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FÍSICA TEÓRICA
EXPERIMENTAL II
autora do original
LUCIANE MARTINS DE BARROS
1ª edição
SESES
rio de janeiro
2016
Conselho editorial regiane burger, luiz gil guimarães, roberto paes, gladis linhares
Autora do original luciane martins de barros
Projeto editorial roberto paes
Coordenação de produção gladis linhares
Projeto gráfico paulo vitor bastos
Diagramação bfs media
Revisão linguística bfs media
Revisão de conteúdo robson florentino
Imagem de capa focal point | shutterstock.com
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida
por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em
qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016.
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento
Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa
Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário
Prefácio
1. Mecânica dos Fluidos
9
11
1.1 Introdução
13
1.2 Densidade
14
1.3 Peso específico
16
1.4 Pressão
18
1.4.1 Introdução
18
1.4.2 Pressão em um fluido
19
1.4.2.1 Consequências do Teorema de Stevin
22
1.4.3 Medidores de Pressão
24
1.4.3.1 Pressão absoluta e Manométrica
25
1.4.3.2 Manômetros de tubo em U
27
1.4.4 Empuxo
29
1.4.5 Escoamento de um fluido
33
1.4.5.1 Equação da Continuidade
34
1.5 Atividade experimental I – Verificação da Massa
específica de objetos sólidos
38
1.5.1 Objetivos gerais
38
1.5.2 Material necessário:
38
1.5.3 Procedimento experimental:
39
1.6 Atividade experimental II – Verificação da Pressão que um corpo sólido
exerce sobre uma superfície plana
40
1.6.1 Objetivos gerais
40
1.6.2 Material necessário:
40
1.6.3 Procedimento experimental:
40
1.7 Atividade Experimental III – Princípio de Arquimedes (Empuxo)
41
1.7.1 Objetivos gerais
41
1.7.2 Material necessário:
41
1.7.3 Procedimento experimental:
42
1.8 Atividade Experimental IV – Densidade de líquidos
43
1.8.1 Objetivos gerais
1.8.2 Material necessário:
1.8.3 Procedimento experimental: Forma Direta
1.8.4 Forma Indireta (vasos comunicantes) –
Não utiliza nenhum dado obtido anteriormente
2. Oscilações e Ondas
2.1 Introdução
2.2 Movimento harmônico simples (MHS)
2.3 Energia mecânica do oscilador massa-mola
2.4 Oscilações amortecidas, forçadas e ressonância
2.4.1 Cinemática do MHS
2.5 Gráficos do MHS
2.6 Ondas
2.6.1 Introdução
2.6.2 Conceito de onda e definição de onda
2.6.3 Forma de propagação, dimensões e frente de ondas
2.6.4 Função de onda harmônica
2.6.5 Princípio da superposição- Interferência
2.6.6 Ondas estacionárias
2.6.6.1 Relação entre o comprimento de onda das ondas (l)
em cordas limitadas a um comprimento fixo (l).
2.7 Atividade experimental V – Estudo qualitativo e
quantitativo de ondas em uma cuba de ondas.
2.7.1 Objetivos gerais
2.7.2 Material necessário:
2.7.3 Introdução teórica
2.7.4 Procedimento Experimental
2.7.5 Montagem da cuba de onda
2.7.6 Comprimento da onda (γ)
2.8 Parte 2 – Reflexão Em Barreira Retilínea
2.8.1 Fundamentos Teóricos
2.8.2 Objetivos gerais
43
43
43
44
47
49
50
56
60
63
65
67
67
68
69
71
74
75
76
77
77
77
78
80
80
81
81
81
83
2.8.3 Material
2.8.4 Procedimento Experimental
2.9 Parte 1- Reflexão de pulsos retos em barreiras retilíneas
2.10 Parte II – Reflexão de pulsos circulares em
barreiras retilíneas
2.11 Atividade experimental VI - Vibrações num disco metálico Figuras de Chladni
2.11.1 Objetivos gerais
2.11.2 Material necessário
2.11.3 Procedimento experimental
2.12 Atividade experimental VII – Ondas sonoras:
Experimentos de Interferência e Ondas em Tubos.
2.12.1 Objetivos gerais
2.12.2 Material necessário:
2.12.3 Procedimento experimental:
3. Temperatura
3.1 Introdução
3.1.1 Equilíbrio térmico e temperatura
3.1.2 Termômetros e escalas de temperatura
3.1.2.1 3.3.1. Como relacionar as principais escalas
Kelvin, Celsius e Fahrenheit
3.1.3 Dilatação térmica
3.1.3.1 Dilatação Linear
3.1.3.2 Gráfico da dilatação linear
3.1.3.3 Dilatação superficial
3.1.3.4 Dilatação volumétrica
3.2 Atividade experimental VIII – Dilatação Térmica
3.2.1 Objetivos gerais
3.2.1.1 Material necessário:
3.2.1.2 Procedimento experimental:
83
83
83
85
86
86
87
87
88
88
88
88
91
93
94
95
98
100
102
103
106
107
110
110
110
110
4. Calor e as Leis da Termodinâmica
4.1 Introdução
4.1.1 Conceito de calor
4.1.2 Capacidade térmica, calor específico e de transformação
4.1.2.1 Caloria e calor específico da água
4.1.2.2 Calor de transformação
4.1.2.3 Transmissão de Calor
4.2 Primeira Lei da Termodinâmica
4.2.2.1 Transformação isobárica (Pressão Constante)
4.2.2.2 Transformação isocórica (Volume Constante)
4.2.2.3 Transformação isotérmica (Temperatura Constante)
4.2.1 Segunda lei da termodinâmica
4.2.1.1 Segunda lei da termodinâmica- Entropia
4.2.2 Máquinas térmicas e refrigeradores
4.2.2.1 Rendimento de uma máquina térmica
4.2.2.2 4.6.2 Refrigeradores
4.3 Atividade experimental IX –
A Transferência de Calor
4.3.1 Objetivos gerais
4.3.2 Procedimento experimental:
4.4 Atividade experimental X – Equilíbrio Térmico e Curva de
Aquecimento
4.4.1 Objetivos gerais
4.4.2 Material necessário:
4.4.3 Procedimento experimental
5. Óptica Geométrica
5.1 Introdução
5.2 Luz e fontes de luz
5.3 Propagação da luz e princípios da óptica geométrica
5.4 Reflexão da luz
5.4.1 Leis da Reflexão
5.5 Refração da Luz
113
115
118
119
122
122
124
132
133
134
135
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136
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139
141
142
142
142
147
147
147
148
151
153
154
155
157
157
158
5.5.1 Leis da Refração
5.6 Polarização da luz
5.7 Espelhos
5.7.1 Espelho plano
5.7.1.1 Imagens de um objeto entre dois espelhos planos
5.7.2 Espelho esférico
5.7.3 Espelhos esféricos de Gauss 5.7.4 Propriedades dos espelhos esféricos 5.7.5 Formação de imagens nos espelhos esféricos
5.8 Lentes esféricas
5.8.1 Tipos de lentes 5.8.2 Lentes Convergentes e Divergentes
5.8.3 Estudo analítico das lentes
5.8.3.1 Equação de Gauss para lentes
5.8.3.2 Aumento Linear Transversal
5.9 Atividade Experimental XI – Espelhos Planos
5.9.1 Objetivos:
5.9.2 Material Utilizado
5.9.3 Procedimento Experimental
5.10 Atividade Experimental XII – Espelhos Esféricos
5.10.3.1 Objetivos
5.10.1 Material Utilizado
5.10.2 Procedimento Experimental
159
162
164
164
166
167
168
168
168
171
172
173
174
174
176
177
177
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178
179
179
180
180
Prefácio
Prezados(as) alunos(as),
Bem-vindos à Física Teórica e Experimental II, seu livro de apoio aos seus estudos que foi estruturado em 5 capítulos, onde o conteúdo está dentro da Física
Clássica: Mecânica dos Fluidos, Oscilações e Ondas, Temperatura e Equilíbrio
Térmico, Calor e Leis da Termodinâmica e Óptica Geométrica.
Nosso intuito, é motivar e despertar em vocês a vontade e o prazer em ter
conhecimento científico. Tenham em mente que, todo processo de conhecimento é marcado por experiências, trabalhos, erros e acertos, e também muita dedicação.
No capítulo 1, apresentamos a Mecânica dos Fluidos dividida em
Hidrostática e Hidrodinâmica, no capítulo 2 conheceremos as Oscilações e
Ondas com os seus modos de vibração e seus fenômenos associados, estudaremos as ondas mecânicas, o oscilador harmônico, estudaremos as Oscilações
Amortecidas, forçadas e Ressonância, a equação fundamental das ondas e os
modos de interferência das ondas
Nos capítulos 3 e 4, mudamos radicalmente para falar de uma física cercada
de várias imposições para seus sistemas, a temperatura, as escalas principais
de temperatura, a capacidade térmica, o calor específico e o que é calor, suas
formas de transferências e transformações, tudo isso para entender melhor a
Termodinâmica com as suas Leis e processos, as máquinas térmicas quentes e
frias, a entropia e sua desordem.
No capítulo 5, fecharemos nosso estudo com os principais conceitos da óptica geométrica, discutiremos a característica ondulatória da luz como sendo
uma oscilação eletromagnética, as fontes de luz, das leis da reflexão, refração e
do fenômeno da polarização e terminaremos com espelhos e lentes esféricas.
Espero que de alguma maneira eu tenha conseguido apresentar a física
como uma ciência interessante e agradável, e que nossos objetivos sejam plenamente atingidos, felicidades e sucesso.
Dedique-se!
Bons estudos!
9
1
Mecânica dos
Fluidos
OBJETIVOS
• Destacar a importância da Mecânica dos Fluidos;
• Definir fluido;
• Definir densidade, massa específica e peso específico;
• Definir pressão absoluta e manométrica;
• Enunciar o Princípio de Stevin;
• Enunciar o Princípio de Pascal;
• Definir Empuxo;
• Enunciar o Princípio de Arquimedes;
• Deduzir Equação da Continuidade;
• Deduzir a Equação de Bernoulli.
12 •
capítulo 1
1.1 Introdução
Mecânica dos Fluidos é a parte da física que estuda os fluidos em repouso (hidrostática) e os fluidos em movimento (hidrodinâmica). Neste capítulo, vamos estudar as equações que nos permite conhecer e dimensionar
os fenômenos relacionados com fluidos. Voce sabe qual é o melhor lugar
para observar os efeitos da Mecânica dos Fluidos? Se você respondeu praia,
acertou! A praia é um lugar maravilhoso para observar o movimento das águas
provocado pela gravidade e por diferenças de pressão nas vizinhanças do
fluido e o escoamento da água que muda de laminar para turbulento quando as ondas se quebram.
Figura 1.1 – Praia. Fonte: http://www.agencia.se.gov.br
No cotidiano, nós bebemos, respiramos, mergulhamos em fluidos, e também sabemos que os mesmos sustentam aviões e fazem enormes navios
flutuarem. O que podemos chamar de fluido? Temos a seguir a definição de
dois autores:
• 13
capítulo 1
CONCEITO
Denomina-se fluido qualquer substância que pode fluir; o termo pode ser usado para um gás
ou para um líquido.
Fluido é uma substância que não tem forma própria, assume o formato do recipiente.
Os gases se deixam comprimir e por este motivo surgem enormes aplicações que são estudadas em uma área específica chamada pneumática, e os
líquidos são quase incompressíveis, salvo algumas exceções, e é por isso que
temos inúmeras aplicações estudadas na hidráulica.
Para se entender o comportamento dos fluidos em repouso (hidrostática), analisaremos situações de equilíbrio, baseadas nas leis de Newton, mais
especificamente a primeira e terceira leis. O estudo dos fluidos em movimento
(hidrodinâmica) é bem mais complexo, mas felizmente podemos usar as leis
de Newton e a lei da conservação da energia.
1.2 Densidade
Todo material tem uma propriedade chamada densidade, vamos utilizar a letra
grega r (rô) para densidade. A densidade r de um material homogêneo é a relação entre a sua massa m e o volume V que ocupa. A densidade se confunde
com outro conceito a de massa específica. Vale a pena esclarecer esta diferença.
A massa específica é relacionada à substância que constitui certo objeto de que
estamos falando, que é definida pela razão entre a massa de substância e o volume desta amostra. Equação 1.
Material homogêneo significa que em todos os pontos de sua extensão possuem as mesmas propriedades, incluindo densidade.
ρ=
14 •
m
v
capítulo 1
(1)
A massa específica (m) é relacionada à substância que constitui certo objeto
de que estamos falando, que é definida pela razão entre a massa da substância e o volume desta amostra. Assim, para obter a massa específica
de certa substância, é necessário subtrair o volume da parte oca do volume
ocupado pelo objeto.Equação 2.
µ=
massa
Volumeobjeto − Volumeparteoca
(2)
ATENÇÃO
Estes dois conceitos se confundem, uma vez que objetos maciços terão igual valor para
densidade e massa específica. Entretanto, objetos ocos ou porosos apresentarão diferentes
valores para densidade e massa específica, haja vista que o volume ocupado pelo objeto
não é equivalente ao volume de matéria que o constitui.
COMENTÁRIO
Densidade é uma característica do corpo, independe de sua forma e só é igual a massa específica se o corpo for homogêneo.
CURIOSIDADE
O material mais denso encontrado na superfície terrestre é o Ósmio (r = 22,5x103 kg/m3),
porém é muito pequena se comparada com a densidade de estrelas de neutrôns entre outras.
A unidade de densidade no S.I é o kg/m3,, mas também é muito utilizada as unidades do
sistema CGS, grama por centímetro cúbico g/cm3.
Fator de conversão 1g = 103 kg
cm3
m3
• 15
capítulo 1
A tabela 1.1 a seguir mostra a densidade de algumas substâncias comuns.
MATERIAL
DENSIDADE (kg/m3)
MATERIAL
DENSIDADE(kg/m3)
Ar
1,20
Ferro, aço
7,8x103
Álcool Etílico
0,81x103
Latão
8,6x103
Benzeno
0,90x103
Cobre
8,9x103
Gelo
0,92x103
Prata
10,5x103
Água
1,00x103
Chumbo
11,3x103
Água do mar
1,03x103
Mercúrio
13,6x103
Sangue
1,06x103
Ouro
19,3x103
Glicerina
1,26x10
Platina
21,4 x103
Concreto
2x103
Anã Branca
x1010
Alumínio
2,7x103
Estrelas de Nêutrons
x1018
Tabela 1.1 – Densidade de algumas substâncias comuns.
1.3 Peso específico
Peso específico (g) é o peso do fluido por unidade de volume, ou seja,
γ=
m⋅g
V
em unidades do SI Newton/m3 = N/m3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em um recipiente mistura-se um volume V1 de um líquido de densidade r1 com um volume V2 de outro líquido de densidade r2. Determine a densidade da mistura, admitindo que
não haja diminuição de volume devido a mistura.
16 •
capítulo 1
Figura 1.2 – rmistura = ?
Resolução:
A densidade da mistura é dada por: ρ =
m
V
Como m = m1 + m2, temos: m= r1 V1 + r2 V2
O volume total é V= V1 + V2 Então, a densidade é:
ρ=
( ρ1V1 + ρ2V2 )
V1 + V2
ATIVIDADES
01. A nata do leite apresenta densidade de 865 kg/m 3 quando pura e constitui 2% do
volume do leite. Qual a densidade do leite desnatado, sabendo que sua massa é de 1,052 kg?
02. Escreva a expressão do peso de um corpo em função de sua densidade r seu volume V
e da aceleração da gravidade g*.
• 17
capítulo 1
03. Um cubo de ouro tem 1 cm de aresta. Calcule a massa do cubo. Consulte a densidade
do ouro na tabela 1.
04. Calcule o peso específico da água e do mercúrio. Considere g = 10m/s2
05. Ache a massa e o peso do ar no interior de uma sala com altura 2,80m, 7,00 m
de comprimento e 10m de largura. Qual seria a massa e o peso de um igual volume
de água?
1.4 Pressão
1.4.1 Introdução
O conceito de pressão está vinculado ao conceito de força, mas são grandezas
físicas completamente diferentes.
Quando aplicamos uma força F em uma área A, conforme na figura abaixo:
F
A
A força F terá duas componentes, uma perpendicular (FN) e outra tangencial
(Ft) à área A. No nosso curso vamos nos concentrar na componente normal (FN)
que dá origem a Pressão de Compressão, deixando a componente tangencial
(Ft), cisalhamento, para Resistência dos Materiais.
F
Ft
* letras em negrito representam grandezas vetoriais
18 •
capítulo 1
FN
A
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em um jogo de Biribol (Volei praticado dentro de uma piscina), um atleta ao impulsionarse verticalmente para cima com os dois pés apoiados em uma área de aproximadamente
3x10–2 m2 exerce uma força de 784N. Qual a pressão exercida neste movimento dos pés do
atleta? Considere g = 9,8 m/s2. A força exercida ao impulsionar é FN =784N
P=
FN
F
784
⇒P = N =
= 26,133 kPa
A
A 0, 03
1.4.2 Pressão em um fluido
Quando um fluido está em repouso, ele exerce uma força perpendicular
sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, tal como as paredes
de uma piscina ou nas paredes internas de garrafas e em corpos submersos, o
fluido exerce uma pressão P em todos os pontos da superfície A , definida como:
P=
FN
A
Onde FN é a força que o fluido exerce perpendicularmente às paredes do
recipiente que o contém sobre a área A. A unidade de Pressão no SI é N/m2 = 1
Pa (Pascal)
FN
A
Figura 1.3 – A água de uma piscina exerce pressão na parede da piscina.
A Pressão Atmosférica, Patm, é a pressão exercida pela atmosfera terrestre, é
influenciada com as condições do tempo e com a altitude. A Pressão atmosférica normal no nível do mar 1 atm equivale a 101 · 325 Pa ou
1atm = 1,01 · 105 Pa
• 19
capítulo 1
A pressão atmosférica em grandes altitudes é menor do que a pressão atmosférica ao nível do mar e é maior quando mergulhamos. Como a pressão
está relacionada com a elevação ou depressão de um local? Considere um fluído com densidade r , queremos descobrir a diferença de pressão entre dois
pontos 1 e 2, por exemplo:
1
ρ
h
2
Mentalmente, vamos destacar um cilindro no fluido que está em equilíbrio, está em repouso
F1
Peso
F2
Análise do equilíbrio:
• Na horizontal as forças se anulam, pois tem o mesmo módulo, direção, mas sentidos contrários.
• Na vertical agem as forças na tampa superior do cilindro F1, a força na
tampa inferior do cilindro F2 e a força peso do fluido.
No equilíbrio: S Forças = 0
F1 + Peso – F2 = 0
20 •
capítulo 1
(3)
ATENÇÃO
(Observação: a resultante aponta no sentido de F1 e Peso)
Da equação (2) tiramos que: F1 = p1 · A e F2 = p2 · A. Substituindo na equação (3)
p1 · A + m · g + p2 · A = 0 onde peso = m · g
(4)
mas m=r · V onde r= densidade e V=volume, substituindo em (4), temos:
p1 · A + · V g + p2 · A = 0
(5)
mas V = Volume = A · base h, substituindo em 5, temos p1 · A+ r · A h g + p2 · A = 0
Podemos cancelar a Área pois em todos os termos ela está multiplicando, chegamos
a equação (6).
p1 ⋅ A + ρ ⋅ Ahg + p2 ⋅ A = 0
p1 + r · h g + p2 = 0
p2 – p1 = r · h g
(6)
A Equação 6 é conhecida como Teorema de Stevin.
CONCEITO
Teorema de Stevin diz que a diferença de pressão entre dois pontos de uma mesma
massa fluida homogênea (densidade constante), em equilíbrio sob a ação da gravidade, é
igual ao produto da densidade do fluido pela aceleração da gravidade e pela diferença de
profundidade entre os pontos:
MULTIMÍDIA
Saiba mais sobre a vida de Stevin:
http://geocities.ws/saladefisica9/biografias/stevin.html
• 21
capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Princípio de Stevin- Em um recipiente, colocam-se dois líquidos imiscíveis cujas densidades são r1 = 800 kg/m3 e r2 = 1.200 kg/m3. Considerando a pressão atmosférica no local
igual a 1,01 x 105 Pa, determine:
A
ρ1
ρ2
a)
a pressão no ponto A;
b)
a pressão no ponto B;
c)
a pressão no ponto C.
3m
B
C
1m
Resolução:
a)
A pressão no ponto A é a pressão atmosférica:
PA = Patm = 1,01 x 105 Pa
b)
A pressão no ponto B é a pressão atmosférica acrescida da pressão devida à coluna do
líquido 1.
PB = 1,01 x 105 + r1 g h1 = 1,01 x 105 + 800 · 9,8 · 3 = 124,520 kPa
c)
A pressão do ponto C é a pressão no ponto B acrescida da pressão devida ao líquido 2.
PC = PB + r2 g h2 = 124,520 kPa + 1200 · 9,8 · 1= 136,280 kPa
22 •
capítulo 1
1.4.2.1 Consequências do Teorema de Stevin
Se aumentarmos a pressão p1 na superfície do fluido, a pressão p 2 aumenta de
um valor exatamente igual.
Lei de Pascal: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente
é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as
paredes do recipiente.
O Princípio de Pascal é aplicado no funcionamento dos elevadores hidráulicos (figura 1.4) e prensas hidráulicas.
A pressão aplicada em uma área pequena (A1) é transmitida integralmente
pelo fluido hidráulico através dos tubos até um pistão maior (A2).
F1
A2
A1
F2
Fluído hidráulico
Figura 1.4 – Princípio de funcionamento de um elevador hidráulico, uma aplicação da Lei
de Pascal.
P
=
F1 F2
=
A1 A 2
• Em um fluido em equilíbrio a pressão é igual para todos os pontos
situados na mesma horizontal, já que não existe desnível entre eles.
• 23
capítulo 1
Princípio dos vasos comunicantes. (Figura 1.6)
A
B
C
D
Figura 1.5 – Vasos comunicantes.
Os pontos A, B, C e D estão na mesma horizontal, a forma do recipiente não
altera a pressão, por isso:
PA = PB = PC = PD
Se um líquido está em equilíbrio, sua superfície livre é horizontal
1.4.3 Medidores de Pressão
A Pressão atmosférica é medida com um aparelho chamado barômetro (figura 1.7) do século XVII inventado por Torricelli [2], figura 1.7a e um barômetro
atual figura 1.7b.
Experimento
de Torricelli
Vacío
Mercúrio
Altura de
la columna
de mercurio
(76 cm)
Tubo
de vidro
Cubeta
(a)
Figura 1.6 – Modelos de Barômetros.
24 •
capítulo 1
(b)
Segundo Torricelli, a pressão atmosférica é igual à pressão exercida por uma
coluna de mercúrio de 76 cm, ou por uma coluna de água de 10,3m.
A pressão quando vamos calibrar pneus nos postos e em geral é medida com
um aparelho chamado de manômetro figura 1.7, nestes encontramos outras
unidades de pressão, como quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/
cm2) , libra-força por polegada quadrada (lib/pol2) e bar.
1 bar equivale a 105 Pa.
1.4.3.1 Pressão absoluta e Manométrica
Quando enchemos um pneu com ar, estamos fazendo com que a pressão no
interior seja maior do que a pressão atmosférica, caso contrário este continuaria murcho. Quando dizemos que a pressão de um pneu é “4 atm”, queremos
dizer que o ar no interior do pneu possui uma pressão total de 5 atm.
Chamamos o excesso de pressão acima da atmosférica de pressão manométrica e a pressão total denomina-se pressão absoluta.
EXEMPLO
Cálculo da pressão manométrica e da pressão absoluta. Um sistema de aquecimento de
água aproveitando a energia solar usa painéis solares sobre um telhado situado a uma altura
de 12,0 m acima do tanque de armazenamento. A pressão da água no nível dos painéis
é igual a uma atmosfera. Qual é a pressão no tanque? Qual é a pressão manométrica?
Solução de acordo com a equação (6), a pressão absoluta é
p = p1 + rgh
Onde p1 = pressão atmosférica = 1,01 x 105 Pa
p = p1 + r · h g
p = 1,01 x 105 + 1.000 · 9,8 · 12 = 2,19 x 105 Pa
A pressão manométrica é:
p – p1 = 2,19 x 105 – 1,01 x 105 = 1,18 x 105 Pa
• 25
capítulo 1
O manômetro da figura 1.8 é chamado de manômetro metálico ou de
Bourdon. Ao ligar o manômetro pela tomada de pressão, o tubo fica internamente submetido a uma pressão P que o deforma, havendo um deslocamento
de sua extremidade que, ligada ao ponteiro por um sistema de alavancas, relacionará sua deformação com a pressão do reservatório.
A leitura do manômetro quando este está exposto a pressão atmosférica é
chamada de leitura na escala efetiva de pressão.
Pmanômetro = Pressão Entrada – Pexterna ao manômetro
Pressão
externa
200
300
400
500
100
0
Pressão
externa
600
Pressão
externa
Pressão
externa
Pressão entrada
Figura 1.7 – Manômetro Metálico.
No caso da figura abaixo a pressão mostrada no manômetro, sendo que p1 é
a pressão de entrada no tubo metálico e p2 é a externa ao tubo.
p2
p1
Pmanômetro = p1 – p2
26 •
capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine a leitura dos manômetros A, B, C e D. Considere Patm = 1,013 x105.
A
79kPa
B
D
patm
45kPa
C
Calculando para o manômetro A
Pmanômetro = p1 – p2
PA= 45k – 1,013 x 105 = – 56,3 KPa
PB = 45k – 79k = –34kPa
PC = 79k – Patm = – 22,3 kPa
PD = Patm – 45k = 56,3 kPa
1.4.3.2 Manômetros de tubo em U
A figura 1.9 mostra manômetros de tubo em U. Na figura 1.9(a) e 1.9(b), são os
manômetros abertos e os chamados diferenciais, respectivamente. Este manômetro é útil quando temos leituras de pressões manométricas negativas.
A
h2
h1
A
fluido
monométicro
(a)
B
(b)
Figura 1.8 – Exemplos de Manômetros em tubo U.
• 27
capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule a pressão no reservatório (PA). Considere g = 9.8 m/s2, h1=5 cm e h2= 7cm
3
3.
Dados: rHg = 13.600 kg/m rágua = 1.000 kg/m
PA = ?
A
Água
A
h2
h1
Mercúrio (Hg)
fluido
monométicro
Resolução:
Aplicamos a condição equilíbrio para um fluido estático
Pfe = Pfd
(1)
Pfe = Pressão no fundo do lado esquerdo = PA + rágua g h1
Pfd = Pressão no fundo do lado direito = Patm + rHg · g h2
Substituindo em (1), temos:
PA + rágua g h1 = Patm + rHg · g h2
PA = Patm + rHg · g h2
rágua g h1 ⇒ PA = 1,01 x 105 + 13.600 · 9,8 0,07 – 1.000 · 9,8 0,05
PA = 92,160 kPa
ATENÇÃO
Pontos que estão a uma mesma altura como consequência do Teorema de Stevin, tem a
mesma pressão. No exercício anterior a linha pontilhada inferior indicam estes pontos no
fluido mercúrio tanto do lado esquerdo quanto no lado direito do tubo por isso, vão se cancelar.
28 •
capítulo 1
1.4.4 Empuxo
Quando estamos em uma piscina ou no mar, sentimos não somente os efeitos
do aumento da pressão sobre nosso corpo quando mergulhamos, mas também observamos que podemos flutuar (boiar) na superfície, isso devido ao
fato que nosso corpo possui uma densidade menor que a da água. Quando
mergulhamos um corpo em um líquido, aparentemente seu peso diminui, e
em certas situações o corpo flutua, quando o seu peso é totalmente anulado. A
explicação para isso é que existe naturalmente uma força vertical de baixo para
cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, chamada empuxo.
Arquimedes, na Grécia antiga, estabeleceu experimentalmente que:
Um corpo mergulhado em um fluido em equilíbrio recebe uma força vertical de baixo
para cima chamada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso (W) do fluido deslocado pelo corpo.
volume de água
deslocado na cuba
corresponde ao volume
da coroa
E
w
• 29
capítulo 1
MULTIMÍDIA
Para saber mais sobre a fascinante história de Arquimedes
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1404
Podemos encontrar uma equação matemática para o princípio de
Arquimedes, considerando que o fluido tem densidade constante.
E = Wfluido , onde
Wfluido = Peso do fluido deslocado E = rfluido Vfluido g
Situações:
• Corpo Totalmente imerso, o volume do fluido deslocado (Vfluido ) é o volume do próprio corpo (VC)
VC
Vfluido
• Corpo Flutuando, o volume do fluido deslocado é igual à parcela do corpo
que se acha imersa.
V
30 •
capítulo 1
fluido
EXEMPLO
Corpo Imerso: Uma coroa de massa 150g e volume V = 90 cm3 é mergulhado em água. Qual
2.
o peso aparente da coroa dentro do líquido? g = 9,8 m/s
E
w
O peso aparente da coroa é a força resultante entre seu peso e o empuxo exercido
pelo líquido.
Wap = W – E
W = 150 · 10–3 · 9,8 = 1,47 N
E = rfluido Vfluido g = 1.000 · 90 · 10–6 · 9,8 = 0,882 N
Wap = 1,47 – 0,882 = 0,59 N
Um bloco de metal é mergulhado em um recipiente contendo mercúrio. Sabendo que a densidade do metal é de 7,8 x103 kg/m3 e a do mercúrio é 13.600 kg/m3, determine que porção
do volume do bloco ficará submersa no mercúrio.
E
VHgdeslocado
w
W = peso do bloco
Vb ´= volume do bloco
• 31
capítulo 1
O peso do bloco é dado por:
W= rbloco Vbloco g = 7,8 · 103 · Vb · g
O empuxo exercido pelo mercúrio é dado por:
E = rHg VHg g = 13.600 · VHg g
Estando o bloco em equilíbrio, podemos escrever:
E=W
13.600 · VHg g = 7,8 · 103 · Vb · g
VHg = 0,57 Vb
COMENTÁRIO
Como o volume do mercúrio deslocado é igual ao volume do bloco que fica submerso,
podemos afirmar que a porção do volume do bloco que ficará submersa é 0,57 Vb , ou
seja, 57% do seu volume.
ATIVIDADES
Densidade
Considere g = 9,8 m/s2
01. Qual é a densidade do material do núcleo de um átomo de hidrogênio? O núcleo
-15
pode ser considerado uma esfera de 1,20.10
m de raio e de 1,67. 10-27kg de massa.
02. O ar tem densidade de 1,29 kg/m3 em condições normais. Qual é a massa de ar em
uma sala de dimensões 10 m X 8 m X 3 m?
03. Um bloco de metal flutua num recipiente de mercúrio, de modo que 2/3 do seu
3
volume ficam submersos. Sendo a densidade do mercúrio de 13,6 g/cm , qual a densidade
do metal?
04. A densidade do óleo é de 0,85 g/cm3.
32 •
capítulo 1
a)
Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900ml?
b)
Quantas latas de 900ml podem ser preenchidas com 180 kg de óleo?
05. Uma esfera de alumínio ocupa um volume de 150 cm3 e possui massa de 100 g.
06. Qual a densidade da esfera?
07. Colocada numa piscina cheia de água, ela flutuará ou não? Explique.
Pressão
01. O que acontece com a pressão exercida por um tijolo apoiado sobre uma mesa, se mudarmos sua posição de modo a apoiá-lo por uma das faces cuja área é um terço da anterior?
02. Quando um submarino desce a uma profundidade de 120 m, qual a pressão total a
que está sujeita sua superfície externa?
Dados: densidade da água do mar = 1030 kg/m3; pressão atmosférica = 1,01.105Pa;
03. O que é pressão atmosférica? A pressão atmosférica aumenta ou diminui com a altitude? Por quê?
04. Se não existisse pressão atmosférica, seria impossível tomar um refresco por
canudinho. Explique a afirmação.
05. Enuncie o princípio de Arquimedes.
06. Explique o que determina se um corpo sólido vai flutuar ou afundar num líquido.
07. Escreva a expressão matemática que determina o valor do empuxo que age num corpo
imerso num fluido. Especifique cada termo dessa expressão.
• 33
capítulo 1
1.4.5 Escoamento de um fluido
Estudar fluidos em movimento ( mar agitado, correnteza de um rio) é ainda
um grande desafio, pois não nos deparamos com situações simples (comportadas). Porém, a boa notícia é que podemos utilizar modelos idealizados simples dessas situações e isso, vem dando bons resultados. Na
disciplina, Fenômenos de Transporte o estudo do movimento dos fluidos é
mais aprofundado.
Para seguir no nosso estudo, precisaremos definir as condições
que utilizaremos:
Fluido Ideal: É aquele cuja densidade é constante, ou seja, incompressível.
E que não tem viscosidade.
Linha de escoamento: É também chamada linha de fluxo.
Tubo de escoamento Figura 9: Formato que as linhas de escoamento
formam ao atravessar seções imaginárias de áreas A e A’.
Fluido está em um escoamento estacionário: Escoamento que não depende
do tempo, é chamado também de permanente.
COMENTÁRIO
No escoamento estacionário todo elemento que passa através de um dado ponto segue
sempre a mesma linha de escoamento.
Linha de
escoamento
A
A’
Figura 1.9 – Um tubo de escoamento seção de área A e A’ delimitado por linhas
de escoamento
Escoamento Laminar: É quando as camadas finas ( lâminas) adjacentes ao fluido
deslizam uma sobre as outras e o escoamento é estacionário.
Escoamento turbulento: Escoamento que varia continuamente com o tempo, irregular
e caótico.
34 •
capítulo 1
1.4.5.1 Equação da Continuidade
A massa do fluido que passa pela seção de área A1 é a mesma que passa na
seção de área A2 (a massa se conserva), este fato determina uma relação importante chamada de equação da continuidade.
Considere o tubo de escoamento delimitado entre duas seções de áreas
A 1 e A2 , a velocidade do fluido na seção A1 chamamos de v1 e na seção de
área A2 de v2 o fluido tem densidade constante.
v1
m1
m2
v2
A
A
∆X2
∆X1
Onde Dx1 é o deslocamento do fluido com massa m 1 em um instante de
tempo dt e Dx2 é o deslocamento do fluido de massa m2 no mesmo instante
de tempo dt.
m1 = m2
r V1 = r V2
(1)
mas o volume V1 = A1 · Dx1 e V2 = A2 · Dx2, substituindo em (1), temos:
A1 · Dx1 = A2 · Dx2
mas Dx1 = v1 dt e Dx2 = v2 dt
A1 v1 dt = A2 v2 dt
Equação da Continuidade fluido incompressível
A1 v1 = A2 v2
(3)
O produto A.v é a vazão volumétrica m3/s 4.5.
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma importante equação na análise de escoamentos em sistemas de encanamentos, em usinas hidrelétricas e no vôo
de aeronaves, pois relaciona a velocidade do escoamento com a pressão em
pontos de diferentes alturas no fluido.
• 35
capítulo 1
Vamos considerar que o fluido seja incompressível e que esteja em escoamento estacionário conforme a figura a seguir:
v2∆t = s2
v1∆t = s1
P1
P2
P2
P1
A1
h2
A2
h1
Figura 1.10 –
Pela equação da continuidade o volume do fluido que passa nas diferentes seções é o mesmo, então V1= A1 s1 = A2 s2, calculando o trabalho total
realizado pelas vizinhanças sobre o fluido durante um intervalo de tempo t,
t = p1. A1 s1 - p2. A2 s2 = ( p1 – p2) V
(4)
ATENÇÃO
O sinal de menos no segundo termo da equação (4) é porque a força se opõe ao sentido
do deslocamento.
A variação total da energia cinética K durante o intervalo de tempo t,
K=
mv2
2
mas m = rV
K=
ρV ( v22 − v12 )
2
(5)
A variação da energia potencial U durante o intervalo de tempo t
U = m g h = rV g (h2 – h1)
36 •
capítulo 1
(6)
Substituindo as equações 4, 5 e 6 na equação do trabalho- energia t = K + U
( ρ1 − ρ2 ) V =
ρV ( v22 − v12 )
2
+ ρVg (h2 − h1)
podemos cancelar o volume e rearranjar
ρ1 − ρ2 =
ρ ( v22 − v12 )
2
+ ρg (h2 − h1)
(7)
A equação (7) é a Equação de Bernoulli, ela afirma que o trabalho realizado pelo
fluido das vizinhanças sobre uma unidade de volume do fluido é igual à soma das variações da energia cinética e da potencial.
Podemos expressar de uma maneira mais conveniente:
p1+ =
ρv12
ρv2
+ ρg h1 = p2 + 2 + ρg h2
2
2
Equação de Bernoulli
EXERCÍCIO RESOLVIDO
A água é descarregada de um tubo cilíndrico horizontal com uma taxa de 465 cm3/s. Em um
5
ponto do tubo onde o raio é 2,05 cm a pressão absoluta é igual a 1,60x10 Pa. Qual é o raio
do tubo em um ponto onde a pressão se reduz para 1,20x105 Pa?
Estratégia para usar Equação de Bernoulli
Comece identificando os pontos 1 e 2 mencionados na equação
1
2
Faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas:
Ponto 1
r1 = 2,05 cm = 0,0205 m p1 = 1,60 x105 Pa
Ponto 2
r2 = ?
p2 = 1,2 x105 Pa
• 37
capítulo 1
Importante:
Vazão em 1 = Vazão em 2 = 465 x10–6 m3 Podemos calcular a velocidade em 1
v1 =
Vazª o 465 ×10−6
= 0, 35 m/s
=
2
A
π ( 0, 0205)
ρv12
ρv2
+ ρg h1 = p2 + 2 + pg h2
2
2
h1 = h2 (tubo horizontal)
p1 +
ρv12
ρv2
+ ρg h1 = p2 2 + ρg h2
2
2
1.000v22
1
000
0
35
.
(
,
)2
1,60 105 +
= 1,20 ×105 +
2
2
v2 = 8,95 m/s
p1 +
Substituindo na equação para vazão, temos que o raio 2 (r2):
r=
vazª o
465 ×10−6
=
= 0,0041 m = 0,41 cm
πv2
π 8,95
1.5 Atividade experimental I – Verificação da
Massa específica de objetos sólidos
1.5.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Usar o micrômetro para medir o comprimento e o volume de objetos;
• Usar uma balança para medir a massa de objetos;
• Calcular a massa específica de objetos sólidos.
1.5.2 Material necessário:
• Objeto de diversos materiais (blocos de madeira, esferas de vidro ou aço,
bloco metálicos...)
• Micrômetro (detalhes na última página);
• Balança digital (usar balança de precisão e ± 0,1g).
38 •
capítulo 1
1.5.3 Procedimento experimental:
• Usando o micrômetro faça as medidas necessárias para se calcular o volume do objeto. Calcule e anote os valores obtidos na tabela abaixo;
• Usando a balança meça a massa do objeto e anote os valores obtidos na
tabela abaixo;
• Usando seus conhecimentos de geometria espacial, calcule o volume e a
densidade da esfera. Anote o valor obtido na tabela abaixo;
• Calcule a Incerteza da Densidade e anote na tabela abaixo.
2
2
 ∂f 
 ∂f 
σ f =   σ2x +   σ y + ...
 ∂x 
 ∂y 
2
2
 ∂f  2  ∂f 
σd = 
 σm +   σ v
 ∂v 
 ∂m 
VOLUME (CM3)
MASSA(G)
DENSIDADE (G/CM3)
INCERTEZA DA DENSIDADE (G/CM3)
OBJETO 01
OBJETO 02
Tabela 1.2 –
• 39
capítulo 1
1.6 Atividade experimental II – Verificação da
Pressão que um corpo sólido exerce sobre
uma superfície plana
1.6.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Usar o paquímetro para colher medidas do objeto a ser analisado;
• Calcular área de contato do objeto com superfície;
• Usar uma balança para medir a massa de objetos;
• Calcular a pressão exercida pelo objeto sólido na superfície plana.
1.6.2 Material necessário:
• Objeto de estudo (material que tenha, pelo menos, três superfícies diferentes. Pode ser um paralelepípedo);
• Paquímetro;
• Balança digital.
1.6.3 Procedimento experimental:
• Usando o paquímetro faça as medidas necessárias para se calcular a área
de contato do objeto com a superfície. Calcule e anote os valores obtidos na
tabela abaixo;
• Usando a balança meça a massa do objeto e anote os valores obtidos na
tabela abaixo;
• Usando seus conhecimentos de geometria espacial, calcule as três áreas
possíveis de contato para que haja equilíbrio. Anote o valor obtido na tabela abaixo;
• Calcule a pressão exercida pelo corpo sobre a base de apoio;
• Explique o fato da grande diferença entre os valores encontrados.
40 •
capítulo 1
ÁREA DE CONTATO (M2)
MASSA (KG)
FORÇA PESO (N)
PRESSÃO (N/M2)
Tabela 1.3 –
1.7 Atividade Experimental III – Princípio de
Arquimedes (Empuxo)
1.7.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Verificar as forças que atuam sobre uma porção de fluido em equilíbrio
com o resto do fluido.
• Comparar o peso real com o peso aparente de objetos submetidos ao e
mpuxo;
• Prever o volume necessário para que um copor flutue.
1.7.2 Material necessário:
• Dinamômetro
• Cilindro de nylon;
• Recipiente aparador;
• Paquímetro
• Água;
• Béquer;
• Suporte (tripé universal com kit pêndulo simples);
• Garra de jacaré.
• 41
capítulo 1
1.7.3 Procedimento experimental:
• Usando o paquímetro faça as medidas necessárias para se calcular o volume do cilindro. Calcule e anote os valores obtidos completando a tabela 1.4;
• Com o dinamômetro, meça o peso real (anote na tabela 1.5);
• Megulhe o cilindro no béquer com água e meça o peso aparente (anote na
tabela 1.5);
• Calcule o empuxo observado (E = PR – PA)
• Com o recipiente aparador, colha a quantidade de água ocupada por
todo o seu volume, meça seu peso, anote na tabela 1.6 e compare o valor
com os valores teóricos e experimentais do Empuxo e comprove o princípio
de Arquimedes. (E = Peso do volume deslocado)
DIÂMETRO (M)
RAIO (M)
ALTURA (M)
(VOLUME) (M3)
EMPUXO (N)
Tabela 1.4 – Dados teóricos.
PESO REAL (N)
PESO APARENTE (N)
EMPUXO (N)
Tabela 1.5 – Dados experimentais.
PESO DO RECIPIENTE (N)
PESO DO RECIPIENTE +
LÍQUIDO (N)
PESO DO LÍQUIDO (N)
Tabela 1.6 – Dados experimentais.
Proponha um mergulho do mesmo cilindro em outro líquido, de maior ou
menor densidade, e explique o que aconteceria.
42 •
capítulo 1
1.8 Atividade Experimental IV – Densidade
de líquidos
1.8.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Determinar a densidade de líquidos de forma direta e indireta;
• Determinar a densidade de líquidos através da lei de Stevin.
1.8.2 Material necessário:
• Sistema de vasos comunicantes
• Seringa de injeção ou funil;
• Óleo;
• Água;
• Corante;
• Balança digital;
• Provetas.
1.8.3 Procedimento experimental: Forma Direta
• Com a balança, verifique a massa das duas provetas;
• Acrescente água na proveta 1 e óleo na proveta 2;
• Verifique a massa das provetas, após o acréscimo dos líquidos;
• Verifique o volume ocupado pelos líquidos nas provetas;
• Calcule a densidade dos dois líquidos.
MASSA (G)
(PROVETA)
MASSA (G)
(CONJUNTO)
MASSA (G)
(LÍQUIDO)
VOLUME
(CM3)
DENSIDADE
(G/CM3)
ÁGUA
ÓLEO
Tabela 1.7 –
• 43
capítulo 1
1.8.4 Forma Indireta (vasos comunicantes) – Não utiliza nenhum
dado obtido anteriormente
• Acrescente água com corante no vaso comunicante e nivele-o para a água
esteja à mesma altura em todos os vasos.
• Com a seringa coloque um pouco de óleo em um dos ramos e anote na
tabela os valores de h1 e h2 (1a medida);
• Aumente a quantidade de óleo em seu respectivo ramo, determinando as
alturas e anotando os valores na tabela (2a medida);
• Através da equação de Stevin que iguala a pressão do óleo com a pressão
da água, calcule o valor da densidade do óleo nos dois casos.
(Dados da água: µ = 1 g/cm3)
• Em todas as determinações calcule as médias e os erros médios relativos
comparados aos valores tabelados.
µ2
h2
µ1
1
h1
2
Tabela 1.8 –
Nº MEDIDAS
1
2
Tabela 1.9 –
44 •
capítulo 1
H0 (CM)
H1 (CM)
H2 (CM)
(H1 - H0) CM
(H2 – H0) CM
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
YOUNG, H. D.; Freedman, R. A. FISICA II: Termodinâmica e Ondas. Editora Pearson Addison Wesley.
12 ed. 2003. Capítulo 14 ISBN 85-88639-03-3
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Prentice-Hall, 2008. Capítulo 2. ISBN 978-85 7605
182-4.
CHIQUETTO, M. J.; PARADA, A. A.; Física, Vol1, Mecânica. Editora Scipione: São Paulo, 1991
SALES, Vítor, Ensino de hidrostática através de atividades investigativas, 2012. (Dissertação
de Mestrado) – Instituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2012.
• 45
capítulo 1
46 •
capítulo 1
2
Oscilações e
Ondas
OBJETIVOS
• Estudar as causas da oscilação;
• Estudar o Movimento Harmônico Simples (MHS);
• Compreender Energia no MHS;
• Estudar Oscilações Amortecidas, forçadas e Ressonância;
• Definir Onda;
• Classificar Ondas quanto a natureza e formas de propagação;
• Descrever matematicamente as ondas;
• Definir período, frequência e amplitude;
• Definir a velocidade de propagação das ondas;
• Definir princípio da superposição;
• Compreender Interferência Construtiva e Destrutiva;
• Definir Onda Estacionária.
48 •
capítulo 2
2.1 Introdução
Neste capítulo, vamos estudar as oscilações e os movimentos que tem origem
em um movimento oscilatório (ondas). A importância de se estudar estes fenômenos está relacionada ao fato de que tudo oscila, desde os átomos em estruturas cristalinas até mesmo estruturas maiores como pontes, monumentos,
torres de energia, etc. Estudar sistemas com oscilações permite-nos entender
sistemas oscilatórios mais complexos, por exemplo o batimento cardíaco.
Desde as contribuições de Galileu até os nossos dias o estudo e pesquisa das
oscilações aumentou a compreensão da nossa própria visão de universo e da
constituição da matéria. O prêmio Nobel em física de 2015 foi atribuído a dois
pesquisadores, o japonês Takaaki Kajita e o canadense Arthur McDonald, pela
descoberta da oscilação dos neutrinos, o que demonstra que essas partículas
têm massa, fato de enorme relevância. A descoberta de ambos os físicos “mudou nossa compreensão do funcionamento mais profundo da matéria e pode
ser crucial para nossa visão do universo”. Vale a pena conferir no link abaixo a
matéria sobre essa pesquisa.
MULTIMÍDIA
http://brasil.elpais.com/brasil/2015/10/06/ciencia/1444125814_641821.html
As figuras abaixo mostram um movimento oscilatório bem comum na nossa
infância. Oscilar é se movimentar de um lado para outro. Qual é o tipo de oscilação de um balanço? Você vai descobrir ao longo do capítulo, vamos começar?
Figura 2.1 – Movimento oscilatório de um balanço.
• 49
capítulo 2
2.2 Movimento harmônico simples (MHS)
A palavra harmônico lembra-nos de harmonia que ligamos a consenso e ordem,
na música é a perfeita combinação de sons que tem origem em oscilações descritas matematicamente por funções chamadas harmônicas simples seno e cosseno.
Chamamos de Movimento Harmônico Simples (MHS) um movimento de
um ponto material que possui características bem simples e pontuais, ou seja,
o movimento do ponto material é unidimensional e o sentido da sua velocidade
se inverte periodicamente.
O sistema mais interessante que utilizamos para estudar o MHS é o sistema
constituído de um bloco de massa m preso em uma mola de constante elástica k,
esse sistema chama-se Oscilador Massa-Mola.
k
m
(a)
m
F
x
(b)
Figura 2.2 – Oscilador Massa - Mola.
O bloco de massa m está em repouso na posição (a), preso a uma mola de
constante elástica k sobre um plano horizontal sem atrito. Quando se aplica
uma força F desloca-se o bloco de sua posição de equilíbrio alongando a mola
(b), abandonando-o em seguida, ele passa a oscilar em trajetória retilínea.
Dessa forma, enquanto oscila, o centro de massa do bloco passa, contínua e
alternadamente, de posições de abscissa positiva para posições de abscissa ne
gativa. A origem desse movimento está na força elástica F , exercida pela mola.
Seu módulo varia de acordo com a lei de Hooke:
F = Kx
em que K é a constante elástica e x é o alongamento sofrido pela mola sob
a ação de uma força externa F exercida sobre a mola. Mas não é essa força a
causa direta do movimento; ele se deve à força de reação exercida pela mola
sobre o bloco.
50 •
capítulo 2
ATENÇÃO
A lei de Hooke leva em conta apenas a força externa exercida sobre a mola, não considera a
força de reação que a mola exerce sobre o agente que a traciona. [1]
Observe a figura 2.3, abaixo, em (a) deslocamos o bloco, alongando a mola para a direita
da posição de equilíbrio de um valor +A (Amplitude) e soltamos, o bloco tende a voltar para
a posição de equilíbrio, essa tendência é a mola exercendo sobre o bloco uma força que
chamamos restauradora, pois restaura a posição de equilíbrio do sistema.
Posição
Equilíbrio
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
–A
0
A
Figura 2.3 – Movimento do Oscilador Massa - Mola.
• 51
capítulo 2
Em (c) a mola está comprimida do mesmo valor (-A), mas a mola tende a
voltar sempre para a posição de equilíbrio, como em (d), mas o sistema tem
energia suficiente para alcançar a posição +A novamente (e), e ficar neste movimento oscilatório indefinidamente.
A linha tracejada vermelha indica o movimento do centro de massa do bloco no movimento oscilatório. Do ponto de vista da dinâmica, define-se movimento harmônico simples como o movimento retilíneo do ponto material de
massa m sujeito à ação de força resultante elástica restauradora. Assim, podemos escrever que a força resultante
FR = m ⋅ a = −Kx
m ⋅ a = −Kx
Que nos permite obter a expressão do módulo e sinal da aceleração do MHS:
a=−
K
x
m
(1)
A equação (1) é considerada a equação fundamental do MHS, pois estabelece condições que definem como movimento harmônico simples o movimento
de um ponto material como sendo:
• trajetória retilínea e posição descrita por uma única coordenada x.
• aceleração diretamente proporcional a essa coordenada.
Definem-se para o MHS mais duas grandezas, período e frequência, características dos movimentos periódicos. Para isso precisamos definir o que é uma
oscilação completa.
Vamos voltar a analisar a figura 2.4. Uma oscilação completa é quando o
bloco sai de uma posição e retorna a esta mesma posição.
52 •
capítulo 2
Situação inicial
Situação final
–A
Figura 2.4 – Oscilação completa.
A
0
O sistema massa-mola oscila entre as abscissas +A e -A diz-se que o centro
de massa do bloco efetua uma oscilação completa quando passa duas vezes sucessivas pela mesma posição com a mesma velocidade. Na situação inicial o
bloco está em +A vai até -A e retorna até a situação final em +A. Definimos então
para um bloco em MHS:
Frequência (f) de um ponto material em MHS é o número de oscilações
completas por ele efetuadas na unidade de tempo. No SI é dada em hertz (Hz)
Período (T) de um ponto material em MHS é o intervalo de tempo em que ele
efetua uma oscilação completa. No SI é medido em segundos (s).
Amplitude (A) é o módulo da abscissa de valor máximo,
A
– Xmáx
A
O
+ Xmáx
x
• 53
capítulo 2
A frequência e o período tanto no MCU e MHS são os mesmos, portanto
as equações:
=
T
1
1
=
e f
f
T
Como o ponto material no MHS não descreve ângulo algum a velocidade
angular (w) passa a ser chamada no MHS de frequência angular ou pulsação,
cuja a unidade no SI é radiano por segundo (rad/s). Portanto:
w = 2p f
A equação que vincula o MCU ao MHS é:
a = –w2 · x
então, da equação 1, obtemos que a frequência angular do sistema é:
K
m
1
Da expressão w = 2p f e da relação T = podemos obter as expressões da
f
frequência e do período do oscilador massa-mola.
ω=
f=
1 K
2π m
T = 2π
m
K
COMENTÁRIO
Note que as expressões de w, f e T são equivalentes e evidenciam uma característica importante desse sistema oscilante: essas grandezas não dependem da amplitude de oscilação,
mas apenas da mola e da massa do corpo.
54 •
capítulo 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um bloco de massa m =0,35 kg está preso a uma mola de constante elástica K=35 N/m.
Suponha que o bloco apoiado sobre um plano horizontal sem atrito, seja deslocado por um
agente externo 5 cm de sua posição de equilíbrio, como indica a figura abaixo, e solto, passando a oscilar.
k
m
m
F
x
Adotando como origem do referencial a posição de equilíbrio do bloco, determine:
a) a amplitude do MHS descrito pelo bloco.
b) a frequência angular, a frequência e o período desse movimento.
Resolução:
a) Deslocando 5 cm de sua posição de equilíbrio, o bloco vai se movimentar com essa
amplitude, portanto A = 5 cm = 0,05 m.
b) Sendo m = 0,15 kg e k = 35 N/m, a frequência angular é:
ω=
K
m
ω=
35
= 10 rad/S
0, 35
A frequência é:
f=
1 K
1
⇒f=
⋅10 = 1,59 Hz
2π m
2π
O período é:
1
1
T= ⇒T=
= 0,63 s
f
1,59
• 55
capítulo 2
2.3 Energia mecânica do oscilador
massa-mola
Para descobrir ou justificar como o sistema massa-mola entra em equilíbrio,
vamos voltar a figura:
–A
0
+A
Figura 2.5 – Oscilador Massa-Mola.
Quando deslocamos o bloco para a posição +A alongando a mola, realizamos
trabalho sobre o sistema e dessa forma fornecemos energia para o sistema, ele
adquiriu uma energia potencial elástica (cap 5, Física Teórica e Experimental I).
1
Epel = Kx 2
2
Depois de solto o sistema passou a oscilar como essa energia, transformando a energia potencial elástica Epel em energia cinética EC e vice-versa. Nesse
caso, a energia mecânica (EM) do oscilador massa- mola é dada pela expressão:
EM = Epel + Ec
Enquanto o sistema massa-mola oscila, há uma transformação contínua
da energia potencial elástica em cinética, e vice-versa, mas a energia mecânica
permanece constante. Quando o sistema está nas posições de alongamento ou
compressão máximas a energia potencial elástica coincide com a energia mecânica do sistema.
56 •
capítulo 2
Logo,
1
EM = KA 2
2
A Energia cinética nessas posições é zero é onde o bloco pára (velocidade
zero) para inverter seu movimento. Observe o gráfico figura 2.7, abaixo, ele
apresenta a Energia Mecânica em função da posição do bloco.
Em
Energia
Ep
Ec
–A
0
A
x
Figura 2.6 – Gráfico da Energia do oscilador massa-mola em função da posição. A curva
tracejada é a variação da Energia Cinética, a rosa representa a variação da energia potencial
elástica e a preta, a energia mecânica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
O gráfico energia cinética x posição, abaixo, é de um oscilador massa-mola de massa
m =0,20 kg.
EC (J)
–0,12cm
0,12cm
• 57
capítulo 2
Determine:
a) a amplitude e a constante elástica;
b) o módulo e sinais das velocidades máximas do bloco;
Resolução:
a) Deslocando 0,12 cm de sua posição de equilíbrio, o bloco vai se movimentar com essa
amplitude, portanto A = 0,12cm = 1,2 x10-3 m.
Pelo gráfico quando o oscilador passa pela origem temos Ec máxima que é a EM do sistema, então:
1
EM = KA 2
2
1
2 = K (1,2 ×10−3 )2
2
4
K=
= 2,7 ×106 N/M
(12
, ×10−3 )
b) A velocidade máxima corresponde a energia cinética máxima, que é igual à energia
mecânica, sendo a massa 0,20kg, temos:
Ecmáx =
v máx =
2
mv máx
2
2Ecmáx
m
=
2×2
= ±4,47 m / s
0,20
ATIVIDADES
01. A corda de um piano emite um dó médio vibrando com uma frequência primária igual a
220 Hz.
a)
Calcule o período e a frequência angular.
b)
frequência angular de um soprano emitindo um ‘’dó alto’’, duas oitavas acima, que é igual
a quatro vezes a frequência da corda do piano.
02. A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a
frequência angular e o período do movimento.
58 •
capítulo 2
03. Um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a
120 N/m. Verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,00 Hz.
a)
Calcule o período;
b)
A frequência angular;
c)
A massa do corpo.
04. Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é
igual a 140 N/m.
a)
Calcule o período;
b)
A frequência;
c)
A frequência angular.
05. A corda de um violão vibra com uma frequência igual a 440 Hz. Um ponto em seu centro
se move com MHS com amplitude igual a 3,00 mm e um ângulo de fase igual a zero.
a)
Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função de tempo.
b)
Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro
da corda?
c)
A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada ‘’arrancada’’.
06. A extremidade da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo do
eixo Ox com uma frequência igual a 2,5 Hz. Para t = 0 os componentes da posição e da
velocidade são +1,1 cm e -15 cm/s.
a)
Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0.
b)
Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do
ponto considerado em função do tempo.
07. Um bloco de massa m = 0,20 kg está preso a uma mola de constante elástica k = 5,0
N/m. Suponha que o bloco, apoiado sobre um plano horizontal sem atrito, seja deslocado por
um agente extremo 8,0 cm de sua posição de equilíbrio, como indica a figura abaixo, e solto,
passando a oscilar.
Adotando como origem do referencial a posição de equilíbrio do bloco, determine:
a)
a amplitude do MHS descrito pelo bloco;
b)
a frequência angular, a frequência e o período desse movimento.
• 59
capítulo 2
08. A expressão da aceleração do oscilador massa-mola é a = – ω2 · x. Qual o significado
desse sinal negativo? O bloco está sempre freando?
09. Quando o bloco de um sistema massa-mola passa pela origem, a força exercida pela
mola sobre ele é nula. Por que ele não para nessa posição?
10. Você dispõe de um sistema massa-mola em repouso. O que você deve fazer para que ele
oscile com maior ou menor energia? E com maior ou menor frequência? Explique.
2.4 Oscilações amortecidas, forçadas e
ressonância
Estamos admitindo que a energia mecânica do MHS se conserva, mas sabemos
que em situações reais isso não acontece, o oscilador perde energia com o passar do tempo através do atrito e da resistência do ar, o que resulta em oscilações amortecidas.
Nosso estudo sobre oscilações amortecidas, forçadas e ressonância será
mais do ponto de vista qualitativo, uma vez que a matemática das oscilações
amortecidas é muito complicada e será assunto das disciplinas de cálculo avançado e equações diferenciais. Em uma representação bastante simplificada, as
equações descrevem o decréscimo da amplitude com o tempo dessas oscilações, pois como vimos a energia é uma função direta da amplitude, melhor dizendo do quadrado da amplitude, observe a equação abaixo:
1
EM = KA 2
2
Oscilações Subcrítica: é a oscilação cuja amplitude reduz-se de acordo com
uma curva exponencial (tracejada) definida. Este tipo de oscilação é o mais comum na prática, pois a redução gradativa da amplitude é inevitável devido a
perda da energia mecânica. Movimento Harmônico Amortecido.
60 •
capítulo 2
x
A0
0
t
–A0
Figura 2.7 – (a) Modelo de um oscilador com meio amortecedor. (b) Gráfico da amplitude
linha tracejada decaindo exponencialmente com o tempo. Essa linha tracejada também é
chamada de envoltória.
Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, bem
como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as vibrações. figura 2.9.
Antivibrador
Figura 2.8 – Exemplo de oscilador amortecido.
Oscilação Crítica: Chama-se oscilação crítica quando o oscilador pára na
posição de equilíbrio, antes de completar a primeira oscilação, ele nem sequer
oscila e Oscilação Supercrítica é quando o oscilador não consegue chegar na
posição de equilíbrio. Estes casos, a redução drástica da amplitude é geralmente provocada artificialmente para evitar oscilações inconvenientes, como no
caso da raquete de tênis colocou-se o dispositivo com essa finalidade.
Existem sistemas que possuem dispositivos que compensam a perda de
energia em cada oscilação, o sistema é “forçado” a oscilar com uma amplitude
constante. Consequentemente, esses sistemas passam a executar oscilações
• 61
capítulo 2
forçadas. É desse modo que brincamos em um balanço: a cada oscilação pequenos impulsos são dados para manter a amplitude constante. As oscilações
dos tímpanos dos nossos ouvidos são oscilações forçadas, exercidas sobre esses sistemas oscilantes pelas ondas sonoras.
Todos os sistemas oscilantes possuem suas características próprias como
a massa e a constante elástica, isso confere aos sistemas uma frequência natural (f0) para o oscilador, porém um fenômeno interessante acontece quando as
oscilações forçadas coincidem com a frequência natural do sistema oscilante,
trata-se do fenômeno da ressonância.
Observe o gráfico da figura 2.10.
Amplitude
f0
f
Figura 2.9 – A frequência externa ( f ), das oscilações forçadas coincide com a frequência
natural (f0 ).
Quando a frequência externa (f), das oscilações forçadas coincide com a
frequência natural (f0), o sistema entra em ressonância com a fonte. A amplitude, então, pode atingir valores altíssimos, e isso depende da resistência do
sistema.
COMENTÁRIO
A ressonância possibilita a máxima transferência de energia entre a fonte excitadora,
que produz as oscilações forçadas, e o sistema oscilante daí sua importância na física e
nas engenharias.
62 •
capítulo 2
CURIOSIDADE
Um exemplo histórico do fenômeno de Ressonância foi a queda de uma ponte pênsil no
estreito de Tacoma (Washington-EUA) quando ventos soprando sobre a ponte provocaram
oscilações de ressonância que levaram à sua destruição em novembro de 1940, apenas 4
meses após ter sido inaugurada. Assista o impressionante vídeo no link abaixo sobre o episódio Ressonância-Tacoma.
https://youtu.be/dvRHK4yA8rc
Figura 2.10 – Ponte de Tacoma.
2.4.1 Cinemática do MHS
Na figura 2.12, a seguir, vemos um oscilador constituído de uma caneta presa
a mola em movimento oscilatório, em vermelho a caneta registra o movimento
oscilatório, já vimos até aqui , os conceitos de amplitude (A) e frequência angular (ω); vamos completar esses conceitos iniciais com o conceito de fase.
• 63
capítulo 2
x
A
Figura 2.11 – Mola com uma caneta.
Embora no MHS o ponto material (bolinha azul) não descreva ângulos, associa-se ao seu movimento a fase j, expressa em radianos, correspondente ao
ângulo descrito pelo ponto material (bolinha vermelha) em MCU.
Exemplo: Observe a figura abaixo:
MCU
1
C
MHS
–x
0
A
A
x
x
Quando o ponto material em vermelho, está em MCU, está na posição 1,
≠
a fase do seu correspondente ponto azul, no MHS, é j ?1 = rad, pois este é o
2
ângulo descrito pelo ponto material bolinha vermelha.
São funções cinemáticas do MHS:
1. A função da posição x em relação ao tempo t
x = A cos (ω t + j)
2. A função da velocidade v em função do tempo t
v = - A ωsen (ω t + j)
64 •
capítulo 2
3. A função da aceleração a em função do tempo t
a = - A ω2 cos (ω t + j)
4. A função da aceleração em relação a posição:
a = - A ω2
5. A função da velocidade em relação à posição:
v = ω A2 − x2
2.5 Gráficos do MHS
Acoplamos junto a um oscilador harmônico simples uma caneta que oscila
junto a uma folha de papel que se move uniformemente, enquanto ambos se
movimentam, vai se formar no papel uma figura (linha vermelha) que destacamos na figura 9. Obtemos assim os gráficos: posição (ou elongação) X tempo;
velocidade X tempo e aceleração X tempo. Que colocamos na figura 2.13.
x
Deslocamento
+ xm
Tempo (t)
0
– xm
T
v
–
xv
2x
8
+
Aceleração
t
0
8
Velocidade
8
+ xv
(a)
a
(b)
a
t
0
8
–
2x
a
(c)
Figura 2.12 – Gráficos MHS - deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo
com fase j =0.
• 65
capítulo 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. O gráfico posição X tempo, abaixo, é de um ponto material em MHS.
x (m)
4
0
1
4
1
2
3
4
t (s)
–4
Determine:
a) a amplitude e a fase inicial;
b) o período, a frequência e a frequência angular;
c) a função da posição (ou elongação) em relação ao tempo;
d) o módulo e sinais das velocidades e acelerações máximas;
Resolução:
a) O gráfico da posição em função do tempo mostra que, para t=0, x = -A. Portanto a
fase inicial é j0 = p rad (se tiver dúvida é só consultar o gráfico do cosseno)- note que, para
x= -A, o gráfico deve sofrer um deslocamento j para a direita). A amplitude se obtém por
leitura direta do gráfico A= 4m.
b) O período T é o tempo de uma oscilação completa. O gráfico mostra que, no instante
t=4s o ponto material passa novamente pela posição inicial, correspondente ao instante t=0.
1
, e frequência angular p = 2p f temos:
T
ω = 2p 0,25= 1,57 rad/s
Portanto o período T= 4 s e como a frequência f =
f = 0,25 Hz
e
c) x = A cos (ω t + j)
x = 4 cos (1,57t + j)
d) vmáx= ± Aω (Veja gráfico da velocidade figura 10)
vmáx= ± 4.1,57 = ± 6,28 m/s
amáx = ± Aω2 ( veja gráfico da aceleração figura 10)
amáx = ± 4 (1,57)2= 9,86 m/s2
02. Mostre a equação 5 partindo das equações 1 e 2, e lembrando da relação trigonométrica
sen2(pt +j) + cos2 (ωt +j) = 1.
66 •
capítulo 2
2.6 Ondas
2.6.1 Introdução
Em uma sala de aula do curso de engenharia civil, foi perguntado aos alunos o
que vinha a mente quando falamos a palavra onda. A maioria respondeu quase
que ao mesmo tempo que lembravam das ondas do mar em uma praia. Eu me
lembro da música de Lulu Santos,
Como Uma Onda - Lulu Santos
Nada do que foi será
De novo do jeito que já foi um dia
Tudo passa
Tudo sempre passará
A vida vem em ondas
Como um mar
Num indo e vindo infinito
….
A ideia cotidiana de onda está ligada a forma das ondas do mar, neste momento do estudo vamos falar desse novo tipo de movimento, em que a matéria
não se desloca, mas é suporte para o deslocamento de deformações que se propagam e transportam energia- o movimento ondulatório. [1]
Em dias chuvosos escutamos o trovão muito depois do clarão do relâmpago,
por que isso acontece? A resposta vai ser dada nas próximas seções.
Figura 2.13 – Descarga elétrica entre a nuvem e a terra.
• 67
capítulo 2
2.6.2 Conceito de onda e definição de onda
As ondas sonoras e luminosas têm naturezas diferentes. Esse é o primeiro foco
do nosso estudo, distinguir a natureza das ondas com relação ao seu meio
de propagação.
PERGUNTA
Mas o que seria uma onda?
Existem várias respostas, mas uma simples seria, uma onda, figura 2.15, surge quando
um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a perturbação pode se deslocar ou se
propagar de uma região para a outra do sistema. [2] Exemplos de fenômenos ondulatórios: o
som, a luz, as ondas do mar, a transmissão de rádio e televisão e terremotos. A= Amplitude e
l é chamado comprimento de onda, que vamos detalhar nas seções seguintes.
λ
A
Figura 2.14 – Onda com amplitude A e comprimento de onda l.
CONCEITO
Propagação vem da palavra propagar, que pode ser difundir, multiplicar, generalizar,
transmitir, entre outros, todos relacionados de alguma forma com um movimento.
Dependendo do meio de propagação e a natureza, as ondas são classificadas em:
Mecânicas, que necessitam de um meio para se propagar. Ondas em molas, na água, no
ar, ou em qualquer meio elástico que torne possível a sua propagação.
Exemplos de ondas mecânicas: O som, um pulso (perturbação) em uma corda ou mola.
Eletromagnéticas que não necessitam de um meio de propagação. Exemplos: A luz, as
ondas de rádio, a radiação infravermelha, a radiação ultravioleta, os raios X e os raios gama.
68 •
capítulo 2
CURIOSIDADE
Os cientistas que defendiam a natureza ondulatória da luz comparavam-na com o som,
reconhecidamente um fenômeno ondulatório que necessita de um meio para se propagar,
por isso viam a necessidade da existência de um meio vibratório, através do qual a luz se propagaria, pois sem esse não entendiam de que forma a luz das estrelas chegava até a Terra.
A esse meio deram o nome de éter. Acesse o link para saber mais!
http://www.cdcc.usp.br/fisica/Professores/Einstein-SHMCarvalho/node10.html
2.6.3 Forma de propagação, dimensões e frente de ondas
As ondas também podem ser classificadas quanto a direção de vibração:
Ondas longitudinais
Ondas transversais
Figura 2.15 – Ondas longitudinais e transversais.
No exemplo da figura 2.16 vemos que:
Longitudinal – vibra na mesma direção de propagação. Ex.: ondas sonoras
e em uma mola;
Transversal – vibra perpendicularmente à direção de propagação. Ex.: ondas na superfície da água, na corda e ondas eletromagnéticas.
• 69
capítulo 2
ATENÇÃO
A rigor a palavra transversal não significa perpendicular, mas é aceitável utilizar a palavra com
este significado.
Nos exemplos da figura 2.16, as ondas são unidimensionais porque é possível determinar a posição da frente da perturbação, chamada frente de onda, por meio de um único eixo
de coordenadas; nas ondas unidimensionais a frente de onda é um ponto material.
Dependendo do formato da frente de onda, as ondas podem ser: unidimensional, bidimensional e tridimensional.
Unidimensional: quando se propaga em apenas uma direção, por exemplo, a propagação de uma onda em uma corda (figura 2.16).
Bidimensional: quando se propaga em duas direções como, por exemplo, ao longo de
uma superfície como a água. As ondas bidimensionais possuem frentes de onda uma curva
plana com raio de curvatura r (figura 2.17).
c
r
Frente da Onda
Figura 2.16 – Onda bidimensional e sua frente de onda em amarelo ampliada.
Tridimensional: quando a onda se propaga no espaço, ou seja, em três direções como,
por exemplo, as ondas que são produzidas pelas fontes sonoras e luminosas. Assim como
as ondas bidimensionais, as ondas tridimensionais também se classificam de acordo com
as frentes de onda, podendo ser classificadas como planas ou esféricas. A frente de ondas
tridimensionais é sempre uma superfície.
70 •
capítulo 2
COMENTÁRIO
Christian Huygens (1629-1695), no final do século XVII, propôs um método de representação
de frentes de onda, onde cada ponto de uma frente de onda se comporta como uma nova fonte de ondas elementares, que se propagam para além da região já atingida pela onda original
e com a mesma frequência que ela. Sendo esta ideia conhecida como Princípio de Huygens.
frente de onda em t2
frente de onda em t1
Fonte
2.6.4 Função de onda harmônica
Chamamos onda harmônica àquelas produzidas por um dispositivo capaz de
produzir oscilações regulares (pulsos), de período constante. Essa série contí-
• 71
capítulo 2
nua de pulsos é chamada de trem de ondas periódicas. Vamos voltar a analisar
essas ondas harmônicas simples, definindo suas características:
(pico)
B
F
C
E
I
G
A
(vale)
D
H
λ (comprimento de onda)
Figura 2.17 – Onda periódica.
• Os pontos B e F são chamados picos ou crista da onda.
• Os pontos D e H são chamados vale ou depressão da onda.
• l é o comprimento da onda e é a distância entre dois picos ou cristas sucessivas.
O período T para essa onda corresponde ao mesmo tempo que um ponto da
corda levaria para percorrer do ponto A até o ponto E, ou seja, um comprimento
de onda (l)
Com isso podemos deduzir a velocidade de propagação para a onda:
v=
mas lembrando que T =
então:
v=lf
λ
T
1
f
(1)
A equação 1 é conhecida como equação fundamental das ondas!
Quando a fonte é harmônica simples, o período e a frequência são constantes, a velocidade de propagação na onda também é constante, pois depende
72 •
capítulo 2
apenas do meio em que ela se propaga, pode-se demonstrar por análise dimensional (Disciplina Fenômenos de Transportes I) que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda é dada por:
F
v=
µ
onde F é a força tensora na corda e m a sua densidade linear.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma fonte oscilante harmônica simples gera um trem de ondas em uma corda de densidade
linear m =0,20 kg/m, tracionada pela carga de massa 10 kg. A figura mostra a distância
entre dois pontos sucessivos em que essa corta o eixo x. Determine:
a) a velocidade de propagação dessa onda;
b) a frequência de oscilação da fonte.
Fonte
0,2 m
Resolução:
a) O módulo da tração na corda é igual ao peso W = m ⋅ g = 10 ⋅ 9,8 = 98 N sendo
F
m =0,20 kg/m, da expressão v =
, temos:
µ
98
F
v=
=
= 22,14 m/s
µ
0,20
b) Pode-se concluir da figura que o segmento representado é metade do comprimento
de onda da onda. Logo o comprimento de onda dessa onda é:
l =2.0,2=0,4m
Portanto v = l f
22,14 = 0,4 f ⇒ f =55,35 Hz
Essa é a frequência da onda igual à frequência da fonte.
• 73
capítulo 2
2.6.5 Princípio da superposição- Interferência
Existem situações em que em uma mesma corda são gerados dois pulsos em
extremidades opostas, como mostra a figura abaixo:
interferência construtiva
Figura 2.18 –
Vemos pela figura que neste caso durante o cruzamento, a ordenada de
cada ponto do pulso resultante é a soma algébrica das ordenadas de cada um
dos pontos que se cruzam nesse instante. Essa afirmação denomina-se princípio da superposição.
CONCEITO
O princípio da superposição expressa o fato de que pulsos ao contrário de partículas não
alteram suas características quando interagem.
Chamamos de interferência figura 2.20 ao fenômeno e à configuração resultante dessa soma algébrica das coordenadas de cada ponto. Na figura acima temos uma interferência
construtiva, pois a amplitude foi aumentada (a).
interferência construtiva
interferência devstrutiva
interferência construtiva
interferência devstrutiva
(a)
74 •
capítulo 2
(b)
interferência construtiva
interferência devstrutiva
Figura 2.19 – Interferência Construtiva (a) e Interferência Destrutiva (b).
Na interferência destrutiva a amplitude se reduz. A interferência e o princípio da superposição podem ser entendidos como consequência do princípio da conservação da energia.
2.6.6 Ondas estacionárias
Uma situação importante acontece, quando as duas ondas idênticas se propagam ao longo da mesma direção, mas em sentidos opostos. O padrão formado
é chamado onda estacionária, que é o resultado da superposição de duas ondas
de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos. figura 2.21.
V
A
B
N
V
Figura 2.20 – As ondas se refletem em extremidades fixas A e B e voltam no sentido oposto. A interferência entre a onda incidente e a onda refletida pode gerar ondas estacionárias.
A letra N indica os pontos onde a oscilação é mínima- chamada nó. A letra V
indica regiões onde a oscilação é máxima chamada ventre.
EXEMPLO
A figura representa uma configuração de ondas estacionárias em uma corda, vibrando com
frequência de 400 Hz. Determine:
a) o comprimento de onda das ondas componentes dessa configuração.
b) a velocidade de propagação na corda das ondas componentes dessa configuração.
• 75
capítulo 2
60 cm
A
B
Resolução:
a) Observamos 4 ventres então temos dois comprimentos de onda em 60 cm = 0,60 m,
ou seja:
2l = 0,60
l = 0,30m
b) Sendo f = 400 Hz podemos usar a equação fundamental das ondas:
v=lf
v = 0,30 · 400=120 m/s
2.6.6.1 Relação entre o comprimento de onda das ondas (l) em cordas limitadas
a um comprimento fixo (l).
Fundamental
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
l
76 •
capítulo 2
Generalizando nós podemos obter a relação:
l=n
λ
2
n é o número de ventres. Os valores de n são conhecidos como modos de
vibração; o modo n = 1 é conhecido como modo fundamental e a frequência a
ele associada chama-se frequência fundamental.
2.7 Atividade experimental V – Estudo
qualitativo e quantitativo de ondas em uma
cuba de ondas.
Parte 1 – Formação De Ondas
2.7.1 Objetivos gerais
• • • • • Produzir pulsos circulares e retos;
Analisar qualitativamente os pulsos produzidos;
Determinar a frequência de uma onda periódica;
Determinar o comprimento de onda;
Determinar a velocidade de propagação das ondas na cuba;
2.7.2 Material necessário:
O kit cuba de ondas
• Cuba de vidro com pés niveladores
• Retroprojetor
• Gerador de ondas
• Vibradores: de uma ponta, de duas pontas, de placa retangular
• Refletor côncavo de acrílico
• Refrator triangular de acrílico
• 77
capítulo 2
2.7.3 Introdução teórica
• Ondas na água
Quando observamos as ondas na água pela parede lateral de um aquário,
elas apresentam uma forma como vista na figura 2.22. A parte superior da onda
é denominada crista e a parte inferior, depressão ou vale. A distância entre duas
cristas ou dois vales é igual ao comprimento de onda. crista
V
crista
λ
vale
crista
vale
vale
crista
vale
vale
região região
escura clara
perfil da onda de
água na cuba
anteparo
Figura 2.21 – Representação de ondas na água.
As regiões claras da superfície da água são caracterizadas como cristas que
atuam com lentes convergentes e tendem a focalizar a luz e as escuras como
vales (figura 2.22) que atuam como lentes divergentes e tendem a dispersar a
luz. Estas regiões podem ser projetadas na parede utilizando um retroprojetor.
• Pulsos retos e circulares
Tocando levemente a superfície da água com uma régua, você vai obter ondas retas (planas). Uma onda de pequena duração é denominada pulso, no caso
78 •
capítulo 2
de ondas retas (planas), um pulso reto. O movimento do pulso reto é tal que se
mantém paralelo à linha que indica a sua posição original (figura 2.22). A direção e o sentido estão indicados pela seta.
O comprimento de onda está indicado na figura 2.23 e, que é medido como
a distância entre dois pulsos adjacentes quaisquer. λ
Figura 2.22 – Formação de um pulso reto (imagem CDCC).
As regiões claras da superfície da água são caracterizadas como cristas que
atuam com lentes convergentes e tendem a focalizar a luz e as escuras como
vales (figura 2.22, 2.23 e 2.24), que atuam como lentes divergentes e tendem a
dispersar a luz.
O comprimento de onda vai ser a medida considerada de crista a crista ou
vale a vale (marcações 1 a 2 da figura 2.23 e 2 e 3 da figura 2.24).
Quando você atira uma pedra na água, aparece uma configuração circular
na água que se estende a partir do ponto de impacto (figura 2.24). Uma perturbação desse tipo se denomina onda circular. Essa onda, do tipo circular (esférica), movimenta-se apenas na superfície da água. A figura 2.24 mostra um pulso
circular e em seguida o mesmo pulso. A direção e o sentido de propagação estão
indicados pela seta. Observe que a direção de propagação é radial e o sentido é
de dentro para fora do círculo.
λ
Figura 2.23 – Representação de ondas circulares na água (imagem CDCC).
• 79
capítulo 2
2.7.4 Procedimento Experimental
Montagem da Cuba de Onda
Imagem
projetada
Vibrador
Gerador
de ondas
110V
Cuba de
onda
Retroprojetor
Calibrador de
frequência
Figura 2.24 –
2.7.5 Montagem da cuba de onda
1. Faça a montagem da cuba de ondas como mostra a figura acima;
2. Coloque água na cuba até uma altura de 5 a 7 mm aproximadamente e
meça a altura nos quatros cantos da cuba para verificar se ela está nivelada.
Cole o padrão de medida embaixo da cuba ou na parede onde a imagem vai
ser projetada;
3. Coloque o vibrador de uma ponta e faça a ponta tocar a superfície da água;
4. Ligue a fonte do calibrador de frequência, e observando a imagem projetada, haverá a produção de pulsos circulares;
5. Faça a filmagem da imagem projetada; O filme deverá ser visto no modo
slow motion a fim de obter a velocidade da onda.
• Lembre-se que a velocidade depende do meio de propagação e não da frequência da onda. Portanto, todas as ondas terão a mesma velocidade!
6. Faça a captura da imagem para analisar o fenômeno; (comparar com a
medida do papel quadriculado)
80 •
capítulo 2
7. Troque o vibrador de uma ponta pelo de placa retangular tal que a extremidade inferior da placa toque a superfície da água;
8. Ligue a fonte do calibrador de frequência, e observando a imagem projetada, haverá a produção de pulsos retos;
9. Repita os procedimentos dos itens 5 e 6;
10. Complete a tabela 2.1.
Medidas do comprimento de onda, velocidade da onda, frequência e
do tempo.
ATENÇÃO
Faça as medidas para pulsos retos e circulares.
2.7.6 Comprimento da onda (γ)
TIPOS DE PULSOS
DS (CM)
DT (S)
V (CM/S)
γ (CM)
F (HZ)
Tabela 2.1 – Análise quantitativa de ondas.
2.8 Parte 2 – Reflexão Em Barreira Retilínea
2.8.1 Fundamentos Teóricos
• Lei da Reflexão
Pela lei da reflexão da luz temos que o ângulo de incidência, θi, é igual ao
ângulo de reflexão, θr (figura 2.26). • 81
capítulo 2
N
Raio
incidente
θi
Raio
refletido
θr
Superfície refletora
Figura 2.25 – Lei da reflexão: θi = θr.
• Lei da reflexão/cuba de ondas
O comportamento de uma frente de ondas, quando esta incide sobre uma
barreira, é análogo ao do raio da luz em uma superfície polida. Quando a frente
de ondas incide em uma direção à barreira que é colocada inclinada em relação
à cuba, ela é refletida em uma direção diferente tal que o ângulo da frente de
onda que se aproxima da barreira é igual ao ângulo em que a frente de onda
reflete (figura 2.27). barreira
frente
de onda
refletida
raio incidente
frente
de onda
incidente
Antes da reflexão
θr
ângulo de
incidência
θi ângulo
de
reflexão
Depois da reflexão
Lei da Reflexão: θi = θr
Figura 2.26 – Reflexão de ondas.
A figura 2.27 mostra que:
• Os raios de luz, incidentes e refletidos, são perpendiculares às frentes de
onda. • Observa-se que a onda refletida tem o mesmo ângulo que a onda incidente.
• Medindo os ângulos θr e θi na cuba de ondas, podemos demonstrar a lei
da reflexão.
82 •
capítulo 2
2.8.2 Objetivos gerais
• Demonstrar que o ângulo que as ondas planas (pulsos retos) incidem na
barreira é igual ao ângulo que as ondas (pulsos) são refletidas da barreira (Lei
da Reflexão).
• Demonstrar que a distância objeto (p) é igual à distância imagem (q) para
ondas esféricas (pulsos circulares) incidentes em uma barreira retilínea.
2.8.3 Material
• • • • • • Kit cuba de onda
Retroprojetor
Câmera de vídeo
Vibrador de uma ponta
Vibrador de placa retangular
Refletor plano
2.8.4 Procedimento Experimental
• Faça a montagem da cuba de ondas como no experimento anterior;
2.9 Parte 1- Reflexão de pulsos retos em
barreiras retilíneas
1. Coloque o vibrador de placa retangular tal que a extremidade inferior
da placa toque a superfície da água. Coloque a barreira retilínea de acrílico
em forma triangular e a placa retangular de acrílico nas posições indicadas
na figura.
• 83
capítulo 2
gerador de
ondas
vibrador de placa
retangular
(pulsos retos)
cuba de
onda
posição
da placa
retangular
de acrílico
posição de
placa de
acrílico
triangular
(refletor
triangular)
Figura 2.27 – Posições dos refletores e do vibrador na cuba.
2. Ligue a fonte do calibrador de frequência, e observando a imagem projetada, haverá a produção de pulsos retos que serão refletidos pela barreira.
3. Faça a filmagem da imagem projetada.
4. Faça a captura da imagem.
5. Repita a experiência com a barreira em um ângulo diferente.
Gerador de
onda
θi
θr
Parede refletora
Figura 2.28 – Reflexão de ondas planas (pulsos retos) em uma barreira retilínea (imagem CDCC).
• Faça novamente as medidas com a barreira em um ângulo diferente e coloque na tabela 2.2.
84 •
capítulo 2
MEDIDA 1
MEDIDA 2
θ
θ
Tabela 2.2 – Reflexão de pulsos retos
Responda à seguinte questão:
• Qual a relação entre os ângulos de incidência e de reflexão?
2.10 Parte II – Reflexão de pulsos circulares
em barreiras retilíneas
1. Troque o vibrador de placa retangular por um de uma ponta e faça a ponta
tocar a superfície da água. Coloque a barreira de placa retangular como mostra
a figura 2.30.
Gerador de
ondas
Vibrador de uma
ponta
Barreria de placa
retangular de
acrílico
Figura 2.29 – Posições da barreira retilínea e do vibrador na cuba.
2. Ligue a fonte do calibrador de frequência, e observando a imagem projetada, haverá a produção de pulsos circulares que incidirão sobre a barreira
retilínea e serão refletidos por ela.
3. Repita os procedimentos dos itens 3 e 4 da parte I.
4. Faça novamente o experimento para uma nova frequência.
• 85
capítulo 2
Medidas
ondas refletidas
refletor
plano
vibrador
0
Ondas
incidentes
I
p
q
Figura 2.30 – Ondas circulares (pulsos circulares) refletidas em uma barreira retilínea (imagem CDCC).
MEDIDA 1
MEDIDA 2
ΘI
ΘR
Tabela 2.3 – Reflexão de pulsos circulares.
Respondas às seguintes questões:
1) Qual a sua interpretação dos resultados?
2) Variando a frequência, variam os valores de p e q?
2.11 Atividade experimental VI - Vibrações
num disco metálico - Figuras de Chladni
2.11.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• gerar vibrações transversais num disco metálico;
• analisar os padrões gerados sobre a placa;
• comparar os diversos padrões às frequências dadas;
• observar a transmissão de ondas estacionárias para a placa.
86 •
capítulo 2
2.11.2 Material necessário
• Uma chapa metálica quadrada e/ou circular
• Gerador de ondas mecânicas
• Areia fina (pode ser usado areia de praia bem fina)
2.11.3 Procedimento experimental
Podemos gerar vibrações transversais num disco metálico, criando um forte
atrito no seu rebordo mediante um arco de violino ou um fio bastante esticado,
segundo a direção vertical, como se ilustra:
Padrões de Chladni na placa vibrante circular excitada.
1. Prenda o disco de padrões sobre o gerador de pulsos de ondas;
2. Espalha-se areia fina no disco, para fazer com que os padrões de ondas
estacionárias bidimensionais se tornarem visíveis;
3. Nos locais onde a amplitude de vibração é grande a areia é espalhada
enquanto que nas regiões de pequena ou nenhuma amplitude de vibração (linhas nodais) o material se acumula.
4. Alterando a frequência do gerador de ondas, o padrão de ondas estacionárias mudará.
5. Observe e registre a imagem e a frequência dos padrões observados.
6. Justifique a qualidade e quantidade dos padrões encontrados comparados a mudança de frequência do gerador de pulsos.
• 87
capítulo 2
2.12 Atividade experimental VII – Ondas
sonoras: Experimentos de Interferência e
Ondas em Tubos.
2.12.1 Objetivos gerais
• Estudar interferência de ondas sonoras em mesma frequência;
• Estudar ondas sonoras estacionárias em um tubo cilíndrico com as extremidades abertas e um tubo cilíndrico com uma das extremidades aberta e a
outra fechada.
• Verificaremos que só temos harmônicos ímpares para um tubo fechado.
Usando a relação entre frequência e comprimento do tubo para os dois casos,
determinaremos a velocidade do som no ar.
2.12.2 Material necessário:
Conjunto Para Acústica Schuller Mac Ii - Tubo De Kundt
1 Gerador de áudio frequência
2 Alto falantes com amplificador
1 Tubo de Kundt
Pó de cortiça ou pó de serra
2.12.3 Procedimento experimental:
Parte I
1. Disponha os dois autofalantes, um de frente para o outro, a uma distância
de aproximadamente 1m;
2. Regule previamente para que os dois autofalantes estejam na mesma frequência (dê preferência aos sons mais graves – frequência baixa – afim de se
obter melhor resultado);
3. Ligue um dos autofalantes e observe o som. Logo em seguida desligue-o e
ligue o outro autofalante, também observando o som;
88 •
capítulo 2
4. Verifique se no item 3 foi observada alguma oscilação (variação no volume) em algum dos autofalantes;
5. Ligue os dois autofalantes simultaneamente e observe o ocorrido, justificando o resultado obtido.
Parte II
auto
falante
Embelo móvel do pistão
Gerador de
função
tubo de
vidro
Suporte
1. No tubo de Kundt, deposita-se na parte de baixo e ao longo de seu comprimento, um pó razoavelmente leve (serragem ou cortiça);
2. Dispõe-se de um autofalante numa das extremidades do tubo, enquanto
na outra há um pistão onde o comprimento pode ser variável – ambos os extremos deixam o interior do tubo hermeticamente fechado;
3. Ligue o gerador de ondas. Este irá produzir ondas sonoras estacionárias
nesse tubo que irão fazer redistribuir o pó em seu interior conforme esta ondas revelando uma configuração concreta para as mesmas, exibindo pontos
de máximos (ventres) e mínimos (nós) que podem ser facilmente identificados visualmente;
4. Anote os dados obtidos do comprimento de onda e a frequência dada
pelo oscilador no exato ponto em que se atingiu a ressonância;
5. Com os dados obtidos, calcule a velocidade do som.
• 89
capítulo 2
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Gaspar,A.; Física, Vol. 2, Ondas, Óptica e termodinâmica, 2a Ed., Ática Editora S.A., São Paulo, 2009
Halliday, D., Resnick,R.,Walker,J.; Física, Vol. 2, Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro,
1996
Tipler, P.A.; Física (Para Cientistas e Engenheiros), Vol.2 , Gravitação Ondas e Termodinâmica, 3a Ed.,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1995
Keller, F. , W. E. Gettys e M. J. Skove, Física, vol.1, 1a ed., Makron Books (1999).
H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica ,Fluidos Oscilações, Ondas e Calor, vol. 2 , 4a ed., Edgard
Blucher (2002).
Sears & Zemansky - Física II, Termodinâmica e Ondas H. D. Young e R. A. Freedman, 10a ed., São
Paulo: Addison Wesley-2003.
90 •
capítulo 2
3
Temperatura
OBJETIVOS
• Definir temperatura;
• Enunciar a Lei Zero da Termodinâmica: Equilíbrio Térmico;
• Apresentar os tipos de termômetros e as escalas de temperaturas;
• Relacionar as principais escalas de temperaturas;
• Estudar a Dilatação Térmica;
• Propor um modelo de dilatação para os sólidos e líquidos;
• Equacionar matematicamente a dilatação térmica linear;
• Equacionar matematicamente a dilatação térmica superficial;
• Equacionar matematicamente a dilatação térmica volumétrica.
92 •
capítulo 3
3.1 Introdução
O trecho de uma das marchinhas de carnaval mais famosas e cantadas abaixo
contém palavras como calor e quente. Acompanhe o trecho:
Allah-lá-ô, ô ô ô ô ô ô
Mas que calor ô ô ô ô ô ô
Atravessamos o deserto do Saara
O sol estava quente
Queimou a nossa cara
Allah-lá-ô, ô ô ô ô ô ô
Mas que calor ô ô ô ô ô ô
Figura 3.1 – Deserto do Saara - África.
Será que estamos nos expressando corretamente quando dizemos: Mas que
calor ô ô ô ô ô ô?” Ou “ o sol estava quente? Ao longo desse capítulo e do próximo vamos encontrar as respostas para essas questões.
Estamos adentrando o terreno do calor e temperatura, nesta fase do curso vamos mostrar como esses conceitos se relacionam, para estudarmos a
Termodinâmica (calor associado a dinâmica) precisamos conhecer esses conceitos, pois eles são a base para entendermos as transformações de energia,
• 93
capítulo 3
e como essas transformações podem ser relacionadas com a propriedade dos
materiais.
O estudo da Termodinâmica é indispensável para todas as áreas da ciência,
pois está aplicada a inúmeros sistemas como motores, processos bioquímicos,
refrigeradores, ar condicionado, estrutura de uma estrela.
3.1.1 Equilíbrio térmico e temperatura
O conceito de temperatura é originado das ideias qualitativas de “quente” e de
“frio”, que são baseadas em nosso sentido de tato.
Vem da nossa intuição considerar que um corpo quente tem maior temperatura do que outro exatamente igual que parece estar frio. Porém, isso é
muito vago em termos científicos, porque os nossos sentidos não podem ser
parâmetros confiáveis. Sabemos que “quente” e “frio” está relacionado com a
temperatura.
Para usar a temperatura como uma medida para saber se um corpo está
quente ou frio, precisamos construir uma escala de temperatura. O estudo da
termodinâmica exige a utilização de palavras ou conceitos que você já conhece,
mas que ainda não definimos, pois, estes conceitos só são bem compreendidos
em conjunto, esse é o caso de equilíbrio térmico e da temperatura.
Equilíbrio térmico é conhecido com a Lei Zero da Termodinâmica e pode
ser enunciada da seguinte forma:
Lei zero da termodinâmica: Se um corpo A está em equilíbrio térmico com
um corpo B, e este está em equilíbrio térmico com um corpo C, então A está em
equilíbrio térmico com C.
ATENÇÃO
Devemos ressaltar que os corpos A, B e C estão em um ambiente termicamente isolado.
Os corpos A, B e C podem estar quentes ou frios, em contato ou não os corpos frios irão
se aquecer e os quentes esfriar até que atinjam o mesmo estado térmico, ou seja, a mesma
temperatura.
94 •
capítulo 3
3.1.2 Termômetros e escalas de temperatura
Se todos os corpos estão em um ambiente isolado termicamente e tendem a
atingir a mesma temperatura, então torna-se possível sua medição através de
instrumento. Este instrumento chamamos de Termômetro.
O princípio de funcionamento de um termômetro Figura 2 é muito simples.
Dentro dele existe uma grandeza termométrica que geralmente é o mercúrio, o
mercúrio é sensível à variação da temperatura, a temperatura que se quer descobrir é o valor que esse dispositivo marcar no equilíbrio térmico, assim medimos a temperatura de um corpo.
Figura 3.2 – Termômetro com escala milimétrica.
Na figura 3.2 apresentamos um dos tipos de termômetros que existem,
atualmente são uma infinidade de tipos cada um com suas especificidades.
Podemos citar o clínico, cristal líquido, à álcool, máxima e mínima, a gás, radiação, pirômetro óptico, lâmina Bimetálica, digital e termopar. No link http://
www.mundoeducacao.com/fisica/tipos-termometros.htm você fica informado
dos tipos e utilização dos mais variados termômetros que existem.
MULTIMÍDIA
Quer entender como se constrói um termômetro, assista esse vídeo no link http://videos.
clicrbs.com.br/rs/zerohora/videonews/60861/
• 95
capítulo 3
CURIOSIDADE
Como funcionam os termômetros digitais que ficam nas ruas?
No topo do termômetro há um tipo de antena onde é preso um transistor. Ele é sensível
às alterações de tensão elétrica, que é diretamente ligada à temperatura: quando o ar esquenta, ela diminui e vice-versa. “A informação sobre qual é a tensão do transistor, no momento é passada para um circuito elétrico dentro do relógio”, explica o engenheiro eletrônico
César Rabak, do Instituto de Pesquisas Tecnológicas, em São Paulo. Ele a transforma em
sinais digitais (combinações de 1 e 0). Na placa, há um tipo de tabela eletrônica que indica,
para cada uma das combinações de 1 e 0, qual é a temperatura. Ligada a ela existem eletroímãs que produzem a mudança dos números no visor do relógio.
Fonte: http://super.abril.com.br/tecnologia/tensao-eletrica-indica-a-temperatura-nas-ruas
A medida da temperatura é um processo indireto e, como toda medida, exige o estabelecimento de um padrão. O padrão atual, adotado pelo SI (Sistema
Internacional) desde 1954 adota por definição a temperatura do ponto tríplice
da água é 273,16 Kelvin (K). Esse padrão é a base das duas escalas adotadas pelo
SI: a escala Kelvin, denominada escala termodinâmica de temperaturas K e a
escala Celsius, cujo símbolo é °C.
Por definição
1K = 1°C
96 •
capítulo 3
CONCEITO
Definição de Temperatura Celsius
De acordo com o Quadro Geral de Unidades aprovado pela Resolução nº 12/88 do
CONMETRO, Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, a
temperatura Celsius é o “intervalo de temperatura unitário igual a 1Kelvin, numa escala
de temperaturas em que o ponto tríplice coincide com 273,15 Kelvins. (Unidade de base
ratificada pela 13ª CGPM-1967. Kelvin e grau Celsius são ainda unidades de intervalo
de temperaturas).”
T (ºC) = T (K) – 273,15
(1)
A equação 1 relaciona as escalas Celsius e Kelvin, e esta relação teve origem
antiga quando os cientistas determinam referências para a medida da temperatura os famosos pontos fixos. Os pontos fixos são os pontos de ebulição
da água e o de fusão do gelo medidos em pressão atmosférica normal. Na figura 3.3 abaixo estão as principais escalas termométricas: Kelvin (K), Celsius
C, Rankine (RA), Fahrenheit (ainda utilizada nos Estados Unidos) F e a escala
Réaumur (R)
2° ponto fixoágua em ebulição
K
C
RA
F
R
373
100
672
212
80
1° ponto fixogelo fundente
–273
0
492
32
0
zero absoluto
0
–273
–460
–218
0
Figura 3.3 – Escalas termométricas construídas com dois pontos fixos: o gelo fundente e a
água em ebulição a pressão norma
• 97
capítulo 3
3.1.2.1 3.3.1. Como relacionar as principais escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit
Em muitos problemas será necessário converter a temperatura em outra escala, para fazer isso basta relacionar da seguinte maneira:
°C
F
K
100
212
373
Tc
Tf
Tk
0
32
273
Tc − 0
=
TF − 32
=
T − 273
373 − 273
100 − 0 212 − 32
Tc
T
T − 273
= F =
100 180
100
Tc TF − 32 T − 273
=
=
5
9
5
No nosso curso vamos abandonar os décimos e centésimos da temperatura
Kelvin, adotaremos 273 K, o primeiro ponto fixo.
PERGUNTA
Você sabia que pode construir a sua escala de temperatura?
98 •
capítulo 3
EXEMPLO
Vou construir a minha escala termométrica que chamarei de L. Então, começamos colocando
uma outra de referência que no exemplo vou chamar de X. Veja a figura a seguir:
2o Ponto
Escala X
Escala L
X2
1o Ponto
X1
Vamos supor que são dados os pontos fixos das escalas X (X2 e o X1) e L (L1 e L2).
Suponha que um termômetro graduado na escala X assinala a temperatura TX e outro termômetro graduado na escala L assina a temperatura TL. Como os pontos fixos são os mesmos,
essas escalas podem ser relacionadas pela expressão:
Tx − X1 TL − L1
=
X2 − X1 L2 − L1
Suponha que, a escala termométrica L cujos pontos fixos adotados sejam -15°L para a
fusão no gelo e 125°L para a água em ebulição. Determine:
a)
a relação entre a escala Celsius e a escala L.
b)
a temperatura em graus Celsius que corresponde a 60°L.
Solução:
2o Ponto
°C
°L
100
125
TC = ? TL= 60
1o Ponto
0
–15
• 99
capítulo 3
a)
Considerando a escala Celsius como a escala X, temos:
Tc − 0
=
Tc − 0
=
100 − 0
TL − L1
L2 − L1
TL − ( −15)
125 − ( −15)
20
Tc = ( TL + 15)
27
100 − 0
b)
aplicando a equação acima obtemos que para TL = 60°L
20
27
20
Tc = (60 + 15)
55,56 oC
27
Tc = ( TL + 15)
3.1.3 Dilatação térmica
Dilatação térmica é o aumento das dimensões do corpo com o aumento da temperatura. Ocorre com quase todos os corpos no estado sólido, líquido ou gasoso. Todos os corpos se dilatam ou se contraem com o aumento ou a redução da
temperatura. Os sólidos cristalinos possuem uma estrutura organizada em relação ao líquido e ao gás, eles são formados por redes de células unitárias cujos
vértices são ocupados por átomos (figura 3.4).
Figura 3.4 – Célula Unitária de um sólido.
100 •
capítulo 3
Com a variação na temperatura de um sólido, as partículas que o constituem vibram, menos ou mais, em torno de sua posição de equilíbrio.
Figura 3.5 – Modelo mecânico de um sólido cristalino. Os átomos (em azul) vibrando como
se estivessem presos por molas, quando a temperatura varia, varia a amplitude de oscilação
desses átomos.
CURIOSIDADE
O que os pequenos espaços entre os trilhos de trem e a forma que os fios de ligação entre
torres de energia possuem em comum? Embora pareça que nada, ambos se utilizam do fato
de que as dimensões desses objetos tendem a mudar com a temperatura.
• 101
capítulo 3
3.1.3.1 Dilatação Linear
A dilatação linear leva em conta que o aumento nas dimensões de um sólido
ocorre somente em uma dimensão. A dilatação linear ocorre quando um corpo sofre aumento em sua temperatura e, consequentemente, há aumento na
distância entre dois pontos em seu interior. São exemplos desse fenômeno o
aumento do comprimento de uma barra, o aumento do raio de uma esfera e
o aumento da diagonal de um quadrado ou de um cubo. Observe o exemplo
a seguir:
L0
L0
∆L
Figura 3.6 – Exemplo da dilatação linear causada por um aumento de temperatura.
Para fazer uma análise da dilatação linear, tomemos como exemplo a barra
da Figura 6. Seu comprimento inicial é L0 para uma temperatura inicial Ti. A
temperatura é elevada com a vela acesa e atinge um valor T, o que causa um aumento da barra de DL. Esse aumento DL é experimentalmente verificado como
sendo diretamente proporcional ao comprimento inicial da barra (L0), a variação da temperatura DT e a expansibilidade da barra que é uma característica do
material da barra que chamaremos de E. Então, temos:
DL µ E L0 ΔT
(1)
Para retirarmos o sinal de proporcionalidade e introduzir um sinal de igual
temos que incluir na equação uma constante, essa constante chamaremos a.
Então:
DL = a L0 ΔT
(2)
a = coeficiente de dilatação linear da barra. Sua unidade de medida é o grau
Celsius recíproco (oC–1).
A variação de comprimento causada por essa variação da temperatura:
ΔL = L – L0 substituindo em (2) , temos:
L = L0 (1 + a ΔT)
(3)
102 •
capítulo 3
A equação 3 é a expressão matemática da dilatação linear de um sólido.
Observe na tabela a seguir o valor do coeficiente de dilatação linear de algumas substâncias:
COEFICIENTES DE DILATAÇÃO LINEAR
SUBSTÂNCIA
α (· 10-6 °C–1)
Chumbo
29
Alumínio
24
Latão
19
Prata
18
Cobre
17
Ouro
14
Ferro
12
Concreto
12
Vidro Comum
9,0
Platina
9,0
Tungstênio
4,3
Vidro Pirex
1,2
Invar
0,70
Tabela 3.1 –
ATENÇÃO
O coeficiente de dilatação linear de um sólido, embora varie pouco, só é constante dentro de
determinado intervalo de temperaturas. Na tabela acima os valores foram obtidos em torno
da temperatura de 20°C.
3.1.3.2 Gráfico da dilatação linear
A dilatação linear pode ser representada por um gráfico do comprimento em
função da temperatura do corpo, observe:
• 103
capítulo 3
L
L
∆L
Φ
L0
T
T
TI
Figura 3.7 – Gráfico da dilatação térmica linear que demonstra a variação de comprimento
em função da variação de temperatura.
O ângulo φ pode ser relacionado com a equação da dilatação linear, equação
(2):
Δ L = a · L0 · Δ T
∆L
= αL 0
∆T
mas a tangente do ângulo φ é
(4)
∆L
∆T
comparando com a equação 4, temos:
tg φ = a · L0
(5)
COMENTÁRIO
Certamente você irá utilizar a (5) em sua aula experimental para determinar o coeficiente
linear de uma barra. A reta que representa a dilatação linear não pode passar pelo ponto zero,
uma vez que o comprimento inicial não pode ser nulo.
CURIOSIDADE
As consequências das variações de temperatura são sentidas principalmente por grandes
obras da construção civil. Na construção de pontes, ferrovias, viadutos ou prédio, a dilatação
104 •
capítulo 3
destes deverá ser considerada. Para que a dilatação não cause destruição, os engenheiros
utilizam as juntas de dilatação, que constituem um pequeno espaço entre blocos de concreto ou ferro que é preenchido no caso de aumento de temperatura, o que impede danos às
construções. Na figura abaixo vemos exemplos de junta de dilatação.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
O gráfico abaixo representa a variação, em milímetros, do comprimento de uma barra metálica, de tamanho inicial igual a 100 cm, aquecida em laboratório por um aquecedor elétrico
de vapor. Qual é o valor do coeficiente de dilatação térmica linear do material de que é feita
a barra, em unidades de 10-6 ºC-1 ?
∆L (mm)
15
7,5
0
Φ
0
250
500
T (°C)
Solução:
Sabemos que o coeficiente angular da reta é numericamente igual a equação (5):
tg φ = a · L0
• 105
capítulo 3
tg φ =
15x10−8 − 0
= 3 ⋅10−5
500 − 0
passamos mm para m, logo
a · L0 = 3 ·10–5 mas L0 =1m, então
α=
3 ⋅10−5
= 3 ⋅10−5 oC−1
1
ou a = 30 ·10–6 °C–1 próximo do valor do coeficiente de dilatação do chumbo.
3.1.3.3 Dilatação superficial
Quando um corpo sólido com uma forma geométrica definida é aquecido, sua
área e volume sofrem dilatação devido a dilatação de suas dimensões lineares.
O espelho de um telescópio como o Keck, no Havaí, figura 7, apresenta espaços
entre os espelhos que o compõem, para prevenir os efeitos da dilatação térmica.
Figura 3.8 – Telescópio Keck.
A dilatação neste caso é na superfície do espelho e então a equação (3)
torna-se:
DA = bA0DT
onde DA= variação da área
A0= Área inicial
DT= variação da temperatura
b = coeficiente superficial de dilatação
e
b = 2a
106 •
capítulo 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma placa quadrada de alumínio tem uma área de 2m2 a 0 °C, se a placa é resfriada até 50 °C
sua área varia de 0,0044 m2. Determine os coeficientes de dilatação superficial e linear
do alumínio;
Solução:
Dados:
DA= variação da área = 0,0044 m2
A0= Área inicial= 2 m2
DT= variação da temperatura=50°C
b=?
α=?
DA = bA0 DT
0,0044 = b · 250
b = 4,4 · 10–5 oC–1
mas
α=
β 4,4 ⋅10−5
=
= 2,2 ⋅10−5 oC−1
2
2
3.1.3.4 Dilatação volumétrica
A dilatação volumétrica é muito interessante no caso dos líquidos e gases, para
os sólidos o coeficiente de dilatação volumétrica (g) é suficiente sabermos que:
DV = gV0DT
g = 3a.
onde DV = variação do volume
V0 = Área inicial
DT = variação da temperatura
g = coeficiente de dilatação volumétrica
Para estudarmos a dilatação dos líquidos será necessário colocá-lo em um
recipiente que por sua vez também sofre dilatação, por isso costumamos definir os coeficientes de dilatação real e aparente. Porém, não é comum especificarmos o coeficiente de dilatação volumétrica aparente somente o real.
• 107
capítulo 3
O modelo proposto para explicar porque quase todos os líquidos aumentam
de volume com o aumento da temperatura é o mesmo proposto para explicar a dilatação dos sólidos. Pode-se supor que os líquidos sejam compostos por partículas
que ficam amontoadas e que com o aumento da temperatura passam a oscilar aumentando sua amplitude, passando assim, o líquido a ocupar um volume maior.
Na tabela abaixo vamos citar o coeficiente de dilatação volumétrica dos
principais líquidos.
COEFICIENTES DE DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
SUBSTÂNCIA
g (10-4 °°C-1)
Éter
Acetona
Tetracloreto de carbono
Benzeno
Álcool etilíco
Gasolina
Glicerina
Mercúrio
15
15
12
12
11
9,6
4,9
1,8
Tabela 3.2 – Valores obtidos a 20 °C.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um recipiente possui volume interno de 1 litro a 20 °C, o recipiente é então aquecido até
100 °C. Determine o volume interno desse recipiente depois de aquecido sabendo que o
coeficiente de dilatação linear do material é de 15 · 10–6 °C–1.
Solução:
Como se trata de um líquido precisamos calcular o coeficiente de dilatação volumétrica, que é
g = 3a., então g = 3 15 · 10–6 = 45 · 10–6 °C –1
V0= 1 L = 10–3 m3 , basta lembrar que 1000L= 1m3
V=?
DT = 100 – 20 = 80 °C
DV = gV0 DT
V – V0 = V = gV0 DT
V = V0 (1 + gDT)
Substituindo os valores, temos:
V = 10–3 (1 + 45 · 10–6 80)
V = 1,0036 · 10–3 m3 ou 1,0036 L
108 •
capítulo 3
ATIVIDADE
01. Uma barra de ferro, coeficiente de dilatação linear 12 · 10–6 °C –1, possui um comprimento de 15 m a 20 °C, se a barra é aquecida até 150 °C, determine:
a)
A dilatação sofrida pela barra;
b)
O comprimento final da barra.
02. Uma placa quadrada de alumínio tem uma área de 2 m2 a 50 °C, se a placa é resfriada
até 0 °C sua área varia de 0,0044 m2. Determine os coeficientes de dilatação superficial e
linear do alumínio;
03. Um recipiente possui volume interno de 1 litro a 20 °C, o recipiente é então aquecido
até 100 °C. Determine o volume interno desse recipiente depois de aquecido sabendo que o
coeficiente de dilatação linear do material é de 15 · 10–6 °C–1.
04. Um recipiente está completamente cheio com 125 cm3 de mercúrio a temperatura de
20 °C. O coeficiente de dilatação médio do mercúrio é de 180 · 10–6 oC–1 e o coeficiente de
dilatação linear do vidro é de 9 · 10–6 oC–1. Determinar o volume de mercúrio que extravasa
quando a temperatura passa para 28°C.
REFLEXÃO
Depois dos estudos sobre dilatação térmica dos materiais, reflita sobre esta questão:
É conveniente construir casas geminadas?
• 109
capítulo 3
3.2 Atividade experimental VIII – Dilatação
Térmica
3.2.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Determinar os coeficientes de dilatação térmica linear de alguns materiais.
3.2.1.1 Material necessário:
• • • • • • • • Kit de dilação térmica:
Tubos de diferentes materiais (latão, cobre e alumínio);
Rolha de látex;
Relógio comparador (medidor da dilatação);
Termômetro
Conectores diversos;
Tripé;
Erlenmeyer;
• Bico de Bunsen ou lamparina;
• Fonte de fogo.
3.2.1.2 Procedimento experimental:
a)
Monte o tubo no aparato experimental conforme indica a figura abaixo. A base do contato do Relógio comparador (medidor da dilatação) deverá estar apoiada no anel de
fixação do tubo;
110 •
capítulo 3
b)
Verifique a temperatura ambiente e após colocar o termômetro na saída do tubo (cuidado para não vedá-lo) zere o relógio comparador (desaperte o parafuso (A) lateral do
indicador que fixa a escala e, em seguida, gira a escala colocando em zero a posição do
ponteiro do indicador);
c)
Acenda a lamparina (ou bico de Bunsen) e posicione o fogo bem próximo do recipiente
de água.
d)
Observar o deslocamento do ponteiro do micrômetro. Quando o aquecimento do tubo
esteja estabilizado depois de certo tempo anote o valor do deslocamento do ponteiro
(isto equivale ao valor da dilatação DL) e a temperatura final que o sistema estabilizou
(Tf). Então DT=Tf –Ti.
e)
Calcule o valor do coeficiente de expansão do tubo com os dados acima.
f)
A partir dos valores do coeficiente de dilatação linear e dentro das incertezas experimentais, descubra o material utilizado.
MATERIAL)
MATERIAL I
MATERIAL II
MATERIAL III
L0(MM)
DL (MM
TI (0C)
TF (0C)
Α (0C-1)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Sears & Zemansky - Física II, Termodinâmica e Ondas H. D. Young e R. A. Freedman,
10a ed., São Paulo: Addison Wesley-2003.
Gaspar, A.; Física, Vol. 2, Ondas, Óptica e termodinâmica, 2a Ed., Ática Editora S.A., São
Paulo, 2009.
Exercícios Resolvidos de Física- Dilatação. Disponível em http://www.fisicaexe.com.br/fisica0/
termologia/dilatacao/exedilatacao.html> acesso em 12/10/2015.
• 111
capítulo 3
112 •
capítulo 3
4
Calor e as Leis da
Termodinâmica
OBJETIVOS
• Destacar a importância da Termodinâmica no cotidiano;
• Conceituar calor, calor específico e de transformação;
• Definir caloria;
• Estudar as formas de transmissão do calor;
• Definir fluxo de calor;
• Enunciar a Lei de Condução Térmica de Fourrier;
• Enunciar a 1ª Lei da Termodinâmica;
• Conceituar Energia Interna;
• Estudar os processos termodinâmicos: a pressão, volume e temperatura constantes;
• Enunciar a 2ª Lei da Termodinâmica- Máquinas Térmicas;
• Enunciar a 2ª Lei da Termodinâmica- Entropia;
• Conhecer o funcionamento das Máquinas Térmicas Quentes e Frias;
• Estudar o Ciclo de Carnot.
114 •
capítulo 4
4.1 Introdução
A importância da Termodinâmica no nosso cotidiano foi assunto de destaque
nessa entrevista com o Físico Cláudio Furukawa do Instituto de Física- USP São
Paulo, acompanhe suas principais ideias nesta entrevista ao site Globo Ciência,
disponível em:
MULTIMÍDIA
<http://redeglobo.globo.com/globociencia/noticia/2011/12/entenda-o-que-etermodinamica-e-suas-aplicacoes-nos-dias-de-hoje.html
Site Globo Ciência: Do motor dos automóveis à panela de pressão, a termodinâmica está presente em muitos fenômenos do dia a dia. Desde as antigas máquinas a vapor, fundamentais para a Revolução Industrial, ocorrida na
Inglaterra em meados do século XVIII, os estudos da termodinâmica possibilitaram a análise das propriedades da matéria em determinadas situações de
pressão e temperatura. Nas palavras do físico Cláudio Furukawa, do laboratório
didático do Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP), “para todos
os processos químicos, existe por trás o estudo da termodinâmica”. Para contar
um pouco sobre como isso acontece, Furukawa, que é mestre em Energia pelo
Instituto de Eletrotécnica e Energia da USP, fala ao site do Globo Ciência.
Site Globo Ciência: O que é a termodinâmica?
Cláudio Furukawa: A termodinâmica estuda os fenômenos que lidam com
temperatura, calor e pressão, analisando as propriedades da matéria em condições específicas. Em outras palavras, ela estuda as variações macroscópicas e
microscópicas, incluindo a mudança de temperatura e de pressão de um conjunto de partículas. Esses estudos englobam, por exemplo, as mudanças de estado físico da matéria de sólido para líquido, ou de líquido para gasoso. Sendo
uma ciência interdisciplinar, a termodinâmica funde a química e a física. Para
todos os processos químicos, existe por trás o estudo da termodinâmica. Uma
reação química depende muito da temperatura e da pressão. Para cozinhar uma
carne, por exemplo, o processo de cozimento é acelerado quando temos uma
pressão maior, porque as reações químicas ocorrem mais rápido. A geladeira
• 115
capítulo 4
é um exemplo de máquina térmica, pois dentro dela temos uma temperatura
mais baixa, retardando os processos químicos por diminuir os movimentos das
moléculas, conservando os alimentos.
Site Globo Ciência: A partir de quando foi possível estudar as propriedades
da pressão para produzir energia mecânica?
Cláudio Furukawa: Em meados do século XVIII, James Watt começou a estudar a máquina a vapor e a sua aplicação na indústria. Ele percebeu que a água,
quando muda de estado físico, consegue realizar algum trabalho mecânico.
Além de Watt, outros cientistas, como James Prescott Joule e Nicolas Léonard
Sadi Carnot, também contribuíram para os estudos da termodinâmica.
James Watt concluiu que a água em estado líquido ocupa certo volume em
determinada temperatura. Se pegarmos um copo de água, é possível perceber
o volume que ela ocupa. No estado líquido, a densidade de um litro de água
equivale a um quilograma. Se ocorrer uma mudança de estado físico, ou seja,
do estado líquido para o gasoso, nós temos uma variação de volume de mais
de 1200 vezes. Por isso que a panela de pressão explode caso alguém tampe o
furo dela. Esse era o grande problema das antigas máquinas térmicas, pois elas
explodiam muito. Watt estudou esses processos e criou as primeiras máquinas
a vapor.
Como surgiram os primeiros indícios da termodinâmica na história?
Cláudio Furukawa: - A Revolução Industrial só foi possível graças às máquinas térmicas, principalmente as movidas a vapor. Voltando um pouco mais ao
passado, na época da Grécia antiga, já havia incidências das máquinas térmicas. A turbina de Heron é um bom exemplo, pois consistia de uma espécie de
panela com dois canículos tangenciais para a saída de vapor. À medida que o
líquido localizado dentro dessa panela evaporava, o vapor a fazia girar, fornecendo energia mecânica a partir de uma energia térmica. Ou seja, temos aí uma
transformação de energia. Entretanto, o experimento de Heron não tinha nenhuma aplicação prática na época.
116 •
capítulo 4
Site Globo Ciência: Hoje em dia, onde a termodinâmica é aplicada?
Cláudio Furukawa: Em todos os processos que envolvem a mudança de estados. Sua aplicação vai desde as máquinas térmicas à meteorologia, com a medição de pressão e temperatura, umidade relativa do ar. Ou seja, existem inúmeros instrumentos que permitem medir as características variáveis dos gases,
como os hidrômetros, que conferem a umidade relativa do ar e o barômetro,
que afere a pressão.
A termodinâmica também é aplicada em larga escala nos automóveis. No
processo de combustão, há uma grande liberação de calor e energia. Essa energia térmica é aproveitada para realizar o trabalho mecânico. A termodinâmica
também é aplicada em outras situações, como na turbina de avião e nas usinas
termoelétricas, que se utilizam do calor produzido pela fissão atômica.
Site Globo Ciência: No laboratório, quais equipamentos são utilizados para
o estudo da termodinâmica?
Cláudio Furukawa: Para os estudos dos gases, fluídos e sólidos em geral,
há medidores de pressão, como os manômetros. Existem também equipamentos para medir absorção de radiação, a exemplo dos calorímetros, que medem
a quantidade de calor necessária para aquecer certa quantidade de material.
Além disso, ele serve para calcular o calor específico de substâncias, capacidades térmicas de sistemas, entre outras aplicações.
Na entrevista o físico destaca as aplicações, os grandes cientistas que transformaram os processos térmicos em energia, estabeleceram conceitos de calor,
capacidade térmica, calor específico da matéria, formas de transmissão do calor e a termodinâmica aplicadas, as máquinas térmicas e refrigeradores, todos
esses tópicos e as Leis da Termodinâmica, serão estudados neste capítulo que
estamos iniciando, bons estudos! Na figura 4.1 vemos a Máquina de Heron, citada pelo físico na entrevista é conhecida como a primeira máquina térmica
a vapor.
• 117
capítulo 4
bocal direcional
pivô
escape de vapor faz
com que a esfera
rotacione
aumento de vapor
atravétz do tubo
água vaporizada em
uma chaleira aquecida
Figura 4.1 – Máquina térmica de vapor de Heron séc I d.C.
4.1.1 Conceito de calor
Calor é energia em trânsito! Considere dois corpos A e B, sendo que A possui
maior temperatura que B, a Lei Zero da termodinâmica (capítulo 3) garante que
se A e B estiverem em um sistema isolado, ou seja, que não recebe e nem perde
energia para um meio exterior, que a temperatura de A com o passar do tempo
diminuirá e a de B aumentará, até que o equilíbrio térmico seja atingido.
Essa energia que se transferiu do corpo A para o corpo B, é chamada de calor
ou energia térmica.
CONCEITO
Calor é a energia que se transfere de um corpo para outro devido a uma diferença de temperatura entre eles.
Sendo calor energia, seu símbolo Q e é dado em Joules (J) no S.I, mas também temos
a caloria (cal).
118 •
capítulo 4
4.1.2 Capacidade térmica, calor específico e de transformação
Na prática vemos que os corpos cedem ou absorvem quantidades iguais de calor, mas em diferentes variações de temperatura, percebemos que os corpos
possuem uma propriedade chamada capacidade térmica ou calorífica C.
Se um corpo cede ou recebe uma quantidade de calor Q e sua temperatura
sofre uma variação DT, a capacidade térmica C desse corpo é, por definição, a
razão:
C=
Q
∆T
ou Q = CDT
(1)
No S.I. as unidades da capacidade térmica é J/K ou J/°C
CURIOSIDADE
Podemos dizer que o cozimento de alimentos está diretamente ligado à capacidade térmica.
Por exemplo, quando vamos preparar o macarrão, devemos manter a temperatura da água
bem próxima de 100 ºC. Por isso a panela e a água devem ter uma alta capacidade térmica,
a fim de que sua temperatura sofra pouca variação quando adicionarmos o macarrão, que por
sinal fica à temperatura ambiente, dentro da panela. Devemos usar bastante água na panela
para cozinhar o macarrão, pois se usarmos pouca água fervente, a temperatura da água irá
baixar significativamente quando o macarrão for colocado, impedindo um cozimento ideal. [2]
• 119
capítulo 4
COMENTÁRIO
Um calorímetro, são recipientes projetados especialmente para a realização de ensaios experimentais que envolvam troca de calor, para esses recipientes, a capacidade calorífica
costuma ser previamente determinada.
Figura 4.2 –
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um calorímetro sofre uma variação de temperatura de 30°C quando absorve uma quantidade
de calor de 50J. a) Qual é a capacidade térmica desse calorímetro? b) Qual a quantidade de
calor necessária para elevar em 60K a temperatura desse calorímetro?
Solução:
a)
C=
Q 50
=
= 1,67 J/o C
∆T 30
b) Q = C DT = 1,67 . 60 ⇒ Q = 100,2 J
120 •
capítulo 4
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Um calorímetro sofre uma variação de temperatura de 50K quando absorve a quantidade de calor 450 J. Determine:
a)
a capacidade térmica desse calorímetro.
b)
a quantidade de calor necessária para elevar em 70°C a temperatura desse calorímetro.
Experimentalmente observamos que, a capacidade térmica de corpos constituídos de
uma mesma substância é diretamente proporcional à massa (m) de cada corpo. Podemos
escrever como:
C=c·m
onde c é a constante de proporcionalidade que depende da substância de que é constituído o corpo, chamada de calor específico dessa substância. Substituindo na eq (1) temos:
Q = c m DT
(2)
A equação 2, permite determinar a quantidade de calor Q absorvida ou cedida pelo corpo
de massa m, constituído por determinada substância de calor específico c quando sua temperatura varia de DT. Isolando o calor específico na equação 2, temos:
C=
Q
m ∆T
(3)
As unidades do calor específico no SI são: J/Kg°C ou J/Kg K. Na tabela abaixo listamos
o calor específico de algumas sustâncias.
CALOR ESPECÍFICO DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS (25°C E PRESSÃO NORMAL)
SUBSTÂNCIA (SÓLIDOS E LÍQUIDOS)
CALOR ESPECÍFICO J/KG °C
V
Acetona
Álcool
Alumínio
Água
Berílio
Chumbo
Cobre
Concreto
Gelo ( a -5°C)
Latão
Mercúrio
Ouro
Prata
Silício
Titânio
Vidro
2.200
2.400
900
4.200
1.800
130
390
840
2.100
380
140
130
230
700
230
840
0,52
0,58
0,22
1
0,44
0,031
0,092
0,20
0,50
0,092
0,033
0,031
0,056
0,17
0,054
0,20
Tabela 4.1 –
• 121
capítulo 4
4.1.2.1 Caloria e calor específico da água
A água é uma das substâncias de maior calor específico que existem e foi usada
como substância padrão para definir a caloria (cal)
1 cal = 4,1868 J
Esta relação de conversão foi obtida em 1840 por James Prescott Joule, em
seu experimento conhecido como o equivalente mecânico do calor. O maior
mérito de Joule não foi estabelecer um valor em número, mas a prova inquestionável de que calor e energia são grandezas únicas.
4.1.2.2 Calor de transformação
Quando dois ou mais corpos possuem temperaturas diferentes e estão em um
sistema isolado, estes tendem a atingir o equilíbrio térmico e uma mesma temperatura de equilíbrio térmico. Quando um corpo cede calor (Qc), a quantidade
de calor por ele trocada é negativa, de maneira análoga se um corpo recebe calor (Qr), a quantidade de calor por ele trocada é positiva, de maneira que:
ΣQc + ΣQr = 0
(4)
Essa é uma consequência imediata do princípio da conservação da energia
visto no capítulo 5 Física Teórica e Experimental I.
Existem duas formas possíveis de transformação ou mudança de fase, quando a substância passa entre os estados sólido, líquido ou gasoso e mudança de
fase cristalina de um sólido. A temperatura é uma grandeza importantíssima
nesses processos de transformação de fase das substâncias, toda mudança de
fase ocorre a uma determinada temperatura, para determinada pressão e independentemente do sentido da transformação. Por exemplo, a água se solidifica
(ou o gelo de funde) a 0°C e se vaporiza ou liquefaz a 100°C, isso em pressão
atmosférica normal.
Quando a substância está mudando de fase, como por exemplo, passando
do líquido para o sólido, sólido para o líquido, líquido para vapor verifica-se que
a razão entre a quantidade de calor transferida (Q) e a massa (m) que mudou de
fase dessa substância permaneceu constante. Essa constante, chamamos de
Calor Latente (L), definido por:
122 •
capítulo 4
L=
Q
m
(5)
No SI o calor Latente (L) é dado em J/kg
Na tabela abaixo relacionamos o calor latente de algumas substâncias obtidas em pressão normal a 25°C.
CALOR LATENTE DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS (A PRESSÃO NORMAL)
PONTO
DE FUSÃO
(ºC)
SUBSTÂNCIA
CALOR LATENTE DE FUSÃO
(KJ/KG)
(CAL/G)
CALOR LATENTE
DE VAPORIZAÇÃO
(KJ/KG)
(CAL/G)
PONTO
DE EBULIÇÃO
(ºC)
Água
0
330
80
100
2.300
540
Nitrogênio
-210
26
6,2
-196
200
48
Oxigênio
-218
14
3,3
-183
210
51
Hélio
-----
-----
-----
-269
2,5
6,0
Hidrogênio -259
63
15
-253
450
110
Alumínio
660
400
95
2.467
11.000
2.500
Cobre
1.083
200
49
2.567
5.000
1.200
Ferro
1.535
270
65
2.750
6.800
1.600
Chumbo
328
28
6,8
1.740
840
200
Estanho
232
60
14
2.270
1.900
460
Prata
962
100
24
2.212
2.300
560
Tungstênio 3.420
180
44
5.660
4.900
1.200
Mercúrio
11
2,7
357
290
70
-39
Tabela 4.2 –
O gráfico abaixo, da temperatura X tempo da quantidade de calor recebida
(ou cedida), representa as mudanças de fase da substância, observe que quando a temperatura é constante nos patamares indicados nos Ponto de Ebulição
(PE) e Ponto de Fusão (PF) é o local onde ocorrem as mudanças de fase.
• 123
capítulo 4
T (°C)
vapor
líquido
+
vapor
PE
líquido
sólido
+
líquido
PF
tempo
sólido
Figura 4.3 – Gráfico da temperatura x tempo da quantidade de calor recebida (cedida).
4.1.2.3 Transferência de Calor
Existem três formas de transferência de calor: radiação, condução e convecção.
Radiação: Na literatura você também pode encontrar a palavra irradiação,
porém seus significados são os mesmos, e por isso vamos utilizar radiação. É
pelo processo de radiação que a luz do Sol chega até nosso planeta, as radiações
de calor Infra vermelho não podemos ver, nossos olhos não conseguem detectar, aliás a faixa da luz visível é bem pequena em relação a todo espectro que
chamamos de eletromagnético.
Portanto, a radiação térmica, é uma forma de transferência de calor que
ocorre por meio de ondas eletromagnéticas. Como essas ondas podem propagar-se no vácuo, não é necessário que haja contato entre os corpos para haver
transferência de calor. Todos os corpos emitem radiações térmicas que são proporcionais à sua temperatura. Quanto maior a temperatura, maior a quantidade de calor que o objeto irradia.
124 •
capítulo 4
Raios
raios Raios-x ultra
luz
infra- micro- ondas de
Cósmicos gama
violeta visível vermelho ondas
rádio
Alta frequencia
(comp. onda curto)
energia
de cor.
alternada
Baixa frequencia
(comp. onda longa)
Figura 4.4 – Espectro Eletromagnético.
Como veremos no capítulo 5 a única diferença entre luz e calor é a frequência da radiação que os olhos humanos conseguem detectar. As radiações na região do Infravermelho, que são as de calor, estão na frequência de 1011 a 4.1014
Hz, enquanto que as visíveis (radiações luminosas), estão no intervalo de 4 · 1014
a 8 · 1014 Hz.
Veja outro exemplo da radiação térmica, figura 4.5, energia térmica que não
necessita de um meio material para acontecer chega até o cachorro, pois o calor
neste caso se propaga através de ondas eletromagnéticas.
• 125
capítulo 4
Figura 4.5 – Cachorro sendo aquecido por radiação térmica.
CURIOSIDADE
Embora a atmosfera seja muito transparente à radiação solar incidente, somente em torno de
25% penetra diretamente na superfície da Terra sem nenhuma interferência da atmosfera,
constituindo a insolação direta. O restante é ou refletido de volta para o espaço, ou absorvido,
ou espalhado em volta até atingir a superfície da Terra, ou retornar ao espaço.
LEITURA
Termografia – na medicina é uma técnica de registro gráfico das temperaturas da superfície da pele, usando uma câmera infravermelha de alto desempenho. O aparelho detecta a
radiação infravermelha (calor) emitida pelo corpo, podendo refletir uma fisiologia normal ou
anormal. Uma cor é atribuída baseada na temperatura registrada naquela parte da pele. Não
tem dor. Não é invasiva. Pela capacidade de identificar a origem da dor, fornece um mapa digital do corpo em que os padrões de calor são mostrados (uma termografia). Figura 4.6. Para
o médico que está analisando estas alterações nos padrões, elas podem servir de bandeira
vermelha para alertar de alguma doença ou anormalidade.
126 •
capítulo 4
LEITURA
Veja outras aplicações incluindo na área das engenharias, no artigo:
DE SOUSA SILVA, Wallace Felipe. Termografia: o uso da tecnologia em prol da solução
de problemas tecnológicos. Bolsista de Valor, v. 1, n. 1, p. 371-372, 2010.[5]
35.1
°C
35
30
25
21.4
Figura 4.6 – Termografia radiação infravermelha.
Condução Térmica: No laboratório a prática de condução do calor nos possibilita observar o fenômeno, “colamos” com cera de vela, pequenas esferas em
uma tira metálica, como na figura 4.7.
Figura 4.7 – Experimento condução do calor.
Na condução a energia cinética dos átomos e moléculas (isto é, o calor)
é transferida por colisões entre átomos e moléculas vizinhas. O calor flui
das temperaturas mais altas (moléculas com maior energia cinética) para as
• 127
capítulo 4
temperaturas mais baixas (moléculas com menor energia cinética). A capacidade das substâncias para conduzir calor (condutividade) varia consideravelmente. Os sólidos são melhores condutores que líquidos e líquidos são melhores
condutores que gases. Num extremo, metais são excelentes condutores de calor e no outro extremo, o ar é um péssimo condutor de calor.
Quando cozinhamos, o fenômeno da condução acontece, pois, ao aquecermos a panela, suas moléculas começam a agitar-se mais, causando aumento de
sua energia térmica, logo, o aquecimento dela. figura 4.8.
Figura 4.8 – O calor conduzido da panela para o cabo.
Matematicamente, o fenômeno da condução foi modelado baseandose em verificações experimentais, o fluxo de calor através de um material
é determinado.
O fluxo de calor (F) é definido como sendo a taxa de variação da quantidade
de calor no tempo, ou seja:
Φ=
∆Q
∆t
(6)
Consideramos um bloco homogêneo figura 4.9.
T final
Φ
T inicial
Figura 4.9 – Fluxo de Calor.
128 •
capítulo 4
A
d
O fluxo é dado pela Lei de Fourrier, que relaciona-o com a espessura do bloco (d), a área (A) seção normal e a variação da temperatura, sendo a temperatura
inicial maior do que a temperatura final, temos:
Φ=
A ⋅ ∆T
d
(7)
onde k é a condutividade térmica do material
No SI o fluxo é dado por W/ m.K
Na tabela abaixo listamos a condutividade térmica de algumas substâncias
CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS
SUBSTÂNCIA
CONDUTIVIDADE (k) (W/M.K)
Prata
Cobre
Ouro
Alumínio
Ferro
Chumbo
Gelo
Concreto
Vidro
Borracha
Amianto
Madeira
Água
Ar
430
400
310
240
80
35
2,0
0,80
0,80
0,20
0,080
0,080
0,60
0,023
Tabela 4.3 –
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma porta retangular de vidro com altura de 1,80 m, largura 2,00 m e com 6 mm de espessura, separa a sala da varanda, a sala deve ter uma temperatura mantida a 20°C da temperatura
ambiente da sacada de 35°C. Determine qual é o fluxo de calor que atravessa essa porta,
sabendo que a condutividade térmica do vidro é 0,80 W/m.K.
Solução:
Φ =k
A ⋅ ∆T
d
• 129
capítulo 4
A = 1,80 x 2,00 = 3,6 m2 área da porta retangular
DT= 35 – 20 = 15 °C
d = 6 mm = 6 · 10–3 m
k = 0,80 W/m · K
Substituindo
Φ =k
A ⋅ ∆T
3,6 ⋅15
= 0,80
= 7.200 W
d
6 ⋅10−3
Convecção Térmica
A convecção consiste no movimento dos fluidos, só acontece para os fluidos, é o princípio fundamental da compreensão do vento, por exemplo. O ar
que está nas planícies é aquecido pelo sol e pelo solo, assim ficando mais leve e
subindo. Então as massas de ar que estão nas montanhas, e que está mais frio
que o das planícies, toma o lugar vago pelo ar aquecido, e a massa aquecida se
desloca até os lugares mais altos, onde resfriam. Estes movimentos causam,
entre outros fenômenos naturais, o vento. Formalmente, convecção é o fenômeno no qual o calor se propaga por meio do movimento de massas fluidas de
densidades diferentes.
CURIOSIDADE
O voo dos urubus- Correntes de Convecção
Por: Daniele Souza disponível em <http://www.invivo.fiocruz.br>
Se, inicialmente, para resolver o problema do voo, até o famoso pintor Leonardo da Vinci
pensou numa asa batente. A ideia da asa batente funcionava com uma tela e um pano embaixo. Quando a asa subia, o pano abaixava, deixando o ar passar. Ao contrário, quando descia,
o pano batia na tela, criando uma força para cima. Era um mecanismo muito simples e pouco
funcional, despendendo enorme energia. Mesmo assim, diversos inventores se atiraram de
torres e acabaram não sustentando o voo, como na maioria dos pássaros, é por meio do
desenho de um planador, que as ideias de voar começam a se desenvolver. Sabe qual é uma
conhecida ave que plana? Os urubus. Eles são excelentes planadores, capazes de passar o
dia inteiro planando, sem fazer força, realizando voos em círculos por meio de térmicas, correntes ascendentes de ar quente.
130 •
capítulo 4
ATIVIDADES
01. Num dia de calor, você tira duas pedras de gelo iguais do congelador. Uma delas você
coloca sobre a pia da cozinha e a outra dentro de um copo de água. Se a água do copo e a
pia estão na mesma temperatura, onde o gelo derrete mais depressa? Explique.
02. Você põe água para ferver numa panela. Que alteração a intensidade da chama do fogão
causa na temperatura da água antes da fervura e durante a fervura? Explique.
03. Tem-se 0,10 kg de vapor de água a 120 ºC, a pressão atmosférica normal constante,
que deve ser transformado em gelo a -10 ºC.
(Dados: calor específico do vapor de água Cva = 2,0 · 103 J/kg · K; temperatura de vaporização da água tva = 100 ºC; calor latente de vaporização da água Lva = 2,3 · 106 J/K; calor
específico da água ca = 4,2 · 103 J/ kg · K; temperatura de fusão do gelo tfg = 0 ºC; calor latente de fusão do gelo Lfg = 3,3 · 105 J/kg; calor específico do gelo cg = 2,1 · 103 J/kg · K.)
a)
Determine a quantidade de calor necessária para transformar esse vapor em gelo a – 10 ºC.
b)
Construa o gráfico temperatura X quantidade de calor cedido nessa transformação.
04. Um projétil de chumbo de massa 10 g, a 50 ºC, atinge uma parede rígida e funde-se
integralmente. Admitindo que 80% da energia dissipada no choque se transforme em calor e
seja absorvida pelo projétil, determine a velocidade do projétil ao atingir a parede.
(Dados: calor específico do chumbo cPb = 130 J/kg · ºC; temperatura de fusão do
chumbo a pressão normal tfPb = 330 ºC; calor latente de fusão do chumbo LfPb = 2,5 ·
104 J/kg.)
05. Uma pedra de gelo de 100 g a -20 ºC é colocada num recipiente com 300 g de água a
60 ºC. Admitindo que o sistema esteja a pressão atmosférica normal e desprezando o calor
cedido pelo recipiente, determine a temperatura de equilíbrio térmico.
(Dados: calor específico do gelo cg = 2,1 · 103 J/kg · K; temperatura de fusão do gelo
tfg = 0 ºC; calor latente de fusão do gelo Lfg = 3,3 · 105 J/kg; calor específico da água ca =
4,2 · 103 J/kg · K.)
• 131
capítulo 4
4.2 Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da Termodinâmica envolve a conservação de energia nos processos termodinâmicos. Entende-se por processos termodinâmicos, quando um sistema muda de um estado para o outro, sofrendo um processo (ou
transformação).
1ª Lei da Termodinâmica: A variação de energia interna DU de um gás ideal, num
processo termodinâmico, é dada pela diferença entre a quantidade de calor (Q) trocada com o meio e o trabalho (W) realizado no processo.
Analiticamente a primeira Lei da Termodinâmica pode ser expressa por:
DU = Q – W
(8)
A energia interna U de um gás ideal é constituída pela energia total de translação de todas as moléculas que constituem o gás.
3
U = n RT
2
n = números de moles do gás
R = constante universal dos gases
T = temperatura
Portanto nos processos termodinâmicos sofridos por um gás, é mais comum nos referirmos à variação da energia interna DU, em vez de à energia interna dos estados envolvidos, logo:
3
∆U = n R∆T
2
Situações interessantes:
a) Quando o gás aquece: DT > 0 ⇒ DU > 0
b) Quando o gás se resfria: DT < 0 ⇒ DU < 0
c) Quando a temperatura do gás não varia: DT = 0 ⇒ DU = 0
132 •
capítulo 4
4.2.2.1 Transformação isobárica (Pressão Constante)
Transformação isobárica recebe o nome de Lei de Charles e Gay-Lussac foi proposta no século XVIII, e é aquela em que, num processo termodinâmico de um
gás ideal, a pressão permanece constante durante o processo.
iso (igual) + bárica (pressão)
No gráfico abaixo da pressão em função do volume, neste processo o gás estava
com uma pressão inicial p0 com volume inicial Vi passa para um Vf mas mantém
sua pressão constante em p0.
p
p0
Área = W
0
V
Vf
Vi
Figura 4.10 – Diagrama Pressão X Volume - Transformação Isobárica.
W= p0 (Vf – Vi )= p0 . DV
W = p0 . DV
EXEMPLO
Um mol de um gás ideal dobra o seu volume em um processo de aquecimento isobárico de
A para B, conforme mostra a figura:
P (Pa)
6.106
A
B
A
∆V
0
2
4
V (10–3)m3
• 133
capítulo 4
Determine:
a)
b)
o trabalho mecânico realizado pelo gás;
a variação de energia interna do gás nesse processo.
A constante universal dos gases perfeitos é R = 8,3 J/ mol.K
c)
a quantidade de calor trocada pelo gás
Solução:
a) W = p ( Vf – Vi ) = 6.106 (4-2).10-3 = 12 .103 J que é igual a Área A no gráfico.
b) Para calcularmos a variação da energia interna (DU) precisamos calcular a variação
da temperatura DT, para usarmos a equação:
3
∆U = n R∆T
2
Para isso precisamos usar a Lei geral do gás ideal P.V=nRT
No início do processo temos P1 = 6.106 Pa
V1 = 2.10-3 m3
n = 1mol
Então a T1 =
P1 ⋅ V1 6 ⋅106 ⋅ 2 ⋅10−3
=
⇒ T1 = 1,45 ⋅103 K
1⋅ 8, 3
nR
Por analogia T2 =
P2 ⋅ V2 6 ⋅106 ⋅ 4 ⋅10−8
=
⇒ T1 = 2,89 ⋅103 K
nR
1⋅ 8, 3
Logo DT= (2,89-1,45).103 = 1,44.103 K
3
3
∆U = nR∆T = ⋅1⋅ 8,3 ⋅1,44 ⋅103 = 1,8 ⋅104 J
2
2
c) Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica: DU = Q – W, temos que o calor trocado é:
Q = 1,8.104 +1,2.104 = 3.104 J
4.2.2.2 Transformação isocórica (Volume Constante)
Se não há variação de volume não existe realização de trabalho (W=0)
figura 4.11 e como consequência direta da primeira lei da termodinâmica:
DU = Q – W ⇒ DU = Q .
134 •
capítulo 4
P
B
A
V
Figura 4.11 – Diagrama Pressão x Volume - Transformação Isocórica.
4.2.2.3 Transformação isotérmica (Temperatura Constante)
Como a temperatura permanece constante, a variação de temperatura é nula,
em consequência a variação da energia interna é zero, DU = 0, aplicando a primeira lei da termodinâmica, obtemos:
0=Q–W⇒Q=W
P
isoterma
P = nRT
V
A
WA
0
VA
B
B
VB
V
Figura 4.12 – Diagrama pressão x volume - Transformação Isotérmica.
Como o trabalho (W) é calculado pela área sob a curva (isoterma) desde o
ponto A até o ponto B, podemos calculá-lo utilizando a ferramenta do cálculo
diferencial integral. Pela definição de trabalho:
v
W = ∫ v B pdV
A
mas como colocamos na figura p =
gás ideal, substituindo em (9), temos:
(9)
nRT
,pois estamos considerando um
V
• 135
capítulo 4
v
v
W = ∫ v B pdV = ∫ v B
A
A
nRT
V
n R T são constantes, então podem sair da integral, ficando:
v
W = nRT ∫ v B
A
dV
⇒ W = nRTIn ( VA − VB )
V
ln = logaritmo natural base e
4.2.1 Segunda lei da termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica estabelece que a energia se conserva sempre,
mas quem verifica a conversão de uma forma de energia em outra e a possibilidade dessa conversão ocorrer é a segunda lei da termodinâmica. A segunda
lei da termodinâmica possui vários enunciados, vamos apresentar a proposta
pelos físicos Max Planck (1858-1947) e Lord Kelvin (1824-1907).
2ª Lei da Termodinâmica: É impossível a construção de uma máquina térmica que
opera em ciclos, tendo como efeito único retirar calor de uma fonte térmica e convertê
-lo integralmente em trabalho.
4.2.1.1 Segunda lei da termodinâmica- Entropia
Para entendermos a segunda lei da termodinâmica do ponto de vista da entropia é necessário conhecer os processos termodinâmicos chamados de reversíveis e irreversíveis. Os processos que ocorrem num único sentido são chamados de irreversíveis., o rio sempre corre para o mar, por exemplo. A chave para
a compreensão de porquê processos unidirecionais não podem ser invertidos,
envolve uma grandeza conhecida como entropia.
A entropia é diferente da energia no sentido de que a entropia não obedece
a uma lei de conservação. “Se um processo irreversível ocorre num sistema fechado, a entropia S do sistema sempre aumenta, ela nunca diminui”. Observe o
quadro do pintor espanhol surrealista Salvador Dali (1904-1989) em seu quadro
Natureza - Morta Viva, o próprio Salvador Dali comentou: “ A entropia de uma
natureza- morta é um meio de corrigir a natureza”.
136 •
capítulo 4
Figura 4.13 – Quadro Natureza Morta Viva de Salvador Dali (1904-1989).
No quadro a normalidade está subvertida, maçãs voadoras, pássaros estáticos, a bebida saindo do gargalo da garrafa, copos inclinados, etc.
Chamamos de processo reversível aquele em que o sistema pode, espontaneamente, retornar à situação (ou estado) original. Processo irreversível é aquele cujo sistema não pode, espontaneamente, retornar ao estado original.
A entropia de um sistema (S) é uma medida do seu grau de desorganização.
Quanto maior a organização, menor a entropia. A entropia é uma característica
do estado termodinâmico, assim como a energia interna, o volume e o número
de mols.
Nos processos isotérmicos (cuja temperatura permanece sempre a mesma)
reversíveis, definimos a entropia como sendo a razão entre o calor (cedido ou
recebido) pela temperatura. Dessa forma, representamos a entropia nos processos isotérmicos da seguinte maneira:
∆S =
Q
T
No Sistema Internacional de Unidades, medimos a entropia em joule/ kelvin. Baseando-nos no conceito que descrevemos sobre entropia, podemos formular a Segunda Lei da seguinte maneira:
Ds ≥ 0
• 137
capítulo 4
A variação de entropia de um sistema isolado é sempre positiva ou nula.
A igualdade ΔS = 0 ocorre quando os processos são reversíveis: processos reversíveis não aumentam a entropia. Sistemas isolados, que não recebem nem
cedem calor para o meio, só podem ter sua entropia aumentada ou mantida constante.
4.2.2 Máquinas térmicas e refrigeradores
O físico francês Nicolas Sadi Carnot (1706-1832) foi quem estabeleceu o princípio de funcionamento das máquinas térmicas, mesmo antes de ser anunciada
a segunda lei da termodinâmica, Carnot percebeu que para uma máquina térmica funcionar era imprescindível uma diferença de temperatura, assim como
uma diferença de altura se faz fundamental para o funcionamento de uma roda
d’água.
Umamáquinatérmicaconvertecaloremtrabalhoentreduasfontes,figura 4.14,
uma fonte quente com temperatura (T1) do qual retira uma quantidade de calor Q1 e outra fria a uma temperatura ( T2), para qual rejeita uma quantidade de
calor Q2. A diferença entre essas duas quantidades de calor, que serão consideradas sempre em módulo, é exatamente o trabalho obtido da máquina:
W = Q1 – Q2
(9)
T1
fonte quente
Q1
máquina
térmica
Q2
fonte fria
T2
Figura 4.14 – Esquema de funcionamento de uma máquina térmica.
138 •
capítulo 4
A máquina térmica funciona com uma substância trabalhante no seu interior, realizando ciclos contínuos, apesar das trocas energéticas, as temperaturas T1 e T2 permanecem constantes.
EXEMPLO
Motor a explosão
A substância trabalhante que realiza os ciclos é uma mistura de ar com vapor do combustível. A fonte quente corresponde à combustão do vapor ao ser atingido pela faísca da
vela. A fonte fria é o ambiente, para o qual se dissipa o calor que não é convertido em energia mecânica.
Figura 4.15 – Motor a explosão.
4.2.2.1 Rendimento de uma máquina térmica
Define-se rendimento h da máquina térmica pela relação entre a energia útil
obtida da máquina, que é o trabalho W, e a energia total, que é a quantidade de
calor Q1, recebida pela fonte quente:
η=
w
Q1
(10)
• 139
capítulo 4
Substituindo a eq (9) na eq (10), temos:
η=
w Q1 − Q2
=
Q1
Q1
η = 1−
(11)
Q2
Q2
COMENTÁRIO
Perceba que o rendimento de 100% (h = 1), contraria a segunda lei da termodinâmica, pois
Q2 seria igual a zero. Uma máquina com rendimento 100% converteria integralmente Q1 em
trabalho (W), nada rejeitando para a fonte fria, o que é impossível! As melhores máquinas
térmicas têm rendimento máximo de 30%.
CURIOSIDADE
A Máquina de Carnot
Em 1824, Carnot propôs uma máquina teórica que funciona tendo como substância trabalho ou trabalhante um gás ideal, que realiza continuamente o ciclo de Carnot. Partindo de
A, o gás realiza uma expansão isotérmica (temperatura constante) AB, recebendo calor de
Q1 ( fonte quente). A seguir, ocorre a expansão adiabática BC, durante a qual não há troca de
calor. A compressão isotérmica CD se verifica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta etapa o
gás “rejeita” a quantidade Q2 que não foi transformada em trabalho. A compressão adiabática
DA se completa sem a troca de calor.
P
A
D
B
C
T1
T2
V
Figura 4.16 – Ciclo de Carnot.
140 •
capítulo 4
É possível, para este experimento constatar que:
Q2 T2
=
Q1 T1
assim como o rendimento pode ser descrito como:
η = 1−
Q2
Q1
Então para o Ciclo de Carnot temos que o rendimento é função exclusiva das temperaturas absolutas das fontes quentes e fria, ou seja:
η = 1−
T2
T1
este é o rendimento máximo de uma máquina térmica, e como nunca podemos ter T1 = 0 e
|T2| > |T1| constatamos que uma máquina térmica jamais terá rendimento de 1, ou seja,
transformar todo o calor fornecido em trabalho.
4.2.2.2 Refrigeradores
Uma máquina frigorífica, figura 4.17, tem a função de transferir calor de um
local com menor temperatura para outro de temperatura mais elevada, esse
processo não ocorre espontaneamente, por isso precisamos realizar o trabalho
sobre o sistema.
T1
Q1
Fonte quente
T1 > T 2
T2
w
Q2
Fonte fria
Figura 4.17 – Máquina refrigeradora.
• 141
capítulo 4
A máquina frigorífica funciona retirando uma quantidade de calor Q2 da
fonte fria e rejeitando para a fonte quente uma quantidade de calor Q1, correspondente à soma da quantidade de calor Q2 com o trabalho externo W que é
convertido em calor no processo, temos:
Q1 = Q2 + W
(12)
Na máquina frigorífica não definimos rendimento e sim eficiência (e) da
máquina, e eficiência (e) é definida como:
e=
Q2
W
COMENTÁRIO
Importante observar que o rendimento de uma máquina térmica não pode ser 1, mas a eficiência da máquina frigorífica pode.
4.3 Atividade experimental IX –
A Transferência de Calor
4.3.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Descrever os experimentos que envolvem os fenômenos da condução,
convecção e radiação.
4.3.2 Procedimento experimental:
Condução
142 •
capítulo 4
Material necessário:
• régua milimetrada;
• vela de cera comum;
• placa metálica com furos
• esferas metálicas
• lamparina
• cronômetro digital.
1.
Para montagem, acende uma vela, pingando gotas de parafina derretida, na barra. Em cada gota, coloca-se uma esfera metálica. Em seguida, devese fixar a barra horizontalmente na estrutura de apoio com as esferas voltadas
para baixo. Finalmente, com a chama da lamparina ou similar (que também
pode ser a própria vela), aquece a extremidade livre da barra.
2. Marque a distância entre os furos e o tempo de queda entre as esferas.
3. Preencha a tabela abaixo.
DISTÂNCIA (M)
TEMPO (S)
4.
Justifique o fato de a energia térmica penetrar nos extremos da lâmina
com as esferas se desprenderem, sucessivamente, nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5.
5. Qual a função da cera e das esferas utilizadas no experimento?
6. Explique o motivo dos intervalos de tempo entre a queda de duas esferas consecutivas não serem uniformes;
• Ex.: Entre as esferas 1 e 2 => Δt = 30s
• Entre as esferas 2 e 3 => Δt > 30s
7.
Como é denominada esta maneira do calor se propagar e qual a sua
principal característica?
• 143
capítulo 4
Convecção
Material necessário:
• cata-vento metálico com pivô;
• base de apoio;
• lamparina ou lâmpada (com lamparina funciona mais rápido);
1. Acenda a lamparina e a fixe o cata-vento; ao utilizar a lamparina, não
aproxime em demasia o cata-vento do fogo.
2. Observe o cata-vento girar.
a) O que acontece à molécula de ar frio que se encontra próximo da lamparina acesa?
b) Com base no princípio de Arquimedes, justifique o movimento de subida da molécula aquecida de ar.
c) Justifique o movimento da ventoinha.
d) Como se denomina esta maneira do calor se propagar e qual a sua principal característica?
Irradiação
144 •
capítulo 4
Material necessário:
• Base de apoio;
• Termômetro;
• Cronômetro;
• Lâmpada com suporte;
• 2 elásticos ortodônticos;
1.
2.
Meça a temperatura inicial indicada pelo termômetro;
Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrado), anotando a temperatura final;
3. Desligue a lâmpada.
a) De onde veio a energia térmica capaz de provocar a elevação de temperatura indicada no termômetro?
b) Caso não houvesse ar (moléculas) entre a lâmpada e o termômetro, poderíamos verificar o mesmo efeito? Justifique!
c) Como é denominada esta maneira de o calor se propagar e qual sua
principal característica?
d) Algumas lâmpadas possuem a parte traseira espelhada. Procure justificar a função da superfície espelhada na parte de trás da lâmpada.
A influência da cor e da substância em isolamentos térmicos, o corpo negro.
Material necessário:
• Base de apoio;
• 2 Termômetros;
• Cronômetro;
• Lâmpada com suporte;
• 2 elásticos ortodônticos;
• 1 apoio de madeira
• Papel branco
• Papel carbono
• Papel alumínio
1. Meça a temperatura inicial indicada pelo termômetro;
2. Cubra o bulbo do termômetro (1) com o pequeno retângulo de papel
branco (prenda com o elástico);
• 145
capítulo 4
3. Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrado), anotando a temperatura final;
4. Desligue a lâmpada.
5. Cubra o bulbo do termômetro (2) com o pequeno retângulo de papel
carbono (prenda com o elástico);
6. Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrado), anotando a temperatura final;
7. Desligue a lâmpada.
8. Cubra o bulbo do termômetro (3) com o pequeno retângulo de papel
alumínio (prenda com o elástico);
9. Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrado), anotando a temperatura final;
10. Desligue a lâmpada.
a) Qual a cor de tecido mais recomendada para vestuários em zonas de
temperatura elevada? Justifique sua resposta.
b) Explique porque após catástrofes ou acidentes, as vítimas são envoltas
por um cobertor aluminizado.
c) Três blocos de gelo foram colocados no quintal num dia ensolarado.
1o – sem proteção
2o – coberto com tecido branco
3o – coberto com tecido negro
Com base no observado acima, responda:
Qual deles derreterá primeiro?
E qual deles derreterá por último?
146 •
capítulo 4
4.4 Atividade experimental X – Equilíbrio
Térmico e Curva de Aquecimento
4.4.1 Objetivos gerais
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:
• Ao reconhecer que ao colocar em contato dois corpos a temperaturas diferentes, o calor fluirá do corpo com temperatura maior para o corpo de temperatura menor.
• reconhecer, identificar e descrever as mudanças de estados físicos;
• construir gráficos da temperatura versus tempo utilizando dados coletados durante as mudanças de fase.
4.4.2 Material necessário:
• • • • Tripé delta com sapatas niveladoras amortecedoras;
haste metálica;
mufas duplas de 90 graus;
pinças com cabo;
• 147
capítulo 4
• • • • • • • • • agitador;
termômetros de -10ºC a 110ºC;
Becker;
Tubo de ensaio;
proveta;
gelo picado;
água a temperatura ambiente;
água fervente;
lamparina ou bico de buncen;
4.4.3 Procedimento experimental:
Equilíbrio térmico
a) Coloque 50g de água à temperatura ambiente dentro do calorímetro e
verifique sua temperatura;
b) Acrescente 50g de água fervente (previamente verificada sua temperatura) ao calorímetro;
c) Nunca pare de agitar... Aguarde e verifique a temperatura do conjunto;
d) Explique quem ganhou e quem perdeu calor neste sistema;
e) Que tipo de calor (sensível ou latente) transferiu de um corpo para
o outro?
f) Acrescente 100g de gelo (previamente verificada sua temperatura)
ao calorímetro;
g) Aguarde e verifique a temperatura do conjunto;
h) Explique quem ganhou e quem perdeu calor neste sistema;
i) Que tipo de calor (sensível ou latente) transferiu de um corpo para
o outro?
j) Explique o motivo da temperatura final não corresponder a uma média
aritmética como houve no item “c”.
148 •
capítulo 4
Curva de aquecimento e mudanças de estados física da água
a) Anote a temperatura ambiente;
b) Coloque gelo picado dentro de um tubo de ensaio, anotando
a temperatura;
c) Aguarde cerca de dois minutos observando por fora do tubo de ensaio e
justifique o ocorrido;
d) De onde veio a água líquida?
e) Que mudança de fase ocorre neste caso?
f) Ao se retirar do freezer uma vasilha de alumínio, cria-se ao redor dela
uma fina camada de gelo (como neve), explique porque isso ocorre.
g) Prenda o termômetro na haste com auxílio das mufas;
h) Com gelo picado no tubo de ensaio, leia a temperatura e anote;
i) Aguarde dois minutos e verifique a temperatura novamente;
j) Aqueça o tubo de ensaio com a lamparina, verificando a temperatura a
cada 20 segundos e a existência gelo no sistema. Use sempre o agitador;
k) Ao derreter todo o gelo verifique a temperatura e o tempo em que esse
gelo levou para derreter;
l) Continue observando e anotando a temperatura e o tempo, a cada 20
segundos e anotando os resultados numa tabela;
m) Ao começar a levantar fervura, verifique e anote a temperatura e
o tempo;
n) Deixe certo tempo esta água ferver, anotando a temperatura e o tempo
e anotando os resultados;
o) Faça um gráfico (temperatura versus tempo) do fenômeno observado;
(neste caso, somente neste caso, é permitido o uso do programa EXEL para fazer o gráfico);
p) Explique porque em certos pontos do gráfico não há aumento de temperatura (platô);
q) Como se chama cada mudança de estado físico observado;
r) Caso você repetisse esta atividade em outro lugar (ou em outro dia, com
pressão atmosférica diferente), outros valores encontrados teriam que ser os
mesmos? Justifique a sua resposta.
• 149
capítulo 4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Gaspar, A.; Física, Vol. 2, Ondas, Óptica e termodinâmica, 2a Ed., Ática Editora S.A., São Paulo, 2009.
Silva, D. C. M da. “Cozimento e a capacidade térmica” Disponível em <http://www.alunosonline.com.
br/fisica/cozimento-capacidade-termica.html>. Acesso em 10 de novembro de 2015.
“Radiação Solar Incidente” . Disponível em <http://fisica.ufpr.br/grimm/aposmeteo/cap2/cap2-7.
html>. Acesso em 10 de novembro de 2015.
Sears & Zemansky - Física II, Termodinâmica e Ondas H. D. Young e R. A. Freedman, 10a ed., São
Paulo: Addison Wesley-2003.
Charles, A.O. ”Termografia”. Disponível em <http://www.mundosemdor.com.br/termografia-exame100-seguro-nao-tem-dor-e-nao-e-invasiva/>.Acesso em 12 de novembro de 2015.
SILVA, W.F.S.. Termografia: o uso da tecnologia em prol da solução de problemas tecnológicos.
Bolsista de Valor, v. 1, n. 1, p. 371-372, 2010.
Silva, D.C.M da “Entropia e Segunda Lei; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/
fisica/entropia-segundalei.htm>. Acesso em 13 de novembro de 2015.
Penteado, P.C.M, Torres, C.M.A. Física- Ciência e Tecnologia, São Paulo: Editora Moderna, v.2, 2005.
150 •
capítulo 4
5
Óptica
Geométrica
OBJETIVOS
• Destacar a importância da Óptica Geométrica
• Conceituar luz e fontes de luz
• Conhecer os princípios da Óptica Geométrica
• Enunciar as Leis da Reflexão da Luz
• Enunciar as Leis da Refração da Luz
• Conhecer o fenômeno da Polarização da Luz
• Estudar espelhos planos e esféricos
• Estudar Lentes Esféricas
152 •
capítulo 5
5.1 Introdução
No capítulo anterior falamos que a luz só se diferencia do calor pela sua frequência de emissão, isto é, pelas ondas com frequências definidas que nossos olhos
conseguem captar, esta faixa do espectro eletromagnético que enxergamos é
muito estreito, que vai do vermelho ao violeta. O espectro eletromagnético é formado por ondas eletromagnéticas (radiações infravermelhas, ultravioleta, os sinais de rádio e de TV, os raios X, as micro-ondas, as sete cores da luz visível, etc.)
As obras impressionistas das últimas décadas do século XIX, quebrou aquele aspecto da natureza como uma fotografia e passamos a observar quadros
com outros aspectos principalmente da cor, da luz e sombra, da refração e reflexão. Para dar a impressão de que a luz acabava com os contornos nítidos, usouse pinceladas com cores vivas que deram a textura desejada aos contornos.
Claude Monet (1840-1926), foi um dos principais pintores franceses do período
impressionista, pintou várias vezes o mesmo tema em diferentes condições de
iluminação no decorrer do dia e nas diferentes estações do ano. Foram várias
séries, a mais famosa foi a série da Catedral de Rouen que pintou entre os anos
de 1892-1894.
(a)
(b)
Figura 5.1 – Catedral de Rouen pintura de Monet (a) durante o dia; (b) ao entardecer.
• 153
capítulo 5
Várias obras de Monet nos despertam curiosidades sobre a natureza da luz
e sua forma de propagação, das penumbras e das sombras, como enxergamos
as cores, como funciona a reflexão e a refração da luz entre outras, vamos lá?
5.2 Luz e fontes de luz
A origem da luz é a mesma origem do som, porém a luz que conseguimos enxergar assim como o som que conseguimos ouvir estão concentrados em uma
faixa de frequências. Luz é o nome que damos à forma como nosso cérebro interpreta os sinais que ele recebe da retina quando nela incidem radiações eletromagnéticas de determinada faixa de frequências. [1]
A óptica geométrica é o estudo da luz, associado à geometria. O outro ramo
da óptica que estuda a interação das ondas eletromagnéticas com a matéria
viva ou não, é chamada óptica física. O nosso estudo vai se concentrar na óptica geométrica.
Assim, para representar graficamente a luz em propagação, como por exemplo, a emitida pela chama de uma vela, utilizamos a noção de raio de luz. figura
5.2.
Figura 5.2 – Direção e sentido dos raios de luz.
Raios de luz são linhas orientadas que representam a direção e o sentido de
propagação da luz.
Fontes de luz (figura 5.3): a grande maioria dos objetos que enxergamos são
iluminados, pois refletem a luz que recebem, na óptica geométrica não estamos interessados na natureza da fonte de luz, mas as suas dimensões em relação a uma situação do nosso estudo. Quanto às dimensões as fontes são consideradas pontuais ou extensas. Uma fonte de luz é pontual se suas dimensões
forem desprezíveis, caso contrário é considerada extensa.
154 •
capítulo 5
(a)
(b)
Figura 5.3 – Fontes de luz (a) pontual e (b) extensa.
COMENTÁRIO
Corpos luminosos e iluminados
É costume definir como luminosos os “corpos que têm luz própria”, os que não têm luz
própria, mas emitem luz são definidos como iluminados. Na verdade, luz não é algo que possa
estar contido em um corpo, portanto essa definição, baseada nessa expressão é fisicamente
incorreta. Então, define-se um corpo luminoso como sendo “aquele que emite radiação eletromagnética visível”.
5.3 Propagação da luz e princípios da óptica
geométrica
O traçado dos raios de luz, base do estudo da óptica geométrica, se fundamenta
em três princípios:
I - Princípio da propagação retilínea: em meios homogêneos a luz se propaga em linha reta.
Figura 5.4 – Propagação Retilínea da luz.
• 155
capítulo 5
Meio homogêneo é o meio onde todos os pontos apresentam as mesmas
propriedades físicas, como pressão, densidade e temperatura
II- Princípio da Reversibilidade: a trajetória dos raios não depende do sentido da propagação.
r. luz
espelho
Figura 5.5 – Reversibilidade dos raios da luz.
III Princípio da independência dos raios de luz: Cada raio de luz se propaga
independentemente dos demais. figura 5.6.
Figura 5.6 – Princípio da independência dos raios de luz.
ATIVIDADE
Para você pensar e resolver
Quando você olha no espelho e vê alguém, essa pessoa, olhando para o espelho, vai ver
você? Explique.
156 •
capítulo 5
5.4 Reflexão da luz
Como já dissemos a característica mais importante da reflexão da luz é tornar
iluminado qualquer corpo, transformando-o em fonte de luz. [2] Ex.: O sol através de reações nucleares gera a luz que ilumina a lua e a Terra, por exemplo.
Essa luz, ao incidir sobre um objeto, pode ser refletida de duas maneiras: Reflexão difusa e regular. Figura 6 (a) e 6 (b), respectivamente.
Reflexão difusa
O feixe de raios paralelos retorna perdendo o paralelismo, espalhando-se
em todas as direções. A reflexão difusa é responsável pela visão dos objetos
que nos cercam. Por exemplo, vemos um objeto porque ele reflete difusamente
para nossos olhos a luz que recebe.
Reflexão regular
O feixe de raios paralelos retorna mantendo o paralelismo. É o que acontece
sobre a superfície plana de um metal ou na superfície de um espelho plano.
Reflexão difusa
Reflexão regular
Figura 5.7 – Formas da Reflexão.
5.4.1 Leis da Reflexão
1ª Lei da Reflexão: A normal, o raio incidente e o raio refletido estão no mesmo plano.
Esta lei garante que possamos desenhar os raios em uma folha de papel.
2ª Lei da Reflexão: O ângulo de incidência (i) e o ângulo de reflexão (r) são
iguais. Figura 5.8.
• 157
capítulo 5
Normal
Raio incidente
i
r
Raio refletido
ì=r
Figura 5.8 – 2ª Lei da Reflexão.
5.5 Refração da Luz
Chamamos de refração a passagem de ondas planas na água desviando sua trajetória quando atravessam obliquamente de uma região mais funda para uma
região mais rasa. Vamos considerar a figura anterior (figura 5.8), parte do raio
incidente é refletido e outra parte sofre refração, isto é, passa para outro meio.
ATENÇÃO
Observe bem:
Meio 1 = meio da onda incidente
Meio 2 = meio da onda refratada
R= ângulo de Refração
Raio incidente
i
r
Raio refletido
Meio1
Meio2
R
158 •
capítulo 5
Raio refratado
Para você entender, pare em frente de uma janela de vidro, você certamente estará se vendo
no vidro (reflexão) e também estará vendo a paisagem lá fora (refração). Figura 5.9.
Figura 5.9 – Reflexão e Refração da luz.
5.5.1 Leis da Refração
Um fato importantíssimo na refração é que ao compararmos a onda incidente
com a mesma onda que foi refratada a frequência não sofreu qualquer alteração na passagem entre os meios, no caso da figura 8 quando passa do ar para o
vidro e depois para o ar novamente. A frequência só depende da fonte geradora
de ondas. Porém, a velocidade e o comprimento da onda mudam.
Você se lembra da equação fundamental das ondas? Está no Capítulo 2 deste livro. A equação fundamental das ondas é:
v=lf
Quando a onda incide temos v1 = l1 f1 e quando ela se refrata temos v2= l2 f2
Mas na refração como já dissemos f1= f2 , temos que:
v1
λ1
=
v2
λ2
ou
v1
v2
=
λ1
λ2
1ª Lei da Refração: Quando o raio da luz incidente i, que se propaga no meio
1, a normal N à superfície de separação entre os meios 1 e 2 no ponto de incidência e o raio refratado R, que se propaga no meio 2, estão no mesmo plano.
• 159
capítulo 5
2ª Lei da Refração: A razão entre o seno do ângulo de incidência (i) e o seno
do ângulo de Refração (R) é um valor constante, n21, que depende da frequência
da luz que atravessa os meios 1 e 2 e da natureza desses meios.
seni
= n21
senR
(1)
n21 = índice de refração do meio 2 em relação ao meio 1
Ao se refratar, a onda obedece à relação:
seni v1
=
senR v 2
(2)
Comparando (1) e (2), obtemos que:
n21 =
v1
(3)
v2
Portanto, o índice de refração de uma luz ou radiação de determinada frequência (luz monocromática) quando atravessa o meio 1 para o meio 2 pode ser
determinado pela razão entre a velocidade dessa radiação no meio 1 (v1) e a sua
velocidade no meio 2 (v2).
Uma situação interessante é quando a luz atravessa do vácuo com velocidade (c = 3.108 m/s), para um meio 2 onde sua velocidade é v2 , então o índice de
refração do meio 2, n2, é:
n2 =
c
v2
(4)
A segunda lei da Refração, expressa em função dos índices de refração, é
conhecida como Lei de Snell- Descartes:
n1. sen i = n2 sen R
(5)
onde n1 e n2 são os índices de refração dos meios 1 e 2, que podem ser relacionados pela razão:
n21 =
160 •
capítulo 5
n2
n1
O índice de refração é um número adimensional, pois é definido pela razão de
duas velocidades. Na tabela abaixo listamos os índices de refração em relação
ao vácuo para uma frequência de uma luz monocromática de 5 ·1014 Hz.
ÍNDICES DE REFRAÇÃO
MATERIAL
ÍNDICES DE REFRAÇÃO
Gases 0°C e 1 atm
Hidrogênio
Ar
Dióxido de carbono
Líquidos a 20°C
Água
Álcool etílico
Óleo
Benzeno
Bissulfeto de carbono
Sólidos a 20°C
Quartzo fundido
Poliestireno
Vidro (crown)
Vidro (flint)
Diamante
1,00013
1,00029
1,00045
1,33
1,36
1,48
1,50
1,63
1,46
1,49
1,52
1,66
2,42
Tabela 5.1 – Índices de refração para algumas substâncias.
EXEMPLO
A figura representa um raio de luz monocromática passando do ar para um bloco de vidro. O
índice de refração do ar é nar = 1,00 e o índice de refração desse vidro é nv = 1,50.
Normal
Raio incidente
i
r
Raio refletido
Meio1
Meio2
R
Raio refratado
• 161
capítulo 5
Determine o ângulo de refração R quando o ângulo de incidência (i) for 30°;
Solução:
Aplicando a Lei de Snell- Descartes temos:
n1 · sen i = n2 sen R
i= 30°
n1 = nar = 1,00
n2 = nvidro = 1,50
então, substituindo na lei de Snell, temos:
1· sen 30°= 1,50· sen R
sen R =
0,50
= 0,333 , logo R= 19,5°
1,50
Para achar o ângulo na calculadora científica faça shift sen 0,333
5.6 Polarização da luz
A polarização é uma característica das ondas transversais, ondas longitudinais
não podem ser polarizadas porque oscilam na mesma direção da propagação.
A luz, quando considerada uma oscilação eletromagnética possui a seguinte apresentação:
y
comp
r
imen
to de
onda
(λ)
onda elétrica
x
z
onda magnética
Figura 5.10 – Propagação de uma onda eletromagnética.
162 •
capítulo 5
Olha que interessante, então a luz é uma oscilação conjunta de um campo elétrico (vermelho) e um campo magnético (azul), mas isso é assunto para
Física III, o importante agora é aceitar isso. Baseando-se nisso, o processo de
polarização é muito simples, observe a figura 5.11 abaixo:
Luz não
polarizada
Fonte
Polarizador
vertical
Luz polarizada
linear
Figura 5.11 – Processo de Polarização.
A luz não polarizada oscila em todas as direções, ao passar por um obstáculo (polarizador) a direção de propagação das partículas oscilantes, depois da
ultrapassagem, será única e paralela a fenda, dizemos que esta onda está polarizada. As lentes dos óculos possuem lentes polaróides que absorvem parte da
luz refletida na estrada.
Neste exemplo, usa-se polarizadores para polarizar a onda, mas existem polarização por reflexão e por transmissão, que fogem ao escopo deste livro.
PERGUNTA
Como você pode comprovar que o azul do céu é polarizado? Explique.
• 163
capítulo 5
ATIVIDADES
01. (ITA) A luz linearmente polarizada (ou plano-polarizada) é aquela que:
a)
apresenta uma só frequência
b)
se refletiu num espelho plano-polarizada
c)
tem comprimento de onda menor que o da radiação ultravioleta
d)
tem oscilação, associada à sua onda, paralela a um plano.
e)
tem oscilação, associada à sua onda, na direção de propagação.
02. (UFRGS) A principal diferença entre o comportamento de ondas transversais e o de
ondas longitudinais consiste no fato de que elas:
a)
não produzem efeitos de interferência.
b)
não se refletem
c)
não se refratam
d)
não se difratam
e)
não podem ser polarizadas.
5.7 Espelhos
O espelho mais comum que conhecemos é o plano, que é feito de uma lâmina
de vidro de faces paralelas, sendo que em uma das faces é depositada uma delgada camada de prata (face refletora).
5.7.1 Espelho plano
É toda superfície lisa e plana que reflete a luz de maneira regular. Ex.: superfície
de um metal polido, superfície de um lago etc.
O estudo geométrico do espelho plano comum, inicia-se com a figura 5.12:
164 •
capítulo 5
Espelho
O
P
d
P’
normal
d’
Figura 5.12 – Imagem em um espelho plano.
Seja P um ponto luminoso ou iluminado colocado na frente de um espelho
plano. Considere dois raios luminosos que incidem no espelho e são refletidos
posteriormente.
• O ponto P, definido pela interseção efetiva dos raios incidentes sobre o
espelho, é um objeto real.
• O ponto P’, definido pela interseção dos prolongamentos dos raios emergentes (refletidos), é uma imagem virtual.
De um modo geral temos:
• Real: interseção efetiva de raios luminosos.
• Virtual: interseção de prolongamentos de raios luminosos
As imagens formadas por espelhos planos têm as seguintes características:
• O objeto e a imagem são equidistantes do espelho.
• Objeto e imagem têm naturezas contrárias: se o objeto é real, a imagem é
virtual e vice-versa (figura 5.13).
5 cm
5 cm
objeto
3 cm
3 cm
imagem
Figura 5.13 – Imagem no espelho plano.
• 165
capítulo 5
5.7.1.1 Imagens de um objeto entre dois espelhos planos
Olha que interessante quando temos um objeto entre dois espelhos planos
cujas superfícies refletoras formam um determinado ângulo a, podemos observar a formação de inúmeras imagens (figura 5.14).
Figura 5.14 – Objeto entre dois espelhos planos.
Para explicar o número de imagens formadas, que no caso acima são 4, fazemos uma conta muito simples. Alguém há muito tempo, propôs uma equação,
de um modo geral, sendo a o ângulo entre os espelhos, temos para o número
N de imagens:
N=
360o
−1
α
No exemplo acima, vemos que os espelhos dividiram o espaço de 360° em 5
setores, então cada setor é a = 72°, logo:
N=
360o
− 1 N = 4 imagens ⇒ N = 4 imagens.
72o
Gostou? Então pratique: Use a equação para chegar no número de imagens,
que no caso são 7.
166 •
capítulo 5
5.7.2 Espelho esférico
É uma calota esférica na qual uma das superfícies é refletora. Quando a superfície é a interna, o espelho é denominado côncavo (ex.: espelhos de aumento,
como dos dentistas, de barbear etc.) e, quando a superfície refletora é a externa o espelho é convexo (retrovisores em motocicletas, em portas de elevadores,
fundo de lojas etc.).
calota
R
e.p.
C
α
V CV = R
Os elementos que caracterizam um espelho esférico são:
• Centro de curvatura (C): o centro da superfície esférica a qual a calota
pertence;
• Raio de curvatura do espelho (R): o raio da superfície esférica a qual a calota pertence;
• Vértice do espelho (V): o polo (ponto mais externo) da calota esférica;
• Eixo principal do espelho: a reta definida pelo centro de curvatura e pelo
vértice;
• Abertura do espelho (a): o ângulo de abertura do espelho.
• 167
capítulo 5
5.7.3 Espelhos esféricos de Gauss
Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez. Gauss observou que, se os raios incidentes obedecessem a certas condições, as imagens
seriam obtidas com maior nitidez.
• Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e próximo dele.
• abertura útil do espelho é pequena (a < 10°).
5.7.4 Propriedades dos espelhos esféricos
Em vista dos conceitos apresentados, podemos enunciar o comportamento de
alguns raios de luz ao se refletirem.
a) todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se
numa direção que passa pelo foco principal.
O foco principal F situa-se aproximadamente no ponto médio do segmento
determinado pelo centro de curvatura C e pelo vértice V: Distância focal é a metade do raio de curvatura.
b) todo raio de luz que incide numa direção que passa pelo foco principal
reflete-se paralelamente ao eixo principal.
c) todo raio de luz que incide numa direção que passa pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo.
d) todo raio de luz que incide sobre o vértice do espelho reflete-se simetricamente em relação ao eixo principal.
5.7.5 Formação de imagens nos espelhos esféricos
Dependendo da posição em que o objeto é colocado em relação ao espelho esférico côncavo, podemos ter três situações importantes:
1. Quando o objeto está situado entre o Foco F e o vértice V: a imagem formada é virtual, direita e maior do que o objeto (figura 5.15).
168 •
capítulo 5
C
F
V
Virtual
Maior
Direita
Entre o foco principal e o
vértice
Figura 5.15 – Objeto colocado entre F e V no espelho côncavo.
2. Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco principal F, a imagem formada é real, invertida e maior do que o objeto (figura 5.16).
O
c
i
F
V
– Real
– Invertida
– Maior
Figura 5.16 – Objeto colocado entre C e F no espelho côncavo.
3. Objeto situado antes do centro de curvatura C, o espelho côncavo fornece
uma imagem real, invertida e menor (figura 5.17).
c
f
v
Imagem Real,
Invertida e
Menor
Figura 5.17 – Objeto colocado antes do centro de curvatura C.
• 169
capítulo 5
No espelho convexo a situação é muito mais simples, pois qualquer que seja
a posição do objeto colocado diante do espelho, a imagem formada é sempre
virtual, direita e menor do que o objeto (figura 5.18).
Espelho
convexo
Objeto
Figura 5.18 – Imagem em um espelho convexo.
EXEMPLO
Um objeto é colocado diante de um espelho esférico côncavo, como mostra a figura. C é o
centro de curvatura, F é o foco principal e V é o vértice.
C
A imagem obtida é:
a) real, invertida, ampliada e localiza-se entre F e V.
b) real invertida, reduzida e localiza-se entre C e F.
c) real, invertida, reduzida e localiza-se entre F e V.
d) virtual, direita, ampliada e localiza-se entre C e F.
e) virtual, direita, reduzida e localiza-se entre C e F.
170 •
capítulo 5
V
Solução:
Como o objeto está localizado antes do centro de curvatura C, temos a situação 3.
Portanto a imagem é real, invertida e menor, e está localizada entre C e F.
0
C
F
V
i
Resposta: Alternativa d
PERGUNTA
Quando você se olha em um espelho côncavo e vê seu rosto aumentado e direito, o rosto
se encontra:
a) no foco do espelho.
b) no centro de curvatura do espelho.
c) entre o foco e o espelho.
d) entre o foco e o centro de curvatura.
e) mais afastado que o centro de curvatura, em relação ao espelho.
5.8 Lentes esféricas
As lentes esféricas e suas aplicações no cotidiano são disparadas as mais importantes aplicações da óptica geométrica, seja em sofisticados equipamentos
de pesquisa astronômica, ou em câmeras digitais comuns, seja em lentes de
óculos ou lupas.
• 171
capítulo 5
CONCEITO
Lente esférica é um sistema óptico constituído de três meios homogêneos e transparentes,
sendo que as fronteiras entre cada par sejam duas superfícies esféricas ou uma superfície
esférica e uma superfície plana, as quais chamamos faces das lentes.
5.8.1 Tipos de lentes
No nosso estudo vamos considerar que o segundo meio é a lente propriamente
dita, e que o primeiro e terceiro meios são exatamente iguais, normalmente a
lente de vidro imersa em ar. Na figura 5.19 são apresentadas os 06 tipos de lentes esféricas.
R1
R2
Biconvexa
R1
Plano-convexa
R1
R2
Côncavo-convexa
172 •
capítulo 5
R1
R2
Bicôncava
R1
Plano-côncava
R1
R2
Convexo-côncava
Figura 5.19 – Representação esquemática das lentes esféricas.
5.8.2 Lentes Convergentes e Divergentes
Considerando que o material de que é feita a lente tem um índice de refração n2 e
n1 o índice de refração do meio onde está imersa, vamos determinar sua convergência ou divergência. Considere uma lente de bordos finos, por exemplo, plano
- convexa (figura 5.20 (a) Convergente e (b) Divergente). A convergência ou Divergência está relacionada com o índice de refração do meio e do material da lente.
(a) Convergente n2 > n1
• 173
capítulo 5
n2
Divergente
n1
n1
(b) Divergente n2 < n1
RESUMO
As lentes de bordos finos são convergentes quando n2 > n1 e divergentes quando n2 < n1 .
As lentes de bordos espessos, por exemplo, plano-côncava, a situação é inversa, são
convergentes quando n2 < n1 e divergente quando n2 > n1.
5.8.3 Estudo analítico das lentes
5.8.3.1 Equação de Gauss para lentes
A posição e a altura da imagem podem ser determinadas analiticamente pela
Equação de Gauss. Suponhamos que haja uma lente convergente com uma distância focal f, onde um objeto pequeno frontal representado por AB é disposto
como mostra a figura abaixo. É importante lembrarmos que para o objeto AB, a
lente conjuga uma imagem real A’B’.
A Equação de Gauss é deduzida a partir da semelhança entre os triângulos
ABC e A’B’C, logo:
A B p
(1)
=
AB
p
fazendo a mesma relação entre os triângulos CDF1 e A’B’ F1, temos:
A B A F1
=
CD CF1
174 •
capítulo 5
(2)
Luz incidente
Luz emergente
D
B
F1
O
A
F0
A’
C
f
f
B’
p
p’
Considerando que:
A’F1 = p’- f
CF1 = f
CD = AB
vem que:
A B p −f
=
AB
f
(3)
Se compararmos (1) com (3), temos:
p p −f
=
p
f
(4)
Fazendo uma manipulação algébrica, encontramos a Equação de Gauss:
1 1 1
+ =
p p f
(5)
A equação de Gauss, relaciona as abscissas do objeto p, e da imagem p’ e
a distância focal f. Acompanhe a aplicação da equação de Gauss no exemplo
a seguir:
• 175
capítulo 5
EXEMPLO
Considere um objeto luminoso situado a 20 cm de uma lente delgada convergente de distância focal 15 cm . Determine a que distância da lente se forma a imagem desse objeto.
M
O
A
N
O
F
F’
A’ N’
i
M’
p
p’
Solução:
Temos p=20 cm e f = 15 cm. Podemos determinar p’ usando a equação de Gauss:
1 1 1
+ =
p p f
1 1 1
1 4−3 1
= − ⇒ =
= ⇒ p = 60 cm
p 15 20 p
60 60
Sendo p’ positivo a imagem é real e se forma a 60 cm da lente
5.8.3.2 Aumento Linear Transversal
No exemplo anterior a letra A representa o aumento linear transversal e é definido como sendo a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto:
176 •
capítulo 5
A=
i
o
onde i é a altura da imagem e o a altura do objeto
A >0 : imagem direita
A<0 : imagem invertida
A=
i −p
=
o p
EXEMPLO
Um objeto real está colocado perpendicularmente ao eixo principal de uma lente convergente e a uma distância de 6 cm da lente. A imagem formada é virtual e tem altura quatro vezes
maior que a do objeto. Determine a distância da imagem à lente. [4]
Solução:
Temos p = 6 cm e sendo a imagem virtual, ela é direita, logo:
i
=4
o
−p ’
4=
⇒ p ’ = −24 cm
6
5.9 Atividade Experimental XI – Espelhos
Planos
5.9.1 Objetivos:
• Observar as características de um espelho plano;
• Calcular a quantidade de formações de imagens através de conjugação
de espelhos;
• 177
capítulo 5
5.9.2 Material Utilizado
• Painel básico para banco óptico;
• Lanterna laser;
• Espelho plano com adesão magnética;
5.9.3 Procedimento Experimental
1. De posse de um espelho plano, coloque um objeto a sua frente e determine as características da imagem e do objeto;
2. Para o mesmo espelho caracterizar o campo visual posicionando-se em
diferentes posições com relação ao espelho;
3. Transladar o espelho para uma nova posição em relação ao objeto caracterizado a nova imagem;
4. Posicionar o espelho plano fazendo as marcações referentes à projeção
de sua imagem; girar o espelho de um ângulo a fazendo as marcações referentes à projeção da imagem;
5. Determinar a relação entre ângulo de rotação (a) e o ângulo formado
pelos raios refletidos (β);
ÂNGULO DE ROTAÇÃO (a)
0º
10º
20º
30º
40º
178 •
capítulo 5
ÂNGULO FORMADO PELOS RAIOS REFLETIDOS (Β)
6. Posicionar dois espelhos planos de modo a formarem um ângulo (a)
entre si;
7. Anotar o ângulo e o número de imagens formadas. Comparar com o
resultado obtido através da equação: N = (360o/a) -1;
ÂNGULO (a)
NÚMERO DE IMAGENS
180º
90º
60º
45º
30º
8. Posicionar os espelhos com um ângulo de 120º entre si. Observar a própria reflexão. Qual a conclusão obtida?
9. Posicionar os dois espelhos paralelamente entre si, colocando um objeto entre ambos;
10. Observe o que acontece com a imagem.
5.10 Atividade Experimental XII – Espelhos
Esféricos
5.10.3.1 Objetivos
a) Diferenciar espelhos côncavos de convexos;
b) Determinar os principais elementos dos espelhos esféricos;
• Centro de curvatura (c);
• Vértice do espelho (v);
• Eixo principal (EP);
• Eixo secundário (ES);
• Abertura do espelho (q);
• Foco (f).
c) Descrever e identificar os três raios principais nos espelhos esféricos.
• 179
capítulo 5
5.10.1 Material Utilizado
• Painel básico para banco óptico;
• Lanterna laser;
• Perfil de espelho côncavo e convexo (ou refil flexível para espelho);
• Compasso
• Régua milimetrada;
5.10.2 Procedimento Experimental
ATENÇÃO: NÃO TENTE LIMPAR, NEM TOQUE NA PARTE ESPELHADA
COM OS DEDOS.
1. Fixe o espelho côncavo ao disco óptico de modo que o espelho fique
circunde o transferidor e de modo que a reflexão e o ponto de incidência divida
em duas partes iguais o perfil do espelho;
2. Ligue as duas lanternas do laser de modo que o centro coincida com o
eixo principal;
3. Marque os elementos formados pela imagem (“c”, “v”, “EP”, “ES”, “q”
e “f”)
4. Transfira os TODOS os dados obtidos para uma folha em branco;
180 •
capítulo 5
5. Com a ponta seca do compasso no foco “f” e a outra em “v”, trace sobre
a reta “r” um ponto “c”, distante 2f do vértice “v”;
6. Desenhe os raios principais no espelho côncavo e descreva as leis da
reflexão para os espelhos côncavos;
7. Inverta o espelho de modo que, nesta nova configuração, comporte-se
como um espelho convexo (não altere a curvatura do espelho);
8.
Repita os itens 1, 2, 3, 4, 5 e 6 para o espelho convexo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Gaspar, A.; Física, Vol. 2, Ondas, Óptica e termodinâmica, 2a Ed., Ática Editora S.A., São
Renan Schetino de Souza. “Óptica Geométrica” Disponível em <http://www.ufjf.br/cursinho/
files/2012/05/APOSTILA-RENAN-2012.109.146.pdf> Acesso em 12/11/2015.
“Equação de conjugação de Gauss: aumento linear transversal” Disponível em <http://www.
colegioweb.com.br/lentes-esfericas/equacao-de-conjugacao-de-gauss-aumento-linear-transversal.
html#ixzz3rQufr7Re> Acesso em 15/11/2015.
Penteado, P.C.M, Torres, C.M.A. Física - Ciência e Tecnologia, São Paulo: Editora Moderna, v.2,2005.
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ANOTAÇÕES
182 •
capítulo 5
ANOTAÇÕES
capítulo 5
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ANOTAÇÕES
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capítulo 5