Módulo 11 - peb.ufrj

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL 420
Módulo 11
Laplace
Bode
Fourier
Conteúdo
11 - Transformada de Laplace.....................................................................................................1
11.1 - Propriedades básicas da transformada de Laplace.......................................................1
11.2 - Tabela de Transformadas.............................................................................................2
11.3 - Propriedades de redes lineares invariantes...................................................................3
11.4 - Impedância...................................................................................................................4
11.5 - Frações parciais............................................................................................................6
11.5.1 - Exemplo 1: Polos simples....................................................................................7
11.5.2 - Exemplo 2: Um polo duplo..................................................................................8
11.5.3 - Exemplo 3: Polos duplos e triplos........................................................................9
11.5.4 - Exemplo 4: Polos complexos conjugados..........................................................10
11.5.5 - Exemplo 5: Polos complexos conjugados..........................................................10
11.6 - Aplicação da trasnformada de Laplace na solução de circuitos.................................11
11.7 - Exercícios...................................................................................................................12
11.8 - Soluções.....................................................................................................................16
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2
11 Transformada de Laplace
A importância da transformada de Laplace é que ela reduz a solução de equações
diferenciais à solução de equações algébricas. Para isso a transformada associa a uma função
no domínio do tempo (definida para t>0) outra função em no domínio da frequência.
Adicionalmente a transformada de Laplace trata do conceito de função de rede. Como estas
funções de rede podem ser obtidas experimentalmente utilizando-se medidas em regime
permanente senoidal a transformada de Laplace costuma ser mais intuitivo do que respostas
ao impulso.
Matematicamente a transformada de Laplace pode ser obtida como
∞
F  s=∫ f t⋅e−s⋅t⋅dt
0
F s  = L f t 
11.1 Propriedades básicas da transformada de Laplace
Unicidade:
Uma função no tempo fica univocamente determinada por sua transformada de
Laplace
Linearidade:
L [c1⋅ f 1 t c 2⋅f 2 t]=c1⋅L[ f 1 t]c2⋅L[ f 2 t ]
Regra da derivada:
L [ ḟ t ]=s⋅L[ f t ]− f 0
L [ f̈ t ]=s 2⋅L [ f t ]−s⋅ f 0− ḟ 0
Regra da integral
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1
L
[
t
∫ f t '⋅dt '
0
]
1
= ⋅L [ f t ]
s
Deslocamento no tempo
L [ut−⋅ f t−]=e−s⋅⋅F s 
Convolução
[∫
]
t1
L
ht−⋅e ⋅d  =H  s⋅E  s 
0
11.2 Tabela de Transformadas
O cálculo da transformada de Laplace pode ser trabalhoso mas, por sorte, o uso de
algumas poucas funções resolve a maior parte dos problemas encontrados. Estas funções estão
tabeladas a seguir e conhecer estas funções, portanto, é essencial para resolver problemas
usando a transformada de maneira simples.
f(t)
F(s)
t 
1
n
n
 t 
s
u t
1
s
tn
n!
1
s
Frequência Natural
n 1
s1 =0
s1,2 ,... , n=0
−a⋅t
1
sa
s1 =−a
t n −a⋅t
⋅e
n!
1
 sa n1
s1,2 ,... , n=−a
e
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2
f(t)
F(s)
Frequência Natural
cos ⋅t 
s
s  2
s1,2 =± j 
sen ⋅t

s  2
s1,2 =± j 
e−⋅t⋅cos ⋅t
s
 s2 2
s1,2 =−± j 

 s2 2
s1,2 =−± j 
−⋅t
e
⋅sen ⋅t 
2
2
*
2⋅∣K∣⋅e−⋅t⋅cos⋅t∢ K 
a⋅e −⋅t⋅cos ⋅t 
b−a⋅ −⋅t
⋅e ⋅sen  ⋅t

K
K

s− j  s j 
s1,2 =−± j 
a⋅sb
 s2 2
s1,2 =−± j 
11.3 Propriedades de redes lineares invariantes
Para qualquer rede linear invariante a resposta completa é a soma da resposta ao estado
zero com a resposta à excitação zero. Igualmente, pela linearidade da transformada de
Laplace, o mesmo é válido para as correspondentes funções no domínio da frequência.
A função de rede é, por definição, a função de s que, quando multiplicada pela
transformada de Laplace da excitação, dá a transformada de Laplace da resposta ao estado
zero. A função de rede também pode ser chamada de função de transferência. Para qualquer
rede concentrada linear invariante, qualquer de suas funções de rede é uma função com
coeficientes reais.
Para qualquer rede linear invariante, as condições iniciais exigidas para obter o valor
de qualquer variável de rede são completamente especificadas pelas tensões iniciais nos
capacitores e correntes iniciais nos indutores.
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3
Para qualquer rede linear invariante a função de rede é a transformada de Laplace da
correspondente resposta ao impulso.
Para qualquer rede linear invariante a derivada da resposta ao degrau é a resposta ao
impulso.
11.4 Impedância
Observe que o mesmo resultado poderia ter sido encontrado se a transformada de
Laplace tivesse sido aplicada aos elementos do circuito, individualmente, antes de qualquer
cálculo. Assim, capacitor e indutor apresentariam impedâncias semelhantes as estudas em
regime permanente senoidal. As condições iniciais, por outro lado, seriam substituídas por
fontes de tensão em degrau (no capacitor) ou corrente em degrau (no indutor).
di
v L =L⋅ após a transformada de Laplace corresponde a V L s = L⋅s⋅I  s
dt
 
1
1
v C = ⋅∫ i⋅dt após a transformada de Laplace corresponde a V C s =
⋅I  s
C
C⋅s
v R=R⋅i após a transformada de Laplace corresponde a V R  s= R⋅I  s 
Observe que as parcelas L⋅s ,
1
e R , correspondem as impedâncias do indutor,
C⋅s
capacitor e resistor respectivamente.
Exemplo: Calcular a resposta completa (corrente) para o circuito RLC série alimentado
com fonte de tensão E(t). Considerar VC(0)=1V, IL(0)=5A, L=1H, R=6W e C=0,04F.
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4
t
di
1
L⋅ + R⋅i+ ⋅∫ i(t ´ )⋅dt ´ + v c (0– )=e (t) , para t≥0
dt
C 0
–
Tomando a transformada de Laplace da equação acima
s⋅L⋅I (s)− L⋅i L (0 – )+ R⋅I ( s)+
I (s) v C (0 – )
+
=E (s)
s⋅C
s
v (0 )
L 2 R
1
⋅ s + ⋅s+
⋅I (s)=E ( s)+ L⋅i L (0 – )− C –
s
L
L⋅C
s
(
)
Observe que esta é a mesma equação que teríamos encontrado se tivéssemos aplicado
a transformada diretamente sobre o circuito. Isto pode ser melhor visto se o circuito for
redesenhado como abaixo. No primeiro circuito são apresentadas as condições inicias, a fonte
e as impedâncias (as mesmas impedâncias obtidas para regime permanente senoidal porém
trocando jw por s). No segundo desenho o modelo do indutor carregado foi transformado de
Norton para Thèvenin, de onde pode ser obtida uma equação de malha idêntica as equações
acima.
Resposta ao estado zero:
Considerando que H  s=
I s
E  s
então
I s =H  s⋅E  s
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5
A resposta ao estado zero corresponde a
I 0  s=
s
⋅E  s
 s324 2
Supondo e t =12⋅sen 5⋅t 
então
60
2
s 5
E  s=
2
Assim a resposta ao estado zero é
I 0  s=
60⋅s
[ s3 42 ]⋅s 2 52
2
Resposta a excitação zero: A resposta natural ou resposta à excitação zero, é obtida
fazendo e t=0 ou seja E  s=0 , assim
I i  s=
5⋅s−1
 s324 2
A resposta completa é
I s =
60⋅s
5⋅s−1
[ s3 4 ]⋅s 5   s324 2
2
2
2
2

Observe que em ambos os casos a antitransformada pode ser obtida por frações
parciais.
11.5 Frações parciais
A antitransformada de Laplace corresponde a operação inversa a da transformada e
deve ser realizada para converter as funções do domínio frequência (s) para o domínio tempo
(t). Como as funções de transferência e as respostas dos sistemas correspondem a grandes
frações de polinômios, como as indicadas no exemplo anterior, podemos separar estas grandes
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6
frações em outras menores, chamadas de frações parciais, e pela tabela, obter a resposta do
sistema no domínio tempo.
m
m−1
P  s b0⋅s b 1⋅s ...b m−1⋅sb m
F  s=
=
Q s a 0⋅sn a 1⋅s n−1...a n −1⋅sa n
m
∏  s−z i 
F  s=K⋅ in=1
∏  s− p j 
j=1
onde os z i são chamados zeros da função racional e p j são chamados polos da
função.
Quando não há restrições as frações que podem ser obtidas, uma alternativa para obter
um conjunto de frações parciais que satisfaça o problema é:
Primeiro colocamos a função na forma própria
F  s=
P  s 
R s 
= P  s
Q s
Q s
Se existirem apenas polos reais não múltiplos então separamos as frações com um polo
em cada fração na forma
F  s=∑
Kn
s− p n
n
Se existirem polos reais múltiplos então adicionamos frações do tipo
K
∑ s− pm
n=2
m
n
Se existirem polos complexos conjugados podemos utilizar a mesma estratégia dos
polos simples (cada polo um número complexo) ou separar em frações com coeficientes reais
que podem gerar um seno ou um cosseno amortecido ou ambos.
11.5.1 Exemplo 1: Polos simples
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7
F  s=
s 23⋅s5
 s1⋅s2⋅ s3
2
K
K
K
s 3⋅s5
= 1  2  3
 s1⋅ s2⋅ s3 s1 s2 s3
Método 1: Somar as três frações parciais e igualar o resultado a F(s).
s2 3⋅s5=K 1⋅ s2⋅ s3K 2⋅ s1⋅ s3K 3⋅s1⋅ s2
Método 2: Substituir s por um valor qualquer ou por um conjunto de valores e resolver
a equação ou as equações resultantes. Se o valor de s corresponde a um polo então as contas
podem ser simplificadas de forma que cada constante K pode ser calculada separadamente.
Este método é chamado de método dos resíduos.
2
K1=
s 3⋅s5
 s2⋅ s3
K 2=
s23⋅s5
 s1⋅s3
K 3=
∣
3
= =1,5
2
s=−1
∣
s23⋅s5
 s1⋅ s2
−t
=
s=−2
3
=−3
−1
∣
5
= =2,5
2
s=−3
−2⋅t
f t=1,5⋅e – 3⋅e
−3⋅t
2,5⋅e
11.5.2 Exemplo 2: Um polo duplo
F s =
s 23⋅s5
 s12⋅ s2
K1
K
K
s 23⋅s5
=
 2 3
2
2
 s1 ⋅ s2  s1 s1 s2
s2 3⋅s5=K 1⋅ s2K 2⋅ s1⋅ s2K 3⋅ s12
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8
s 23⋅s5
 s2
∣
s 23⋅s5
K 3=
s12
∣
K1=
{
3
= =3
1
s=−1
3
= =3
1
s=−2
K1
K
K
s 23⋅s5
=
 2  3
2
2
 s1 ⋅ s2 s1 s1 s2
}∣
s=0
5=2⋅K 12⋅K 2K 3=92⋅K 2
K 2=−2
−t
−t
f t =3⋅t⋅e – 2⋅e 3⋅e
−2⋅t
11.5.3 Exemplo 3: Polos duplos e triplos
F  s=
1
 s13⋅s 2
K
K2
K3
K
K
1
= 1

 4  25
3 2
2
3
s
 s1 ⋅s s1  s1  s1
s
K 3=
K 2=
K1=
K5=
1
2
s
∣
=1
s=−1
 ∣
1 d 1
⋅
1! ds s 2
=
s=−1
 ∣
1 d2 1
⋅
2! ds 2 s 2
1
3
 s1
∣
−2
s3
∣
=2
s =−1
1 6
= ⋅ 4
2 s
s=−1
∣
=3
s =−1
=1
s=0
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9
K6=
[
1 d
1
⋅
1 ! ds  s13
]∣
=−3
s=0
1 2 −t
−t
−t
f t =3⋅e 2⋅t⋅e  ⋅t ⋅e −3t
2
11.5.4 Exemplo 4: Polos complexos conjugados
s 23⋅s7
F  s=
[ s22 4 ]⋅s1
*
2
K1
K1
K2
s 3⋅s7
=


2
[ s2 4]⋅ s1 s2− j2 s2 j2 s1
∣
2
K1=
s 3⋅s7
 s2 j2 ⋅ s1
K 1=
−2 j223⋅−2 j27
j 1
= = ∢900
−2 j22 j2⋅−2 j21 4 4
K 2=
s 3⋅s7
s224
∣
2
s=−2 j2
=1
s=−1
1 −2⋅t
−t
f t =− ⋅e ⋅sen 2⋅t e
2
11.5.5 Exemplo 5: Polos complexos conjugados
I s =
60⋅s
5⋅s−1
[ s3 4 ]⋅s 5   s324 2
I s=
10
10
s3
16
4
−
5⋅
– ⋅
2
2
2
2
2
4 s3242
s 5  s3 4
 s3 4
2
2
2
2

2
I s=2⋅
5
10
4
s3
16
4
− ⋅
5⋅
– ⋅
2
2
2
2
2
4  s3 4
4  s324 2
s 5
 s3 4
2
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10
it =2⋅sen 5⋅t −
26 −3⋅t
⋅e ⋅sen 4⋅t5⋅e−3⋅t⋅cos 4⋅t
4
11.6 Aplicação da trasnformada de Laplace na solução de circuitos
Calcular v C . Considere v C (0)=5V , exp a função exponencial e d a função impulso.
aplicando a transformada diretamente sobre o circuito e as condições iniciais temos
A condição inicial do capacitor por ser representada pelo equivalente Thèvenin ou
Norton. Neste caso a tensão no capacitor é obtida por uma fonte de corrente em paralelo com
o capacitor.
I0 C ( s )=
V C (0)
⋅C⋅s=C⋅V C (0)=0,5
s
Aplicando análise nodal
V C −V 1
V
– 2 – 0,5+ C + V C⋅C⋅s=0
R1
R2
10
V
s+1
– 2 – 0,5+ C +V C⋅0,1⋅s=0
10
10
V C−
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11
V C⋅( s+ 2)=
V C (s )=
10
+ 25
s +1
25⋅s +35
10
15
=
+
(s+1)⋅( s+ 2) s+1 s +2
v C ( t)=( 10⋅e−t + 15⋅e−2⋅t )⋅u(t )
11.7 Exercícios
1) Determinar as tensões de nós no domínio do tempo. Considere que o circuito está
em regime permanente.
2) Mostre que o circuito abaixo tem função de transferência de filtro passa faixas com
frequências f0=500 Hz e largura de faixa de 100 Hz.

K⋅ 0⋅s
Q
H  s=

s 2 0⋅s 20
Q
3) No circuito abaixo os capacitores valem 0,5mF e estão carregados com 5V. Os
resistores são de 1kW. a) Determine a função de transferência H(s)=Vo(s)/V2(s); b) Qual o
valor de K para que o circuito seja um oscilador; c) Determine h(t); d) escreva um conjunto de
equações de estado para este circuito.
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4) Calcular a função de rede que relaciona a entrada Vo(s) com VR2(s). Determinar
VR2(s) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t³0. Escrever a resposta como
soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.
5) Determine os valores de R2 e R3 sabendo que a função de transferência, definida por
H(w)=V2(w)/V1(w), tem uma amplitude máxima igual a 3. Faça C=1F e R1=1W. Considere o
amplificador operacional com ganho A=106
6) Um amplificador transistorizado tem o modelo de pequenos sinais apresentado
abaixo. a) Calcular a função de rede que relaciona vo(s) com vi(s). b) Por inspeção, qual a
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ordem da função de rede? Justifique. c) Determinar os pólos e zeros da função de rede. d)
Calcular vo(t), em regime permanente senoidal, quando vi(t) é , cos (0⋅t ) , cos (15⋅106⋅t ) e
cos (∞⋅t ) .
7) Determinar Z1 e n para a máxima transferência de energia a R6. Considere
Vs=20·cos(100·t)V.
8) Encontre a expressão para Vo(s). Considere o circuito em regime permanente.
9) Determine a corrente io(s) e io(t) sabendo que M=1H e as condições iniciais são
i L2 0 - =2A e i L3 0 - =3A .
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14
10) Para o circuito abaixo, em regime permanente senoidal, determine a potência
média fornecida pela fonte Vin. Z2 é um resistor cuja potência média é igual a 43,9W quando
alimentado com uma tensão 311,13cos(100t). Considere Vin=848,53cos(t+45o).
11) Determine V2(t) para regime permanente senoidal. I1 é uma fonte com amplitude de
0,707ARMS e frequência de 0,159 Hz.
12) A rede linear invariante abaixo estava em regime permanente para t<0s. Em t=2s,
a chave S1 troca de posição. Calcular vo(t) para t>0.
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15
11.8 Soluções
1) Determinar as tensões de nós no domínio do tempo. Considere que o circuito está
em regime permanente.
[
1+
1
4⋅s
0
0
1 1
+
2 2⋅s
como I 1 ( s)=
][
V 1( s )
=
V 2 (s)
][ ]
V 1 (s)
−I 1 ( s)
=
V 2 (s)
I 1( s )
1
s
[ ][ ]
1
[ ]
⋅
1
1+
4⋅s
0
0
−1
s
⋅
1
1
1 1
s
+
2 2⋅s
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[]
−1
1
V 1(s )
s+
=
4
V 2 ( s)
2
s +1
[ ]
v 1 (t)=−e
−1
⋅t
4
⋅u(t)
v 2 (t )=2⋅e−t⋅u(t )
2) Mostre que o circuito abaixo tem função de transferência de filtro passa faixas com
frequências f0=500 Hz e largura de faixa de 100 Hz.

K⋅ 0⋅s
Q
H  s=

s 2 0⋅s 20
Q
Para os nós A (entre R1, R5, C1 e C2) e B (entre C2, R2 e o amp. op.)
v A⋅Y R1Y C1 Y C2 Y R5 −v B⋅Y C2 −v o⋅Y R5 =0
−v A⋅Y C2 v B⋅Y R2 Y C2 =0
v B=
v o⋅R3
vo  s 
, H  s=
R 3 R 4
vi  s 
 0=2⋅⋅ f 0=3141,59 rad/s
 20=9869604 rad/s2
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0
=2⋅⋅100=628,318 rad/s
Q
3) No circuito abaixo os capacitores valem 0,5mF e estão carregados com 5V. Os
resistores são de 1kW. a) Determine a função de transferência H(s)=Vo(s)/V2(s); b) Qual o
valor de K para que o circuito seja um oscilador; c) Determine h(t); d) escreva um conjunto de
equações de estado para este circuito.
Equacionando pelas tensões de nós:
V X – V2 V X –V
+
+V X −K⋅V⋅C⋅s=0
R
R
V⋅C⋅s+
V −V X
=0
R
substituindo V X =V⋅(R⋅C⋅s+ 1) na primeira equação temos
V X V2 V X V
–
+
– + V X⋅C⋅s – K⋅V⋅C⋅s=0
R
R R R
V⋅(2⋅R⋅C⋅s +2+ R2⋅C 2⋅s 2 + R⋅C⋅s−1 – K⋅R⋅C⋅s )=V 2
V o=
K⋅V 2
2
2
2
R ⋅C ⋅s +(3⋅R⋅C – K⋅R⋅C )⋅s+1
Para oscilar: 3⋅R⋅C – K⋅R⋅C =0
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4) Calcular a função de rede que relaciona a entrada Vo(s) com VR2(s). Determinar
VR2(s) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t³0. Escrever a resposta como
soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.
5) Determine os valores de R2 e R3 sabendo que a função de transferência, definida por
H(w)=V2(w)/V1(w), tem uma amplitude máxima igual a 3. Faça C=1F e R1=1W. Considere o
amplificador operacional com ganho A=106
V 1⋅1
V1
C⋅s
+
v =
=
1
R⋅C⋅s +1
R+
C⋅s
v-=
V 2⋅R3
R 2+ R3
(
V 2 =A⋅
V1
V ⋅R3
– 2
R⋅C⋅s +1 R 2+ R3
)
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19
(
V 2⋅ 1+
)
A⋅R2
V1
=
R2 + R 3
R⋅C⋅s +1
V2
R2 + R3
A
=
⋅
V 2 R⋅C⋅s+ 1 R2 + R 3+ R3⋅A
6) Um amplificador transistorizado tem o modelo de pequenos sinais apresentado
abaixo. a) Calcular a função de rede que relaciona vo(s) com vi(s). b) Por inspeção, qual a
ordem da função de rede? Justifique. c) Determinar os pólos e zeros da função de rede. d)
Calcular vo(t), em regime permanente senoidal, quando vi(t) é , cos (0⋅t ) , cos (15⋅106⋅t ) e
cos (∞⋅t ) .
Transformando a fonte vi e o resistor Rs em um equivalente Norton.
0=v S⋅(G B +G X +G S )−v i⋅G S −v pi⋅G X
0=v pi⋅( G X + G pi + s⋅C pi + s⋅C mi )−v S⋅G X −v O⋅s⋅C mi
0=gm⋅v pi + vO⋅( G L + s⋅C mi )−v pi⋅s⋅C mi
onde gm=74 .
Av ( s )=−
G X⋅G S
gm−s⋅C mi
⋅ 2
( G X +G S +G B )⋅C mi⋅C pi s + b⋅s+ c
onde
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20
b=
1+ gm⋅[ R L // R pi // ( R X + R S // R B ) ]
1
+
R L⋅C mi C pi⋅[ R L // R pi // ( R X + RS // R B )]
c=
1
R L⋅C mi⋅C pi⋅[ R pi // ( R X + RS // R B )] .
7) Determinar Z1 e n para a máxima transferência de energia a R6. Considere
Vs=20·cos(100·t)V.
Calculando um Thèvenin do primário do transformador para à esquerda do circuito
I 1=
V S−
V2
10
R4
10⋅I 1=
10⋅V sV 2
R4
Supondo o nó A na conexão entre L1, R5, C3 e F
V A Va
 =10I 1I 2
L⋅s R5
(1)
Supondo o nó B na entrada do Thèvenin
C 3⋅s⋅V 2 – V A =I 2
V A=V 2 –
I2
C 3⋅s
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(2)
21
Substituindo a equação 2 na equação 1
V2
I2
V
I2
–
 2–
=10⋅I 1 I 2
2
L⋅s L⋅C 3⋅s R5 R5⋅C 32⋅s

10⋅V S V 2
1
1
1
1

– I 2⋅

=
− I 2
2
L⋅s R5
R4
R4
L⋅C 3⋅s R5⋅C 3⋅s

10⋅V S
1
1
1
1
1
 
=
 I 2⋅

1
2
L⋅s R4 R5
R4
L⋅C 3⋅s R5⋅C 3⋅s
V 2⋅
V 2⋅
 



V TH =
10⋅V S
1
1
1
÷
 
R4
L⋅s R4 R5


Z TH =I 2⋅



1
1
1
1
1

1 ÷
 
2
L⋅s R 4 R5
L⋅C 3⋅s R 5⋅C 3⋅s

A impedância do secundário pode ser refletida para o primário
Z1 ' =
R6 ' =
Z1
n2
R6
n
2
Para máxima transferência de energia na frequência da fonte basta fazer
s= j⋅100
V S =20∢0
0
ℜZ TH =ℜ Z 1 'R6 '
*
ℑ Z TH =ℑ Z 1 ' 
8) Encontre a expressão para Vo(s). Considere o circuito em regime permanente.
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22
O circuito pode ser resolvido por malhas. Supondo as correntes I1 e I2 as correntes de
malha, circulando em sentido horário, na malha da esquerda e da direita respectivamente
Para a malha 1
I 1⋅ R6⋅L 6⋅s L7⋅s2⋅M ⋅s – I 2⋅ L 7⋅sM⋅s −V 2 =0
Para a malha 2
−I 1⋅ L7⋅sM ⋅sI 2⋅ L7⋅sR9 =0
V O  s=I 2  s⋅R9
Da malha 2
I 1 =I 2⋅
L7⋅sR9
L 7⋅sM⋅s
Substituindo na equação da malha 1
I 2⋅
L7⋅sR9
⋅ R  L6⋅sL 7⋅s2⋅M⋅s  – I 2⋅ L 7⋅sM⋅s=V 2
L7⋅sM⋅s 6
I 2⋅ L7⋅sR9 ⋅[ R6s⋅ L6 L72⋅M ] – I 2⋅s 2⋅ L7 M 2=V 2⋅s⋅ L7M 
2
2
I 2⋅{ L7⋅s R9⋅[ R6s⋅ L 6L 72⋅M ] – s ⋅ L7M  }=V 2⋅s⋅ L7M 
I 2=
V 2⋅s⋅ L 7M 
2
s ⋅[ L7⋅ L6 L72⋅M  –  L 7M 2]s⋅[ R9⋅ L6 L72⋅M L 7⋅R6 ]R 9⋅R6
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V O=
V 2⋅s⋅ L7M ⋅R9
2
2
s ⋅[ L7⋅ L6 L72⋅M  –  L 7M  ]s⋅[ R9⋅ L6 L72⋅M L 7⋅R6 ]R 9⋅R6
9) Determine a corrente io(s) e io(t) sabendo que M=1H e as condições iniciais são
i L2 0 - =2A e i L3 0 - =3A .
10) Para o circuito abaixo, em regime permanente senoidal, determine a potência
média fornecida pela fonte Vin. Z2 é um resistor cuja potência média é igual a 43,9W quando
alimentado com uma tensão 311,13cos(100t). Considere Vin=848,53cos(t+45o).
Solução:
Este problema foi resolvido em sala de aula utilizando fasores.
∣V Z2∣2 V 2Z2MÁX 311,132
Z2=
=
=
≈1100 
2⋅P
2⋅P
2⋅43,9
A impedância no secundário do segundo transformador é
Z EQ1 =Z 2 X C2 =1100
11,26
S
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24
Esta impedância refletida para o primário é
2

2
 

n
2
11,26
45
Z EQ2= 1 ⋅Z EQ1=
⋅ 1100
=4400
n2
1
S
S
A impedância do secundário do primeiro transformador, refletida para o seu primário é
2

2
n
1
45
5⋅S 2490⋅S 5
Z EQ3= 1 ⋅45⋅S 45Z EQ2=
⋅ 45⋅S 4400 45 =
n2
3
S
S
 

Fazendo o paralelo desta impedância com X_L2 obtemos
5⋅S 2 490⋅S 5
2475⋅S 2242550⋅S2475⋅S
S
Z EQ4=495⋅S // Z EQ3=
=
5⋅S 2490⋅S 5
500⋅S 2490⋅S5
495⋅S 
S
495⋅S
Assim, a impedância total nos terminais da fonte corresponde a
2475⋅S 2 242550⋅S 2475⋅S
Z EQ5=47,5⋅ S 15⋅ S1Z EQ4 =
52,5⋅ S 1
500⋅S 2490⋅S5
Como a fonte é senoidal, a potência média fornecida por ela pode ser calculada como
̄=
P
∣
∣V IN∣2
onde ∣V IN∣=848,53V
⋅cos(∢ Z EQ5)
2⋅∣Z EQ5∣
S= j
11) Determine V2(t) para regime permanente senoidal. I1 é uma fonte com amplitude de
0,707ARMS e frequência de 0,159 Hz.
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25
12) A rede linear invariante abaixo estava em regime permanente para t<0s. Em t=2s,
a chave S1 troca de posição. Calcular vo(t) para t>0.
Para 0t2 C6 e C4 não tem influência sobre vo, então é possível transformar o
circuito Thèvenin V4-R8 em um circuito Norton equivalente. Com isto as resistências R7 e
R8 ficam em paralelo e as fontes Norton e I1 também.
I N=
V4
R8
R N =R8
I TOT =I N I 1=
onde I 1 s =
V4
I 1
R8
90
30
e V 4  s=
s
s
RTOT =R7 // R8
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V O  s=
I TOT
I TOT
I ⋅R
=
= TOT TOT
GTOT  BC5
1
1RTOT⋅C 5⋅s
C 5⋅s
RTOT
V O t= I TOT⋅RTOT⋅1 – e
−t
R TOT⋅C 5
⋅u t
Para analisar o circuito a partir de t=2s é necessário calcular as condições iniciais
dos dois capacitores.
V O 2=V C5  2= I TOT⋅RTOT⋅1 – e
−2
RTOT⋅C 5
⋅u t
V C4  s= I 1  s⋅X C4
V C4 t=
1
⋅90⋅t 2
C5
V C4 2=
1
2
⋅90⋅2 com polaridade positiva a esquerda.
C5
Observe que, com o fechamento da chave S1, há uma redistribuição de cargas entre C4
e C5.
1 V V C5 C 4⋅C 5⋅V C4 V C5 
I C4C5  s = ⋅ C4
=
s 1 C 4C 5
C 4C5
⋅
s C 4⋅C 5
Observe que a corrente que passa pelos capacitores é impulsiva. Esta corrente
recarrega cada capacitor com
V C4final 2=
I C4C5
−V C4 2
C4
V C5final 2=V C5  2−
I C4C5
C5
e V C4final =V C5final
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Os capacitores carregados podem ser representados pelos seus equivalentes Thèvenin
ou Norton. Neste caso, por simplicidade, é mais fácil utilizar os equivalentes Norton sendo
que cada fonte de corrente impulsiva vale
V C4final
V
s
I NC4  s =
= C4final
1
C4
C 4⋅s
V C5final
V
s
I NC5  s =
= C5final
1
C5
C 5⋅s
Assim o circuito continua um RC paralelo em paralelo com fontes de corrente
I TOT2 = I NC4 I NC5
V4
R8
R EQ=R 7 // R8
XC EQ = XC 4 // XC 5=
1
1
1

C 4⋅s C 5⋅s
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