VI ONDAS ACÚSTICAS

VI ONDAS ACÚSTICAS
16. Propriedades das ondas
Se pensarmos que a informação que estimula dois dos nossos sentidos mais
importantes (a visão e a audição) e através das quais reconhecemos o mundo que nos
rodeia é transmitida através de ondas, facilmente nos apercebemos da importância do
seu estudo na compreensão do modo como se processa a nossa percepção. Na
realidade, apesar do som e da luz serem fenómenos de natureza muito distinta, é
possível modelá-los através do formalismo ondulatório, isto é, assumir que ambos se
propagam através de uma perturbação do meio56, transportando, desta forma, energia,
sem que haja transferência de massa.
16.1 Descrição
das ondas
Uma das principais características das ondas é o seu carácter periódico, sendo
a sua descrição feita através de algumas grandezas que reflectem essa propriedade: a
sua frequência (número de ciclos existentes num segundo), cuja unidade é o hertz
(Hz), o seu comprimento de onda (tamanho espacial do seu ciclo), a unidade é o metro
(m) e o seu período (duração do ciclo), dado em segundos (s) (ver fig. 64). Para além
destas grandezas, há ainda a considerar a sua velocidade de propagação (que tem,
como se sabe, unidade de m s-1). Estas grandezas relacionam-se através de expressões
muito simples, que vale a pena recordar.
O período (T) é o inverso da frequência ():
T
1
.

equação 56
O comprimento de onda (), o período (T) e a velocidade de propagação (c)
relacionam-se através da expressão:
  cT .
equação 57
É ainda de referir duas grandezas, muitas vezes associadas às ondas, às quais
se dá o nome de frequência angular () e número de onda (k) e cujas definições
matemáticas são dadas pelas expressões:
  2 .
equação 58
2
.

equação 59
k
A frequência angular é dada em radianos por segundo (rad s-1) e contém o
mesmo tipo de informação que a frequência, mas em unidades angulares, o mesmo
acontecendo com o número de onda em relação ao comprimento de onda, cuja
unidades é rad m-1.
56
No caso das ondas sonoras são as partículas constituintes do próprio meio que são perturbadas. No
caso da luz, existe uma perturbação nos campos electromagnéticos na região onde esta se propaga. Por
este motivo, enquanto que as primeiras exigem um meio material para se propagarem  ondas
mecânicas, as segundas propagam-se no vazio.
81
Figura 64 - Esquema de uma onda. Na figura pode observar-se a amplitude e o período, o qual
corresponde também a um comprimento de onda. Repare-se que nesta figura a fase inicial da
onda é de 90º.
Por fim, resta introduzir o conceito de fase. Se admitirmos que a um ciclo
completo corresponde 2 radianos (que é, aliás, o que está subjacente nas equações 58
e 59), a cada instante é possível definir a fase em que o ciclo se encontra, atribuindo a
esta um ângulo. Assim, assumindo que inicialmente a onda se encontra no princípio
do ciclo, então nesse instante a sua fase é nula; após um quarto do período (T/4), a sua
fase é de 90º; em T/2 a fase é de 180º e no final de um período a fase é de 360º, ou, o
que é mesmo, novamente de 0º.
Neste contexto é, certamente, mais compreensível as várias notações que se
usam para descrever uma onda caracterizada por uma amplitude A (perturbação do
meio), uma frequência angular w e uma fase inicial  . As restantes variáveis têm o
significado dado anteriormente:
 (t )  A sen(t   )  A sen( 2t   )  A sen( 2t   ) 
T
.
2ct
 A sen(
  )  A sen (kct   )

equação 60
16.2Reflexão, refracção e interferência
Algumas das propriedades mais interessantes das ondas dizem respeito ao seu
comportamento quer quando atravessam um meio com diferentes propriedades, quer
quando uma ou mais ondas se sobrepõem na mesma região do espaço.
Quando uma onda passa de um meio com determinadas características para
um outro com características diferentes, observa-se que uma parte da sua energia é
reflectida (recuando para o meio de onde provinha) e outra parte segue para o segundo
meio. Verifica-se ainda que quando as irregularidades da superfície da interface são
pequenas relativamente ao comprimento da onda incidente a reflexão ocorre numa
direcção específica e diz-se especular. Quando, pelo contrário, as irregularidades da
superfície são maiores do que o comprimento da onda, a reflexão diz-se difusa, uma
vez que ocorre em todas as direcções. Exemplo de uma reflexão especular é a que
podemos observar quando um raio de luz incide num espelho, exemplo de uma
reflexão difusa é a de um raio de luz que incide numa folha de papel.
Quando uma onda incide numa interface segundo um determinado ângulo,
verifica-se que, quando a reflexão é especular, a parte da onda que é reflectida faz
com a perpendicular à interface um ângulo de igual valor mas de sentido contrário ao
do ângulo da onda incidente (ver figura 65). Quanto à parte da onda que segue para o
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segundo meio sofre uma deflexão relativamente ao ângulo de incidência. A este
último fenómeno dá-se o nome de refracção, sendo o ângulo da onda refractada
dependente das propriedades dos dois meios.
Figura 65 - Representação de uma reflexão especular. Compare-se o ângulo que a onda incidente,
a onda reflectida e a onda refractada fazem com a vertical. (Adapt. de P. Davidovits, 2001).
Na situação em que duas ou mais ondas viajam na mesma região
do espaço a perturbação total desse meio é uma soma vectorial da perturbação
associada a cada uma delas, podendo o resultado corresponder a uma onda de maior
intensidade, de menor intensidade ou mesmo à aniquilação das ondas. A este
fenómeno dá-se o nome de interferência (ver figura 66).
Figura 66 - Exemplo de interferências entre ondas com a mesma frequência e fase: a)
interferência construtiva, b) interferência genérica e c) interferência destrutiva. (Adapt. de P.
Davidovits, 2001).
83
Realce-se que, quando a frequência das ondas somadas não é a mesma, o
resultado poderá ser um padrão muito complicado (ver figura 67) de difícil
interpretação57. Ora, repare-se que a grande maioria dos sinais se encontram nestas
circunstâncias e, portanto, para o seu estudo recorre-se, muitas vezes, à técnica de
processamento de análise em Transformada de Fourier que permite a separação do
sinal nas suas diversas componentes cada uma das quais associada a uma frequência,
sendo, portanto, possível analisar cada onda em separado, avaliando a percentagem
com que cada uma delas contribuiu para o sinal.
Figura 67 - Exemplo de um sinal constituído por diferentes frequências. (Adapt. de P. Davidovits,
2001).
16.3Alguns aspectos das ondas sonoras
Como as ondas sonoras se apresentam numa vasta gama de intensidades, é
usual representar a sua amplitude em decibel, que, sendo definido a partir da função
logaritmo, torna mais simples a representação de valores afastados de muitas ordens
de grandeza:
dB  10 log
I
,
I0
equação 61
sendo I0 uma intensidade de referência.
A intensidade do som é dependente da pressão máxima no meio (Pmáx) onde
se propaga através da relação:
2
Pmáx
I
,
2 c
equação 62
onde  é a densidade do meio e c é a velocidade das ondas nesse mesmo meio. De tal
forma que a expressão 61 poderá também ser dada por:
dB  20 log
Pmáx
,
Pmáx 0
onde Pmáx 0 é a pressão máxima do meio correspondente à onda de referência.
57
Este é, aliás, o caso mais comum…
84
No que respeita à velocidade do som em diferentes meios, facilmente se
verifica que, enquanto nos gases, a velocidade é relativamente baixa, devido ao facto
de uma molécula no meio gasoso poder mover-se em distâncias razoáveis sem
interferir com moléculas vizinhas; nos sólidos, a velocidade dos ultra-sons é bastante
mais elevada, pelo motivo inverso. Nos líquidos, o som possui velocidades
intermédias. Ao nível dos tecidos biológicos, exceptuando os pulmões (que
apresentam uma elevada percentagem de ar) e os ossos (que têm um comportamento
semelhante ao dos sólidos), os restantes tecidos comportam-se, a este respeito, como
líquidos.
Como já foi referido para o caso geral de qualquer onda, o comportamento do
som quando encontra um obstáculo depende do tamanho desse obstáculo quando
comparado com o comprimento de onda. Para compreender o que se passa ao nível de
uma interface, é importante definir a grandeza impedância acústica:
Z  c ,
equação 63
onde  é a densidade do meio e c a velocidade do som nesse meio. Ao considerar uma
onda sonora que incide perpendicularmente numa superfície, a fracção de energia
incidente que é reflectida (ou coeficiente de reflexão) é dada por:
2
 Z  Z1 
 ,
 R   2
 Z 2  Z1 
em que Z1 é a impedância acústica do primeiro meio e Z2 é a impedância acústica do
segundo. Do mesmo modo, o coeficiente de transmissão (fracção da energia incidente
que é transmitida) é definido como:
T 
4 Z1 Z 2
 Z 1  Z 2 2
.
Das expressões anteriores, conclui-se que quanto maior for a diferença entre as
impedâncias acústicas, maior será a fracção de energia reflectida e menor a fracção de
energia transmitida. Por exemplo, na interface ar/tecido biológico ou ar/água a maior
parte da energia é reflectida.
16.4Alguns aspectos sobre o efeito de Doppler
O efeito de Doppler consiste na alteração da frequência de ondas sonoras
quando existe uma velocidade relativa entre a fonte e o receptor das ondas.
Considere-se que a fonte de ultra-sons está a mover-se na direcção do receptor com
uma velocidade vs. Após um intervalo de tempo t depois da criação de uma
determinada frente de onda, a distância entre a frente de onda e a fonte é de (c-vs)t, o
que significa que o comprimento de onda do som na direcção do movimento é
diminuído para (ver figura 68):

c  vs
,
v0
equação 64
onde 0 é a frequência do som ao sair da fonte. É fácil verificar que a variação na
frequência é, então, dada por:
85
 v
   0  S
 c  vS

 ,

que toma a forma:
v 
   0  S  , equação 65
 c 
quando se considera a velocidade da fonte muito menor que a velocidade do som no
meio.
Figura 68 – Esquema explicativo do efeito de Doppler. S representa a fonte das ondas sonoras e d
o detector. (Adapt. W.R. Hendee, E.R. Ritenour, 1992).
O mesmo efeito se verifica quando é o detector que se encontra em
movimento.
Quando a direcção é contrária (em vez de ser no sentido de fonte e detector se
aproximarem, é no sentido de se afastarem) a variação da frequência vem negativa o
que significa que esta diminui.
Um último caso a considerar, é a situação em que o som é reflectido por um
objecto em movimento. Nesse caso o objecto funciona como detector quando o feixe
o atinge e funciona como fonte quando o feixe é reflectido, de modo que provoca um
desvio na frequência que é o dobro dos desvios atrás considerados.
No caso mais geral, em que o feixe não tem a direcção do movimento, o
desvio causado pelo movimento do objecto reflector móvel é dado por:
v
  2 0   cos  ,
c
sendo  o ângulo formado pela direcção do movimento com a propagação do feixe.
17. Funcionamento do ouvido humano
Como se referiu nas secções anteriores, o som é uma onda mecânica, ou seja, a
sua propagação ocorre graças à oscilação das partículas do meio. O ouvido humano
não é mais do que um eficiente transdutor que transforma essas pequenas alterações
de pressão em sinais eléctricos interpretáveis pelo sistema nervoso.
Habitualmente, o ouvido humano é dividido em três partes: ouvido externo,
ouvido médio e ouvido interno. O primeiro detecta o som e conduze-lo em direcção
ao ouvido médio. Este, por sua vez, amplifica-o e faz uma adaptação da impedância
acústica entre o ouvido externo e o interno. Por fim, o ouvido interno converte o som
em sinais eléctricos dependentes da frequência e da intensidade.
86
No que respeita à sua anatomia (ver figura 69), no ouvido externo é possível
distinguir a orelha, que recolhe os sons e os transmite directamente para o canal
auditivo. Este, num adulto médio, tem aproximadamente 0.75 cm de diâmetro e
2.5 cm de comprimento58 e é responsável pela condução do som até ao tímpano. O
tímpano é uma membrana móvel muito fina recoberta por pele do lado de fora e por
membrana mucosa do lado interno. Como se pode observar, o conjunto orelha e canal
auditivo pode ser considerado uma espécie de funil, mais largo na região da orelha e
que se estreita à medida que se aproxima do tímpano. Também esta geometria
contribui para um ganho em termos de pressão (para a mesma força, diminuindo a
área, aumenta a pressão).
Figura 69 - Esquema do ouvido humano. (Adapt. de P. Davidovits, 2001).
O ouvido médio é constituído por uma cavidade com ar, no interior da qual se
encontram três ossículos: martelo, bigorna e estribo. O martelo está ligado ao
tímpano, enquanto que o estribo se encontra ligado à janela oval, que estabelece o
contacto com o ouvido interno. Este sistema de ossículos tem, basicamente, duas
funções: a de adaptar a impedância acústica do ar (existente no ouvido externo) à do
fluido existente no ouvido interno e a de amplificar, uma vez mais, a pressão
(repare-se que o tímpano apresenta uma área de aproximadamente 65 mm2, enquanto
que a área da janela oval é de cerca 3 mm2, o que permite um ganho de 20 a 30 na
pressão. No ouvido interno existem ainda dois músculos com um funcionamento
muito interessante e que protegem o sistema auditivo contra sons de intensidade
excessivamente elevada. O primeiro encontra -se ligado ao tímpano e evita a
propagação de sons de frequência muito baixa para os ossículos. O segundo
encontra-se ligado à janela oval e reduz a intensidade do som transmitido para o
ouvido interno, quando este é demasiado intenso. Este mecanismo, porém, demora
cerca de 50 ms a ser activado. Por este motivo, o nosso ouvido encontra-se protegido
contra o aumento gradual do som, mas não contra aumentos bruscos da intensidade do
58
É interessante verificar que as dimensões deste canal conferem-lhe uma frequência de ressonância na
ordem de 3000 Hz (tipicamente a frequência do discurso oral nos humanos), sendo, por este motivo,
que o ouvido humano é tão sensível a esta gama de frequências. Embora o estudo de cavidades de
ressonância não se enquadre na profundidade do estudo que pretendemos fazer, será útil entender que
uma geometria que apresente ressonância numa dada frequência significa que amplifica mais essa
frequência do que as restantes.
87
som, como, por exemplo, os que ocorrem aquando de uma explosão. Há ainda uma
segunda e sofisticada função destes músculos. Sempre que nós falamos, eles são
activados com a antecedência necessária para que o som da nossa voz (propagado
através dos tecidos da cabeça e de intensidade extremamente elevada) seja fortemente
atenuado. O ouvido médio encontra-se, ainda, ligado à trompa de Eustáquio que, por
sua vez, se encontra ligado à boca e cuja função é a de manter o ouvido médio à
pressão atmosférica.
Figura 70 - Esquema do ouvido médio e do ouvido interno. (Adapt. A.McCormick e A Elliot,
2001).
O ouvido interno é essencialmente uma cavidade no interior do crânio e,
portanto, protegida por este, cheia de fluido. É constituído pelo vestíbulo, a cóclea e
os canais semicirculares. Os canais semicirculares são os nossos sensores de controlo
do equilíbrio. São três tubos cheios de fluido, que formam ângulos rectos entre si (ver
figura 70). Desta forma, movimentos da cabeça são acompanhados de movimentos no
fluido medidos por pequenos cílios que se encontram no interior dos canais e que
fornecem informação aos nervos sobre esses movimentos. Esses nervos transmitem
essa informação ao cérebro de modo a que este inicie os mecanismos necessários para
manter o equilíbrio. O vestíbulo é a cavidade que liga a janela oval à cóclea. E a
cóclea é um tubo em forma de espira que contém três câmaras distintas: scala
vestibuli, o ducto coclear e a scala tympani (ver figura 71). A scala vestibuli e a
scala tympani encontram-se ligadas no ápex da cóclea e contêm o mesmo líquido no
seu interior: a perilinfa. A primeira está ligada à janela oval, enquanto que a segunda à
janela redonda. O ducto coclear, que se contra, na cóclea, entre as outras duas
câmaras, encontra-se cheio de um líquido chamado endolinfa. A separá-lo da scala
tympani encontra-se a membrana basilar, recoberta de células sensíveis à vibração.
Estas células, conhecidas por células ciliadas devido à sua geometria em forma de
cílio, transformam o movimento do fluido em sinais eléctricos que são conduzidos até
ao cérebro através do nervo auditivo. Ora o movimento do fluido é determinado pela
pressão na janela oval que estabelece a ligação entre os ossículos e o vestíbulo. Não é
ainda muito claro o modo exacto de funcionamento da cóclea, no entanto, é conhecido
que as células basilares têm uma disposição tal que as que se encontram mais
próximas da base da cóclea são sensíveis às frequências mais altas, enquanto que as
que se encontram mais próximas do ápex são sensíveis às frequências mais baixas. De
referir também o papel da janela redonda, cujo movimento permite dissipar o excesso
de energia existente nas ondas de som que se propagam ao longo da cóclea.
88
Figura 71 - Corte transversal dos três canais da cóclea. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001).
17.1Gama de frequências e sensibilidade do ouvido humano
O normal funcionamento do ouvido humano permite sermos sensíveis a
frequências que vão desde 20 Hz até 20 000 Hz nos adultos. É, no entanto, sabido que,
com o passar dos anos o limite superior desta gama poderá descer para valores de
15 kHz ou mais baixo. Quanto à sensibilidade o nosso ouvido apresenta também uma
fantástica capacidade: geralmente, é possível detectar diferenças de som na ordem de
0.1 % da frequência considerada. Para ter uma noção do que este valor significa
repare-se que entre o dó e o ré existe uma diferença de cerca de 6 %. Na verdade,
numa gama de frequências entre 60 e 1000 Hz é possível distinguirmos sons
separados de 2 a 3 Hz. Para valores de frequência superiores torna-se um pouco mais
difícil distinguir frequências que se encontrem tão próximas.
Na figura 72 apresenta-se um gráfico onde está apresentado o limiar de
audibilidade de um indivíduo jovem sem problemas de audição (linha a cheio) em
função da frequência. Encontram-se ainda representadas as linhas associadas ao limiar
de audibilidade da média dos indivíduos e aos limiares associados ao desconforto e à
dor. Assume-se que para valores acima de 160 dB o tímpano pode sofrer ruptura.
Figura 72 - Gráfico onde estão apresentados o limiar de audibilidade para um jovem com uma
audição normal, o limiar de audibilidade para a média da população, o limiar de intensidade do
som a partir do qual o indivíduo experiência uma sensação de desconforto e aquele em que
começa a sentir dor. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001).
89
A título de curiosidade, na tabela 5 encontram-se apresentados alguns valores
típicos de intensidade sonora associados a determinadas situações.
Nível do
som (dB)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
85
90
100
110
120
130
Situação
Som mínimo audível
Movimento das folhas das árvores
Uma rua com pouco movimento
Sussurro
Conversação
Ruído médio de uma casa
Conversação (de um indivíduo para outro que se encontra a 1 m)
Ruído no interior de uma loja de grandes dimensões
Ruído de uma estrada com grande movimento a 18 m
Primeiro nível de perigo
Ruído no interior de um camião ou de um metropolitano
A 8 m de um camião numa rua estreita
A 1 m de um grupo rock ou a 15 m de um apito de comboio.
A 175 m de um avião
A 35 m de um avião a jacto
Tabela 5 - Alguns ruídos típicos de diversas situações. Observe-se que um ruído continuado de
85 dB pode já causar danos permanentes. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001).
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