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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Campo Magnético

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
1. Pode uma partícula carregada se mover em um
campo magnético sem sol'rer a ação de nenhuma
força? Se pode, como? Senão, por que?
2. Em qualquer ponto do espaço, o campo
elétrico E por definição possui a mesma direção e o
mesmo sentido da força elétrica que atua sobre uma
carga positiva situada nesse ponto. Porque não
definimos o campo magnético B de modo análogo
como possuindo a mesma direçao e o mesmo sentido
da força magnética que atua sobre uma carga positiva
que se move?
3. Quando um feixe de elétrons se desloca em
linha rela em um tubo de raios catódicos, é possível
afirmar que não existe nenhum campo magnético
presente? Por que?
4. A força magnética sobre uma partícula
carregada em movimento é sempre perpendicular ao
campo magnético R. Será que a trajetória da partícula é
sempre perpendicular às linhas de campo magnético?
Explique sua resposta.
5. Uma partícula carregada entra cm uma
região cúbica onde existe um campo magnético
uniforme. Fora dessa região, não há nenhum campo
magnético. E possível que a partícula fique confinada
no interior da região cúbica? Por que?
6. Se a força magnética não realiza nenhum
trabalho sobre uma partícula carregada, como ela pode
produzir algum efeito sobre o movimento da partícula?
Existem outros exemplos de forças que não realizam
trabalho mas que produzem um efeito significativo
sobre o movimento da partícula?
7. Uma bússola em Nova York aponta cm
uma direção de 15° a oeste do norte verdadeiro: na
Califórnia, situada aproximadamente no mesmo
meridiano, porém do lado oeste dos Estados Unidos, a
agulha da bússola aponta cm uma direção de 15° a
leste do norte verdadeiro. A declinação magnética
também varia com o tempo. Forneça algumas
explicações possíveis para a declinação magnética.
8. Um feixe de elélrons cm um osciloscópio
(tubo de raios catódicos) pode ser usado como uma
bússola? Como? Que vantagens e desvantagens essa
eventual possibilidade ofereceria em relação a uma
bússola convencional?
9. Como uma espira de corrente poderia ser
usada como bússola? Essa bússola conseguiria
distinguir a diferença entre o norte e o sul? Por que?
10. Como você poderia determinar a direçao
de uni campo magnético fazendo apenas observações
qualitativas da força magnética sobre um fio retilíneo
que conduz uma corrente?
11. Um campo magnético exerce forças sobre
os elétrons no interior dos átomos? Por quê? Que
efeitos observáveis essas interações poderiam produzir
no comportamento dos átomos?
12. Uma espira de fio frouxa e capaz, de se
mover transporta uma corrente I. A espira é colocada
sobre uma mesa horizonlal em um campo magnético B
perpendicular ao plano da mesa. Isso faz com que a
espira se dilate adquirindo uma forma circular
enquanto permanece sobre a mesa. Faça um diagrama
mostrando todas as orientações possíveis do campo
magnético B e da corrente I que possibilitam esse
evento. Explique seu raciocínio.
13. A Equação para a força sobre um fio que

 
conduz uma corrente, F i l B foi deduzida
usando-se a hipótese de que a área da seção rela do fio
permanece constante ao longo de seu comprimento.
Essa equação continuaria válida se a área da seção reta
variasse ao longo do fio? Por quê?
14. Um aluno afirma que, se um raio atingisse
o metal do poste que sustenta uma bandeira, a força
exercida sobre o poste pelo campo magnético da Terra
seria suficientemente grande para entortar o poste. As
correntes típicas de um raio são da ordem de
104 a 105A. A opinião do estudante pode ser
justificada? Expliqueseu raciocínio.
15. Uma aluna tenta fazer uma bússola
elelromagnética, suspendendo uma bobina ou espira
com uma linha (mantendo o plano da espira na
vertical) e fazendo uma corrente passar na espira. Ela
esperava
que
a
bobina
se
alinhasse,
perpendicularmente, ao componente horizontal do
campo da Terra; em vêz, disso, a bobina passou a
descrever um movimento que parecia ser um
movimento simples, oscilando para frente e para trás
em torno da direção esperada. O que aconteceu? O
movimento era um verdadeiro movimento harmónico
simples?
16. Como uma bússola poderia ser usada para
a determinação quantitativa do módulo e da direção do
campo magnético em um dado ponto?
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
17. Um alto-falante comum, como o descrito
na Figura não deve ser colocado perto de um monitor
de computador nem próximo da tela da TV. Por quê?
18. Um imã permanente pode ser usado para
atrair agulhas, tachas ou clipes de papel, embora esses
ohjelos não sejam imantados. Como isso ocorre?
19. Se uma fem é produzida em um motor,
seria possível usar de algum modo o motor como
gerador ou fonte, retirando potência dele em vêz de
fornecer potência para ele? Como isso poderia
ocorrer?
20. Quando a polaridade de uma voltagem
aplicada a um motor de é invertida, o sentido do
movimento não se inverte. Por que não? Como o
sentido do movimento poderia ser invertido?
21. Em uma experiência do efeito Hall, existe
a possibilidade de nenhuma diferença de potencial
transversal ser estabelecida? Em que circunstâncias
isso poderia ocorrer?
22. As voltagens no eleito Hall são muito
maiores no caso de maus condutores (tal como o
germânio) do que no caso de bons condutores (tal
como o cobre), considerando dimensóes iguais e
correntes iguais. Por quê?
(b)

B 1.4 kˆ T ?
2. Uma partícula com massa igual a 0.l95 g
possui carga -2.50.10-8 C e se desloca com velocidade
inicial horiontal do sul para o norte com módulo igual
a 4,00.104 m/s. Determine o módulo, a direção e o
sentido do campo magnético mínimo capaz de manter
a partícula se movendo na mesma direção e no mesmo
sentido da velocidade inicial no campo magnético da
Terra.
3. Uma partícula que inicialmente esta se
deslocando de norte para sul em um campo magnético
vertical orientado de cima para baixo sofre um desvio
para o leste. Qual é o sinal da carga da partícula?
Explique sua resposta usando um diagrama.
4. Uma partícula com massa igual a l.81.10-3'
kg e carga 1.22.10-8 C em um dado instante possui uma
velocidade

v 3.00 104 ˆj
m
s
. Qual é o módulo, a
direçao e o sentido da aceleração da partícula
produzida por um campo magnético uniforme

B 1.63 iˆ 0.98 kˆ T ?
23. Seria possível construir um acelerador no
qual as forças sobre as partículas, destinadas a
aumentar a velocidade e a produzir mudanças na
direçao da velocidade, fossem todas magnéticas? Por
quê?
24. Uma força magnética que atua sobre uma
partícula carregada nunca pode reali/ar trabalho, pois a
cada instante a torça é perpendicular ã velocidade. O
torque exercido por um campo magnético pode realizar
trabalho sobre uma corrente quando a espira gira.
Explique como essa aparente contradição pode ser
conciliada.

EXERCÍCIOS
SEÇÃO 28.3 CAMPO MAGNÉTICO
28.1 Uma partícula com carga igual a:
-1.24.l0-8 C se move com velocidade
instantânea:

v 4.19 104 iˆ 3.85 104 ˆj
m
s
Qual é a força exercida sobre essa partícula
por um campo magnético:
(a)

B 1.4 iˆ T ?
FIGURA 1 Exercício 5.
5. Cada um dos pontos assinalados por letras
nos vértices de um cubo na Figura 5 representa uma
carga positiva q que se move com velocidade de
módulo v na direçao indicada. A região na figura esta

em um campo magnético B paralelo ao eixo Ox no
sentido da esquerda para a direita. Copie a Figura,
determine o módulo, a direção e o sentido da força
que alua sobre cada carga e mostre as forças em seu
diagrama.
6. Um elétron se move com velocidade igual a
2.50.106 m/s em uma região onde existe um campo
magnético com nina direção especificada e com
módulo igual a 7,40.10-2T.
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(a) Qual deve ser o maior e o menor módulo
da aceleração de um elétron provocada por esse
campo magnético?
(b) Se a aceleração real do elétron for igual a
um quarto do maior módulo encontrado no item (a),
qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o
campo magnético?
FIGURA 28.38 - Exercícios 10 e l l.
7. Um elétron sofre a ação de uma força
magnética de módulo igual a 4,60.10-15 N quando
se move com um ângulo de 60,00 em relação a um
campo magnético com módulo igual a 3.50.10-3 T.
Calcule a velocidade do elétron.
SEÇAO 28.4
LINHAS
DE
CAMPO
MAGNÉTICO E FLUXO MAGNÉTICO
8. O fluxo magnético através de uma face de
um cubo é igual a +0.120 Wb.
(a) Qual deve ser o fluxo magnético total
através das outras cinco faces do cubo?
(b) Por que não é necessário saber as
dimensões do cubo para responder o item (a)?
(c) Suponha que o fluxo magnético seja
produzido por um ima permanente, tal como aquele
indicado na Figura. Usando um desenho, mostre
onde o cubo do item (b) deve estar localizado em
relação ao imã.
9. Uma área circular com raio igual a 6.50 cm
está sobre o plano xy. Qual é o módulo do fluxo
magnético através do circulo produzido por um
campo magnético uniforme B = 0,230 T:
(a) no sentido +z?
(b) formando um ângulo de 53,10 com rotação
a partir do sentido +z?
(c) no sentido +y?

10. O campo magnético B em uma certa
região é de 0.128 T e seu sentido é o do eixo +Oz na
Figura.
(a) Qual é o fluxo magnético através da
superfície abcd indicada na figura?
(b) Qual é o fluxo magnético através da
superfície befc?
(c) Qual é o fluxo magnético através da
superfície aefd
(d) Qual é o fluxo magnético através das cinco
superfícies externas do volume sombreado?
3
11. Uma aluna de física alega que lê/ um
arranjo de ímãs de modo que o campo magnético no
interior do volume sombreado na Figura é

B
(
y 2 ) ˆj onde = 0,300 T e
= 2,00 T/m.

(a) Determine o fluxo resultante de B através
das cinco superfícies que englobam o volume
sombreado na Figura.
(b) A afirmação da aluna é plausível? Por
quê?
SEÇÃO
28.5
MOVIMENTO
E
PARTÍCULAS CARREGADAS EM UM CAMPO
MAGNÉTICO
12. Uma partícula com carga 6.40.10-19C se
desloca ao longo de uma órbita circular com raio
igual a 4.68 mm em virtude da força oriunda de um
campo magnético de módulo 1.65 T, cuja direção é
perpendicular ao plano da órbita,
(a) Qual é o módulo do momento linear da
partícula?
(b) Qual e o módulo do momento angular da
partícula?
13. Um elétron no ponto A da Figura possui
velocidade igual a l.41.106 m/s. Determine:
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo
magnético que obriga o elétron a descrever uma
órbita semicircular de A até B
(b) o tempo necessário para que o elétron se
desloque de A até K.
FIGURA 3 - Exercícios 13 e 14.
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14. Repita o Exercício 13 para o caso no qual
a partícula é um próton em vêz de um elétron.
15. Um déuteron (o núcleo de um isótopo de
hidrogênio) possui massa igual a 3.34.10-27 kg e
carga +e. O dêuteeron descreve uma trajetória
circular com raio igual a 6.96 mm em um campo
magnético com módulo 2.50 T.
(a) Calcule a velocidade do déuteron.
(b) Determine o tempo necessário para ele
fazer meia revolução,
(c) Por meio de qual diferença de potencial o
déuteron deve ser acelerado para que ele adquira
essa velocidade?
16. Suponha que os elétrons no magnetron do
Exemplo 2.3 (Seção 28.5) se movam a 2.80.106 m/s
no plano perpendicular ao campo magnético. Quais
são os raios das órbitas percorridas?
17.
Um
físico
deseja
produzir
ondas
eletromagnéticas com freqüência igual a 3,0 THz (l
THz - l terahertz = 1012Hz) usando um magnetron
(veja o Exemplo 28.3 na Seção 28.5).
(a) Qual é o campo magnético necessário?Compare
o resultado com o campo magnético constante mais
forte produzido em um laboratório terrestre, que e
aproximadamente igual a 45 T.
(b) Haveria alguma vantagem no uso de prótons em
vêz de elélrons no magnetron? Por quê?
18. Na situação indicada na Figura, a partícula
carregada e um próton q = l.60.10-19 C, m = 1.67.10-

27
kg) e o campo magnético uniforme B está
orientado no sentido +x. A velocidade do próton é v e

sua velocidade v0 , para t = 0 possui componente z

igual a 0. Qual deve ser o ângulo de v0 com o plano
xy para que o passo da hélice seja igual a seu raio?
19. Um próton (q = 1.6.10-19 C, m = - 1.67.10-27 kg)
se desloca em um campo magnético uniforme

B
(0.5T ) iˆ . Para t = 0, o próton possui
componentes da velocidade vx = l.50.105m/s, vy = 0 e
vz = 2.00.105 m/s. Além do campo magnético, existe
um campo elétrieo no sentido +x dado por

E
(2 104
V ˆ
) i,
m
(a) Descreva a trajetória do próton. O campo
eletrico altera o raio da hélice? Explique.
(b) Para t = T/2 , onde T é o período do movimento
circular do próton, qual é o componente x do
deslocamento do próton a partir de sua posição inicial
t = 0?
20. Um íon de 7Li com uma única carga (um
isótopo de lítio) possui massa igual a 1.16.10-26 kg.
Ele é acelerado por uma diferença de potencial igual a
220 V e a seguir entra em um campo magnético de
módulo igual a 0.723 T perpendicular à trajetória do
íon. Qual é o raio da trajelória do íon no campo
magnético?
21. Um elétron do feixe de um cinescópio de TV é
acelerado por uma diferença de potencial igual a 2.00
kV. A seguir, ele passa em uma região onde existe um
campo magnético transversal descrevendo um círculo
com raio igual a 0.180 m. Qual é o módulo do campo?
SEÇAO 28.6 - APLICAÇÕES DO
MOVIMENTO
DE
PARTÍCULAS
CARREGADAS
22. Calcule a velocidade de um feixe de elétrons
que sofre simultaneamente, a açao de um campo
elétrico de 1.56.104 V/m e de um campo magnético
igual a 4.62.10-3 T. com ambos os campos ortogonais
ao feixe e perpendiculares entre si e sabendo que o
feixe não sofre nenhum desvio,
(a) Faça um diagrama para mostrar as orientações
relativas dos vetores v, E e B.
(b) Quando o campo eletrico é removido, qual é o
raio da órbita do elétron? Qual é o período dessa
órbita?
23. Determinação da massa de um isótopo. O
campo elétrico entre as placas do seletor de
velocidades em um espectrômetro de massa
Bainbridge é igual a 1,12.105 V/m e o campo
magnético em ambas as regiões é igual a 0.540 T. Um
feixe de íons de selênio com uma única carga se move
em uma trajetória circular com raio igual a 31.0 cm na
região do campo magnético. Determine a massa do íon
de selênio e o número de massa desse isótopo do
selênio. (O número de massa é igual à massa do
isótopo em unidades de massa atómica, arredondando
para o inteiro mais próximo. Uma unidade de massa
atômica = l u = 1.66.1027 kg.)
24. No espectrômetro de massa Bainbridge, o
módulo do campo magnético no selelor de velocidade
é igual a 0.650 T e um íon com velocidade igual a
l.82.106 m/s não sofre nenhum desvio,
(a) Qual é o módulo do campo elétrico do
seletor de velocidades?
(h) Sabendo que a distância entre as placas é
igual a 5.20 mm, qual é a diferença de potencial entre
as placas P e P’ ?
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SEÇÃO 28.7 FORÇA MAGNÉTICA
SOBRE UM CONDUTOR TRANSPORTANDO
UMA CORRENTE
25. Uma barra horizontal de massa m e
comprimento L está alinhada na direçao norte -sul. A
barra conduz uma corrente I no sentido do sul para o

norte. Se um campo magnético uniforme B é aplicado
ao longo do comprimento inteiro da barra, a força
magnética sobre a barra faz com que ela fique
levitando no ar.
(a) Calcule o valor mínimo do campo
necessário.

B

(b) Determine a direção e o sentido do vetor B
cujo módulo você calculou no item (a).
26. Um fio relilíneo vertical conduz uma corrente
de l .20 A de cima para baixo em uma região entre os
pólos de um grande eletroíma supercondutor, onde o
módulo do campo magnético é dado por

B
0.588(T )
e
possui
direção
horizontal.
Determine o módulo, a direção e o sentido da força
magnética que atua sobre uma seção de l.00 cm do Fio
que está nesse campo magnético uniforme, sabendo
que o sentido do campo magnético é orientado
(a) de oeste para leste;
(b) do norte para o sul;
(c) formando um angulo de 30.00 no sentido da
rotação do oeste para o sul.
27. Uma barra horizontal com 0.200 m de
comprimento é montada sobre uma balança e conduz
uma corrente. No local da barra existe um campo
magnético uniforme horizonlal com módulo igual a
0,067 T e direção perpendicular à barra. A força
magnética sobre a barra medida pela balança é igual a
0,13 N. Qual é o valor da corrente ?
28. Um eletroíma produz um campo magnético
igual a 0,550 T em uma região cilíndrica entre seus
pólos com raio igual a 2,50 cm. Um fio retilíneo passa
no centro dessa região conduzindo uma corrente igual
a 10.8 A e possui uma direção perpendicular ao eixo
do cilindro e ao campo magnético. Qual é o módulo da
força que atua sobre o fio?
29 Um fio conduz uma corrente igual a 3.50 A no
sentido negativo do eixo Ox. Calcule a força (expressa
com base nos vetores unitários) sobre uma seção de
1.00 cm do fio exercida pêlos seguintes campos
magnéticos:

(a) B

(b) B

(c) B

(d) B

(e) B
(0.31T ) iˆ
(0.33T ) iˆ (0.28T ) kˆ
(0.74T ) ˆj (0.36T ) kˆ
SEÇAO 28.8 FORÇA E TORQUE SOBRE
UMA ESPIRA DE CORRENTE
30. Uma espira retangular de 5.0 cm por 8.0 cm
possui plano paralelo a um campo magnético de 0.19
T. A espira conduz uma corrente igual a 6.2 A.
(a) Qual é o torque que atua sobre a espira?
(b) Qual é o módulo do momento magnético da
espira?
(c) Qual é o Torque máximo que pode ser obtido
sobre um fio com o mesmo comprimento total da
espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo
magnético?
31. Uma bobina circular com 8.6 cm de diâmetro
possui 15 espiras e conduz uma corrente igual a 2.7 A.
A bobina esta em uma região onde o campo magnético
é 0,56 T.
(a) Para qual orientação da bobina o Iorque atinge
seu valor máximo e qual é esse Torque máximo?
(b) Para qual orientação da bobina o módulo do
Torque é igual a 71% do valor encontrado no item (a)?
32. Uma bobina circular de área A possui N espiras
e pode girar em torno de um diâmetro que coincide
com o eixo Ox. Uma corrente I está circulando na

bobina. Existe um campo magnético B no sentido
positivo do eixo Oy. Determine o módulo, a direçao e

o sentido do Torque
e o valor de energia potencial
U, quando a bobina estiver orientada nas posições
indicadas de (a) até (d).
FIGURA 4 – Exercício 32.
33. Uma bobina com momenio magnético 1,45 A
.m está orientada, inicialmente, com seu momento
magnético antiparalelo a um campo magnético com
módulo igual a 0.835 T. Qual é a variação da energia
potencial da bobina quando ela gira de 1800 de modo
que seu momento magnético fique paralelo ao campo?
(0.56T ) iˆ ;
(0.33T ) iˆ (0.28T ) kˆ
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SEÇÃO 28.9 MOTOR DE CORRENTE
CONTÍNUA
34. Um motor de possui um rotor ligado em série
com uma resistência de 3.2 . Quando ele gira com
sua carga tolal em uma linha de 120 V, a fem do motor
é igual a 105 V.
(a) Qual é a corrente que o motor recebe da linha?
(b) Qual é a potência fornecida ao motor?
(c) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo
motor?
35. Na Figura 5, vemos um rotor de no qual um
motor com resistência Rr = 5.9
está ligado em
paralelo formando um shunt com as bobinas de campo
com resistência Rf = 106 . Quando uma diferença de
potencial igual a 120 V é aplicada nas escovas e o
motor está reali/ando trabalho e girando com
velocidade máxima, a corrente fornecida ao motor e
igual a 4.82 A.
(a) Qual é a corrente que passa nas bobinas de campo?
(b) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo
motor?
SEÇÃO 28.10 O EFEITO HALL
37. A Figura 6 indica uma placa de praia com
dimensões y1 = 0,23 mm e z1 = l l.8 mm que conduz
uma corrente igual a 120 A no sentido +x. A placa
está em um campo magnético uniforme na direção y.
cujo modulo e igual a 0,95 T. Aplique o modelo
simplificado do efeito Hall apresentado. Sabendo que
existem 5.85.1028 elétrons livres por metro cúbico,
determine:
(a) o modulo da velocidade de arraste dos
elétrons na direção do eixo Ox;
(b) o módulo, a direção e o sentido do campo
elétrico no eixo Oz produzido pelo efeito Hall;
(c) a fem Hall.
FIGURA 6 – Exercício 37.
FIGURA 5 – Exercício 36.
38. A Figura 6 representa a placa de um metal
desconhecido com as mesmas dimensões da placa de
prata do Exercício 37. Quando o campo magnético é
de 2.29 T e a corrente é igual a 78.0 A, a fem Hall é
de 13 l V. Usando o modelo simplificado do eleito
Hall , calcule a densidade dos elétrons livres do metal
desconhecido.
36. A Figura 5 mostra uma fonte de alimentação de
120 V ligada a um motor dc com shunt no qual o rotor
está ligado cm paralelo com as bobinas de campo. A
resistência das bobinas de campo é Rf = 21 . A
resistência do roTor é Rr = 5.9 . Quando o motor
está funcionando, o rotor desenvolve uma tem fem .
O motor consome uma corrente igual a 4.82 A da
Fonte. As perdas por atrito correspondem a 45,0 W.
Calcule:
(a) a corrente que passa nas bobinas de
campo;
(b) a corrente no rotor;
(c) a fem ;
(d) a taxa de produção de energia térmica no
rotor;
(e) a potência fornecida ao motor;
(f) a eficiência do motor.
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
PROBLEMAS
39. Quando uma partícula com carga q > 0 se

move com velocidade v1 , formando um ângulo de
450com o eixo Ox no plano xy. Um campo magnético

uniforme exerce uma força F1 , ao longo do eixo -Oz;
(Figura 7). Quando a mesma partícula se move com


velocidade v2 , com o mesmo módulo de v1 , porém ao

longo do eixo +0z, uma força F2 , com módulo F2 , é
exercida sobre ela ao longo do eixo +0x.
(a) Qual é o módulo, a direção e o sentido do
campo magnético?

direção e o sentido do campo elétrico, sabendo que a
partícula atravessa a região sem sofrer nenhum desvio,
considerando uma partícula com carga igual a:
(a) +0.640 nC; (b) -0.320 nC. Despreze o peso da
partícula.
42. No canhão de elétrons de um cinescópio
de TV, os elétrons (carga –e e massa me) saem
acelerados por uma voltagem V. Depois de abandonar
o canhão de elétrons, o feixe de elétrons percorre uma
distância D no sentido da tela: nessa região, existe um
campo magnético de módulo B e não há nenhum
campo elétrico.
(a) Mostre que o desvio aproximado do feixe
produzido pelo campo magnético é dado por:
(b) Qual é o módulo de F1 em termos de F2 ?
d
B D2
2
e
2 me V
(b) Calcule o valor dessa expressão para V =
750 V, D = 50 cm e B = 5.0.10-5 T (valor comparável
com o campo magnético da Terra). Esse desvio é
significativo?
FIGURA 7 – Problema 39.
40. A força sobre uma partícula carregada que
se move em um campo magnético pode ser calculada
como a soma velorial das forças devidas a cada
componente do campo magnético. Como exemplo,
uma partícula com carga q está se movendo com
velocidade v no sentido -y. Ela se move em um campo
magnético

B Bx iˆ By ˆj Bz kˆ
(a) Quais são os componentes da força
exercida pelo campo magnético sobre a partícula?
(b) Se q > 0. quais devem ser os sinais dos


componentes de B para que os componentes de F
sejam todos não-negativos?
(c) Se q < 0 e Bx = By = Bz > 0, determine a

direção e o sentido de F em termos de |q|, v e Bx.

Uma

v0

(5.85 103 ms ) ˆj entra em uma região onde
existem um campo elétrico uniforme e um campo
magnético uniforme. O campo magnético na região é

B
44. Uma partícula com carga q > 0 se move
com velocidade v' no sentido +Oz; através de uma

41. Campo E E ortogonal ao campo B .
partícula
com
velocidade
inicial
dado por
43. Os pólos magnéticos de um pequeno
ciclotron produzem um campo magnético de módulo
igual a 0.85 T. Os pólos possuem um raio de 0.40 m.
que é o raio máximo que as órbitas das partículas
podem atingir,
(a) Qual é o valor máximo da energia
adquirida por um prólon (qp = l.60.10-19 C, mp = 1.67.
10-27 kg) acelerado por esse ciclotron? Forneça a
resposta em joules e em elétron-volts.
(b) Qual é o tempo de revolução para um
próton girando com esse raio máximo?
(c) Qual deve ser o módulo de um campo
magnético necessário para acelerar um próton ate ele
atingir uma energia máxima igual ao dobro da
calculada no item (a)?
(d) Considerando B = 0.85 T, qual é a energia
máxima atingida por uma partícula alfa (q=3.2.10-19 C;
m = 6.65.10-27 kg) acelerada nesse ciclotron? Como se
compara o resultado obtido com a energia máxima do
próton?
1.35T kˆ . Determine o modulo, a
região onde existe um campo magnético B . A força
magnética sobre a partícula é dada por

F
F0 (3 iˆ 4 ˆj ) , onde F0 é uma constante
positiva,
(a) Determine os componentes Bx, By e Bz ou
pelo menos a maior quantidade dos três componentes
que for possível encontrar com base nas informações
fornecidas.
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7
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b) Se além das informaçóes dadas soubermos
que o campo magnético possui modulo igual a 6F0/qv,
determine tudo o que você puder sobre os


escala.) O campo elétrico E na região entre os
cilindros é orientado radialmente para fora e seu
módulo é dado:

E
componentes de B restantes.
45. Um elétron e um núcleo de Li (um isótopo
do lítio que possui três prótons e quatro nêutron.s) se
deslocam em um campo magnético em órbitas
circulares com a mesma velocidade tangencial. Calcule
a razão entre o número de revoluções por segundo do
elétron e o número de revoluções feitas pelo núcleo de
Li. A massa do núcleo Li é de 1.16.10-21 kg.
46. Um ciclotron deve acelerar prólons até
uma energia de 5.4 MeV. O eletroímã supercondutor
do ciclotron produz um campo magnético igual a 3,5 T
com direção perpendicular à órbita do próton.
(a) Quando o próton adquire uma energia
cinética igual a 2.7 MeV, qual é o raio da órbita e qual
é sua velocidade angular?
(b) Repita o item (a) para quando o próton
atingir sua energia cinética final de 5,4 MeV.
Vab
r ln
b
a
(a) Determine a velocidade necessária para o
elétron manter sua órbita circular. Despreze o campo
gravitacional e o campo magnético da Terra,
(b) Agora inclua o eleito do campo magnético
da Terra. Supondo que os eixos de simetria dos
cilindros estão posicionados paralelamente ao campo
magnético da Terra, qual deve ser a velocidade do
elétron para que ele mantenha a mesma órbita circular?
Suponha que o campo magnético da Terra possua
módulo igual a l,30.10-4T e que ele esteja saindo
ortogonalmente do plano da página, como na Figura.
(c) Refaça os cálculos do item (b) para o caso
no qual o campo magnético possua um sentido
contrário ao da parle (b).
47. Uma partícula com carga q negativa e
massa m = 2.58.10-15 kg se move através de uma
região com um campo magnético uniforme

B
velocidade
(0.120T ) kˆ . Em um certo instante, a
da
partícula
é
dada
por

v (1.05 106 m s)( 3 iˆ 4 ˆj 12 kˆ) e a força

F sobre a partícula possui módulo igual a 1.25 N.
(a) Determine a carga q.

(b) Calcule a aceleração A da partícula,
(c) Explique por que a trajetória da partícula é
uma hélice e calcule o raio de curvatura R do
componente circular da trajetória helicoidal,
(d) Determine a freqüência ciclotrônica da
partícula,
(e) Embora um movimento helicoidal não seja
periódico, no sentido exato da palavra, as coordenadas
x e y variam de modo periódico. Se as coordenadas da
partícula para t = 0 forem (x, y, z) = (R, 0, 0), quais
serão as coordenadas para o instante t = 2T, onde T é o
período do movimento no plano xy?
48. Um elétron se move em uma órbita
circular de raio r = 4.00 cm no espaço entre dois
cilindros concêntricos. O cilindro interno é um fio
positivamente carregado com raio A = 1.00 mm e o
cilindro externo é um cilindro negativamente
carregado com raio b = 5,00 cm. A diferença de
potencial entre o cilindro interno e o cilindro externo é
dada por Vab = 120 V, e o fio está em um potencial
mais elevado. Note que a figura não loi desenhada em
FIGURA 8 - Problema 48.
49. Suponha que o campo elétrico entre as
placas P e P´ na Figura seja igual a 1.88.104 V/m e que
o campo magnético em ambas regiões seja igual a
0.701 T. Se a fonte contém os três isótopos do
criptônio (82Kr, 84Kr e 86Kr) e os íons possuem uma
carga única, determine a distancia entre as linhas
formadas pêlos três isótopos sobre a placa lotográlica.
Suponha que as massas atómicas dos isótopos (em
unidades de massa atômica) sejam dadas pêlos
respectivos números atómicos, 82, 84 e 86. (Uma
unidade de massa atómica = l u = 1.66.10-27 kg.)
50. A força sobre uma partícula carregada que
se desloca em um campo magnético pode ser calculada
como a soma vetorial das forças produzidas pêlos
componentes separados da velocidade da partícula.
Uma partícula com carga q = 9.45.10-8 C se move em
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8
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
uma região onde existe um campo magnético uniforme
igual a 0,450 T no sentido do eixo +Ox. Em um dado
instante, a velocidade da partícula possui componentes
vx = -1.68.104 m/s, vy = -3.11.104 m/s e vz = 5.85.104
m/s. Quais são os componentes da loiça nesse instante?
51. O cubo indicado na Figura 9, com aresta
de 75.0 cm, está em um campo magnético uniforme de
0.860 T paralelo ao eixo Ox. O fio abcdef conduz uma
corrente de 6.58 A, no sentido indicado,
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
da força que atua sobre cada um dos segmentos ab,.bc,
, cd, de e ef.
(b) Calcule o módulo, a direção e o sentido da
força resultante que atua sobre o fio.
FIGURA 9 - Problema 51.
52. Propulsão eletromagnética em uni
trilho. Uma barra condutora de comprimento L e
massa m desliza sobre trilhos horizontais conectados a
uma fonte de voltagem. A fonte de voltagem mantém
uma corrente constante I nos trilhos e na barra e um

campo magnético vertical uniforme B preenche o
espaço entre os trilhos.
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
da força resultanie sobre a barra. Despreze o atrito, a
resistência do ar e a resistência elétrica.
(b) Se a barra possui massa m, calcule a
distância d que ela deve percorrer ao longo dos trilhos,
partindo do repouso, ate atingir uma velocidade v.
(c) Existem teorias sobre a possibilidade de
que a propulsão baseada nesse princípio possa ser
usada para acelerar cargas e coloca-las em órbita ao
redor da Terra e até mesmo fazer o objelo sair da
atraçâo terrestre. Calcule a distância que a barra deve
percorrer para atingir a velocidade de escape da Terra
(l l .2 km/s). Considere B = 0.50 T. I = 2.0.103A, m =
25 kg e L = 50 cm.
FIGURA 10 - Problema 52.
53. Um fio retilínco condutor de massa M e
comprimento L é colocado sobre um plano inclinado
sem atrito formando um ângulo θ com a horizontal
(Figura 11). Existe um campo magnético vertical

uniforme B ao longo de todos os pontos (produzido
por um conjunto de eletroímâs não indicados na
figura). Para impedir que o fio escorregue para baixo
do plano, uma fonte de tensão é aplicada nas
extremidades do lio. Quando uma corrente com um
valor preciso circula no fio, ele permanece em repouso.
Determine o módulo e o sentido da corrente que
circula para fazer o fio ficar em repouso. Copie a
figura e desenhe o sentido da corrente no seu desenho.
Além disso, faça um diagrama de corpo livre
mostrando todas as forças que atuam sobre o fio.
54. A figura 11 mostra um fio de arame fino e
flexível suspenso em um ponto P em uma região onde
existe um campo magnético horizontal uniforme de
módulo B entrando perpendicularmente no plano da
figura. Um peso está preso na extremidade inferior do
fio, ocasionando uma tensão T uniforme através do fio,
(o peso do fio é desprezível). Quando uma corrente I
flui de cima para baixo através do fio, ele se encurva
formando um arco circular de raio R.
(a) Considerando as forças que atuam sobre
um pequeno segmento de lio que subtende um ângulo
, mostre que o raio de curvatura do fio é dado por:
R
T
I B
Quando é pequeno, sen
tan
, onde
é dado em radianos.
(b) Agora o fio é removido. Uma partícula
com carga negativa –q e massa m é lançada do mesmo
ponto P no qual o fio eslava preso e na mesma direção
inicial em que o lio ficara suspenso a partir do ponto P.
Mostre que a partícula seguira uma trajetória igual à do
arco de círculo descrito pelo fio se a velocidade da
partícula for dada por v = qT/mI. (Por essa razão, fios
com pesos são usados nos projetos de sistemas de
eletroímâs empregados para desviar feixes de
partículas carregadas. O encurvamento do fio que
conduz a corrente indica como as trajetórias das
partículas deverão se encurvar.)
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
FIGURA 11 - Problema 54.
55. Dois íons positivos que possuem a mesma
carga q, porém massas diferentes m1 e m2 são
acelerados horizontalmente a partir do repouso por
uma diferença de potencial V. A seguir, eles entram em
uma região onde existe um campo magnético uniforme

B perpendicular ao plano da trajetória.
(a) Mostre que. se o feixe entrar no campo
magnético ao longo do eixo Ox, o valor da coordenada
y de cada íon em qualquer tempo será
aproximadamente dado por:
y
B x2
q
8 mV
12
desde que y permaneça muito menor do que x.
(b) É possível usar esse arranjo para a
separação de isótopos? Por que?
56. Um fio de comprimento igual a 25.0 cm
está apoiado no longo do eixo Oz, e conduz uma
corrente de 9,00 A no sentido +z. O campo magnético
é uniforme e possui componentes Bx = -0.242 T, By = 0.985 T e Bz = -0.336 T.
(a) Calcule os componentes da força
magnética sobre o fio. (Como no Problema 40, a força
magnética resultante é a soma vetorial das forças
produzidas, individualmente, pêlos componentes de B.
(b) Qual é o módulo da força magnética
resultante que atua sobre o fio?
57. A espira retangular indicada na Figura 12
possui massa igual a 0,15 g por centímetro de
comprimento e está articulada em tomo do lado ab por
meio de um eixo sem atrito. A corrente que circula no
11o é igual a 8,2 A no sentido indicado. Determine o
módulo, a direçâo e o sentido do campo magnético
paralelo ao eixo Oy que produzirá unia oscilação para
cima na espira até que seu plano forme um ângulo de
30,00 com plano yz.
10
FIGURA 12 - Problema 57.
58. A espira retangular indicada na Figura 13
possui articulação em torno do eixo Oy e conduz uma
corrente igual a 15.0 A no sentido indicado,
(a) Se a espira esui em um campo magnético
uniforme com módulo de 0.4S T no sentido +Ox,
calcule o módulo, a direção e o sentido do Torque
necessário para sustentar a espira na posição indicada,
(b) Repila o item (a) para o caso no qual o
campo aponta no sentido –z.
(c) Para cada um dos campos magnéticos
mencionados, qual seria o Torque necessário se a
espira estivesse articulada em um eixo de rotação que
passasse em seu centro, paralelamente ao eixo Oy?
FIGURA 13 - Problema 58.
59. Um solenóide com N espiras, cada uma
delas com uma seção reta com área A, e conectado a
uma lente de tem que mantém uma corrente constante I
no fio. O solenóide e a seguir é libertado, podendo
girar livremente em torno de um eixo perpendicular ao
plano da Figura 14. O momento de inércia do
solenóide é Is. Determine o período das oscilações do
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Fi

0:
solenóide. Suponha que o angulo seja muito menor
do que o indicado na Figura. (Dica: Veja a seção 13.7.)
equilíbrio de translação, sabemos que
60. Um fio fino de material isolante possui
comprimento L. O fio é enrolado formando uma espira
circular e uma carga q positiva e distribuída
uniformemente ao longo da circunferência da espira. A
seguir, fazemos a espira girar com velocidade angular
em torno de um eixo perpendicular ao plano da
espira e passando através do seu centro. Se a espira
esta em uma região onde existe um campo magnético
prove que a soma dos torques em relação ao ponto P e
igual a soma dos torques em relação ao ponto O. (Isso
justifica uma afirmação feita na Seção 28.8: Como a
força magnética resultante sobre uma espira de
corrente e nula em um campo magnético unitário, o
Torque magnético possui sempre o mesmo módulo, a
mesma direção e o mesmo sentido para qualquer
escolha de eixo.)
N
i 1

uniforme B paralelo ao plano da espira, calcule o
módulo do Torque magnético sobre a espira.
61. Uma bobina de alto-falante. Na seção
28.8 mostramos que era igual a zero a força resultante
sobre uma espira de corrente em um campo magnético
uniforme. A força magnética sobre uma bobina
destinada a produzir o som de um alto-falante não é
igual a zero porque o campo magnético da bobina não
é uniforme. Uma bobina de som de um alto-falante
possui 50 espiras com diâmetro de 1.56 cm e a corrente
que flui no lio é igual a 0.950 A. Suponha que o campo
magnético em cada ponto da espira possua um módulo
constante de 0.220 T e esteja dirigido formando um
angulo de 60.00 com a normal externa do plano da
bobina (Figura 14). Suponha que o eixo da bobina seja
o eixo 0y. A corrente que flui na bobina possui o
sentido indicado (sentido anti-horário observado de um
ponto acima da bobina sobre o eixo 0y). Calcule o
módulo, a direção e o sentido da força magnética
resultante sobre a bobina.
FIGURA 14 - Problema 61.

62. Diversas forças F são aplicadas sobre
um corpo rígido. Em relação a uma origem O, a força


F1 e aplicada em um ponto localizado pelo vetor r1 , a


força F2 , em r2 , e assim por diante.O ponto P e

localizado pelo velor rp . Quando o campo está em
63. Força sobre uma espira de corrente em
um campo magnético não uniforme. Mostramos na
Seção 28.8 que é nula a força resultante sobre uma
espira de corrente em um campo magnético uniforme.

Porém, o que ocorre quando B não é uniforme? A
Figura 15 mostra uma espira quadrada que está contida
no plano xy. A espira possui vértices nos pontos (0, 0),
(0, L), (L, 0) e (L, L) e conduz uma corrente I no
sentido horário. O campo magnético não possui
componente x, mas possui componentes em ambas
direções y e z:

B
B0 z
L
ˆj
B0 y
L
kˆ
, onde B0 é uma constante positiva,
(a) Faça um desenho das linhas do campo
magnético no plano yz,
(b) Calcule o modulo, a direção e o sentido da
força magnética exercida sobre cada um dos lados da
espira por integração.
(c) Determine o modulo, a direção e o sentido
da força magnética resultante sobre a espira.
FIGURA 15 - Problemas 63 e 64.
64. Torque sobre uma espira de corrente
em um campo magnético não uniforme. Na Seção
28.8, a expressão do Torque sobre uma espira de
corrente foi deduzida supondo que o campo magnético


B fosse uniforme. Porém, o que ocorre quando B não
é uniforme? A Figura 15 mostra uma espira quadrada
que está contida no plano xy. A espira possui vértices
nos pontos (0, 0), (0, L), (L, 0) e (L, L) e conduz uma e
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
conduz uma corrente I no sentido horário. O campo
magnético não possui componente x, mas possui
componentes em ambas direções y e z:

B
B0 z
L
B0 y
L
ˆj
kˆ
, onde B0 é uma constante positiva,
(a) Faça um desenho das linhas do campo
magnético no plano yz,
(b) Calcule o modulo, a direção e o sentido da
força magnética exercida sobre cada um dos lados da
espira por integração.
(c) Determine o modulo, a direção e o sentido
da força magnética resultante sobre a espira.
(d) Repita o item (c) para o caso no qual a
espira pode girar livremente em torno do eixo Oy.
(e) A Equação:



B
fornece uma descrição apropriada para o
Torque sobre a espira? Por quê?
65. Um fio de arame isolado com massa
5.40.10-5kg é encurvado formando um U invertido de
tal modo que a parte horizontal possui comprimento l
= 15.0 cm. As extremidades encurvadas do fio são
parcialmente imersas em dois recipientes cheios de
mercúrio, e cada extremidade liça 2.5 cm abaixo da
superfície do mercúrio. A estrutura inteira esta em uma
região onde existe um campo magnético unilorme de
0,00650 T direcionado para o interior da pagina
(Figura 16). As extremidades dos tios são conectadas
com o mercúrio. Os dois recipientes de mercúrio são
conectados com uma bateria de l.50 V e uma chave S.
Quando a chave S está fechada, o fio salta 35.0 cm
para o ar a partir de sua posição inicial.
(a) Determine a velocidade v do fio quando
ele deixa o mercúrio.
(b) Supondo que a corrente I, que passa no fio
permaneça constante desde o momento em que a chave
foi fechada até o instante em que o fio sai do mercúrio,
determine o valor de I.
(c) Desprezando as resistências dos fios do
circuito e a resistência do mercúrio, determine a
resistência do fio de arame.
Figura 16 - Problema 65.
66. Modelo de Quark para o nêutron. O
nêutron é uma partícula com carga elétrica igual a
zero. Contudo, ele possui um momento magnético
diferente de zero, cujo componente z é igual a:
9.66.10-27 A.m2. Esse momento pode ser
explicado pela estrutura interna do nêutron. Diversas
evidencias indicam que o nêutron é composto de três
partículas fundamentais chamadas de quarks: um
quark “up” (u) com carga +2e/3 e dois quarks "down"
(d ) cada um com uma carga -e/3. A combinação
dessas três cargas produz uma carga total +2e/3 -e/3 –
e/3 = 0. Caso os quarks estejam em movimento, eles
produzem um movimento magnético diferente de zero.
Com um modelo muito simples suponha que o quark
(u) se mova em uma órbita circular em sentido antihorario e que os dois quarks (d) se movam no sentido
horário. Todos os quarks se movendo com o mesmo
módulo da velocidade v ao longo das circunferências
de mesmo raio r (Figura 17).
(a) Obtenha a corrente elétrica produzida pela
circulação do quark (u)
(b) Determine o módulo do momento
magnético oriundo da circulação do quark (u),
(c) Determine o módulo do momento
magnético do sistema constituído pêlos três quarks.
(Tome cuidado e use os sentidos correios para os
momentos magnéticos.)
(d) Com que velocidade v os quarks devem se
mover para reproduzir o valor do momento magnético
do néutron? Use o valor r = 1.20.10-15 m. (o raio do
nêutron) para o raio das órbitas.
Figura 17 - Problema 66.
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12
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
67. Uma espira circular de área A está contida
no plano xy. Vista ao longo do eixo Oz; olhando para a
origem no sentido –z uma corrente I circula no sentido
horário em torno da espira. O torque produ/ido por um
senx cosxdx
1
sen2 x
2

campo magnético externo B é dado por:

D 4 iˆ 3 ˆj
, onde D é uma constante positiva, e para essa
orientação da espira a energia potencial magnética :
 
B
U
é negativa. O módulo do campo magnético é
B
13
13 D
I A
(a) Determine o vetor momento magnético da
espira,
(b) Determine os componentes Bx, By e Bz do

vetor B .
FIGURA 18 - Problema 68.
68. Derivação da Equação para uma espira
circular. Uma espira de fio em forma de anel está
sobre o plano xy com o centro na origem. No anel,
circula uma corrente I no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio (Figura 18). Um campo magnético

uniforme B está sobre o eixo +Ox, sendo dado por:

B
Bx iˆ
(Esse resultado poderá ser facilmente estendido para

um campo B com direção arbitrária.)
(a) Na Figura 18, mostre que o elemento de
linha é dado por:

dl

calcule dF
R d ( sen iˆ cos ˆj )
 
I dl B .

(b) Integre dF ao longo da espira para
mostrar que a força resultante é igual a zero.

r
(c) Do item (a) calcule d

 
r dF , onde
iˆ sen
ˆj ) é o velor que liga o


centro da espira ao elemento dl . (Observe que dl é

perpendicular a r .
R (cos

(d) Integre d ao longo da espira para
encontrar o torque total que atua sobre a espira. Mostre
que o resultado pode ser escrito na forma:



B
, onde
Nota:
cos2 xdx
sen2 xdx
69. Uso da lei de Gauss do magnetismo. Em

uma certa região do espaço, o campo magnético B não
é uniforme. O campo magnético possui um
componente z e outro componente que aponta para fora
ou para dentro do eixo Oz. O componente z é dado por
Bz (z)
z ,onde é uma constante positiva. O
componente radial Br depende somente de r, a
distância radial até o eixo Oz.
(a) Use a lei de Gauss para o magnetismo,
dada pela Equação:
 
B
 dA 0
A
, para determinar o componente Br, em função
de r. (Dica:Experimente uma superfície gaussiana
cilíndrica de raio r concêntrica com o eixo Oz, com
uma extremidade em , z = 0 e a outra no ponto z = L),
(b) Faça um desenho mostrando as linhas do
campo magnético.
70. Uma espira circular com área igual a 4,45
cm2 conduz uma corrente de 12.5 A. A espira pode
girar livremente em torno de um diâmetro. A espira,
inicialmente em repouso, está imersa em um campo
magnético dado por:

B
A espira está posicionada inicialmente de tal
modo que o momento magnético é dado por:
I A.

i
1
x
2
1
x
2
(1.15 10 2 T ) (12 iˆ 3 ˆj 4 kˆ)
1
sen2x
4
1
sen2x
4
( 0.800 iˆ 0.600 ˆj )
onde é o módulo (positivo) do momento magnético.
A espira é libertada e gira de um ângulo de 90,00,
posição na qual seu momento magnético é dado por:

f
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kˆ
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(a) Determine a diminuição da energia
potencial.
(b) Se o momento de inércia da espira em
relação a um diâmetro é igual a 8.50.10-7 kg.m2,
determine a velocidade angular da espira no instante
em que ela passa pela segunda posição.
PROBLEMAS DESAFIADORES
71. Uma partícula com carga igual a 2.15 C e
massa de 3.20.10-11 kg está, inicialmente, se
deslocando no sentido +y com velocidade igual a v0 =
1.45.105 m/s. Ela a seguir entra em uma região onde
existe um campo magnético uniforme que entra
perpendicularmente no plano da página, como indicado
na Figura 19. O módulo do campo é igual a 0.420 T. A
região se estende até uma distância igual a 25.0 cm ao
longo da direção inicial do deslocamento; a 75,0 cm do
ponto onde ela entrou no campo existe uma parede. O
comprimento da região onde não existe campo e,
portanto, igual a 50.0 cm. Quando a partícula
carregada entra no campo magnético, ela segue uma
trajetória curva com raio de curvatura R. Ela, a seguir,
deixa o campo magnético depois de um tempo t1 ,
tendo sido desviada de uma distância Δx1 . A partícula
então se desloca na região sem campo e atinge a
parede depois de ser desviada de uma distância total
Δx.
(a) Determine o raio R da parte curva da trajelória.
(b) Determine t1 o tempo durante o qual a
partícula permanece no campo magnético,
(c) Determine Δx1, o desvio horizontal no ponto
onde a partícula sai do campo,
(d) Determine Δx o desvio horizontal total.
bombear o sangue sem prejudicar células que poderiam
ser danificadas por uma bomba mecânica. Um tubo
horizonlal com seção rela retangular (largura w e altura
h) é colocado ortogonalmente a um campo magnético
B de tal modo que um comprimento l está imerso no
campo (Figura 20). O tubo é preenchido com um
Unido condutor e uma densidade de corrente J é
mantida na terceira direção mutuamente perpendicular.
(a) Mostre que a diferença de pressão entre
um ponto do líquido sobre o plano vertical que passa

em A b e um ponto do líquido sobre outro plano
vertical que passa em cd, para impedir o escoamento
do fluido, é dada por: p J l B
(b) Qual é a densidade de corrente necessária
para fornecer uma diferença de pressão igual a l.00 atm
entre esses dois pontos sabendo que B = 2.20 T e l =
35.0 mm?
Figura 20 - Problema Desafiador 72.
73. Uma trajetória cicloidal. Uma partícula
de massa m e carga positiva q parte do repouso na
origem na Figura 21. Existe um campo elétrico


uniforme B saindo da pagina. Demonstra-se em livros
uniforme E no sentido +y e um campo magnético
mais avançados que a trajelória descrita é uma
ciclóide. cujo raio de curvatura nos pontos do topo da
curva é igual ao dobro da coordenada y desses pontos,
(a) Explique a razão desse tipo de trajetória e
o motivo da repetição do movimento,
(b) Prove que a velocidade em qualquer ponto
é dada por:
Figura 19 - Problema Desafiador 71.
72. A bomba eletromagnética. As forças
magnéticas que atuam sobre fluidos condutores
fornecem um modo conveniente para bombear esses
fluidos. Por exemplo, esse método pode ser usado para
v
2 q E y
m
(Dica: Use a conservação da energia.)
(c) Aplicando a segunda Lei de Newton no
ponto do topo da trajetória e levando em conta a
informação de que nesse ponto o raio de curvatura é
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14
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
igual a 2y, prove que a velocidade nesse ponto é igual
a
v
2 E
B
15
FIGURA 21 - Problema Desafiador 73.
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
mesmo sentido. Descreva a natureza das forças sobre a
espira interna e sobre a espira externa.
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
1. Um tópico de interesse nas pesquisas de física é
a busca de um pólo magnético isolado, chamado de
monopólo magnético. Se tal entidade fosse descoberta,
como poderia ser reconhecida? Quais seriam suas
propriedades?
2. Um feixe de partículas carregadas emitidas pelo
Sol durante períodos de atividades solar criam uma
perturbação no campo magnético da Terra. Como isso
ocorre?
3. No texto, discutimos o campo magnético
produzido por um fio retilineo infinito conduaindo uma
corrente.
Como saber se um dado fio possui
comprimento sufieienie para que possa ser considerado
infinito?
4. Dois condutores paralelos que transportam
correntes com o mesmo sentido se atraem mutuamente.
Caso eles possam se aproximar um do outro, as forças
de atraçâo realizam trahalho. De onde provem a
energia? No Capítulo 28, afirmamos que forças
magnéticas sobre cargas que se movem não realizam
trabalho: isso contraria essa afirmação? Explique.
5. Os pares de fios que transportam correntes para
dentro ou para fora de equipamentos eletrônicos com
lentes de tensão algumas vêzes são torcidos um com o
outro para ajudar a reduzir o efeito do campo
magnético. Por que?
6. Suponha que você possua três fios paralelos
longos, dispostos de modo que cada seção reta ocupe
os vértices de um triângulo equilátero. É possível
distribuir as corrente de modo que os três fios se
atraiam mutuamente? Eles podem se repelir
mutuamente? Explique.
7. Ao deduzir a força que alua sobre um dos Fios
longos que conduzem correntes na Seção 29.5, por que
usamos o campo magnético produzido por apenas um
dos fios? Ou seja, por que não usamos o campo
magnético total produ/ido por ambos os fios?
8. Considerando o campo magnético de uma espira
circular, você acha que o campo e mais elevado no
centro ou em algum ponto lora do centro, porém
situado no plano que contém a espira? Explique.
9. Duas espiras circulares coplanares concêntricas,
com diâmetros diferentes, conduzem correntes no
10. Produzimos uma corrente através das
espiras helicoidais de uma mola. As espiras se
aproximam como se a mola fosse comprimida, por
que?
11. Quais são as vantagens e desvantagens
relativas da lei de Biot e Savart e da lei de Ampere
para os cálculos práticos de campo magnético?
12. As linhas de campo magnético nunca
possuem um início nem um ponto final. Use essa
observação para explicar por que é razoável aceitar que
o campo magnético de um toróide fica confinado em
seu interior, enquanto o campo magnético de um
solenóide retilíneo deve possuir algum campo
magnético em seu interior.
13. Por que a permeabilidade magnética de
um material paramagnético deve diminuir quando sua
temperatura aumenta?
14. Quando um ímã fica suspenso sobre um
recipiente com ar líquido, algumas gotas são atraídas
sobre seus pólos. As gotas contem somente oxigénio
líquido: embora o nitrogênio seja o principal
constituinte do ar ele não é atraído para os pólos do
ímã. Explique o que isso pode informar sobre as
suscetibilidades magnéticas do oxigênio e do
nitrogênio e por que um dos pólos de um ima na
temperatura ambiente não atrai moléculas do gás
oxigênio.
15. Que características da estrutura atômica
são relevantes para determinar se um elemento é
diamagnético ou paramagnético? Explique.
16. A suscelibilidade magnética de um
material paramagnético depende fortemente da
temperatura, porém a de um material diamagnético
quase não depende da temperatura. Qual é a causa
dessa diferença? Explique.
17. Um cilindro de ferro é colocado de modo
que possa girar livremente em torno do próprio eixo.
Inicialmente o cilindro está em repouso: a seguir um
campo magnético é aplicado ao cilindro, de modo
que ele adquire uma magnetização paralela a seu
eixo. Se o sentido do campo magnético externo for
invertido, o sentido da magnetização também se
invertera, e o cilindro começara a girar em torno de
seu eixo. (Esse fenômeno denomina-se efeito Einstein
de Haas). Explique por que o cilindro começa a girar.
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16
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
18. Na Seção 28.8 afirmamos que não existe
nenhuma força resultante aplicada a uma espira de
corrente imersa em um campo magnético uniforme.
somente o torque é dilerente de zero. Contudo, para
um material magnético, as espiras de correntes
atômicas certamente sofrem a ação de uma força
resultante em tais campos magnéticos. Como você
resolve essa discrepância?
3. Duas cargas puntilormes q = +4.00 C e q’
= -1.50 µC se movem em um sistema de referência,
como indicado na Figura 2. Quando as cargas estão
nos pontos mostrados na figura, qual é o módulo, a
direção e o sentido do campo magnético resultante que
elas produzem na origem? Considere v = 2.00.106 m/s
e v' = 8.00.106 m/s.
19. É possível a existência simultânea de uma
corrente de condução e de uma corrente de
deslocamento no interior de um condutor? Explique.
17
EXERCÍCIOS
SEÇÃO 29.2 CAMPO MAGNÉTICO DE
UMA CARGA EM MOVIMENTO
1. Uma carga puntifonne de +6.00 C se move
com velocidade constante igual a 8.00.106 m/s ao
longo do eixo +0y de um sistema de referencia. No
momento em que ela esta na origem do sistema de

referência, qual é o campo magnético B que ela
produz nos seguintes pontos:
(a) x = 0.500 m, y = 0; z = 0;
(b) x = 0, y = -0,500 m, z = 0;
(c) x = 0, y = 0, z =+0,500 m;
(d) x = 0, y = -0.500 , z = +0.500 .
2. Duas cargas puntilormes positivas q =
+8.00 nC e q’ = +3.00 nC se movem em relação a um
observador situado no ponto P. como indica a Figura 1.
A distância d é igual a 0.120m. Quando as cargas
estão nos pontos indicados na figura, qual é o módulo,
a dircçâo e o sentido do campo magnético resultante
que elas produzem no ponto P? Considere v = 4.50.106
m/s e v' = 9.00.106 m/s.
Figura 2 – Exercício 3 e Problema 40.
4. A Figura 2 mostra duas cargas puntitormes
q e q’ que se movem cm relação a um observador
situado no ponto P. Suponha que a carga inferior seja
negativa, com q = -q’.
(a) Calcule o módulo, a direção e o sentido do
campo magnético resultante que elas produzem no
ponto P quando (i) v' = v/2; (ii) v’ = v; (iii) v' = 2v.
(b) Determine a direção e o sentido da força
magnética que a carga q exerce sobre q’ e a direção e o
sentido da força magnética que q’ exerce sobre q.
(c) Para v = v ' = 3.00.105 m/s, qual é a razão
entre o módulo da força magnética entre as cargas e o
módulo da força de Coulomb que existem entre as
cargas?
SEÇÃO 29.3 CAMPO MAGNÉTICO OE
UM ELEMENTO DE CORRENTE
5. (a) Na parte (b) do Exemplo 29.2 (Seção 29.3),
qual é o vetor unitário r̂ (expresso em termos de iˆ e

de ĵ ) que aponta de dl para P2?
(b) Calcule o módulo, a direção e o sentido de

dl rˆ ?
Figura 1 - Exercícios 2 e 4.
(c) Use o resultado da parte (b) para encontrar o
módulo, a direção e o sentido do campo magnético
produzido em P, por um segmento do fio de l ,0 cm.
6. Um rio retilíneo longo, transportando uma
corrente de 200 A, atravessa uma caixa cúbica de
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
madeira, entrando e saindo através de furos situados
nos centros de duas faces opostas (Figura 3). A aresta
da caixa é igual a 20,0 cm. Considere um comprimento
dl do fio igual a 0.100 cm no centro da caixa. Calcule o
módulo ilR do campo magnético produzido por esse
elemento nos pontos a, b, c e d indicados na Figura 3.
Os pontos a, c e d estão nos centros das faces do
cubo; o ponto b está no meio de uma das arestas; e o
ponto e esta sobre um vértice. Copie a figura e mostre
as direções e os módulos relativos de cada vetor campo
magnético. (Nota: Suponha que dl seja pequeno em
comparação com as distâncias entre o elemento de
corrente e o ponto onde o campo magnético é
calculado.)
18
Figura 4 - Exercício 8.
Figura 3 - Exercício 6.
7. Um fio relilíneo longo está sobre o eixo O;
e transporta uma corrente de 4,00 A no sentido +z.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo
magnético produzido por um segmento do fio de 0.500
mm ccntralizado na origem nos seguintes pontos:
(a) x = 2.00 m, y = 0 ; z = 0:
(b) x = 0, y = -2.00 m, z = 0;
(c) x = 2.00 m, y = 2.00 m, z = 0;
(d) x = 0, y = 0, z = 2.00 m.
9. Dois fios retilíneos longos, um situado
acima do outro. estão em uma direção paralela ao eixo
0x e a distância entre eles é igual a 2a. Considere um
eixo +Oy situado no plano dos Fios e orientado do fio
inferior para o fio superior. Cada fio conduz uma
corrente I no sentido +0x. Determine o módulo, a
direção e o sentido do campo magnético resultante
produzido pêlos fios nos seguintes pontos sobre o
plano dos Fios:
(a) na metade da distância entre os fios;
(b) a uma distância a acima do fio superior;
(c) a uma distância a abaixo do fio inferior.
SEÇAO 29.4 CAMPO MAGNÉTICO DE
UM
CONDUTOR
RETILÍNEO
TRANSPORTANDO UMA CORRRENTE
10. Um fio retilíneo longo está situado sobre o
eixo 0y e conduz uma corrente I = 8.00 A no sentido Oy (Figura 5). Além do campo magnético produzido
8. Na Figura 4, qual é o módulo, a direção e o
sentido do campo magnético resultante produzido
pêlos fios nos seguintes pontos situados sobre o eixo
Ox:
(a) x = d//2 ?
(b) x = -d/2 ?
pelo fio, existe um campo magnético uniforme B0 com
módulo igual a 1.50.10-5 T apontando no sentido +Ox.
Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo
magnético total nos seguintes pontos sobre o plano xz:
(a) x = 0, z = l.00 m;
(b) x = 1.00, z = 0 m;
(c) x = 0, z = -0.25 m;
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
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
SEÇAO
29.5
FORÇA
CONDUTORES PARALELOS
ENTRE
14. Três fios paralelos conduzem correntes de
módulo igual a I com os sentidos indicados na Figura
6. Sabendo que a distância entre dois fios adjacentes é
igual a d. calcule o módulo, a direção e o sentido da
força magnética resultante por unidade de
comprimento sobre cada fio.
19
Figura 5 - Exercício10.
Figura 6 - Exercício 14.
11. Forneça os detalhes da dedução da
equação:
B
0
I
2 a
4
x x2 a2
partindo da equação que a precede.


I dl rˆ
0
B
4
r2
12. Deseja-se produzir um campo magnético
com módulo igual a 5.50.10-4 T em um ponto situado a
uma distância de 0.040 m de um fio longo retilíneo.
(a) Qual é a corrente necessária para produzir
esse campo?
(b) Usando a corrente encontrada no item (a),
qual é o módulo do campo magnético a uma distância
de 0.080 m e a uma distância de 0.160 m do fio?
13. Efeito de uma linha de transmissão.
Dois excursionistas estão fazendo a leitura de uma
bússola situada embaixo de um fio de uma linha de
transmissão que está a uma altura de 5.50 m acima do
solo e conduz uma corrente igual a 800 A em uma
direção horizontal apontando do norte para o sul.
(a) Calcule o módulo, a direção e o sentido do
campo magnético em um ponto do solo dirctamente
sob o condutor,
(b) Um dos excursionistas sugere que se faça
a leitura da bússola a uma distância de 50 m desse
ponto para evitar que a leitura seja atolada pela
corrente do Fio. Sabendo que o módulo do campo
magnético da Terra é da ordem de 0.5.10-4 T, essa
corrente causa algum problema real na leitura?
15. Um fio horizontal longo AB encontra-se
apoiado sobre uma mesa e conduz uma corrente I. Um
fio horizontal longo CD está verticalmente sobre o fio
AB e pode deslizar para cima ou para baixo ao longo
de duas guias metálicas verticais C e D. (Figura 7). O
fio CD está conectado por meio de contactos
deleslizantes a um outro fio que também conduz uma
corrente I, porém de sentido contrário à corrente do fio
AB. A massa por unidade de comprimento do fio CD é
igual a . Na posição de equilíbrio, qual e a altura h do
fio CD, supondo que a força magnética sobre o fio CD
seja inteiramente produzida pela corrente do lio AB ?
Figura 7 - Exercício15.
16. A distância entre dois fios longos
paralelos e igual a 0.400 m (Figura 8). As correntes I1,
e I2, possuem os sentidos indicados,
(a) Calcule o módulo da força total que cada
fio exerce sobre l.20 m de comprimento do outro. A
força e de atração ou de repulsão?
(b) As correntes dobram, de modo que I1,
torna-se igual a 10.0 A e I2, torna-se igual a 4.0 A. Qual
é agora o módulo da força total que cada fio exerce
sobre 1.20 m de comprimento do outro ?
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21. Uma bobina circular com espiras
enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a
6.00 cm e conduz uma corrente de 2.50 A. Quantas
espiras ela deve ler para que o módulo do campo
magnético seja de 6.39.10-4 T em um ponto sobre o
eixo da bobina afastado 6.00 cm de seu centro?
Figura 7 - Exercício16.
17. A distância entre dois fios longos
paralelos e de 2.50 cm. A força por unidade de
comprimento que cada fio exerce sobre o outro c igual
a 4,00.10-5 N/m e os fios se repelem mutuamente. A
corrente em um dos fios é de 0.600 A.
(a) Qual é a corrente no segundo fio?
(b) As correntes possuem o mesmo sentido ou
têm sentidos contrários?
SEÇÃO 29.6 CAMPO MAGNÉTICO OE
UMA ESPIRA DE CORRENTE
18. Determine o módulo, a direção e o sentido do
campo magnético resultante produzido no ponto P pela
corrente que passa na seção semicircular do fio
indicado na Figura 8.
SEÇÃ0 29.7 - LEI DE AMPÉRE
22. No interior de uma curva fechada existem
diversos condutores. A integral de linha:

B

dl
20
C
-4
em torno da curva C é igual a 3.83.10 T. m.
(a) Qual é a corrente total que passa nos
condutores?
(b) Se você fizesse a integral percorrendo a
curva em sentido contrário, qual seria o valor da
integral? Explique.
23. A Figura 10 mostra a seção reta de
diversos condutores que conduzem correntes que
atravessam o plano da figura. Os sentidos das correntes
são indicados na figura e os módulos são I1 = 4,0 A, I2
= 6.0 A e I3 = 2,0 A. Quatro trajetórias indicadas pelas
letras de a até d são mostradas na figura.
Qual é o valor da integral de linha:
 
B
 dl
C
Figura 8 – Exercício 18.
para cada trajetória?
Para cada integral, escolha um percurso no sentido
anti-horârio. Explique suas respostas.
19. Calcule o módulo do campo magnético
resultante produzido no ponto P da Figura 9 em função
de R, I1 e I2.
O que sua expressão fornece quando I1 = I2 ?
Figura 9 – Exercício 19.
20. Uma bobina circular com 600 espiras
enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a
4.00 em e conduz uma corrente de 0.500 A. Qual é o
módulo do campo magnético
(a) no centro da bobina?
(b) em um ponto sobre o eixo da bobina
afastado 8.00 cm de seu centro?
Figura 10 - Exercício 23.
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SEÇÃO 29.8 APLICAÇÕES OA LEI OE
AMPERE
24. Cabo coaxial. Um condutor sólido com raio a é
suportado por discos isolamos no centro de um tubo
condutor com raio interno b e raio externo c (Figura
11). O condutor central e o tubo transportam correntes
com o mesmo módulo I, porém com sentidos
contrários.
As
correntes
são
distribuídas
uniformemente ao longo da seção reta de cada
condutor. Deduza uma expressão para o módulo do
campo magnético
(a) nos pontos no exterior do condutor sólido
central, porém no interior do tubo (a < r < b ).
(b) nos pontos no exterior do tubo (r > c).
29. Um anel de madeira com diâmetro médio
igual a 14.0 cm é enrolado de modo compacto com
600 espiras formando um enrolamento toroidal.
Determine o campo magnético em um ponto situado
no centro da seção reta das espiras quando a corrente
que passa no enrolamento é de 0.650 A.
SEÇÃO
MAGNÉTICOS
Figura 10 - Exercício 24 e 25. Problema 58.
25. Repita o Exercício 24 para o caso no qual
a corrente no condutor sólido central é I1 a corrente no
tubo é I2, e as correntes possuem o mesmo sentido em
vêz de sentidos contrários.
26. Um solenóide longo de comprimento 15,0
cm e raio 2.50 cm possui 600 espiras enroladas de
modo compacto. A corrente que passa nas espiras e
igual a 8.00 A. Determine o campo magnético em um
ponto situado nas proximidades do centro do
solenóide.
27. Um solenóide e projelado para produzir
um campo magnético igual a 0.0270 T em seu centro.
Ele possui raio de l.40 cm, comprimento 40.0 em e o
fio conduz uma corrente máxima de l 2.0 A.
(a) Qual e o número mínimo de espiras que o
solenóide deve possuir?
(b) Qual é o comprimento total do fio
necessário?
28. Um solenóide toroidal (Figura 11) possui
raio interno r1 = 15.0 em e raio externo r2 = 18.O cm.
O solenóide possui 250 espiras e conduz uma corrente
de 8.50 A. Qual e o módulo do campo magnético em
um ponto cuja distância ao centro do toróide seja
(a) 12.0 cm ? (b)16.0 cm ? (c)20.0 cm ?
21
Figura 11 - Exercício 28.
29.9
MATERIAIS
30. Um solenóide toroidal com 400 espiras
possui um raio médio igual a 6.0 cm e conduz uma
corrente de 0.25 A. A permeabilidade relativa do
núcleo é igual a 80.
(a) Qual é o campo magnético no núcleo?
(b) Que parte do campo magnético resultante
é produzido pelas correntes atómicas ?
31. Um solenóide toroidal com 500 espiras é
constituído por um enrolamento sobre um anel cujo
raio médio é igual a 2.90 cm. Calcule qual deve ser a
corrente no enrolamento necessária para produzir um
campo magnético de 0.350 T no anel
(a) supondo que o anel seja de ferro recozido
(Km = 1400);
(b) supondo que o anel seja de aço com silício
(Km = 5200).
32. A corrente que passa nos enrolamentos de
um solenóide toroidal é de 2.400 A. Existem 500
espiras e seu raio médio é igual a 25.00 cm. O toróide
está preenchido com um material magnético. Verificase que o campo magnético no interior das espiras é
igual a l .940 T. Calcule
(a) a permeabilidade relativa:
(b) a suscetihilidade magnética do material
que preenche o toróide.
33. Um solenóide longo com 60 espiras por
centímetro conduz uma corrente igual a 0.15 A. O fio
das espiras é enrolado em torno de um núcleo de aço
com silício (Km = 5200). (O fio do solenóide é
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
envolvido por uma camada de isolante de modo que
não flua nenhuma corrente para o núcleo.)
(a) Para um dado ponto no interior do núcleo,
determine o módulo

(i) do campo magnético B0 produzido pela
corrente que passa no solenóide,

(ii) da magnetização M e

(iii) do campo magnético resultante B .
(b) Faça um esboço mostrando o solenóide e o
núcleo e indique as direções e os sentidos dos vetores
  
B0 , M e B no interior do núcleo do solenóide.
34. Mostre que as unidades A.m2 e J/T para o
magneton de Bohr são equivalentes.
34. Mostre que as unidades A.m2 e J/T para o
magneton de Bohr são equivalentes.
35. Lei de Curie. Na tabela abaixo
mostramos resultados de medidas experimentais da
suscetibilidade magnética de uma liga de alúmen de
ferro e amônio. Faça um gráfico de 1/B contra
temperatura em Kelvin. O material obedece à lei de
Curie ? Caso a resposta seja afirmativa, qual é o valor
da constante de Cuirie?
T(0C)
-258.15
-173
-73
27
m
129.10-4
19.4.10-4
9.7.10-4
6.5.10-4
SEÇÃO 29.10 CORRENTE OE
DESLOCAMENTO
36. Corrente de deslocamento em um
dielétrico. Suponha que as placas paralelas na Figura
12 possuem uma área de 3.00 cm2 e que uma camada
dielétrica de 2.50 mm de espessura preenche
completamente o volume entre as placas. O material
dielétrico possui constante dielétrica igual a 4.70.
(Despreze os efeitos de borda.) Fm um certo instante a
diferença de potencial entre as placas é igual a l 20 V e
a corrente de condução I, é igual a 6.00 mA. Para esse
instante, qual é
(a) a carga q de cada placa ?
(b) a taxa de variação da carga de cada placa ?
(c) a corrente de deslocamento no dielétrico?
(a) Qual é a densidade da corrente de
deslocamento jD no espaço entre as placas preenchido
pelo ar ?
(b) Com que taxa o campo elétrico entre as
placas está variando ?
(c) Qual é o campo magnético induzido entre
as placas a uma distância de 2,00 cm do eixo ?
(d) E a uma distância de 1.00 cm do eixo ?
38. Um fio de cobre retilíneo longo com seção
rela circular de área igual a 2. l mm2 conduz, uma
corrente de 16 A. A resistividadc do material do fio é
igual a 2.0.108 .m.
(a) Qual é o campo elétrico uniforme no
material ?
(b) Quando a corrente varia com uma taxa de
4000 A/s. com que taxa varia o campo elétrico no
material ?
(c) Qual é a densidade da corrente de
deslocamento no material do item (b)? (Dica: Como
K para o cobre é muito próximo de l, considere:
= 0 ).
(d) Quando a corrente varia como indicado na
parte (b), qual é o módulo do campo magnético a 6.0
cm do centro do fio ? Note que tanto a corrente de
deslocamento quanto a corrente de condução devem
ser incluídas no cálculo de K. A contribuição da
corrente de deslocamento é significativa?
39. Na Figura 12, cada placa possui área igual
a 5.00 cm2 e a distância entre as placas é de 2.00 mm.
As placas estão no vácuo. A corrente IC, que carrega o
capacitor possui um valor iC, constante igual a l.80
mA. Para t = 0 a carga nas placas do capacitor é igual
a zero.
(a) Calcule a carga em cada placa, o campo
elétrico entre as placas e a diferença de potencial entre
elas quando t = 0.500 s.
(b) Calcule a taxa de variação dE/dt do campo
elétrico entre as placas. O valor de dE/dt varia com o
tempo?
(c) Calcule a densidade da corrente de
deslocamento jD, no espaço entre as placas e, a partir
desse resultado, determine a corrente total de
deslocamento iD. Como se comparam os valores de iC
e de iD ?
37. Um capacilor de placas paralelas com ar
entre as placas está sendo carregado como indica a
Figura 12. As placas circulares possuem raio de 4.00
mm e em dado instante a corrente de condução nos fios
e igual a 0.280 A.
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22
Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Figura 12 - Exercício 39.
PROBLEMAS
40. Duas cargas puntiformes q = +8.00 C e
q’ = -5.00 C se movem em relação a um sistema de
referência como indicado na Figura 13 com
velocidades v = 9.00.104 m/s e v' = 6.50.104m/s.
Quando as cargas puntiformes estão nos locais
indicados na figura, qual é a força magnética (módulo,
direção e sentido) que a carga q’ exerce sobre q ?
23
Figura 13- Problema 40.
41. Um fio retilíneo longo transporta uma
corrente de 2.50 A. Um elétron se desloca nas
vizinhanças do fio. No instante em que o elétron está a
uma distância do fio igual a 4,50 cm e se desloca
paralelamente ao fio em sentido contrário ao da
corrente com velocidade igual a 6.00.104 m/s, qual é o
módulo, a direção e o sentido da força magnética que o
campo magnético da corrente exerce sobre o elétron?
42. Uma carga puntilorme negativa q = -7.20
mC se move em relação a um sistema de referência.
Quando a carga puntiforme está na origem, o
campo magnético que ela produz no ponto x = 25.0 cm,

y = 0, z = 0 é dado por B (6.00 T ) ˆj e sua
velocidade é igual a 800 m/s.
(a) Quais são os componentes x, y e z da

velocidade v0 da carga?
(b) Para esse mesmo instante, qual e o campo
magnético produzido pela carga no ponto x = 0 cm, y =
25cm, z = 0 ?
43. Um projetista de eletroímã neófito diz
para você que ele é capaz de projetar um eletroímã que

produz um campo magnético B no vácuo que aponta
sempre no sentido do eixo Ox em todos os pontos da
região e que o módulo desse campo cresce com o

aumento da distância x. Ou seja B
B0
x ˆ
i onde B0
a
e a sãoconstantes com unidades de teslas e de metros,
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respectivamente. Aplique a lei de Gauss para o campo
magnético para provar que esse projeto é impossível.
(Dica: Use uma superfície gaussiana em forma de
caixa retangular com arestas paralelas aos eixos x, y e
z)
44. Três fios longos paralelos estão
localizados como indicado na Figura 14. O fio 2 está
na origem, ofio l corta o eixo Oy no ponto y = 3.00 cm
e o fio 3 corta o eixo Ox no ponto x = 4.00 cm.
As correntes são I1 = l.00 A, I2 = 2.00 A e I3 = 4.00 A.
(a) Copie a Figura 14 e mostre a direção e o
sentido do campo magnético dos fios 2 e 3 no plano xy
no local onde se encontra o fio l.
(b) Determine os componentes x e y do campo
magnético resultante no local onde se encontra o fio l
produzido pelas correntes nos fios 2 e 3.
(c) Calcule o módulo, a direção e o sentido da
força magnética resultante exercida sobre uma seção
de l .00 cm do fio l produzida pêlos outros dois fios.
24
Figura 15 – Problema 45.
46. A Figura 16 representa o plano xy que
corta perpendicularmente dois fios longos paralelos
que conduzem uma corrente I de mesmo módulo,
porém de sentidos contrários.
(a) Copie o diagrama e desenhe vetores para

mostrar o campo B de cada fio e o campo resultante

B no ponto P.
(b) Deduza uma expressão para o módulo de
Figura 14 – Problema 44.
45. Dois fios longos paralelos estão separados
por uma distância de 1.00 m (Figura 15). O fio
superior conduz uma corrente I1 de 6.00 A entrando no
plano da página,
(a) Qual deve ser o sentido e o módulo da
corrente I2, para que o campo magnético no ponto P
seja igual a zero?
(b) Qual deve ser então o módulo, a direção e
o sentido do campo resultante no ponto Q?
(c) Qual deve ser o módulo, a direção e o
sentido do campo resultante no ponto S ?

B em qualquer ponto do eixo 0x em termos da
coordenada x do ponto. Qual é a direção e o sentido de

B?

(c) Faça um gráfico do módulo de B em
função de x.

(d) Para qual valor de x o módulo de B atinge
seu valor máximo ?
Figura 16 – Problemas 46, 47 e 48.
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47. Repita o Problema 46 considerando agora
na Figura 16 as duas correntes no mesmo sentido
entrando no plano da página.
48. Tome como referência a situação descrita
no Problema 46. Considere um terceiro fio longo
paralelo aos outros dois primeiros passando pelo ponto
P (Figura 16) e suponha que cada fio conduza uma
corrente de 6,00 A. Considere a = 40.0 cm e x = 60.0
cm. Determine o módulo, a direção e o sentido da
força por unidade de comprimento exercida sobre o
terceirofio supondo que a corrente que ele conduz
possui sentido
(a) entrando no plano da página;
(b) saindo do plano da página.
(a) Determine o torque que a primeira espira
exerce sobre a segunda,
(b) Calcule a energia potencial para a segunda
espira em virtude dessa interação.
(c) Qual é a simplificação que obtemos
considerando x muito maior do que a? E para x muito
menor do que a ?
25
49. Dois tios longos paralelos estão suspensos
por meio de cordas de 4.00 cm de comprimento presas
a um eixo comum (Figura 17). Os fios possuem massa
por unidade de comprimento igual a 0.0125 kg/m e
conduzem correntes de mesmo módulo, porém de
sentidos contrários. Qual é a corrente em cada fio,
sabendo que as cordas de sustentação formam um
ângulo de 6.00° com a vertical?
Figura 18- Problema 49.
29.52
Os
fios
que
formam
as
semicircunferências indicadas na Figura 19 possuem
raios a e b. Determine o módulo, a direção e o sentido
do campo magnético resultante produzido pelas
correntes dos fios no ponto P.
Figura 17 - Problema 49.
50. O fio retilíneo longo AB indicado na
Figura 18 conduz uma corrente de 14.0 A. A espira
retangular cuja aresta mais longa é paralela ao fio
conduz uma corrente de 5.0 A. Determine o módulo, a
direção e o sentido da força magnética resultante
produzida pelo campo do fio e exercida sobre a espira.
51. Uma espira circular de raio a possui N
espiras c conduz uma corrente I. Uma segunda espira
circular de raio b possui N' espiras e conduz uma
corrente I’ e seu centro está localizado sobre o eixo da
primeira espira a uma distância x do centro da primeira
espira. A segunda espira é inclinada de modo que seu
eixo forme um ângulo θ com o eixo da primeira. A
distância x é maior do que a e do que a'.
Figura 19- Problema 49.
53. Bobinas de Helmholtz. A Figura 20
mostra a seção reta de duas bobinas circulares com raio
a, cada uma delas com N espiras que conduzem uma
corrente I no mesmo sentido. A distância entre as
bobinas é igual ao raio a das bobinas. As bobinas dessa
configuração denominam-se bobinas de Helmholiz e
produzem um campo magnético bastante uniforme na
região entre elas.
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(a) Deduza uma expressão para o módulo do

campo magnético B em um ponto situado a uma
distância x à direita do ponto P, que está no centro de
simetria das bobinas,

(b) Faça um gráfico de B contra x desde x =
0 até x = a/2. Compare o gráfico obtido com o campo
magnético produzido apenas pela bobina da direita,
(c) Usando a expressão obtida no item (a)
obtenha o módulo do campo magnético no ponto P
(d) Calcule o valor do módulo do campo
magnético no ponto P considerando N = 300 espiras, I
= 6.00 A e a = 8,00 cm.
(e) Calcule dB/dx e d2B/dx2 no ponto P(x = 0).
Discuta como seus resultados podem mostrar
que o campo é bem uniforme nas vizinhanças do ponto
P.
55. O fio na Figura 22 conduz, uma corrente I
no sentido indicado. O fio é constituído por uma seção
retilínea longa, uma seção correspondente a um quarto
de circunferência e outra seção retilínea longa. Calcule
o módulo, a direção e o sentido do campo magnético
resultante no centro de curvatura da seção
correspondente a um quarto de circunferência (ponto
P).
26
Figura 22 - Problema 55.
56. O fio indicado na Figura 23 possui
comprimento infinito e conduz, uma corrente I.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo
magnético resultante produzido pelo fiono ponto P.
Figura 20 - Problema 55.
54. Determine o módulo, a direção c o sentido
do campo magnético produzido no ponto P da Figura
19 pela corrente que circula na espira retangular. (O
ponto P esta no centro do retângulo.)
(Dicaí: O espaço vazio no lado esquerdo
onde os fios entram no retângulo e saem dele é tão
pequeno que o lado esquerdo do retângulo pode ser
considerado um fio contínuo de comprimento igual a
b.)
Figura 21 - Problema 54.
Figura 23 - Problema 56.
57. Um fio retilínco longo com seção reta
circular de raio R conduz uma corrente I. Suponha que
a densidade de corrente não seja constante ao longo da
seção reta do fio, porém varie de acordo com a relação
J = r, onde é uma constante,
(a) Sabendo que a integral de J ao longo da
seção reta do fio fornece a corrente total I determine a
constante em termos de I e de R
(b) Use a lei de Ampere para determinar o
campo magnético B(r) para:
(i) r R,
(ii) r R. Forneça suas respostas em função
de I.
58. (a) Para o cabo coaxial do Exercício 24,
deduza uma expressão para o módulo do campo
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magnético para os pontos do interior do condutor
central (r < a). Compare seu resultado para r = a com
o resultado obtido no item (a) do Exercício 24 no
mesmo ponto,
(b) Para esse cabo coaxial, deduza uma
expressão para o campo nos pontos do interior do tubo
(b < r < c). Compare seu resultado para r = b com o
resultado obtido no item (a) do Exercício 24 no mesmo
ponto. Compare seu resultado para r = c com o
resultado obtido no item (b) do Exercício 24 no mesmo
ponto.
59. O campo elétrico de um fio retilíneo
infinito com cargas positivas é direcionado radialmente
para fora do fio e pode ser calculado a partir da lei de
Gauss para o campo elétrico (veja o Exemplo 23.6 na
Seção 23.5). Aplique a lei de Gauss para o magnetismo
para mostrar que o campo magnético de um condutor
retilíneo infinito que condu/. uma corrente não pode
possuir um componente radial.
62. Um cilindro comprido, com seu eixo
orientado ao longo do eixo Oz possui uma densidade

de corrente J . A densidade de corrente, embora seja
simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é
constante, porém varia de acordo com a relação:
b
r

J
r a
kˆ para r
e

0 para r
a,
a,
onde a é o raio de cilindro e r é a distância radial entre
o ponto considerado e o eixo do cilindro, b é uma
constante igual a 600 A.m-1, e é uma constante igual
a 2.50 cm.
(a) Seja I0 a corrente total que passa através
da seção reta do fio. Obtenha uma expressão para a
corrente I0, em termos de b, e a. Faça os cálculos
para obter o valor numérico de I0.
(b) Usando a lei de Ampére, deduza uma
expressão para o módulo do campo magnético

60. Um condutor possui forma de um cilindro
oco, sendo a o raio interno e b o raio externo. Ele
conduz uma corrente I uniformemente distribuída ao
longo da sua seção reta. Deduza expressões para o
módulo do campo magnético nas seguintes regiões:
(a) r < a: (b) a < r < b; (c) r > b.
magnético B na região r a .
Expresse o resultado em função de I0 em vez
de b.
(c) Obtenha uma expressão para a corrente I0
contida em uma seção reta circular de raio r a e
centralizada sobre o eixo do cilindro.
(d) Aplicando a lei de Ampére, deduza uma
61. Um cilindro comprido, com seu eixo
orientado ao longo do eixo Oz possui uma densidade
expressão para o módulo do campo magnético B na
região r a. Como se comparam os resultados dos
itens (b) e (d) para r = a ?

de corrente J . A densidade de corrente, embora seja
simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é
constante e varia de acordo com a relação

J
2 I0
a2
1
r
a
2

0 para r
kˆ para r
a,

63. Integre B dado pela Equação:
B
0
I a2
3
2 ( x2 a2 ) 2
a,
Onde a é o raio do cilindro, r é a distância
radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e
I0 é uma constante dada em ampéres.
(a) Mostre que I0 é a corrente total que passa
através da seção reta do fio.
(b) Usando a Lei de Ampére, deduza uma

expressão para o módulo do campo magnético B na
região r a .
(c) Obtenha uma expressão para a corrente I
contida em uma seção reta circular de raio r
a e
centralizada sobre o eixo do cilindro.
(d) Aplicando a Lei de Ampére, deduza uma

expressão para o módulo do campo magnético B na
região r a. Como se comparam os resultados de (b) e
(d) para r = a ?
desde - até + .
Ou seja. faça a integral:
Bx dx
Explique o significado físico de seu
resultado.
64. Em uma região do espaço onde não ha
nenhuma corrente de condução e nenhuma corrente de
deslocamento, é impossível existir um campo
magnético que caia repentinamente para zero. Para
provar essa afirmação, use o método da contradição.
Suponha que esse caso seja possível: a seguir, mostre
que essa hipótese contradiz alguma lei da física.
(a) Na metade inferior de uma folha de papel,
desenhe linhas paralelas igualmente espaçadas para
representar um campo magnético uniforme orientado
da esquerda para a direita. Use linhas tracejadas para
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Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
desenhar um retângulo abcda com o lado horizontal ab
dentro do campo magnético e com o lado horizontal cd
na parle superior da folha onde B = 0.
(b) Mostre que a integração ao longo desse
retângulo entra em contradição com a lei de Ampére.
65. Um plano infinito conduzindo uma
corrente. Condutores retilíneos longos, com seçóes
relas quadradas, cada um deles conduzindo uma
corrente I são colocados um ao lado do outro formando
uma placa fina que se estende até o infinito (Figura
24). Os condutores se distribuem sobre o plano xy
paralelamente ao eixo Oy e conduzem uma corrente no
sentido +Oy. Existem n condutores por unidade
comprimento ao longo do eixo Ox.
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
do campo magnético a uma distância a abaixo do plano
da corrente.
(b) Encontre o módulo, a direção e o sentido
do campo magnético a uma distância a acima do plano
da corrente.
Figura 24 - Problema 65.
66. Condutores retilíneos longos, com seções
retas quadradas, cada um deles condu/.indo uma
corrente I são colocados um ao lado do outro formando
uma placa fina que se estende até o infinito, sendo o
sentido da corrente para fora do plano da pagina
(Figura 25). Um segundo plano infinito é colocado
sobre o primeiro, sendo o sentido da corrente para
dentro do plano da página. Cada plano possui n
condutores por unidade de comprimento. (Use como
referencia o Problema 65.)
Calcule o módulo, a direção e o sentido do
campo magnético resultante:
(a) no ponto P acima do plano superior;
(b) no ponto K entre os dois planos;
(c) no ponto S abaixo do plano interior.
67. Um pedaço de ferro possui magnetização
M = 6.50.104 A/m. Calcule o momento de dipolo
magnético médio por átomo no interior do pedaço de
ferro. Expresse sua resposta em A.m2 e em magnetons
de Bohr. A densidade do ferro é 7.8g/cm3 e a massa
atômica do ferro em grama por mól é 55.8 uma. O
símbolo químico do ferro é Fe.
28
Figura 25 - Problema66.
68. (a) Discutimos como um dipolo
magnético, tal como uma espira de corrente ou um
objeto magnetizado, pode ser atraído ou repelido por
um imã. Use esse raciocínio para explicar por que
qualquer um dos pólos de um imã atrai tanto materiais
paramagnéticos quanto materiais ferromagnéticos
(inicialmente não magnetizados), porém repele
materiais diamagnéticos.
(b) A força que um imã exerce sobre um
objeto é diretamente proporcional ao momento
magnético do objeto. Um dado imã é suficientemente
forte para atrair um cubo de ferro recozido (K= 1400)
com aresta de 2,00 cm mantendo o ferro grudado em
um dos seus pólos; ou seja, o imã exerce sobre o cubo
de ferro uma força de baixo para cima igual ao peso do
cubo. Se, em vêz disso, você tentasse sustentar um
cubo de alumínio com aresta de 2,00 cm, qual seria a
força de baixo para cima exercida pelo imã sobre o
cubo? Como essa força se compara com o peso do
cubo? O cubo de alumínio ficaria grudado no imã ?
(Dica: Você precisa usar informaçóes das tabelas 14.1
e 29. l.)
(c) Se você tentar sustentar um cubo de prata
com aresta de 2.00 cm. qual será o módulo, a direção e
o sentido da força magnética exercida pelo imã sobre o
cubo? Como essa torça se compara com o peso do
cubo? O efeito dessa força magnética poderia ser
notado?
69. Um capacitor possui duas placas paralelas
de área A separadas por uma distância d. O espaço
entre as placas está preenchido por um material que
possui constante dielétrica K. O material não é um
isolante perfeito, porém possui uma resistividade . O
capacitor está inicialmente carregado com uma carga
de módulo igual a Q0 sobre cada placa; a seguir, ele
começa a se descarregar gradualmente por condução
através do dielétrico.
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(a) Calcule a densidade de corrente de
condução jC, através do dielétrico.
(b) Mostre que a cada instante a densidade de
corrente de deslocamento possui o mesmo módulo,
porém sentido contrário ao da densidade de corrente de
condução, de modo que a densidade de corrente
resultante é sempre igual a zero.
onde R é a resistência total do circuito,
(b) Determine v0 numericamente sabendo que
o capacitor foi inicialmente carregado mediante a
conexão a uma fonte de 3.00 kV e considerando =
4.50.10-3 kg/m, d = 3.00 cm, C = 2.50 F e R =
0.0480
(c) Que altura h cada fio atingirá depois que a
conexão for estabelecida?
70. Um fio de silício puro (resislividade =
2300
m) está conduzindo uma corrente. O campo
elétrico varia senoidalmente com o tempo de acordo
com a equação:
E E0 sen(
, onde E0 = 0.450 V/m,
2
f eféa
frequência f = 120 Hz.
(a) Calcule o módulo da densidade de
corrente de condução máxima no fio.
(b) Supondo = 0, determine densidade de
corrente de deslocamento máxima no fio c compare o
resultado com a resposta do item (a),
(c) Para qual freqüência f a densidade de
corrente de deslocamento máxima torna-se igual à
densidade decorrente de condução máxima, se = 0 ,
(o que não é verdade) ?
(d) Para a freqüência calculada no item (c),
qual é a fase relativa da corrente de condução e da
corrente de deslocamento ?
PROBLEMAS DESAFIADORES
71. Dois longos fios retilíneos condutores com
massa específica linear estão suspensos por meio de
cordas de modo que eles ficam dispostos paralelamente
sobre um plano horizontal e a distância entre eles é
igual a d. As extremidades da direita dos fios são
conectadas entre si por meio de um fio frouxo de
resistência desprezível. Um capacitor carregado
(capacitância C) é ligado ao sistema; a placa positiva
do capacitor (carga inicial +Q0) está conectada com a
extremidade da esquerda de um dos fios e a placa
negativa do capacitor (carga inicial –Q0) está
conectada com a extremidade da esquerda do outro fio
(Figura 26). Ambas as conexões são feitas mediante
fios frouxos com resistências desprezíveis. Quando a
conexão é estabelecida, os fios são repelidos
lateralmente pela ação das forças magnéticas
repulsivas das correntes de sentidos contrários, e cada
fio adquire uma velocidade inicial ün. Suponha que o
tempo de descarga do capacitor seja desprezível em
relação ao tempo do deslocamento dos fios.
(a) Mostre que a velocidade inicial dos fios é
dada por:
v0
0
4
29
t)
Figura 26 – Problema desafiador 71.
72. Uma correia larga e longa possui uma
carga positiva uniforme por unidade de área da sua
superfície. Rolos instalados nas suas extremidades
movem a correia com uma velocidade constante v.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo
magnético produzido pela correia que se move em um
ponto imediatamente acima da sua superfície.
(Dica: Para pontos afastados das extremidades
da correia, ela pode ser considerada um plano infinito
de corrente tal como no Problema 65.)
73. Um disco dielétrico carregado. Um
disco dielétrico fino com raio n possui uma carga total
+Q distribuída uniformemente sobre sua superfície.
Ele gira n vezes por segundo em torno de um eixo
perpendicular a sua superfície passando por seu centro.
Calcule o campo magnético no centro do disco.
(Dica: Divida o disco em anéis concêntricos
com largura infinitesimal.)
Q02
R C d
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Figura 27 - Problema Desafiador 74.
74. Um fio contido no plano yz forma uma
seinicircunferência de raio a com centro de curvatura
na origem (Figura 27). Sendo I a corrente que circula
no fio, calcule os componentes do campo magnético
produzido no ponto P situado sobre o eixo Ox e a uma
distância x para fora do centro. (Nota: Não se esqueça
de incluir a contribuição do fio relilineo na parte
interior da semicircunferência que vai da extremidade z
= -a até z = +a. Você pode usar o fato de que é igual a
zero o campo magnético produzido pelas correntes
antiparalelas nos trechos retilíneos para z > a, porém
você deve explicar esse fato.)
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