Diamagnetismo e paramagnetismo

Diamagnetismo e paramagnetismo
Kittel 7ª edição Cap 14
Kittel 8ª edição Cap 11
Aschcroft Cap 31
1
Introdução
Histórico
Conceitos básicos
Campo magnético
Indução magnética
Magnetização
Momento magnético
Classes de materiais magnéticos
Diamagnetos
Paramagnetos
Ferromagnetos
Antiferromagnetos
2
Magnetismo: primeiros registros
FATO:
Rocha Rica em magnetita (Fe3O4)
Lodestone: "lead stone“ indicar o caminho”
Rocha magnetizada por relâmpagos
(1.000.000 A)
História: (Grécia)
Tales (636-546AC) : pedra possuía “alma”
Aristóteles (384-322AC) : ação à distância.
Lenda:
Magnes: criador de ovelhas de Creta
Pregos da botas presos a uma lodestone enquanto
levava suas ovelhas para o Monte Ida.
Arquimedes: magnetita para soltar os pregos dos navios inimigos.
Mito:
Sob o travesseiro de uma “esposa infiel”
levaria à confissão do crime durante o sono.
Sobre a cabeça: ouvia-se a voz dos deuses!
Poder de curar e anticoncepcional
Efeito interrompido por alho ou cebola
3
Magnetismo e navegação
Lodestone: chineses e europeus 800AC
Chineses: direção em terra (indicador
de SUL 100DC)
Europeus: navegação, início da ciência
moderna do magnetismo.
1263 Pierre de Maricourt
existência dos polos Norte e Sul.
1269 Petrus Peregrinus:
Origem celestial polos e
Moto contínuo
(patentes americanas até 1970)
1727
As viagens de
Gulliver
4
De Magnete
1600 De Magnete, de William Gilbert:
Primeiro tratado científico de magnetismo.
Observação do campo de dipolo para diferentes formas de ímã.
A terra é um grande ímã
5
Revolução eletromagnética
1820 Hans Christian Oersted: efeito magnético das correntes
1820-21 André Marie Ampère:
atribui o magnetismo da matéria a “correntes moleculares”
1831 Michael Faraday: indução eletromagnética
campo variável induz corrente elétrica em um circuito
1864 James Clerk Maxwell cria a teoria eletromagnética:
1885-1889 Heinrich Hertz detecta ondas de radio e identifica
seu caráter eletromagnético
1895, 1896 descoberta dos raios-x e da radioatividade
1895 Pierre Curie descobre a lei da dependência da
magnetização com a temperatura
1897 descoberta do elétron
6
Século XX: Relatividade e Mecânica Quântica
Se correntes Amperianas de 1.76MA/m circulam
em uma barra de Ferro, por quê ela não funde?
Esta corrente persiste indefinidamente
sem dissipar calor??
1900 Max Planck introduz o quantum
1905-1910 Langevin: dependência do paramagnetismo
com a temperatura
1907 Weiss: postula o “campo molecular” para explicar o
ferromagnetismo
1907 Pierre Weiss: propõe a existência de domínios
1913 O átomo de Bohr: correntes elétricas internas
1926 Heisenberg e Dirac: explicação o quântica para
campo molecular (interação de troca)
1926 A equação de Schrödinger
1927 Pauli: paramagnetismo de metais
1928 Paul Dirac introduz o conceito de spin
1946 Ressonância magnética
1960s Magnetismo amorfo
7
Avanços Tecnológicos
8
Conceitos Básicos: B, H e M
Grandezas magnéticas:
Campo Magnético ⇒ H
Indução magnética ⇒ B (campo magnético)
Magnetização ⇒ M
Como gerar um campo?
Campo Magnético: campo de forças produzido por cargas em movimento
Correntes macroscópicas em um fio condutor
Correntes microscópicas associadas a elétrons em orbitais atômicos
Duas grandezas: H, B
Vetor intensidade de campo magnético ⇒ H (corrente elétrica em um condutor)
Fio percorrido por uma corrente I gera campo dado por (Biot-Savart):
I dl × r
dH =
4π r 3
H independe do meio
SI
CGS
[H]=[Am2/m3]
[H]=[Oe]
=[A/m]
1Oe =103/4π A/m
9
Campo e Indução
Vetor indução magnética ⇒ B (resposta do meio)
Aparecimento de campo
↓
variação de energia
↓
FORÇA
}
Aceleração de cargas em movimento
Torque em um dipolo magnético
Força sobre um condutor
Diferença entre B e H
Sempre que H for gerado por corrente
Meio responde com o aparecimento de
uma força
F=q v × B força de Lorentz
SI
[N]=[C][m/s][B]
[B]=[N][C]-1[m/s]-1
[B]=[N][Am]=[T]
CGS
B: resposta do meio
depende do meio
[B]=[G]
B = µ0 H
1G=10-4T
µ0= 4π x 10-7 Hm-1
Permeabilidade
do vácuo
10
Indução e Magnetização
Meio magnético
Aumento de B (Para e Ferromagnético)
Diminuição de B (Diamagnéticos)
Momento Magnético
m = pl
N
τ = m×B
p=
S
φ
µ0
m=momento de dipolo magnético
φ=fluxo que emana de “um polo”
}
m=
φl
µ0
p=“força do polo”
λ =comprimento
Magnetização: definição
m φl
φl
B
M= =
=
=
V µ0V µ0 Al µ0
⇒
B = µ0 M
Material contribui para a indução do meio
11
Fontes de Campo Magnético
Fio Condutor: Biot-Savart
Fio Infinito
B=
µ0 I
4π
B=
i
∧
∫
C
dl × r
r2
r
µ0 I
2π r
12
Ímã Permanente
Barra de material magnético
magnetizada
Formação de polos N e S
Linhas de CAMPO B: contínuas
Linhas de CAMPO H: N → S
→
Dentro do Material
µ0M
N
µ0Hd
B
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
S
Campo
Desmagnetizante
H d = Nd M
Fator Geométrico
13
Relação entre B, H e M
2 contribuições para a indução
Decorrentes do campo H
Decorrente da magnetização do meio
B = µ0 ( H + M )
Material magnético pode:
Aumentar B (para e ferromagnetos)
Diminuir B (diamagnetos).
Jogando com a equação:
B
 M
= µ0 1 + 
H
 H
Substituindo:
µ = µ0 (1 + χ )
µ
µr = = (1+ χ )
µ0
B
=µ
H
Permeabilidade
M
=χ
H
Susceptibilidade
Permeabilidade
relativa
14
Relação entre B, H e M
Susceptibilidade Magnética
χ : descreve o
comportamento
MxH
Usado para classificar os
materiais magnéticos:
Diamagnéticos
Susceptibilidade
CGS
M
χ=
B
MKS
χ=
µ0 M
B
Paramagnéticos
Ferromagnéticos
Duros
Doces ou permeáveis
Intermediários
15
Susceptibilidade
16
Origem do Momento Magnético
Origem do momento magnético atômico:
movimento orbital do elétron em torno do núcleo
movimento de spin do elétron
variação do momento angular (diamagnetismo)
Clássico:
{
µ → corrente fluindo em um circuito fechado
µ=I·A
Modelo de Bohr
µ orb = – (e / 2me) · L
elétron em órbita circular
A =π
ν = ω/2π
r2
me
- correntes convencionais
- elétron em órbita
I = q. t -1 = -e·ω/2π
com momento angular orbital:
L =me v x r → L = meω·r 2
Momento magnético orbital será:
µ orb =I · A= -½ · e · ω · r 2
antiparalelos
razão
giromagnética
L : valores discretos → L = n — ħ,
onde n = 1, 2, 3, 4, ...
Logo µ
orb
é quantizado
µ orb = h · e / 4π · me
µB = 9.27 · 10−24 Am2
magneton de Bohr
unidade fundamental do magnetismo
17
Origem do Momento Magnético
Movimento de spin do elétron → momento magnético de spin µS
µS = -(e/m)S
onde
S=ħ.s e
s=+1/2
Note: contribuição de spin 2X maior do que contribuição angular
Momento magnético total:
µT = µorb + µS
µT = -(e/2m)L -(e/2m)2S
µT = -g (e/2m) J
Podemos escrever:
µT = -g (e/2m) J
= -g (eh/4πm)(2π/h) J
= -g µB j
onde j é sempre semi-inteiro
{
J = momento ang. total
g = fator giromagnético
µT = -g µB j
g : fator de Landé
1<g<2
{
g = 1 somente orbital
g = 2 somente spin
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Classificação magnética dos materiais
Origem dos momentos magnéticos
Tipo de interação entre os momentos
Magnetismo Fraco
Diamagnetos
Paramagnetos
Magnetismo Forte
Materiais Ordenados:
Ferromagnetos
Antiferromagnetos
Ferrimagnetos
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Classificação magnética dos materiais
Diamagnéticos
Não possuem momento permanente
Origem: variação do momento orbital dos elétrons
induzida pela ação de um campo magnético
Resposta se opõe ao campo → χ =
M
<0
H
(≈-10-6
(Lei de Lenz)
MUITO PEQUENO)
µ
Todo material apresenta diamagnetismo
Resulta do efeito de um campo VARIÁVEL
sobre os elétrons
20
Diamagnetismo “Clássico”
Átomos camadas completas
Campo VARIÁVEL
↓
Precessão em torno
do campo
eB
ω=
2m
Freqüência de Larmor
Corrente total
I=
q
= (−Ze)
t
ω
2π
2
= (−Ze
)
B
4πm
Susceptibilidade
χ == µ0
M
B
onde
M ==
µ
V
=
=
Nµ
densidade de átomos
Distribuição esfericamente
simétrica:
<ρ2> = 2/3 <r2>
µ0 NZe2 2
M
χ = µ0 = −
<r >
B
6m
χ NÃO depende de T
Momento magnético (induzido)
2
µ = I .A =
(−Ze B)
4π m
<ρ >
2
<ρ2>=<x2>+<y2>
21
Valores experimentais típicos
22
Paramagnetismo
Possuem momento magnético permanente
Não há interação entre momentos
χ>0 porém pequena (10-5 - 10-3) (tende a alinhar com o campo)
Temperatura
X
Campo Magnético
M
H=0, M=0
H≠0
θ
H
Langevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e
apontam em qualquer direção
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Paramagnetismo eletrônico
(contribuição positiva para χ)
Átomos, moléculas e defeitos que possuam um número
ímpar de elétrons: sódio, radicais orgânicos, centros F em
alkali halides
Átomos e íons com uma camada interna parcialmente
preenchida: metais de transição, terras raras, actinídeos
Poucos compostos com número par de elétrons:oxigênio
molecular e bi-radicais orgâncos
Metais
24
Paramagnetismo
Langevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e
apontam em qualquer direção
E= - µ • B
Campo
Magnético
= -µ cosθ B
{
Projeção do momento na direção de B
Emin: momentos alinhados com B
Competição com agitação térmica
Resposta magnética para uma dada temperatura T será:
M
=N
µ
z
T
= Nµ
cos θ
T
(campo na
direção z )
25
Paramagnetismo de Langevin: Clássico
O problema consiste em calcular a média térmica <cosθ>T :
M
=N
µ
z
T
M0
1

= N µ  coth x − 
x

{
com,
g µB B
x=
kT
L(x)
26
Paramagnetismo de Langevin: Clássico
Expansão em série da Função de Langevin:
x x3 2 x5
L ( x) = − +
−L
3 45 945
Para x pequeno: L(x) ≈ x/3
N µ x Ng µ B .g µ B B
=
3
3kT
C
Ng 2 µ B2 B
χ
=
⇒
=
T
3kT
M=
Lei de
Curie
27
Paramagnetismo Quântico
N : alta densidade de mom. mag.
Campo Magnético
X
µ : momento orbital
Temperatura
momento de spin
Quântico
Clássico
B≠0
B=0
B≠0
B=0
B
B
θ contínuo
< cosθ >= 0
θ discreto
< cosθ >≠ 0
+
µB
N↓
E
- µB
E
N↑
28
Paramagnetismo Quântico
Quantização do mom. angular:
µ
E= - µ • B
µ = -g µB J
JZ : J,
J-1,
J-2,
... -J
B
= g µB JZ B
J
Caso particular: J=1/2 e g=2
N↓ 2
Jz =±1/2
E = ±µB
+
µB B
B=0
N↑ 1
- µB B
B≠0
População dos níveis:
NT = N1 + N2
−E1
n1 = N1 / NT = e
−E2
n2 = N2 / NT = e
kT
kT
Magnetização resultante:
x
−x
e
−
e
−E1
−E2
M = µ ( N1 − N 2 ) / V = N µ x − x
kT
kT
e +e
(e
+e
)
{
−E1
(e
kT
−E2
+e
x=
kT
)
µB
kT
tanh(x)
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Paramagnetismo Quântico
Para um átomo com momento angular J:
2J+1 níveis de energia
M = g µB JNBJ ( x)
Função de Brillouin
BJ (x) =
2J +1
 (2J +1)x  1
x
coth
−
coth

 
2J
 2J  2J
 2J 
30
Paramagnetismo Quântico
BJ (x) =
2J +1
 (2J +1)x  1
x
coth
−
coth

 
2J
 2J  2J
 2J 
Para
x=
coth x =
µB
kT
<< 1
temos:
1 x
+ L
x 3
x <<1
BJ ( x) 
→
J ( J + 1)
x
3J 2
Logo:
No limite de J muito grande:
J →∞
BJ ( x) 
→ L( x)
Limite Clássico!!
NJ ( J + 1) g 2 µ B2 B C
= B
M=
3kT
T
Ng 2 µ B2 J ( J + 1)
M
χ=
= µ0
H
3J 2 kT
31
Número efetivo de magnetons de Bohr
NJ ( J + 1) g µ B C
M=
= B
3kT
T
2
2
B
C constante de Curie
p ≡ g [J ( J + 1)]
1/ 2
Ng 2 µ B2 J ( J + 1)
M
χ=
= µ0
H
3J 2 kT
32
33
Terras raras - elétrons 4f
Regras de Hund
Os elétrons ocuparão orbitais de modo que o estado
fundamental fique caracterizado por:
O valor máximo do spin total S permitido pelo princípio de
exclusão de Pauli;
O valor máximo do momento angular orbital L consistente
com o valor de S;
O valor do momento angular total J=|L-S| quando a
camada estiver menos do que metade completa e J=L+S
quando a camada estiver mais do que metade completa.
Quando a camada estiver semi-preenchida L=0 e J=S.
34
35
Paramagnetismo de Van Vleck – Independente
da temperatura
Átomo ou molécula que não possui momento magnético
no estado fundamental
Estado fundamental E0 e estado excitado ES: ∆=ES-E0
Teoria de perturbação na presença de um campo B
36
∆<< kBT
Curie
∆>> kBT
Van Vleck
37
Elétrons de condução
Teoria clássica: prevê paramagnetismo de Curie
Nµ B2 B
M=
k BT
Pauli: estatítisca de Fermi-Dirac
Nµ B2 B
M=
k BTF
38
Paramagnetismo dos elétrons de condução
Como se comportam os elétrons livres nos metais?
Deslocamento as bandas
Elétrons com spin↑: menor energia
39
M = µB ( N ↑ − N ↓ )
= µB 2 D ( E F ) B
l ogo:
Nµ B2 B
M=
k BTF
χ Pauli = µ0 µ B2 D( EF )
onde D( EF ) = 3N / 2k BTF
χ Pauli
3µ0 µ B2 N
=
2k BTF
kBT << EF
40
Paramagnetismo dos elétrons de condução
Como se comportam os elétrons livres nos metais?
M = µB ( N ↑ − N ↓ )
Deslocamento as bandas
Elétrons com spin↑: menor energia
= µB 2 D ( E F ) B
E
l ogo:
χ Pauli = µ0 µ B2 D( EF )
EF
onde D( EF ) = 3 N / 2k BTF
χ Pauli
2µB B
Independe de T
D(E)
f
3µ0 µ B2 N
=
2k BTF
2 fatores opostos:
−1
f (E) = {exp[(E − EF )/ kT ] +1}
↑T ⇒ ↑spins promovidos
↑T ⇒ ↑ desordem térmica
EF
41