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CONECTE MATEMATICA - caderno de revisao - capa professor.indd 1
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MATEMATICA- CONECTE - CR PROFESSOR
PDF1
Diagramador: CRIS
o
i
r
á
m
u
S
Fatoração algébrica 4
Binômio de Newton 75
Porcentagem / Aumentos e descontos
percentuais 6
Logaritmo: propriedades e mudança de base 77
Equações do 1º e do 2º graus 8
Sequência / Progressão aritmética 83
Funções / Função afim 11
Progressão geométrica 86
Função quadrática 16
Matrizes e determinantes 89
Função, equação e inequação exponenciais 19
Sistemas lineares 95
Logaritmo: definição 22
Esfera 100
Função composta e função inversa 24
Noções gerais de polígono / Triângulos 27
Números complexos: forma algébrica e
operações 103
Ângulos na circunferência 30
Polinômio: teoremas do resto e de D’Alembert 107
Teorema de Tales / Semelhança 33
Polinômio: critérios de divisibilidade 111
Relações métricas no triângulo retângulo 36
Equação polinomial 114
Relações métricas na circunferência 39
Áreas das figuras planas 41
Relações de Girard / Teorema das raízes
complexas 117
Prisma / Pirâmide 45
Arranjos / Permutações 120
Cilindro / Cone 50
Permutações com repetição / Combinações 124
Trigonometria no triângulo retângulo 55
Probabilidade 127
Lei dos senos e lei dos cossenos 58
Coordenadas cartesianas e distância entre
pontos 132
Ciclo trigonométrico / Seno e cosseno 61
Tangente / Outras relações trigonométricas 65
Equação e inequação trigonométricas 68
Adição de arcos e arcos duplos 70
Fatorial / Número binomial / Triângulo de Pascal 72
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Função, equação e inequação logarítmicas 79
Estudo da reta 135
Circunferência 141
Respostas dos exercícios complementares 144
Resolução dos exercícios complementares 146
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/
s
e
õ
ç
n
Fu
m
i
f
a
o
ã
ç
Fun
1. Produto cartesiano
Gráfico cartesiano
y (B)
5
4
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se
produto cartesiano de A por B ou A 3 B (A cartesiano B) o conjunto de todos os pares ordenados
(x, y) em que x [ A e y [ B.
2 3 4
Exemplo
A 5 {2, 3, 4}
B 5 {4, 5}
A 3 B 5{(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5),
(4, 4), (4, 5)}
B 3 A 5{(4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3),
(4, 4), (5, 4)}
A 3 A 5{(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(4, 2), (4, 3), (4, 4)}
B 3 B 5{(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}
Se A possui m elementos e B possui n elementos,
então A 3 B possui m ? n elementos.
x (A)
Relação
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chamamos relação de A em B qualquer subconjunto de
A 3 B.
Exemplo
Sejam A 5 {1, 2, 3} e B 5 {5, 6}.
Eis algumas das relações de A em B:
R1 5 {(1, 5), (2, 6)}
R2 5 {(1, 5), (2, 5), (3, 5)}
R3 5 
Representação de A 3 B
R4 5 A 3 B
Sejam A 5 {2, 3, 4} e B 5 {4, 5}.
Forma escrita
A 3 B 5 {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5)}
2. Função
Diagrama de flechas
A
B
2
4
3
4
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função de A em B toda relação na qual, para
todo x pertencente a A, existe um único y pertencente a B e y 5 f(x).
Notações f: A → B y 5 f(x)
5
(lê-se: “y é função de x”).
11
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Assim, na função a seguir, tem-se:
Assim, consideremos os conjuntos A 5 {1, 2, 3},
B 5 {3, 4} e as relações a seguir:
A
R1 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 4)} ou
A
1
R1
B
3
5
3
6
f: A → B
3
4
Domínio da função ou Df(x) 5 {1, 2, 3}
Contradomínio da função ou CDf(x) 5 {4, 5, 6}
R2 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 3)} ou
1
R2
B
Valor numérico de uma função
3
Seja f uma função: f(a) é o valor numérico dessa
função quando x vale a. Podemos dizer que f(a) é a
imagem do elemento a.
4
R3 5 {(1, 3), (2, 4)} ou
1
Imagem da função ou Imf(x) 5 {4, 5}
3
2
A
R3
B
3
Exemplo
A 5 {1, 2, 3} e B 5 {2, 3, 4}
f: A → B e f(x) 5 x 1 1
2
3
Então:
4
f(1) 5 1 1 1 5 2
f(2) 5 2 1 1 5 3
f(3) 5 3 1 1 5 4
R4 5 {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 4)} ou
A
1
R4
B
3
2
3
4
2
2
A
B
f
1
4
Observemos que R1 e R2 são funções, pois todo elemento do conjunto A possui um único correspondente
no conjunto B.
A relação R3 não é função, pois existe elemento no
conjunto A que não possui correspondente no conjunto B.
A relação R4 não é função, pois existe elemento no
con­
junto A que possui mais de um correspondente
no con­junto B.
Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função
Dada uma função f: A → B, temos que A é o conjunto de partida da função e B é o conjunto de chegada
da função.
Desse modo:
A é o domínio da função.
B é o contradomínio da função.
Os elementos de B que têm correspondência de
algum elemento de A formam o conjunto imagem
da função.
Os conjuntos A e B podem ser qualquer conjunto
numérico. Assim, f: R → R significa que o domínio
da função são todos os reais e o contradomínio
dessa função também são todos os reais.
Reconhecimento de uma função por meio
de um gráfico
Dado um gráfico qualquer, para descobrirmos se
ele representa o gráfico de uma função de A em B, traçamos retas verticais ao longo de seu domínio. Se cada
uma dessas retas interceptar esse gráfico em um único
ponto, concluímos tratar-se do gráfico de uma função.
Exemplos
a) f: [22, 2] → R, em que [22, 2] representa o
conjunto {x [ R | 22 < x < 2}, e seu gráfico é:
y
3
2
0
2
x
que é o gráfico de uma função.
12
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Df(x) 5 [22; 2] (variação do gráfico ao longo do
eixo Ox)
Imf(x) 5 [0; 3] (variação do gráfico ao longo do
eixo Oy)
A ordenada do ponto em que a reta intercepta o
eixo Oy é o coeficiente linear da reta.
y
b) f: [22; 2] → R, e seu gráfico é:
y
x
y
0
6
3
0
6
3
0
x
3
2
0
2
Para a . 0, temos:
• Se x1 . x2, então f(x1) . f(x2)
• Se x1 , x2, então f(x1) , f(x2)
A função é crescente.
x
que não é o gráfico de uma função.
b)y 5 2x 1 2
3. Função constante
Chama-se função constante uma função da forma y 5 b, em que b é um número real.
y
b
O
Chama-se função afim ou função do 1º grau uma
função da forma y = ax + b, em que a e b são números reais e a  0.
Representação gráfica
O gráfico de uma função afim é uma reta oblíqua,
ou seja, uma reta não paralela a nenhum dos eixos, Ox
ou Oy.
2
2
0
2
0
2
x
y
x
y
0
0
2
2
2
0 2
x
A função da forma y = ax é chamada função linear e é um caso particular da função afim.
Atividades
1(UF-MS) Considere a funçãoyy 5 f(x), dada pelo gráfico a seguir:
4
3
2
Exemplos
a)y 5 2x 1 6
A abscissa do ponto em que a reta intercepta o
eixo Ox é a raiz ou o zero da função.
0
c) y = x
Neste caso, ao atribuirmos o valor zero para x,
encontramos o valor zero para y, então atribui-se um outro valor qualquer para x e encontra-se
o y corres­­pondente.
x
4. Função afim
y
Para a , 0, temos:
• Se x1 . x2 , então f(x1) , f(x2)
• Se x1 , x2 , então f(x1) . f(x2)
A função é decrescente.
Representação gráfica
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0; b).
y
x
6 5
1 1
4 3 2
1
1
2
3
4
5
6
x
2
13
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É correto afirmar que:
3(Fipel-MG) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela
(01) se x , 5, então f(x) < 3.
(02)se 24 , x , 22, então f(x) . 0.
que mais bem representa a reta cuja equação é y 2 x 2
2 2 5 0:
(04)se 21 , f(x) , 3, então 25 , x , 5.
a)
y
(08) se f(x) , 0, então 22 , x , 1.
2
Dê a soma dos números dos itens corretos.
1
(01)V, pois f(x) . 3 se, e somente se, x . 5.
(02)V, pois, para qualquer valor de x entre 24 e 22, a sua
2 1 0
1
imagem f(x) está acima do eixo das abscissas.
x
1
2
x
y
b)
imagem f(x) é de 21 até 3.
2
2
(04)V, pois, para valores de x entre 25 e 5, verificamos que a
1
(08)F, pois, se x , 24, teremos também f(x) , 0.
2
Soma 5 7 (01 1 02 1 04)
1
2 1 0
1
2
y
c)
2
1
2 1 0
2
1
2
x
1
2
x
x22e
1
6 2 x . Sendo o conjunto A o domínio da função f
x23
e o conjunto B o domínio da função g, a soma dos valores
inteiros do conjunto A > B é igual a:
2
Sejam as funções reais f e g dadas por f(x) 5
g(x) 5
3
a)12
d)20
b)9
e)17
y
d)
2
1
c)16
2 1
x 2 2 > 0 ⇒ x > 2 [ A = {x [ R | x > 2}
62x>0⇒x<6
[ B 5 {x [ R | x < 6 e x  3}
x230⇒x3
6
0
1
2
A > B 5 {x [ R | 2 < x < 6 e x  3}
Os números inteiros pertencentes ao conjunto A > B
são 2, 4, 5 e 6, e a soma deles é 17.
Alternativa e
y 2 x 2 2 5 0
y 5 x 1 2
y
Alternativa c
2
2
x
14
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y
190
Para que os pontos (1; 3) e (3; 21) pertençam­
4(UE-MT)
ao gráfico da função dada por f(x) 5 ax 1 b, o valor de
b 2 a deve ser:
105
a)
7c)
3e)
27
b)5
20
d)23
f(1) 5 a  1 1 b 5 3
(I)
f(3) 5 a  3 1 b 5 21(II) De (II) 2 (I): 2a 5 24 ⇒ a 5 22
⇒ b 2 a 5 5 2 (22) [ b 2 a 5 7
Em (I): 22 1 b 5 3 ⇒ b 5 5
5
6
0
5
10 x (litros)
a) quando a empresa não produz, não gasta.
b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta
R$ 76,00.
Alternativa a
c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta
R$ 54,00.
d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá
cinco litros de perfume.
e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa
gasta menos do que para fabricar o quinto litro.
Exercícios complementares
3x 2 1
, o elemento 7
(Fapa-RS) Na função real f(x) 5
2
é a imagem do elemento:
1
a)10
c) 7
b)8
d)6
e)5
2
3
4
3
4
3
1 1
1 5
a) Rc)
2 ;
e);
2 2
2 2
4
4
1 5
1
b) 2 ; 1 d)
2 ;
2 2
2
Uma função real f do 1º grau é tal que f(0) 5 1 1 f(1) e
3f(21)
5 2 2 f(0).
Então, f(3) é igual a:
7
a) 23c)
21e)
2
5
b) 2 d)0
2
4
um custo variável, que depende da quantidade produzida x, cujo custo unitário de produção é de R$ 10,00 mais
um custo fixo de R$ 1 000,00.
Pede-se:
x
(Unifor-CE) Seja f a função real definida por f(x) 5 1 2 ,
2
para todo x do intervalo [23; 1]. Seu conjunto imagem é:
3
F. Ouro Preto-MG) O custo total y para se produzir um
5(U.
determinado produto é calculado por meio da soma de
(Fefisa-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por
uma empresa de cosméticos na produção de perfume
varia com a quantidade de perfume produzida (x). Assim, é correto afirmar que:
a) a função que representa o custo total em relação à
quantidade produzida;
b) o custo total na produção de 20 unidades;
c) o número de unidades que deverão ser produzidas
para que o custo total seja de R$ 4 000,00;
d) o gráfico da função da quantidade produzida 3 custo
total, destacando-se os dados obtidos nos itens anteriores.
Uma operadora de celular oferece dois planos no
6(UF-RJ)
sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa
R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00
para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50
minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de
R$ 1,50.
a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.
b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações
locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que
o plano A.
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