1-6 UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma A - 2016/1 Prova da área IA Nome: • Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Identidades: eix − e−ix sen(x) = 2i • Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. • Seja sucinto, completo e claro. • Justifique todo procedimento usado. Transformada da derivada Deslocamento no eixo s Deslocamento no eixo t cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x) sen(y) Séries: L {αf (t) + βg(t)} = αL {f (t)} + βL {g(t)} L f ′ (t) = sL {f (t)} − f (0) L f ′′ (t) = s2 L {f (t)} − sf (0) − f ′ (0) L eat f (t) = F (s − a) L {u(t − a)f (t − a)} = e −as F (s) e−as s Z t F (s) f (τ )dτ = L s 0 L {u(t − a)} = 5 6 7 8 Transformada da integral Filtragem da Delta de Dirac Z ∞ 10 11 Transformada de funções periódicas ex = ∞ X x2 x3 xn =1+x+ + + ··· , n! 2! 3! n=0 ln(1 + x) = ∞ X L {f (t)} = Derivada da transformada 1 1 − e−sT L {tf (t)} = − Integral da transformada L f (t) t = Z −1 < x < 1 x2n+1 , (2n + 1)! ∞ X (−1)n x2n , (2n)! −∞ < x < ∞ x2n+1 , (2n + 1)! −∞ < x < ∞ n=0 senh(x) = e−sτ f (τ )dτ cosh(x) = dF (s) ds x2n+1 , 2n + 1 ∞ X ∞ X x2n , (2n)! n=0 (1 + x)m = 1 + F (s)ds −∞ < x < ∞ −1 < x < 1 (−1)n n=0 0 (−1)n n=0 cos(x) = xn+1 , n+1 ∞ X T ∞ ∞ X n=0 L {δ(t − a)} = e−as Z (−1)n n=0 sen(x) = L {(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s), Z t f (τ )g(t − τ )dτ onde (f ∗ g)(t) = −1 < x < 1 ∞ X x = nxn = x + 2x2 + 3x3 + · · · , −1 < x < 1 2 (1 − x) n=1 f (t)δ(t − a)dt = f (a) −∞ 0 9 ∞ X 1 xn = 1 + x + x2 + x3 · · · , = 1−x n=0 arctan(x) = Transformada da Delta de Dirac Teorema da Convolução eix + e−ix 2 sen(x + y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x) • Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. • Use notação matemática consistente. Propriedades: 1 Linearidade cos(x) = ex − e−x ex + e−x cosh(x) = 2 2 ∞ X n! n n n−j j = a b , (a + b)n = j j j!(n − j)! j=0 Regras para as questões abertas: 4 Total senh(x) = • Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. 3 8 Cartão: Regras Gerais: 2 7 −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞ ∞ X m(m − 1) · · · (m − n + 1) n x , n! n=1 −1 < x < 1, m 6= 0, 1, 2, ... s Funções especiais: Função Gamma Γ(k) = Z ∞ xk−1 e−x dx 0 Propriedade da Função Gamma Função de Bessel modificada de ordem ν Função de Bessel de ordem 0 Integral seno Γ(k + 1) = kΓ(k), Γ(n + 1) = n!, Iν (x) = ∞ X m=0 k>0 n∈N x 2m+ν (−1)m m!Γ(m + ν + 1) 2 J0 (x) = ∞ X (−1)m x 2m m!2 2 m=0 Si (t) = Z t 0 sen(x) dx x Integrais: eλx (λx − 1) + C λ2 2 Z x 2x 2 x2 eλx dx = eλx − 2 + 3 +C λ λ λ Z Z 1 n xn eλx dx = xn eλx − xn−1 eλx dx + C λ λ Z cos (λ x) + λx sen (λ x) +C x cos (λ x) dx = λ2 Z sen (λ x) − λx cos (λ x) x sen (λ x) dx = +C λ2 Z xeλx dx = Tabela de transformadas de Laplace: F (s) = L{f (t)} 1 s 1 s2 1 2 3 1 , sn 1 (n = 1, 2, 3, ...) 1 √ , s 4 1 5 s2 6 1 , sk 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 , (s − a)n (k > 0) 1 s−a 1 (s − a)2 (n = 1, 2, 3...) 1 , (s − a)k (k > 0) 1 , (s − a)(s − b) (a 6= b) s , (s − a)(s − b) (a 6= b) 1 s2 + w 2 s s2 + w 2 1 s2 − a2 s s2 − a2 1 (s − a)2 + w 2 s−a (s − a)2 + w 2 1 + w2 ) s(s2 s2 (s2 1 + w2 ) 31 tn−1 (n − 1)! 32 36 teat 37 1 tn−1 eat (n − 1)! 38 43 cosh(at) √ s , π Γ(k) t 2a k− 1 2 Ik− 1 (at) 2 √ J0 (2 kt) √ 1 √ cos(2 kt) πt √ 1 √ senh(2 kt) πt k2 k √ e− 4t 3 2 πt (k > 0) − ln(t) − γ, (γ ≈ 0, 5772) 1 bt e − eat t 2 (1 − cos(wt)) t 2 (1 − cosh(at)) t 1 sen(wt) t Si (t) Onda quadrada as 1 tanh s 2 44 f (t) = 1, −1, 0<t<a a < t < 2a f (t + 2a) = f (t), t > 0 eat cos(wt) Onda triangular 1 (1 − cos(wt)) w2 1 (wt − sen(wt)) w3 1 (cos(at) − cos(bt)) b2 − a2 1 (s4 + 4a4 ) 1 [sen(at) cosh(at)− 4a3 − cos(at) senh(at)] 26 s (s4 + 4a4 ) 1 sen(at) senh(at)) 2a2 27 1 (s4 − a2 ) 1 (senh(at) − sen(at)) 2a3 s − a4 ) √ (k > 0) 1 ln(s) s s−a ln s−b 2 s + w2 ln s2 2 s − a2 ln s2 w tan−1 s 1 −1 cot (s) s 1 at e sen(wt) w 1 (sen(wt) + wt cos(wt)) 2w (s4 1 √ eat (1 + 2at) πt 3 a) 2 1 senh(at) a 25 28 e−k 41 cos(wt) J0 (at) 1 −k (k > 0) e s, s k 1 √ e− s s 1 k es 3 s2 40 42 1 √ (ebt − eat ) 2 πt3 −(a+b)t a−b 2 I0 e t 2 1 √ s+a s+b 1 √ s2 + a2 s 1 , (s2 − a2 )k 39 1 sen(wt) w s2 + w 2 )2 (a2 6= b2 ) 34 eat 1 (sen(wt) − wt cos(wt)) 2w 3 t sen(wt) 2w s , (s2 + a2 )(s2 + b2 ) 33 35 1 k−1 at t e Γ(k) 1 at e − ebt a−b 1 at ae − bebt a−b √ (s − tk−1 Γ(k) 1 (s2 + w 2 )2 s (s2 + w 2 )2 (s2 30 t 1 √ πt r t 2 π , 3 29 f (t) = L−1 {F (s)} f (t) = L−1 {F (s)} F (s) = L{f (t)} √ √ s−a− s−b 1 (cosh(at) − cos(at)) 2a2 as 1 tanh as2 2 45 t , a f (t) = t − + 2, a 0<t<a a < t < 2a f (t + 2a) = f (t), t > 0 Retificador de meia onda 46 (s2 + w2 ) w π 1 − e− w s f (t) = f 47 πs w coth s2 + w 2 2w π sen(wt), 0 < t < w 2π π <t< w w 0, t+ 2π w = f (t), t > 0 Retificador de onda completa f (t) = | sen(wt)| Onda dente de serra 48 e−as 1 − as2 s (1 − e−as ) f (t) = t , a 0<t<a f (t) = f (t − a), t > a • Questão 2 ( ) 3 s 2 ( ) 3 e−2s s 2 ( ) + s3 2 (X) + s3 2 ( ) + s3 1 (1.0 ponto) A transformada de Laplace da função t2 u(t − 2) é 4 s2 e−2s 4 4 −2s e + s2 s 4 4 + + 1 e−2s s2 s • Questão 2 (1.0 ponto) A transformada de Laplace da função 1 s−1 ( ) ln 2 s+1 1 s+1 (X) ln 2 s−1 s+1 ( ) ln s−1 senh(t) é t 1 e−s −1 1 1 ( ) s s2 − 1 • Questão 3 (1.0 ponto) Sabendo que L{f (t)} = F (s) é correto afirmar que ( ) s2 d2 F (s) ( ) = s2 L{f (t)} 2 ds 2 d F (s) ( ) = −s2 L{f (t)} ds2 d2 F (s) ( ) = −L{tf (t)} ds2 d2 F (s) = −L{t2 f (t)} ( ) ds2 d2 F (s) (X) = L{t2 f (t)} 2 ds 2 d F (s) ( ) = L{f ′′ (t)} ds2 • Questão 4 (1.0 ponto) Considere a função f : R+ → R dada no gráfico abaixo: f (t) 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 t A transformada de Laplace da função f (t) é −e−s + e−2s + e−3s − e−5s ( ) s2 −e−s + e−2s + e−3s − e−5s ( ) s −s −2s s − e + e + e−3s − e−5s (X) s2 1 − e−s + e−2s + e−3s − e−5s ( ) s2 1 − e−s + e−2s + e−3s − e−5s ( ) s • Questão 5 (1.0 pontos) Dado que f (t) satisfaz a equação Z t t f (t) + e e−τ f (τ )dτ = senh(t) 0 então a transformada de Laplace de f é 1 (X) F (s) = s(s + 1) 1 ( ) F (s) = (s − 1)2 + 1 1 ( ) F (s) = s(s − 1) 1 ( ) F (s) = 2 s −1 1 ( ) F (s) = 2 s +1 1 ( ) F (s) = s−1 a + bs para constantes a e b reais, s2 + cs + d c ≥ 0, k ≥ 0 e d > 0. Marque qual gráfico abaixo certamente NÃO pode representar a transformada inversa da função F (s). ( ) ( ) ( ) f (t) f (t) f (t) • Questão 6 (1.0 ponto) Considere a função F (s) = e−sk 2 2 2 1 1 1 0 1 2 0 t 3 1 −1 ( ) 2 0 t 3 1 −1 ( ) f (t) f (t) f (t) 2 2 1 1 1 1 −1 2 3 t 0 1 −1 t 3 −1 (X) 2 0 2 2 3 t 0 1 −1 2 3 4 t • Questão 7 (2.0 ponto) Considere as funções f (t) = tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (t − 3)u(t − 3) e g(t) = tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (t − 2)u(t − 3) a) (1.0 pontos) Esboce os gráficos de f , g, f ′ e g ′ . b) (1.0 pontos) Calcule L{f (t)}, L{f ′(t)}, L{g(t)} e L{g ′(t)}. Solução: a) f ′ (t) f (t) 2 2 1 1 0 1 2 3 4 t −1 0 1 2 3 4 t 1 2 3 4 t −1 g ′(t) g(t) 2 2 1 1 0 1 2 3 4 −1 t 0 −1 b) 1 − 2e−s + e−3s s 1 − 2e−s + e−3s L{f (t)} = s2 −s 1 − 2e + e−3s + se−3s L{g ′(t)} = s −s 1 − 2e + e−3s + se−3s L{g(t)} = s2 • Questão 8 (2.0 ponto) Considere o oscilador harmônico ′′ y + 4y = sen(w0 t) y(0) = 0 ′ y (0) = 0 L{f ′ (t)} = onde w0 é uma constante positiva. a) (1.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial para w0 = 2. b) (1.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial para w0 6= 2. Solução: a) Usamos a transformada de Laplace para resolver o PVI: s2 Y (s) − sy(0) − y ′(0) + 4Y (s) = s2 2 +4 ⇓ Y (s) = (s2 2 + 4)(s2 + 4) (s2 2 + 4)2 ⇓ Y (s) = Pelo item 21 da tabela, temos: y(t) = 1 (sen(2t) − 2t cos(2t)) 8 b) Usamos a transformada de Laplace para resolver o PVI com w0 6= 2: s2 Y (s) − sy(0) − y ′(0) + 4Y (s) = ⇓ Y (s) = s2 w0 + w02 w0 (s2 + 4)(s2 + w02 ) ⇓ Y (s) = 1 w0 2 w0 + 2 2 2 2 2(w0 − 4) s + 4 4 − w0 s + w02 Pelo item 21 da tabela, temos: y(t) = w0 1 sen(w0 t) sen(2t) + 2 2(w0 − 4) 4 − w02