Materiais Magneticos

Universidade Federal de Itajubá__________________________________________________
Índice
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
ISEE / GESis
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia
Grupo de Engenharia de Sistemas
EEL401 – Eletrotécnica Geral II
MATERIAIS E CIRCUITOS
MAGNÉTICOS
Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes
3a Edição
Julho – 2004
“Materiais e Circuitos Magnéticos” ______________________________________________________
Universidade Federal de Itajubá_______________________________________________
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Considere um campo magnético não uniforme de módulo B onde são colocadas
três espiras, conforme a figura 1.1, a seguir.
CAPÍTUL0 01 – CONCEITOS BÁSICOS
______________________________________________________________________
1.1 – INTRODUÇÃO
As máquinas elétricas (como transformadores, motores e geradores) são
Figura 1.1 - Espiras Colocadas em um Campo Magnético
constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Um circuito
magnético é aquele onde existe um caminho para o fluxo magnético, de forma análoga
A espira 01 tem uma área “A1 ” e ela está colocada de forma perpendicular ao
ao circuito elétrico, que proporciona um caminho para a corrente elétrica.
vetor campo magnético de módulo B1 . A espira 02 tem uma área “A2 <A1 ” e ela está
Os materiais magnéticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnéticos
colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B2 , sendo B2 >
determinam as dimensões dos equipamentos, as suas capacidades, e introduzem
B1 . A espira 03 tem uma área “A3 = A2 ”, porém está posicionada de tal forma que existe
limitações nos desempenhos, devido a saturações e perdas. É importante, portanto,
um ângulo "θ " entre a normal à superfície e o vetor campo magnético de módulo B3
conhecer
(observar que B3 = B2 ). Pode-se perceber da figura 1.1, que:
suas
características
e
propriedades
básicas,
para
possibilitar
um
desenvolvimento mais econômico e adequado dos diversos equipamentos.
a)
O presente capítulo apresenta diversos conceitos básicos para a teoria dos
O número de linhas de campo que atravessa as espiras 01 e 02 é igual,
embora as áreas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magnético
circuitos magnéticos, como: fluxo magnético, leis de Lenz e Faraday, fluxo enlaçado,
B2 ser mais intenso do que o campo
indutâncias próprias e mútuas. Nos capítulos posteriores serão consideradas as
densidade de linhas de campo);
magnético B1 (devido a maior
características e propriedades básicas dos materiais magnéticos, bem como suas
aplicações em cálculos de circuitos magnéticos de configurações diversas.
b) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 02 e 03 é diferente,
embora elas possuam a mesma área e estejam colocadas em posições de
1.2 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
densidades iguais de campo magnético. Isto acontece porque a espira 03 esta
inclinada em relação ao vetor campo magnético B 3 , formando um ângulo
1.2.1
Fluxo Magnético
“ θ ”; portanto, a sua área projetada na perpendicular ao campo é menor que
a área real.
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Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que atravessa uma espira
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1.2.2
Lei de Faraday
corresponde ao número de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo
magnético B, da área “A” da espira e do ângulo “θ ” formado entre a normal à
Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu o princípio da indução
eletromagnética, através de diversas experiências. Estas experiências estão sintetizadas
superfície da espira e o campo magnético.
De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magnético corresponde ao
no exemplo a seguir.
conjunto de linhas de campo magnético que emerge do pólo norte de um imã.
Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um amperímetro,
fechando o circuito. Considere também um imã em forma de barra se aproximando da
Matematicamente pode-se expressar o fluxo magnético como sendo:
espira, conforme ilustra a figura 1.2, a seguir.
φ = B ⋅ A ⋅ cosθ
(1.1)
S
Ou ainda, de uma forma mais geral,
N
φ = ∫ B ⋅ n ⋅ dA
(1.2)
A
A
Onde:
φ
= Fluxo magnético através de uma superfície;
B
= Vetor campo magnético;
n
= Vetor unitário normal à superfície;
dA
= Elemento de área de uma superfície.
Figura 1.2 - Espira Fechada com um Amperímetro
Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o imã da espira, a agulha do
Dimensões do Fluxo Magnético φ :
amperímetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse
trabalhando com um amperímetro de zero central), o que significava que havia
No sistema internacional, a unidade de fluxo magnético é o Weber [Wb].
aparecido no circuito uma corrente elétrica induzida. No momento em que Faraday
parou de movimentar o imã, ele notou que a corrente através do circuito se anulava.
[φ ] = [Weber ] = [Wb]
Numa terceira etapa, afastando o imã da espira, o físico inglês viu a agulha do
amperímetro novamente se deslocar, só que para o lado oposto, sinal de que havia
A unidade [Weber] pode ser expressa, também, como sendo:
surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrário àquele
com a qual ela havia aparecido na primeira vez.
1[Wb ] = 108 [linhas ] = 108 [Maxwell ]
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Com base nesta e em outras experiências realizadas, Faraday concluiu que:
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“Sempre que houver variação do fluxo magnético através de uma espira,
À medida que o imã se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do
campo magnético e, portanto, há um aumento do fluxo através do circuito (maior
surgirá nesta espira uma força eletromotriz induzida”.
número de linhas de campo o atravessam). A variação do campo magnético conduz a
uma variação do fluxo magnético (lembrar que φ = B ⋅ A ⋅ cosθ ). Por outro lado, o fluxo
A este fenômeno dá-se o nome de “indução eletromagnética”.
magnético variável faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o
Da experiência desenvolvida por Faraday é necessário destacar que, para que
circuito é fechado, irá circular no mesmo uma corrente elétrica.
surja uma f.e.m. induzida no circuito, não é necessária a existência de um fluxo
magnético através da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do
tempo.
É importante observar, ainda, que o fenômeno da indução também ocorre
quando se mantém o imã fixo e se movimenta o circuito fechado.
Assim, pode-se escrever matematicamente que:
e=
dφ
[V ]
dt
b) Variação do Fluxo pela variação da Área
Considere um circuito fechado de área “A” movendo-se no plano do papel sobre
(1.3)
um campo magnético uniforme e perpendicular à folha, conforme ilustra a figura 1.4, a
seguir.
Onde:
1.2.3
φ
= Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito;
E
= Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral).
Fatores que influem na variação do Fluxo Magnético
a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade do Campo Magnético
Figura 1.4 - Circuito Fechado Entrando em um Campo Magnético
Considere um circuito fechado fixo e um imã em forma de barra, conforme ilustra
a figura 1.3, a seguir.
No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo,
imã móvel
começa a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variação na área “A” imersa
S
N
no campo magnético (“A” varia com o tempo). Aparece, então, uma f.e.m. induzida no
circuito, esta f.e.m. dá origem a uma corrente e conseqüentemente o amperímetro sofre
uma deflexão.
B
circuito fechado
Figura 1.3 - Imã se Aproximando de um Circuito Fechado Fixo
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Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magnético, o fluxo através
da área “A” não mais varia e portanto, não há corrente induzida no circuito.
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c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo “ θ ”
i
ELETROIMÃ
Considere um circuito fechado imerso em um campo magnético uniforme de
módulo B, inicialmente na posição (01) perpendicular ao campo, conforme mostra a
figura 1.5, a seguir.
CIRCUITO
FECHADO
Figura 1.6 - Circuito Fechado Próximo de um Eletroímã
n
O
n
Para uma corrente “i” variável injetada na bobina do eletroimã, corresponderá
B
um fluxo magnético variável que irá envolver o circuito fechado. Este fluxo variável
dará origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e conseqüentemente uma corrente
(1)
(2)
elétrica irá circular no referido circuito.
Figura 1.5 - Espira Girando em um Campo Magnético
Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que:
Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a normal à superfície e o campo
-
A variação do fluxo causada, ou por mudança na intensidade do campo
magnético. Nessas condições ocorre uma variação do fluxo através do circuito, esta
magnético, devido a aproximação relativa entre o imã e o circuito (caso
variação produz uma f.e.m. induzida no mesmo e, conseqüentemente, haverá a
“a”); ou por variação da área do circuito (caso “b”); ou ainda por variação
circulação de uma corrente elétrica.
do ângulo “ θ ” (caso “c”), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado.
Esta f.e.m. é induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma
ela é denominada “f.e.m. de movimento”;
Observação: As análises anteriores podem ser verificadas através das
expressões (1.1), do fluxo magnético e (1.3), da lei de Faraday.
d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente
A variação do fluxo causada por variação na intensidade da corrente,
considerando o eletroimã e o circuito, fixos (caso “d”) produz uma f.e.m.
induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que é induzida, não por efeito de
Considere um circuito fechado colocado próximo de um eletroimã em forma de
movimento, mas sim pela variação da corrente na bobina é denominada
barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.6 a seguir.
“f.e.m. de efeito transformador”.
1.2.4
Lei de Lenz
A intensidade da corrente elétrica originada pela variação do fluxo magnético,
num circuito fechado, puramente resistivo, é dada por:
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i=
e
R
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sinal
(01a Lei de Ohm)
= Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de Lenz).
1.3 – FLUXO ENLAÇADO OU CONCATENADO
O estudo do sentido da corrente elétrica é determinado pela Lei de Lenz, que diz
o seguinte:
Considere a barra de ferro da figura 1.7, a seguir, envolvida por uma bobina de
“N” espiras.
“O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre
N
a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem”.
O
Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela
equação 1.3), como sendo:
e=−
dφ
[V ]
dt
i
a
b
(1.4)
Figura 1.7 - Barra de Ferro com “N” Espiras
A equação (1.4) corresponde à expressão matemática da “Lei de LenzPara uma corrente “i” injetada no terminal “a” obtém-se um fluxo “ φ ” no
Faraday”.
material ferromagnético. Na figura 1.7, este fluxo “φ ” enlaça ou concatena as “N”
1.2.5
Lei de Lenz-Faraday
espiras da bobina. Assim, pode-se definir que:
λ = N ⋅φ
Enunciado: “Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um
(1.5)
circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado
circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às
Onde:
variações do fluxo que lhe deu origem”.
λ
= Fluxo enlaçado ou concatenado.
[λ ] = [Weber ⋅ espita]
Expressão Matemática:
e=−
dφ
[V ]
dt
Onde:
ou
[Wb ⋅ esp ]
Portanto, “ λ ” corresponde ao fluxo que enlaça ou envolve as “N” espiras da
bobina.
A figura 1.8, a seguir, apresenta outros exemplos.
φ
= Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito;
e
= Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral);
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(1)
(2)
e2 = −
dφ
dt
(1.7)
e3 = −
dφ
dt
(1.8)
o2
o1
Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e (1.8), vem:
(3)
e = e1 + e2 + e3 = −
(4)
dφ dφ dφ
−
−
dt dt dt
(1.9)
Figura 1.8 - Fluxos Enlaçados ou Concatenados
Ou ainda,
Na figura 1.8 pode-se observar que:
e = −3 ⋅
λ 2 = 2 ⋅ φ 2 ⇒ fluxo enlaçado com a bobina (02);
λ3 = 1 ⋅ φ 2 ⇒ fluxo enlaçado com a bobina (03);
dφ
dt
(1.10)
Para uma bobina de “N” espiras obtém-se:
λ 4 = 4 ⋅ φ 2 ⇒ fluxo enlaçado com a bobina (04).
e = −N ⋅
Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da figura 1.9, a seguir.
a
dφ
dt
(1.11)
b
1
2
3
Ou de outra forma:
N=3
e= −
ö
d (N ⋅ φ )
dt
(1.12)
Com λ = N ⋅ φ (ver equação 1.5), pode-se escrever que:
Figura 1.9 – Fluxo Enlaçado com uma Bobina
Se o fluxo “ φ ” for variável com o tempo obrem-se, através das leis de Lenz e
e=−
dλ
dt
(1.13)
Faraday, que:
Sendo “ λ ” o fluxo total enlaçado ou concatenado com a bobina.
e1 = −
dφ
dt
(1.6)
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dλ
di
= L⋅
dt
dt
1.4 – INDUTÂNCIA PRÓPRIA
(1.17)
A indutância própria é também chamada de auto- indutância. Para entender o seu
significado, considere inicialmente a bobina de “N” espiras com corrente “i”, da figura
Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se:
1.10 a seguir.
e=−
N
dλ
dt
(1.18)
di
dt
(1.19)
Levando (1.18) em (1.17), obtém-se:
i
a
b
e = −L ⋅
Figura 1.10 – Bobina de “N” Espiras com Correntes “i”
A corrente “i” passando pela bobina de “N” espiras dá origem a um fluxo
enlaçado “ λ ”. Em determinadas condições pode-se dizer que existe uma
proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaçado por ela produzido. Esta
Portanto, da equação (1.19), observa-se que há uma queda de tensão na bobina,
como efeito de sua indutância própria. Este comportamento pode ser representado
através do circuito elétrico equivalente da figura 1.11, a seguir.
constante de proporcionalidade é denominada “indutância própria da bobina”, e é
normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que:
v
λ
L=
i
i
L
(1.14)
Ou ainda:
Figura 1.11 – Circuito Elétrico Equivalente
λ = L⋅i
(1.15)
Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria apresenta uma dimensão de
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H].
Como λ = N ⋅ φ , em (1.14), vem:
É importante observar também que, pela definição a indutância corresponde a
N ⋅φ
L=
i
(1.16)
uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente que o produz.
Isto não é verdadeiro no caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a
indutância pode apresentar valores variáveis com a corrente.
Considere agora uma corrente variável com o tempo sendo injetada na bobina de
“N” espiras da figura 1.10. Pode-se escrever que:
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De uma forma geral, pode-se dizer que a indutância própria de uma bobina
M 21 =
depende: das dimensões, do número de espiras e do meio onde se encontra esta bobina.
1.5 – INDUTÂNCIA MÚTUA
λ 21
i1
(1.21)
Ou ainda,
λ 21 = M 21 ⋅ i1
Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração com
(1.22)
duas bobinas apresentada a figura 1.12, a seguir.
N
i
De (1.20) e (1.21), tem-se:
1
(1)
1
M 21 = N 2 ⋅
N2
φ 21
i1
(1.23)
(2)
Considere agora uma corrente “i1 ” variável com o tempo sendo injetada na
bobina (01), da figura 1.12. Pode-se escrever que:
Figura 1.12 - Configuração com Duas Bobinas
A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou
dλ21
di
= M 21 ⋅ 1
dt
dt
(1.24)
mais bobinas adjacentes. Na figura 1.12, tem-se uma corrente “i1 ” passando pela bobina
de “N 1 ” espiras. Esta corrente “i1 ” dá origem a um fluxo enlaçado com a bobina de “N 2 ”
espiras, de valor “ λ 21 ”, ou seja:
l
21
= N2 ⋅
f
21
(1.20)
Onde:
Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que:
e2 = −
dλ 21
dt
(1.25)
Levando (1.25) em (1.24), obtém-se:
φ 21
= Fluxo magnético da bobina (02), produzido pela corrente i1 ;
N2
= Número de espiras da bobina (02).
e 2 = − M 21 ⋅
di1
dt
(1.26)
Em determinadas condições, existe uma proporcionalidade entre a corrente “i1 ” e
o fluxo enlaçado (“ λ 21 ”), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é
Portanto, da equação (1.26), observa-se que há uma tensão induzida na bobina
denominada indutância mútua entre as bobinas 02 e 01, e é normalmente representada
(02), como efeito da circulação de uma corrente variável com o tempo na bobina (01).
por M21 . Desta forma, pode-se escrever que:
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Esta tensão induzida depende da indutância mútua entre as duas bobinas (M21 ).
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De forma análoga pode-se analisar a influência da passagem de uma corrente
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De forma análoga pode-se escrever que:
“i2 ” pela bobina (02), sobre a bobina (01). Neste caso, tem-se uma indutância mútua
M12 cujo valor é idêntico ao da indutância M21 , anteriormente descrita.
M 21 = N1 ⋅
φ 12
i2
(1.28)
Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua apresenta uma dimensão de
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H], da
Como M12 =M21 , tem-se:
mesma forma que a indutância própria.
M 12 ⋅ M 21 = M 2
(1.29)
⎡
φ ⎤ ⎡
φ ⎤
2
M = ⎢ N 2 ⋅ 21 ⎥ ⋅ ⎢ N1 ⋅ 12 ⎥
i1 ⎦ ⎣
i2 ⎦
⎣
(1.30)
É importante observar também que, pela definição a indutância mútua
corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a corrente
E ainda,
que o produz. Isto não é verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas é
constituído por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias mútuas podem
apresentar valores variáveis com as correntes, em função da saturação.
De uma forma geral pode-se dizer que a indutância mútua entre duas bobinas
Levando (1.27) em (1.30), vem:
adjacentes depende: da distância entre as bobinas, das dimensões físicas das duas
bobinas, do número de espiras em cada bobina, e do meio considerado.
1.5.1
Coeficiente de Acoplamento
Na figura 1.12, a corrente “i1 ” na bobina (01) estabelece um fluxo magnético
φ ⎤ ⎡
φ ⎤
2
2 ⎡
M = K ⋅ ⎢ N 2 ⋅ 21 ⎥ ⋅ ⎢ N 1 ⋅ 12 ⎥
i
i2 ⎦
1 ⎦ ⎣
⎣
(1.31)
φ ⎤ ⎡
φ ⎤
2
2 ⎡
M = K ⋅ ⎢ N1 ⋅ 1 ⎥ ⋅ ⎢ N 2 ⋅ 2 ⎥
i
i2 ⎦
1 ⎦ ⎣
⎣
(1.32)
Ou ainda,
total “ φ 1 ”. Parte deste fluxo total atravessa a bobina (02), mais precisamente a parcela
“ φ 21 ”. A relação entre a parcela de fluxo magnético “ φ 21 ” e o fluxo total “ φ 1 ” é
denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por:
K=
φ 21 φ12
=
φ1 φ 2
Como,
(1.27)
L1 = N1 ⋅
φ1
i1
(1.33)
L2 = N 2 ⋅
φ2
i2
(1.34)
Da expressão (1.23) tem-se que:
M 21 = N 2 ⋅
φ 21
i1
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10) Qual é o significado da lei de Lenz?
Temos que:
M = K ⋅ L1 ⋅ L2
(1.35)
11) Qual é o significado de fluxo enlaçado?
12) Dê exemplos de fluxos enlaçados com bobinas.
Onde:
K
= Coeficiente de acoplamento;
L1
= Indutância própria da bobina (01);
L2
= Indutância própria da bobina (02);
M
= Indutância mútua entre as bobinas (01) e (02).
1.6 – PERGUNTAS PROPOSTAS
Responda as seguintes perguntas:
01) O que é um circuito magnético? Onde são utilizados?
02) Por quê é importante o estudo de circuitos magnéticos?
03) O que se entende por fluxo magnético atravessando uma espira?
04) Do que depende um fluxo magnético?
13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado?
14) O que é a indutância própria de uma bobina?
15) Qual é a relação entre a indutância própria e o fluxo enlaçado?
16) O que você entende por indutância mútua entre duas bobinas?
17) Qual é a unidade da indutância própria?
18) Qual é a unidade da indutância mútua?
19) O que é o coeficiente de acoplamento?
20) Qual é a relação entre a indutância mútua de duas bobinas e as suas
respectivas auto-indutâncias? Faça uma dedução matemática.
05) Quais são as unidades de fluxo magnético que normalmente utilizadas?
1.7 – PROBLEMAS PROPOSTOS
06) Fale sobre a experiência realizada por Michael Faraday.
Resolva os seguintes problemas:
07) Qual é o significado da lei de Faraday?
08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? Dê exemplos.
09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? Dê um
01) Considere um fluxo magnético de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber.
02) Qual é a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de 0.0006
[Wb] através de uma área de 0.0003 m2 ?
exemplo.
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08) Uma bobina tem uma indutância própria igual a 5 [H] e corrente “i” dada
03) Determine a polaridade magnética do eletroimã da figura a seguir (utilize a
regra da mão direita):
por: i = i MÁX ⋅ sen (377 ⋅ t ) . Fazer o gráfico do fluxo magnético, do fluxo enlaçado e da
f.e.m. induzida em função do tempo.
09) Qual é a densidade de fluxo de um núcleo que possui 20000 linhas e uma
área da seção reta de 5 [cm2 ]?
10) Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando. Todas as
respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional.
04) O fluxo de um eletroimã é de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente até
12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa bobina que contenha
10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magnético.
05) No problema anterior, qual é o valor da tensão induzida se o fluxo
magnético permanecer constante em 06 [Wb] após 02 [s]?
φ
B
A
0.000035 [Wb]
?
0.001 [m ]
?
0.8 [T]
0.005 [m ]
10000 [linhas]
?
02 [cm ]
0.000090[Wb]
?
0.003 [m ]
2
2
2
2
06) Um imã permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma
corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir.
Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida.
11) No campo estacionário de uma bobina de 500 espiras, calcule a tensão
induzida produzida pelas seguintes variações de fluxo:
(a) 04 [Wb] aumentando para 06 [Wb] em 01 [s];
(b) 06 [Wb] diminuindo para 04 [Wb] em 01 [s];
(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em 5.10-6 [s];
(d) 04 [Wb] constante durante 01 [s].
12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina (01) é de 05
[A] e os fluxos correspondentes φ11 e φ 21 são, respectivamente, 20000 e 40000
[Maxwell]. Sendo N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras, determinar L1 , L2 , M e K.
07) Uma bobina de 100 espiras, com auto- indutância de 10 [H], é percorrida por
uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200 A/s. Calcular o
fluxo enlaçado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma.
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 21
13) Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] têm um coeficiente de
acoplamento K = 0.9. Determinar a indutância mútua entre elas, bem como a relação
N1 /N2 .
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 22
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14) Duas bobinas cujas respectivas auto- indutâncias são L1 = 0.05 [H] e L2 =
0.20 [H] têm coeficiente de acoplamento igual a 0.5. A bobina (2) tem 1000 espiras.
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22) Uma determinada bobina de 20 [mH] opera com uma frequência de 950
[kHz]. Qual é a reatância indutiva da bobina?
Sendo i1 = 05 ⋅ sen (400 ⋅ t ) a corrente na bobina (01), determinar a tensão na bobina (02)
e o fluxo máximo estabelecido pela bobina (01).
1.8 – BIBLIOGRAFIA
15) Duas bobinas têm coeficiente de acoplamento igual a 0.85 e a bobina (01)
[1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., “Electric Power System Components
tem 250 espiras. Com 1i = 02 [A] na bobina (01), o fluxo total φ 1 = 0.0003 [Wb].
- Transformers and Rotating Machines”, Van Nostrand Reinhold Company,
Reduzindo-se i1 linearmente até zero, em dois milissegundos a tensão induzida na
bobina (02) fica igual a 63.75 [V]. Determinar L1 , L2 , M e N2 .
16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N1 =
1979.
(Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14);
[2] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-
100 e N2 = 800 espiras é 0.85. Com a bobina (01) aberta e uma corrente de 05 [A] na
Hill do Brasil, Ltda, 1985.
bobina (02), o fluxo φ 2 é 0.00035 [Wb]. Determinar L1 , L2 e M.
(Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 - págs. 307 a 316);
17) Duas bobinas idênticas têm indutância equivalente de 0.08 [H], quando
ligadas em série aditiva, e de 0.035 [H], quando em série subtrativa. Quais são os
valores de L1 , L2 , M e K?
18) Duas bobinas idênticas têm L = 0.02 [H] e coeficiente de acoplamento K =
0.8. Determinar M e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que elas estejam
ligadas em série aditiva e em série subtrativa.
[3] Joseph A. Edminister, “Circuitos Elétricos”, Coleção Schaum, Editora
McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991.
(Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs. 362 a 365);
[4] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda
Edição, 1986.
(Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 - págs. 775 a 781 e 784 a
786);
19) Duas bobinas cujas indutâncias estão na relação de quatro para um têm
coeficiente de acoplamento igual a 0.6. Ligadas em série aditiva, sua indutância
equivalente é 44.4 [mH]. Determinar L1 , L2 e M.
20) Qual é a indutância de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que
[5] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física”, Parte 03 Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991.
(Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 - págs. 219 a 222 e 227 a
228);
passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]?
[6] “Curso Completo de Eletricidade Básica”, U. S. Navy, Bureau of Naval
21) Uma bobina tem uma indutância de 50 [mH]. Qual é a tensão induzida na
bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10000 [A/s]?
Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda.
(Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222, capítulo 10 - págs. 241 a 248
e 254 a 259);
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[7] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers Moscow, 1973.
(Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129).
CAPÍTUL0 02 – MATERIAIS MAGNÉTICOS
______________________________________________________________________
2.1 – INTRODUÇÃO
Desde a antiguidade os gregos já conheciam o fato de que certas pedras tinham a
capacidade de atrair pequenos pedaços de alguns metais. Como muitas destas pedras
foram encontrados em Magnésia, na Ásia Menor, os gregos chamaram a substância de
magnetita ou magnética. Esta substância (Fe3 O4 ) constitui o que se chama na atualidade
de “imãs naturais”.
Por volta de 2630 a.C., os chineses perceberam que pequenas barras de um certo
minério tinham a estranha propriedade de apontar sempre em direção ao pólo norte, o
que levou à descoberta da bússola, que nada mais é do que um pequeno imã natural.
Além dos imãs naturais, existem nos dias de hoje, imãs desenvolvidos pelas
mãos do homem, são os chamados “imãs artificiais”.
Um imã qualquer apresenta duas regiões bem distintas, próximas as quais as
ações magnéticas são mais intensas; pode-se verificar esta propriedade jogando limalha
de ferro nas proximidades de um imã em forma de barra. A limalha será atraída pelo
imã e se concentrará em grande parte nas extremidades dele.
Estas regiões são denominadas pólos do imã. A extremidade que aponta em
direção ao norte é chamada de pólo norte do imã e a outra extremidade é o pólo sul. Os
dois pólos de um imã, ou seja, os pólos norte e sul, formam um “dipolo magnético”.
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Para se distinguir os pólos é costume hachurar o pólo norte, conforme ilustra a
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Não, na realidade é impossível separar os pólos de um imã. Portanto, no caso da
divisão ao meio, seriam obtidos dois novos imãs menores (com pólos norte e sul) e
figura 2.1 a seguir.
N
assim sucessivamente caso fossem realizadas novas divisões.
S
A figura 2.4, a seguir, ilustra esta condição.
N
S
Figura 2.1 - Pólos Norte e Sul de um Imã
Os pólos de mesmo nome se repelem (observar figura 2.2), enquanto que os
pólos de nomes contrários se atraem (conforme figura 2.3).
S
N
N
S
N
S
S
N
N
S
N
S
Figura 2.4 - Inseparabilidade dos Pólos
Portanto, os pólos norte e sul de um imã são inseparáveis. Isto ocorre porque a
estrutura magnética mais simples que existe na natureza é o dipolo magnético
Figura 2.2 – Repulsão dos Pólos
elementar. Em outras palavras, os imãs, ou os materiais (de uma forma geral), possuem
uma infinidade de dipolos magnéticos elementares, como àqueles apresentados
S
N
S
N
N
S
N
S
esquematicamente à figura 2.5 a seguir.
Figura 2.3 – Atração dos Pólos
O que acontecerá se tentar dividir ao meio o imã apresentado à figura 2.1? Serão
obtidos pólos norte e sul separados?
Figura 2.5 – Dipolos Magnéticos Elementares
Os dipolos magnéticos elementares (d.m.e.) são os responsáveis pelas
propriedades magnéticas da matéria e estão associados aos elétrons.
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2.2 – CLASSIFICAÇÃO DOS CORPOS QUANDO A IMANTAÇÃO
Os corpos podem ser classificados de acordo com o grau de orientação de seus
dipolos magnéticos elementares, ou seja, eles podem ser classificados quanto a sua
imantação. A seguir serão apresentadas três disposições possíveis para os dipolos
magnéticos elementares.
2.2.1
Figura 2.6 – Corpo Fracamente Imantado
Corpo Fortemente Imantado
A figura 2.6, a seguir, apresenta uma disposição típica de um corpo fortemente
2.2.3
Corpo Não-Imantado
Diferentemente dos dois casos anteriores, pode-se dizer que em um corpo não-
imantado.
imantado a disposição dos dipolos magnéticos elementares é aleatória, ou seja, não há
uma orientação definida. A figura 2.8, a seguir, ilustra esta condição.
Figura 2.6 – Corpo Fortemente Imantado
Como pode ser observado, o corpo fortemente imantado é aquele que apresenta
Figura 2.8 – Corpo Não-Imantado
uma forte orientação dos dipolos magnéticos elementares.
Alguns materiais e substâncias podem assumir a característica de imantação
2.2.2
Corpo Fracamente Imantado
forte, outros não. É importante portanto que se faça uma classificação magnética para os
mesmos. Isto pode ser realizado, dividindo-os em grupos diferenciados quanto à
Um corpo fracamente imantado é aquele que demonstra uma ligeira orientação
possibilidade de orientação dos dipolos magnéticos elementares.
dos dipolos magnéticos elementares, como pode ser observado à figura 2.7, a seguir.
Esta classificação será realizada no item seguinte.
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2.3 – CLASSIFICAÇÃO MAGNÉTICA DOS MATERIAIS E SUBSTÂNCIAS
Alguns materiais não permitem uma forte orientação dos d.m.e., outros
permitem e outros ainda são encontrados na natureza com características magnéticas
Os materiais e substâncias são classificados magneticamente, ou seja,
acentuadas. Os materiais que permitem uma forte orientação dos d.m.e. podem ser
classificados de acordo com a capacidade de orientação dos d.m.e (maior ou menor).
chamados de imãs, sendo caracterizados como artificiais ou naturais, conforme será
Costumam ser considerados três grupos distintos: ferromagnéticos, paramagnéticos e
visto no item seguinte.
diamagnéticos. Estes grupos serão apresentados a seguir.
2.4 – TIPOS DE IMÃ
2.3.1
Materiais Ferromagnéticos
Os imãs podem ser classificados em três tipos: imã natural, imã artificial
São materiais que possibilitam uma orientação abundante para os seus dipolos
permanente e imã artificial transitório.
magnéticos elementares, isto é, podem ser fortemente imantados quando da ação de um
campo magnético externo. De uma forma geral, estes materiais tendem a alinhar seus
As principais características destes imãs serão consideradas neste item.
d.m.e. de forma paralela ao campo magnético aplicado. Fenômeno deste tipo ocorre em
materiais como: ferro, níquel, aço, cobalto, etc.
2.3.2
2.4.1
Materiais Paramagnéticos
Imãs Naturais
Imãs naturais são materiais com características magnéticas próprias, obtidas
diretamente da natureza. Estes materiais, que foram utilizados inicialmente na
A característica magnética deste tipo de material é a de permitir apenas uma leve
orientação dos d.m.e., de forma paralela ao campo magnético externo que lhe é
confecção de bússolas, apresentam uma orientação bem definida dos dipolos
magnéticos elementares (d.m.e.).
submetido. Boa parte dos chamados materiais isolantes é classificada como
paramagnética. Podem ser citados exemplos como: madeira, vidro, ar, etc.
Exemplos de Imãs Naturais
2.3.3
Minérios como a magnetita (Fe3O4)
Materiais Diamagnéticos
Tabela 2.1 – Exemplos de Imãs Naturais
De forma semelhante aos materiais paramagnéticos, os diamagnéticos permitem
apenas uma orientação muito fraca dos seus d.m.e., quando da ação externa de um
2.4.2
Imãs Artificiais Permanentes
campo magnético. Entretanto, estes materiais apresentam uma característic a toda
peculiar, que é de alinhar os d.m.e. de forma antiparalela ao campo exterior, ou seja,
orientam os d.m.e. em sentido contrário ao campo magnético aplicado. São exemplos
deste tipo magnético: a água, o cobre, a prata, o ouro, o diamante, etc.
São materiais que apresentam comportamentos distintos quando da presença ou
não de um campo magnético externo, ou seja: na ausência de um campo magnético
externo estes materiais apresentam, de uma forma geral, uma disposição aleatória para
os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, tendem a alinhar os d.m.e. no
Como pode ser observado nos exemplos anteriores, são classificados como
diamagnéticos os chamados metais nobres (ouro, prata, cobre, etc).
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 31
sentido deste campo, ficando então imantados. Supondo agora que o campo externo seja
retirado, boa parte dos d.m.e. permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer,
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 32
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portanto, que o material permanecerá imantado. Esta característica de imantação
residual (ou permanente) depende do tipo de material considerado.
Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes
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A tabela 2.4, a seguir, apresenta o ponto Curie e o ponto de fusão de alguns
materiais ferromagnéticos importantes.
Materiais
Algumas ligas metálicas como: aço, aço-carbono (aço com elevado teor de carbono), alnico 5
2.4.3
Ponto Curie
Ponto de Fusão
[º C]
[º C]
(liga composta por: alumínio, níquel e cobalto), etc.
Níquel
358
2566
Tabela 2.2 – Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes
Ferro
770
1535
Cobalto
1131
1480
Imãs Artificiais Transitórios
Estes materiais também apresentam comportamentos distintos quando da
Tabela 2.4 - Ponto Curie e Ponto de Fusão de Alguns Materiais
2.6 – CAMPO MAGNÉTICO DE UMA BARRA IMANTADA
presença ou ausência de um campo magnético externo, a saber: na ausência de um
campo magnético externo estes materiais apresentam, como os anteriores, uma
disposição aleatória para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo,
Considere um condutor por onde passa uma corrente “i”, conforme ilustra a
figura 2.9 a seguir.
promovem um alinhamento dos d.m.e. no sentido deste campo, ficando então
imantados. No caso da retirada do campo externo, uma parcela reduzida dos d.m.e.
permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer que o material praticamente
perderá sua imantação.
i
Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios
Ferro, ligas metálicas como o ferro-silício, etc.
Tabela 2.3 – Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios
2.5 – INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA
Figura 2.9 – Condutor com Corrente
A passagem da corrente pelo condutor dá origem a um campo magnético ao seu
redor. Se a corrente for variável o campo magnético será variável. Se por outro lado a
A experiência mostra que, acima de um determinado valor de temperatura os
corrente for constante, o campo magnético também será constante.
materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades magnéticas principais, ou seja,
De acordo com o modelo de Ampère, todos os campos magnéticos, de uma
perdem a orientação de seus d.m.e. Este valor de temperatura é denominado “Ponto
forma ou de outra, provêm de correntes. Nos imãs naturais, e em outros materiais
Curie” ou “Temperatura de Curie”, de um dado material.
magnetizados, estas correntes se devem ao movimento intrínseco dos elétrons atômicos.
Embora estes movimentos sejam complexos, pode-se admitir, para este modelo, que os
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movimentos sejam equivalentes a espiras fechadas, conforme ilustra a figura 2.10 a
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Esta aproximação será boa desde que o ponto considerado para o campo
magnético não esteja próximo das extremidades da barra.
seguir.
Substituindo a corrente por unidade de comprimento da bobina, n.i, pela corrente
superficial de Ampère que lhe corresponde, por unidade de comprimento do imã, M,
tem-se para o campo magnético no interior do imã, longe das extremidades, que:
Bm = μ 0 ⋅ M
(2.2)
Através deste modelo é possível fazer uma analogia entre o campo produzido no
Figura 2.10 – Movimento dos Elétrons em uma Barra Imantada
interior de uma bobina, quando por ela circula uma corrente “i”, ou seja:
Se o material for homogêneo, a corrente resultante, em qualquer ponto no
B0 = μ 0 ⋅ n ⋅ i
interior da barra, é nula, graças ao cancelamento das correntes vizinhas. No entanto, em
virtude de não haver cancelamento na superfície do material, o resultado destas espiras
equivale a uma corrente periférica, denominada “corrente superficial de Ampère”. Esta
corrente superficial é semelhante a uma corrente de condução real em uma bobina (ou
solenóide) de espiras justapostas, ou seja, uma bobina de espiras muito próximas umas
das outras. O campo magnético devido a uma corrente superficial é o mesmo que o
Com o campo magnético no interior de um imã, produzido pela chamada
corrente superficial de Ampère,
Bm = μ 0 ⋅ M
provocado por uma corrente “superficial” em uma bobina.
Seja “M” a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento da
superfície de um imã linear cilíndrico. A grandeza correspondente na bobina é o produto
Portanto, “M”, no caso do imã natural, corresponde ao produto “ n ⋅ i ”, no caso
de uma bobina ou solenóide. Assim, pode-se escrever que:
“ n ⋅ i ”, sendo “n” o número de espiras por unidade de comprimento ( N / l ) e “i” a
M = n⋅i =
corrente que passa em cada espira.
Na região interna de uma bobina, o campo magnético é aproximadamente igual
a:
B0 = μ 0 ⋅ n ⋅ i = μ 0 ⋅
N ⋅i
l
N ⋅i
l
(2.3)
2.7 – MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS
Considere um material (por exemplo o ferro) em forma de barra cilíndrica
(2.1)
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 35
introduzida em uma bobina de “N” espiras, confo rme ilustra a figura 2.11 a seguir.
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Onde:
l
= Comprimento da bobina.
Portanto, o campo magnético “B0 ” será produzido apenas pela passagem da
corrente “i” na bobina.
Definindo agora o produto “ n ⋅ i ” como sendo a intensidade de campo
Figura 2.11 - Material Dentro de Uma Bobina
magnético (H), ou seja:
Para uma corrente “i” injetado no ponto “a”, surgirá um campo magnético total
H = n⋅i =
“B”. Este campo magnético é formado pela ação da corrente “i” que passa pelas “N”
N ⋅i
l
(2.5)
espiras da bobina e pela ação da corrente superficial de Ampère, no material.
Tem-se em (2.4) que:
Desta forma, pode-se analisar o comportamento do dispositivo da figura 2.11
anterior (na verdade um eletroímã) fazendo-se uma separação dos efeitos. Para tanto,
B0 = μ 0 ⋅ H
considere inicialmente apenas a bobina de “N” espiras, conforme apresentado à figura
2.12 a seguir.
(2.6)
Onde:
[
]
B0
= Campo magnético no interior da bobina ou solenóide Wb / m 2 ;
μ0
= Permeabilidade magnética do vácuo, de valor igual a 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 [H / m] ;
H
= Intensidade de campo magnético [A ⋅ E / m] .
A expressão (2.6) apresenta o campo magnético causado apenas pela passagem
da corrente pela bobina.
Figura 2.12 - Bobina de “N” Espiras com Corrente
Introduzindo o material cilíndrico na bobina, conforme indicado à figura 2.11
A passagem da corrente pela bobina dará origem a um campo magnético “B0 ”,
no seu interior, que poderá ser escrito como sendo:
B0 = μ 0 ⋅ n ⋅ i = μ 0 ⋅
anterior, irá aparecer no interior deste material um campo magnético total “B”. Isto
ocorre porque agora os dipolos magnéticos elementares estarão sujeitos à ação do
campo externo “B0 ”, e desta forma proporcionarão o surgimento de uma corrente
N ⋅i
l
superficial de Ampère por unidade de comprimento (M). Esta corrente superficial dará
(2.4)
origem a um campo magnético “Bm”, conforme visto anteriormente (observar expressão
2.2).
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Portanto, o campo magnético total “B” será formado pela ação conjunta dos
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Onde:
Constante de proporcionalidade entre “M” e “H”, definida como sendo
campos “B0 ” e “Bm”, ou seja:
xm
B = B0 + B m
= a susceptibilidade magnética do material ou substancia (grandeza
adimensional).
(2.7)
Levando (2.11) em (2.9), obtém-se:
Das expressões (2.2) e (2.6), pode-se escrever que:
B = μ0 ⋅ H + μ0 ⋅ M
B = μ 0 ⋅ ( H + xm ⋅ H )
(2.8)
Ou ainda,
Ou ainda,
B = μ0 ⋅ ( H + M )
(2.9)
(
)
(2.12)
μ = μ 0 ⋅ (1 + x m )
(2.13)
B = μ⋅H
(2.14)
Definindo agora,
A equação (2.9) pode ser colocada ainda na seguinte forma vetorial:
B = μ0 ⋅ H + M
B = μ 0 ⋅ (1 + x m ) ⋅ H
(2.10)
De onde tiramos a relação,
Onde:
B
= Vetor densidade de campo magnético;
H
= Vetor intensidade de campo magnético;
M
=
Vetor de magnetização, sendo o seu módulo igual à corrente superficial
de Ampère por unidade de comprimento (M).
Onde:
μ
= Permeabilidade magnética do material [H / m]
2.8 – SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNÉTICAS
Da expressão (2.13), pode-se fazer a seguinte relação:
Nos materiais e substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, existe uma
proporcionalidade entre a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento
(M) e a intensidade de campo magnético (H). Esta relação de proporcionalidade pode
ser expressa por:
1+ xm =
μ
μ0
(2.15)
Como pode ser observado, o valor “ 1 + x m ” corresponde a relação da
M = xm ⋅ H
(2.11)
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permeabilidade magnética do material pela permeabilidade magnética do vácuo. Assim
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sendo, “ 1 + x m ” pode ser chamada de permeabilidade magnética relativa do material, ou
seja:
μr = 1 + xm =
μ
μ0
(2.16)
Portanto, a expressão (2.12) pode ser escrita ainda sob a forma:
B = μ 0 ⋅ μr ⋅ H = μ ⋅ H
Figura 2.13 – Disposição Aleatória dos D.M.E.
(2.17)
b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos
elementares se alinham fracamente e de forma paralela ao campo aplicado.
Onde:
μr
A figura 2.14 a seguir ilustra esta condição.
=
Permeabilidade magnética relativa do material ou substancia (grandeza
B
adimensional)
Definidas as diversas características magnéticas básicas para os materiais e
substâncias, pode-se passar agora a uma análise do comportamento magnético dos
materiais paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos.
2.9 – PARAMAGNETISMO
Figura 2.14 – Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E.
Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias paramagnéticas. O
paramagnetismo apresenta as seguintes características básicas:
c)
Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a
uma disposição aleatória. A figura 2.15 a seguir ilustra esta condição.
a)
Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos
elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar
nenhuma orientação predominante. A figura 2.13 a seguir ilustra esta
condição.
Figura 2.15 – Disposição Aleatória dos D.M.E.
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d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é sensível às variações de
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a)
Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos
temperatura. Para elevadas temperaturas a orientação dos d.m.e. é
elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar
extremamente fraca, devido às vibrações térmicas.
nenhuma orientação predominante. A figura 2.16 a seguir ilustra esta
condição.
e)
Em temperaturas extremamente baixas, próximas do zero
absoluto, os
d.m.e. tendem a apresentar uma forte orientação, caracterizando um
comportamento semelhante ao dos materiais ferromagnéticos;
f)
A susceptibilidade magnética é positiva e bastante reduzida, ou seja:
0 < x m <<< 1
Figura 2.16 – Disposição Aleatória dos D.M.E.
Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma
paralela ao campo magnético externo;
b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos
elementares se alinham fracamente e de forma antiparalela ao campo
g)
A permeabilidade magnética é pouca coisa superior a permeabilidade
aplicado. A figura 2.17 a seguir ilustra esta condição.
magnética do vácuo, podendo-se considerar até que:
B
μ ≅ μ0
Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária.
Exemplos de Materiais Paramagnéticos
Alumínio, oxigênio, ar, magnésio, madeira, plástico, tungstênio, cromo, titânio, etc.
Figura 2.17 – Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E.
Tabela 2.5 – Exemplos de Materiais Paramagnéticos
c)
2.10 – DIAMAGNETISMO
Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a
uma disposição aleatória. A figura 2.18 a seguir ilustra esta condição.
Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias diamagnéticas. O
diamagnetismo apresenta as seguintes características básicas:
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Exemplos de Materiais Diamagnéticos
Bismuto, cobre, diamante, ouro, prata, sódio, hidrogênio, dióxido de carbono, nitrogênio, água,
mercúrio, etc.
Tabela 2.6 – Exemplos de Materiais Diamagnéticos
Figura 2.18 – Disposição Aleatória dos D.M.E.
d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é pouco sensível às
2.11 – FERROMAGNETISMO
O ferromagnetismo é um fenômeno que ocorre em materiais e substâncias como:
variações normais de temperatura.
Exemplos de Materiais Ferromagnéticos
e)
A susceptibilidade magnética é negativa e bastante reduzida, ou seja:
0 > x m >>> −1
Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma
-
Ferro
-
Níquel
-
Cobalto
-
Ligas Metálicas
• Aço
• Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono);
antiparalela ao campo magnético externo;
• Ferro-Silicio (96% Fe, 04% Si);
• Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr);
f)
A permeabilidade magnética é pouca coisa inferior a permeabilidade
• Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3 Cu);
magnética do vácuo, podendo-se considerar até que:
• Permalloy (55% Fe, 45% Ni);
• Etc.
μ ≅ μ0
Tabela 2.7 - Exemplos de Materiais Ferromagnéticos
Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária,
A característica fundamental dos materiais ferromagnéticos é a de admitir com
ou seja:
facilidade elevadas magnetizações.
μr ≅ 1
De uma forma geral, o ferromagnetismo apresenta as seguintes propriedades
básicas:
a)
Os dipolos magnéticos elementares são agrupados em diversos setores,
formando regiões dentro do material, com orientação bem definida. Este
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 46
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agrupamento de d.m.e. é chamado de “domínio magnético elementar” e é
B
uma propriedade básica dos materiais ferromagnéticos. A figura 2.19 ilustra
esta condição.
Figura 2.21 – Orientação dos Domínios Magnéticos Elementares
d) Considerando agora a retirada do campo magnético externo, haverá uma
Figura 2.19 – Domínios Magnéticos Elementares
perda da orientação dos domínios magnéticos elementares que poderá ser
pequena ou elevada, dependendo do tipo de material empregado. Esta
b) Para um material que não tenha sofrido qualquer imantação, os domínios
condição está retratada à figura 2.22 a seguir.
magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória,
conforme ilustra a figura 2.20 a seguir.
Figura 2.22 – Orientação Residual dos domínios Magnéticos
Figura 2.20 – Disposição Aleatória dos Domínios Magnéticos
Portanto os materiais ferromagnéticos tendem a ficar com uma imantação
residual ou remanescente.
Obs.: Uma exceção importante é a dos imãs naturais, que apresentam
orientação “in natura” dos domínios magnéticos elementares.
e)
Os materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades de orientação
dos domínios magnéticos elementares, quando submetidos a elevadas
c)
Supondo que o material do item anterior seja submetido a um campo
magnético externo, haverá uma tendênc ia de orientação rápida dos domínios
magnéticos elementares, de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.21
ilustra esta condição.
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 47
temperaturas. A temperatura limite para a perda de imantação destes
materiais é chamada de “ponto Curie” ou “temperatura de Curie”. À partir
desta temperatura os materiais ferromagnéticos apresentam propriedades
magnéticas semelhantes as dos materiais paramagnéticos.
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 48
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2.11.1 Curva de Saturação
Seja o dispositivo composto por uma bobina e um núcleo de material
ferromagnético, da figura 2.23 a seguir.
Figura 2.24 – Curva de Saturação (B x i) do Material
Da equação (2.5), tem-se que:
H = n⋅i =
Figura 2.23 – Bobina com Material Ferromagnético
N ⋅i
l
Tomando o valor da corrente, vem:
Para uma corrente contínua “i” injetado no ponto “a”, obtém-se um campo
magnético “B”. Aumentando-se gradualmente o valor desta corrente, haverá uma
i=
elevação também gradual do campo magnético “B”. Na verdade, o que está ocorrendo, é
uma orientação lenta dos domínios magnéticos elementares do material. Quando
praticamente todos estes domínios estiverem orientados, mais difícil ficará o incremento
no campo magnético total que circunda o dispositivo. Neste ponto diz-se que o material
está chegando a saturação. Portanto, a saturação de um material corresponde à condição
de quase totalidade de orientação dos domínios magnéticos elementares.
H ⋅l
N
Como, o número de espiras (N) e o comprimento (l) da bobina, são constantes,
existe uma relação de proporcionalidade entre a corrente (i) e a intensidade de campo
magnético (H). Desta forma, a curva de saturação do material pode ser modificada,
simplesmente através de mudança de escala na sua abscissa. Esta condição é
apresentada à figura 2.25.
A figura 2.24, a seguir, ilustra a condição de saturação ocorrida no material, com
o aumento do valor da corrente “i”.
Figura 2.25 – Curava de Saturação (B x H) do Material
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Como pode ser observada, até a saturação do material, a permeabilidade
magnética permanece praticamente constante. A partir daí seu comportamento passa a
ser eminentemente variável, caracterizando uma não- linearidade entre “B” e “H”. Assim
sendo, pode-se dizer que: nos materiais ferromagnéticos a permeabilidade magnética
( μ ) é variável, devido a saturação.
Na figura 2.25, o valor “HS” corresponde a intensidade de campo magnético
saturante, ou seja, o valor de “H” para o qual o material começa a sofrer o efeito da
saturação. A densidade de campo magnético correspondente vale “BS”.
Figura 2.26 – Corrente Alternada Senoidal
A tabela 2.8 a seguir apresenta valores das densidades de campo magnético
“BS”, bem como permeabilidades magnéticas relativas ( μ r ), para alguns materiais
ferromagnéticos.
A passagem desta corrente pela bobina dará origem a um campo magnético
variável “B”. A corrente “i” é proporcional a intensidade de campo magnético “H”,
desta forma, à medida que a corrente varia, a intensidade de campo magnético também
Material
Ferromagnético
Campo Magnético
Bs (Tesla)
Permeabilidade
Relativa ( μ r )
Ferro (temperado)
2.16
5500
Ferro-Silicio
1.95
7000
Permalloy
1.60
25000
Mumetal
0.65
100000
varia. Esta variação irá ocasionar uma alteração no campo magnético total do
dispositivo.
A figura 2.27, a seguir, mostra como será o comportamento do campo magnético
“B”, para um ciclo completo da corrente alternada senoidal representada pela figura
2.26.
Tabela 2.8 – Valores de “BS” e “ μ ” para a Alguns Materiais
2.11.2 Ciclo de Histerese
No dispositivo da figura 2.23, considere uma corrente alternada senoidal “i” (do
tipo apresentado à figura 2.26 a seguir), sendo injetada no ponto “a”.
Figura 2.27 – Curva B x H (Ciclo de Histerese)
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O ponto (01) corresponde à condição inicial, a corrente é nula e o material não
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Na figura 2.28, podem ser observados os seguintes valores:
apresenta qualquer imantação. O ponto (02) está associado à condição de máxima
corrente no sentido positivo. Para este valor de corrente tem-se o valor máximo positivo
Br
= Magnetismo Residual ou Remanescente ⇒ é a densidade de campo
da densidade de campo magnético (Bmáx). No ponto (03), a corrente se anula e o
magnético que permanece no material após a retirada do campo magnético externo, ou
material mantém um magnetismo residual ou remanescente (Br) positivo, ou seja,
seja, quando a corrente “i” se anula. Corresponde a orientação remanescente dos
permanece uma determinada orientação dos domínios magnéticos elementares. A partir
domínios magnéticos elementares do material;
deste último ponto, até (04), a corrente cresce negativamente até atingir seu máximo
valor. No ponto (04) tem-se a correspondente densidade de campo magnético máxima
Bmáx = Densidade de Campo Magnético Máxima ⇒ corresponde ao máximo
em sentido contrário (ou negativa). Finalmente em (05), a corrente se anula novamente,
valor de campo magnético no material. É produzido pelo valor máximo da corrente “i”
restando no material um magnetismo residual (Br) negativo.
na bobina;
Ao percurso fechado da figura 2.27 (curva B x H) dá-se o nome de “ciclo de
histerese”. Portanto, a cada ciclo da corrente alternada “i” corresponde um ciclo da
Hc
= Força Coercitiva ou Coerciva ⇒ é a intensidade de campo magnético
necessária para eliminar o magnetismo residual ou remanescente do material.
curva B x H.
Com relação à polarização, pode-se observar na figura 2.28 as seguintes
A figura 2.28 a seguir apresenta, com maiores detalhes, alguns valores
características dos materiais ferromagnéticos:
importantes de densidade de campo magnético (B) e de intensidade de campo
magnético (H), do ciclo de histerese.
•
o
B (+)
e
H (+)
⇒ Mesmos Sentidos
o
B (+)
e
H (–)
⇒ Sentidos Opostos
o
B (–)
e
H (–)
⇒ Mesmos Sentidos
o
B (–)
e
H (+)
⇒ Sentidos Opostos
01 Quadrante
•
02 Quadrante
•
03 Quadrante
•
04 Quadrante
Tabela 2.9 – Características dos Materiais Ferromagnéticos
Os sentidos opostos, verificados nos quadrantes pares (02º e 04º), ocorrem
devido ao processo de desimantação do material, ou seja, a eliminação do magnetismo
residual através da inversão no sentido da corrente “i” (e conseqüentemente a inversão
da intensidade de campo magnético “H”).
2.11.3 Materiais Magnéticos Duros e Moles
Figura 2.28 – Ciclo de Histerese
a) Materiais Magnéticos Duros
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Estes materiais apresentam as seguintes características básicas:
Exemplos de Materiais Magnéticos Duros
•
Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono)
•
Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu)
Apresentam elevado magnetismo residual o que implica na necessidade de uma
•
Alcomax (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu, 1% Nb)
elevada força coercitiva. Conseqüentemente a área do ciclo de histerese é grande, como
•
Bismanol (MnBi)
-
Ciclo de Histerese
pode ser observado através da figura 2.29 a seguir.
Tabela 2.10 – Exemplos de Materiais Magnéticos Duros
b) Materiais Magnéticos Moles
Estes materiais apresentam as seguintes características básicas:
-
Ciclo de Histerese
Apresentam magnetismo residual bastante reduzido, o que implica na
necessidade de uma força coercitiva de pequena intensidade. Conseqüentemente a área
do ciclo de histerese é reduzida, como pode ser observado através da figura 2.30 a
seguir.
Figura 2.29 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Duros
-
Aplicação
São utilizados como imãs permanentes e em dispositivos e equipamentos que
requerem elevado grau de magnetismo residual, como: alto- falantes, telefones,
medidores, etc.
A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos duros:
Figura 2.30 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Moles
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-
Aplicação
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A corrente “i” variável dá origem a um campo magnético variável ao redor do
condutor.
Por apresentarem reduzidas áreas dos ciclos de histerese, os materiais
magnéticos moles são utilizados na confecção de núcleos de transformadores e
Seja aproximar deste condutor uma determinada espira fechada. Através do
máquinas elétricas rotativas. Como será visto posteriormente, a área do ciclo de
princípio da indução eletromagnética sabe-se que, um campo magnético variável dá
histerese está associada às perdas no núcleo, que são indesejáveis em equipamentos de
origem a uma f.e.m. induzida. Portanto, irá aparecer na espira uma f.e.m. induzida e
alto rendimento (perdas reduzidas), como é o caso dos transformadores e das máquinas
como a espira está fechada haverá circulação de uma corrente. Este fato pode ser
rotativas.
verificado à figura 2.32 a seguir.
A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos moles:
Exemplos de Materiais Magnéticos Moles
•
Ferro
•
Aços-Doces (aços com baixos teores de carbono)
•
Ferro-Silício (96% Fe, 4% Si)
•
Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr)
•
Permalloy
Tabela 2.11 – Exemplos de Materiais Magnéticos Moles
Figura 2.32 – Espira Fechada Próxima de um Condutor com Corrente
Seja agora aproximar do condutor uma determinada barra de ferro cilíndrica.
Esta barra estará sujeita à ação do campo magnético variável (B), como pode ser
2.12 – CORRENTES PARASITAS OU DE FOUCAULT
observado à figura 2.33 a seguir.
Seja o condutor com corrente “i” variável, mostrado à figura 2.31 a seguir.
Figura 2.33 – Barra Cilíndrica Próxima de um Condutor com Corrente
Figura 2.31 – Condutor com Corrente
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Nos núcleos magnéticos maciços, como aquele da figura 2.33, são encontradas
-
Perdas por efeito Joule;
imperfeições. Algumas delas formam trajetórias fechadas, como espiras, e apresentam
-
Aquecimento do material (núcleo magnético);
uma determinada condutância elétrica. A presença de um campo magnético variando
-
Redução na orientação dos domínios magnéticos elementares.
através destas pequenas “espiras” (ver figura 2.34) dará origem a correntes elétricas
Na maioria das aplicações, as correntes de Foucault são indesejáveis. Desta
induzidas.
forma, é importante desenvolver um procedimento para evitá- las.
As correntes parasitas (ou de Foucault) podem ser reduzidas através da
laminação do núcleo magnético. O efeito deste processo pode ser verificado à figura
2.35 a seguir.
Figura 2.34 – Barra de Ferro Cilíndrica com Imperfeições
Estas correntes induzidas, circulando no material, causam perdas por dissipação
de calor (efeito Joule). Portanto, quanto maior o número de trajetórias e quanto maiores
forem as suas condutâncias (ou menores as suas resistências), maiores serão as perdas
no núcleo, pelo efeito Joule.
Figura 2.35 – Laminação do Núcleo Magnético
Para uma determinada trajetória fechada (“espira”), tem-se que:
Da figura 2.35, vê-se que através da laminação do núcleo magnético é possível
aumentar as resistências elétricas das trajetórias fechadas (r) e conseqüentemente
i=
e
r
(2.10)
Onde:
reduzir a intensidade das correntes parasitas (i). Notar que entre cada lâmina ou chapa
existe uma película isolante, que causa a elevação das resistências das “espiras”.
2.13 – PERGUNTAS PROPOSTAS
I
= Corrente induzida na “espira”;
e
= F.e.m. induzida na “espira”;
r
= Resistência da trajetória fechada (“espira”).
Responda as seguintes perguntas:
01) Por quê não se consegue isolar o pólo norte do pólo sul, em um imã natural?
Estas correntes induzidas no material (“i”) são chamadas de “correntes
parasitas” ou “correntes de Foucault” e provocam:
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02) O que são os dipolos magnéticos elementares?
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03) Como são classificados os corpos quanto à imantação?
17) Qual é o significado do vetor de magnetização?
04) Qual é o significado de imantação?
18) O que é a susceptibilidade magné tica de um material? Como é
representada? Qual é a sua unidade?
05) Como são classificados magneticamente os materiais e substâncias?
19) A susceptibilidade magnética é definida para todos os materiais? Por quê?
06) O que é um imã natural?
20) O que é a permeabilidade magnética? Como é representada? Qual é a sua
07) Quais são os tipos de imãs artificiais?
08) Qual é a diferença básica entre um imã artificial permanente e um imã
artificial transitório?
09) Qual é o significado do ponto Curie?
unidade usual?
21) O que é a permeabilidade magnética relativa? Como é representada? Qual é
a sua unidade usual?
22) Qual é a diferença entre a permeabilidade magnética e a susceptibilidade
magnética? Faça uma demonstração matemática.
10) Como surge o campo magnético em um imã natural?
23) Quais são as principais características dos materiais paramagnéticos?
11) O que é a corrente superficial de Ampère? Qual é o seu efeito?
24) Quais são as principais características dos materiais diamagnéticos?
12) Determine o campo magnético no interior de um solenóide ou bobina.
25) Cite exemplos de substâncias e materiais paramagnéticos?
13) Qual é o significado da intensidade de campo magnético? Como determiná26) Cite exemplos de substâncias e materiais diamagnéticos?
la?
14) O que acontece quando se introduz um material ferromagnético dentro de
27) Por quê as substâncias diamagnéticas possuem 0 > x m >>> −1 ?
uma bobina com corrente?
28) Por quê as substâncias paramagnéticas possuem 0 < x m <<< 1 ?
15) Qual é a diferença entre densidade de campo magnético e intensidade de
campo magnético? Como são representadas? Quais as suas unidades usuais?
16) Qual é o valor da permeabilidade magnética do vácuo? Como é
29) O que é o ferromagnetismo?
30) O que são os domínios magnéticos elementares?
representada?
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45) Que valor define a densidade de campo magnético máxima, no ciclo de
31) Por quê os materiais ferromagnéticos são facilmente imantados?
histerese?
32) Cite exemplos de materiais ferromagnéticos.
46) Quando submetidos a um campo magnético externo, os materiais
ferromagnéticos sempre orientam os seus domínios magnéticos elementares de forma
33) O que são as ligas metálicas?
paralela ao mesmo? Explique detalhadamente.
34) Como é a influência da temperatura nos materiais ferromagnéticos?
47) Em termos de magnetização, qual é o efeito de uma corrente alternada
35) Por quê ocorre a saturação do campo magnético em um material
senoidal?
ferromagnético?
48) Quais são as características básicas de um material magnético duro? Onde
36) Qual
é
o
significado
da
curva
de
saturação
de
um
material
de
um
material
são usados?
ferromagnético? Como pode ser obtida?
49) Quais são as características básicas de um material magnético mole? Onde
37) A
permeabilidade
magnética
ferromagnético
é
são usados?
constante? Explique.
50) O que são as correntes de Foucault?
38) Qual é o significado de não-linearidade?
51) Como surgem as correntes de Foucault?
39) O que é uma curva de magnetização?
52) Como reduzir as correntes de Foucault?
40) Qual é o significado do ciclo de histerese? Como pode ser obtido? Explique.
53) Quais são os feitos das correntes de Foucault?
41) O que é magnetismo residual ou remanescente?
54) Qual é a diferença entre correntes de Foucault e correntes parasitas?
42) O que é força coerciva ou coercitiva?
55) Qual é o significado de cada um dos símbolos a seguir:
43) O que pode ser feito para eliminar o magnetismo residual de um material?
Explique!
B, H, n, N, μ , μ 0 , μ r , x m , L, λ ?
44) Qual é a importância do magnetismo remanescente? Cite exemplos.
56) Quais são as dimensões usuais dos seguintes parâmetros e variáveis:
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B, H, n, N, μ , μ 0 , μ r , x m , L, λ ?
2.14 – BIBLIOGRAFIA
CAPÍTUL0 03 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS
[1] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGrawHill do Brasil, Ltda, 1985.
(Ver capítulo 09 - págs. 217 a 229);
______________________________________________________________________
3.1 – INTRODUÇÃO
[2] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 02a, Editora Guanabara Dois S.A.,
Segunda Edição, 1986.
(Ver capítulo 29 - págs. 803 a 819);
Os circuitos magnéticos utilizam materiais ferromagnéticos no sentido de
direcionar e elevar a indução magnética (e conseqüentemente o fluxo magnético). Isto é
possível uma vez que os materiais ferromagnéticos possuem altas permeabilidades.
[3] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física” , Parte 03 Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991.
(Ver capítulo 34 - págs. 241 a 257);
A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico de circuito magnético. Nesta
configuração, pode-se notar o direcionamento do fluxo magnético proporcionado pela
forma do núcleo.
[4] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers Moscow, 1973.
(Ver capítulo 03 - págs. 89 a 95);
[5] Syed A. Nasar, “Máquinas Elétricas”, Coleção Schaum, Editora McGrawHill do Brasil, Ltda, 1984.
(Ver capítulo 01 - págs. 01 a 05);
[6] Encyclopedia Britannica, “Magnetism”.
Figura 3.1 – Núcleo Magnético
3.2 – EFEITO DA DISPERSÃO
Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos efeitos da dispersão. Assim,
considere inicialmente a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir.
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Da figura 3.3 tem-se que:
N
φt = φ + φ d
B
Onde:
i
a
dispersão
b
dispersão
Figura 3.2 – Efeito da Dispersão em um Solenóide
φt
= Fluxo magnético total produzido pela corrente;
φ
= Fluxo magnético que “circula” pelo núcleo;
φd
= Fluxo magnético de dispersão pelo ar.
Como pode ser observado, ocorre nas extremidades da bobina uma determinada
Para materiais de alta permeabilidade tem-se que:
dispersão do campo magnético através do ar (pode-se ver, na figura, uma redução da
densidade de campo magnético “B”, nas extremidades). Este fenômeno é conhecido
φ >>> φ d
como “efeito das extremidades” ou “dispersão”.
Considere agora o circuito magnético apresentado de forma esquemática à figura
3.3 – EQUACIONAMENTO
3.3 a seguir.
3.3.1
Determinação de “B” e “H”
Considere o circuito magnético da figura 3.4 a seguir. Para a linha média do
mesmo pose-se escrever que:
B=
Figura 3.3 – Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético
que constitui o núcleo, este efeito de dispersão será bastante reduzido. Observar que a
alta permeabilidade oferece um caminho mais adequado à “circulação” do fluxo
magnético. Portanto, quanto maior for a permeabilidade do núcleo, menor será o efeito
(3.1)
Onde:
B
=
φ
=
A
=
Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre nas extremidades da bobina.
Entretanto, devido à alta permeabilidade proporcionada pelo material ferromagnético
φ
[Wb / m 2 ]
A
Densidade de campo magnético de cada uma das pernas do núcleo
magnético;
Fluxo magnético que “circula” através de cada uma das pernas do
núcleo magnético;
Área da seção reta transversal de cada uma das pernas do núcleo
magnético.
da dispersão de fluxo magnético pelo ar.
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Para cada valor de “B” haverá um valor de “H” correspondente. Assim, pode-se
escrever também que:
H =
3.3.2
B
[AE / m]
μ
(3.2)
Definição de Força Magnetomotriz
Figura 3.4 – Circuito Magnético
Foi visto anteriormente que:
A densidade de campo magnético “B” pode ser expressa por:
H = n⋅i =
B = μ 0 ⋅ (1 + x m ) ⋅ H
N ⋅i
l
Desta forma, pode-se escrever também que:
Ou ainda,
H ⋅l = N ⋅i
B = μ⋅H
Define-se como força magnetomotriz, o produto “ H ⋅ l ” ou o produto “ N ⋅ i ”,
Portanto, determinado o valor de “B” (conforme expressão 3.1), e de posse da
curva de saturação do material, pode-se calcular o valor da intensidade de campo
então:
magnético “H” correspondente, para cada uma das pernas do núcleo magnético.
F = H ⋅ l = N ⋅ i [AE ]
(3.3)
Desta forma, considere a curva de saturação apresentada à figura 3.5 a seguir.
Onde:
F
= Força magnetomotriz (ou simplesmente f.m.m.).
Esta definição é realizada como uma analogia à força eletromotriz nos circuitos
elétricos. Tal correspondência será analisada no item seguinte.
3.4 – ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA
Figura 3.5 – Curva de Saturação do Material
3.4.1
Introdução
Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir.
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Seja agora o circuito magnético apresentado à figura 3.7:
Figura 3.6 – Circuito Elétrico
Figura 3.7 – Circuito Magnético
Para este circuito elétrico podem ser escritas as seguintes equações:
e = R⋅i
Sendo:
l
l
R = ρ⋅ =
A σ ⋅A
Na figura 3.7, tem-se que:
F
= Força magnetomotriz (f.m.m.);
N
= Número de espiras da bobina;
I
= Corrente que circula na bobina;
φ
= Fluxo magnético que “circula” pelo núcleo.
Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se concluir que: enquanto no circuito
E ainda,
elétrico circula uma corrente elétrica “i”, no circuito magnético “circula” um fluxo
G =σ ⋅
A
l
magnético “ φ ”. Por outro lado, no circuito elétrico existe uma fonte de força
eletromotriz “e” e no circuito magnético existe uma fonte de força magnetomotriz “F”.
Portanto, pode-se fazer a seguinte analogia entre os dois circuitos:
Onde:
e
= Força eletromotriz (f.e.m.);
R
= Resistência elétrica total do circuito;
G
= Condutância elétrica total do circuito;
i
= Corrente elétrica que passa pelo circuito elétrico;
l
= Comprimento total do condutor;
A
= Área da seção reta transversal do condutor;
ρ
= Resistência elétrica do material utilizado como condutor;
σ
= Condutividade elétrica do material utilizado como condutor.
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i
e
⇒
⇒
φ
F
Para o circuito elétrico, pode-se escrever que:
F = H ⋅l = N ⋅i
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Universidade Federal de Itajubá_______________________________________________
F = H ⋅l =
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F = Re ⋅ φ
B
φ
⋅l =
⋅l
μ
A⋅μ
(3.7)
Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de Ohm no circuito elétrico.
F=
l
⋅φ
μ⋅A
(3.4)
Por outro lado, o inverso da relutância magnética é definido como sendo a
permeância magnética (Pe), de forma análoga a condutância (G) no circuito elétrico.
No circuito elétrico, pose-se escrever que:
Desta forma, pode-se escrever que:
e = R⋅i
R=
Pe =
ρ ⋅l
l
=
A
σ⋅A
l
⋅i
σ⋅A
e=
3.4.2
1
μ⋅ A
[H ]
=
Re
l
(3.8)
Cálculo da Indutância do Circuito Magnético
Sabe-se que:
(3.5)
λ = N ⋅φ = L ⋅ i
Comparando as equações (3.4) e (3.5), pode-se observar uma analogia entre os
seguintes termos:
Onde:
R=
l
1
e
σ ⋅A
μ⋅A
λ
= Fluxo enlaçado ou concatenado;
L
= Indutância da bobina.
Portanto,
A primeira relação corresponde à resistência (R) do circuito elétrico. A segunda,
portanto, corresponderia a uma certa “resistência” do circuito magnético. Através desta
L=
analogia, define-se:
Re =
[ ]
l
H −1
μ⋅A
(3.6)
Mas como,
H ⋅l = N ⋅i ⇒ i =
Onde:
Re
λ N ⋅φ
=
i
l
H ⋅l
N
= Relutância magnética do núcleo ou do circuito magnético.
E ainda,
Desta forma pode-se escrever que:
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 74
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φ = B⋅ A
Circuito Elétrico
Vem:
L=
N ⋅φ N ⋅ B ⋅ A
N ⋅ B⋅ A
⋅N =
=
i
H ⋅l
H ⋅l
2
i
= Corrente Elétrica
φ
= Fluxo Magnético
e
= Força Eletromotriz
F
= Força Magnetomotriz
R
= Resistência Elétrica
Re
= Relutância Magnética
G
= Condutância Elétrica
Pe
= Permeância Magnética
σ
= Condutividade elétrica
μ
= Permeabilidade Magnética
e
=
F
=
Mas,
∑i
B = μ⋅H
Circuito Magnético
R
R⋅i
= 0
=
l / (σ ⋅ A)
(Lei de Kirchhoff)
e
G =
(σ ⋅ A) / l
∑φ
R0
N ⋅ i = Re ⋅ φ (Lei de Hopkinson)
= 0
=
l / (μ ⋅ A )
e
Pe =
(μ ⋅ A) / l
Assim,
Tabela 3.1 – Analogia Eletromagnética
L= N2 ⋅
μ⋅A
l
3.4.4
Circuito Elétrico Análogo
Um circuito elétrico simples pode ser representado de forma esquemático
Como,
conforme a figura 3.8 a seguir.
Re =
l
μ⋅A
Tem-se que:
L=
N2
= N 2 ⋅ Pe [H ]
Re
(3.9)
Figura 3.8 – Representação Esquemática de um Circuito Elétrico
3.4.3
Resumo da Analogia Eletromagnética
A seguir será apresentada uma tabela com o resumo das principais analogias
Seja agora um circuito magnético como aquele apresentado à figura 3.9 a seguir.
verificadas entre os circuitos elétricos e magnéticos.
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Figura 3.9 – Circuito Magnético
Através da analogia com o circuito elétrico, o circuito magnético anterior pode
Figura 3.11 – Curva de Saturação
ser representado por um circuito elétrico análogo, conforme ilustra a figura 3.10 a
seguir.
Como pode sr observado na figura (3.11) anterior, as permeabilidades dos
pontos (01) e (02) são diferentes.
Assim, sendo, pode-se concluir que a saturação afeta:
a)
A permeabilidade magnética do material ( μ );
b) A permeância (Pe) ou a relutância (Re) do circuito magnético;
c)
A indutância (L) da bobina ou do circuito elétrico.
Figura 3.10 – Circuito Elétrico Análogo
Vale lembrar que:
A analogia é utilizada para melhorar a compreensão e maior facilidade na
solução dos circuitos magnéticos.
3.4.5
Pe =
μ⋅ A
l
Re =
l
μ⋅A
L=
N2
Re
Efeitos da Saturação
3.5 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE
Seja a curva de saturação ou magnetização da figura 3.11 a seguir.
Um circuito magnético série é aquele em que o fluxo magnético é o mesmo em
todas as suas pernas.
Este tipo de circuito magnético pode ser dividido em:
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a)
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Circuito magnético série homogêneo: quando as áreas das seções retas
transversais de todas as pernas do núcleo forem iguais. A figura 3.12 a
seguir ilustra esta condição.
Figura 3.13 – Circuito Magnético Série Não-Homogêneo
Da figura 3.13, tem-se que:
A1 ≠ A2 ≠ A3 ≠ A4
Figura 3.12 – Circuito Magnético Série Homogêneo
B1 =
Da figura 3.12, tem-se:
A1 = A2 = A3 = A4 = A
B1 =
φ
A1
B2 =
φ
A2
B3 =
φ
A3
φ
A1
B2 =
φ
A2
B3 =
φ
A3
B4 =
φ
A4
B1 ≠ B2 ≠ B3 ≠ B4
B4 =
φ
A4
Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12 e 3.13, pode ser desenvolvido o
circuito análogo equivalente apresentado à figura 3.14 a seguir:
B1 = B2 = B3 = B4 = B
b) Circuito magnético série não-homogêneo: quando pelo menos uma das
áreas das seções retas transversais for diferente das demais. A figura 3.13 a
seguir ilustra esta condição.
Figura 3.14 – Circuito Elétrico Análogo
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Da figura 3.14, tem-se que:
(
)
F = Re1 + Re2 + Re3 + Re 4 ⋅ φ
Chamando,
ReTOTAL = Re1 + Re2 + Re3 + Re4
Vem:
Figura 3.16 – Circuito Magnético Série
F = ReTOTAL ⋅ φ
Onde:
Portanto, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo equivalente
l1 + l 2 + l 3 + l 4 = l
apresentado à figura 3.15 a seguir.
Sendo “l” sendo a linha média do circuito.
Através da analogia eletromagnética pode-se desenvolver o circuito elétrico
análogo à figura 3.17 a seguir.
Figura 3.15 – Circuito Elétrico Análogo Equivalente
Considere agora o circuito magnético da figura 3.16 a seguir.
Figura 3.17 – Circuito Elétrico Análogo
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Conforme desenvolvimento anterior pode-se escrever que:
Bk =
φ
Ak
F = ReTOTAL ⋅ φ
Em (3.11), vem:
Ou de uma forma mais geral:
n
F=∑
k =1
n
F = φ ⋅ ∑ ReTOTAL
Bk
⋅l
μk k
(3.10)
k =1
Como,
Da equação 3.6, tem-se que:
B = μ⋅H
Re =
[ ]
l
H −1
μ⋅A
Ou ainda,
Ou ainda,
Hk =
R ek =
lk
μ k ⋅ Ak
Bk
μk
Obtém-se finalmente que:
n
Levando em 3.10, obtém-se:
F = ∑ H k ⋅lk
(3.12)
k =1
n
F = φ ⋅ ∑φ ⋅
k =1
lk
μ k ⋅ Ak
(3.11)
Ou seja,
F = H1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l 2 + H 3 ⋅ l 3 + H 4 ⋅ l 4 + .... = N ⋅ i
Mas,
B=
φ
A
Ou ainda,
F = F1 + F2 + F3 + F4 + .... = N ⋅ i
Ou ainda,
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As intensidades de campo magnético: H1 , H2 , H3 , H4 ,..., são determinadas
através das curvas de magnetização dos materiais, respectivamente para B1 , B2 , B3 ,
B4 ,...
3.5.1
Tipos de Problemas
Existem basicamente dois tipos de problemas de cálculo de circuitos magnéticos,
a saber:
a)
Figura 3.18 – Circuito Magnético de Exemplo 3.1
Determinar o valor da corrente “i” injetada na bobina, necessária para
produzir um determinado fluxo magnético “ φ ” no núcleo;
Sabendo que:
b) Determinar o valor do fluxo magnético “φ ”, no núcleo, produzido por uma
Espessura do Núcleo = 08 [cm]
dada corrente “i” na bobina.
N = 300 espiras (número total de espiras da bobina)
φ =0.0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)
O primeiro tipo de problema é de solução muito simples (solução direta), já o
segundo tipo requer uma solução iterativa mais trabalhosa.
Tabela 3.2 – Dados do Exercício 3.1
A seguir serão apresentados exemplos práticos dos dois tipos de problemas
citados.
Determinar a força magnetomotriz “F” e a corrente “i” injetada na bobina. As
medidas na figura 3.18 são dadas em centímetros.
3.5.2
Exemplos
Considerar a curva 01 de magnetização, do anexo 01.
Exemplo 3.1:
Solução:
Seja o circuito magnético serie não-homogêneo apresentado à figura 3.18 a
seguir:
-
Cálculos Iniciais
O circuito magnético da figura 3.18 pode ser dividido em 02 partes (de seções
iguais). Para estas partes podem ser calculados os comprimentos das linhas médias e as
áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja:
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F = Re1 ⋅ φ + Re2 ⋅ φ
Parte 01
l1
= (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110 [cm]
I1
= 1.10 [m]
A1
= 10 x 08 = 80 [cm ]
A1
= 0.0080 [m ]
Ou ainda,
2
F = F1 + F2
2
Tabela 3.3 – Medidas da Parte 01 do Circuito Magnético da Figura 3.18
Vale lembrar que:
F = H ⋅l
Parte 02
l2
= 05 + 22 + 05 = 32 [cm]
I2
= 0.32 [m]
A2
= 08 x 08 = 64 [cm ]
A2
= 0.0064 [m ]
Portanto,
2
F1 = H1 ⋅ l1
2
F2 = H 2 ⋅ l 2
Tabela 3.4 – Medidas da Parte 02 do Circuito Magnético da Figura 3.18
-
Circuito Elétrico Análogo
-
O circuito magnético da figura 3.18 pode ser representado pelo circuito elétrico
análogo da figura 3.19 a seguir.
Tabela de Valores
Considerando os dados fornecidos e através das expressões anteriormente
apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.5) a seguir.
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
H [AE/m]
l [m]
F [AE]
01
0.0064
0.0080
0.8
620
1.10
682
02
0.0064
0.0064
1.0
900
0.32
288
Tabela 3.5 – Tabela de Valores
Figura 3.19 – Circuito Elétrico Análogo
Da figura 3.19 tem-se que:
No desenvolvimento da tabela 3.5, considerou-se que:
a)
No circuito magnético série, o fluxo magnético é o mesmo em todas as
partes. Portanto:
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φ 1 = φ = 0.0064[Wb ]
F = N ⋅i
Vem,
b) As áreas das seções retas transversais (A1 e A2 ) e os comprimentos das
linhas médias (l1 e l2 ) foram determinados no item “cálculos iniciais”;
i=
c)
Os valores B1 e B2 são determinados através da expressão:
B=
-
φ
A
F 970
=
= 3.233[A]
N 300
Determinação de outros Valores
Da tabela podem ser extraídos diversos valores como:
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material,
para B1 e B2 respectivamente.
-
As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;
Obs.:
-
As permeâncias das diversas partes do núcleo;
-
A relutância equivalente do circuito magnético;
-
As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas
-
O fluxo enlaçado com a bobina;
-
A indutância (L) da bobina.
A curva de magnetização do material é apresentada no anexo 01
(curva 01).
e)
Os valores F1 e F2 são determinados através da seguinte expressão:
F = H ⋅l
-
Determinação da Corrente
A corrente “i” da bobina pode ser determinada da seguinte forma:
F = F1 + F2
partes;
Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.
Exemplo 3.2:
Logo,
F = 682 + 288 = 970[AE ]
Como,
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Para o mesmo circuito magnético do exemplo 3.1 anterior, achar o valor do
fluxo magnético correspondente a uma corrente de 6.667 [A] na bobina.
Solução:
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-
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Admitindo por hipótese que: F1 =1000[AE] , é possível desenvolver a tabela de
Cálculos Iniciais
valores (3.6) do item a seguir.
No exemplo 3.1, foram determinadas as áreas das seções e os comprimentos das
linhas médias do núcleo. Foi desenvolvido também o circuito elétrico análogo.
-
Tabela de Valores
É sabido que:
F = N ⋅i
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
01
0.0080
0.0080
1.00
02
0.0080
0.0064
1.25
Como:
l [m]
F [AE]
909
1.10
1000
1600
0.32
512
Tabela 3.6 – Tabela de Valores
i = 6.667 [A] e N = 300 espiras
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2 , portanto;
Vem:
F = F1 + F2 = 1000 + 512 = 1512[ AE ]
F = 300 ⋅ 6.667 = 2000[ AE]
-
H [AE/m]
Circuito Elétrico Análogo
Este valor (1512 [AE]) está abaixo do valor real da força magnetomotriz total,
ou seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.
Admitindo por hipótese que: F1 =1400[AE] , pode-se desenvolver a tabela de
A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito elétrico análogo correspondente.
valores (3.7) a seguir.
-
Tabela de Valores
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
H [AE/m]
l [m]
F [AE]
01
0.0093
0.0080
1.16
1273
1.10
1400
02
0.0093
0.0064
1.45
3000
0.32
960
Tabela 3.7 – Tabela de Valores
Figura 3.20 – Circuito Elétrico Análogo
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2 , portanto;
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 91
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F = F1 + F2 = 1400 + 960 = 2360[ AE]
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O leitor deve comparar os resultados obtidos nos dois exemplos dados e verificar
os efeitos causados pela não- linearidade do circuito magnético.
Este valor (2360 [AE]) está acima do valor real da força magnetomotriz total, ou
3.6 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS
seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.
Admitindo agora F1 =1250[AE] , pode-se desenvolver a tabela de valores (3.8) a
Em um circuito magnético paralelo, existem “nós” de bifurcação para o fluxo
magnético. A figura 3.21 a seguir apresenta uma configuração típica.
seguir.
-
Tabela de Valores
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
H [AE/m]
l [m]
F [AE]
01
0.0089
0.0080
1.11
1136
1.10
1250
02
0.0089
0.0064
1.39
2300
0.32
736
Tabela 3.8 – Tabela de Valores
Figura 3.21 – Circuito Magnético Paralelo
Somando F1 e F2 obtém-se: F = 1986 [AE]. Este valor está muito próximo do
valor real de 2000 [AE]. Portanto, pode-se dizer que o fluxo magnético no núcleo vale
Para este circuito magnético, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo
apresentado à figura 3.22.
0.0089 [Wb].
-
Outros Valores Obtidos da Tabela
Da tabela 3.8 podem ser obtidas inúmeras outras grandezas, conforme sugerido
no exemplo 3.1 anterior. Alguns destes possíveis resultados são apresentados a seguir.
φ
=
0.0089 [Wb]
Re1 =
140450 [H ]
R e2 =
82697 [H ]
-1
-1
ReT
=
223147 [H ]
L
=
0.4033 [H]
-1
Tabela 3.9 - Outros Valores Obtidos da Tabela
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Figura 3.22 – Circuito Elétrico Análogo
Da figura 3.22, tem-se:
φ1 = φ2 + φ3
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Tem-se também,
φ1 = φ 3 =
φ2
2
F = F1 + F2 = φ 1 ⋅ Re1 + φ 2 ⋅ φ e2
Por analogia, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo da figura 3.24 a
F = F1 + F3 = φ1 ⋅ Re1 + φ 3 ⋅ φ e3
seguir.
Portanto, podemos admitir que,
F2 = F3
De onde retiramos:
Figura 3.24 – Circuito Elétrico Análogo
H 2 ⋅ l2 = H 3 ⋅ l3
Considere agora o núcleo magnético apresentado à figura 3.23 a seguir.
Da figura 3.24, pode-se escrever que:
F = F1 + F2 = F2 + F3
E portanto,
F1 = F3
Exemplo 3.3:
Figura 3.23 – Circuito Magnético Paralelo com Bobina Central
Determinar o valor da corrente “i” na bobina do circuito magnético da figura
3.25, a seguir, tal que φ 3 = 0.005[Wb ] .
Da figura anterior, tem-se que:
φ 2 = φ1 + φ3
Para o material ferromagnético do núcleo, considere a curva 01 de
magnetização, apresentada no anexo 01.
Considerando a simetria do núcleo,
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Figura 3.25 – Circuito Magnético do Exemplo 3.3
Figura 3.26 – Circuito Elétrico Análogo
Os dados referentes às dimensões do núcleo podem ser obtidos da tabela 3.9 a
Da figura anterior, tem-se que:
seguir.
Parte
A [m2 ]
l [m]
01
0.0090
0.56
02
0.0032
0.26
03
0.0045
0.51
φ1 = φ2 + φ3
F = F1 + F2 = F1 + F3
F2 = F3
N = 300 espiras
Tabela 3.9 – Dados do Exercício 3.3
F1 = Re1 ⋅ φ1
F2 = Re2 ⋅ φ 2
F3 = Re3 ⋅ φ 3
Solução:
-
Cálculos Iniciais
Os comprimentos das linhas médias, bem como as áreas das seções retas
Tabela de Valores
Considerando os dados da tabela 3.9, e φ 3 = 0.005[Wb ] , pode-se desenvolver a
tabela de valores a seguir.
transversais do núcleo magnético, estão relacionados à tabela 3.9, dada anteriormente.
-
Circuito Elétrico Análogo
Para o circuito magnético dado, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo
apresentado à figura 3.26 a seguir.
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
H [AE/m]
l [m]
F [AE]
01
0.0094
0.0090
1.044
980
0.56
549
02
0.0044
0.0032
1.375
2254
0.26
586
03
0.0050
0.0045
1.111
1150
0.51
586
Tabela 3.10 – Tabela de Valores do Exemplo 3.3
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Obs.:
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Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de
magnetização apresentada no anexo 01.
Da tabela 3.10, tem-se que:
F = F1 + F2 = 549 + 586 = 1135[ AE]
Figura 3.27 – Circuito Magnético Série com Gap
Como F = N ⋅ i
Os gaps ou entreferros são muitas vezes utilizados em circuitos magnéticos no
F 1135
i=
=
= 3.783[ A]
N
300
sentido de :
a)
-
Cálculos Adicionais Propostos
Possibilitar uma certa linearização da curva de saturação;
b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um núcleo magnético.
Fica para o leitor, a titulo de exercício, calcular os valores das relutâncias e
3.7.1
Espraiamento
permeâncias do circuito magnético dado, bem como o valor da indutância da bobina. As
respectivas respostas são apresentadas a seguir.
A introdução de gaps em circuitos magnéticos, como aquele apresentado à figura
3.27, causa uma certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no local onde este gap foi
-1
Pe1
=
1.7122 x 10
-1
Pe2
=
7.5080 x 10
-1
Pe3
=
8.5320 x 10
PeTOTAL =
8.2810 x 10
Re1
=
R e2
= 133182 [H ]
R e3
= 117200 [H ]
58404 [H ]
-5
[H]
-6
[H]
-6
[H]
-6
[H]
colocado. Este fenômeno é chamado de “espraiamento” do fluxo magnético e seu
efeito pode ser verificado através da figura 3.28 a seguir.
ReTOTAL = 120744 [H-1]
L
= 0.7454
[H]
Tabela 3.11 – Dados finais do Exercício 3.3
3.7 – GAPS E ENTREFERROS
Figura 3.28 – Espraiamento do fluxo Magnético em um Gap
A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo típico de introdução de gap em um
circuito magnético.
Muitas vezes, o efeito do espraiamento é considerado nos cálculos de circuitos
magnéticos através de um acréscimo da área correspondente a seção reta transversal no
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 100
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gap. Desta forma, se a área correspondente ao material ferromagnético for “A”,
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3.7.3
Cálculo da Relutância do Gap
considera-se como área da seção reta transversal do gap (A g), a relação:
Da equação 3.6, tem-se que:
Ag = k ⋅ A
(3.13)
Re =
Onde:
k
=
Fator de acréscimo correspondente ao espraiamento (p. ex.: k=1.05 ⇒
elevação de 05% na área).
Para o gap, pode-se escrever que:
Re g =
É importante deixar claro que esta forma de representação do espraiamento, nos
cálculos, constitui uma aproximação.
3.7.2
Efeito da Dispersão
A introdução de gaps ou entreferros provoca a elevação da relutância total
equivalente de um núcleo magnético. Em outras palavras pode-se dizer que: os gaps
dificultam a “circulação” do fluxo magnético. Desta forma, haverá uma maior tendência
de formação de fluxo de dispersão no ar, nas extremidades da bobina (cabeças de
l
μ⋅A
lg
μg ⋅ Ag
Onde:
R eg
= Relutância magnética do gap;
lg
= Comprimento do gap;
μg
= Permeabilidade magnética do gap;
Ag
= Área da seção reta transversal do gap.
bobina), como pode ser observado à figura 3.29 a seguir.
Como a permeabilidade magnética do ar (e portanto do gap) é praticamente igual
Pode-se concluir portanto que: quanto maior for o gap, maior será a relutância
à permeabilidade magnética do vácuo, pode-se escrever que:
do núcleo magnético e conseqüentemente maior será o fluxo de dispersão pelo ar.
Re g =
lg
μ0 ⋅ A g
(3.14)
Exemplo 3.4:
Seja o circuito magnético da figura 3.30 a seguir.
Figura 3.29 – Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap
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comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou
seja:
Parte 01 – Material Ferromagnético
Figura 3.30 – Circuito Magnético do Exemplo 3.4
l1
= (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110 [cm]
I1
= 1.10 [m]
A1
= 10 x 08 = 80 [cm ]
A1
= 0.0080 [m ]
2
2
Tabela 3.13 – Medidas da Parte 01 do Circuito Magnético da Figura 3.30
Determinar a corrente “i” da bobina sabendo que:
Parte 02 – Material Ferromagnético
Espessura do Núcleo = 08 [cm]
N = 300 espiras (número total de espiras da bobina)
φ =0.0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)
l2
= 05 + 22 + 05 – 0.1 = 31.9 [cm]
I2
= 0.319 [m]
A2
= 08 x 08 = 64 [cm ]
A2
= 0.0064 [m ]
2
2
Gap=0.1 [cm]
Tabela 3.14 – Medidas da Parte 02 do Circuito Magnético da Figura 3.30
Tabela 3.12 – Dados do Exercício 3.4
Parte 03 – Entreferro
Obs.: - Considerar todas as medidas da figura 3.30 em [cm];
- Utilizar a curva de saturação 01 do anexo 01;
l2
= 0.1 [cm]
- Observar que a única diferença do circuito magnético da figura 3.30,
I2
= 0.001 [m]
para o circuito magnético do exemplo 3.1, é exatamente o gap ou
A2
= 08 x 08 = 64 [cm ]
A2
= 0.0064 [m ]
entreferro.
Solução:
-
Cálculos Iniciais
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser dividido em 03 partes: duas para o
material ferromagnético e uma para o gap. Para estas partes podem ser calculados os
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⇒ Não há consideração sobre o espraiamento
2
2
Tabela 3.15 – Medidas da Parte 03 do Circuito Magnético da Figura 3.30
-
Circuito Elétrico Análogo
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser representado pelo circuito elétrico
análogo da figura 3.31 a seguir.
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Considerando os dados fornecidos e calculados, e através das expressões
anteriormente apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.16) a seguir.
Parte
Ö [Wb]
A [m2 ]
B [T]
H [AE/m]
l [m]
F [AE]
01
0.0064
0.0080
0.8
620
1.10
682
02
0.0064
0.0064
1.0
900
0.32
288
03
0.0064
0.0064
1.0
795775
0.001
796
Figura 3.31 – Circuito elétrico Análogo
Tabela 3.10 – Tabela de Valores do Exemplo 3.16
Da figura 3.31, tem-se que:
No desenvolvimento da tabela 3.16, considerou-se que:
F = Re1 ⋅ φ + Re2 ⋅ φ + Re3 ⋅ φ
a)
No circuito magnético serie, o fluxo magnético é o mesmo em todas as
partes. Portanto:
Ou ainda,
φ 1 = φ 2 = φ 3 = 0.0064[Wb ]
F = F1 + F2 + F3
b) As áreas das seções retas transversais (A1 , A2 , A3 ) e os comprimentos das
Vale lembrar também que;
linhas médias (l1 , l2 , l3 ) foram determinadas no item “cálculos iniciais”.
F = H ⋅l
c)
Os valores B1 , B2 e B3 são determinadas através da expressão:
Portanto,
B=
φ
A
F1 = H1 ⋅ l1
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material,
F2 = H 2 ⋅ l 2
F3 = H 3 ⋅ l 3
para B1 e B2 respectivamente.
Obs.:
Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de
magnetização apresentada no anexo 01.
-
Tabela de Valores
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e)
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A intensidade de campo magnético no gap (H3 ) é determinada através da
-
O fluxo enlaçado com a bobina;
-
A indutância (L) da bobina.
seguinte expressão:
H3 = H g =
f)
B3
1.0
=
μ 0 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7
Os valores F1 , F2 e F3 são determinados da seguinte forma:
F = H ⋅l
Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.
-
Observações
Considere a tabela 3.17 a seguir, onde é realizada uma comparação dos valores
obtidos nos exemplos 3.1 e 3.4.
-
Determinação da Corrente
Variável
Exemplo 3.1
Exemplo 3.4
0.0064
0.0064
3.233
5.887
151563
275938
0.594
0.326
Para a determinação da corrente “i” na bobina, deve-se considerar que:
F = F1 + F2 + F3 = 682 + 288 + 796 = 1766[ AE ]
F 1766
i=
=
= 5.887[ A]
300
N
Ö
[Wb]
i
[A]
ReT
[H -1]
L
[H]
Tabela 3.17 – Comparação dos Resultados com e sem Gap
-
Determinação de outros Valores
Pode-se observar que a inserção do gap elevou a relutância equivalente do
Da tabela 3.16, podem ser extraídos outros valores como:
circuito magnético de 151563 [H-1 ]
para 275938 [H-1 ]. Com este novo valor de
relutância, para se obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou seja, 0.0064 [Wb],
-
As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;
-
As permeâncias das diversas partes do núcleo;
portanto, foi necessária uma elevação no valor da corrente de 3.233 [A] para 5.887 [A].
Evidentemente que a qualidade magnética do núcleo diminui com a inserção do
gap, este fato pode ser observado através da indutância (L), que passou de 0.594 [H]
-
A relutância equivalente do circuito magnético;
para 0.326 [H].
-
As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas
3.8 – CURVAS DE SATURAÇÃO
partes;
Considere a característica B = f(H) da figura 3.32 a seguir.
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Esta nova característica φ = f ( F ) é na verdade uma curva de saturação que
determina a propriedade do núcleo magnético em termos de sua permeância magnética
(Pe) ou relutância magnética (Re). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou
curva de magnetização do núcleo magnético.
Sabe-se também que:
λ = N ⋅φ
e
f = N ⋅i
Figura 3.32 – Característica B = f (H)
Portanto, através de novas mudanças de escalas, as características das figuras
Esta característica B = f (H) é na verdade uma curva de saturação que
3.32 e 3.33 podem ser alteradas para aquela desenvolvida à figura 3.34 a seguir.
determina a propriedade do material ferromagnético em termos de sua permeabilidade
magnética (µ). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou curva de
magnetização do material ferromagnético.
Por outro lado, sabe-se que:
φ = B⋅ A
e
H ⋅l = N ⋅i = F
Portanto, através de mudanças de escalas, a característica da figura 3.32 pode ser
alterada para aquela desenvolvida à figura 3.33 a seguir.
Figura 3.34 – Característica λ = f (i )
Esta característica λ = f (i ) é na realidade uma curva de saturação que determina
a propriedade da bobina em termos de sua indutância (L). Pode ser chamada, portanto,
de curva de saturação da bobina.
As três curvas anteriormente apresentadas (B = f (H), φ = f ( F ) , λ = f (i ) ),
podem ser representadas em uma única característica, considerando apenas as mudanças
de escalas das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser verificado à figura 3.35 a seguir.
Figura 3.33 – Característica φ = f ( F )
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05) Quais são os respectivos análogos elétricos das seguintes grandezas
magnéticas: φ , F, Re, Pe, µ?
06) O que é relutância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?
07) O que é permeância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?
08) Qual é a relação entre permeância e indutância?
09) Dada à área da seção reta transversal de um núcleo magnético série e
Figura 3.35 – Curvas de Saturação
homogêneo, e conhecido o fluxo magnético que atravessa a mesma, como seriam
determinadas: a indução magnética no núcleo (B); a intensidade de campo magnético
Na figura 3.35, tem-se que:
B
= f(H)
⇒ Característica do material;
φ
= f(F)
⇒ Característica do núcleo magnético;
λ
= f(i)
⇒ Característica da bobina.
“H”.
10) Quais são as unidades usuais de “B” e “H”.
11) Quais são as características dos seguintes circuitos magnéticos:
a) Circuito magnético série uniforme;
3.9 – PERGUNTAS PROPOSTAS
b) Circuito magnético série não- uniforme;
c) Circuito magnético paralelo uniforme;
Responda as seguintes perguntas:
01) Por que são utilizados materiais ferromagnéticos na confecção de circuitos
d) Circuito magnético paralelo não-uniforme;
12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é mais trabalhoso:
ou núcleos magnéticos?
a) Dado um fluxo magnético “φ ”, determinar a corrente necessária para
produzi- la;
02) O que é o efeito da dispersão? Quando ele deve ser considerado?
b) Dada uma corrente “i”, determinar o fluxo magnético produzido pela
mesma? Por quê?
03) O que é a força magnetomotriz? Faça uma analogia com os circuitos
elétricos.
04) O que são os circuitos elétricos análogos? Onde são utilizados? Por quê?
13) Faça um análogo magnético das leis de Kirchhoff das tensões e correntes.
14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados como lineares ou não- lineares?
Por quê?
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15) Quais são as dificuldades encontradas nos cálculos de circuitos nãolineares? Dê exemplos.
16) O que são gaps ou entreferros em um circuito magnético? Por que são
utilizados?
17) Qual é o significado do espraiamento em um gap? De que forma seu efeito é
considerado no cálculo de um núcleo magnético?
Dados do Exercício
18) Qual é a relação entre a relutância de um gap e a relutância do material
Espessura do Núcleo = 10 [cm]
ferromagnético que constitui um núcleo? Explique.
N = 500 espiras
Medidas na figura em [cm]
19) Qual é o significado de cada uma das seguintes relações:
B
= f(H)
φ
= f(F)
λ
=
f(i)
Tabela 3.18 – Dados do Exercício 01
Determinar:
Que grandezas representam?
a) O Valor da força magnetomotriz necessária para produzir um fluxo de
20) Dê as unidades usuais das seguintes grandezas:
0.006 [Wb];
a) Indutância;
b) O valor da corrente correspondente;
b) Permeabilidade magnética;
c) O valor da indutância “L” da bobina;
c) Condutância;
d) A permeância total do circuito magnético;
d) f.m.m.;
e) A permeabilidade magnética de cada parte do circuito magnético.
e) f.e.m.
Obs.: Considerar a curva de saturação anexa.
3.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
02) No circuito magnético do exercício anterior, determine o valor do fluxo
Resolva os seguintes exercícios:
01) Considere o seguinte circuito magnético:
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magnético “ φ ” produzido por uma força magnetomotriz de 3000 [AE].
03) Considere o seguinte circuito magnético:
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Dados do Exercício
i = 05 [A]
N = 500 espiras
φ1
= 0.002 [Wb]
φ2
= 0.003 [Wb]
L1 = 0.6 [m]
L2 = 0.4 [m]
Dados do Exercício
Tabela 3.20 – Dados do Exercício 06
Espessura do Núcleo = 08 [cm]
N = 1000 espiras
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.
Espraiamento no gap = 10%
Medidas na figura em [cm]
Tabela 3.19 – Dados do Exercício 03
Determinar o valor da corrente “i” que produz um fluxo magnético de 0.001
[Wb] na perna direita do núcleo. Considerar para o material ferromagnético a curva de
saturação anexa.
04) Refazer o exercício anterior considerando o circuito magnético sem o
entreferro.
07) Considere o seguinte circuito magnético:
05) Faça uma análise comparativa dos resultados obtidos nos exercícios 03 e 04
anteriores.
06) No circuito magnético a seguir, determinar a indutância da bobina e o fluxo
enlaçado com a mesma.
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Dados do Exercício
Dados do Exercício
Espessura do Núcleo = 10 [cm]
Espessura do Núcleo = 08 [cm]
N = 1000 espiras
i = 6.2 [A]
φ
Medidas na figura em [cm]
= 0.015 [Wb]
l g1 = 0.10 [cm] e l g 2 = 0.15 [cm]
dl = 150 [cm] e de = 180 [cm]
Tabela 3.22 – Dados do Exercício 08
Sabendo-se que φ 3 = 0.0056[Wb ] , determinar o numero de espiras da bobina.
Tabela 3.21 – Dados do Exercício 07
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.
De posse dos dados acima, determinar:
a) A força magnetomotriz necessária para produzir o fluxo “ φ ”;
09) Seja o seguinte circuito magnético toroidal, com gap e “N” espiras
uniformemente distribuídas:
b) A corrente “i” da bobina;
c) A permeância total do circuito magnético;
d) A indutância da bobina.
Obs.: - Considerar simetria dos gaps;
- Considerar espraiamento de 05% nos gaps de comprimento l g 2 ;
- Considerar para o material ferromagnético a curva de saturação
anexa.
08) Considere o seguinte circuito magnético:
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Dados do Exercício
Espraiamento no Gap = 10%
N = 1000 espiras
λ gap
-7
= 12.0 x 10 [H/m]
l g = 01 [mm]
dl = 81.2 [cm] e de = 103.8 [cm]
Espiras justapostas
Tabela 3.23 – Dados do Exercício 09
Dados do Exercício
Espessura do Núcleo = 01 [pol]
Desprezando:
i = 0.2 [A]
N = 1000 espiras
- O fluxo de dispersão;
- O comprimento do arco equivalente a linha media do gap.
De posse destes dados, determinar:
Medidas na figura em [pol]
Tabela 3.24 – Dados do Exercício 10
Determinar o fluxo e a indução magnética em cada perna do circuito magnético.
Desprezar os espraiamentos dos entreferros e os campos de dispersão. Supor que a
a) A corrente necessária para produzir um fluxo de 0.0012 [Wb];
b) As relutâncias equivalentes, do ferro e do gap;
permeabilidade relativa do ferro é tão alta que a força-magnetomotriz do enrolamento
está totalmente aplicada nos entreferros.
c) A indutância da bobina.
Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa.
10) Considere o seguinte circuito magnético:
Obs.: Desenvolva um circuito magnético equivalente.
11) Refazer o exercício anterior, considerando agora a seguinte curva de
magnetização para o material ferromagnético:
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Determinar:
a) O circuito elétrico análogo;
b) A corrente na bobina para que se obtenha um fluxo de 0.006 [Wb] no
núcleo magnético;
c) A indutância da bobina;
d) A relutância total do circuito magnético.
Obs.: - Considerar simetria na perna do núcleo onde está o gap;
- Para o material ferromagnético, considerar a curva de saturação
(01) anexa;
12) Na curva de magnetização anexa (curva 01), determinar o valor da
-
μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 [H / m]
permeabilidade magnética relativa para:
a) B = 0.5 [Wb/m2 ];
b) B = 1.5 [Wb/m2 ];
c) H = 1400 [AE/m];
d) H = 3600 [AE/m].
13) Considere o circuito magnético da figura a seguir, onde:
Dados do Exercício
Espessura do Núcleo = 10 [cm]
Espraiamento do núcleo = 20%
N = 1390 espiras
Medidas na figura em [cm]
Tabela 3.25 – Dados do Exercício 13
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