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5910187 – Biofísica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 13
Modelo Macroscópico para o Transporte Iônico Passivo pela Membrana
Celular
Como visto na aula 11, quando apenas uma espécie iônica pode fluir pela
membrana celular existe um valor de equilíbrio para o potencial de membrana (o
potencial de Nernst, En) tal que quando o potencial de membrana Vm tem esse
valor o fluxo dessa espécie iônica através da membrana se anula.
Um modelo simples para capturar este fenômeno, sem recorrer à teoria de
eletrodifusão e à equação de Nernst-Planck, consiste em assumir que a relação
entre a densidade de corrente Jn e o potencial de membrana Vm é linear, do tipo lei
de Ohm1:
J n = gn (Vm − En ) ,
(1)
onde gn é a condutância da membrana à espécie iônica n por unidade de área
(pois Jn é uma medida por unidade de área). Se quisermos calcular a corrente total
passando pela membrana, teremos que multiplicar os dois lados da equação acima
pela área da superfície da membrana A.
Este modelo captura o fenômeno da existência de um potencial de equilíbrio dado
pelo potencial de Nernst. Para verificar isto, basta fazer Vm = En na equação
acima. O resultado é Jn = 0 como desejado.
1
Para uma revisão sobre lei de Ohm, veja o apêndice desta aula.
1
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Por outro lado, quando Vm ≠ En, a equação (1) implica que Jn varia linearmente
com a diferença entre Vm e En.
Além de sua simplicidade, este modelo permite representar a relação entre o
potencial de membrana Vm e a densidade de corrente Jn por um circuito elétrico
equivalente (veja a figura abaixo).
Observe a figura acima. No lado esquerdo temos um esquema para a membrana
celular mostrando a densidade de corrente que passa através dela, do lado de
dentro da célula para o lado de fora. No lado direito temos o modelo de circuito
equivalente que representa a membrana e a densidade de corrente do ponto de
vista elétrico.
A membrana oferece uma resistência à passagem de corrente através dela, que é
representada aqui pela condutância por unidade de área gn.
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Existe uma diferença de potencial elétrico Vm entre o lado de dentro e o lado de
fora da membrana e a densidade de corrente Jn é proporcional à diferença entre
Vm e o potencial de Nernst En, de maneira que En pode ser representado por uma
bateria em série com a resistência gn.
Para entender melhor: Da figura acima, vemos que a variação de potencial entre o
lado de dentro e o lado de fora da membrana, Vm, é numericamente igual à soma
da variação de potencial pela resistência com a variação de potencial pela bateria
En. Chamando a resistência de R e omitindo o índice n para simplificar:
Vm = RI + E.
Rearranjando:
RI = Vm − E ⇒ I =
1
(Vm − E ) = G (Vm − E ).
R
Dividindo pela área da superfície da membrana:
I G
= (Vm − E ) ⇒ J = g (Vm − E ).
A A
A condutância de um canal iônico é uma quantidade positiva. Portanto, pela
equação (1):
se Vm − En > 0, então Jn > 0;
se Vm − En < 0, então Jn < 0.
Um transporte iônico que satisfaz essas condições é dito passivo, pois se origina
apenas da diferença de potencial entre os dois lados da membrana sem gastos
energéticos por parte da membrana.
3
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As membranas celulares têm mecanismos para fazer com que íons passem através
dela no sentido contrário ao definido pela relação entre Vm e En acima. Esses
mecanismos requerem o gasto de energia por parte da membrana e o tipo de
transporte proporcionado por eles é chamado de ativo.
A convenção a ser adotada aqui para o sentido positivo de corrente através da
membrana celular (convenção dos eletrofisiologistas) é a de que corrente que sai
da célula é positiva e corrente que entra na célula é negativa. Como corrente
elétrica é definida como movimento de cargas positivas, corrente positiva através
da membrana corresponde a cargas positivas saindo da célula e corrente negativa
através da membrana corresponde a cargas positivas entrando na célula.
Por exemplo, suponha que os íons que fluem pela membrana são íons de potássio
(K+). A equação (1) fica então:
J K = gK (Vm − EK ).
(2)
Se Vm − EK > 0, então JK > 0. Isto corresponde a:
• Corrente para fora da célula;
• Cargas positivas saindo da célula;
• Íons de potássio saindo da célula;
• Potencial dentro fica mais negativo em relação ao exterior (por causa da
saída das cargas positivas);
• Vm diminui (lembre-se que Vm = Vdentro − Vfora);
• Vm vai em direção a EK.
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Tomando um exemplo concreto: Vamos supor que o potencial de Nernst do
potássio é EK = –75 mV e que o potencial de membrana é Vm = –70 mV. Note que
Vm − EK = −70 mV − (−75 mV) = 5 mV > 0. Se cargas positivas saem da célula, o
potencial dentro tende a ficar mais negativo, por exemplo indo a Vm = –72 mV,
que é mais próximo de EK. Quando Vm = EK, a corrente para.
Se Vm − EK < 0, então JK < 0. Isto corresponde a:
• Corrente para dentro da célula;
• Cargas positivas entrando da célula;
• Íons de potássio entrando na célula;
• Potencial dentro fica mais positivo em relação ao exterior (por causa da
entrada das cargas positivas);
• Vm aumenta;
• Vm vai em direção a EK.
Exemplo:
EK
=
–75
mV
e
Vm
=
–80
mV,
portanto
Vm − EK = −80 mV − (−75 mV) = − 5 mV < 0. Se cargas positivas entram na célula, o
potencial dentro tende a ficar mais positivo, por exemplo indo a Vm = –78 mV,
que é mais próximo de EK. Quando Vm = EK, a corrente para.
Podemos dizer que a corrente de potássio através da membrana é provocada pela
diferença Vm − EK (em inglês diz-se que Vm − EK é a driving force para a corrente).
O sentido da corrente é sempre tal que o potencial de membrana tende para o
valor do potencial de equilíbrio (Nernst) do íon.
5
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Faça como exercício para casa o mesmo estudo acima considerando o íon de
sódio (Na+) e depois o íon de cloreto (Cl-). Use como valores de ENa e ECl os
valores da tabela da página 6 da aula 11. O resultado será o mesmo. O sentido da
corrente sempre será o de forçar o potencial de membrana Vm em direção ao
potencial de equilíbrio do íon.
Eletrodifusão Estacionária pela Membrana Celular
O modelo de circuito elétrico para um canal iônico apresentado acima pode ser
interpretado da seguinte maneira. Suponhamos que a membrana seja constituída
por uma matriz impermeável na qual existam canais (poros) cheios de água, pelos
quais os íons possam passar por eletrodifusão (figura abaixo).
O fluxo iônico por esse poro pode ser modelado pelas equações de eletrodifusão
vistas nas aulas passadas.
6
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Para simplificar, vamos supor que a eletrodifusão é estacionária. Neste caso,
como visto na aula 12, a densidade Jn é constante e o problema de eletrodifusão é
descrito pelas equações (6) e (7) daquela aula, reproduzidas abaixo:
"
dc (x)
dV (x) %
J n = −un zn F $ RT n
+ zn Fcn (x)
'
#
dx
dx & ,
(3)
d 2V ( x)
ρ ( x)
=
−
.
ε
dx 2
(4)
e,
Como vamos considerar aqui a corrente (ou a densidade de corrente) por um
único canal da membrana, vamos usar um super-índice c (de canal) para indicar
isto. Então, a equação de Nernst-Planck para um único canal fica:
"
dc (x)
dV (x) %
J nc = −un zn F $ RT n
+ zn Fcn (x)
'.
#
dx
dx &
(5)
Multiplicando a equação (5) por A (a área da seção reta do canal), obtemos uma
c
c
expressão para a corrente passando pelo canal, I n = AJ n :
"
dc (x)
dV (x) %
I nc = AJ nc = −un Azn F $ RT n
+ zn Fcn (x)
'
#
dx
dx & .
(6)
Esta equação pode ser manipulada da seguinte maneira. Primeiramente, vamos
reescrevê-la como,
" RT 1 dcn (x) dV (x) %
I nc = −un Azn2 F 2 cn (x) $
+
'
dx & .
# zn F cn (x) dx
(7)
7
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Usando o fato de que
1 dc
d
=
ln c ,
c dx dx
podemos escrever a equação (7) na forma (note que estamos apenas usando um
artifício matemático para transformar a equação em outra que possa ser mais
facilmente interpretada):
I nc = −un Azn2 F 2 cn (x)
%
d " RT
ln cn (x) + V (x)' ⇒
$
dx # zn F
&
# RT
&
I nc
⇒
dx
=
−d
ln
c
(x)
+
V
(x)
%
(.
n
un Azn2 F 2 cn (x)
$ zn F
'
(8)
Integrando ambos os lados de x = 0 a x = d:
I nc
un Azn2 F 2
d
∫
0
I nc
⇒
un Azn2 F 2
I nc
⇒
un Azn2 F 2
d
dx
x=d #
&
dx
RT
= − ∫ d%
ln cn (x) + V (x)( ⇒
cn (x)
'
x=0 $ zn F
d
∫
0
x=d
$ RT
'
dx
= −&
ln cn (x) + V (x)) ⇒
cn (x)
% zn F
(x=0
RT
∫ c (x) = − z F (ln c (d) − ln c (0)) + (V (0) − V (d)) ⇒
n
0
n
I nc
⇒
un Azn2 F 2
n
n
d
∫
0
dx
RT $ cn (d) '
=−
ln &
) + Vm ,
cn (x)
zn F % cn (0) (
(9)
onde se usou a definição de potencial de membrana: Vm = V(0) − V(d).
8
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Lembrando que o potencial de Nernst do íon n é
RT ! cn (d) $
En =
ln #
&,
zn F " cn (0) %
podemos reescrever a equação (9) como:
I nc
un Azn2 F 2
d
∫
0
dx
= Vm − En .
cn (x)
(10)
c
Podemos isolar I n no lado esquerdo da equação acima, obtendo:
I nc = γ n (Vm − En ),
(11)
un Azn2 F 2
γn = d
dx .
∫ 0 c (x)
n
(12)
onde definiu-se
A grandeza γn definida por (12) é a condutância do canal aberto.
Portanto, no estado estacionário a equação de Nernst-Planck para um canal iônico
pode ser colocada numa forma similar à do modelo da equação (1). Para verificar
isto, basta dividir a equação (11) pela área da seção reta do canal iônico:
I nc γ n
J = = (Vm − En ) = gnc (Vm − En ).
A A
c
n
(13)
9
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c
c
Nesta equação, J n é a densidade de corrente pelo canal iônico e gn é a
condutância do canal aberto dividida pela área de sua seção reta.
Como será visto mais para a frente neste curso, o transporte iônico passivo
através de membranas é feito por canais iônicos microscópicos. Porém, eles não
estão sempre abertos. Um canal pode estar aberto ou fechado para a passagem de
íons em função de fatores como o valor do potencial de membrana ou a ligação de
alguma molécula à membrana.
Em um dado instante de tempo um canal iônico pode estar aberto ou fechado (ele
não pode estar meio aberto ou meio fechado). Portanto, a corrente total através da
membrana num dado instante de tempo pode ser calculada multiplicando a
corrente por um canal, dada por (13), pelo número de canais abertos nesse
instante de tempo.
Como estamos estudando uma condição de estado estacionário, vamos supor que
o número de canais abertos não varia no tempo, ou seja, embora os canais estejam
se fechando e abrindo constantemente, a fração de canais abertos em relação ao
número total de canais da membrana permanece constante ao longo do tempo.
Esta fração pode ser entendida como a probabilidade p de que um canal esteja
aberto. Se N for o número de canais da espécie iônica n presentes na membrana,
pN dá o número de canais abertos (uma constante ao longo do tempo no regime
estacionário).
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Então, a corrente iônica total da espécie n através da membrana é
I n = pNI nc = pNγ n (Vm − En ).
(14)
Em geral, é muito difícil determinar o número total de canais em uma membrana,
mas pode-se estimar a densidade ρ de canais por unidade de área da membrana.
Se A for a área total da superfície da membrana (não confundir com A, que é a
área da seção reta de um canal), o número total de canais da espécie iônica n pode
ser escrito como
N = ρA.
(15)
Substituindo (15) na equação (14) obtemos:
I n = pρ Aγ n (Vm − En ) = Gn (Vm − En ).
(16)
Nesta equação, Gn = pρAγn é a condutância da membrana à espécie iônica n no
estado estacionário. Em palavras:
Condutância Gn = condutância de um canal × número total de canais × fração do
número total de canais que estão abertos
A equação (16) nos dá a corrente total pela membrana. Para obter a densidade de
corrente total pela membrana temos que dividir a corrente total pela área A da
membrana. Fazendo isso, obtemos:
Jn =
In
= pργ n (Vm − En ) = gn (Vm − En ),
A
(17)
11
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onde definiu-se a densidade de condutância da membrana à espécie iônica n
como:
gn =
Gn
.
A
(18)
Preste atenção na notação: estamos usando letras minúsculas para indicar
grandezas por unidade de área da membrana (ditas específicas) e letras
maiúsculas para indicar grandezas para toda a membrana.
Note que a equação (17) é idêntica à equação (1). Portanto, o modelo
desenvolvido nesta segunda parte da aula, baseado na equação de Nernst-Planck e
na hipótese de corrente estacionária pelos canais iônicos da membrana, reproduz a
equação macroscópica para a relação entre densidade de corrente e potencial de
membrana do modelo (ôhmico) de circuito elétrico equivalente usada na primeira
parte da aula.
Apêndice: Lei de Ohm e Condutividade Molar para Soluções Eletrolíticas
Consideremos um condutor cilíndrico de seção reta de área S.
Quando uma corrente flui pelo condutor, cargas se movem e existe um campo
elétrico em seu interior.
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A corrente elétrica I é a quantidade de carga passando por um dado ponto do
condutor por unidade de tempo:
I=
dQ
.
dt
(A1)
A unidade de I é o ampère = coulomb/segundo.
Para haver corrente ao longo do condutor deve haver um campo elétrico em seu
interior (sem campo elétrico as cargas se moveriam de forma aleatória em todas
as direções e o movimento médio seria nulo). Portanto, deve haver uma diferença
de potencial entre dois pontos do condutor.
Seja V = V(A) – V(B) a diferença de potencial entre as extremidades do condutor
(veja a figura abaixo).
A corrente I é uma função da voltagem: I = I(V). Na maioria dos casos, I é
simplesmente proporcional a V:
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I=
V
= GV .
R
(A2)
Esta é a lei de Ohm. A constante R é denominada resistência elétrica do condutor
(sua unidade é o ohm, Ω). A grandeza G = 1/R é denominada condutância
elétrica do condutor (sua unidade é o siemens, S). Por convenção, a direção
positiva de corrente elétrica é a que cargas positivas livres teriam se fossem
colocadas entre os dois polos da bateria, ou seja, do polo positivo para o negativo
(veja a figura acima).
Se o condutor tiver comprimento L e área de seção reta A, a sua resistência será
dada por,
R=ρ
L
,
A
(A3)
onde ρ é a resistividade elétrica do material de que é feito o condutor. A sua
unidade é Ωm. A inversa de ρ é a condutividade elétrica do material, denotada
por σ, com unidade S/m.
A condutividade σ e a resistividade ρ são propriedades materiais de uma dada
substância, que não dependem das dimensões do condutor.
Combinando as equações vistas, a lei de Ohm para o fio condutor fica:
V = RI = ρ
LI
.
A
(A4)
14
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Lembrando que a densidade de corrente pelo condutor é
I
,
A
(A5)
V = ρ LJ.
(A6)
J=
podemos escrever a lei de Ohm como:
Isto implica que
1V
V
=σ .
ρL
L
J=
(A7)
Por outro lado, o campo elétrico e o potencial no interior do condutor estão
relacionados por:
E =−
dV
V (B) −V (A) V
=−
= .
dx
L
L
(A8)
Logo, podemos reescrever a lei de Ohm como:
J = σ E.
(A9)
Esta forma de escrever a lei de Ohm é muito útil, pois não envolve grandezas que
dependem da geometria do condutor.
No estudo de materiais que conduzem eletricidade, esses materiais são
caracterizados por sua resistividade ou condutividade. No caso de materiais
biológicos é mais comum eles serem caracterizados pela condutividade.
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Porém, na teoria de eletrodifusão desenvolvida nas aulas passadas as equações
(por exemplo, a equação de Nernst-Planck) estão expressas em termos de
grandezas como concentração e mobilidade. O objetivo do resto deste apêndice
será relacionar essas grandezas com a condutividade do material, para obtermos
equações que possam ser aplicadas ao caso biológico.
Vamos considerar uma solução eletrolítica homogênea com concentração
uniforme do íon n. Neste caso, o gradiente de cn é nulo e o movimento iônico é
devido apenas ao campo elétrico presente. A equação de Nernst-Planck (equação
20 da aula 10) torna-se então:
J n = −un zn2 F 2 cn
∂V
.
∂x
(A10)
Lembrando da relação entre potencial elétrico e campo elétrico, esta equação
pode ser escrita como:
J n = un zn2 F 2 cn E.
(A11)
Comparando esta equação com a lei de Ohm (equação A9), podemos definir a
condutividade elétrica da n-ésima espécie iônica por
σ n = un zn2 F 2 cn .
(A12)
Note que a condutividade depende da mobilidade do íon, da sua concentração e
da sua valência.
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Define-se a condutividade molar, Λn, por
Λn =
σn
D
= u n z n2 F 2 = n z n2 F 2 ,
cn
RT
(A13)
onde se usou a relação de Einstein (equação 19 da aula 10, Dn = unRT), que
relaciona a mobilidade molar ao coeficiente de difusão da n-ésima espécie iônica.
Como medidas elétricas de condutividade são relativamente fáceis de serem
feitas, esta equação é muitas vezes usada para se determinar o coeficiente de
difusão de um íon.
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