Análise de Malhas e Nós

CEFET/SC - Núcleo de Eletrônica
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Métodos de Análise de Circuitos Elétricos
Autor: Prof Paulo Ricardo Telles Rangel
1 Introdução
Os métodos de análise de circuitos elétricos são ferramentas que envolvem os conceitos de eletricidade,
como a Lei de Ohm, em conjunto com técnicas matemáticas, tais como sistemas e matrizes, para a solução das
equações que descrevem o comportamento de um circuito elétrico em função das variáveis tensão, corrente e
resistência.
Para que se possa equacionar um circuito elétrico é necessário inicialmente estabelecer as Leis de
Kirchhoff, que descrevem o comportamento das tensões nas malhas e das correntes nos nós do circuito.
2 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT)
A LKT é conhecida como LEI DAS MALHAS, onde:
A soma algébrica das tensões em um circuito fechado, ou malha, é igual a zero.
Igualmente aos circuitos série, também podemos enunciar esta lei como: A soma das elevações de
tensão em uma malha é igual a soma das quedas de tensão sobre os componentes associados à
mesma.
V1
A
B
R1
E
V2
R2
R3
D
V3
C
Fig.1 - Polaridades das tensões em um circuito com uma malha.
Portanto, para o circuito da figura 1, podemos escrever:
∑ V = − E+ V
1
+ V2 + V3 = 0
(1)
ou
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2
E = V1 + V2 + V3
(2)
onde: E é a tensão da fonte e Vn é a queda de tensão em cada resistor “n”.
Como é obtido este somatório? Para se definir o sinal de cada tensão na equação (ver equação 1) é
necessário percorrer a malha em um determinado sentido arbitrário (geralmente o sentido horário), portanto:
Sentido Horário: (ABCD)
∑ V = −E + V
1
+ V2 + V3 = 0
(3)
Sentido Anti-horário: (ADCB)
∑ V = E− V
1
− V2 − V3 = 0
(4)
EXEMPLO 1: Escreva a equação das tensões de malha e calcule a ddp sobre R2 para o circuito abaixo.
Sentido horário (ABCD):
5V
A
B
∑ V = −12 + 5 + 3 + V
2
R1
12V
3V
R2
D
V2
C
=0
− 4 + V2 = 0
V2 = 4V
5.2 Lei de Kirchhoff para Corrente (LKC)
Também conhecida como LEI DOS NÓS , indica que:
A soma das correntes que chegam em um nó (ou junção) é igual a soma das correntes que saem do
mesmo.
Nó ou junção é a conexão entre dois ou mais ramos de um circuito elétrico. A figura 2 mostra uma
junção com quatro ramos.
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3
R1
nó ou junção
i1
i4
R4
i2
R2
i3
R3
Fig. 2 - Corrente em um nó ou junção formada por quatro ramos.
Na figura 2, i1 e i3 chegam ao nó enquanto i2 e i4 saem do mesmo. Então, podemos escrever a equação
do nó como:
i1 + i 3 = i 2 + i 4
(5)
Podemos ainda dizer que o somatório das correntes em um nó é igual a zero, sendo as correntes
que chegam ao nó positivas e as que saem, negativas . Portanto, para a figura 2, teremos:
∑i = i
1
− i2 + i 3 − i 4 = 0
(6)
EXEMPLO 2 : Para o circuito da figura abaixo, calcule a corrente no resistor R 2.
i2
R2
∑i = i
1
R1
2A
5A
− i2 + i 3 − i 4 = 0
R3
2 − i2 + 5 − 1 = 0
nó
1A R4
i 2 = 6A
3. Método da Análise das Malhas
Também chamado método das correntes nas malhas é um método de resolução de circuitos elétricos
que aplica a lei de Kirchhoff para tensão (LKT) à circuitos de mais de uma malha. Para resolver um circuito
pelas correntes nas malhas, inicialmente devemos escolher os percursos de cada malha e após, arbitrarmos as
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suas respectivas correntes. Aplicando então a LKT para cada percurso, encontramos as correntes de cada
malha e, conseqüentemente, a corrente ou tensão de cada resistor ou qualquer componente de circuito.
EXEMPLO 3 : Encontre as correntes nas malhas e as ddp’s de cada resistor para o circuito abaixo.
D
C
E
R1=10 Ω
R2=20Ω
Ω
E=20V
R3=15Ω
Ω
R4=5Ω
Ω
B
A
F
1 0 PASSO: Determinar as malhas e indicar as correntes em cada malha.
C
R1=10 Ω
D
E
R2=20 Ω
i2
i1
E=20V
R3=15 Ω
MALHA 2
MALHA 1
B
A
F
R4=5Ω
Ω
MALHA 1 - ABCDA, corrente i1
MALHA 2 - ADEFA , corrente i2
2 0 PASSO: Aplicar a lei de Kirchhoff para tensão (LKT) para cada malha, de forma independente uma
da outra, definindo polaridade positiva (da queda de tensão de cada resistor) para o lado onde entra a corrente
da malha.
C
R1=10 Ω
D
R2=20 Ω
V1
i1
E=20V
V2
V2
MALHA 2
i2
R3=15 Ω
V3
V4
MALHA 1
B
E
A
R4=5Ω
Ω
F
Obs.: a tensão V2 aparece com duas polaridades distintas devido a independência de cálculo de cada malha.
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Resolvendo a MALHA 1, temos a equação (1):
∑ V = −E + V
1
+ V2 = 0
(1)
Resolvendo a MALHA 2, temos a equação (2):
∑V = V
2
+ V3 + V4 = 0
(2)
3 0 PASSO: Substituir cada tensão da malha por sua respectiva equação de Ohm.
Obs.: as correntes das malhas não necessariamente correspondem às correntes reais do circuito. Desta
forma, poderá aparecer a representação de mais de uma corrente de malha em um determinado resistor (como
se observa em R 2), pois a LKT é aplicada independentemente para cada malha.
MALHA 1
− 20 + R1 .i 1 + R 2 .( i1 − i 2 ) = 0
(3)
R 2 .( i 2 − i1 ) + R 3 .i 2 + R4 .i 2 = 0
(4)
MALHA 2
4 0 PASSO: Calcular as correntes i1 e i2, montando e resolvendo um sistema de equações.
R 1.i 1 + R 2 .i 1 − R 2 . i2 = 20
(5)
R 2 .i2 + R 3 .i 2 + R4 .i 2 − R 2 .i 1 = 0
30.i 1 − 20.i 2 = 20
− 20.i1 + 40.i2 = 0
(6)
(7)
(8)
Multiplicando (8) por 1,5 e somando com (7), podemos obter a corrente i2.
− 30.i1 + 60.i2 = 0
+
30.i 1 − 20.i 2 = 20
40.i 2 = 20
i 2 = 0,5 A
Substituindo o valor de i2 em (1), obtemos o valor de i1.
30.i 1 = 20 + 20.0,5
i1 = 1 A
Pode-se definir o valor da corrente no ramo AD (resistor R2) da seguinte forma:
i AD = i1 − i2 = 1 − 0,5
i AD = 0,5 A
O sentido de iAD é o mesmo de i1.
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5 0 PASSO: Utilizando a lei de Ohm, calcular as ddp’s em cada resistor.
V1 = R1. i1 = 10.1
V1 = 10 V
V2 = R 2 .i 1 − R 2 . i2 = 20. (1 − 0,5)
V2 = 10 V
V3 = R 3 .i 2 = 15.0,5
V3 = 7,5 V
V4 = R 4 .i 2 = 5.0,5
V4 = 2,5 V
4. Método da Análise Nodal
Outro método, conhecido como Método da Análise Nodal, emprega a LKC para encontrar as
tensões nos nós do circuito, em relação a um nó de referência. O nó de referência pode ser escolhido dentre
aqueles do circuito, arbitrando-se a ele uma tensão nula (ou terra).
Primeiramente devemos determinar e nomear cada nó, escolhendo um como nó de referência. Logo
após, devemos escrever as equações para as correntes dos nós que unem três ou mais ramos do
circuito(conhecidos como nós principais), usando para isto a LKC. O número de equações resultantes será igual
ao número de nós principais menos um.
EXEMPLO 4: Para o circuito do EXEMPLO 1, encontre as tensões e correntes em cada componente
do circuito empregando o método da análise nodal.
1 0 PASSO: Nomear os nós, adotar um nó como referência e adotar o sentido das correntes que chegam
e saem dos nós principais.
R1=10 Ω
A
VA
VB
B = nó principal
i1
i3
i2
E=20V
R3=15 Ω
R2=20 Ω
D = referência
VC
R4=5Ω
Ω
C
2 0 PASSO: Aplicar a LKC aos nós principais e resolver para encontrar a tensão em cada nó.
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∑i = 0
i1 − i 2 + i 3 = 0
mas:
i1 =
VA − VB
VB − VD
VC − VB VD − VC VD − VB
, i2 =
e i3 =
=
=
R1
R2
R3
R4
R3 + R4
Substituindo os valores das tensões de cada nó e das resistências, temos:
20 − VB VB − 0 0 − VB
−
+
=0
10
20
15 + 5
40 − 2VB − VB − VB
=0
20
e
VB = 10 V
20 − VB VB − 0 0 − VC
−
+
=0
10
20
5
40 − 20 − 10 − 4. VC
=0
20
VC = 2,5 V
3 0 PASSO: Calcular as ddps e correntes para cada resistor.
VR = VA − VB = 20 − 10 = 10 V
VR = 10 V
VR = VB − VD = 10 − 0 = 10 V
VR = 10 V
VR = VB − VC = 10 − 2,5 = 7,5 V
VR = 7 ,5 V
VR = VC − VD = 2,5 − 0 = 2,5 V
VR = 2,5 V
1
2
3
4
1
2
3
4
i R = 10 10 = 1 A
1
i R = 10 20 = 0,5 A
2
i R = 7,515 = 0,5 A
3
i R = 2,5 5 = 0,5 A
4
5 Exercícios de fixação
1) Pelo método de análise de malhas, encontre:
a) as ddps sobre R 1, R2 e R3 ;
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b) a potência total entregue por E1
c) E2 recebe ou entrega potência? Explique.
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9
R1=2Ω
Ω
R3=10 Ω
R2=5Ω
Ω
E1=30V
E2=10V
2)
R3=10RΩ
Ω
R2=2RΩ
Ω
R1=RΩ
Ω
R4=20RΩ
Ω
E
a) Calcule o valor de E para que a fonte entregue 33W quando R=10 Ω .
b) Encontre as correntes nas malhas.
c) Calcule as ddps sobre R1 e R3 e comente o resultado, baseando-se na teoria dos circuitos série.
3)
2R
E
4R
8R
4R
Sendo a fonte E formada por quatro pilhas alcalinas grandes de 1,5V em série, calcule:
a) o valor de R para que a potência em E seja 240mW;
b) as quedas de tensão sobre 2R e 4R.
c) Verifique se a potência total dissipada pelos resistores é igual a potência entregue pela fonte.
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4) Para o circuito abaixo:
a) Calcule, pelo método de análise de malhas, os valores de E e de R.
b) Encontre a potência entregue a E/4.
5R
E
i 1=1A
10R
10R
E/4
i 2=0,5A
5)
3Ω
Ω
9Ω
Ω
9Ω
Ω
27Ω
Ω
12V
6V
6V
a) Calcule as correntes nas malhas.
b) Calcule as ddps sobre os resistores.
c) Calcule a potência entregue pela fonte de 12V.
6)
R1=2Ω
Ω
A
R3=10Ω
Ω
B
C
R2=5Ω
Ω
E1=30V
D
E2=10V
Utilizando o método de análise nodal, calcule:
a) a corrente de carga da fonte de 10V;
b) a tensão V BD.
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c) Compare a análise àquela feita no exercício 1.
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12
7)
B
A
3Ω
Ω
9Ω
Ω
27Ω
Ω
12V
C
9Ω
Ω
D
6V
6V
E
a) Calcule as ddps sobre os resistores, empregando análise nodal.
b) Encontre a potência recebida pelas fontes de 6V.
c) Compare as soluções dos exercícios 5 e 7.
8)
B
A
R1=10 Ω
R3=15 Ω
44V
R2=20 Ω
R5=30Ω
Ω
C
R4=12 Ω
D
18V
E
a) Através da análise nodal, encontre as ddps sobre os resistores.
b) Verifique se as fontes de tensão entregam ou recebem energia.
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