lista limites notaveis trigonométricos e exponenciais

LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS
Os limites fundamentais auxiliam no cálculo de limites indeterminados do tipo
1 e 0.
 sen( x) 
lim 
  1
x0 
x 
I) Proposição
 1  cos ( f ( x)) 

  0
f ( x)


lim
II) Proposição
f ( x)  0
1  x   e
1
lim
III) Proposição
x0
 1
lim 1  
x 
x
IV) Proposição
V) Proposição
0
,
0
x
x
 e
a f ( x)  1
 ln( a)
f ( x)
lim
f ( x)  0
LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:
x
(1)
 1
lim x 1    e
x

1
(2)
lim y 0 (1  y)
(3)
lim y 0 (1  ky)
e
y
l
y
 e kl
1
lx
 k
kl
(4) lim x  1    e
x


(5)
(6)
lim x0
lim x0
a x 1
 ln a
x
ex 1
1
x
EXERCÍCIOS
sen3x

2x
senx
2) lim x 0

4x
tg 2 x
3) lim x 0

3x
sen4 x
4) lim x 0

sen3x
tg 3x
5) lim x 0

tg 5 x
1  cos x
6) lim x0

xsenx
1  sec x
7) lim x0

x2
tgx  senx
8) lim x0

x
senx  cos x

9) lim x0
1  tgx
tgx  senx

10) lim x0
sen 2 x
x  senx

11) lim x0
x  senx
cos 5 x  cos 3x

12) lim x0
sen4 x
sen3x  sen2 x

13) lim x0
senx
sen( x  a)  sena

14) lim x0
x
1)
lim x0
2
15)
lim x0
1  cos 2 x

3x 2
Respostas:
1) 3/2
2) ¼
3) 2/3
4) 4/3
5) 3/5
6) ½
7) – ½
8) 2
9) -1
10)
11)
12)
13)
14)
15)
0
0
0
1
cos a
2/3
EXERCÍCIOS
1)
lim x2 3
x 2 4
x 2

x 1
2)
lim x1 e

x 1
x 5 x  4
2
1
3) lim x 4  
e
x 2

x 2  3x  2

x 2  5x  4
x3
5) lim x3 ln

x 1  2
x  x3

6) lim x0 log 2
x x
2x
 1
7) lim x  1   
x

4)
lim x1 log 3
 1
8) lim x  1  
x

x
 1
9) lim x  1  
x

x2
10)
3
 1
lim x 1  
x



x 3

x
 4
11) lim x  1   
x

3
 2
12) lim x  1  
x

3x
 2
lim x 1  
 x
3x
13)
14)
lim x0 (1  4 x)
1
lim x0 (1  3x)
2
15)
16)


x

x

 x 4
lim x 

 x 1 
 x2 1 

17) lim x   2
 x  3
x 3

x2

 2x  3 
18) lim x  
 
 2x  1 
ln(1  x)
19) lim x0

2x
ln(1  2 x)
20) lim x 0

3x
x
Respostas
1) 81
2) e2
3) e-12
4) -1
5) ln4
6) 0
7) e2
8) e1/3
9) e
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
e
e4
e6
e-6
e4
e-6
e-3
e4
e
½
2/3
Calcule os seguintes limites, usando a regra de L`Hospital:
a) lim
sen(5 x)
x
resp: 5
b) lim
sen(9 x)
sen(15 x)
resp:
x 0
x0
3
5
4
c) lim
x0
d) lim
x 0
sen(8 x)
sen(2 x)
sen( x)
resp: 4
resp: 0
7 x
e) lim
tg ( x)  sen( x)
x3
resp: ½
f) lim
sen( x)  sen(2)
x2
resp: cos(2)
x 0
x2
x  1  e2x
g) lim
x 0
2x
1  2 cos( x)  cos(2 x)
x 0
x2
resp: 3/2
h) lim
resp: -1
e sen( x )  1
i) lim
x  0 sen( 2 x )
resp: ½
1  tg ( x)
cos( x)  sen( x)
resp:
e 2 x2  1
e 5 x 5  1
resp: 2/5
x 2  3sen( x)
m) lim
x 0
x
resp: -3
j) lim
x

4
l) lim
x 1
n) lim
x 3
ln( x)  ln(3)
x3
2x  5x
o) lim
x  0 sen( 2 x)  sen( x)
p) lim
x 0
4  3x  4  5x
sen( x)
2
resp: 1/3
2
resp: ln  
5
3
resp: 4 ln  
5
16  3 x  16
x 0
ex 1
resp: 16 ln(3)
3 x2  9
ln( x  1)
resp: 9 ln(3)
q) lim
r) lim
x 0
5