Módulo III

EE103 – Laboratório de Engenharia Elétrica I
1 sem, 2007
Módulo III – parte 1
CIRCUITOS DE 2a ORDEM, RESSONÂNCIA,
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA, OSCILADOR DE WIEN
NOTA
RA
Nome
RA
Nome
RA
Nome
- 1/1 -
EE103 – Laboratório de Engenharia Elétrica I
1 sem, 2007
Módulo III
CIRCUITOS DE 2a ORDEM, RESSONÂNCIA,
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA, OSCILADOR DE WIEN
Introdução:
Neste terceiro módulo, o objetivo é analisar os efeitos de troca de energia entre dois elementos capazes
de armazenar energia em campo elétrico (capacitores) ou magnético (indutores). Da teoria sabemos que
as relações tensão-corrente nesses elementos envolvem equações diferenciais, cuja solução depende de
condições iniciais, dos parâmetros dos bipolos e das características do sinal de excitação.
Vimos no Módulo II que o atraso ou defasagem observados entre tensão e corrente no circuito RL é
oposta à do circuito RC. Em conseqüência disso, o indutor e o capacitor são capazes de trocar energia
entre si quando estimulados pela mesma corrente (associação série) ou pela mesma tensão (associação
paralela). Estes são dois casos de especial interesse para análise.
Sob condições particulares, essa troca de energia pode dar origem a oscilações pouco amortecidas,
que definem a freqüência de ressonância, em torno da qual pode-se implementar osciladores autosustentados de uso prático.
Material utilizado:
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
Gerador de funções senoidal e quadrada, ajustáveis até 10kHz
Osciloscópio digital 2 canais com saída para impressora
Impressora
Fonte simétrica ±15Vcc
Ohmímetro
Resistores 1kΩ
Ω
Resistores 100Ω
Ω
Resistores 10kΩ
Ω
Resistor shunt 10Ω
Ω
Resistor shunt 100Ω
Ω
Potenciômetro linear 1kΩ
Ω
Potenciômetro linear 2,2kΩ
Ω
Lâmpada de filamento (3-6 V)
Indutor (ou década) 100mH
Capacitor 1µ
µF
Capacitores 0,1µ
µF
Placa com montagem do oscilador
- 2/2 -
Proposição III.1
CIRCUITO RLC SÉRIE,
FREQÜÊNCIA NATURAL DE OSCILAÇÃO, AMORTECIMENTO
Objetivo:
Verificar a freqüência natural e o amortecimento das oscilações.
Revisão da Teoria:
CIRCUITO RLC SÉRIE
Neste circuito:
v = vR + vL + vC
vL = L
v= Ri+ L
Portanto:
vR = R i
di
dt
i= C
dvC
dt
di
+ vC
dt
Obtém-se o comportamento autônomo do circuito fazendo v = 0. Neste caso, a equação diferencial
pode ser expressa por:
d 2i
R di
1
(1)
0 =
+
+
i
2
dt
L dt
LC
cuja forma geral ou canônica é dada por :
d 2i
dt
onde: α = R
2L
2
+ 2α
di
+ ω 02 i = 0
dt
é o amortecimento do sinal i(t), medido em s-1,
ω 0 = 1 LC é a freqüência natural sem amortecimento, medida em rad s ,
T = 2π
ω 0 é o período da oscilação, medido em s.
- 3/3 -
i(t) 5
(mA)
i(t)
4
(mA)
T
4
3
3
2
e−α t
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-4
0
4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tempo (ms)
tempo (ms)
Sem amortecimento
Com amortecimento
A influência dos parâmetros dos bipolos sobre o amortecimento e a freqüência de oscilação pode mais
facilmente ser analisada considerando que i(t) é do tipo exponencial: i(t) ~ k·eλt. Com essa hipótese
podemos reduzir (1) à seguinte equação característica:
λ2 + 2αλ + ω 02 = 0
(2)
cujas raízes são os pólos, ou autovalores, dados por:
λ 1,2 = - α ±
α 2 - ω 02
Estas raízes podem ser reais, imaginárias ou complexas, dependendo dos valores de α e ω0, resultando
um dos seguintes casos:
(a) α < ω0 → caso subamortecido (raízes imaginárias);
(b) α = ω0 → caso limite ou crítico (raízes iguais);
(c) α > ω0 → caso superamortecido (raízes reais).
A solução da equação homogênea, neste caso, assume a forma:
i ( t ) = k 1 e λ 1t + k 2 e λ 2 t
(3)
Para determinar as constantes k1 e k2 é necessário considerar o estado inicial do circuito. Se, por
exemplo, a corrente inicial no circuito for nula (vR(0)=0), resulta:
i(0) = k1 + k2 = 0
A derivada inicial da corrente pode ser obtida a partir da tensão inicial no capacitor:
di
dt
=
t =0
1
[ v - v C (0 )] = k 1 λ 1 + k 2 λ 2
L
- 4/4 -
vC(t)
(V)
6
4
2
3
0
2
-2
-4
1
-6
0
1
2
3
4
5
tempo (ms)
Resposta ao degrau: 1 - subamortecido
(a) Caso Subamortecido:
α < ω0
6
2 - crítico
7
8
3 - superamortecido
(R < Rcr)
Neste caso, a equação (2) terá 2 soluções complexas conjugadas:
λ 1,2 = - α ± j ω 02 - α 2 = - α ± jω d
onde o radicando corresponde à freqüência natural amortecida (ωd). Substituindo λ1 e λ2 na equação
geral (3) resulta como solução:
i(t) =
1
ωd L
[v - vC (0)]
e -αt sin( ω d t)
i(t) 0.4
(A)
0.3
0.2
0.1
Subamortecido
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo (ms)
- 5/5 -
3
3.5
4
Neste caso, a resposta é nitidamente oscilatória com freqüência ωd<ω0 e com amplitude decrescente
para α>0.
(b) Caso Crítico:
(R
α = ω0
= Rcr )
Nesse caso a equação (2) terá apenas uma solução:
R
i1 = i2 = - α = - cr
2L
e a resposta temporal será dada pelo limite de (3) para λ1 → -α e λ2 → -α , ou seja:
i (t ) = -
1
L
[ vC (0 ) - v ] t e -αt
(4)
i(t) 0.2
(A)
0.15
0.1
0.05
Crítico
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo (ms)
3
3.5
4
Neste caso limite não ocorre oscilação.
(c) Caso Superamortecido:
α > ω0
(R
> Rcr )
Neste caso tem-se α 2 - ω 02 > 0 , resultando duas raízes reais λ1 ≠ λ2 em (2). Assim, a resposta para
este caso superamortecido será:
i(t) =
λ1t
λ2 t
1
[v - vC (0 )] e − e
L
λ1 − λ 2
- 6/6 -
i(t) 0.15
(A)
0.1
0.05
Superamortecido
0
-0.05
-0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo (ms)
3
3.5
4
CIRCUITO RLC PARALELO
Neste circuito:
i = iR + iL + iC
vL = L
Portanto:
i=
iR =
di L
v
R
iC = C
dt
dv
dt
v
dv
+ iL + C
R
dt
Vemos que se trata de um caso similar ao anterior; apenas as variáveis e os coeficientes foram trocados.
É de se esperar, portanto, que ocorram os três casos: superamortecido, crítico e subamortecido para a
variável comum v, onde:
α =
1
2RC
ω0 =
1
LC
- 7/7 -
ωd =
ω 02 - α 2
Para observar este caso é necessário impor i através de uma fonte de corrente. Para fim de comparação
com o caso anterior (associação série), calcule os novos valores resultantes para α e ωd, e esboce as
formas de onda que resultariam em cada caso, supondo um degrau de corrente.
Sugestão: Para simular esses casos pode-se recorrer a programas aplicativos, como por exemplo:
MATLAB, SPICE, etc.
Ensaios e Questões:
Os ensaios serão realizados apenas com a associação RLC série. Se alimentarmos este circuito com
uma onda quadrada, de período suficientemente longo, podemos observar a resposta para cada degrau
da tensão imposta. Para verificar, será utilizada a montagem mostrada a seguir.
(i)
► Para L = 100mH meça com o ohmímetro a resistência RL da bobina:
Ω
RL =
(ii)
► Realize a montagem acima para L = 100mH, C = 0,1µF, Rsh = 100Ω e R → década de
resistências de 10kΩ (ajustada inicialmente para 200Ω).
(iii)
■ Calcule a frequência natural f0, em Hz.
(iv)
■ Obtenha o valor crítico de R para α = ω0.
(v)
► Ajuste o gerador para onda quadrada, com Vpp = 8V e f = 100Hz.
(vi)
► Ajuste e anote o valor de R de forma a obter cada uma das três condições descritas
anteriormente. Imprima as respectivas formas de onda da corrente e da tensão no capacitor.
(vii)
Compare as formas de onda de corrente obtidas e dê uma interpretação física para o
comportamento observado.
- 8/8 -
Proposição III.2
RESSONÂNCIA SÉRIE, FAIXA DE PASSAGEM,
LARGURA DE BANDA, FATOR DE QUALIDADE
Objetivo:
Verificar o fenômeno da ressonância, sintonia, faixa de passagem e fator de qualidade de
um circuito RLC série.
Introdução:
Já vimos anteriormente que os circuitos indutivo e capacitivo introduzem defasagens contrárias entre
tensão e corrente. Vimos também que essa defasagem depende da freqüência da tensão de alimentação.
Veremos agora que a freqüência não determina apenas a defasagem, mas afeta também as magnitudes
dos sinais de tensão ou corrente resultantes. Para observar esses efeitos vamos considerar a freqüência
uma variável independente no circuito RLC série da seguinte montagem:
R = década
L = 100mH
C = 0,1µF
Rsh = 10Ω
Observe que se trata do mesmo circuito analisado na Proposição III.1, porém agora analisaremos o
comportamento no domínio da freqüência.
Ensaios e Questões:
(i)
► Ajuste a fonte senoidal em 1kHz, Vp = 6V em vazio. Ajuste o valor de R em 300Ω.
Conecte o osciloscópio aos pontos 1 e 4, conforme indicado, para observar os sinais de
corrente e tensão respectivamente.
- 9/9 -
(ii)
► Preencha a tabela a seguir para R = 300Ω e R = 100Ω. Anote o valor de fImax, definida
como a freqüência para a qual a corrente é máxima. Mantenha a tensão da fonte constante
durante o ensaio.
f
[kHz]
1,0
1,2
1,4
1,5
R = 300Ω
I [mA] (*)
R = 100Ω
I [mA] (*)
fImax →
(**)
1,7
1,8
2,0
2,2
2,4
(*) Valores rms.
(**) Imprimir a forma de onda da corrente.
(iii)
Compare fImax (freqüência que provoca Imax) com a freqüência natural f 0 = ω 0
2π
obtida na
Proposição III.1. O que você conclui?
(iv)
■ Calcule Imax em função dos parâmetros do circuito e da tensão aplicada para os dois valores
de R. Compare com os valores medidos.
(v)
► Verifique que:
•
•
•
na frequência fImax, a corrente está em fase com a tensão da fonte.
abaixo desta freqüência, a corrente fica adiantada em relação à tensão da fonte.
acima desta freqüência, a corrente fica atrasada em relação à tensão da fonte.
Imprima as formas de onda referentes às situações acima e explique.
(vi)
► Conecte agora o canal 2 do osciloscópio no ponto 3 do circuito e o GND no ponto 2, para
ver a tensão sobre os bipolos reativos (L,C). Ajuste novamente a freqüência que produz Imax.
Meça as tensões vL e vC e verifique que, nesta condição, a soma das tensões (vL+ vC) é mínima.
Imprima as formas de onda e dê uma explicação física ao fenômeno.
(vii)
► Meça os valores de pico de vL e vC e compare com o valor de pico da tensão da fonte.
(viii)
► Varie R e observe o que ocorre com as tensões vL e vC.
(ix)
► Através do osciloscópio (VRsh), determine os dois valores de freqüência de corte {fA, fB}
para os quais I = I max 2 (Imax é o máximo valor eficaz):
fA [Hz]
fB [Hz]
R = 300 Ω
R = 100 Ω
(x)
Trace, em um mesmo gráfico, as curvas [I × f ] para R = 300 Ω e R = 100 Ω.
- 10/10 -
Note através dessas curvas que o valor de R não afeta a freqüência de ressonância, porém modifica a
"altura" e a "largura" da curva [I × f ] , ou seja, modifica a "sintonia" do circuito. Essa sintonia pode ser
quantificada em função da faixa de passagem de freqüência. A faixa de passagem é definida em função
das freqüências (fA e fB) para as quais a potência cai para a metade do valor absorvido na ressonância.
Essa definição é conveniente, uma vez que a potência absorvida na ressonância é máxima e vale:
Pmax =
V2
2
= RT I max
RT
em que I são valores eficazes e RT é a resistência total do circuito. Portanto, a condição de meia
potência ocorre para:
Pmax
I

= RT  max 
2
 2 
2
As freqüências nas quais ocorre essa condição são chamadas freqüências de corte. Define-se, então, a
largura de faixa (B) como sendo a diferença entre as freqüências de corte (correspondentes à meia
potência ou a I max 2 ), ou seja, é a diferença entre fB e fA medidas no item (vii):
B = ∆ f = fB - f A
fB > f A
(xi)
Obtenha as larguras de faixa para os dois valores de R.
(xii)
■ Verifique que a largura de faixa pode ser expressa na forma ∆ω = 2π∆f
diretamente como função dos parâmetros do circuito série RLC através de:
∆ω =
RT
L
e também
= 2α
Uma outra forma de quantificar a sintonia do circuito é através do fator de qualidade Q definido por:
Q=
ω 0 1 LC 1
=
=
∆ω
RT L
RT
L
C
Fica claro que, enquanto a largura de faixa aumenta linearmente com RT, o fator de qualidade varia
inversamente. Além disso, Q depende dos três parâmetros (R,L e C), enquanto que B só depende de
dois (RT e L).
- 11/11 -
I
Im
0.707 Im
0
fA
fo
fB
frequência
(xiii)
Calcule os valores de Q resultantes para os casos estudados.
(xiv)
■ Qual a relação analítica entre o fator de qualidade (Q) e o amortecimento (α) do circuito?
(xv)
■ O circuito RLC é usualmente conhecido como um circuito de sintonia (usado em receptores
de rádio e televisão). Explique qual dos dois casos (300 e 100Ω) representaria um circuito
mais adequado do ponto de vista de recepção do sinal.
- 12/12 -
EE103 – Laboratório de Engenharia Elétrica I
1 sem, 2007
Módulo III – parte 2
CIRCUITOS DE 2a ORDEM, RESSONÂNCIA,
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA, OSCILADOR DE WIEN
NOTA
RA
Nome
RA
Nome
RA
Nome
- 13/13 -
Proposição III.3
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA,
FILTRO SEPARADOR DE BAIXAS E ALTAS FREQÜÊNCIAS
Objetivo:
Verificar as características de filtragem de circuitos RL e RC.
Introdução:
Como vimos, um circuito RL é um derivador de corrente:
v(t) = R i(t) + L
di(t)
dt
enquanto que um circuito RC é um integrador de corrente:
v(t) = R i(t) +
1
i(t) dt + vC (0)
C
∫
Isto significa que se a tensão v é imposta ao circuito, com R, L e C dados, o circuito RL funciona como
um limitador de derivada (taxa de variação) da corrente e o circuito RC como um limitador de
integração (taxa de acumulação) da corrente. Em outras palavras, podemos dizer que o indutor não
admite variações bruscas de corrente (limita altas freqüências) e que o capacitor limita variações de
carga, ou seja, não permite que um degrau de corrente seja sustentado (limita baixas freqüências).
Essa característica de filtragem dos circuitos RL e RC pode ser explorada, por exemplo, para obter a
separação dos sinais de áudio de alta e baixa freqüência, dirigindo-os a alto-falantes projetados
especialmente para cada faixa, melhorando o desempenho acústico do aparelho de som.
Ensaios e Questões:
(i)
► Para observar a separação de altas e baixas freqüências, faça a seguinte montagem,
considerando as resistências RL da bobina e Ri do gerador de funções:
RL =
Ω
Ri =
Ω
R = 1kΩ
Décadas:
L = 1H
C = 0,1µF
- 14/14 -
(ii)
► Meça a indutância da bobina com o medidor LCR:
L =
H
(iii)
■ Calcule a freqüência de ressonância natural (sem amortecimento) em [Hz] do circuito com
base nos parâmetros medidos.
(iv)
■ Obtenha as expressões analíticas e calcule as freqüências de corte de cada ramo do circuito
em função das respectivas constantes de tempo (vistas no módulo II, proposição 6).
(v)
► Ajuste um sinal senoidal de 1kHz, Vp = 6V e levante a resposta em freqüência dos dois
ramos, preenchendo a tabela seguinte, mantendo constante a tensão Vp (acompanhe o valor
com um voltímetro adequado).
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
f [Hz]
50
100
150
170
200
250
300
VRL [V] (rms)
VRC [V] (rms)
(*)
500
600
900
1200
1500
1600
1800
2000
3000
5000
(*) freqüência para a qual VRL = VRC
(vi)
Trace as respostas em freqüência [V RL × f ] e [V RC × f ] em um único gráfico, com o eixo das
freqüências em escala logarítmica.
(vii)
Identifique a freqüência natural do circuito no gráfico das respostas em freqüência.
(viii)
Demonstre que na freqüência natural do circuito tem-se V RL = V RC .
- 15/15 -
(ix)
► Meça as freqüências de corte, para as quais as tensões nas resistências correspondem a
Vmax 2 em cada um dos ramos ( Vmax é o máximo valor eficaz possível em cada um dos
ramos). Compare os valores medidos com os obtidos do gráfico das respostas em freqüência.
(x)
Verifique que a freqüência de ressonância medida se aproxima da média geométrica das
freqüências de corte:
f0 =
f c1 × f c 2
Justifique eventuais diferenças.
(xi)
Suponha que as resistências do circuito fossem alto-falantes. Explique como o som distribuirse-ia pelos dois ramos em função da freqüência (graves e agudos).
- 16/16 -
Proposição III.4
OSCILADOR AUTO-ESTABILIZADO
Objetivo:
Obter um oscilador de Wien.
Introdução:
A ressonância de circuitos de 2a ordem pode ser explorada para a construção de osciladores utilizados
em geradores de sinais. No entanto, devido ao efeito de amortecimento, sempre presente devido às
resistências dos elementos, é preciso utilizar circuitos ativos para estabilizar a amplitude da oscilação,
compensando a atenuação natural.
Um circuito simples que realiza essa função é o oscilador a ponte de Wien, que tem um amplificador
operacional como elemento ativo.
Pode-se notar que a tensão de saída corresponde à amplificação da diferença (v p − e1 ) . A tensão v p
apresenta uma freqüência natural associada aos circuitos R1C1 paralelo e R2C2 série, valendo:
ω 20 =
1
R1C1 • R2 C2
- 17/17 -
Se R1 = R2 = R e C1 = C 2 = C , resulta:
ω0 =
1
RC
Devido ao alto ganho do amplificador resulta que v 0 oscila juntamente com (v p − e1 ) . A realimentação
da tensão e1 permite controlar a amplitude do sinal de saída.
A auto-regulação da amplitude (amortecimento nulo) é obtida através da realimentação de um divisor
de tensão não-linear, baseado em lâmpada de filamento. O princípio é simples: como a realimentação
negativa é controlada pela resistência do filamento (R4), que cresce com o aumento da tensão nela
aplicada, a amplificação do sinal diminui pela relação inversa do divisor de tensão, pois:
R4
v p ≅ e1 =
v , ou
R3 + R 4 0
R + R4
v0 ≅ 3
vp
R4
(5)
Basta, portanto, ajustar uma relação adequada entre R3 e R4 para obter a saída com a amplitude
estabilizada desejada.
Ensaios e Questões:
(i)
■ Utilizando R1 = R2 = 10kΩ, C1 = C2 = 0,1µF, R3 = potenciômetro de 1kΩ e uma lâmpada
de 3V, calcule a freqüência de oscilação em [Hz].
(ii)
► Na montagem do oscilador observe v0 através do osciloscópio. Ajuste o potenciômetro para
obter uma oscilação senoidal estável. Meça a freqüência da oscilação observada e compare
com o valor calculado.
(iii)
► Imprima as formas de onda de vp e e1 . Verifique que é satisfeita a condição vp ≅ e1.
(iv)
► Obtenha, através do osciloscópio, a relação de amplificação entre a tensão de saída v0 e a
tensão de entrada vp, e verifique que esta permanece aproximadamente constante, mesmo que
se varie R3 , a menos que o amplificador sature. Com base na equação (5), comente como isso
ocorre.
(v)
► Meça com um ohmímetro a resistência da lâmpada, tirando-a do circuito. Substitua-a por
um resistor de valor equivalente e verifique se é possível obter uma oscilação estável.
Comente.
(vi)
► Verifique o espectro de v0 (função MATH FFT). Altere R3 de modo a obter uma saída
distorcida e observe novamente o espectro.
- 18/18 -