Aula 22 - professor Daniel Orquiza de Carvalho

Prof.DanielOrquiza
EletromagnetismoII
EletromagnetismoII
Prof.DanielOrquizadeCarvalho
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão de Ondas em interfaces múltiplas
(Capítulo 11– Páginas 417 a 425)
• 
Impedância de entrada
• 
Coef. de reflexão de estruturas multicamadas
EletromagnetismoI
2
Prof.DanielOrquiza
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
§  Espelhos em LASERs
Espelho
altamente
refletivo
Bombeio
Espelho
parcialment
erefletivo
Luz
emitida
Meiocomganho
Cavidaderessonante
1
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
§  Radome de antenas
1
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Definimos os coeficientes (de reflexão e refração) de Fresnel para uma única
interface entre 2 meios.
•  É mais comum que estas interfaces apareçam em estruturas com uma ou mais
camadas como:
§  Cavidades de Fabry-Perot: consistem em duas superfícies parcialmente refletoras
paralelas.
§  Filtros de filmes finos: estrutura de múltiplas camadas (filmes) dielétricos.
§  Camadas anti-refletivas: estrutura múltiplas.
§  Radome: estruturas para proteção de antenas (muitas vezes deixa passar faixa
estreita de frequências) (colocar figuras).
•  É possível (diferentes métodos) calcular o coeficiente de reflexão (e transmissão)
equivalente destas estruturas com múltiplas interfaces dielétricas.
1
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Consideremos três meios com impedância intrínseca η1, η2 e η3 separados por 2
interfaces.
2
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Consideremos três meios com impedância
intrínseca η1, η2 e η3.
•  A interface entre o 1º e 2º meios está situada
E +x1
em z = -l e a interface entre o 2º e 3º meios está
em z = 0.
Et
•  A onda incidente em – l é transmitida para o
meio 2, onde sofre múltiplas reflexões .
•  Em cada reflexão, há ondas transmitidas para o
meio 3 e transmitidas de volta para o meio 1.
•  O Γ da estrutura é calculado considerando todas
as componentes que voltam para o meio 1.
η3
η2
η1
-l
0
z
2
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Consideremos que a onda incidente no meio 1 é linearmente polarizada em x.
•  No meio 2, há uma onda progressiva Ex2+ (soma da múltiplas componentes) e uma
onda regressiva Ex2-.
E x 2 = E x+20 e− jβ2 z + E x−20 e jβ2 z
•  Estas ondas possuem campo magnético dado por:
+
−
H y2 = H y20
e− jβ2 z + H y20
e jβ2 z
•  As amplitudes do campo elétrico das ondas regressiva e progressiva estão
relacionadas por:
E x−20 = Γ23 E x+20
3
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Onde, para incidência normal:
Γ23 =
η3 − η2
η3 + η2
•  O campo magnético está relacionado com o campo elétrico pela impedância
intrínseca:
−
H y20
=−
1 −
1
E x 20 = − Γ23 E x+20
η2
η2
•  A impedância de onda dependente de ‘z’ é definida como a relação entre os campos
totais:
E x 2 E x+20 e− jβ2 z + E x−20 e jβ2 z
ηw (z) =
= + − jβ2 z
−
H y2 H y20 e
+ H y20
e jβ2 z
•  Usando Γ e η2, a impedância ηw pode ser escrita:
⎡ e− jβ2 z + Γ23e jβ2 z ⎤
Ex 2
ηw (z) =
= η2 ⎢ − j β 2 z
jβ2 z ⎥
H y2
e
−
Γ
e
⎣
⎦
23
4
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Utilizando a identidade de Euler:
e− jβ2 z = cos β2 z − j sin β2 z
•  A impedância de onda de onda ηw fica:
⎡ (η + η ) ( cos β z − j sin β z ) + (η − η ) ( cos β z + j sin β z ) ⎤
2
2
3
2
2
2
ηw (z) = η2 ⎢ 3 2
⎥
⎢⎣ (η3 + η2 ) ( cos β2 z − j sin β2 z ) − (η3 − η2 ) ( cos β2 z + j sin β2 z ) ⎥⎦
•  Simplificando esta expressão:
⎡η3 cos β2 z − jη2 sin β2 z ⎤
ηw (z) = η2 ⎢
⎥
⎣η2 cos β2 z − jη3 sin β2 z ⎦
•  Esta expressão nos dá a impedância de onda em função da posição ‘z’.
5
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  A impedância de onda na interface em z = - l
permite calcular o Coef. de
Reflexão da estrutura.
•  Os componentes tangenciais dos campos são contínuos (iguais em ambos os lados)
da interface:
e
+
−
E x10
+ E x10
= E x 2 (z = −l)
+
−
E x10
E x10
E (z = −l)
−
= x2
η1
η1
ηw (z = −l)
•  Onde Ex10+ e Ex10- são as amplitudes das ondas incidente e refletida no meio 1.
•  Manipulando estas equações e eliminando Ex2, chegamos na expressão para Γ (da
estrutura):
−
E x10
η
−η
Γ = + = entrada 1
E x10 ηentrada + η1
6
AENTERGIADENTRODACAMADA2PERMANECEAMESMA.
Potenciaqueentraigualapotênciaquesai.d
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Na expressão anterior ηentrada é a impedância ηw em z = -l:
⎡η3 cos β2l + jη2 sin β2l ⎤
ηentrada = η2 ⎢
⎥
⎣η2 cos β2l + jη3 sin β2l ⎦
•  As duas última expressões permitem calcular o coeficiente de reflexão para
a
estrutura com uma camada (com impedância de onda η2).
•  Utilizando Γ é possível obter a potência da onda refletida para uma dada potência de
onda incidente.
•  Se as camadas não absorverem radiação EM (premissa para obter eqs. anteriores) a
potência transmitida pode ser obtida a partir das potências incidente e refletida
(como?).
7
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  Este método pode ser estendido para um problema com qualquer número de
interfaces.
•  Vamos considerar uma estrutura com 2 camadas com espessuras la e lb (próximo
slide).
•  A impedância de onda na entrada da última camada (camada b) é:
⎡η4 cos β3l + jη3 sin β3l ⎤
ηentrada, b = η3 ⎢
⎥
⎣η3 cos β3l + jη4 sin β3l ⎦
•  A impedância de onda na entrada da penúltima camada (camada a) pode agora ser
calculada com ηetrada, b.
⎡η
⎤
entrada, b cos β 2 la + jη2 sin β 2 la
ηentrada, a = η3 ⎢
⎥
⎣η2 cos β2la + jηentrada, b sin β2lb ⎦
8
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  O coef. de Reflexão Γ na entrada do meio 1 fica:
−
ηentrada, a − η1
E x10
Γ= + =
E x10 ηentrada, a + η1
8
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  No geral quando se trabalha com óptica, é mais comum utilizar índices de refração
(no lugar de η).
•  O índice de refração de um material dielétrico com µ = µ0 é:
n = εr
•  A constante de fase dentro de um meio com índice n é:
2π
β = nβ 0 = n
λ0
λ no vácuo
•  O comprimento de onda da onda EM dentro do material com índice n é:
λ=
λ0
n
•  A relação entre a velocidade de fase no material e no vácuo é dada por:
vp =
c
n
9
SJBV
Ondas Eletromagnéticas
Reflexão em Múltiplas interfaces
•  A relação entre a impedância intrínseca e ‘n’ em um dielétrico é:
η0
η=
n
•  Lembrando que a impedância intrínseca do vácuo é:
µ0
η0 =
ε0
10