Soluções das Fichas Práticas

INSTITUTO POLITECNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Metodos de Analise Complexa
Eng. de Sistemas e Informatica
1999/2000 1o semestre
Soluco~es da Ficha Pratica no 1 { Numeros complexos
1. (a) 1 + 6i (c) ;4 ; 4i (d) ;26 ; 2i (e) ; 115 + 135 i (g) ; 23 + 76 i
(i) ;5 + 12i (j) 12 ; 16i (k) 3 + 4i
8. (a) Re z = 2 Im z = ;3 (b) Re z 4 Im z 3 (c) Re z = 1 Im z = 5
13
13
25
25
13
13
(d) Re z = ;1 Im z = ;1 (e) Re z = 0 Im z = ;1 (f) Re z = 0 Im z = 1
p
p
;
23
;
2
2
2
(g) Re z =
Im z = 26; 5 (h) Re z = 0 Im z = ;1=2
6
(i) Re z = ;1 Im z = 0
p
3
3
13. a) z = 2 2 cos 4 + i sin 4 b) z = 2 cos 3 + i sin 3 5
5
5
1
5
c) z = 2 cos 6 + i sin 6 d) z = p cos 4 + i sin 4 .
4 2
18. a) p377=5
21. a) 0
b) 53 .
p
p
25. c) ( 3 + i)=2 (; 3 + i)=2 ;i
p p
;
1
+
i 3
3 + i.
e) p4
p
4
8
8
p
p
p
p
26. a) P (z) = (z + 2)(z; 2)(z + 1p+ !i 3)(z + 1 ;pi !3)(z ; 1 + i 3)(z ; 1 ; i 3)
1 + i 3 z ; 1 ;pi 3 .
d) P (z ) = 5 z + p2
z; p
3
5
3
29. a)z = 1 + i _ z = 1 ; i
p5
2 k
2 k
f) 2 cos
5
+ i sin
5
5
d) z = cos
k = 0 1 2 3 4.
3
3
8
5
+ 2 4k + i sin 38 + 2 4k k = 0 1 2 3
29. a) (3 ; 8i)4 =(1 ; i)10
31. a) e2(cos 1 + i sin 1)
p
p
32. c) 2 3 e ;3i = 2 3 e 53 i
e) 2 e 23 i
f) 3 e; i
1
1
1
z
37. i) Re z < 4 () Re z2 < 4 () x2 +x y2 < 14 () x2 + y2 ; 4x > 0 () (x ; 2)2 + y2 > 4.
Logo, o conjunto em quest~ao e o exterior do crculo de centro z0 = 2 e raio 2.
38. b) Mediatriz do segmento ;5 1 + i] f) Mediatriz do segmento 0 i]
d) Mediatriz do segmento ;3 + i ;4i]. Note que jz ; 4ij = jz ; 4ij = jz + 4ij.
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39. a) Elipse de focos i e -2, excentricidade p5=3.
p
c) Crculo de raio 32=3 e centro (2 + 8i)=3, equaca~o 3x2 + 3y2 + 4x + 16y + 12 = 0.
d) Parabola de equaca~o y2 + 2x ; 1 = 0.
40. b) E fechado e conexo.
c) E fechado e limitado, logo compacto.
e) E conexo e limitado.
Soluco~es da Ficha Pratica no 2 { Func~oes de variavel complexa
1. b) Re f (z) = Re f (x + iy) = (x 3(;x5);2 +5) y2 , Im f (z) = Im f (x + iy) = (x ;;5)32y+ y2
d) Re f (z ) = Re f (x + iy) = ex (x cos y + (1 ; y) sin y)
Im f (z ) = Im f (x + iy) = ex (x sin y + (y ; 1) cos y)
p
x 10x2 + 10y 2 ; 12xy
e) Re f (z ) = Re f (x + iy) =
x2 + (y ; 1)2
p
(1
;
y ) 10x2 + 10y 2 ; 12xy
Im f (z ) = Im f (x + iy) =
x2 + (y ; 1)2
2. (a) C n (fig Sfx + ik j x 2 IR k 2 ZZg)
(b) fx + iy : x 6= 0g
;
S
(c) Cn f2ik k 2 ZZg fx + i( 2 + k) j x 2 IR k 2 ZZg
7. (a) f 0(z) = ;2z + 20iz4
(b) f 0 (z ) = (z 2 ; 3)4 (iz + 3)(12iz 2 + 30z ; 6i)
4
2
+ 6i)z
(c) f 0(z ) = (2 ; 2i)(2z z 3;;18iziz2 +;3(12
2
i)
sin((n + 1)=2)
21. (a) sin(n=2)sin(
=2)
22. (b) z = (2n 1=3)i n 2 ZZ
23. z = (n + 1)=2) + i tanh;1 (1=2)
=2) cos( + n=2)
(b) sin((n + 1)sin(
=2)
25. (a) f e inteira com f 0(z) = sinh z
(c) f e diferenciavel apenas em z = n + =2 n 2 ZZ, com f 0(n + =2) = 0.
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26. (a) y2 ; x2 ; 2y + c com c real
(b) 2iz ; z 2 + c com c real.
27. ze;z + 1
Soluc~oes da Ficha Pratica no 3 { Integrac~ao de func~oes complexas
2. (a) ;2r2 (b) ;2ir2 .
p
2
r 2ri
3. (a) 3 ; 2r2 (b) ;4=3 (c) 4i=3 .
4. (28 + 23i)=6.
5. (a) ;(16 + 21i)=6 (b) ;(4 + 3i)=6 (b) 4i=3 .
6. 2ir.
12. (a) 3i=2 (b) ;i=2
Soluc~oes da Ficha Pratica no 5 { Resduos e Integrais
1. (a) z = 0 i ;i de ordens 1,2,2
(b) z = 0 de ordem 2
(c) z = 0 de ordenm 3 z = n, com n 2 ZZ, de ordens 2
(d) z = 0, de ordem 3 z = n ; 1 (n inteiro), de ordens 1
(e) z = 2k (k inteiro), de ordens 2
(f) z = 0, de ordem 2 z = 2ki (k inteiro n~ao nulo),de ordem 1.
2.
1
z ;i
; (z;ii)2 .
11. (a) p2 6 12.
p2
2
(c) p12;a2 (d) pa22 ;b2
.
p
15. (a) 4p32 16. (a)
(b) p12;a2 e;2a 4
(d) ;27 (b)
(e) 4a .
e;4(2 cos 2+sin 2) 2
(c)
(1;e;a ) a2
(d) 4e .