Análise de Circuitos

03-03-2010
Universidade de Aveiro
Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática
Sistemas Electrónicos
Mestrado Integrado em Engenharia de
Computadores e Telemática
Análise de Circuitos
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Conteúdos
• Grandezas eléctricas
–
–
–
–
Carga
Corrente
Tensão
Potência
• Elementos de um circuito eléctrico
–
–
–
–
–
Fontes independentes
Resistências
Fontes dependentes
Condensadores
Bobines
• Elementos topológicos
– Nó, Ramo e Malha
– Ligações série e paralelo
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1
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Grandezas eléctricas - Carga
• Os efeitos da gravidade são facilmente apreciados
no dia a dia.
• As forças da gravidade são conhecidas, sendo
possível quantificá-las e determinar o seu efeito.
• Contudo, não as conseguimos ver.
• De forma semelhante, os efeitos da carga eléctrica
também são facilmente observados. No entanto a
carga eléctrica é algo que não conseguimos ver.
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Grandezas eléctricas - Carga
• Continuando com a comparação entre gravidade e
carga eléctrica…
– A gravidade permite-nos compreender as forças
atractivas entre corpos de massa diferente.
– Sabe-se que corpos de maior massa, exercem forças
atractivas mais intensas sobre corpos de menor massa.
• Relativamente à carga eléctrica foram
identificadas forças atractivas e repulsivas
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Grandezas eléctricas - Carga
• A existência de forças atractivas e repulsivas
pressupõe dois tipos de carga eléctrica:
– Carga negativa.
– Carga positiva.
• Relativamente a estes dois tipos da carga, sabe-se
que:
– Cargas de igual sinal repelem-se.
– Cargas de sinal contrário atraem-se.
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Grandezas eléctricas - Carga
• Toda a matéria é constituída por átomos. A carga
eléctrica é uma propriedade das partículas do
átomo:
– Carga negativa – electrões.
– Carga positiva – protões.
– Os neutrões têm carga nula.
– Globalmente o átomo é neutro.
• A carga de um electrão é de -1.602E-19 C
(Coulomb).
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Grandezas eléctricas - Corrente
• A corrente num condutor possui direcção e
magnitude associadas.
• A corrente é a medida da razão em que a carga se
está a movimentar, através de uma superfície de
referência e numa determinada direcção.
• Se q(t) for a variação temporal da carga, a
corrente é dada por:
i (t ) =
dq (t )
dt
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Grandezas eléctricas - Corrente
• A corrente é medida e Ampère (A), em virtude dos
primeiros estudos sobre corrente eléctrica,
executados por André Marie Ampère.
• 1 A é corresponde ao movimento de carga à razão
de 1 C/s.
• De forma equivalente a carga transferida entre os
tempos t0 e t é definida por:
t
q = ∫ i (u )du
t0
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Grandezas eléctricas - Tensão
• Quando uma corrente atravessa um determinado
elemento do circuito, entrando no terminal A e
saindo no terminal B, surge entre A e B uma
diferença de tensão (ou potencial).
I
• A diferença de tensão através
A
do elemento é uma medida do
trabalho realizado para que
VAB
E
uma determinada quantidade
de carga atravesse o elemento. B
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Grandezas eléctricas - Tensão
• A tensão aos terminais de um elemento é o
trabalho realizado para mover 1 C de carga de um
terminal ao outro.
• A tensão é medida em Volts (V), em virtude dos
trabalhos de Alessandro Volta.
• 1 V é equivalente a 1 J/C.
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Grandezas eléctricas - Potência
• A potência é uma medida da energia despendida
por unidade de tempo. A potência é medida em
Watts (W).
• 1 W equivale a 1 J/s
• A potência é proporcional:
– À carga por unidade de tempo – corrente
– E ao trabalho necessário para transferir 1 C de carga tensão
P = VI
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Grandezas eléctricas - Potência
• O balanço de potência num circuito é sempre
nulo, em consequência do principio fundamental
da conservação da energia.
• Assim, pode coexistir num mesmo circuito:
– Potência fornecida: P<0
– Potência absorvida: P>0
– Potência dissipada: P>0
• É necessário convencionar quando um elemento
fornece, absorve ou dissipa potência.
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Grandezas eléctricas - Potência
• P>0 quando a corrente que o
atravessa e a tensão aos seus
terminais têm o mesmo
sentido.
I
A
VAB
E
PE>0
B
I
A
• P<0 quando a corrente que o
atravessa e a tensão aos seus
terminais têm sentidos opostos.
E
VAB
B
PE<0
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Elementos – Fontes Independentes
• Há dois tipos de fontes independentes:
– Fontes de tensão.
– Fontes de corrente.
• As fontes independentes servem para representar
as variáveis de entrada de um determinado
circuito, consequentemente podem representar:
– A alimentação do circuito (fontes DC).
– Os estímulos de entrada do circuito (fontes de sinal).
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Elementos – Fontes Independentes
• Fontes independentes de tensão
• Fontes independentes de corrente
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Elementos – Resistência
• Chama-se resistência a um elemento que exibe
uma dependência linear entre a corrente que o
atravessa e a tensão aos seus terminais.
• Esta relação linear é conhecida por Lei de Ohm, e
estabelece que:
R=
V
V
⇔ V = RI ⇔ I =
I
R
• A resistência é medida em Ohms (Ω), em virtude
dos resultados do físico George S. Ohm.
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Elementos – Resistência
• A resistência é uma propriedade existente em
todos os materiais condutores.
• Quantifica a oposição que um determinado
elemento condutor oferece à passagem de
corrente.
L
S
R=ρ
L
S
• L – comprimento (m).
• S – área de secção (m2).
• ρ – resistividade do material
(Ω/m).
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Elementos – Resistência
• Por definição, a resistência é um elemento que
dissipa potência. A energia eléctrica fornecida a
uma resistência é por esta convertida em calor.
• Consequentemente, PR>0
V2
= RI 2 > 0
PR = VI =
R
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Elementos – Resistência
• O recíproco da resistência é a condutância.
G=
1 I
=
R V
• A condutância é medida em Siemens (o recíproco
do Ohm) (S, ou Ω-1).
• Verifica-se de forma análoga que:
I2
PG = VI =
= GV 2 > 0
G
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Elementos – Fontes Dependentes
• As fontes dependentes são classificadas quanto à
variável de controlo e quanto à variável
controlada.
• Assim podem existir 4 tipos de fontes
dependentes:
– Fonte de tensão controlada por tensão (VCVS).
– Fonte de tensão controlada por corrente (CCVS).
– Fonte de corrente controlada por tensão (VCCS).
– Fonte de corrente controlada por corrente (CCCS).
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Elementos – Fontes Dependentes
• VCVS
• Av é uma razão entre duas
tensões.
• CCVS
• Rm é uma razão entre uma tensão
e uma corrente, com dimensão
de Ω.
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Elementos – Fontes Dependentes
• VCCS
• Gm é uma razão entre uma
corrente e uma tensão, com
dimensão de Ω-1.
• CCCS
• Ai é uma razão entre duas
correntes.
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Elementos – Condensador
• Chama-se condensador a um elemento que exibe
uma relação diferencial entre a corrente que o
atravessa e a tensão aos seus terminais.
t
dv
1
⇔ v = ∫ idt + v(t0 )
i =C
dt
C t0
q = Cv
• A capacidade (C) do condensador é medida em
Farads (F), em virtude dos resultados do físico
Michael Faraday.
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Elementos – Condensador
• A capacidade é uma propriedade existente entre
duas placas de material condutor que não se
tocam.
• Quantifica a capacidade de armazenar energia
sobre a forma de campo eléctrico.
A
d
C =ε
A
d
• A – área das placas (m2).
• d – distância entre as placas(m).
• ε – permitividade dieléctrica
(F/m).
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Elementos – Condensador
• Um condensador não dissipa energia, armazena-a
sobre a forma de campo eléctrico.
• A potência fornecida ao condensador:
PC = vi = Cv
dv
dt
• A energia armazenada é:
t
I
C
1
WC = ∫ PC dt = Cv 2
2
t0
V
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Elementos – Condensador
• Características importantes de um condensador:
– Se a tensão aos terminais de um condensador não
varia com o tempo, então a corrente que o atravessa é
nula.
– O condensador pode armazenar energia, mesmo
quando a corrente que o atravessa é nula.
– A tensão aos terminais de um condensador não pode
variar instantaneamente.
– Um condensador nunca dissipa energia, apenas a
armazena.
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Elementos – Bobine
• Chama-se bobine a um elemento que exibe uma
relação integral entre a corrente que o atravessa e
a tensão aos seus terminais.
t
di
1
i = ∫ vdt + i (t0 ) ⇔ v = L
dt
L t0
• A indutância (L) da bobine é medida em Henries
(H), em virtude dos resultados do físico Joseph
Henry.
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Elementos – Bobine
• A indutância é uma propriedade existente em
todos os materiais condutores.
• Quantifica a capacidade de armazenar energia
sobre a forma de campo magnético.
L = µN 2
A
s
•
•
•
•
N – numero de espiras.
A – área de secção (m2).
s – comprimento da bobine (m).
μ – permeabilidade magnética
(H/m).
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Elementos – Bobine
• Uma bobine não dissipa energia, armazena-a
sobre a forma de campo magnético.
• A potência fornecida à bobine:
PL = vi = Li
di
dt
• A energia armazenada é
t
1
WL = ∫ PL dt = Li 2
2
t0
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Elementos – Bobine
• Características importantes de uma bobine:
– Se a corrente que atravessa uma bobine não varia com
o tempo, então a tensão aos seus terminais é nula.
– A bobine pode armazenar energia, mesmo quando a
tensão aos seus terminais é nula.
– A corrente que atravessa uma bobine não pode variar
instantaneamente.
– Uma bobine nunca dissipa energia, apenas a
armazena.
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Elementos Topológicos – Nó
• Um nó de circuito é um ponto partilhado pelo
menos por dois elementos.
Nó
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Elementos Topológicos – Ramo
• Um ramo de circuito é a conexão existente entre
dois nós, formada por um elemento de circuito.
Ramo
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Elementos Topológicos – Malha
• Uma malha de circuito é uma composição fechada
de ramos de circuito
Malha
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Elementos Topológicos
• Nó de referência – é o nó relativamente ao qual
todas as tensões de um circuito podem ser
especificadas.
• A sua escolha é perfeitamente arbitrária.
• Por regra e de forma a facilitar a análise, escolhese para referência o nó partilhado pelo maior
numero de componentes possível.
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Elementos Topológicos
• Ligação série de elementos – composição de N
elementos envolvendo N-1 nós partilhados por
elementos consecutivos.
Nós com 2 elementos apenas
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Elementos Topológicos
• Ligação paralela de elementos – composição de N
elementos envolvendo 2 nós partilhados por
todos os N elementos.
1 nó apenas
1 nó apenas
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Elementos Topológicos
“Topologicamente equivalentes”
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Elementos Topológicos
“Topologicamente equivalentes”
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Elementos Topológicos
Dois circuitos são topologicamente equivalentes se:
• Resistem a transformações topológicas mantendo
as mesmas características:
– Esticar.
– Torcer (sem implicar curto-circuitos).
– E outras transformações que não envolvam cortes de
algum ramo do circuito.
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Elementos Topológicos
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03-03-2010
Conteúdos
• Leis de Kirchhoff
– Lei dos nós
– Lei das Malhas
• Análise Nodal
– Nó essencial
– Nó trivial
– Super-nó
• Análise de Malhas
– Malha essencial
– Malha trivial
– Super-malha
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Leis de Kirchhoff – lei dos Nós
• É uma consequência directa do principio fundamental
da conservação de energia.
• Relaciona a forma como as correntes de um circuito
se dividem na presença de um nó com vários ramos
associados.
• Estabelece para estas situações que o balanço de
correntes num nó de circuito é sempre nulo.
• A consequência é que nem todas as correntes que
contribuem num nó de circuito tem o mesmo
sentido:
– Umas “chegam ao nó”;
– Outras “abandonam o mesmo”.
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Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós
• Formalmente
∑I
k
=0
Nó
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Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós
• Alternativamente
∑I = ∑I
k
in
k
out
Nó
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Leis de Kirchhoff – lei das Malhas
• É também uma consequência directa do principio
fundamental da conservação de energia.
• Relaciona a forma como as tensões de um circuito se
distribuem pelos vários elementos de uma malha.
• Estabelece para estas situações que o balanço das
quedas de tensão numa malha de circuito é sempre
nulo.
• A consequência é que nem todas as quedas de tensão
de uma malha de circuito tem o mesmo sentido:
– Umas “têm sentido horário”;
– Outras “têm sentido anti-horário”.
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Leis de Kirchhoff – Lei das Malhas
• Formalmente
∑V
k
=0
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Leis de Kirchhoff – Lei das Malhas
• Alternativamente
∑V
k
CW
=
∑V
k
CCW
CW – Clockwise
CCW – Counter Clockwise
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Análise Nodal
• Análise baseada na lei dos nós de Kirchhoff.
• Assenta no seguinte algoritmo:
– Escolha do nó de referência.
– Identificação dos restantes nós.
– Para cada nó:
• Arbitrar os sentidos das correntes que contribuem no nó.
• Escrever a equação de correntes resultantes.
• Relacionar cada corrente com as tensões nodais do circuito
(usando para tal as leis descritivas dos elementos que
compõem o circuito).
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Análise Nodal
• Num circuito contendo N nós, este algoritmo resulta
sempre num sistema de N-1 equações, com N-1
incógnitas.
• As incógnitas são as tensões nodais do circuito.
• As tensões nodais são as tensões medidas entre cada
nó do circuito e o nó de referência.
• Sendo arbitrária a escolha do nó de referência, são
também arbitrários os valores das tensões nodais!
• No entanto, a relação entre as tensões nodais é
sempre a mesma!
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Análise Nodal
• As leis descritivas dos elementos
de um circuito (R, L e C)
relacionam as correntes que os
atravessam com as quedas de
tensão aos seus terminais.
• Um queda de tensão não é mais
do que a diferença entre duas
tensões nodais.
VE = V1 − V2
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03-03-2010
Análise Nodal
• Fontes de corrente (independentes ou
dependentes) estabelecem de forma directa qual
o valor da corrente no ramo que ocupam.
• Fontes de tensão (independentes ou
dependentes) apresentam algumas dificuldades:
– É impossível saber à priori qual a corrente
fornecida/absorvida por uma fonte de tensão
– Podem em casos particulares, estabelecer de forma
directa o valor de uma tensão nodal.
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Análise Nodal – Nó Trivial
• Nó trivial: um nó para o qual o
valor da tensão nodal é conhecido
à priori.
• Os nós triviais surgem sempre que
exista uma fonte de tensão entre o
nó em causa e o nó de referência.
V1 = Va
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03-03-2010
Análise Nodal – Super-Nó
• Um super-nó é um nó formado por dois nós
interligados por uma fonte de tensão.
• A aplicação da lei dos nós de Kirchhoff a cada nó que
compõe um super-nó inclui a referência à corrente
que atravessa a fonte de tensão:
– Num caso a abandonar o nó;
– No outro a chegar ao nó.
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Análise Nodal – Super-Nó
Nó 1
Nó 2
• Nó 1
I1 + I 2 = IVa
• Nó 2
I 3 + I 4 + IVa = 0
I1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0
+
V2 − V1 = Va
Eq. Auxiliar do super-nó
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03-03-2010
Análise Nodal – Nó Essencial
• Todos os nós que não são nem triviais, nem supernós.
• Os nós essenciais são objecto da aplicação directa
da lei dos nós de Kirchhoff.
• Não necessitam de equações auxiliares.
• O valor das suas tensões nodais não é conhecido à
priori.
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Análise de Malhas
• Análise baseada na lei das malhas de Kirchhoff.
• Assenta no seguinte algoritmo:
– Identificação das malhas do circuito.
– Para cada malha:
• Arbitrar os sentidos das correntes de malha.
• Escrever a equação de tensões resultantes.
• Relacionar cada queda de tensão com as correntes de malha
do circuito (usando para tal as leis descritivas dos elementos
que compõem o circuito).
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03-03-2010
Análise de Malhas
• Num circuito contendo N malhas, este algoritmo
resulta sempre num sistema de N-1 equações, com N1 incógnitas.
• As incógnitas são as correntes de malha do circuito.
• As correntes de malha são correntes abstractas que
circulam dentro de cada malha.
• Os sentidos atribuídos ás correntes de malha são
arbitrários
• Uma corrente de malha com sinal negativo indica que
o sentido real é o oposto do sentido arbitrado.
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Análise de Malhas
• As leis descritivas dos elementos de
um circuito (R, L e C) relacionam as
correntes que os atravessam com as
quedas de tensão aos seus terminais.
• A corrente que atravessa um
elemento pertencente a duas
malhas, relaciona-se com as
respectivas correntes de malha.
I E = I1 − I 2
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03-03-2010
Análise de Malhas
• Fontes de tensão (independentes ou
dependentes) estabelecem de forma directa qual
o valor da queda de tensão do ramo que ocupam.
• Fontes de corrente (independentes ou
dependentes) apresentam algumas dificuldades:
– É impossível saber à priori qual a queda de tensão
numa fonte de corrente.
– Podem em casos particulares, estabelecer de forma
directa o valor de uma corrente de malha.
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Análise de Malhas – Malha Trivial
• Malha Trivial: uma malha na
qual o valor da corrente de
malha é conhecido à priori.
• As malhas triviais surgem
sempre que exista uma fonte
de corrente não partilhada
dentro de uma malha.
I1 = I a
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03-03-2010
Análise de Malhas – Super-Malha
• Uma super-malha é uma malha formada por duas malhas que
partilham uma fonte de corrente.
Super-Malha
• A aplicação da lei das malhas de Kirchhoff a cada malha que compõe
uma super-malha inclui a referência à queda de tensão na fonte de
corrente:
– Num caso no sentido horário;
– No outro no sentido oposto.
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Análise de Malhas – Super-Malha
Malha 1
Malha 2
• Malha 1
V1 + V2 + V4 + VIa = 0
• Malha 2
V5 + V6 + V7 = VIa
V1 + V2 + V4 + V5 + V6 + V7 = 0
+
I 2 − I1 = I a
Eq. Auxiliar da super-malha
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03-03-2010
Análise de Malhas – Malha Essencial
• Todas as malhas que não são nem triviais, nem
super-malhas.
• As malhas essenciais são objecto da aplicação
directa da lei das malhas de Kirchhoff.
• Não necessitam de equações auxiliares.
• O valor das suas correntes de malha não é
conhecido à priori.
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Conteúdos
• Associação de resistências
– Série
– Paralelo
•
•
•
•
Divisor de tensão
Divisor de corrente
Teorema da sobreposição
Circuitos duais
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03-03-2010
Associação de Resistências - Série
⇔
Aplicando a lei das malhas
V = Req I
V = R1 I + R2 I + .. + RN −1 I + RN I
N
V = (R1 + R2 + .. + RN −1 + RN )I
Req = ∑ Rk
k =1
Slide 65
Associação de Resistências - Paralelo
⇔
Aplicando a lei dos nós
I=
V V
V
V
+
+ .. +
+
R1 R2
RN −1 RN
1
1
1
1 
V
I =  +
+ .. +
+
R
R
R
R
2
N −1
N 
 1
I=
V
Req
N
1
1
=∑
Req k =1 Rk
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03-03-2010
Divisor de Tensão
I=
V
R1 + R2
VAB = R1 I =
R1
V
R1 + R2
VBC = R2 I =
R2
V
R1 + R2
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Divisor de Corrente
V = Req I =
R1 R2
I
R1 + R2
I R1 =
V
R2
=
I
R1 R1 + R2
I R2 =
V
R1
=
I
R2 R1 + R2
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03-03-2010
Teorema da Sobreposição
• O teorema da sobreposição é uma consequência
directa do princípio de linearidade.
– Se y1 é a resposta ao estímulo x1
– y2 a resposta ao estímulo x2
– Então, ay1+by2 é resposta ao estímulo ax1+bx2, onde a
e b são constantes reais.
• Circuitos que contenham, resistências,
condensadores, indutâncias fontes independentes
e fontes dependentes, obedecem a este princípio.
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Teorema da Sobreposição
• Se as fontes independentes ([V1 V2 .. VN], ([I1 I2 ..
IM]), de um circuito representarem os estímulos
de entrada do mesmo, então:
– Qualquer queda de tensão no circuito é obtida como
uma combinação linear das fontes independentes.
VX=[a1 a2 .. aN] [V1 V2 .. VN]T+ [b1 b2 .. bM] [I1 I2 .. IM]T
– Qualquer corrente no circuito é obtida como uma
combinação linear das fontes independentes.
IX=[c1 c2 .. cN] [V1 V2 .. VN]T+ [d1 d2 .. dM] [I1 I2 .. IM]T
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03-03-2010
Teorema da Sobreposição
• As constantes ak, bk, ck e dk dependem dos restantes
elementos que compõem o circuito.
• O teorema da sobreposição consiste na aplicação
inversa do principio da linearidade.
• Uma vez que todas as correntes e tensões num
circuito são combinações lineares das fontes
independentes do mesmo,
• Então, é possível determinar o valor de qualquer
tensão ou corrente no circuito, como uma soma de
contribuições tomando uma fonte independente de
cada vez.
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Teorema da Sobreposição
I X = I X (I1 ) + I X (V1 ) + I X (V2 )
VX = VX (I1 ) + VX (V1 ) + VX (V2 )
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03-03-2010
Circuitos Duais
• Circuitos duais, são circuitos que têm descrições
formais semelhantes.
• Assentam numa série de transformações duais bem
definidas.
• Obtêm-se de forma topológica, por aplicação directa
dos princípios e transformação.
Dual de
Nó
Malha
Corrente
Tensão
Resistência (R)
Condutância (G)
Capacidade (C)
Indutância (L)
Fonte de tensão
Fonte de corrente
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Circuitos Duais
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37
03-03-2010
Conteúdos
• Teorema de Thévenin
• Teorema de Norton
• Transformação de fontes
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Teorema de Thévenin
• O Teorema de Thévenin estabelece que todos os
circuitos lineares podem ser representados por um
circuito equivalente contendo:
– Uma fonte de tensão ideal – fonte de Thévenin;
– Em série com uma resistência equivalente – resistência de
Thévenin.
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38
03-03-2010
Teorema de Thévenin
• O processo para determinar o circuito equivalente
de Thévenin é algo complexo:
– A tensão equivalente de Thévenin é a tensão que
surge entre os terminais A-B identificados, com estes
em aberto.
– A resistência de Thévenin é a resistência vista dos
terminais A-B identificados, quando se coloca a 0
todas as fontes independentes do circuito.
• Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito
inclui fontes dependentes.
• Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste.
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Teorema de Thévenin
• Uma alternativa é utilizar
sempre uma fonte de teste.
• Partindo do equivalente de
Thévenin,
VA = RTH I T + VTH
• No circuito original:
• Identificar o nó B como referência.
• Escrever as equações nodais e resolver em ordem a VA.
• O termo constante é VTH, o termo dependente de IT é RTH.
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03-03-2010
Teorema de Norton
• O Teorema de Norton estabelece que todos os
circuitos lineares podem ser representados por um
circuito equivalente contendo:
– Uma fonte de corrente ideal – fonte de Norton;
– Em paralelo com uma resistência equivalente – resistência
de Norton.
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Teorema de Norton
• O processo para determinar o circuito equivalente
de Norton é parecido com o anterior:
– A corrente equivalente de Norton é a corrente que
passa nos terminais A-B identificados, quando estes
estão em curto-circuito.
– A resistência de Norton é a resistência vista dos
terminais A-B identificados, quando se coloca a 0
todas as fontes independentes do circuito.
• Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito
inclui fontes dependentes.
• Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste.
Slide 80
40
03-03-2010
Teorema de Norton
• Uma alternativa é utilizar
sempre uma fonte de teste.
• Partindo do equivalente de
Norton,
I AB = I N −
VT
RN
• No circuito original:
• Escrever as equações de malha e resolver em ordem a IAB.
• O termo constante é IN, o termo dependente de VT é RN.
Slide 81
Transformação de Fontes
• As fontes independentes podem ser de dois tipos:
– Fontes de tensão.
– Fontes de corrente.
• Em ambos os casos, estas fontes representam circuito
ideais.
• Na realidade, não existem fontes ideais de corrente
ou tensão.
• As fontes reais têm perdas:
– No caso de uma fonte de tensão, a tensão nominal baixa
com a corrente fornecida ao circuito.
– No caso de uma fonte de corrente, a corrente nominal
baixa com a tensão imposta pelo circuito.
Slide 82
41
03-03-2010
Transformação de Fontes
• Este efeito de diminuição da tensão nominal ou
corrente nominal nas fontes reais pode ser
quantificado por uma resistência interna de
perdas.
– No caso das fontes de tensão, em série com a fonte
ideal.
– No caso das fontes de corrente, em paralelo com a
fonte ideal.
Slide 83
Transformação de Fontes
VAB = VS − RS I L
I AB = I S −
VL
RS
Slide 84
42
03-03-2010
Transformação de Fontes
• As fontes reais tem um comportamento linear.
• Como tal, enquadram-se dentro dos pressupostos dos
teoremas de Norton e Thévenin.
• Em consequência, uma fonte real de tensão pode ser
representada por uma fonte real de corrente e vice-versa.
Slide 85
Transformação de Fontes
IF = IN =
VS
RS
RS = RN = RF
VS = VTH = RF I F
RS = RTH = RF
Slide 86
43
03-03-2010
Exercícios Resolvidos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Análise nodal e de malhas
Super-nós e super-malhas
Análise nodal com fontes dependentes
Análise de malhas com fontes dependentes
Equivalentes de Thévenin e Norton
Transformação de fontes
Slide 87
Análise nodal e Análise de malhas - 1
• 4 nós
– 1 trivial
– 1 referência
– 2 essenciais
• 2 malhas
– 1 trivial
– 1 essencial
Slide 88
44
03-03-2010
Análise nodal e Análise de malhas - 1
I R1 = I R 2 + I R 3
I R3 + I b = 0
V1 = Va
V1 − V2 V2 V2 − V3
=
+
R2
R2
R3
V2 − V3
+ Ib = 0
R3
V1 é um
nó Trivial
V1
V2
V3
IR1
IR3
IR2
Slide 89
Análise nodal e Análise de malhas - 1
VR1 + VR 2 − Va = 0
I2 = −Ib
R1 I1 + R2 (I1 − I 2 ) − Va = 0
I1
I2 é uma malha
Trivial
I2
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45
03-03-2010
Super-nós e super-malhas - 2
• 4 nós
• 3 malhas
– 1 super-nó
– 1 referência
– 1 essencial
– 1 super-malha
– 1 essencial
Slide 91
Super-nós e super-malhas - 2
I R1 + I R 2 + I R 3 = I b
I R3 = I R 4
Equação
auxiliar
V2 − V3 V3
=
R3
R4
V1 V2 V2 − V3
+
+
= Ib
V2 − V1 = Va
R1 R2
R3
V1
V1-V2 é um
super-nó
V2
V3
IR3
IR1
IR2
IR4
Slide 92
46
03-03-2010
Super-nós e super-malhas - 2
VR1 − Va + VR 2 = 0
R1 I1 − Va + R2 (I 2 − I 3 ) = 0
VR 2 + VR 3 + VR 4 = 0
R2 (I 3 − I 2 ) + R3 I 3 + R4 I 3 = 0
I 2 − I1 = I b
I1-I2 é uma
super-malha
I1
I2
I3
Slide 93
Análise nodal com fontes dependentes – 3
• 4 nós
– 1 trivial
– 1 referência
– 2 essenciais
• 2 fontes dependentes
– 1 VCVS
– 1 CCCS
Slide 94
47
03-03-2010
Análise nodal com fontes dependentes – 3
V1 = AvVc
V1 é um
nó trivial
V1
I R1 = I R 3 + Ai I c
I R3 + I b = 0
V1 − V2 V2 − V3
=
+ Ai I c
R1
R3
V2 − V3
+ Ib = 0
R3
V2
IR1
V3
IR3
Equações de
controlo
Vc = V3
I c = I R1 =
V1 − V2
R1
Slide 95
Análise de malhas com fontes dependentes – 4
• 2 malhas
– 1 trivial
– 1 essencial
• 2 fontes dependentes
– 1 VCCS
– 1 CCVS
Slide 96
48
03-03-2010
Análise de malhas com fontes dependentes – 4
VR 2 + Va − Rm I c = 0
I1 = −GmVc
I1 é uma
malha trivial
R2 I 2 + Va − Rm I c = 0
Equações de
controlo
Vc = VR1 + Rm I c
Vc = R1 I1 − Rm I 2
I1
I2
Ic = −I2
Slide 97
Equivalentes de Thévenin e Norton – 5
• Va-R1-R2 é um
divisor de tensão.
• Colocando uma fonte de teste
entre os pontos A e B, a tensão
VAB (a corrente IAB)pode ser
determinada pelo teorema da
sobreposição
Slide 98
49
03-03-2010
Equivalentes de Thévenin e Norton – 5
R2
Va
R1 + R2
Vc =
VAB = VAB
IT =0
a =0
VAB V
= (R3 + R4 )I T
VAB
= − R3GmVc
a =0
IT =0
VTH
+ VAB V
VAB = −Gm
RTH
R2 R3
Va + (R3 + R4 )I T
R1 + R2
Slide 99
Equivalentes de Thévenin e Norton – 5
R2
Va
R1 + R2
Vc =
I AB = I AB V
T
=
I AB V
=−
T
=0
+ I AB V
a =0
VT
R3 + R4
I AB V
a =0
=0
R3
GmVc
R3 + R4
I AB =
VT
− Gm R2 R3Va
+
(R1 + R2 )(R3 + R4 ) R3 + R4
IN
RN
Slide 100
50
03-03-2010
Transformação de fontes - 6
Ia =
Va
2R
Req=R
Slide 101
Transformação de fontes - 6
Vb = RI a
Vb =
Va
2
Req=2R
Slide 102
51
03-03-2010
Transformação de fontes - 6
A
2R
Vb
2R + 2R
V
= a
4
VAB =
2R
Vb
VAB
2R
B
Slide 103
52