I. Limites de Funç˜oes x2 + x − 6 x − 2 −x3 − 2x2 + 4x + 8 √x2 + 16

Lista 1 de MAT0111
IO-2016
I. Limites de Funções
1. Calcule os limites, justificando todas as passagens.
x2 + x − 6
a. lim
x →2 √ x − 2
x2 + 12 − 4
√
d. lim
x →2 2 −
x3 − 4
√
3
x4 + 1 − 1
g. lim
x →0
x4
sen(sen(2x ) )
j. lim
x →0
x
cos x
m. limπ
π
x→ 2 x − 2
2x3 + 9x2 + 12x + 4
b. lim
x →−2 − x 3 − 2x 2 + 4x + 8
x4 − 1
e. lim 3
x →1 x − 1
√
√
x2 − 1 + x − 1
√
h. lim
x → 1+
x−1
k. lim ( tg(3x ) cossec(6x ) )
x →0
sen( x5 − 1)
x →1
x3 − 1
n. lim
2. Encontre o limite quando existir.
√
x2 − 6x + 9
a. lim
x−3
x → 3−
sen3 ( x ) sen 1x
d. lim
x →0
x2
sen( x3 − 1) cos 1−1 x
√
g. lim
x → 1+
x−1
√
√ 3
j. lim
x+1− 3 x
x →+∞
m.
lim
x →+∞
p
x2 + 1 −
p
x4 + 1
( x2 − 2x ) sen( x2 − 4)
√
√
x →2
x2 + 4 − 4x
√
4
7x12 + 5x4 + 7
s. lim
x →−∞
2x3 + 2
p. lim
x2 + 16 − 5
2 + 3x
x →−3
x√
4− x
lim
x →16 16x − x 2
sen(20x )
lim
x →0 sen(301x )
√
1 − 3 cos x
lim
x →0
x2
sen(3x2 − 5x + 2)
lim
x →1
x2 + x − 2
c. lim
f.
i.
l.
o.
√
Caso não exista, explique por quê.
sen x
1
1
b. lim
−
c. lim 3
+
x →0 x
|x|
x
− x2
x →0
√
x4 + x2
1
3
e. lim
f. lim
−
x →0
x →1 x − 1
x
1 − x3
x2 − 2x
x →2− x 2 − 4x + 4
√
x+1
lim √
x →+∞
9x + 1
3x5 + 2x − 8
lim √
x →−∞
x6 + x + 1
√
3x3 + x cos( x )
lim
x →+∞ x 4 sen(1/x ) + 1
q
√
√
lim ( x + x − x )
x
x →+∞
x+1
x − sen x
l. lim
x →+∞ x + sen x
p
o. lim ( x2 + 9 + x + 3)
x →−∞
√
√
x (sen x + x cos x )
√
√
r. lim
x →+∞
x x − sen( x x )
√
x3 + x2 − 5x + 3
u. lim
x →1
x2 − 1
h. lim
k.
n.
q.
t.
i.
x →+∞
lim √
3. A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:
!
r p
1
lim
x2 + x − x = lim
x2 1 +
−x
x →+∞
x →+∞
x
r
1
1+
− 1 = lim ( x · 0) = 0.
= lim x
x →+∞
x →+∞
x
|{z}
→0
{z
→0
}
2x3 + cx + c
= L. Determine c e L.
x →1
x2 − 1
4. Sejam c , L ∈ R tais que lim
5. Seja f : R → R.
|
f (x)
f (x)
= 1, calcule lim
.
2
x →2 x
x →2 x
f (x)
= 0, calcule lim f ( x ).
(b) Assumindo que lim
x →0
x →0 x
f (x)
(c) Assumindo que lim 2
= +∞, calcule lim f ( x ).
x →+∞ x + x
x →+∞
(a) Assumindo que lim
6. Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(a) Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada, f é positiva e lim g( x ) = +∞, então
x →+∞
tem-se que lim ( f ( x ) g( x ) ) = +∞.
x →+∞
(b) Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e lim g( x ) = +∞, então tem-se que
x →+∞
lim f ( x ) + g( x ) = +∞.
x →+∞
(c) Se f , g : R → R são funções tais que lim
x →+∞
7. Dê exemplos de funções f e g tais que:
(a) lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞ e lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
f (x)
= +∞, então lim f ( x ) − g( x ) = +∞.
x
→+
∞
g( x )
f (x)
= 0.
g( x )
(b) lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞ e lim f ( x ) − g( x ) = 1.
f (x)
6= 1.
(c) lim f ( x ) − g( x ) = 0 e lim
x →0
x →0 g ( x )
f (x)
(d) lim
= 1 e lim f ( x ) − g( x ) 6= 0.
x →0 g ( x )
x →0
8. Mostre que se lim
x→a
f (x)
= 1 e se g é limitada então lim f ( x ) − g( x ) = 0.
x→a
g( x )
f ( x3 )
9. Seja f : R → R uma função tal que f ( x ) ≤ 2| x |, para todo x ∈ R. Calcule lim
.
x →0
x
p p x6
x6
10. Seja f : R → R tal que 1 + x2 +
≤ f ( x ) + 1 ≤ sec x2 + , para todo x ∈ − π2 , π2 .
3
3
1 Calcule lim f ( x ) e lim f ( x ) cos
.
x →0
x →0
x + x2
11. Sejam f , g : R → R tais que | sen x | ≤ f ( x ) ≤ 3 | x | e 0 ≤ g( x ) ≤ 1 + | sen x |, para todo
x ∈ R. Calcule lim ( f ( x ) g( x ) + cos x ).
x →0
12. Sejam C o cı́rculo de raio 1 e centro em (1, 0), Cr o cı́rculo de raio r (onde 0 < r < 2) e centro
em (0, 0), Pr o ponto (0, r ) e Qr o ponto, situado no primeiro quadrante, intersecção dos cı́rculos
C e Cr . Se Lr é a interseção da reta Pr Qr com o eixo Ox, o que acontecerá com Lr quando Cr
encolher, isto é, quando r → 0+ ?
II. Continuidade de Funções
1. Determine o conjunto dos pontos de seu domı́nio em que a função f é contı́nua. Justifique.


sen( x2 − 4) + 5, se x > 2

(


x2 + 3, se x < 1
x2 + x − 6
(a) f ( x ) =
(b) f ( x ) =
,
se x < 2

( x − 3)2 , se x ≥ 1
x−2



5,
se x = 2
 2
 2
 x + x − 2 , se x 6= 1
 | x − 4x + 3|
, se x 6= 3
( x − 1)2
(d)
f
(
x
)
=
(c) f ( x ) =
x−3


1,
se x = 3
0,
se x = 1
2. Determine L para que a função dada seja contı́nua em R.
√

2

 x8 + x4
 sen( x + 2) − sen( x + 2) , se x 6= 0
,
(b) f ( x ) =
(a) f ( x ) =
x
x2



L,
se x = 0
L,
se x 6= 0
se x = 0
3. Considere a função f : R → R definida por
p
 ( x − 1)6
, se x 6= 1
f (x) =
x−1

1,
se x = 1
Verifique que lim f ( x ) = lim f ( x ). Pergunta-se: f é contı́nua no ponto x = 1? Por quê?
x → 1+
x → 1−
4. Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(a) Se f : R → R é tal que | f | é contı́nua em x = 0, então f é contı́nua em x = 0.
(b) Se f e g são funções descontı́nuas em x = 0, então a função f g é descontı́nua em x = 0.
5. Para que valores da constante c a função f : R → R definida por
f (x) =
(
cx2 + 2x,
x3 − cx,
se x < 2
se x ≥ 2
é contı́nua em R? Esboce o gráfico de f .
6. Encontre os valores de a e b que tornam a função f , definida abaixo, contı́nua em todo R. Esboce
o gráfico de f .


x2 − 4


,
se x < 2

x−2
f ( x ) = ax2 − bx + 3, se 2 ≤ x < 3



 2x − a + b, se x ≥ 3
RESPOSTAS
I. Limites de Funções
1.
a. 5 b. − 34 ; c. 51 ; d. − 61 ;
20
i. 301
;
j. 2; k. 12 ; l.
2.
a. −1;
j. 0 ; √
s. −
3.
4.
5.
6.
9.
4
7
2
b. 6 ∃ ;
k. 31 ;
;
t.
1
2
;
c. −∞ ;
l. 1 ;
u. 6 ∃ .
1
6
;
e. 34 ;
m. −1 ;
1
f. 128
;
5
n. 3 ;
d. 0 ;
m. −∞ ; n. −∞ ;
− 21
c = −1 ; L = 5/2.
(a) 2;
(b) 0;
(c) +∞.
(a) Falsa;
(b) Verdadeira;
0.
10. 0; 0.
11. 1 .
g.
o.
1
3 h.
1
3.
e. 6 ∃ ;
o. 3 ;
(c) Falsa.
12. (4, 0).
II. Continuidade de Funções
1.
2.
3.
5.
(a) R;
(b) R;
(c)R \ {3};
(d) R \ {1};
(a) − cos 2;
(b) 1.
Não.
4. (a) Falsa;
(b) Falsa.
c = 23 .
6. a = − 25 e b = − 11
2.
√
2;
f. 6 ∃ ;√
p. 32 2 ;
g. 0 ;
q. 3 ;
h. −∞ ;
r. 0 ;
i. +∞ ;