Aula 22 - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoII EletromagnetismoII Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão de Ondas em interfaces múltiplas (Capítulo 11– Páginas 417 a 425) • Impedância de entrada • Coef. de reflexão de estruturas multicamadas EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces § Espelhos em LASERs Espelho altamente refletivo Bombeio Espelho parcialment erefletivo Luz emitida Meiocomganho Cavidaderessonante 1 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces § Radome de antenas 1 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Definimos os coeficientes (de reflexão e refração) de Fresnel para uma única interface entre 2 meios. • É mais comum que estas interfaces apareçam em estruturas com uma ou mais camadas como: § Cavidades de Fabry-Perot: consistem em duas superfícies parcialmente refletoras paralelas. § Filtros de filmes finos: estrutura de múltiplas camadas (filmes) dielétricos. § Camadas anti-refletivas: estrutura múltiplas. § Radome: estruturas para proteção de antenas (muitas vezes deixa passar faixa estreita de frequências) (colocar figuras). • É possível (diferentes métodos) calcular o coeficiente de reflexão (e transmissão) equivalente destas estruturas com múltiplas interfaces dielétricas. 1 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Consideremos três meios com impedância intrínseca η1, η2 e η3 separados por 2 interfaces. 2 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Consideremos três meios com impedância intrínseca η1, η2 e η3. • A interface entre o 1º e 2º meios está situada E +x1 em z = -l e a interface entre o 2º e 3º meios está em z = 0. Et • A onda incidente em – l é transmitida para o meio 2, onde sofre múltiplas reflexões . • Em cada reflexão, há ondas transmitidas para o meio 3 e transmitidas de volta para o meio 1. • O Γ da estrutura é calculado considerando todas as componentes que voltam para o meio 1. η3 η2 η1 -l 0 z 2 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Consideremos que a onda incidente no meio 1 é linearmente polarizada em x. • No meio 2, há uma onda progressiva Ex2+ (soma da múltiplas componentes) e uma onda regressiva Ex2-. E x 2 = E x+20 e− jβ2 z + E x−20 e jβ2 z • Estas ondas possuem campo magnético dado por: + − H y2 = H y20 e− jβ2 z + H y20 e jβ2 z • As amplitudes do campo elétrico das ondas regressiva e progressiva estão relacionadas por: E x−20 = Γ23 E x+20 3 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Onde, para incidência normal: Γ23 = η3 − η2 η3 + η2 • O campo magnético está relacionado com o campo elétrico pela impedância intrínseca: − H y20 =− 1 − 1 E x 20 = − Γ23 E x+20 η2 η2 • A impedância de onda dependente de ‘z’ é definida como a relação entre os campos totais: E x 2 E x+20 e− jβ2 z + E x−20 e jβ2 z ηw (z) = = + − jβ2 z − H y2 H y20 e + H y20 e jβ2 z • Usando Γ e η2, a impedância ηw pode ser escrita: ⎡ e− jβ2 z + Γ23e jβ2 z ⎤ Ex 2 ηw (z) = = η2 ⎢ − j β 2 z jβ2 z ⎥ H y2 e − Γ e ⎣ ⎦ 23 4 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Utilizando a identidade de Euler: e− jβ2 z = cos β2 z − j sin β2 z • A impedância de onda de onda ηw fica: ⎡ (η + η ) ( cos β z − j sin β z ) + (η − η ) ( cos β z + j sin β z ) ⎤ 2 2 3 2 2 2 ηw (z) = η2 ⎢ 3 2 ⎥ ⎢⎣ (η3 + η2 ) ( cos β2 z − j sin β2 z ) − (η3 − η2 ) ( cos β2 z + j sin β2 z ) ⎥⎦ • Simplificando esta expressão: ⎡η3 cos β2 z − jη2 sin β2 z ⎤ ηw (z) = η2 ⎢ ⎥ ⎣η2 cos β2 z − jη3 sin β2 z ⎦ • Esta expressão nos dá a impedância de onda em função da posição ‘z’. 5 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • A impedância de onda na interface em z = - l permite calcular o Coef. de Reflexão da estrutura. • Os componentes tangenciais dos campos são contínuos (iguais em ambos os lados) da interface: e + − E x10 + E x10 = E x 2 (z = −l) + − E x10 E x10 E (z = −l) − = x2 η1 η1 ηw (z = −l) • Onde Ex10+ e Ex10- são as amplitudes das ondas incidente e refletida no meio 1. • Manipulando estas equações e eliminando Ex2, chegamos na expressão para Γ (da estrutura): − E x10 η −η Γ = + = entrada 1 E x10 ηentrada + η1 6 AENTERGIADENTRODACAMADA2PERMANECEAMESMA. Potenciaqueentraigualapotênciaquesai.d SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Na expressão anterior ηentrada é a impedância ηw em z = -l: ⎡η3 cos β2l + jη2 sin β2l ⎤ ηentrada = η2 ⎢ ⎥ ⎣η2 cos β2l + jη3 sin β2l ⎦ • As duas última expressões permitem calcular o coeficiente de reflexão para a estrutura com uma camada (com impedância de onda η2). • Utilizando Γ é possível obter a potência da onda refletida para uma dada potência de onda incidente. • Se as camadas não absorverem radiação EM (premissa para obter eqs. anteriores) a potência transmitida pode ser obtida a partir das potências incidente e refletida (como?). 7 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • Este método pode ser estendido para um problema com qualquer número de interfaces. • Vamos considerar uma estrutura com 2 camadas com espessuras la e lb (próximo slide). • A impedância de onda na entrada da última camada (camada b) é: ⎡η4 cos β3l + jη3 sin β3l ⎤ ηentrada, b = η3 ⎢ ⎥ ⎣η3 cos β3l + jη4 sin β3l ⎦ • A impedância de onda na entrada da penúltima camada (camada a) pode agora ser calculada com ηetrada, b. ⎡η ⎤ entrada, b cos β 2 la + jη2 sin β 2 la ηentrada, a = η3 ⎢ ⎥ ⎣η2 cos β2la + jηentrada, b sin β2lb ⎦ 8 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • O coef. de Reflexão Γ na entrada do meio 1 fica: − ηentrada, a − η1 E x10 Γ= + = E x10 ηentrada, a + η1 8 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • No geral quando se trabalha com óptica, é mais comum utilizar índices de refração (no lugar de η). • O índice de refração de um material dielétrico com µ = µ0 é: n = εr • A constante de fase dentro de um meio com índice n é: 2π β = nβ 0 = n λ0 λ no vácuo • O comprimento de onda da onda EM dentro do material com índice n é: λ= λ0 n • A relação entre a velocidade de fase no material e no vácuo é dada por: vp = c n 9 SJBV Ondas Eletromagnéticas Reflexão em Múltiplas interfaces • A relação entre a impedância intrínseca e ‘n’ em um dielétrico é: η0 η= n • Lembrando que a impedância intrínseca do vácuo é: µ0 η0 = ε0 10
