Matemática V vol.3

Resoluções de Exercícios
MATEMÁTICA V
05 E
Capítulo
03
Conhecimentos Numéricos
Análise Combinatória – Parte II
Colocando em cada mês 4 crianças, teríamos 48 crianças distribuídas,
e restariam 3 crianças. Então, colocando as crianças restantes em
meses diferentes, podemos afirmar que, pelo menos, 5 nasceram no
mesmo mês.
06 C
O menor número de bolas da mesma cor é 5. Suponha que sejam
tiradas 4 bolas de cada cor, isto é, 4 x 5 = 20 bolas. Ao tirar mais
uma bola, temos a garantia de que, pelo menos, 5 teriam a mesma
cor. Portanto, devemos tirar 21 bolas.
BLOCO
01
07 E
1a parte: Todos os modelos:
1a etapa
01 C
Colocando 3 pessoas em cada signo, seriam distribuídos 36 pessoas e
restariam 4. Então, podemos, com certeza, afirmar que, pelo menos, 4
pessoas têm o mesmo signo.
cor
T= 6
2a etapa (os opcionais)
1a op 2a op 3a opc 4a opc
x
2
x
2
x
2
x
2
= 96.
2a parte: Todos os modelos sem opcionais:
T = 6 carros.
02 B
Colocando 4 pessoas em cada mês, teríamos 48 pessoas distribuídas.
Então, acrescentando mais 1 pessoa, garantiremos que haverá, pelo
menos, 5 pessoas nascidas no mesmo mês. O número mínimo é 49.
3a parte: Total de opções com, no mínimo, 1 opcional:
T = 96 – 6 = 90.
08 D
1a parte: No de modos para colocar João e Maria juntos (não convém)
J M
___ ___ ___ ___ ___ ___
T = 7 . P2 = 7 . 2 = 14
BLOCO
01
01 C
Com 730 pessoas, poderíamos ter 2 pessoas aniversariando num
mesmo dia, pois 2 x 365 = 730. Então, com 731 pessoas existirá, no
mínimo, três fazendo aniversário no mesmo dia.
02
3a parte: O total que convém será:
T = 56 – 14 = 42
09 C
Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número
mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:
A) as meias retiradas contenham um par da mesma cor?
3 meias
Tirando 2 meias, corremos o risco delas serem de cores diferente.
Então, tirando 3 meias no mínimo, garantiremos um par da mesma
cor.
B) As meias retiradas contenham um par de cor branca?
8 meias
Tirando 6 meias , corremos o risco das 6 serem pretas. Então,
tirando 8 meias, no mínimo, garantiremos que pelo menos um
par é de cor branca.
03 B
Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis
sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida
de 5 modos, a prova pode ser preenchida de 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ … 5 = 58 =
390625 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos
fornecem exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos
390626 candidatos.
04 D
Num grupo de 14 pessoas, podemos ter duas nascidas em cada dia
da semana, pois 14 ÷ 7 = 2. Portanto, com 15 pessoas, teremos, pelo
menos, 3 pessoas nascidas no mesmo dia da semana.
38
2a parte: No de modos para dispor João e Maria em 2 cadeiras (sem
observar as restrições)
T = A8,2 = 8 . 7 = 56
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
Inserindo 3 ⋅ 10 = 30 moedas, ainda teríamos a possibilidade de obtermos exatamente 3 bolas de cada cor. Logo, para garantir a retirada de
4 bolas de uma mesma cor, deverão ser inseridas 30 + 1 = 31 moedas.
10 D
Demonstração: Podemos dividir este quadrado em 4 quadrados
menores de lado 1, determinando os pontos médios de cada lado do
quadrado e traçando as retas que ligam os pontos médios de lados
opostos, como mostra a figura.
2
1
1
2
Podemos, então, aplicar o Princípio da Casa dos Pombos (para n = 4),
da seguinte forma:
• Casas: 4 quadrados menores;
• Pombos: 5 pontos;
• Relação: Cada ponto está associado ao quadrado onde ele está
(se um ponto estiver na fronteira entre dois quadrados, ele pode
“escolher” a qual quadrado quer pertencer).
MATEMÁTICA V
Distribuindo os 5 pontos entre os 4 quadrados menores, teremos,
necessariamente, um quadrado com, pelo menos, dois pontos. Agora, como a distância máxima entre dois pontos de um quadrado de
lado  é a sua diagonal ( 2 ), e a aresta de cada quadrado menor
mede 1, temos que a maior distância possível entre dois pontos deste
quadrado é 2 . Assim, o comprimento de segmento determinado
pelos dois pontos que estão em um mesmo quadrado é menor ou
igual a 2 .
BLOCO
09 B
B
02
A
01 Sejam x, y, z e w a quantidade, respectivamente, de refrigerantes do
tipo 1, tipo 2, tipo 3 e tipo 4. Estas quantidades devem satisfazer à
equação: x + y + z + w = 10.
Sendo (x, y, z, w) uma solução, temos alguns exemplos:
O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e
quatro lados horizontais.
6!
= 15
P62,4 =
2!.4!
• • || • | • • • • • • •
(2, 0, 1, 7)
••|•••••••|•|
(2,
7,
1, 0)
10 A
De acordo com o enunciado, cada estado do país possui
1000000
= 100.000 eleitores. Logo, como o candidato X ob10
|•|••|•••••••
(0, 1, 2, 7)
teve
0,52 ⋅ 1000000 = 520.000 votos, pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, temos que ele recebeu votos em pelo menos
O número de modos para comprar 10 refrigerantes será igual a:
;
2
P133,10 =
13 $ 12
13!
=
=13 $ 2 $ 11=13 $ 22= 286
10!3!
3 $ 2 $1
520000 - 1
E + 1 = 6 estados.
100000
Obs.: [x] é o maior inteiro menor do que ou igual a x.
02 A
Uma combinação e um arranjo, respectivamente.
03 A
T=
garoto mais novo velho 1 velho 1
$
$
C8 $ 2
C6 $ 3
C3 $ 3
T = T=
Capítulo
04
6!
8!
8!
$
$ 1=
2!6! 2!3!
2!(3!) 2
Conhecimentos de Probabilidade
Noções de Probabilidade
04 A
O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas
bolas corresponde ao número de combinações completas de 4 sabores
5
5!
5$4
tomados 2 a 2, isto é, CR24 = C24 + 2 - 1 = e o =
=
= 10.
2
2! $ 3!
2
05 D
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, tratá-los como se fossem
um único elemento, com o pai a esquerda da mãe.
Se o pai e mãe são um único elemento, passamos a ter somente 5
elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da
mesa com pai e mãe juntos, sendo que o pai está à esquerda da mãe,
será igual a : Pc5 = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.
06 B
1o) A ___ ___ ___ ___ ___ A
T=
P5 120
=
= 60 segundos distintos, descartando sua simétrica.
2
2
BLOCO
01
B) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A2 = {1, 3, 5} e A1 = {2, 4, 6}
C) Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), ...,
(2, 6), ..., (6, 6)}
A3 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
A3 = a soma não da 7
D) Ω = {(K, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (K, K, C), (K, C K), (C, K, K), (K, K, K}
A4 = {(K, K; C), (K, C, K), (C, K, K), (K, K, K)}
2o) O tempo para verificar todas as sequências possíveis será igual a:
T = 60 . 1,5 min = 90 min.
07 B
O número mínimo é 3 cores.
Sugestão: pinte a região do meio de amarelo, o próximo país de
verde, o adjacente azul, e saia alternando as cores, verde, azul, verde,
azul, ... até fechar o círculo.
08 B
O resultado pedido é dado por
10 5
10!
10 $ 9 $ 8 $ 7 $ 6
e o$e o =
=
= 252.
5
5
5! $ 5!
5$4$3$2
MATEMÁTICA V
02
Z Espaço amostral= X = "K, C ,, K = carsa e C = coroa.
]
A) [ A1 = "K ,
] A = Complementar de A = "C ,
1
\ 1
A4 = {(K, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (C, C, C)}
BLOCO
03
01 A
A probabilidade pedida é dada por
17
$ 100% = 20%.
85
02 B
Temos 36 resultados possíveis (seis vezes seis) e 5 possibilidades cuja
soma dos resultados é 8.
5
Podemos então dizer que a probabilidade será dada por: P =
36
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
39
03 A
02 A
P = 12,5% + 4,0% + 16,0% = 32,5%.
P=
50
85
6
129
+
=
= 0,0129.
10000
10000
10000
10000
04 D
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
10
4
2
12
3
+
=
=
–
20 20 20
20
5
03 D
Se o bairro tem cinco mil moradores dos quais mil são vegetarianos, então
pode-se deduzir que quatro mil não são vegetarianos. Entre os vegetarianos 40% são esportistas, ou seja, 400 moradores (1000 · 40% = 400). Entre
BLOCO
os não vegetarianos 20% são esportistas, ou seja, 800 moradores (4000
04
·20% = 800). Logo, conclui-se que o bairro possui 1200 esportistas (400
01 A
+ 800). Se uma pessoa escolhida ao acaso é esportista, a probabilidade
O número total de anagramas da palavra HOSPITAL é igual a permutação de 8, ou seja, O número de anagramas que começam e terminam
com consoantes é igual a: 5 · 4 ·P6 = 5 · 4 · 6!
A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna,
no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes será de:
5 $ 4 $ 6!
5 $ 4 $ 6!
5$4
20
5
=
=
=
=
8!
8 $ 7 $ 6!
8$7
56
14
de esta ser vegetariana será:
P (veg) =
BLOCO
400
1
=
1200
3
05
01 B
02 A
10
10!
10 $ 9
Há f p =
=
= 45 modos de extrairmos duas bolas
2
8!2!
2
Seja x a média aritmética entre o número obtido no dado e o da face
da moeda.
Lançando simultaneamente o dado e a moeda, é possível obter 6 · 2 = 12
resultados distintos.
Supondo x ∈ ]2, 4[ tem-se que os eventos favoráveis são (1,6), (2,3),
(3,3) e (4,3) Em consequência, podemos afirmar que a probabilidade
4
1
pedida é
ou seja,
12
3
brancas e f
100
100!
100 $ 99 $ 98
p=
Temos ainda f
=
= 50 $ 33 $ 98 modos de
3
97!3!
3$2
retirarmos 3 bolas quaisquer.
Portanto, a probabilidade pedida é:
03 B
O número de casos favoráveis corresponde ao número de arranjos
9!
simples de 9 objetos tomados 4 a 4, isto é, A9,4 =
. Por outro lado,
5!
o número de casos possíveis é igual ao número de arranjos simples
10!
de 10 objetos tomados 5 a 5 ou seja, A10,5 =
. Portanto, a pro5!
babilidade pedida é
9!
5! = 1
10!
10
5!
90
p = 90 modos de extrairmos uma bola de outra cor.
1
45 $ 90
3$9
27
, 0,025.
=
=
50 $ 33 $ 98
11 $ 98
1078
02 C
P=
8
8
2
=
=
C9,3
84
21
03 C
04 C
P(feminino ou Matemática) = P(feminino) + P (Matemática) –
4!
Existem P =
= 4 modos de obter exatamente 3 três caras em 4
3!
lançamentos. Por outro lado, existem apenas duas maneiras de obter 3
caras consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, a probabilidade
2
1
pedida é
ou seja, .
4
2
P(Matemática e feminino)
(3)
4
P(feminino ou Matemática =
15
25
10
30
3
.
–
+
=
=
40
40
40
40
4
05 B
Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na
caixa. Desse modo, como o número de casos favoráveis é e6 o e o
2
número de casos possíveis é en+ 6 o temos
2
6
f p
2
1
=
3
n+6
f
p
2
+
1
=
3
BLOCO
01 E
3 pretas
6!
2! $ 4!
(n + 6) !
2! $ (n + 4) !
5 brancas
x azuis
P(x) =
+ n2 + 11n - 60 = 0
& n = 4.
BLOCO
05
01 E
1
. As2
sim, a probabilidade de que a equipe não consiga nenhum ponto é
1
15
1 4
1
d n =
.
. Portanto, segue que a resposta é 1 =
16
16
2
16
A probabilidade de um membro retirar uma bola ímpar é
40
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
01
n ( x)
2
2
x
= →
=
→ 3x = 16 + 2x
n (X )
3
3
(8 + x)
x = 16
02 D
Se P(A ganhar) =
1
2
e P(B ganhar) =
então
4
5
1 2 3 2 15 - 8
7
=
- = - =
4 5 4 5
20
20
P(C ganhar) 1-
Daí, podemos concluir que a chance de C ganhar é 7 para 13.
MATEMÁTICA V
BLOCO
04
01 D
BLOCO
03
01 E
Entre as 4 regiões, Rural, Comercial, Residencial Urbano e Residencial
Suburbano, apenas 3 regiões têm temperaturas inferiores a 31 oC,
3
então a probabilidade será de: .
4
02 C
O total de pessoas vacinadas no posto foi de 200, das quais 22 eram
portadores de doenças crônicas. Então, a probabilidade pedida será
22
= 11%
igual a:
200
03 D
T = 263 + 122 + 93 + 1.132 + 656 = 2.266 espécies.
1.132
= 0,4995 ≅ 49,96%
Logo, P(capturar borboleta) =
2.266
04 D
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
A) Falsa, pois pela Tabela de adição, temos em 36 resultados:
1
1 resultado igual a 2, então P(Tadeu ganhar) =
36
5
5 resultados igual a 6, então P(Pedro ganhar) =
36
1
1 resultado igual a 12, então P(Ricardo ganhar) =
36
1
1
2
B) Falsa, pois P(Tadeu ou Ricardo ganhar) =
+
=
resultado
36
36
36
menor que P(Pedro ganhar).
C)Falso.
D)Verdadeiro.
E) Falso, as conjecturas são feitas em relação às maiores chances,
além disso, o fenômeno é probabilístico, e em nenhum momento
é colocado com certeza quem vai ganhar.
Somente a peixaria V satisfaz as condições, então a probabilidade
1
é de .
5
06 E
95
A sensibilidade é dada por
$ 100% = 95%.
95 + 5
07 E
Tem-se um resultado favorável dentre seis possíveis. Portanto, a pro1
babilidade é .
6
08 E
P: probabilidade pedida.
20% de 120 = 24
10% de 230 = 23
23
23
Logo, P =
=
.
47
23 + 24
P (A+ , A-) = P (A+) + P (A-) =
10 B
216
48
264
11
+
=
=
600
600
600
25
Número de elementos do Espaço Amostral: n(E) = 6 ⋅ 6 = 36
Evento (a soma das faces ser 10): A = "^4, 6h; ^5, 5h; ^6, 4h, e n(A) = 3.
Portanto, a probabilidade pedida será:
3
1
=
P=
36
12
Matemática V
aposteste
aposteste
[F]
350
= 0,70 = 70%
500
[F]
94
= 0,94 = 94%
100
[F]
100
= 0,4098 , 40,98%
150 + 94
[V]
350
, 0,98 , 98%
350 + 6
[F]
6
, 0,016 , 1,6%
350 + 6
350 sadias(resultado negativo)
*
150 doentes(resultado positivo)
94 sadias(resultado negativo)
*
6 doentes(resultado positivo)
02 E
A turma possui 3 + 10 + 15 + 12 = 40 alunos. Logo, como alunos
não leram nenhum livro no mês passado, segue que a probabilidade
3
pedida é
$ 100% = 7,5%.
40
03 C
Números já sorteados que possibilitam as resposta da questão 4: {1,
2, 3, 4 ,10}.
5
1
Portanto, a probabilidade pedida será, P=
=
10 2
04 B
Homens doentes: 0,07 · 120 = 8,4
Mulheres doentes: 0,12 · 80 = 9,6
Portanto, a probabilidade pedida será
8,4 + 9,6
18
9
P=
=
=
= 9%.
200
200
100
05 B
Adolescentes que responderam sim: 6
Adolescente que responderam não: 13
Adultos que responderam sim: 17
Adultos que responderam não: x
x
52
& 100x = 52 $ 36 + 52 $ x & 48x = 52 $ 36 & x = 39.
=
36 + x
100
Portanto, o total de entrevistados é dado pela soma:
6 + 13 + 17 + 39 = 75
06 C
05 D
09 E
Z
]500 sadias
]]
600 mulheres & [
]100 doentes
]
Portanto,
\
É imediato que a probabilidade pedida é igual a
20
.
100
07 B
Número de elementos do Espaço amostral: n(E) = 6 · 6 = 36
Evento A (A soma dos pontos ser maior ou igual a 10).
A {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5) e (6, 6)} e n(A) = 6.
Portanto, a probabilidade pedida será dada por:
6
1
P=
=
36 6
08 A
80 + 42 + 26 + 24
P=
=
80 + 49 + 43 + 42 + 35 + 26 + 24 + 11 + 77 + 13
172
=
= 0,430
400
09 C
Com os dados da resolução anterior sabe-se que M = 996, R = 1234,
e P = 706. Portanto, o número total de votos é 996 + 1234 + 706 =
2936 votos. Assim, a probabilidade de que o primeiro voto a ser retirado da urna para conferência seja do presidente eleito (Renato) é de:
1234
617
=
= 0,42 " 42%
2936
1468
10 A
O índice pedido é dado por:
20
30
40
50
10 $
+ 20 $
+ 40 $
+ 80 $
+
200
200
200
200
40
20
+ 160 $
+ 320 $
= 96.
200
200
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
41
BLOCO
05
06 C
01 A
A probabilidade de se retirar dois fuzis sem defeito:
C2,2
1
1
P1 =
=
=
C8,2
8!
28
2! $ (8 - 2) !
Logo, a probabilidade de se retirar de pelo menos uma arma ser
defeituosa ou ser pistola é igual a:
1
27
P = 1 - P' = 1 .
=
28
28
02 E
Júnior pode escolher três livros que ainda não tenha lido de
9
9!
f p=
= 84 maneiras. Logo, como ele pode escolher três livros
3
3! $ 6!
12
12!
quaisquer de f p =
= 220 modos, segue que a probabilidade
3
3! $ 9!
pedida é dada por
84
21
.
=
220
55
03 D
A - funcionários com mais de 30 anos: n(A) = 48% de 5000 = 2400
B – funcionários especializados: n(B) = 36% de 5000 = 1800
No diagrama de Venn, temos:
5000 – 1000 – 1400 – 400 = 2200
B
A
2400 – 1400 = 1000
1400
1800 – 1400 = 400
Possíveis resultados para:
Arthur: {(1,11); (2,10); (3,9); (4,8); (5,7)} (5 possibilidades);
Bernardo: {(2,15); (3,14); (4,13); (5,12); (6,11); (7,10);(8,9)} (7 possibilidades);
Caio: {(7,15); (8,14); (9,13); (10,12)} (4 possibilidades);
Portanto, Bernardo apresenta mais chances de vencer.
07 E
A probabilidade de sair uma bola azul será 1 – 0,25 – 0,4 = 0,35
Sendo x o número de bolas e a o número de bolas azuis, temos:
a = 0,35x
100 a = 35x
20.a = 7x
Logo, a deverá ser no mínimo 7 para que x seja um número inteiro,
pois 20 não é múltiplo de 7.
08 E
Considere o seguinte diagrama, em que o algarismo 2 pode ocupar
espaços apenas à direita do algarismo 9,
9
5!
P5(2) = = 60
2!
4!
9
(2)
4 $ P4 = 4 $
= 48
2!
4!
9
3 $ P4(2) = 3 $
= 36
2!
4!
9
2 $ P4(2) = 2 $
= 24
2!
4!
9
P4(2) = =12
2!
Desse modo, há 60 + 48 + 36 + 24 + 12 = 180 senhas em que o
algarismo 9 aparece antes do algarismo 2.
6!
Por outro lado, há P6(2) =
= 360 senhas possíveis. Então, a proba2!
180
bilidade pedida é
= 0,5.
360
09 A
Número de elementos do Espaço amostral: n(E) = 4 · 4· 4 = 64
2200
Logo a probabilidade pedida será P =
= 0,44 = 44%
5000
Número de elementos do evento:
n _ /A i = 4 $ 3 $ 2 _dist int os i + 4 $ 1 $ 1 _iguais i = 28
04 A
I. Verdadeira. Três cidades distintas podem ocupar, ordenadamente,
16!
os três primeiros lugares de A16,3 =
= 16 $ 15 $ 14 = 3.360
13!
maneiras diferentes.
II. Falsa. O número de classificações possíveis em que uma cidade mineira
15!
ganha o primeiro lugar é dado por: 10 $ A15,2 = 10 $
= 10 $ 15 $ 14.
13!
Logo, a probabilidade de uma cidade mineira ganhar o primeiro
10 $ 15 $ 14
5 2
lugar é de:
= ! .
16 $ 15 $ 14
8 3
III.Verdadeira. O número de classificações em que os três primeiros
lugares são conquistados apenas por cidades paulistas é dado
6!
por: A6,3 =
= 6 $ 5 $ 4. Desse modo, a probabilidade de que
3!
os três primeiros lugares sejam conquistados apenas por cidades
6$5$4
1
paulistas é:
. Portanto, a probabilidade pedida é:
=
16 $ 15 $ 14
28
6$5$4
1
.
=
16 $ 15 $ 14
28
05 C
Sejam A e B os times, em que A foi o vencedor. Considerando a ordem
5!
em que os gols foram marcados, temos P5(3,2) =
= 10 possibi3!2!
3!
lidades. Além disso, existem P3(2) =
= 3 maneiras de construir o
2!
placar de modo que o time A tenha marcado os dois primeiros gols.
3
Portanto, a probabilidade pedida é
$ 100% = 30%.
10
42
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
P=
10 C
P=
28
7
=
64
16
22
22
11
=
=
= 11%
42 + 22 + 56 + 30 + 50
200
100
BLOCO
06
01 D
O evento complementar do evento soma maior do que 4 ou igual a
3 é soma menor do que ou igual a 4, e diferente de 3 ou seja, {(1,1),
(1,3), (3,1), (2,2)}. Assim, como o espaço amostral possui 6 · 6 = 36
4
8
elementos, segue que a resposta é 1 = .
36
9
02 B
O número total de possibilidades de se escolher 2 algarismos ao acaso
entre os 10 algarismos disponíveis é de:
10!
10 $ 9 $ 8!
90
2
2
C10
& C10
=
=
=
= 45 possibilidades
2! (10 - 2) !
2 $ 8!
2
O número total de possibilidades de escolha de dois algarismos cuja
soma é um número primo é igual a:
0+3 1+2 2+3 3+4 4+9 6+7
0 + 5 1 + 4 2 + 5 3 + 8 5 + 6 8 + 9 18 possibilidades
0+7 1+6 2+9 4+7 5+8 0+2
Logo, a probabilidade de que, escolhendo-se ao acaso dois algarismos
distintos, a soma deles seja um número primo é:
18
P=
= 0,4 & 40%
45
MATEMÁTICA V
03 C
Entre 1 e 100 existem 6 números múltiplos de 15 dentre os quais apenas 3 também são múltiplos de 6 (30, 60 e 90). Assim a probabilidade de o
3
número sorteado ser, ao mesmo tempo, múltiplo de 6 e 15 é
= 0,03.
100
04 C
Sabendo-se que nenhuma das caixas ficou vazia, só existem 4 possibilidades de distribuição, cada qual com possibilidades de permutação de seus
elementos. São elas:
_
3!
=3 b
2!
b
b
Distribuição 2 " #4 ; 2 ;1 - " Permutação P3 = 3! = 6 b
` Total de 15 possibilidades de distribuição
3!
Distribuição 3 " #3 ; 2 ; 2 - " Permutação P32 =
= 3b
2!
b
3!
b
2
Distribuição 4 " #3 ; 3 ;1 - " Permutação P3 =
= 3b
2!
a
Distribuição 1 " #5 ;1;1 - " Permutação P32 =
Assim a probabilidade de uma caixa conter exatamente 4 bolas é igual a:
P (distribuição 2)
6
2
=
= = 0,40 & 40%
P (total de distribuições)
15
5
05 B
Espaço amostral: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
5!
4 caras e uma coroa:
=5
4!
5
Logo, a probabilidade P será dada por P =
.
32
06 A
A probabilidade de que um habitante dessa cidade tenha sido vacinado é:
Desse modo, tomando aleatoriamente 50 habitantes, esperamos que 50 $
10000
1
.
=
250000
25
1
=2
25
tenham sido vacinados.
07 C
Dia em que a pergunta foi feita Resposta
Domingo -----------------------------
sim
Segunda-feira------------------------sim
Terça-feira----------------------------sim
Quarta-feira---------------------------sim
Quinta-feira---------------------------não
Sexta-feira----------------------------não
Sábado---------------------------------não
Portanto, dos quatro “sim” ditos pelo oráculo, 3 são falsos. Logo, a probabilidade será: P =
3
.
4
08 A
Comissões possíveis = C5,2 = 10
Comissões com Eloísa e sem César: C3,1 =3
3
Logo P =
10
09 A
2 do sexo masculino e 5 do sexo feminino.
P=
10 E
P=
C5,2
10
=
C7,2
21
31 +25 +12
68 ' 4
17
=
=
31 + 25 + 16 + 12
84 ' 4
21
01 E
P = P(uma par e duas ímpares) + P (três pares)
C7,1.C8,2
C7,3
P=
+
C15,3
C15,3
7.28
35
+
455
455
33
P=
65
P=
Matemática V
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
43
02 A
03 E
34 atropelamentos (10 com mortes e 24 sem mortes)
Logo P = 24/34 ⇔ P = 12/17
04 E
08 D
05 D
09 D
06 D
10 B
07 A
44
Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA – Volume 03
MATEMÁTICA V