Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)

Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)
A principal característica do movimento uniformemente variado é a aceleração escalar constante.
Quando um móvel qualquer se movimenta com aceleração escalar constante, existe uma variação de sua
velocidade escalar e, como consequência direta, sua velocidade escalar é variável no tempo. Logo, em um
movimento uniformemente variado, a velocidade do móvel varia de quantidades iguais (∆v) em intervalos de
tempos iguais (∆t). Assim, a aceleração média (am) do móvel é igual a sua aceleração escalar (a). Ou seja:
a=
∆v
∆t
Então, podemos relacionar a variação da
velocidade (∆v) com a aceleração constante (a) e o
intervalo de tempo (∆t) através da expressão:
∆v = a∆t
Essa expressão também equivale ao cálculo da área
formada no gráfico da aceleração contra o tempo
para um móvel realizando um MUV.
Com a variação da velocidade, podemos escrever:
∆v = v f − v o →
v f − v o = a∆ t →
v f − v o = a (t f − t o )
Consideremos que no instante de tempo inicial to = 0 o móvel tenha velocidade inicial vo. No instante de tempo
final tf = t, o móvel tenha velocidade final vf = v. Assim, teremos que:
v − vo = a (t − 0)
→
v − vo = at
→
v = vo + at
Então:
v = v o + at
⇒
Forma padrão da função horária para a velocidade de um móvel em M.U.V.
Com a função horária do movimento uniformemente variado, podemos determinar a velocidade de um
móvel que se movimente com aceleração constante em qualquer instante de tempo desde que seja conhecida sua
velocidade inicial. A aceleração escalar pode ser obtida numericamente pela inclinação da reta, ou seja, pela
tangente do ângulo que a reta no gráfico velocidade versus tempo forma com o eixo do tempo, do lado positivo.
a = tg (θ ) =
∆v
∆t
a = tg (θ ) = −tg (α ) =
∆v
∆t
1
Para determinarmos o
deslocamento (∆s) realizado por
um móvel que executa um
movimento uniformemente variado
(M.U.V.), basta efetuarmos o
cálculo da área determinada pela
linha do gráfico com o eixo do
tempo, dentro do intervalo de
tempo considerado.
∆s =
( v o + v )t
2
Ou seja, o deslocamento é dado pelo produto do intervalo de tempo, (t − 0), pela média aritmética entre a
velocidade inicial e a final, (vo + v)/2.
Através desse raciocínio, podemos desenvolver uma relação geral para o cálculo do deslocamento e,
também, da posição de um móvel que realiza um MUV. Suponha um móvel com velocidade inicial vo que
acelera uniformemente até atingir uma velocidade final v, a qual é dada pela equação v = v o + at . Substituindo
esses dados na relação ∆s = ( vo + v )t / 2 vamos obter:
∆s =
( vo + vo + at )
t
2
∆s = v o t +
a 2
t
2
→
∆s =
(2vo + at )
t
2
→
∆s = vo t +
at 2
2
⇒ Forma padrão da função horária para o deslocamento de um móvel em M.U.V.
Como ∆s = s f − s o , então:
s − so = vo t +
at 2
2
s = so + v o t +
a 2
t
2
→
⇒
s = so + v o t +
at 2
2
Forma padrão da função horária para a posição de um móvel em M.U.V.
Logo, o deslocamento e a posição de um móvel realizando um MUV variam quadraticamente no tempo,
ao contrário de um móvel em movimento uniforme (MU), no qual a posição varia linearmente com o tempo.
Assim, o gráfico da posição com o tempo de um móvel em MUV forma uma parábola que pode ter concavidade
para cima, no caso em que a aceleração é positiva (a > 0), ou concavidade voltada para baixo, no caso em que a
aceleração for negativa (a < 0).
aceleração positiva (a > 0)
aceleração negativa (a < 0)
2
A Equação de Torricelli
Com as equações da função horária da velocidade e do deslocamento, podemos obter uma terceira
equação, relacionando velocidade (inicial e final), aceleração e deslocamento independentemente do “tempo” em
que ocorre tal movimento. Isolando o tempo t na equação v = vo + at , obtemos:
t=
v − vo
a
Substituindo esta expressão na equação ∆s = vo t + at 2 / 2 , que representa a função horária do deslocamento,
temos:
2
v 2 = vo + 2a∆s
⇒
Equação de Torricelli
A equação de Torricelli é de grande utilidade na resolução de exercícios de MUV que não mencionam o
tempo nos dados do problema.
INFORMAÇÕES ADICIONAIS
Fórmula de Bhaskara para determinação das raízes de um polinômio do 2º Grau:
Ax 2 + Bx + C = 0
Equação do 2º Grau

−B+
 x' =
− B ± B 2 − 4 AC 
x=
=
2A

 x' ' = − B −

B 2 − 4 AC
2A
Fórmula de Bhaskara
B 2 − 4 AC
2A
Fórmulas para o cálculo da área de algumas figuras planas comuns:
Triângulo retângulo:
Retângulo:
Trapézio:
Área (A) do triângulo
retângulo:
Área (A) do retângulo:
Área (A) do trapézio:
A=
ab
2
A = ab
A=
(b + B)h
2
3
Exemplos:
1. Um carro com velocidade de 108 km/h é freado e pára em 12 s. Considerando que a aceleração do móvel
tenha sido constante e que o mesmo realizava um movimento retilíneo, determine:
a) O valor da aceleração.
b) A distância percorrida pelo carro até parar.
c) O esboço do gráfico da velocidade contra o tempo para esse movimento.
2. Uma partícula se move ao longo de um eixo horizontal s de acordo com a equação s = t 2 − 2t − 8 (SI)
efetuando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A aceleração da partícula.
A posição inicial da partícula.
A velocidade inicial da partícula.
A função horária para a velocidade da partícula.
O(s) instante(s) de tempo em que a partícula cruza a origem da trajetória.
O instante de tempo no qual a partícula inverte o sentido do seu movimento.
O esboço do gráfico da posição (s) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
O esboço do gráfico da velocidade (v) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
O esboço do gráfico da aceleração (a) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
A posição da partícula aos 3 s de movimento.
3. Um móvel executando um movimento
retilíneo uniformemente variado (MRUV)
tem sua velocidade em função do tempo
dada pelo gráfico ao lado. Sendo assim:
a) Que distância o móvel percorre em
10 s?
b) Qual a velocidade média do móvel
nos 10 s?
c) Esboce o gráfico da aceleração (a)
contra o tempo (t) para o
movimento do móvel.
4. O diagrama horário representa o comportamento da aceleração em função do tempo para um móvel que
desenvolve um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Inicialmente, o móvel estava na
posição 2 m e, após 10 s de movimento, o mesmo apresenta uma velocidade de 40 m/s. Sendo assim:
a) Determine a variação da velocidade
do móvel nos primeiros 10 s do
movimento.
b) Determine a velocidade inicial do
móvel.
c) Escreva a função horária para a
velocidade escalar do móvel.
d) Escreva a função horária para a
posição do móvel.
0
5. Um trem começa a ser observado quando sua velocidade é de 108 km/h, a qual ele mantém durante os
15 s seguintes. Logo após, ele freia com aceleração constante e de magnitude igual a 0,5 m/s2 até parar
em uma estação. Sendo assim, determine a distância na qual o trem se encontrava da estação quando o
mesmo começou a ser observado.
4
Exercícios Propostos:
1. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 no instante do ataque. Em quanto tempo um carro,
partindo do repouso, atingiria a velocidade de 100 km/h com a mesma aceleração (suposta constante)?
2. Abaixo, são apresentadas as equações horárias da posição de alguns móveis realizando um movimento
retilíneo uniformemente variado (MRUV). Para cada uma delas, determine a posição inicial do móvel, a
velocidade inicial do móvel e sua aceleração do móvel. Todas as equações estão em unidades do SI.
s = (t − 4)(t + 2) .
b) s = 3(t − 4) 2 .
c) s = 2t ( 4 + 5t ) .
d) s = −8( 2 − t 2 ) .
a)
3. Uma partícula se move ao longo de um eixo horizontal s de acordo com a equação s = 50t + 10t 2 (SI)
efetuando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A aceleração da partícula.
A posição inicial da partícula.
A velocidade inicial da partícula.
A função horária para a velocidade da partícula.
O(s) instante(s) de tempo em que a partícula cruza a origem da trajetória.
O instante de tempo no qual a partícula inverte o sentido do seu movimento.
O esboço do gráfico da posição (s) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
O esboço do gráfico da velocidade (v) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
O esboço do gráfico da aceleração (a) contra o tempo (t) para o movimento da partícula.
A posição da partícula aos 3 s de movimento.
4. A função horária da velocidade de uma partícula é v = 30 − 6t (SI). Sabendo que partícula se encontra
na posição s = 6 m no instante de tempo t = 0, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A aceleração da partícula.
A posição inicial da partícula.
A velocidade inicial da partícula.
A equação que representa a função horária para a posição da partícula;
A posição da partícula quando sua velocidade é nula.
5. Um móvel executando um movimento retilíneo
uniformemente variado (MRUV) tem sua velocidade
em função do tempo dada pelo gráfico ao lado.
Sendo assim:
a) Qual a aceleração do móvel?
b) Que distância o móvel percorre em 3 s?
c) Qual a velocidade média do móvel aos 3 s
do movimento?
5
6. Um móvel executando um movimento retilíneo
uniformemente variado (MRUV) tem sua velocidade
em função do tempo dada pelo gráfico ao lado.
Sendo assim:
a)
b)
c)
d)
Qual a aceleração do móvel?
Que distância o móvel percorre em 5 s?
Qual a velocidade média do móvel aos 5 s?
Qual a distância percorrida pelo móvel entre
os instantes t = 2 s e t = 4 s?
e) Qual a velocidade média do móvel entre os
instantes t = 2 s e t = 4 s?
7. Um automóvel A está parado em um
semáforo. Quando o sinal verde acende, e A
inicia seu movimento, passa por ele outro
carro, sendo este o automóvel B, com
velocidade constante. O gráfico ao lado
representa o comportamento das velocidades
dos dois carros em função do tempo. Assim
sendo, determine quanto tempo leva para que
o carro A alcance o carro B.
8. Dois veículos (1 e 2) deslocam-se
em trajetórias retilíneas e paralelas
uma à outra. No instante inicial t = 0
eles se encontram lado a lado. O
gráfico ao lado representa o
comportamento das velocidades
desses veículos em função do
tempo, durante os 1.200 s seguintes
do início da observação do
movimento dos mesmos. Assim
sendo, esses veículos estarão
novamente lado a lado, pela
primeira vez (após o início da
observação do movimento dos
mesmos), em quais dos instantes de
tempo apresentados no gráfico?
Veículo 1
Veículo 2
9. Uma partícula tem aceleração conforme
mostra o gráfico ao lado. No instante
inicial, em t = 0, sabe-se que a velocidade
da partícula era de 5 m/s, sendo que a
mesma apresentava o mesmo sentido da
aceleração. Assim sendo, determine o
módulo da velocidade da partícula no
instante t = 10 s.
6
10. Uma partícula tem aceleração conforme
mostra o gráfico. Sabe-se que a velocidade
da partícula era nula (ou seja, a partícula
estava em repouso) no instante inicial t = 0.
Assim sendo, determine:
0
a)
O esboço do gráfico da velocidade
da partícula contra o tempo.
b) A aceleração média da partícula no
intervalo de 0 s a 40 s.
11. Um veículo em movimento retilíneo com velocidade inicial de 72 km/h é acelerado uniformemente a
3 m/s2. Que distância o veículo percorrerá até atingir a velocidade de 40 m/s?
12. Um veículo desloca-se com velocidade constante de 36 km/h quando uma criança entra na pista 25 m à
frente. Se o motorista pisa no freio, imediatamente, imprimindo ao veículo uma desaceleração constante
de 5 m/s2, o mesmo irá parar antes ou após atropelar a criança? Justifique sua resposta.
13. De uma estação parte um trem A com velocidade constante vA = 80 km/h. Depois de certo tempo, parte
dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante vB = 100 km/h. Depois de um dado
tempo de percurso, o maquinista do trem B verifica que o seu trem se encontra a 3 km do trem A. A
partir desse instante, ele aciona os freios do seu trem indefinidamente, imprimindo no mesmo uma
desaceleração constante de módulo igual a 50 km/h2. O trem A continua no seu movimento anterior
normalmente. Nessas condições, a alternativa (única) abaixo correta será aquela na qual:
a)
b)
c)
d)
e)
Não houve encontro dos trens.
Depois de duas horas o trem B pára e a distância que o separa do trem A é de 64 km.
Houve encontro dos trens 12 minutos após o maquinista do trem B acionar os freios do seu trem.
Houve encontro dos trens 36 minutos após o maquinista do trem B acionar os freios do seu trem.
Não houve encontro dos trens e a distância que os separa é de 2 km.
14. A equação de Torricelli é de grande utilidade na resolução de exercícios de MUV que não mencionam o
tempo (t) nos dados do problema. A mesma é obtida isolando-se a variável que representa o tempo (t) na
equação da velocidade do móvel em MUV (isto é: v = vo + at ), e substituindo-se a expressão
correspondente na equação para o deslocamento do móvel em MUV (isto é: ∆s = vo t + at 2 / 2 ). Assim
sendo, demonstre como obter esse resultado; ou seja, com base no procedimento indicado, mostre como
2
se chega na equação de Torricelli (isto é: v 2 = vo + 2a∆s ).
15. Mostre que isolando a variável que representa a velocidade inicial (vo) na equação da velocidade em
MUV (isto é: v = vo + at ), e substituindo-se a expressão correspondente na equação para o
deslocamento no MUV (isto é: ∆s = vo t + at 2 / 2 ), obteremos uma expressão (equação) para o cálculo
do deslocamento de um móvel nesse tipo de movimento (MUV) em termos da sua velocidade final (v),
sua aceleração (a) e do tempo (t) com a seguinte forma:
∆s = vt −
a 2
t
2
7
Respostas dos Exercícios Propostos:
1. 0,55 s;
2. a) so = −8 m; vo = −2 m/s; a = 2 m/s2; b) so = 48 m; vo = −24 m/s; a = 6 m/s2;
c) so = 0; vo = 8 m/s; a = 20 m/s2; d) so = −16 m; vo = 0; a = 16 m/s2;
3. a) 20 m/s2; b) zero; c) 50 m/s; d) s = 50 + 20t (SI); e) 0 s e −5 s; f) −2,5 s;
h)
g)
i)
j) 240 m;
4. a) −6 m/s2; b) 6 m; c) 30 m/s; d) s = 6 + 30t − 3t 2 (SI); e) 81 m;
5. a) 4/3 m/s2 (= 1,33 m/s2); b) 12 m; c) 4 m/s;
6. a) −5 m/s2; b) 62,5 m; c) 12,5 m/s; d) 20 m; e) 10 m/s;
7. 10 s;
8. 800 s;
9. 20 m/s;
10.
a)
b) −0,75 m/s2;
11. 200 m;
12. Antes, pois pára 15 m à frente da criança.
13. c.
8