A carga resultante que flui através de qualquer seção do fio.
D) ( ) A d.d.p entre quaisquer dois pontos fixos do fio;
2- Considere um fio horizontal muito longo por onde flui uma corrente estacionária i (para a
direita) e uma espira retangular com dois de seus lados paralelos ao fio. A espira e o fio estão
no mesmo plano, como indica a figura. A espira é colocada em movimento de translação,
afastando-se do fio com velocidade de módulo v.
A respeito do sentido da corrente
induzida na espira e da força
exercida sobre a espira, dada por
r r
r
F = ∫ idl × B , podemos afirmar
que:
(a) o sentido é horário e a força é atrativa;
(b) o sentido é horário e a força é repulsiva;
(c) o sentido é anti-horário e a força é atrativa;
(d) o sentido é anti-horário e a força é repulsiva;
(e) não surge corrente induzida e, portanto, a força é nula.
3- Um campo magnético variável B (apontando perpendicularmente para fora do papel, como na
figura) está confinado ao interior de um tubo condutor. Se o fluxo do campo magnético
aumenta com o tempo, surge uma corrente elétrica no cilindro condutor.
a)
b)
c)
d)
Na mesma direção e sentido oposto ao do campo
magnético;
Na mesma direção e mesmo sentido do campo
magnético;
No plano perpendicular ao campo magnético e
circulando no sentido horário;
No plano perpendicular ao campo magnético e
circulando no sentido anti-horário;
40
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 16 – para casa
1- Prova de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ)
Problemas do livro texto: 7.12 até 7.29
41
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
42
Aula 17 – Equações de Maxwell I
Nome:______________________________________________________________________________
Considere as equações de Maxwell:
A)
. ρ
Lei de Gauss da eletricidade
B)
. 0
Lei de Gauss do Magnetismo
C)
Lei de Faraday da Indução
D)
!
" # Lei de Ampère generalizada
1- Qual das equações de Maxwell implica na não existência do monopólo magnético?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
2- Qual das equações de Maxwell nos diz sobre a existência do monopólo elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
3- Qual das equações de Maxwell nos diz que um campo magnético que varia induz um campo
elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
4- Qual das equações de Maxwell nos diz que um campo elétrico que varia induz um campo
elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
5- Verdadeiro ou falso:
A) ( ) a corrente de deslocamento tem unidade diferente da corrente de condução
B) ( ) a corrente de deslocamento apenas existe se o campo elétrico na região está variado
no tempo;
C) ( ) Em um circuito LC oscilante, não existe corrente de deslocamento entre as placas do
capacitor quando ele está momentaneamente completo de carga
D) ( ) Em um circuito LC oscilante, não existe corrente de deslocamento entre as placas do
capacitor quando ele está momentaneamente vazio
E) ( ) As equações de Maxwell se aplicam apenas a campos elétricos e magnéticos que são
constantes no tempo;
2
6- O campo magnético em uma região do espaço é dado por B = kt i para -2s ≤ t ≤ 2s. Qual o
sentido do campo elétrico induzido quando t= 0?
A) Paralelo ao eixo x;
B) Paralelo ao eixo y;
C) O campo elétrico está disposto em círculos centrados no eixo x;
D) Não há campo elétrico quando t= 0s;
7- As figuras abaixo mostram, em várias situações, o campo elétrico e o campo magnético
induzido. Determine em cada caso se o módulo do campo elétrico está aumentando ou
diminuindo.
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
A)
B)
C)
Aula 17 -para casa
1- prova de acesso à pós-graduação
graduação em física (UNIPÓS -2011)
D)
43
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 18 – Equações de Maxwell na matéria
Nome:______________________________________________________________________________
(dielétricos) Um capacitor de placas paralelas de área A e separação d é preenchido com duas placas dielétricas. A
placa dielétrica superior possui uma espessura de d e permissividade ε1=6εo e a placa inferior possui uma espessura
de 2d com ε2=12εo. Se uma d.d.p V é aplicada no capacitor, encontre os valores das seguintes grandezas em cada
dielétrico:
1) a capacitância
A) ( ) εoA /2d;
B) ( ) εoA /d;
C) ( ) 2εoA /d;
D) ( ) 4εoA /d;
E) ( ) 6εoA /d;
1) A carga nas placas do capacitor
A) ( ) εoA V/2d;
B) ( ) εoAV/d;
C) ( ) 2εoAV/d;
D) ( ) 4εoAV/d;
E) ( ) 6εoAV/d;
2) A densidade superficial de carga σ
A) ( ) εoV/2d;
B) ( ) εoV/d;
C) ( ) 2εoV/d;
D) ( ) 4εoV/d;
E) ( ) 6εoV/d;
3) O vetor deslocamento D em cada um dos dielétricos
A) ( ) εoV/2d;
B) ( ) εoV/d;
C) ( ) 2εoV/d;
D) ( ) 4εoV/d;
E) ( ) 6εoV/d;
4) O campo elétrico em cada um dos dielétricos
A) ( ) E1 = V/12d; E2 =V/24d
B) ( ) E1 = V/6d; E2 =V/12d
C) ( ) E1 = V/3d; E2 =V/6d
D) ( ) E1 = 2V/3d; E2 =V/3d
E) ( ) E1 = V/d; E2 =V/2d
5) O vetor de polarização em cada um dos dielétricos
A) ( ) P1 = 10εoV/3d; P2 = 11εoV/3d
B) ( ) P1 = 11εoV/3d; P2 = 10εoV/3d
C) ( ) P1 = 10εoV/d; P2 = 11εoV/d
D) ( ) P1 = εoV/3d; P2 = εoV/d
E) ( ) P1 = 2εoV/3d; P2 = εoV/3d
6) (meios magnéticos) Um meio ferromagnético de grande extensão possui B = 2Tz. Se µ =175µo,
encontre H e M.
7) (condições de contorno). Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de
permissividades ε1 e ε2, vale a lei da refração do campo elétrico. ε1 cotgθ1 =ε2 cotgθ2
8) (condições de contorno) Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de
permeabilidades µ1 e µ2, vale a lei da refração do campo magnético. µ1 cotgθ1 =µ2 cotgθ2
44
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 19 – a conservação da carga e da energia
Nome:______________________________________________________________________________
1 – (conservação da carga) A densidade de corrente que sai de um volume é dada, em coordenadas
esféricas, por
r
j = jo rˆ , onde jo é uma constante. A taxa de variação da densidade volumar de carga
∂ρ/∂t é (vide no formulário a expressão para o operador nabla em coordenadas esféricas):
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) 0;
) -jo/r;
) +2jo/r;
) -2jo/r;
2- (conservação da energia) Em uma dada região do espaço linear e isotrópico há um campo
eletromagnético dependente do tempo. Se o campo elétrico aponta da direção positiva do eixo
x e o campo magnético aponta na direção negativa do eixo y, o vetor de Poynting aponta:
A) ( ) Na direção +z;
B) ( ) Na direção –z;
C) ( ) Na direção +x;
D) ( ) Na direção –y;
3- Em um meio de permissividade elétrica ε e campo magnético nulo, a densidade volumar de
energia é dada por:
2
A) ( ) u = E /2ε;
2
B) ( ) u = εE /2;
2
C) ( ) u = E /2;
2
D) ( ) u = εE ;
4- Em um meio de permeabilidade magnética µ e campo elétrico nulo, a densidade volumar de
energia eletromagnética é dada por:
2
A) ( ) u = B /2µ;
2
B) ( ) u = µB /2;
2
C) ( ) u = B /2;
2
D) ( ) u = µB ;
45
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
46
Aula 20 – a conservação do momento
Nome:______________________________________________________________________________
1- Um fluido em condições estáticas não está sujeito a tensões de cisalhamento. Se a pressão em
um ponto do fluido é po, o tensor de tensões nestas condições é expresso por :
− po
A) ( ) 0
0
0
− po
0
po
0 B) ( ) po
− po
po
0
po
po
po
po
0
po C) ( ) po
po
po
po
0
po
po
po
0
2- Um capacitor é composto por duas placas paralelas de área A e separação d prenchida por um
dielétrico de permissividade elétrica ε. Aplica-se uma d.d.p V entre as placas do capacitor. A
força que uma placa exerce sobre a outra é (em módulo):
2
A) ( ) A(ε/2)(V/d)
2
B) ( ) Aε(V/d)
2
C) ( ) 2Aε(V/d)
2
D) ( ) A(ε/4)(V/d)
3- No caso do capacitor do exemplo anterior, se o sinal das placas for alterado, a tensão na
direção do campo :
A) ( ) não se altera;
B) ( ) altera o sinal mas não o módulo;
C) ( ) altera o módulo e o sinal;
4- Se o campo elétrico é dado por E=(Eo. 0,0), o tensor de tensões de Mawell é dado por
E 02
0
ε 
A) ( ) −  0  0
 2
0
E
0
E02
ε 
B) ( )  0  0
 2
0
C) ( ) (ε 0 )
0
2
0
0
E 02
0
0
− E 02
0
0
− E 02
E 02
0
0
0
0
E 02
0
0
E02
D) ( ) − (ε 0 )
E 02
0
0
0
0
E 02
0
0
E02
5- No caso do exercício anterior, 0 fluxo de momento (momento/área) na direção y é:
r
ε E2
− T y = (0, 0 0 ,0)
2
r
ε 0 E 02
,0,0)
B) ( ) − T y = (
2
r
2
C) ( ) − T y = (0,0, ε 0 E 0 )
A) ( )
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
É extremamente
mente valioso para o ensino de física o fato que algumas grandezas, a princípio distintas,
possam ser discutidas igualmente. Algumas grandezas físicas que se comportam analogamente aos
fluidos. Elas são chamadas de quantidades tipo substância. Entre elas estão:
estão: massa, energia, carga
elétrica, momento, momento angular, entropia, etc... Cada uma delas pode ser imaginada como um tipo
de substância. Uma indicação de que uma quantidade X ( X pode ser densidade de carga, densidade de
energia, densidade de momento,
momento, etc...) se comporta como substância é quando ela obedece à equação
da continuidade:
∂X r r
= ∇ ⋅ j X + wX
∂t
ou
dX
= IX + ΣX
dt
Ou na forma integral:
r d
r
j
⋅
d
S
+ ∫∫∫ XdV = 0
X
∫∫S
dt V
Que se aplica a uma dada região do espaço de volume V. A quantidade dX/dt (∂X/∂t) representa a taxa
de variação temporal de X dentro da região, ΣX (wX), indica o quanto de X é criado ou destruído por
unidade de tempo no interior daquela região. IX (divjx) representa a intensidade de corrente de X através
da superfície que limita a região. Assim, há duas causas para a mudança no valor de X dentro do volume
V: a criação ou destruição de X dentro da região e uma corrente de X através da superfície S que limita
V.
Para algumas grandezas, o termo ΣX é sempre nulo. Estas grandezas
andezas apenas podem alterar seu valor
dentro de V quando uma corrente flui através da superfície S. Estas grandezas são chamadas
conservadas, por exemplo: carga elétrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (dp/dt=F),
(d
onde I
representa a corrente elétrica,
ica, P a corrente de energia (potência), e F a corrente de momento (força).
Uma grandeza tipo sustância não deve necessariamente ser conservada. Por obedecerem à equação da
continuidade, grandezas tipo substância possuem algumas propriedades que fazem ser relativamente
fácil de lidar com estas grandezas:
I)
II)
III)
IV)
O valor da quantidade tipo substância refere-se
refere se a uma região no espaço;
Todo grandeza tipo substância possui outra grandeza associada a ela que pode ser
interpretada como uma corrente.
Quantidade tipo substância
su
são aditivas;
Correntes também são aditivas;
Considere a figura abaixo: podemos descrever esta situação dizendo que um trabalho está sendo
realizado sobre as placas do capacitor, aumentando sua energia potencial. A mesma situação pode ser
descrita utilizando o caráter tipo substância da energia: Energia flui das mãos através das cordas para o
campo do capacitor.
47
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
48
O momento é mais do que simplesmente mv.
m . Há sistemas cujo momentos não podem ser descritos
r r
D
℘
=
× B (densidade de momento)
em
como mv . Por exemplo, onda eletromagnética:
O Ensino tradicional de física nem sempre faz uso de estas vantagens. A energia, e momento são
geralmente derivadas a partir de outros quantidades. Isto faz com que seja mais
is difícil de compreender
que estes também são semelhantes à quantidades tipo substância.
6- Dado o vetor de Poyinting ( S=E×H),
), a densidade de momento eletromagnético é:
A) ( ) µεS;
B) ( ) -µεS;
C) ( ) εS;
D) ( ) µS;
Grandeza X
Corrente de X
Equação
Carga elétrica
ρ (carga/volume)
j=ρv (carga/área. tempo)
r
∂ρ
∇⋅ j +
=0
∂t
Energia
eletromagnética
µ (energia/volume)
S=µv
(energia/área.tempo)
r r ∂µ
∇⋅S +
= −w
∂t
momento
Pem
(momento/volume)
t
−T
(momento/área.tempo)
r t ∂ ( p em + p mec )
∇ ⋅T =
∂t
Momento angular
Densidade de momento angular:
r
r r
r r r
l em ≡ r ×℘em = r × ( D × B) , onde r é o vetor posição do
elemento de carga em relação à origem.
O momento angular do campo:
r
r
Lem = ∫∫∫ l em dV
V
Referência: The Karlsruhe Physics Course
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Para casa
1- Um capacitor de placas paralelas espaçadas de uma distância d com uma diferença de potencial
V entre elas. Considere que o dielétrico entre as placas é o vácuo. A tensão (força por unidade
de área) paralela às linhas de campo elétrico é
2 2
2 2
2
2
A) ( ) εoV /d ;
B) ( ) 2εoV /d ;
C) ( ) εoV/d; D) ( ) εoV /2d ;
2- Assinale a afirmativa correta
A) ( ) Em cada ponto de um
2
Sua intensidade é εoE /2;
B) ( ) Em cada ponto de um
2
Sua intensidade é εoE /2;
C) ( ) Em cada ponto de um
2
Sua intensidade é εoE /2;
D) ( ) Em cada ponto de um
2
Sua intensidade é εoE /2;
campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
3- Um campo eletromagnético é representado pelo vetor deslocamento D=Doi e pelo campo
magnético B=Bok. A densidade de momento do campo é:
a) ( ) DoBoj;
b) ( ) -DoBoj;
c) ( ) DoBok;
d) ( ) DoBoi;
To
t
4- Se o tensor de Maxwell é dado por T = 0
0
0
2To
− To
− To
0 , o momento transportado pelos
0
campos na direção x atravessando uma superfície orientada na direção z por unidade de área,
por unidade de tempo (ou tensão eletromagnética - força/área) é:
A) ( ) To;
B) ( ) -To;
C) ( ) 2To;
D) ( ) -2To;
E) ( ) 0;
5- A densidade de momento angular do campo na posição r=roj de um campo eletromagnético
representado pelo vetor deslocamento D=Doj e pelo campo magnético B=Bok é:
A) ( ) roDoBoi;
B) ( ) -roDoBoi;
C) ( ) roDoBoj;
D) ( ) -roDoBok;
E) ( ) roDoBok;
49
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 21 – Ondas eletromagnéticas em uma dimensão
Nome:______________________________________________________________________________
∂ 2ψ
∂ 2ψ
= µε 2 , qual é a velocidade de propagação da onda?
1- Dada a equação de onda
∂z 2
∂t
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) εµ;
) 1/εµ;
2
) (εµ) ;
2
) 1/(εµ) ;
Dada a função de onda ψ=Asen2π(3x-2t), onde x é dado em metros e t em segundos.
Determine:
2- O comprimento de onda em metros:
A) ( ) 1/3;
B) ( ) 2π/3;
C) ( ) 1;
D) ( ) 1/6;
3- A frequência em Hz:
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) 3;
) 1/π;
) 1;
) 2;
4- A velocidade de fase em m/s:
A) ( ) 2/3;
B) ( ) 1/3;
C) ( ) 2;
D) ( ) 1;
5- O período em segundos:
A) ( ) 1/3;
B) ( ) π;
C) ( ) 1;
D) ( ) 1/2;
5) A direção de propagação:
A) ( ) +z; B) ( ) -z; C) ( ) +x; D) ( ) –x;
6) Calcule o complexo conjugado de z1 = 2+3i e z2 =2e
-2i
A) ( ) 2-3i e 2e ;
-2i
B) ( ) -2+3i e 2e ;
2i
C) ( ) 2+3i e -2e ;
-2i
D) ( ) -2-3i e -2e ;
-i2
7) Calcule a norma de z=3e
A) ( ) 3; B) ( ) -3; C) ( ) 2; D) ( ) -2;
i2
50
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
iπ
8) Dado z=3e . Re(z) e Im(z) valem respectivamente:
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) -3 e 0;
) 3 e 0;
) 0 e 3;
) 0 e -3;
Descreva completamente o estado de polarização de cada uma das seguintes ondas:
9) E =Eo cos(kz-ωt)i-Eo cos(kz-ωt)j
A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;
10) E =Eo sen(kz- ωt)i-Eo sen(kz- ωt)j
A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;
11) E =Eo sen(kz- ωt)i+Eo sen(kz- ωt-π/4)j
A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;
12)E =Eo cos(kz-ωt)i+Eo cos(kz-ωt+π/2)j
A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;
51
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 21 – para casa
1-
Indique cada um dos números z =x+iy abaixo no plano complexo. Para cada número de o valor
número de sua parte real (ReZ=x) , sua parte imaginária y (Im Z=y), seu módulo r e o valor de θ.
a)
1+i;
b) i-1;
c)
2i;
d) 3;
e)
2i-2;
Você sabia?
Imagens 3D usam luz polarizada para produzir sensação de profundidade. Nossa percepção de
profundidade é devido, em grande parte, a habilidade do olho de enxergar o mundo de um
ângulo ligeiramente diferente. O cérebro funde as duas visões em uma tridimensional. Durante
a filmagem de um filme 3D, duas câmeras gravam a ação de perspectivas ligeiramente
diferentes. Quando o filme é mostrado, dois projetores com filtros polarizadores, são
utilizados.
52
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 22 – Ondas eletromagnéticas no vácuo
Nome:______________________________________________________________________________
1- Falando informalmente, pode-se dizer que as componentes elétrica e magnética de uma
onda eletromagnética progressiva “alimentam-se uma à outra”. O que isto significa?
2- Considere a seguinte configuração de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..
A) ( ) somente ao campo elétrico;
B) ( ) somente ao campo
magnético;
C) ( ) a ambos;
D) ( ) a nenhum dos dois;
3- Considere a seguinte configuração de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..
E)
F)
( ) somente ao campo elétrico;
( ) somente ao campo
magnético;
G) ( ) a ambos;
H) ( ) a nenhum dos dois;
4- Um laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de
onda em torno de λ, com uma largura de ∆λ. Qual é a largura da luz emitida em unidades
de freqüência?
2
A) ( ) c∆λ/λ ;
B) ( ) c/λ;
2
C) ( ) c/λ ;
D) ( ) c∆λ/λ;
5- Em um determinado ponto e em um determinado instante de tempo o campo elétrico de
uma onda onda eletromagnética aponta para o norte quando o campo magnético aponta
para cima. Em que direção a onda eletromagnética está se propagando?
A- ( ) Leste; B- ( ) Oeste;C-( )Sul
D-( ) para baixo;
6- O campo elétrico de uma onda plana que viaja na direção do eixo z é E=(Eoxx+Eoy y)sen( ωtkz+ϕ). Encontre o campo magnético
A) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)cos( ωt-kz+ϕ)/c
B) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)sen( ωt-kz+ϕ)/c
C) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)sen( ωt-kz+ϕ)/c
D) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)cos( ωt-kz+ϕ)/c
E) ( ) B=(-Eoyi-Eoy j)sen( ωt-kz+ϕ)/c
53
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
7- Se um feixe de luz vermelha, um feixe de verde e um feixe de luz violeta, todos viajando no
vácuo, têm a mesma intensidade, qual o feixe tem a maior momento?
a) ( ) o de luz vermelha;
b) ( ) o de luz verde;
c) ( ) o de luz violeta;
d) ( ) eles todos têm o mesmo momento;
e) ( ) não se pode determinar a partir destes dados;
8- Ainda sobre o item anterior, qual feixe tem o maior valor de pico (amplitude) para o campo
elétrico?
a) ( ) o de luz vermelha;
b) ( ) o de luz verde;
c) ( ) o de luz violeta;
d) ( ) eles todos têm o mesmo momento;
e) ( ) não se pode determinar a partir destes dados;
9- Duas ondas planas eletromagnéticas senoidas são idênticas, exceto que a onda A tem uma
amplitude do campo elétrico que é três vezes a amplitude da onda B. Como se comparam
suas intensidades?
A) ( ) IA =IB/3;
B) ( ) IA =IB/9;
C) ( ) IA =3IB;
D) ( ) IA =9IB;
54
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 22 – Ondas eletromagnéticas no vácuo (para casa)
Equações úteis (complementam o formulário):
Pressão de radiação (P) e intensidade (I): P =
S
I ε E2
= = o o , onde Eo é a amplitude do campo
c
c
2
elétrico.
Momento (p) e energia (U) em uma onda eletromagnética:
p=
U
c
1- Os espelhos usados em um tipo particular de laser refletem 99,99 % da radiação incidente. (a)
Se o laser emite uma potência média de 15 W, qual é a potência média da radiação incidente
em um dos espelhos? b) qual é a força devida à pressão de radiação em um dos espelhos?
2- Um laser pulsado dispara um pulso de 1000 MW com duração de 200 ns em um pequeno
objeto que tem massa de 10,0 mg e está suspenso por uma fina fibra de 4,00 cm de
comprimento. Se a radiação for completamente absorvida pelo objeto, qual é o máximo ângulo
de deflexão deste pêndulo? (Pense no sistema como se fosse um pêndulo balístico e considere
que o pequeno objeto estivesse pendurado verticalmente antes que a radiação o atingisse)
2
3- A intensidade da luz do Sol ao atingir a Terra é de aproximadamente 1300 W/m . Se a luz do Sol
atingir um absorvedor perfeito, que pressão irá exercer? E sobre um refletor perfeito? A que
5
fração da pressão atmosférica isso equivale? (pressão atmosférica ≅ 10 Pa)
4- Exame de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS-2012)
55
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
5- Exame de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS-2010)
56
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 23– Ondas eletromagnéticas na matéria
Nome:______________________________________________________________________________
1- Em um meio não dispersivo de impedância Z=2Zo , onde Zo é a impedância do vácuo, a luz se
propaga com velocidade v=c/2. As permissividade elétrica e permeabilidade magnéticas são,
respectivamente:
µo
A) ( )
εo ,
B) ( )
ε o ,4µo ;
C) ( )
εo
D) ( )
4ε o , µo ;
4
4
;
, µo ;
2- Os ângulos de incidência e transmissão para um raio incidente no ar (meio 1) em bloco (meio 2)
o
o
são 45 e 30 , respectivamente. O índice de refração do bloco é:
A) (
)
2;
B) (
)
1
;
2
C) (
)
3;
D) (
)
1
;
3
3- Para uma onda eletromagnética que incide normalmente sobre um meio, os coeficientes de
reflexão para as componentes perperdicular e paralela ao plano de incidência do campo
elétrico são, respectivamente:
4-
A) (
)
Z 2 − Z1
,1
Z 2 + Z1
B) (
)
Z 2 − Z1
,−1
Z 2 + Z1
C) (
)
Z1 − Z 2
,1
Z 2 + Z1
D) (
) − 1,
Z 2 − Z1
Z 2 + Z1
2
Para um meio onde n =3, o ângulo de incidência para o qual a luz refletida é 100 % polarizada
é:
o
A) ( ) 30 ;
o
B) ( ) 45 ;
o
C) ( ) 60 ;
o
D) ( ) 80 ;
57
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
58
Aula 23 – Ondas eletromagnéticas na matéria (para casa)
8
1- A impedância intrínseca de um meio é Z = 200 Ω e a velocidade de fase no meio é vf =10 m/s
encontre ε e µ para o meio.
2- Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de permissividades ε1 e ε2, vale a
lei da refração do campo elétrico: ε1cotg θ1 =ε2cotgθ2.
3- A velocidade da luz na água é menor do que a velocidade da luz no ar. Quando um raio de luz
vermelha, λ=650 nm, move-se
move do ar para a água, o que muda?
A- ( ) a freqüência;
B- ( ) o comprimento de onda;
C- ( ) a cor;
D- ( ) itens A e B;
E- ( ) itens A, B e C;
4- Quando o tanque de metal retangular mostrado na figura é preenchido até o topo com um
líquido desconhecido, um observador com os olhos no nível do topo do tanque somente é
capaz de ver o canto E. Determine o índice de refração do líquido.
5- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma
vg = v f − λ
dv f
dλ
.
c
 dn 
n + ω

 dω 
c λc  dn 
7- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma v g = + 2 
.
n n  dλ 
6- Mostre que a velocidade de grupo pode ser escrita na forma
vg =
8- Exemplo de polarização por reflexão. Você seria capaz de dizer em qual das fotos abaixo foi
utilizado um filtro polarizador?
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Leis da reflexão e refração
A lei da reflexão é a mais antiga e foi enunciada por Herão de Alexandria no séc. II d.C. enquanto a
lei de Snel (grafia original). Refração nada mais é do que um fenômeno de espalhamento de fótons.
Algumas concepções erradas: em alguns tratamentos de
polarização por reflexão, o ângulo de Brewster recebe toda a
atenção, deixando a impressão nada acontece em outros ângulos
de incidência. De fato, o grau de polarização da luz refletida varia
continuamente de 0 a 100 %.
Metamateriais (índice de refração negativo)
Veja também: Walter S. Santos, Antonio Carlos F. Santos, Carlos E. Aguiar , Ótica com índice de refração negativo , Scientific
American Brasil: Aula Aberta, n. 9, p. 58--59, 2011
59
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 24– Ondas Eletromagnéticas em condutores
Nome:______________________________________________________________________________
1- Em meio metálico de condutividade σ e permissividade elétrica ε é depositada
localmente uma densidade de carga ρo. Em quanto tempo a densidade cai a metade
de seu valor inicial?
A) ( ) ε/σ;
B) ( )( ε/σ)ln2;
C) ( ) ε/2σ;
D) ( ) 2ε/σ;
2- Para um dielétrico perfeito, a parte imaginária do número de onda vale:
A) ( )ω(εµ/2)1/2;
B) ( )ω(εµ)1/2;
C) ( )ω(2εµ)1/2;
D) ( ) 0;
3- Para um dielétrico perfeito, a parte imaginária do número de onda vale:
A) ( )ω(εµ/2)1/2;
B) ( )ω(εµ)1/2;
C) ( )ω(2εµ)1/2;
D) ( ) 0;
4- Três materiais possuem respectivamente condutividade elétricas σ1 =ωε, σ2 =200ωε,
σ1 =ωε/1000. É correto afirmar que:
A) ( ) o primeiro é condutor, o segundo é quase-condutor e o terceiro é isolante;
B) ( ) o primeiro é isolante, o segundo é condutor e o terceiro é quase-condutor;
C) ( ) o primeiro é quase-condutor, o segundo é isolante e o terceiro é condutor;
D) ( ) o primeiro é quase-condutor, o segundo é condutor e o terceiro é isolante;
5- Em eletrostática, vimos que um condutor blinda seu interior de campos elétricos
externos. Isto é verdade para:
A) ( ) ω> (Nq2/mεo)1/2;
B) ( ) ω< (Nq2/mεo)1/2;
C) ( ) ω= (Nq2/mεo)1/2;
D) ( ) qualquer frequência de onda;
6- É correto afirmar que a ionosfera:
A) ( ) é quase transparente para frequências baixas e absorve frequências altas;
B) ( ) é quase transparente para frequências altas e absorve frequências baixas;
C) ( ) é quase transparente para todas as frequências;
D) ( ) absorve igualmente em todas frequências;
60
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 24 – para casa
r
r
r
r r
∂B r r
∂E
+ µσE obtenha as equações de
1- Aplicando o rotacional em ∇ × E = −
e ∇ × B = µε
∂t
∂t
onda modificadas (equação de onda evanescente) para os campos elétrico e magnético em
metais (com ρ=0). Dica:
r
r
r
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A . (você não deverá gastar mais do
que poucas linhas)
2- Substituindo a solução
r r
E = Eo ei (kz −ωt ) na equação de onda modificada, mostre que k2=µεω2
+iµσω é uma função complexa
61
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 25 – absorção e dispersão
Nome:______________________________________________________________________________
Objetivos: aprofundar nosso conhecimento sobre índice de refração.
1-
 q  E
 m  o é:
A parte real de xo = 2
ωo − ω 2 − iγω
 q  E (ω 2 + ω 2 )
 m o o
a) ( ) xo =
(ωo2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2
 q  E (ω 2 − ω 2 )
 m o o
b) ( ) xo =
(ωo2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2
 q  E (ω 2 − ω 2 )
 m o o
c) ( ) xo =
(ωo2 − ω 2 )2 − γ 2ω 2
 q  E (ω 2 + ω 2 )
 m o o
d) ( ) xo =
(ωo2 − ω 2 )2 − γ 2ω 2
2- A dependência do índice de refração com a frequência da luz leva o nome de dispersão cromática, está
mostrada na figura abaixo. Em geral, as transições atômicas mais intensas dos materiais transparentes
ocorrem na região do ultravioleta e assim, nas regiões do visível (0.4 a 0.7 µm) e infravermelho próximo
(0.7 a 2.5 µm) o índice de refração aumenta com a frequência (diminui com λ). Isto significa que quanto
mais deslocado para o infravermelho for o comprimento de onda da luz,
a) ( ) menor será a sua velocidade de propagação;
b) ( ) maior será a sua velocidade de propagação;
c) ( ) maior será o índice refração;
d) ( ) maior será a sua frequência;
Este fato é danoso na área de comunições óticas, pois o alargamento do sinal impõe um limite à taxa de
repetição máxima possível de se transmitir por uma fibra ótica.
S. C. Zilio, Optica Moderna – Fundamentos e Aplicações
3- Qual a cor da luz que é menos absorvida pelas plantas?
A- ( ) vermelho; B-( ) amarelo;C-( ) verde;D-( ) violeta;
62
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 25 – absorção e dispersão (para casa)
1-
Em 1871 Sellmeier deduziu a equação
n2 = 1 + ∑
j
Aj
λ2 − λ20 j
em que termos Aj são constantes; cada
λ0j é o comprimento de onda no vácuo associado à freqüência natural ν0j, tal que ν0jλ0j = c. Esta
formulação constitui uma melhoria considerável, do ponto de vista prático, sobre a equação de Cauchy.
Mostre que quando λ>> λ0j a equação de Cauchy é uma aproximação da equação de Sellmeier. Sugestão:
escreva a equação acima com o primeiro termo da soma; faça seu desenvolvimento com a expansão
2
binomial; tome a raiz quadrada de n e desenvolva-a novamente em série.
d 2 x γ dx
+
+ Augustin Louis Cauchy (1787-1857)
2- Para um oscilador harmônico amortecido
dt 2 m dt
construiu uma equação empírica para n(λ) para substâncias transparentes no visível. A sua
expressão é dada pela série de potências: n= C1 + C2λ +C3λ +... em que Ci são constantes. À
luz da figura abaixo, qual é o significado físico de C1?
-2
-4
63
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Alguns fatos e curiosidades sobre absorção e dispersão
As viseiras dos capacetes dos astronautas são cobertas por uma fina de
ouro que reflete cerca de 70 % da luz incidente. Foi projetada para reduzir
a carga térmica no sistema de refrigeração, refletindo fortemente energia
radiante no infravermelho, mas transmitindo fortemente adequadamente
no visível. Existem no mercado óculos de sol baratos cobertos por
películas metálicas, e que funcionam do mesmo modo.
Na camada ionizada do topo da atmosfera os elétrons livres comportamse de um modo semelhante aos elétrons livres de um metal. O índice de
refração destas camadas é real e inferior a 1 para freqüências superiores a
freqüência de plasma. Para comunicar entre dois pontos geograficamente
distantes, é possível fazer refletir ondas de baixa freqüência na ionosfera.
Para se falar com alguém na Lua, é necessário utilizar sinais de alta
freqüência, para os quais a ionosfera é transparente.
Apesar da água ser essencialmente transparente, o vapor de água parece
esbranquiçado, tal como o vidro despolido. A razão é devido ao tamanho
do grão. Se for muito maior que os comprimentos de onda envolvidos, a
luz penetra em cada uma das partículas transparentes e é refletida e
refratada várias vezes antes de emergir. Não há qualquer distinção entre
qualquer das freqüências componentes e, portanto, a luz que chega ao
observador é branca (o mesmo vale para o açúcar, sal, nuvens, neve,
espuma da onda do mar, clara em neve, etc...). A tinta branca é
constituída por partículas transparentes (óxidos de zinco, titânio ou
chumbo) em suspensão num meio igualmente transparente. Quando os
índices de refração das partículas e do meio forem iguais, não há reflexão
e o conjunto fica transparente. Por outro lado, se os índices forem
diferentes, ocorrem reflexões para todos os comprimentos de onda e a
tinta aparece branca. Uma superfície difusora que absorva
uniformemente ao longo de todo o espectro, reflete um pouco menos que
uma superfície branca, parecendo acinzentada. Quanto menos refletir,
menos intenso será o cinzento; quando a absorção for quase total a
superfície parece preta.
64
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Aula 26 – Guias de Ondas (o cabo coaxial)
Nome:______________________________________________________________________________
1- Um sinal harmônico atravessa um cabo coaxial com permeabilidade magnética relativa
µ/µo =1 e permissividade elétrica relativa ε/εo =2. A velocidade de fase deste sinal é
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) 2c;
) c/2;
1/2
) 2 c;
-1/2
) 2 c;
2- Tratando o vácuo como uma linha de transmissão, qual seria a indutância por unidade de
comprimento e a capacitância por unidade de comprimento do vácuo, respectivamente?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) µo/2, εo/2
) µo , εo
) µo, 2εo
) 2µo, εo
3- A impedância característica Zo de um cabo coaxial de indutância por unidade de
comprimento L e capacitância por unidade de comprimento C é: (dica: lembre-se que a
1/2
impedância de um meio é Z =(µ/ε)
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
1/2
) ( L/C ) ;
1/2
) ( C/L ) ;
1/2
) ( LC ) ;
-1/2
) ( LC ) ;
4- Em um cabo coaxial de permissividade ε e permeabilidade µ, os campos elétrico e
magnético são dados por
vetor de Poynting.
r
r
cos(kz − wt )
cos(kz − wt ) ˆ
E=A
ρˆ e B = A
φ . Calcule o
ρ
cρ
65
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Revisão para a terceira parte do curso:
Problemas do livro-texto: 9.1-9.4, 9.8-9.25.
Polarização
1- Considere duas vibrações com a mesma frequência e a mesma amplitude, porém com fases
diferentes, uma ao longo do eixo Ox, x=asen( ωt-α) e a outra ao longo do eixo Ou, y=asen(ωt-β ).
As relações anteriores podem ser escritas na forma: (x/a)=sen( ωt)cos(α)-cos( ωt)sen(α)
(1),(y/a)=sen( ωt)cos(β )-cos( ωt)sen(β ) (2). A) Multiplique a Equação (1)por senβ e a Equação (2)
por senα e a seguir subtraia as duas relações resultantes. B) Multiplique a Equação (1) por cosβ
e a Equação (2) por cosα e a seguir subtraia as duas relações resultantes. C) Eleve ao quadrado
2 2
2
2
e some os resultados dos itens (a) e (b). D) Deduza a equação x +y -2xycosδ=a sen δ, onde
δ=α-β . E) Use o resultado anterior para justificar cada um dos diagramas estudados em sala de
aula(polarização linear, circular e elíptica).
Energia e momento em ondas eletromagnéticas
1- O vetor de Poynting instantâneo é expresso por S=E×H. O vetor de Poynting médio é obtido
integrando o vetor de Poynting instantâneo sobre um período e dividindo pelo período. Pode
*
também ser prontamente obtido em notação complexa ⟨S⟩=(1/2)Re(E×H ). A) Calcule os
iωt
i(ωt-ε)
vetores de Poynting instantâneo e médio para E=(Eo e )j e H=(Ho e
)k, onde j e k são os
2
unitários na direção y e z, respectivamente. B) Calcule a densidade de momento p=S/c
instantâneo e médio.
Reflexão e transmissão
1- O ângulo crítico para reflexão interna total em uma interface que separa um líquido do ar é
o
igual a 42,5 . A) Sabendo que um raio de luz proveniente do líquido incide sobre a interface
o
com um ângulo de incidência de 35,0 , qual é o ângulo que o raio refratado no ar forma com a
normal? B) Sabendo que um raio de luz proveniente do ar incide sobre a interface com um
o
ângulo de incidência de 35,0 , qual é o ângulo que o raio refratado no líquido forma com a
normal?
o
2- Um feixe paralelo de luz não-polarizada proveniente do ar incide formando um ângulo de 54,5
(com a normal) sobre uma superfície plana de vidro. O feixe refletido é completamente
linearmente polarizado. A) Qual é o índice de refração do vidro? B) Qual é o ângulo de refração
do feixe transmitido?
Dependência da permissividade com a frequência
1- Uma onda plana de 1 MHz de frequência (λ= 300 m) se propaga em um meio dispersivo e sem
8
perdas com velocidade de fase de 3×10 m/s. A velocidade de fase em função do comprimento
1/2
é dada pela relação v=kλ , onde k é uma constante. Encontre a velocidade de grupo. Resp.
8
1,5×10 m/s.
2- A distância de um pulsar. Um pulsar é uma estrela de nêutrons muito densa que gira muito
rápido e que transmite pulsos de banda larga. Os pulsos são mais intensos na faixa entre 100 e
500 MHz. Os elétrons tornam o meio interestelar dispersivo permitindo medir a distancia do
2 1/2
pulsar. A velocidade de grupo da radiação de um pulsar é dada por vg =c[1-(fo/f) ] , onde
66
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
8
1/2
67
-3
c=3×10 m/s, f é a frequência do pulsar em Hz e fo=9N . N é a densidade de elétrons (m ) e fo
4
-3
é a frequência crítica de plasma em Hz. Para N=3×10 m , fo=1,56 kHz << f. Assim, expandindo
n
em Taylor {(1+x) ≈1+nx}. A) mostre que a velocidade de grupo pode ser expressa como vg ≈c[12
(1/2)(fo/f) ]. Como resultado da dispersão no meio interestelar, um pulso chega mais cedo a
altas frequências e mais tarde a frequências menores.B) Mostre
Mostre que diferença no tempo de
chegada ∆t de um pulso transmitido simultaneamente em duas frequências é dado por
2
2
∆t=(L/2c)[(fo/f2) –(fo/f1) ], onde L é a distância do pulsar. C)Se a diferença de tempo é ∆t=1,13 s
4
-3
para f1 = 400 MHz e f2 = 300 MHz, com N=3×10 m (30 e /litro), calcule L. Resp. 6060 anos-luz.
anos
D) qual a diferença entre as velocidades dos pulsos. Resp: cerca de 1 parte em 100 bilhões,
mensurável somente pela grande distância.
3- Um arco-íris
íris é produzido pela reflexão da luz solar em gotas de água esféricas existentes no ar.
A Figura abaixo indica um raio que se refrata para o interior de uma gota no ponto A, é
refletido na superfície posterior da gota no ponto B e se refrata voltando para o ar no ponto C.
Os ângulos de incidência e refração, θa e θb, são indicados nos pontos A e C, e os ângulos
B
A
C
A
C
incidência e de reflexão, θa e θr, são indicados no ponto B. A)Mostre que θa = θb , θa = θb e θb
A
= θa . B) Mostre que o ângulo em radianos antes de ele entrar na gota em A e depois que ele sai
A
A
da gota em C (a deflexão total do raio) é dado por ∆=2θa -4θb +π. (Dica: Determine a deflexão
angular que ocorre em A, em B e em C e some para encontrar ∆.) C) Use a lei de Snell para
A
escrever ∆ em termos de θa e de n, o índice de refração da água na gota. D) O arco-íris
ar
se
A
forma quando o ângulo de deflexão ∆ é estacionário em relação a θa , ou seja, quando
A
A
d∆/dθa =0. Quando essa condição for obedecida, todos os raios próximos de θa sairão da gota
retornando na mesma direção, produzindo uma faixa brilhante no céu. Chame θ1 o ângulo para
2
2
o qual isto ocorre. Mostre que cos θ1 =(1/3)(n -1).
1). (Dica: Talvez você ache conveniente usar a
2 -1/2
fórmula da derivada d(arc sen u(x))/dx=(1-u
u(x))/dx=(1 ) (du/dx)).
/dx)). E) O índice de refração da água é igual
a 1,342 para a luz violeta e 1,330 para a luz vermelha. Use os resultados dos itens (c) e (d) para
calcular θ1 e ∆ para a luz vermelha e para a luz violeta. Seus resultados da figura? Quando você
vê um arco-íris,
is, qual das duas cores do arco-íris
arco íris primário está mais afastada do horizonte, a
vermelha ou a violeta?
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
68
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Primeira Prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/1)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Nome:_______________________________________________________________________
Caro aluno, você deve escolher quatro questões para resolver. Boa sorte!
2
1-(2,5)
(2,5) (a) Considere que F1 = x k e F2 = xi+yj+zk. Calcule a divergência e o rotacional de F1 e F2 . Qual deles
pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode
ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.
2- (2,5) Verifique o teorema de Stokes para a função v=yz, usando a
superfície triangular mostrada na figura ao lado.
lado
3-(2,5)
(2,5) Uma região esférica tem carga uniforme por unidade de
volume ρ. Seja r o vetor do centro da esfera até um ponto genérico P
dentro desta. (a) Calcule o campo elétrico em P. (b) Uma cavidade
esférica é criada na esfera, conforme indicado na figura ao lado (a
( éo
vetor que liga o centro da esfera com o centro da cavidade). Usando
Usa
o
conceito de superposição, calcule o campo elétrico em todos os
pontos no interior da cavidade.
4-(2,5) A carga por unidade de comprimento λ é distribuída
uniformemente ao longo de um bastão delgado de comprimento L. (a)
Determine o potencial (escolhendo
(esc
zero no infinito) no ponto P a uma
distância y de uma das pontas do bastão em linha
l
com ele (vide figura
ao lado).
). (b) Utilize o resultado de (a) para calcular a componente do
campo elétrico em P na direção y (ao longo do bastão).(c) Determine a
componente
mponente do campo elétrico em P na direção perpendicular ao
bastão.
5-(2,5)
(2,5) Um cilindro condutor longo tem raio R. O módulo do campo elétrico na superfície do cilindro é Eo.
Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distância do eixo do cilindro. Determine
(a) o campo elétrico (vetor) nos pontos A, B e C. b) A diferença de potencial VB-VC. c) A diferença de
potencial VA – VC.
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Gabarito da primeira prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/1)
r r ∂ ) ∂
∂ 
yˆ + zˆ  ⋅ x 2 zˆ = 0
∇.F1 =  x +
∂y
∂z 
 ∂x
r r ∂ ) ∂
∂  )
∇.F2 =  x +
yˆ + zˆ  ⋅ ( xx + yyˆ + zzˆ ) = 1 + 1 + 1 = 3
∂y
∂z 
 ∂x
)
x
yˆ
zˆ
r r
∂
∂
∂
∇ × F1 =
= −2 xyˆ
∂x ∂y ∂z
0
0 x2
)
x
yˆ
zˆ
r r
∂
∂
∂ r
∇ × F2 =
=0
∂x ∂y ∂z
x
y
z
( )
Como o rot(gradϕ)=0 e rot(F2)=0, F2 pode ser escrito como gradϕ, onde ϕ é uma função
escalar.
Como div(rotA)=0, para qualquer A e div(F1)=0, então F1 pode ser escrito como o rotacional
de A.
r
∂ ) ∂
∂
)
F2 = ( xx + yyˆ + zzˆ ) =  x +
yˆ +
∂z
∂y
 ∂x
∂
ϕ=x
∂x
x2
ϕ = + f ( y, z )
2
∂
ϕ=y
∂y
ϕ=
y2
+ f ( x, z )
2
∂
ϕ=z
∂z
z2
ϕ = + f ( y, x )
2
x2 y2 z 2
ϕ= + +
2
2
2

zˆ ϕ

69
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
)
x
r r r ∂
F1 = ∇ × A =
∂x
Ax
yˆ
∂
∂y
Ay
zˆ
∂
= x 2 zˆ
∂z
Az
 ∂Az ∂Ay 

=0
−
∂z 
 ∂y
 ∂Ax ∂Az 
−

=0
∂x 
 ∂z
 ∂Ay ∂Ax 

 = x 2
−
∂y 
 ∂x
∂Ay
∂x
= x2
x3
3
r x3
A=
yˆ
3
Ay =
2)
r
r
∫∫ (∇ × v )dS = ∫ v ⋅ dl
r
r
r
S
C
r
r
r
r r
∫ v ⋅ dl = ∫ ( yzˆ).dl1 + ∫ ( yzˆ).dl2 + ∫ ( yzˆ).dl3
C
r
dl = dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ
)
x
r r ∂
∇×v =
∂x
0
yˆ
∂
∂y
0
zˆ
∂
= xˆ
∂z
y
Como o rot v aponta na direção x, pela regra da mão direita, a integral de caminho
será percorrida no sentido anti-horário. (a,0,0)→(0,2a,0)→(0,0,a)→(a, 0,0)
(a,0,0)→(0,2a,0)
y = 2a- 2x → dy=-2dx, dz=0
r
ˆ
(
y
z
).
d
l
∫r 1 = 0
dl1 = dxxˆ − dxyˆ
(0,2a,0)→(0,0,a)
z=a-y/2 →dz=-dy/2, dx = 0
70
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
0
r
dy
ydy
y2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
y
z
).
d
l
=
(
y
z
).(
dy
y
−
z
)
=
−
=
−
2
∫
∫
∫ 2
2
4
2a
r
dy
dl2 = dyyˆ −
zˆ
2
71
0
=−
2a
(
)
1
0 − 4a 2 = a 2
4
(0,0,a)→(a,0,0)
z=a-x →dz=-dx, dy = 0 e y=0
r
ˆ
(
y
z
).
d
l
∫ r 2 = ∫ ( yzˆ).(dxxˆ − dzzˆ) = 0
dl2 = dxxˆ − dzzˆ
Então:
r
r
∫ v ⋅ dl
= a2
C
Agora, calculando o fluxo do rotacional. Neste caso é ainda mais simples, pois
como envolve o produto escalar do rotacional de v que é constante e que aponta
na direção x com o elemento de área dS, apenas a componente x de dS entra no
calculo. A área perpendicular à direção x é a projeção no plano yz , ou seja
2a×a/2= a2. Vamos verificar?
a
2a−2 z
r r r
ˆ
ˆ
ˆ
∇ × v ⋅ dS = ∫∫ ( x ) ⋅ (dydzx + dxdyzˆ + dxdzy ) = ∫∫ dydz = ∫ dz ∫ dy
∫∫ (
S
)
S
a
2a−2 z
= ∫ dz y 0
a
a
= ∫ (2a − 2 z )dz = 2az − z 2 = 2a 2 − a 2 = a 2
0
0
0
z = a− y/2
3)
A) pela Lei de Gauss
r r
ε o ∫∫ E.dS = ∫∫∫ ρdV
S
V
ε o E 4πr 2 = ρ
E=ρ
s
r
3ε o
r
r
E=ρ
rˆ
3ε o
4πr 3
3
0
0
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
B) Pelo principio da superposição, o campo em um ponto dentro da cavidade pode ser
escrito como o campo da esfera maciça (item a) subtraído do campo devido à cavidade
preenchida com densidade de carga rô, ou seja:
Considerando a cavidade com densidade ρ:
r r
ε o ∫∫ E.dS = ∫∫∫ ρdV
S
V
ε o E 4πr '2 = ρ
E' = ρ
4πr '3
3
r'
3ε o
r
r'
E' = ρ
rˆ'
3ε o
Onde r’ está centrado em a
Então, pelo principio da superposição:
r
r
r
Ecavidade = Eesfera − E '
r
ρr
ρr '
ρ
ρ r,
(rrˆ − r ' rˆ' ) =
Ecavidade =
rˆ −
rˆ' =
a
3ε o
3ε o
3ε o
3ε o
onde Eesfera é o campo calculado no item a).
onde, pela figura abaixo: r’ + a = r.
4)
1
dq
1
a) V ( P ) =
=
∫
4πε o r
4πε o
b)
y+L
∫
y
λdr
r
=
 y+L
λ
λ
y+L

ln r y =
ln
4πε o
4πε o  y 
72
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
73
r
r
∂V
E = −∇V = −
yˆ
∂y
r
λ  1
λ 1
1
1 

 −
 yˆ
E=−
−  yˆ =
4πε o  y + L y 
4πε o  y y + L 
Ou ainda:
r
E=
dq rˆ
1
=
2
∫
4πε o r
4πε o
1
y+L
∫
λdryˆ
y
r
2
=
λ
4πε o
y+L
 1
− 
 r y
yˆ =
λ
4πε o
1
1 
 −
 yˆ ,
 y y+L
onde y chapéu aponta verticalmente para cima.
c)
Pela simetria, a componente perpendicular do campo elétrico é nula.
5) Um cilindro condutor longo tem raio R. O módulo do campo elétrico na superfície do cilindro é Eo.
Sejam A, B e C pontos situados, respectivamente, a R/2, R, 3R de distância do eixo do cilindro.
Determine (a) o campo elétrico (vetor) nos pontos A, B e C. b) A diferença de potencial VB-VC. c) A
diferença de potencial VA – VC.
a) Como o cilindro é condutor, a carga situa-se totalmente na superfície. Então, tomando
como uma gaussiana uma superfície cilíndrica infinita de raio R/2, a carga no interior desta
superfície (ponto A) é nula, então
r r
E
∫∫ .dS = q / ε o = 0 . Logo E = 0 no ponto A.
S
No ponto B, o módulo do campo é Eo e como o campo deve ser perpendicular à superfície,
r
E = Eo ρ̂ , onde rô chapéu é o unitário na direção radial.
No ponto C, aplicamos a Lei de Gauss:
r r
E
∫∫ .dS = q / ε o , onde q é a carga na superfície
S
do cilindro. Escolhendo uma gaussiana de raio 3R (figura),
r r
E
∫∫ .dS = q / ε o
S
E 2πrl = q / ε o
E=
q
2πrlε o
Para qualquer r>R
Onde l é o comprimento do cilindro.
r
E pela simetria, E = Eρ̂ . Temos agora que encontrar a carga q. Como na superfície o
campo tem módulo Eo, então Eo=q/2πRlεo
(I),
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
onde fizemos r=R. Então, substituindo (I) no resultado anterior, temos que fora do
r
cilindro: E=EoR/r. Como r = 3R: E =
Eo Rρˆ Eo ρˆ
(no ponto C)
=
3R
3
d) Como o cilindro é condutor o potencial na superfície (ponto B) é o mesmo no ponto C.
Então VB-Vc=0.
e) De novo VA –Vc = VA – VB .
R
R
R dr
r r
= − Eo R ln r 3 R =
 Eo R ˆ 
ˆ
VA − VB = − ∫ E.dl = − ∫ 
ρ .(drρ ) = − Eo R ∫ r
r

3R
3 R
3R
R
 R 
= − Eo R ln  = Eo R ln(3)
 3R 
74
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Segunda Prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/1)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Caro aluno, você deve escolher quatro questões para resolver. Boa sorte!
1 – (2,5) A figura ao lado mostra uma seção reta de uma fita longa e
fina de largura w que está conduzindo uma corrente
uniformemente distribuída i para dentro do papel. A) (0,5) Calcule a
densidade linear de corrente κ=dI/dL. B)(2,0) Em termos dos
vetores unitários, qual é o campo B em um ponto P no plano da fita
situado a uma distância d de uma das bordas? (sugestão: imagine a
lâmina sendo construída de muitos fios, longos e paralelos (mais
r µ
fácil) ou utilize B =
4π
r
∫∫
S
κ × rˆ
r2
dS ' -mais
mais trabalhoso).
2- (2,5) A figura ao lado mostra uma seção reta de um condutor
cilíndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente i
uniformemente distribuída para dentro do papel.
papel Em termos dos
vetores unitários apropriados: a) Calcule a densidade de corrente
volumar j; b) Calcule o campo magnético
ético (vetor) em todo o espaço,
ou seja, r < b; b < r < a; r> a. c) Esboce o campo em função de r;
3-(2,5)
(2,5) A figura ao lado mostras as placas de um capacitor de placas
paralelas de raio R separados por uma distância d. Elas estão
est
conectadas, conforme mostrado, a longos fios nos quais existe uma
corrente condução constante i.. Também estão mostrados três
círculos hipotéticos de raio r, dois deles fora do capacitor e um
entre as placas. A)(1,5) Calcule o campo magnético na
circunferência de cada um destes círculos;; B) (0,5) Calcule o campo
elétrico (vetor) entre as placas do capacitor; C) (0,5) calcule a
corrente de deslocamento entre as placas do capacitor;
4-(2,5)
(2,5) Uma espira circular de fio de diâmetro d é posicionada de tal forma que a normal faz um ângulo
θ com a direção de um campo magnético uniforme Bo. A espira está “oscilando” de tal forma que a sua
normal gira em um cone em volta da direção do campo à uma taxa constante ω; o ângulo entre a
normal e o sentido do campo (θ) permanece
perman ce imutável durante o processo. Que f.e.m. surge na espira?
5-(2,5)
(2,5) Escreva as equações de Maxwell e as suas equações constitutivas, explique
detalhadamente o significado físico
físico de cada uma das equações; utilize desenhos para
ilustrar. Por quê as equações de Maxwell não são totalmente simétricas?
75
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Gabarito
1- A) κ=dI/dL= -(i/w)j
B)
κ=-(i/w)k
Primeiro modo (mais trabalhoso):
r µ
B=
4π
r
∫∫
κ × rˆ
S
r2
dS '
r
i
κ = − kˆ
w
r
r = − xiˆ − yˆj
r
r − xiˆ − yˆj
rˆ = =
r
x2 + y2
r 2 = x2 + y2
r
ix
ˆj
κ × rˆ =
w x2 + y2
r µ
B=
4π
∫ (x
+∞
∫ dy
−∞
1
2
+y
)
(ix w)
d +w
2 3/ 2
∫ (x
2
d
dy =
+ y2
(
dx ˆj =
3/ 2
)
y
x x + y2
2
[
2
+∞
1
µi ˆ d + w
j ∫ xdx ∫
dy
2
2 3/ 2
4πw d
(
x
+
y
)
−∞
)
1/ 2
]
r
µi ˆ d + w dx
µi ˆ d + w dx µoi  d + w  ˆ
+∞
B=
j ∫
1 − (−1) −∞ =
j
=
ln
j
4πw d x
2πw ∫d x 2πw  d 
Segundo modo (bem mais fácil): Considerando a superfície constituda por fios (B=µoi/2πr),
então dB=µodi/2πrj (pela regra da mão direita) com r=x e di=(i/w)dx
r µo i d + w dx
ˆj = µ oi ln x d + w = µo i ln d + w  ˆj
B=
∫
d
2πw d x
2πw
2πw  w 
2
2
2- A) j=i/área; j=-i/π(a – b )k
B)
76
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
r r
B
∫ .dl = µoi
r <b→i =0
r r
B=0
b<r<a
r r
r r
µ
.
=
B
d
l
o ∫∫ j .dS =
∫
B 2πr =
r
B=−
µoi
π (a − b
2
µoi
2
)
µoi
π (a 2 − b 2 )∫b
πr 2
r
b
r 2 − b2 ˆ
φ
2π (a 2 − b 2 ) r
r>a
r r
B
∫ .dl = µoi
B 2πr = µoi
r
µi
B = − o φˆ
2πr
C)fazer o gráfico
3-a) nos dois fios
r r
B
∫ .dl = µoi
B 2πr = µ oi
r µi
B = o φˆ
2πr
Entre as placas do capacitor
r
2πrdr
77
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
r r
r r
d
µ
ε
B
d
l
=
E
.
.dS
o o
∫
dt ∫∫
C
S
mas
r r
ε o ∫∫ E.dS = ∫ σdS
S
2ε o ES = σS (1 placa )
E=
σ
Q
it
= 2 = 2 (total )
ε o πR ε o πR ε o
dE
i
= 2
dt πR ε o
B 2πr = µoε o
i
πR 2ε o
∫∫ dS = µ
o
S
i
πR 2 = µoi
2
πR
r µi
B = o φˆ
2πr
b) Como calculado no item anterior:
r r
ε o ∫∫ E.dS = ∫ σdS
S
2ε o ES = σS (1 placa)
E=
Q
it
σ
= 2 = 2 (total )
ε o πR ε o πR ε o
c)
jd =
∂D
∂E
∂  it 
i
= εo
= ε o  2  = 2
∂t
∂t
∂t  πR ε o  πR
4-como o ângulo não muda, a f.e.m é nula
5- Vide livro;
78
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Terceira Prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/1)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Caro aluno, você deve escolher quatro questões para resolver. Boa sorte!
1- (2,5) A componente elétrica de um feixe de luz polarizada no vácuo é dada por E =(5,00
6
V/m)sen(1,00×10 z+ ωt)j
t) . a) Escreva uma expressão para a componente magnética (vetor)
onda, incluindo o valor númerico de ω. Determine (b) o comprimento
primento de onda; (c) o vetor de
poyinting; (d) a intensidade da luz; (e) a densidade de energia.
2- (2,5) (modelo de Lorentz) A equação de um oscilador forçado com amortecimento é:
me &x& + meγx& + meωo2 x = eE (t ) , onde e é a carga do elétron. A) Explique o significado de cada
termo; B) Seja E=Eoe ωt e x=xoe
, em que Eo e xo são grandezas reais. Substitua-as
Substitu
na
expressão acima e obtenha xo; C) Deduza uma expressão para a diferença de fase, α, e discuta
a variação de α com ω, para ω<< ωo, ω= ωo e ω>> ωo.
3- (2,5) Uma onda eletromagnética cuja parte elétrica possui amplitude Eo e que se propaga em
o
um meio de impedância Z1 incide normalmente (θi=0 ) sobre a superfície que separa o meio 1
de um meio 2 com impedância Z2. Calcule as amplitudes das ondas transmitida e refletida para
Z2>>Z1.
iω
i(ωt-α)
4- (2,5) Descreva completamente o estado de polarização da onda: B=Bo[cos(kz
[cos(kz-ωt)i+sen(kz-ωt)j],
onde B representa o campo magnético. Dica: lembre-se
lembre se que a polarização é definida através do
campo elétrico.
5- (2,5) Encontre as velocidades de fase e de grupo para uma onda de 100 MHz em um meio
7 2/3
dispersivo sem perdas no qual a velocidade de fase é vf = 2×10 λ (m/s).
79
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
80
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Prova de Final de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/2)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Caro aluno, você deve escolher quatro questões para resolver. Boa sorte!
2
1 – (2,5) Uma lâmina plana infinita não-condutora
não condutora tem uma densidade superficial de carga σ1=+3µC/m e está
2
no plano y=-0,6 m.. Uma segunda lâmina plana infinita
infi
não condutora tem densidade superficial σ2 = -2µC/m e
está no plano x=1 m.. Finalmente, uma casca esférica não-condutora
não
com raio R=1m
=1m e com centro no plano z=0
2
na interseção dos dois planos carregados, tem uma densidade superficial de carga σ3 = -3µC/m . Determine a
magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico no eixo x em x=0,4 m e x=2,5 m.
2-(2,5)
(2,5) Um fio de massa M e comprimento L está suspenso
por um par de contatos flexíveis na presença de um campo
magnético uniforme de módulo B apontando para dentro
do papel. Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido da
corrente
rente necessária para remover a tensão dos contatos.
3-(2,5)
3
(2,5) A figura ao lado mostra a seção transversal de um condutor longo
cilíndrico de raio R contendo um furo longo cilíndrico de raio a. Os eixos dos dois
cilindros são paralelos e estão separados por um distância b. Uma corrente i
está uniformemente distribuída ao longo da área sombreada na figura. (a) use
conceitos de superposição para calcular o campo magnético no centro do furo.
(b) Discuta os dois casos especiais a=0 e b =0. (c) É possível usar a lei de Ampère
para mostrar que o campo magnético no furo é uniforme? (sugestão: considere
o furo cilíndrico preenchido com duas correntes iguais movendo-se
movendo em sentidos
opostos, cancelando-se
cancelando se uma à outra. Suponha que cada uma dessas correntes
tenha a mesma
mesma densidade de corrente do condutor real. Assim, superponha os
campos devidos aos dois cilindros completos de corrente, de raios R e a, cada
cilindro com a mesma densidade de corrente.)
4-(2,5) Considere duas
as cascas esféricas metálicas, finas e concêntricas, de raio a e b, onde b>a. A casca
esférica tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Isso significa que o potencial na casca interna é
o mesmo que o potencial nos pontos afastados das cascas. Determine a carga na casca interna.
5-(2,5)) Deduza a equação de onda para o campo magnético
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
81
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Segunda Chamada de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/1)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Caro aluno, você deve escolher quatro questões para resolver. Boa sorte!
1- (2,5) A densidade volumar de uma distribuição de cargas é, em coordenadas esféricas ρ (0≤ r<a)=0, ρ (a≤
r<b)=ρo, ρ (b≤ r<2a)=-ρo, ρ (r≥a)=0, onde a, b e ρo são positivos.
a)
b)
c)
Esboce um gráfico da densidade contra r;
Determine o raio b que anula a carga total da distribuição;
Dê o vetor deslocamento D nas quatro regiões da distribuição, quando b tiver o valor determinado no
item anterior;
d) Faça um gráfico da componente radial de D contra r;
2-(2,5)
(2,5) Uma corrente constante, retilínea e ilimitada I flui ao longo do eixo z de um sistema de coordenadas
cilíndricas, no seu sentido positivo. Calcule explicitamente a integral curvilínea (de caminho) do campo magnético
H ao longo da: (a) curva aberta
rta determinada, num plano z=zo, pela superfície ρ=a, entre os ângulos φ=φ1 e φ=φ2;
(b) curva fechada determinada, nesse plano, pela superfície ρ=a; (c) curva fechada determinada, nesse plano,
pelas superfícies ρ=a, ρ=b, φ=φ1 e φ=φ2.
3-
(2,5)
Num
sistema
de
coordenadas
cilíndricas,
um
vetor
indução
magnética
é
dado
por
B(0≤ρ≤a,t)=Bosenωt(z/z), onde Bo, ω e a são uniformes, constantes e positivos e (z/z) é o unitário na direção z.
Obtenha
btenha a expressão do campo elétrico em qualquer ponto dessa região e em qualquer instante.
4-(parte A)-(1,0)
(1,0) Um fluxo elétrico uniforme aponta para fora do papel em uma região circular de raio R. O fluxo
elétrico total através da região é ΦE=Kt, onte K é uma constante e t é o tempo. Determine o módulo do campo
magnético induzido
ido a uma distância radial ρ.
(parte B)-(1,5) Quando empurramos um imã na direção de uma espira (figura), o agente que causa o movimento
do imã sofrerá sempre a ação de uma força resistente, o que o obrigará a realização de um trabalho a fim de
conseguir efetuar o movimento desejado. A) explique o aparecimento desta força resistente. B) Se cortarmos a
espira como mostra a figura abaixo, será necessário realizar trabalho para movimentar o imã? haverá uma
corrente induzida na espira ? haverá uma f.e.m induzida?
induzi
5-(2,5)
(2,5) A amplitude do campo elétrico associado a uma onda luminosa harmônica, plana e polarizada linearmente,
15
é: Ez=(2 V/m)cos[10 π(t-x/0,65c)]
x/0,65c)] no interior de um vidro, onde c é a velocidade da luz no vácuo, t é expresso em
segundos e x em metros. Determine: A) (0,2)a frequência ω da luz; B) (0,2)o seu comprimento de onda; C) (0,2) a
velocidade de propagação no meio; D) (0,2) o índice
índice de refração do vidro; E) (0,5) o campo magnético; F) (0,5) O
vetor de Poyinting instantâneo;G) (0,5) a intensidade da onda;
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
1/3
82
3 -3
Gabarito: 1-(b) b=(9/2) a; (c) D (0≤r<a) = D (r>2a) =0; D (a≤r<b) =(ρo/3)(8 a r -1)r; 2- a)Γ=I(φ2 -φ1)/2π;
b) Γ=I; c) Γ=0; 3- E(0≤ρ≤a,t)=-(1/2) ωρBocos ωt na direção do unitário tangencial, 5)
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Primeira Prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/2)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Atenção! Duas respostas erradas elimina uma certa!
1-
(0,5) Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga constante (estacionária e uniforme). Na figura, estão
representadas quatro superfícies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4), com disposições particulares simétricas com respeito ao
plano carregado. Dentree elas, qual(is) exatamente aquela(s)
aquela(s) que é (são) apropriada(s) para a determinação de uma
expressão geral para o campo
ampo elétrico num ponto genérico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?
a) ( ) S1;
b) ( ) S2;
c)
( ) S3;
d) ( ) S4;
e) ( ) S1 e S2;
f)
( ) S2 e S3;
g) ( ) S2 e S4 ;
h) ( ) S3 e S4 ;
2-
(0,5) Um campo eletrostático possui superfícies equipotenciais planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista
de perfil, pelas três retas tracejadas, igualmente espaçadas de uma distância L, com V1 =2V2=3V3. Além disso, são
mostradas quatro trajetórias orientadas, por curvas contínuas, que partem da equipotencial V1 e passam pelas demais
equipotenciais. Considere as afirmações: (I) o vetor campo elétrico médio E12 entre as equipotenciais V1 e V2 é dado por
–(V2/L)j ; (II) o trabalho realizado pela força eletrostática ao deslocar-se
se uma partícula carregada é o mesmo em todas
as trajetórias mostradas; (III) o trabalho realizado realizado pela força eletrostática ao deslocar-se
deslocar
uma partícula
carregada na trajetória de g para h é negativo. Qual(is) de tais afirmativas
af
está(ão) correta(s)?
A) ( ) nenhuma;
B) ( ) I;
C) ( ) II;
D) ( ) III;
E) ( ) I e II;
F) ( ) I e III;
G) ( ) II e III;
H) ( ) todas;
3-
(0,5) Quatro cargas pontuais q, -q, 2q e -2q estão localizadas nas posições (-1,0,0), (0,-1,0),
1,0), (0,0,-1)
(0,0,
e (-1,-1,-1),
respectivamente. Em termos da delta de Dirac, a densidade volumar de cargas desta distribuição é dada por:
a) ( ) ρ=q[δ(x+1)δ(y)δ(z)-- δ(x)δ(y+1)δ(z)-2δ(x)δ(y)δ(z+1)-2δ(x+1)δ(y+1)δ(z+1)]
b) ( ) ρ=q[δ(x-1)δ(y)δ(z)+ δ(x)δ(y-1)δ(z)+2δ(x)δ(y)δ(z-1)+2δ(x-1)δ(y-1)δ(z-1)]
c)
( ) ρ=q[δ(x+1)δ(y)δ(z)+ δ(x)δ(y+1)δ(z)+2δ(x)δ(y)δ(z+1)+2δ(x+1)δ(y+1)δ(z+1)]
d) ( ) ρ=q[δ(x-1)δ(y)δ(z)-- δ(x)δ(y-1)δ(z)+2δ(x)δ(y)δ(z-1)-2δ(x-1)δ(y-1)δ(z-1)]
e) ( ) ρ=q[δ(x+1)δ(y)δ(z)-- δ(x)δ(y+1)δ(z)+2δ(x)δ(y)δ(z+1)-2δ(x+1)δ(y+1)δ(z+1)]
4-
(0,5) Considere duas esferas condutoras isoladas cada uma tendo uma carga Q. As esferas tem raios a e b, onde b>a.
Qual esfera tem maior potencial (tomando o infinito como referência) e qual esfera tem um campo elétrico mais
intenso na superfície?
A) ( ) VA > VB; EA > EB;
F) ( ) VA =VB; EA < EB;
B) ( ) VA > VB; EA = EB;
G) ( ) VA < VB; EA = EB;
C) ( ) VA > VB; EA < EB;
H) ( ) VA < VB; EA < EB;
D) ( ) VA = VB; EA = EB;
I)
( ) V A < VB ; E A > E B ;
E) ( ) VA = VB; EA > EB;
83
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
5-
(0,5)Considere uma distribuição de cargas da figura. São oito segmentos retilíneos de mesmo comprimento,
uniformemente carregados com densidade linear de mesmo módulo λ > 0. O ângulo entre segmentos vizinhos é o
mesmo (45O). Qual das alternativas melhor representa o campo elétrico resultante em O?
6- (0,5) O quadrado e o círculo na figura abaixo estão imersos em um mesmo campo elétrico uniforme. O diâmetro do
círculo é igual ao lado do quadrado. A razão entre o fluxo do campo elétrico através do quadrado e do círculo
(Φquadrado/Φcírculo)é:
7-
8-
) 1/π;
) 2/π;
) 1;
) 4/π;
) π;
) π/2;
A)
B)
C)
D)
E)
F)
(
(
(
(
(
(
G)
( ) π/4;
(0,5) Uma partícula puntiforme carregada é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica S. Afirma-se que o
fluxo do campo elétrico em S será alterado se: i) a superfície S for substituída pela superfície de um cubo de volume
diferente diferente da esfera mas com o mesmo centro. ii) Se a partícula for arrastada do centro da superfície original
mas ainda continuando dentro da superfície S. iii) A carga for removida para fora da superfície S. iv) Uma segunda carga
for colocada próxima e fora da superfície S. v) Uma segunda carga for colocada dentro da superfície S. Qual(is) das
afirmações acima estão corretas:
A) ( ) todas elas;
B) ( ) nenhuma delas;
C) ( ) somente i) e ii);
D) ( ) somente iii) e iv);
E) ( ) somente i) e iii);
F) ( ) somente ii) e iii);
G) ( ) somente iii) e v);
H) ( ) somente iv) e v);
(0,5)Um cilindro feito de material isolante é colocado em um campo elétrico externo, conforme mostrado na figura. O
fluxo do campo elétrico através da sua face direita, da sua face esquerda e sobre toda a sua superfície é,
respectivamente:
A) ( ) nulo, nulo, nulo;
B) ( ) nulo, nulo, positivo;
C) ( ) nulo, positivo, nulo;
D) ( ) nulo, positivo, positivo;
E) ( ) nulo, positivo, negativo;
F) ( ) nulo, negativo, negativo;
G) ( ) positivo, negativo, positivo;
H) ( ) negativo, negativo, negativo;
I)
( ) positivo, positivo, positivo;
J)
( ) negativo, negativo, nulo;
K) ( ) negativo, positivo, positivo;
L)
( ) negativo, positivo, nulo;
M) ( ) positivo, nulo, nulo;
N) ( ) positivo, positivo, nulo;
O) ( ) positivo, negativo, nulo;
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9-
(2,0) a) (1,0) O potencial elétrico é dado pela expressão V ( r )
= x2 + y 2 + z2
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calcule o vetor campo elétrico.
b) (1,0) Dado o campo elétrico E=xi+yj+zk no vácuo, calcule a densidade volumar de carga
campo em função de εo.
10- (4,0) A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande
que possui uma densidade superficial e carga
constante σ. A placa é recoberta lateralmente por
duas lâminas de espessura D e densidade volumar
de carga constante ρ. (a) (2,0) Utilizando a lei de
Gauss, obtenha o vetor campo elétrico E(z)
produzido pela distribuição de cargas a uma
distância |z| da placa central para os casos em que:
(i) –D ≤ z ≤D e (ii) z ≤ -D. Faça uma gráfico
esboçando o comportamento da componente Ez
versus z, no intervalo z∈(-2D,2D), para o caso em
que σ e ρ são positivos (1,7 ponto). (b) (2,0) Usando
a expressão para o vetor E(z) e tomando como
referência o potencial elétrico VD ≡ V(z=D) na
superfície externa da lâmina lateral (à direita),
obtenha a expressão para o potencial elétrico V(z)
produzido pela distribuição de cargas a uma
distância |z| considerando os mesmos casos acima,
ou seja, em que: (i) –D ≤ z ≤D e (ii) z ≤ -D. Faça um
gráfico esboçando o comportamento de V versus z,
no intervalo z∈(-2D,2D), para o caso em que σ e ρ
são positivos.
ρ que dá origem a este
FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
Segunda Prova de Tópicos de Eletromagnetismo I (2012/2)
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
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Escolha quatro questões para resolver. Boa sorte!
1-
2-
3-
4-
5-
(2,5) Duas cascas esféricas de metal concêntricas de raios a e b (b > a)) estão separadas por um material de
condutividade elétrica σ. No instante t=0 a casca esférica interna de raio a possui uma carga Q.
A) Determine o campo elétrico com função do tempo nas regiões r < a , a < r < b e r>b.
B) Qual a corrente elétrica total que flui no material entre as esferas em função do tempo?
C) Calcule a potência dissipada por unidade de volume no material devido à passagem de corrente como
função do tempo. Mostre que a energia total dissipada é igual à energia eletrostática
eletrostática no material em t=0.
(2,5) Uma longa casca cilíndrica tem raio interno a, raio externo b e conduz corrente I paralela ao eixo central.
Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente está uniformemente distribuída.
distribuída
Determine uma expressão para a magnitude do campo magnético para (a) 0<r<a, (b) a<r<b e (c) r>b.
(2,5) Um fio infinitamente longo está ao longo do eixo z e conduz uma corrente de I na direção +z. Um segundo
fio infinitamente longo é paralelo ao eixo z intercepta o eixo x em x=xo. (a) Determine a corrente no segundo fio
se o campo magnético é zero em (xo/2, 0,0). (b) Qual é o campo magnético (vetor) em (2xo,0,0)?
(2,5) Um longo solenoide tem n voltas por unidade de comprimento e conduz uma corrente que varia com o
tempo de acordo com I=I
I= osenωt. O solenoide tem seção transversal circular de raio R. Determine o campo elétrico
induzido em pontos próximos ao plano equidistante das extremidades do solenoide como função do tempo t e da
distância perpendicular r do eixo do solenoide para (a) r<R
r< e (b) r>R.
(2,5) Esta questão consiste de cinco subquestões, cada uma valendo 0,5 ponto. Apenas serão consideradas as
respostas acompanhadas das respectivas justificativas.
5.1 – Um fio transporta uma corrente I ao longo do eixo z (no sentido +z). Qual a opção incorreta?
A) ( ) H=(I/2πa)j em (x=a,y=0,z=0);
B) ( ) H=-(I/2πa)i em (x=0,y=a,z=a);
C) ( ) H=-(I/2πa)j em (x=-a,y=0,z=-a);
(x=
D) ( ) H=(I/2πa)i em (x=0,y=-a,z=2a);
(x=0,y=
E) ( ) H=(I/2πa)j em (x=a,y=a,z=0);
5.2- um fio circular de raio a no plano xy transporta uma corrente I no sentido horário. O momento de dipolo
magnético deste fio é:
A) ( ) m=Iπak
B) ( ) m=-I2πak
C) ( ) m=I2πak
D) ( ) m=-Iπa2k
E) ( ) m=Iπa2k
5.3-Se
Se m é módulo do momento de dipolo magnético, o potencial vetor do fio circular da questão anterior no
ponto (x=0,y=0,z=a) é:
A) ( ) A=(µo/4π)m/a2k
B) ( ) A=-(µo/4π)m/a2k
C) ( ) A=0
D) ( ) A=(µo/4π)m/ak
E) ( ) A=-(µo/4π)m/ak
5.4 – O fluxo do campo magnético através de um anel metálico de resistência R=1,0 Ω é dado por Φ=t2 –t , onde t
é dado em segundos e o fluxo em webers. A f.e.m induzida no anel e a corrente elétrica que circula em t=0 s é:
A) ( ) ε =1 V e I = 1 A;
B) ( ) ε =-1 V e I = 1 A;
C) ( ) ε =0 V e I = 0 A;
D) ( ) ε =1 V e I = 0 A;
E) ( ) ε =0 V e I = 1 A;
5.5- A força resultante em um fio circular de raio a, no plano xy r que transporta uma corrente I em uma região de
um campo magnético uniforme B=Bok é:
A) ( )2πaBI;
B) ( )πa2BI;
C) ( )πaBI;
D) ( )2aBI;
E) ( ) zero;
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