Professor-cefeidas

Medir o Universo:
distâncias das Cefeidas
Weronika Śliwa
Editado por Michał Czerny
Traduzido por Maria Leonor Cabral
(Escola Secundária da Cidadela)
1
Cefeidas, uma classe especial de estrelas variáveis
Introdução: medir distâncias em Astronomia não é uma tarefa fácil …
Como se podem medir as distâncias às estrelas? E às galáxias? O brilho não é uma medida
fiável, porque dois objectos completamente diferentes, um deles pouco luminoso mas a curta
distância, e outro mais luminoso mas muito distante, podem parecer iguais no céu. Por muitos
séculos, os astrónomos desconheciam que as estrelas estavam a distâncias diferentes da Terra
– muitos modelos antigos assumiam que todas as estrelas estavam sobre uma esfera em
rotação.
A primeira medição a uma estrela por um método credível só se realizou no século XIX, em
que se utilizou um método geométrico para medir as distâncias de algumas estrelas – o
método da paralaxe (ver Anexo 1). Começa-se assim a ter uma noção da forma e tamanho da
Via Láctea.
Quando se entra no século XX, a questão que se punha era: as nebulosas que se observam no
céu nocturno, serão objectos localizados dentro da nossa Galáxia, ou serão outras galáxias
semelhantes à nossa? A resposta não pode ser dada pelo método da paralaxe, pois este método
só pode ser aplicado a estrelas próximas (até cerca de 150 pc ~ 500 anos-luz).
No início do século XX, Henrietta Leavitt levou a cabo um estudo detalhado de uma classe
especial de estrelas variáveis, as cefeidas, e descobriu que estas estrelas possuem
características únicas que nos permitem determinar a distância a que se encontram. O método
descoberto por Henrietta Leavitt foi essencial para se determinar, pela primeira vez, a
distância à Grande Nuvem de Magalhães e a Andrómeda, o que provou que estas eram
galáxias separadas da nossa Via Láctea. Os astrónomos utilizam as cefeidas para determinar a
distância a sistemas estelares na nossa galáxia e a galáxias próximas (até ~ 20 Mpc ~ 60
milhões anos-luz).
Utilizando observações de cefeidas da Grande Nuvem de Magalhães, podemos fazer na sala
de aula o mesmo tipo de análise que Henrietta fez e que provou que existem galáxias para
além da Via Láctea. Só precisamos de conhecer as propriedades das cefeidas.
Cefeidas, velas padrão
As cefeidas são estrelas super-gigantes, muito luminosas: a sua luminosidade é milhares ou
mesmo dezenas de milhar de vezes a luminosidade do Sol. Uma cefeida é uma estrela
variável, que pulsa: o seu tamanho e temperatura à superfície variam periodicamente, fazendo
com que a sua luminosidade varie. Tipicamente, as cefeidas clássica têm períodos de alguns
dias.
Fig. 1. Curva de luz de uma cefeida clássica típica, com
período de 4,5 dias.
2
Estas estrelas possuem uma propriedade muito interessante e útil, que relaciona a sua
luminosidade média com o período de variabilidade. As cefeidas mais luminosas variam mais
lentamente do que as menos luminosas. Por exemplo:
- uma cefeida cujo período seja de 3 dias emite por segundo 800 vezes mais energia do
que o Sol; P=3 dias  L = 800 L
- uma cefeida cujo período seja de 30 dias, é 10 000 vezes mais luminosa do que o Sol;
P=30 dias  10000 L
Uma vez estabelecida a relação entre o período e a luminosidade média das cefeidas, basta
medirmos o período de variabilidade de uma determinada cefeida para determinar a sua
luminosidade média (quantidade de energia emitida).
Na Terra, quando observamos uma cefeida, podemos medir a quantidade de energia que nos
alcança por unidade de tempo e de área, ou seja, o fluxo de energia. Se já soubermos a
luminosidade da cefeida, então podemos determinar a distância a que a estrela se encontra
através da fórmula:
F 
L
4r 2
(1)
em que F é o fluxo de energia, ou seja, a quantidade de energia que se recebe por unidade de
tempo e por unidade de superfície perpendicular à direcção de uma estrela; r é a distância a
que se encontra a estrela; e L é a quantidade de energia emitida pela estrela por unidade de
tempo, ou seja, a sua luminosidade.
Este método utiliza o mesmo princípio que é frequentemente utilizado para se medir
distâncias à noite quando se vê uma luz distante: se soubermos (ou assumirmos) a potência da
lâmpada, podemos avaliar a distância a que a lâmpada se encontra avaliando o brilho que nos
chega.
Exemplo de aplicação da fórmula 1
A luminosidade do Sol é L = 3.851026 W, e o fluxo de energia solar que atinge uma
unidade de superfície na Terra é F = 1370 W/m2. Então, a distância a que se encontra o Sol
é:
r
3,85 10 26
 1,5 1011 m
4 1370

3
Fotometria
Para construir a curva de luz (gráfico do brilho da estrela versus tempo) precisamos de medir
o fluxo da estrela em datas diferentes. Isto é feito realizando fotometria nas diferentes
imagens.
Em astronomia, a fotometria é a técnica que mede o fluxo da radiação dos objectos
astronómicos. Os CCDs registam a quantidade de fotões que lhes chega em cada pixel,
transformando cada fotão num sinal eléctrico mensurável. Assim, o valor da intensidade dum
pixel é uma medida dos fotões que lhe chegaram. Se somarmos a intensidade de todos os
pixels que compõe a estrela na imagem, podemos pensar que temos uma medida do fluxo da
estrela, embora em unidades pouco significativas (ADUs – Analogic to Digital Units). Mas na
verdade, em cada pixel, não chegou apenas a radiação da estrela, mas também a radiação
difusa do céu, que vamos querer subtrair.
Quando se faz Fotometria de Abertura, o truque é considerar uma circunferência com um
raio que inclua toda a estrela e somar a intensidade de todos os pixels dentro dessa
circunferência. De seguida, considerar a coroa definida por uma circunferência com cerca de
duas vezes o raio da circunferência escolhida para a estrela e a circunferência da estrela.
Nessa coroa, só estamos a medir a radiação do céu e serve para estimar a contribuição do céu
na região próxima da estrela. Então, podemos subtrair a contribuição do céu,
proporcionalmente à área da estrela, ao valor integrado da intensidade da área que a estrela
ocupa.
Mesmo assim, o valor a que se chega ainda não é somente devido a radiação vinda da estrela.
Há que ter em conta todas as contribuições instrumentais, tais como, o ruído do próprio CCD,
a excitação térmica dos electrões e um patamar electrónico que existe sempre no CCD e que
varia. E após corrigir todos estes factores, se quisermos comparar com medições realizadas
em outros dias e/ou com outros telescópios, é necessário calibrar para uma escala absoluta!
Quando não são necessários valores absolutos, pode-se recorrer à Fotometria Relativa, e
tem-se o trabalho facilitado. Numa mesma imagem, as contribuições instrumentais e
exteriores no CCD são as mesmas para todas as estrelas, de forma que a razão entre o fluxo de
duas estrelas de brilho constante é sempre o mesmo, independentemente das circunstâncias
das observações. Assim, a razão da fotometria de duas estrelas de brilho constante é também
constante para dias diferentes e telescópios diferentes.
No caso da observação de uma cefeida, que é uma estrela de luminosidade variável, se
realizarmos fotometria relativa a uma estrela de luminosidade constante que apareça na
mesma imagem, a razão entre as fotometrias variará em dias diferentes apenas devido à
variação da luminosidade da cefeida.
Assim podemos construir a curva de luz da cefeida baseando-nos na fotometria relativa da
cefeida e de estrelas de referência.
4
Exercício: determinação da distância à Grande Nuvem de Magalhães
utilizando uma cefeida
Para a realização do exercício é necessário o seguinte material:

1) Imagens da cefeida 43522, observada em diferentes datas: pasta “Cefeidas”;
2) Identificação, no céu, da cefeida 43522, em estudo: imagem IDCefeida.jpg;
3) Identificação de estrelas de referência no mesmo campo da cefeida: imagem
IDCefeida.jpg;
a. Estrela 43521 F 1,18 1014 W/m2 ;
b. Estrela 43541 F  6,11015 W/m2 ;
c. Estrela 43520 F 1,311014 W/m2 ;
4) Relação entre o período das cefeidas e a respectiva luminosidade: imagem

image005.gif;

5) Luminosidade do Sol L = 3.851026 W ;
6) Relação entrefluxo, luminosidade e distância (ver equação 1);
7) 1 ano - luz = 9,4611015 m ; 1 pc = 3,086 1016 m ;
8) Software SalsaJ.
9) Folha excel Cefeidas.xls
10) Máquina calcular gráfica ou ter o Solver instalado no Excel (se não aparece no menu
Ferramentas, ir aoSetup do Excel ou do Office , escolher Instalar Customized,
seleccionar apenas o Solver das opções para o Excel.
Para medir a distância à cefeida 43522, na Grande Nuvem de Magalhães, começa-se por
construir a sua curva de luz, utilizando observações do projecto OGLE:
http://www.astrouw.edu.pl/~ogle/index.html.
As imagens encontram-se na pasta Cefeidas (em formato FITS) e a data de observação pode
ser deduzida pelo nome do ficheiro: por exemplo, CEP-43522-1999-10-24-03-25.FTS diz
respeito à observação da cefeida 43522, efectuada em 24 de Outubro de 1999 pelas 3:25h.
Todas as imagens mostram a mesma zona do céu. A Fig. 2 mostra a localização da cefeida
43522 e de estrelas de luminosidade constante (estrela 43521, estrela 43541, estrela 43520).
Todas as observações foram efectuadas nos comprimentos de onda do vermelho e do
infravermelho próximo.
Fig.2. A localização da cefeida em estudo e das estrelas de referência usadas para comparação.
5
Análise:
1. Realizar fotometria da cefeida e de uma estrela de comparação nas diferentes imagens,
escrevendo o resultado no ficheiro excel Cefeidas.xls:
a. Abrir o ficheiro Cefeidas.xls.
b. Abrir o SalsaJ.
c. No SalsaJ, abrir a primeira imagem da pasta “Cefeidas” [menu
“Ficheiro:Abrir”].
d. Registar a data e hora da observação no ficheiro excel (através do nome do
ficheiro).
e. No SalsaJ, ajustar a imagem de forma a distinguir perfeitamente as estrelas
[menu “Imagem:Ajustar Brilho/Contraste”; escolher Auto]. Encontrar a
cefeida e a estrela de comparação (escolher uma das três possíveis e não se
esquecer qual é ).
f. Realizar a fotometria [menu “Análise:Fotometria”] clicando sobre a cefeida e
sobre a estrela de comparação - os resultados aparecem numa janela.
g. Registar os resultados da fotometria das duas estrelas na folha excel.
h. Repetir o procedimento para todos os ficheiros.

2. Na folha de excel, a coluna Tempo foi calculada automaticamente de forma a
corresponder ao tempo, em dias, que passam desde a primeira observação.
3. Na folha de excel, a coluna Fc/Fr é calculada automaticamente como a razão entre a
intensidade da cefeida e a intensidade da estrela de referência, à medida que se
preenchem os campos das colunas Ic e Ir.
4. Construir o gráfico Tempo vs Intensidade Relativa com as observações – o gráfico é
construído automaticamente na folha excel. Estes pontos definem a curva de luz da
cefeida.
5. Tentar encontrar uma função sinusoidal que corresponda ao gráfico Fc Fr  Fc Fr t 
t
Fc
  ) .
Fr t   B  A  sin( 2
P
Isto significa ter de encontrar quatro parâmetros: a intensidade relativa média da

cefeida B, amplitude da variação A, período P, e fase . É conveniente determinar
primeiro alguns valores aproximados dos seguintes parâmetros:
média da cefeida pode-se estimar como o valor médio de Fc t 
B – a intensidade
Fr
Fc
A –pode-se estimar como metade da amplitude do gráfico Fr t 
 - a fase da função sinusoidal, se os primeiros pontos estão abaixo do valor médio,
a fase é negativa, e.g. - /2 (-1.57), se estiverem acima – a fase é 
positiva, etc.
P – o Período pode avaliar-se “a olho”.

Fig.3 Exemplo de uma curva de luz de uma estrela tipo cefeida
6
Opção 1 – continuar com a folha excel:
6. Introduzir nos campos ao lado de B, A, Phi e P os respectivos valores estimados.
7. Na coluna Modelo aparece automaticamente a função teórica calculada com essa
estimativa de parâmetros. No gráfico, aparece a linha amarela com a curva teórica.
8. Na coluna erro é calculado automaticamente o desvio da função teórica relativamente
ao dado observacional. No fim da coluna, aparece a soma de todos os erros. Este é o
valor que vamos querer que seja o menor possível.
9. Ajustar a função teórica: escolher do menu Ferramentas:Solver
a. Colocar na célula alvo o campo com a soma de todos os erros;
b. Escolher Min;
c. Colocar os campos com as variáveis da função (os valores de B, A, fase e P)
em “Alterando as células”;
d. Resolver.
e. Automaticamente os valores de B, A, fase e P foram ajustados, a coluna
Modelo foi recalculada e o gráfico actualizado.
10. Tomar nota do Período e da intensidade relativa média da cefeida.
11. Com o valor do Período, utilizar a famosa relação entre o período e a luminosidade
média das cefeidas, que se mostra na Fig.4, para determinar a luminosidade da cefeida
43522 em unidades de luminosidade solar. Calcular a luminosidade da cefeida em
Watt.
12. Com o valor da intensidade relativa média da cefeida e com o valor do fluxo de
energia da estrela de referência, calcular o fluxo de energia da cefeida (em W/m2).
Opção 2 – utilizar uma calculadora gráfica:
13. Uma alternativa ao método acima descrito consiste em utilizar a calculadora gráfica na
determinação dos valores da função sinusoidal que permitem determinar a intensidade
relativa média e o período. Esta opção deverá ser considerada pois a calculadora
gráfica é uma ferramenta extensivamente explorada nos actuais conteúdos
programáticos das disciplinas de Matemática e de Física e Química.
Assim, para determinar graficamente a função sinusoidal a partir de dados
experimentais, fazer a representação gráfica e escrever a expressão analítica da função
recorre-se à calculadora, que possui programas pré-instalados para o efeito. O processo
é relativamente simples como vamos ver.
Como obter a função sinusoidal usando a calculadora gráfica? O processo é
semelhante ao que se aprende em matemática, no 10ºano, na estatística.
1. Pressionar STAT, selecciona-se 1: Edit e introduzem-se os valores do tempo
(em dias) e da intensidade relativa, criando as listas L1 e L2, respectivamente;
2. Pressionar 2nd [STAT PLOT], escolher 1: Plot1;
3. Seleccionar On, o tipo de gráfico (pontos), L1 nas abcissas e L2 nas ordenadas
e um tipo de marca.
4. Em ZOOM escolher 9.ZoomStat para que a máquina crie uma escala
adequada.
Que linha melhor se ajusta a este conjunto de pontos?
7
Pressionar tecla STAT, seleccionar CALC e escolher C:SinReg, seguido de ENTER
duas vezes sucessivas, a calculadora dar-nos-á a equação correspondente ao modelo
teórico que melhor se aproxima dos pontos experimentais marcados e que corresponde
à função sinusoidal,
t
Fc
  )
Fr t   B  A  sin( 2
P
Neste momento, com o Período e a intensidade relativa média da cefeida, retirados da
função obtida, o procedimento será igual ao anteriormente descrito nos pontos 11 e 12.

Fig.4 Luminosidade da cefeida (em unidades solares) como função do período de variação
14. Utilizar a fórmula que relaciona o fluxo com a luminosidade de uma fonte de radiação
para calcular a distância da cefeida. Esta será a distância da Grande Nuvem de
Magalhães (onde pertence a cefeida).
15. Problema: Qual será a incerteza associada ao resultado? Qual delas será mais
significativa? Não esquecer, que o resultado depende da localização (desconhecida) da
cefeida dentro da Grande Nuvem de Magalhães, mas como o tamanho da Grande
Nuvem de Magalhães é muito menor do que a sua distância, esta incerteza é pouco
significativa para o resultado. Existem outras fontes de erro. O espaço interestelar
entre a Terra e a Grande Nuvem de Magalhães está preenchido com partículas de
pequena dimensão de poeiras, que absorvem parcialmente a radiação. Como pode este
facto afectar o cálculo do valor das distâncias?
Pode recolher informação adicional sobre as cefeidas nos seguintes endereços web:
http://sswdob.republika.pl/cefeidy.htm
http://orion.pta.edu.pl/astroex/ex2/cefeidy.html
http://www.uni-sw.gwdg.de/~hessman/MONET/AstroKiste/Sterne/Cepheiden/
Agradecimentos: Agradecemos a Fabrice Mottez (CETP) por facultar uma versão francesa
do exercício e a Bohdan Paczyński pelo contínuo encorajamento e ajuda na escolha dos dados
adequados. Agradecemos ao grupo OGLE pela permissão de utilizar os seus dados no
exercício.
8
Apêndice 1. Como medir distâncias a outras galáxias?
Obviamente, o primeiro passo é, pelo menos, medir as distâncias às estrelas mais
próximas. Isto pode fazer-se pelo método da paralaxe heliocêntrica.
O efeito da paralaxe heliocêntrica resulta no desvio aparente da posição dos astros mais
próximos de nós em relação aos mais distantes, devido à variação da posição da Terra no
seu movimento em torno do Sol. Pode observar-se um efeito semelhante quando se olha,
primeiro com um olho, e depois com o outro, para um objecto próximo colocado à frente
de outro mais distante. Temos a impressão que o objecto mais próximo se move.
O efeito de paralaxe. A posição de uma estrela
próxima, medida ao longo do ano, parece mover-se
em relação ao fundo de estrelas mais distantes, num
círculo de raio angular p. Medir o ângulo p
possibilita calcular a distância à estrela:
sin( p) 
a
; mas p é muito pequeno, logo
d
sin( p)  p radianos ;




então p (radianos) 
a
;
d
a
3600
; sendo
180 
d

a a distância Terra-Sol, a  1 U.A. define-se
3600
como a distância de um
1 pc 1180 
p (segundos de arco) 

objecto cuja paralaxe
é 1. A distância a um

objecto pode então ser dada por:
1
d  , com d em pc e p em segundos de arco.
p

A primeira medição da paralaxe de uma estrela que teve sucesso foi efectuada por
Friedrich Bessel em 1838. Mediu 
a distância a 61 Cygni – que é uma estrela dupla pouco
brilhante. O observador seguinte, Thomas Henderson, mediu a distância a Sirius, e
passado pouco tempo também se determinou a distância a Vega. O método da paralaxe
heliocêntrica só pode ser utilizado para estrelas relativamente próximas, cerca de algumas
centenas de anos-luz (para estrelas mais distantes o deslocamento é demasiado pequeno
para se poder medir). Com a utilização de instrumentos em satélites, as paralaxes – e
depois as distâncias – foram medidas para milhares de estrelas, incluindo algumas
centenas de cefeidas. Estes dados melhoraram a calibração da relação período–
luminosidade e pôde-se medir as distâncias a várias galáxias relativamente próximas que
tinham cefeidas (distâncias que não ultrapassavam algumas dezenas de milhões de anosluz). As distâncias a galáxias mais distantes podem ser determinadas pela observação de
supernovas.
9
Apêndice 2. Lista das cefeidas mais luminosas
Para utilizar o mesmo método nas cefeidas desta lista, deve-se:
1. Encontrar a cefeida no céu, utilizando as coordenadas da ascensão recta (A.R.) e
declinação (Dec.).
2. Determinar o período fundamental da pulsação, P0, em dias.
3. Utilizar a relação P-L, entre o período de variabilidade P0 e a luminosidade da cefeida,
para calcular a luminosidade, L, em unidades de luminosidade do Sol, L. Nota: o
gráfico utilizado neste exercício do HOU aplica-se à luminosidade da cefeida no
vermelho e infravermelho próximo, e não pode ser utilizado para os valores indicados
abaixo, que foram obtidos em medições no visível. Por isso, deve utilizar-se a fórmula
dada, ou
um
gráfico adequado, tirado da página da
internet
http://web.pdx.edu/~straton/women_cosmology/Day_2_Cepheids.html
4. As cefeidas assinaladas FO têm um movimento harmónico e estão a pulsar com um
período P1, inferior ao período fundamental.
O período fundamental, necessário para a fórmula P-L, pode ser calculado a partir de
P1/P0=0.70, ou, para uma melhor aproximação, P1/P0= P1/P0=-0.027*log(P1)+0.716
Relação P-L:
L
 297,03 P01,092
L

10
Cefeidas com <V> < 8.0 mag
Estrela
Período
[dia]
SU Cas
1.949322
SZ Tau
3.14838
Beta Dor
9.842425
T Mon
27.024649
RT Aur
3.72819
W Gem
7.913779
Zeta Gem 10.15073
MY Pup
5.695309
AH Vel
4.227231
RS Pup
41.3876
l Car
35.551341
U Car
38.7681
ER Car
7.71855
S Mus
9.659875
T Cru
6.7332
R Cru
5.82575
R Mus
7.510467
S Cru
4.689596
V Cen
5.493861
V737 Cen
7.06585
AX Cir
5.273306
R TrA
3.389287
S TrA
6.323465
S Nor
9.754244
V636 Sco
6.796859
X Sgr
7.012877
Y Oph
17.126908
W Sgr
7.594904
AP Sgr
5.057916
Y Sgr
5.77338
U Sgr
6.745229
BB Sgr
6.637102
FF Aql
4.470916
U Aql
7.023958
SU Cyg
3.845492
Eta Aql
7.176735
S Sge
8.382086
X Cyg
16.386332
T Vul
4.435462
Delta Cep 5.36627
RX Cam
7.912024
AW Per
6.463589
RX Aur
11.623537
CK Cam
3.29495
AP Pup
5.084274
AT Pup
6.664879
V Car
6.696672
RZ Vel
20.39824
BG Vel
6.923655
V Vel
4.371043
VY Car
18.99
V898 Cen
3.527125
XX Cen
10.95337
V381 Cen
5.07878
BP Cir
2.3984
AV Cir
3.0651
RV Sco
6.061306
<V>
[mag]
5.970
6.531
3.731
6.124
5.446
6.950
3.918
5.677
5.695
6.947
3.724
6.288
6.824
6.118
6.566
6.766
6.298
6.600
6.836
6.719
5.880
6.660
6.397
6.394
6.654
4.549
6.169
4.668
6.955
5.744
6.695
6.947
5.372
6.446
6.859
3.897
5.622
6.391
5.754
3.954
7.682
7.492
7.655
7.58
7.371
7.957
7.362
7.079
7.635
7.589
7.443
7.963
7.818
7.653
7.560
7.439
7.040
A.R
[h m s]
2 47 28.88
4 34 20.00
5 33 11.00
6 22 31.00
6 25 21.25
6 32 6.00
7 1 9.00
7 36 53.00
8 10 26.00
8 11 9.00
9 43 52.35
10 55 45.57
11 7 31.99
12 10 4.00
12 18 36.50
12 20 52.22
12 39 0.00
12 51 23.56
14 28 56.92
14 33 19.86
14 48 29.86
15 15 16.00
15 56 40.00
16 14 42.00
17 19 5.00
17 44 25.00
17 49 58.00
18 1 50.00
18 10 0.00
18 18 26.00
18 28 57.00
18 48 2.00
18 56 1.20
19 26 39.90
19 42 48.51
19 49 55.50
19 53 45.00
20 41 26.60
20 49 21.00
22 27 18.53
4 0 49.26
4 44 25.00
4 57 55.45
5 2 24.17
7 56 1.00
8 10 31.00
8 27 42.53
8 35 18.00
9 6 39.00
9 20 45.00
10 42 33.28
11 9 6.80
13 37 1.12
13 47 22.49
14 42 48.00
14 46 9.00
16 55 3.00
Dec
[ ‘]
68 40
18 26
-62 31
7 6
30 31
15 22
20 38
-48 29
-46 29
-34 25
-62 16
-59 27
-58 33
-69 52
-62 0
-61 21
-69 8
-58 9
-56 40
-61 47
-63 36
-66 18
-63 38
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-6 8
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-7 8
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-59 57
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-51 14
-55 44
-57 18
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-61 15
-67 17
-33 32
V
Tipo
[mag]
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FO
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11
BF Oph
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4.527807
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V350 Sgr
5.154178
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YZ Sgr
9.553606
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TT Aql
13.754707
7.141 19 5 41.40
1 13 1.082
V496 Aql
6.807055
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-7 31 0.349
U Vul
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SV Vul
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V1162 Aql 5.3761
7.798 19 49 35.20 -11 29 0.507
IR Cep
2.114124
7.784 21 56 19.49
60 46 0.372 FO
V411 Lac
2.908162
7.860 22 26 56.62
50 42 0.3
FO
========================================================================
12