Caldeiraria Matemática Elementar

Espírito Santo
CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria
Caldeiraria
Matemática Elementar
Espírito Santo
Matemática Elementar - Caldeiraria
© SENAI - ES, 1997
Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)
Coordenação Geral
Francisco Lordes (SENAI)
Marcos Drews Morgado Horta (CST)
Supervisão
Paulo Sérgio Teles Braga (SENAI)
Rosalvo Marcos Trazzi (CST)
Elaboração
Evandro Armini de Pauli (SENAI)
Fernando Saulo Uliana (SENAI)
Aprovação
José Geraldo de Carvalho (CST)
José Ramon Martinez Pontes (CST)
Tarcilio Deorce da Rocha (CST)
Wenceslau de Oliveira (CST)
Editoração
Ricardo José da Silva (SENAI)
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
DAE - Divisão de Assistência às Empresas
Departamento Regional do Espírito Santo
Av. Nossa Senhora da Penha, 2053
Bairro Santa Luíza - Vitória - ES.
CEP 29045-401 - Caixa Postal 683
Telefone:
(27) 3325-0255
Telefax: (27) 3227-9017
CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão
AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos
AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, n° 930, Jardim Limoeiro - Serra - ES.
CEP 29163-970
Telefone:
(27) 3348-1333
Espírito Santo
Sumário
Números Inteiros....................................................................04
• Números Naturais..............................................................04
• Operações Fundamentais com
Números Naturais..............................................................04
• Números Naturais - Exercícios ..........................................06
Frações ..................................................................................10
• Números Racionais ...........................................................10
• Números Mistos.................................................................14
• Extração de Inteiros...........................................................14
• Transformação de Números Mistos
em Frações Impróprias......................................................15
• Simplificação de Frações...................................................16
• Redução de Frações
ao mesmo Denominador ...................................................16
• Comparação de Frações ...................................................18
• Frações - Exercícios ..........................................................22
Números Decimais .................................................................33
• Conceito e Leitura..............................................................33
• Operações com Números Decimais ..................................35
• Números Decimais - Exercícios .........................................38
Números Inteiros Relativos ....................................................43
• Números Opostos ou Simétricos....................................43
• Operações com Números Inteiros..................................44
• Expressões com Números Inteiros.................................46
• Exercícios com Números Inteiros...................................48
Medidas de Ângulos...............................................................49
• Operações com Medidas de Ângulos............................50
• Exercícios - Medidas de Ângulos..... .................................51
Triângulos...............................................................................61
• Classificações dos Triângulos..........................................62
• Elementos Notáveis de um Triângulo............................66
• Teorema.............................................................................68
• Exercícios - Triângulos.......................................................69
Quadrilátero...........................................................................72
• Paralelogramo...................................................................76
• Trapézio.............................................................................81
• Polígonos Convexos.........................................................84
Nomes dos Polígonos...........................................................85
• Circunferência....................................................................87
Espírito Santo
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Números Inteiros
Números Naturais
Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade
de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto.
Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma
ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo
corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na
bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à
última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais,
embora não lhes dessem nomes nem os representassem por
símbolos.
Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o
mundo, os símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e
escreve-se:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Operações Fundamentais Com Números Naturais
Adição
É a operação que permite determinar o número de elementos da
união de dois ou mais conjuntos:
1.004
577
12
+ 4
1.597
→
parcelas
→
total ou soma
Subtração
É a operação que permite determinar a diferença entre dois
números naturais:
837
→
Minuendo
- 158
→
Subtraendo
679
→
Resto ou diferença
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CST
4
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Multiplicação
A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de
parcelas iguais:
Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 (três parcelas iguais a 2)
381
→
Multiplicando
x 23
1143
+ 762_
8763
→
Multiplicador
→
Produto
Fatores
Atenção:
Qualquer número natural multiplicado por zero é zero.
Exemplo:
4× 0=0
Divisão
É a operação que permite determinar o quociente entre dois
números.
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplo:
18 × 4 = 72
→
72 ÷ 4 = 18
Termos da Divisão:
Dividendo
→
4051
- 40__
051
- 48
03
8
506
→
→
Divisor
Quociente
→
Resto
Atenção:
Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é
exata.
Exemplo:
16 ÷ 8 = 2
Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão
é aproximada ou inexata.
Exemplo:
16 ÷ 5 = 3 (resto = 1)
Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre
diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto
de números naturais (IN).
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SENAI
Departamwennto Regional do Espírito Santo
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Espírito Santo
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Números Naturais - Exercícios
1) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
a)
7, 14, 21, ......, ......, ......, ......
b)
9, 18, 27, ......, ......, ......, ......
c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ......
d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ......
e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......
2) Resolva:
a) 4 + 577 + 12 + 1.004 =
b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 =
c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =
3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da
adição:
623
+ 321
944
...................................
...................................
...................................
4) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22...
a)
50, 45, ......, ......, ......, ......, ......
b)
50, 44, ......, ......, ......, ......, ......
c)
80, 72, ......, ......, ......, ......, ......
d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......
5) Efetue as subtrações:
a) 196 - 74 =
b) 937 - 89 =
c) 4.800 - 2.934 =
d) 100.302 - 97.574 =
e) 1.301.002 - 875.037 =
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6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428.
Qual é o minuendo?
7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206?
8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.
9) Efetue mentalmente:
a)
7×
1=
b)
810 ×
1=
c)
8×
10 =
d)
72 ×
10 =
e) 1.705 ×
10 =
f)
9 × 100 =
g)
81 × 100 =
h)
365 × 100 =
i)
5 × 1000 =
j)
12 × 1000 =
k)
170 × 100 =
l)
3.800 × 1000 =
10) Complete:
a) Um produto é sempre uma adição de ...........................
iguais.
b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos
um de seus fatores for ...............................
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11) Complete:
a)
4 × 5 × 0 =
b)
6 × 0 × 9 =
c)
0 × 5 × 8 =
d)
1 × ...... × 8 = 0
e)
7 × 9 × ...... = 0
f)
...... × 4 × 8 = 0
12) Escreva os termos da divisão:
............................... 107
07
......................
2
5
21
............................
............................
13) Efetue:
a)
810 ÷ 4 =
b)
408 ÷ 4 =
c)
560 ÷ 8 =
d) 12.018 ÷ 6 =
14) O número 9 está contido em 3.663 ............................ vezes.
15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de
uma prova.
a)
8.750 + 3 + 1.046 =
b) 37.600 - 28.935 =
c)
2.091 × 45 =
d)
9.327 × 814 =
e)
3.852 × 208 =
f)
68.704 ÷ 74 =
g)
1.419 ÷ 87 =
h)
4.056 ÷ 68 =
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16) Resolva as situações problemas:
a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos,
sucessivamente, as seguintes operações:
• retiramos 70 litros
• colocamos 38 litros
• retiramos 193 litros
• colocamos 101 litros
• colocamos 18 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
b) Em uma escola
estudam 1.920 alunos distribuídos
igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite.
Pergunta-se:
• Quantos alunos estudam em cada período?
• Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se
há 16 salas de aula?
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Frações
Números Racionais
Consideremos a operação 4 ÷ 5 = ? onde o dividendo não é
múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o
quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque
não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4.
A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar
um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão,
quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então,
o conjunto dos Números Racionais.
Número racional é todo aquele que é escrito na forma
a
onde a
b
e b são números inteiros e b é diferente de zero.
São exemplos de números racionais:
3
,
5
1
,
2
4
,
3
10
,
5
12
,
24
36
18
A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais
fracionários, também chamados de frações.
Conceito de Fração:
Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas
dessas partes, poderemos representar essa operação por uma
fração.
Veja:
A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.
Representamos, então, assim:
2
3
E lemos: dois terços.
O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro
foi dividido, chama-se DENOMINADOR.
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CST
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O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais
foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.
Leitura e Classificações das Frações
Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em
seguida, o denominador.
a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a
sua leitura é feita do seguinte modo:
1
2
- um meio
1
3
- um terço
1
4
- um quarto
1
5
- um quinto
1
6
- um sexto
1
7
- um sétimo
1
8
- um oitavo
1
9
- um nono
b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é
feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou
milésimo(s).
1
- um décimo
10
7
- sete centésimos
100
20
- vinte milésimos
1000
c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de
10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos".
1
- um quinze avos
15
13
85
3
29
- três vinte e nove avos
- treze oitenta e cinco avos
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Frações Ordinárias e Frações Decimais
As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000
(potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras
são chamadas Frações Ordinárias.
Exemplos:
3
,
10
5
,
100
23
1000
são frações decimais
1
,
5
8
,
17
10
41
são frações ordinárias
Frações Próprias
Observe as frações abaixo:
1
2
2
3
Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas
Frações Próprias.
Nas frações próprias, o numerador é menor do que o
denominador.
Frações Impróprias
Observe as frações abaixo:
7
4
4
3
Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações
Impróprias.
Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o
denominador.
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CST
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Frações Aparentes
Observe:
12/6 ou 2 inteiros
3/3 ou 1 inteiro
As frações acima representam inteiros.
Frações Aparentes.
Elas são chamadas
Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do
denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador.
Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração
imprópria é aparente.
Frações Equivalentes/Classe de Equivalência.
Observe as figuras:
2
3
4
6
6
9
As frações
2 4
6
,
e
3 6
9
representam o mesmo valor, porém
seus termos são números diferentes. Estas frações são
denominadas Frações Equivalentes.
Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar
ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número
(diferente de zero).
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Espírito Santo
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Exemplo:
é igual a
2 x 5 10
10
, pois
=
25
5 x 5 25
18
é igual a
21
18 ÷ 3 6
6
, pois
=
7
21 ÷ 3 7
2
5
O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA.
Exemplo:
Classe de equivalência de
1
=
2
2
3
4
5
6 
1
Κ
,
,
,
,
,

4
6
8
10
12 
2
Números Mistos
São os números mistos formados por uma parte inteira e uma
fração própria.
1
1 inteiro
2
Representamos assim:
1
1
2
E lemos:
um inteiro e um
meio
Extração De Inteiros
É o processo de transformação de fração imprópria em número
misto.
Observe a figura:
Podemos representar essa fração de duas maneiras:
1
1
4
ou
5
4
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CST
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5
em número misto, ou seja, para verificar
4
4
5
quantas vezes
cabe em , procede-se assim:
4
4
Para transformar
5
1
1 1
4
4
1
É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a
parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo
denominador.
Transformação
Impróprias.
de
Números
Mistos
em
Frações
Observe o exemplo e a ilustração:
Transformar 1
1
em fração imprópria.
4
Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o
outro quarto.
1 1
4
4 + 1 = 5
4
4
4
1
1
+
4
1 1
4
ou
5
4
Resumidamente, procede-se assim:
Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o
numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.
1
1
4
=
(1 × 4 + 1)
4
=
5
4
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Simplificação de Frações
Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração
equivalente com os termos respectivamente menores.
Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo
número natural
(diferente de 0 e de 1).
Exemplo:
Simplificar
8
16
8÷2 4÷2 2÷2
=
=
=
16 ÷ 2 8 ÷ 2 4 ÷ 2
1
2
Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que
ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples.
Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.
Redução de Frações ao mesmo Denominador
Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa
obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o
mesmo número para denominador.
Exemplo:
1
2
3
,
e
são equivalentes a
2
3
4
respectivamente.
As frações
6
8
9
,
e
12 12
12
Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador,
seguimos os seguintes passos:
1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será
o menor denominador comum.
2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das
frações dadas.
3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo
numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o
novo numerador.
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CST
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Exemplo:
Reduzir ao menor denominador comum as frações:
1
,
2
3
,
4
7
6
Solução:
1º - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 é o denominador.
2, 4, 6 2
1, 2, 3 2
1, 1, 3 3
1, 1, 1 12
2º -
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 6 = 2
3º -
1× 6
12
Portanto:
6
,
12
=
6
12
3×3
12
9
,
12
14
é a resposta.
12
=
9
12
7×2
12
=
14
12
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SENAI
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Espírito Santo
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Comparação de Frações
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de
igualdade ou desigualdade entre elas.
Frações com o mesmo Denominador
Observe:
5
8
3
8
1
8
Percebe-se que :
5
8
3
8
>
>
1
8
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a
que tem maior numerador.
Frações com o Mesmo Numerador
Observe:
3
16
3
8
3
4
Percebemos que:
3
16
<
3
8
<
3
4
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a
que tem menor denominador.
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CST
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Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes
Observe:
2
3
1
2
3
4
Para fazer a comparação de frações com numeradores e
denominadores diferentes,
reduzem-se as frações ao mesmo denominador.
Exemplo:
2 = 8
3
12
1 = 6
2
12
3, 2, 4
2
3, 1, 2
2
3, 1, 1
3
1, 1, 1 12
3 = 9
4
12
Já aprendemos que comparando frações com denominadores
iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.
Daí,
9
12
Então:
>
3
4
8
12
>
>
2
3
6
12
>
1
2
___________________________________________________________________________________________________
Senai
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Espírito Santo
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Adição e Subtração de Frações
A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a
partir do estudo dos seguintes "casos":
1º As Frações tem o mesmo Denominador.
Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o
denominador..
Exemplo:
2
5
+
1
=
5
2+1
=
5
3
5
6
7
−
4
7
6−4
7
2
7
=
=
2º As Frações tem Denominadores diferentes.
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se
como no 1º caso.
Exemplo:
2 + 3 = 8 + 9 = 17
3
4
12
12
12
3, 4
3, 2
3, 1
1, 1
2
2
3
12
3º Números Mistos.
Transformam-se os números mistos em frações impróprias e
procede-se como nos 1º e 2º casos.
Exemplo:
+
+
1
3
2
+
x
7
3
1
4
1
x
+
5
4
= 28 + 15 = 43 =
12
12
12
3
7
12
Atenção:
Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os
inteiros do resultado sempre que possível.
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CST
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Multiplicação de Frações
A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra
fração, obtida da seguinte forma:
O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o
produto dos denominadores.
Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores
comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la.
Exemplo:
2
3/ 1
×
6/ 2
5/ 1
×
3/ 1
5
2
×
1
=
/ /2
10
3/ 1
×
6/ 2
9/ 3
1
=
5
=
2
5
2
×
1
2
×
1
2
3
=
8
3
= 2
2
3
Divisão de Frações Ordinárias
O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida
da seguinte forma:
Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.
Para isso, exige-se:
3º - Transformar os números mistos em frações impróprias.
4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes.
5º - Simplificar.
6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre
si.
7º - Extrair os inteiros.
Exemplo:
3
4
8
1
÷ 3 =
4
÷
5
7
33
4
=
÷
3
4
3
=
1
×
7
5
/ / 11
33
4
=
×
21
1
= 1
20
20
1
3/ 1
=
11
3
= 2
4
4
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Espírito Santo
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Atenção:
Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em
ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado.
Exemplo:
3"
4
÷
4"
1
=
3"
4
×
1
4"
=
3
16
Partes Fracionárias de um Número
Observe:
2
3
de 15 =
2
3/ 1
×
/ /5
15
1
= 10
Para determinar partes fracionárias de um número, devemos
multiplicar a parte fracionária pelo número dado.
Frações - Exercícios
1) Observando o desenho, escreva o que se pede:
a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais.
b) As partes sombreadas representam ................... partes
desse inteiro.
c) A fração representada é: .........................
d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro
foi dividido é o ..................
e) O termo da fração que indica quantas dessas partes
foram tomadas é o ..................
2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:
a)
c)
b)
d)
___________________________________________________________________________________________________
CST
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3) Represente com desenho as seguintes frações:
7
8
2
3
5
4
1
2
1
9
4) Complete com a palavra correta:
a) Frações próprias são frações cujo
....................... que o denominador.
numerador
é
b) Frações próprias representam quantidades ......................
que a unidade.
c) Frações impróprias são frações cujo numerador é
........................ que o denominador.
d) Frações
impróprias
representam
......................... que a unidade.
5) Numa pizzaria, Luís comeu
quantidades
1
de uma pizza e Camila comeu
2
2
da mesma pizza.
4
a) Quem comeu mais?.........................................................
b) Quanto sobrou da pizza? ................................................
6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):
a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1.
b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por
um número misto.
c) ( )
1
é uma fração.
3
d) ( )
3
é uma fração.
1
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Espírito Santo
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7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:
a)
3
....................................................................................
4
b)
5
....................................................................................
8
c)
1
....................................................................................
2
d)
5
................................................................................
100
8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou
aparente:
a)
2
.....................................................................
3
b)
5
.....................................................................
2
c)
8
.....................................................................
4
d)
12
....................................................................
15
e)
24
....................................................................
6
9) Circule as frações equivalentes a:
a)
2
5
= 10
25
3
4
5
20
8
20
6
15
b)
6
7
=
2
5
18
21
7
9
30
35
1
7
___________________________________________________________________________________________________
CST
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10) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:
1. fração ordinária
2. fração decimal
( )
1
2
( )
7
10
( )
359
1000
( )
6
35
11) Transforme os números mistos em frações impróprias:
a)
2
7
=
9
b)
3
1
=
2
d)
1
1 =
8
e)
12
c)
5
7
=
13
3
=
4
12) Extraia os inteiros das frações:
a)
17
=
5
b)
38
=
7
c)
87
=
4
d)
25
=
13
e)
42
=
19
13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:
a)
4
=
6
b)
6
=
15
c)
8
=
14
d)
14
=
28
e)
9
=
36
___________________________________________________________________________________________________
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14) Reduza as frações ao mesmo denominador:
a)
1 5
, =
4 6
b)
1 3
,
=
8 16
c)
3 6
, =
5 8
d)
1 5 3
, ,
=
2 16 12
e)
3 6 3
, , =
4 16 5
15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:
a)
2 3 1 10
, , , ;
4 4 4 4
b)
3 3 3 3 3
, , , , ;
6 10 2 1 12
c)
1 3 2 1 3
, , , , ;
10 8 5 8 15
d) 1
5 1 5 1
,1 , ,1 ;
16 8 6 5
16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo,
entre elas, os sinais
ou > ou = :
<
a)
1
5
4
5
b)
3
2
7
3
c)
5
2
4
3
d)
6
4
7
5
e)
3
9
1
9
f)
1
5
1
6
g)
3
4
5
4
h)
2
7
2
15
j)
2
7
i)
7
11
3
5
10
35
___________________________________________________________________________________________________
CST
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17) Descubra e escreva qual é a maior fração:
a)
3
2
ou
5
3
b)
1
2
ou
2
9
c)
3
5
ou
4
6
d)
6
3
ou
10
6
18) Circule as frações menores do que um inteiro:
1
3
9
8
2
12
8
12
7
4
9
5
19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:
Complete:
Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos
são números diferentes.
Essas frações são denominadas .................................................
20) Numere a 1ª coluna de acordo com a fração equivalente na
2ª:
(
)
2
3
(a)
28
32
(
)
1
2
(b)
25
40
(
)
7
8
(c)
16
64
(
)
1
4
(d)
6
9
(
)
5
8
(e)
8
16
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21) Torne as frações irredutíveis:
a)
24
=
32
b)
100
=
128
c)
12
=
15
d)
4
=
32
e)
48
=
64
f)
25
=
100
22) Circule as frações irredutíveis:
1
,
3
4
,
6
12
,
15
12
,
13
7
,
8
18
,
24
2 4 1
+ +
3 5 2
c)
1
8
23) Determine a soma:
a)
5
3
7
+
+
16 16 16
b)
3 7 15
+
+
8 16 32
24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:
1
3
+1 =
2
4
a)
2+
b)
13
1
+ 1+ 5 =
16
8
c)
25
1
+ 1 + 1=
3
4
d)
2
1 2 1
+ + =
2 3 4
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CST
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25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade?
Exemplo:
5
8
5
3
→
−
=
8
8
8
8
a)
1
4
b)
13
16
c)
5
32
d)
17
64
26) Efetue as subtrações indicadas:
a)
15 3
−
=
10 10
b)
7 5
− =
9 9
c)
8 2
− =
5 7
d)
3
4
1
−1 =
13
2
e)
5
2 1
− =
3 8
27) Resolva:
a)
1 3 1
x x =
2 5 4
b)
2 9 14
x x
=
5 7 27
c)
5 3 7
x
x
=
21 10 15
d)
3
2
x2x =
4
5
e)
3
1 5 3
x
x =
2 16 5
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28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em
3 ′′
sentido longitudinal medindo cada uma 5
?
4
29) Calcule:
a)
2
2
1
÷1 =
2
3
b)
3
1
3
÷2 =
2
5
c)
4
2
1
÷5 =
3
2
d)
6
1
1
÷5 =
3
2
e)
15
÷5=
16
f)
2
g)
3 1
÷ =
10 5
h)
2
de 32 =
4
i)
5
de 350 =
7
j)
1
de 930 =
3
1
÷7 =
3
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30) Leia com atenção os problemas e resolva:
a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos
1
litros?
quilômetros percorrerá com 10
2
3
deles.
5
Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas.
Quanto deve colocar em cada caixa?
b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu
6
2
de minhas ferramentas em uma caixa,
12
4
em outra caixa e o restante deixei fora das caixas.
Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das
caixas?
c) Coloquei
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d) João encheu o tanque do seu carro.
Gastou
2
da
5
1
para passear no final de
5
semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque?
gasolina para trabalhar e
1
eram caminhões.
4
Quantos caminhões havia na oficina?
e) Numa oficina havia 420 veículos,
f)
Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos:
correspondem aos lápis vermelhos,
1
2
1
são lápis azuis e
5
1
são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis
4
na caixa?
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Números Decimais
Conceito e Leitura
Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu
denominador é o número 10 ou potência de 10.
Exemplos:
5
10
Lê-se cinco décimos
45
Lê-se quarenta e cinco milésimos
1000
As frações decimais podem ser representadas através de uma
notação decimal que é mais conhecida por "número decimal".
Exemplos:
1
= 0,1
10
Lê-se um décimo
1
= 0,01
100
Lê-se um centésimo
1
= 0,001
1000
Lê-se um milésimo
Essa representação decimal de um número fracionário obedece
ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito
à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as
desse outro.
...Milhão Centena Dezena Unidade
Simples
... 1000
100
10
Décimo Centésimo Milésimo...
1
0,1
0,01
0,001...
Em um número decimal:
• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a
parte inteira.
• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte
decimal.
Exemplo:
Parte inteira
→
12,63
←
Parte decimal
Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.
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Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da
seguinte maneira:
1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe.
2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte
decimal, acrescentando o nome da ordem do último
algarismo.
Exemplos:
a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos.
b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos.
c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos.
Observações:
1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou
suprimirmos zeros à direita do último algarismo.
Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500
2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número
decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e
zero (s) a sua direita.
Exemplo: 34 = 34,000
1512 = 1512,00
Transformação de Fração Decimal em Número Decimal
Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de
"Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas
casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
Exemplos:
a)
25
= 2,5
10
b)
43
= 0,043
1000
c)
135
= 0,135
1000
e)
2343
= 23,43
100
Transformação de Número Decimal em Fração Decimal
Para se transformar um número decimal numa fração decimal,
escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no
denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de
ordens (casas) decimais.
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Exemplos:
34
a) 0,34 = 100
c) 0,01 =
1
100
b) 5,01 =
501
100
d) 21057
,
=
21057
1000
Operações com Números Decimais
Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um
abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam
(numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se
fossem números naturais.
Observações:
Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do
último algarismo.
Exemplos:
a) 3,97 + 47,502 = 51,472
3,970
+ 47,502
51,472
b) 4,51 - 1,732 = 2,778
4,510
- 1,732
2,778
___________________________________________________________________________________________________
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No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da
mesma forma que na de duas parcelas.
Exemplos:
4,310
5,200
+ 17,138
26,648
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma:
1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem
naturais;
2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a
esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das
ordens decimais dos fatores.
Exemplo:
0,012 x 1,2 =
0,012
3 ordens decimais
+ 1 ordem decimal
x 1,2
0024
+ 0012
0,0144
4 ordens decimais
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., deslocase a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros
do multiplicador.
Exemplos:
a)
2,35
b) 43,1
c)
×
10 =
23,5
× 100 = 4310
0,3145 × 1000 =
314,5
Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois
primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim
por diante até o último fator.
Exemplo:
0,2 × 0,51 × 0,12 = 0,01224
___________________________________________________________________________________________________
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Divisão
Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos
do seguinte modo:
1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do
divisor acrescentando zeros;
2) eliminamos as vírgulas;
3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.
Atenção:
Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à
direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no
quociente.
1º Exemplo: 3,927 ÷ 2,31 = 1,7
3,927 2,310
16170 1,7
0000
2º Exemplo: 47,76 ÷ 24 = 1,99
47,76 24,00
23 7 1,99
2 16
00
Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., deslocase a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos
forem os zeros do divisor.
Exemplos:
a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma
ordem para esquerda.
47,235 ÷ 10 = 4,7235
b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas
ordens para a esquerda.
58,4 ÷ 100 = 0,584
Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto
é da mesma ordem decimal do dividendo original.
Exemplo:
39,276 ÷ 0,7 = 56,108
resto 0,004
39,276 0,700
42
56,108
07
060
0,004
___________________________________________________________________________________________________
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Números Decimais - Exercícios
1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:
a) Um inteiro e três décimos ..............................................
b) Oito milésimos...............................................................
c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos .................
d) Dezoito inteiros e cinco milésimos.................................
e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos .................
2) Represente em forma de números decimais:
a) 97 centésimos =
b) 8 inteiros e 5 milésimos =
c) 2 inteiros e 31 centésimos =
d) 475 milésimos =
3) Observe os números decimais e complete com os sinais:
>
<
=
a)
1,789 ......................................................... 2,1
b)
3,78
c)
4,317 ......................................................... 43,27
......................................................... 3,780
d) 42,05
......................................................... 42,092
e)
......................................................... 8,512
8,7
4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações
decimais:
a)
36
=
100
..........................................................
b)
5
=
1000
..........................................................
c)
3
8
=
10
..........................................................
___________________________________________________________________________________________________
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5) Escreva na forma de fração decimal:
a) 0,5
= ...................
f)
8,71
= .................
b) 0,072 = ...................
g) 64,01 = .................
c) 0,08
h) 347,28 = .................
= ...................
d) 0,481 = ...................
i)
0,12 = .................
e) 1,3
j)
0,201 = .................
= ...................
6) Arme e efetue as adições:
a) 0,8 + 6,24 =
b) 2,9 + 4 + 5,432 =
c) 6 + 0,68 + 1,53 =
d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =
7) Arme e efetue as subtrações:
a) 36,45 - 1,2 =
b) 4,8 - 1,49 =
c) 9 - 2,685 =
d) 76,3 - 2,546 =
8) Arme, efetue:
a) 650,25 × 3,8 =
b) 48 ÷ 2,4 =
c) 0,60 ÷ 0,12 =
d) 6,433 + 2 + 1,6 =
e) 9 - 2,5 =
9) Resolva:
a) 36,4 + 16,83 + 2,308 =
b) 93,250 - 1,063 =
c) 67403 × 6,9 =
d) 204,35 ÷ 48 =
___________________________________________________________________________________________________
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10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos
parênteses:
a) (0,8 - 0,3) + 0,5 =
b) (1,86 - 1) + 0,9 =
c) (5 - 1,46) + 2,68 =
d) (1,68 + 3,2) - 2,03 =
e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) =
f)
0,4 - (0,2 × 0,35) =
11) Arme e efetue as operações:
a) 0,471 + 5,9 + 482,23 =
b) 6,68 × 5,986 =
c) 5,73 × 6,8 =
d) 24,8 ÷ 6,2 =
12) Calcule:
a) 0,0789 ×
b) 0,71
c) 0,6
÷
÷
100 =
10 =
100 =
d) 8,9741 × 1000 =
13) Torne:
a) 3,85 dez vezes maior =
b) 42,6 dez vezes menor =
c) 0,153 dez vezes maior =
d) 149,2 cem vezes menor =
e) 1,275 mil vezes maior =
14) Resolva o problema:
Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4
do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?
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15) Relacione os elementos por igualdade:
a)
3
1
10
b)
0,3
31
100
3,1
3
10
3,01
3
1
100
0,31
Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as
sentenças que são verdadeiras:
a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
b) Todos os elementos de A são maiores que zero.
c) Nenhum elemento de B é menor que 1.
d) Todos os elementos de B são menores que 10.
16)
a)
8
2
10
b)
8
82
1000
2
100
82
100
8
0,82
2
1000
8,002
8,02
0,082
8,2
a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva
verdadeiro ou falso.
1- Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
2- Todos os elementos de B são maiores que zero.
3- Nenhum elemento de B é menor do que 1.
4- Todos os elementos de A são maiores que 10.
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17) Arme e efetue as operações abaixo:
a) 3 ÷ 0,05 =
b) 6,52 × 38 =
c) 26,38 + 2,953 + 15,08 =
d) 7,308 - 4,629 =
e) 63,50 ÷ 4,9 =
18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:
a) 2,4 ÷ 0,12 =
b) 5,85 ÷ 0,003 =
c) 0,3 ÷ 0,008 =
d) 48,6 ÷ 0,16 =
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Números Inteiros Relativos
No estudo das operações com números naturais, você aprendeu
que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é
menor do que o subtraendo.
5 - 9 = ?
1 - 2 = ?
3 - 8 = ?
Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto
dos números inteiros negativos.
- 1,
- 2,
- 3,
- 4, ..............................
Esses números negativos, reunidos com zero e com os números
inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros
relativos, cujo conjunto é representado por Z.
Z = {... - 3, - 2, - 1,
0,
+ 1, + 2, + 3, .....}
a) Conjunto dos números inteiros não negativos.
Z + = { 0, + 1, + 2, + 3, .............................}
b) Conjunto dos números inteiros negativos.
Z - = { 0, - 1, - 2, - 3, ..................................}
O número zero (0) não é negativo nem positivo
Números Opostos ou Simétricos
Observe:
O oposto de +1 é -1
O oposto de +2 é -2
O oposto de +3 é -3
O oposto de +4 é -4
Β
...
Β
Β
Β
-4
-3
-2
-1
RETA NUMERADA
Β
Β
Β
Β
Β
0
+1
+2
+3
+4 ...
Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma
distância do zero.
Observação: O oposto de zero é o próprio zero.
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Valor Absoluto
Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural
que o representa, sem o sinal.
Indicação:
EXEMPLOS:
O valor absoluto de + 5 é 5
+5 = 5
O valor absoluto de - 5 é 5
−5 = 5
O valor absoluto de - 8 é 8
−8 = 8
O valor absoluto de zero é zero
Verifique:
1) -3 está à esquerda de +1
-3 < +1
Então, -3 é menor que +1
2) +2 está à direita de -3
+2 > -3
Então + 2 é maior que -3
OUTROS EXEMPLOS:
a) -2 < +2
b) 0 > -4
c) -1 > -3
Operações com Números Inteiros Relativos
adição
1) Adição de números positivos
Observe os exemplos:
a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7
b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5
c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9
Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que:
A soma de dois números positivos é um número positivo.
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2) Adição de números negativos
Observe os exemplos:
a) ( -2 )
+ ( -3 )
= -5
b) ( -1 )
+ ( -1 )
= -2
c) ( -7 )
+ ( -2 )
= -9
Verificando os resultados acima, podemos concluir que:
A soma de dois números negativos é um número negativo.
3) Adição de números com sinais diferentes
Observe os exemplos:
a) ( +6 ) + ( -1 )
= +5
b) ( +2 ) + ( -5 )
= -3
c) ( -10) + ( +3)
= -7
Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o
número de maior valor absoluto.
Conclusão:
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida
subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número
que tiver maior valor absoluto.
Subtração
A operação de subtração é uma operação inversa da adição.
EXEMPLOS:
a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4)
= +4
b) (-6)
= -15
- (+9) = (-6)
+ (-9)
c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7
Conclusão:
Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos
ao primeiro o simétrico do segundo.
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Expressões com Números Inteiros Relativos
Lembre-se que os sinais de associação são eliminados,
obedecendo à seguinte ordem:
1º - Parênteses ( )
2º - Colchetes [ ]
3º - Chaves { }
2) (+7 -1) + (-3 +1 -5)
3) 10 + [-3 +1 - (-2 +6)]
EXEMPLOS
1) +10 - (-4 + 6)
+10 - (+2)
(+6) + (-7)
10 + [-3 +1 - (+4)]
+10 - 2 = +8
+6 - 7 = -1
10 + [-3 +1 -4]
10 + [-6]
10 -6 = +4
Multiplicação
Consideremos os seguintes casos:
1) Multiplicação de dois números positivos:
a) (+5) . (+2) = +10
(+) . (+) = +
b) (+3) . (+7) = +21
( -) . (- ) = +
(+) . (- ) = ( -) . (+) = -
Conclusão:
O produto de dois números positivos é um número
positivo.
2) Multiplicação de dois números negativos:
a) (-3) . (-5) = +15
b) (-8) . (-2) = +16
c) (-7) . (-1) = +7
Conclusão:
O produto de dois números negativos é um número
positivo.
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3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:
a) (+3)
.
(-2)
= -6
b) (-5)
.
(+4)
= -20
c) (+6)
.
(-5)
= -30
d) (-1)
.
(+7)
= -7
Conclusão:
O produto de dois números inteiros de sinais
diferentes é um número negativo.
Multiplicação com mais de dois números Relativos
Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido
pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.
EXEMPLOS
a) (+3) . (-2) . (+5)
(-6) . (+5) = -30
b) (-5) . (+4) . (-9)
(-20) . (-9) = +180
Divisão
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Observe:
a) (+12) ÷ (+4) = (+3)
porque (+3)
.
(+4) = +12
b) (-12) ÷ ( -4) = (+3)
porque (+3)
.
(-4 ) = -12
c) (+12) ÷ ( -4) = (-3 )
porque (-3 )
.
(-4 ) = +12
d) (-12 ) ÷ (+4) = (-3 )
porque (-3)
.
(+4) = -12
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Divisão
(+)
÷
(+) = +
(-)
÷
(-)
= +
(+)
÷
(-)
= -
(-)
÷
(+) = -
Observações:
1) A divisão nem sempre é possível em Z
(+9) ÷ (-2 ) =
∉→
(
∉
Z)
Lê-se: não pertence.
1) O zero nunca pode ser divisor
(+5) ÷ 0 é impossível
(-2 ) ÷ 0 é impossível
Exercícios
- Números Inteiros Relativos
Calcule:
a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( +2 ) + ( -1 ) =
b) 10 + { 5 -( -3 +1) } =
c) 23 - { 1 + [ 5 - (+3 -2 +1 ) ] } =
d) ( +5 -3 ) ÷ ( -1 +3 ) =
e) ( -16 ÷ -8 ) . ( +3 . -4 ) =
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Medidas de ângulos
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) =
a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1)
Observe os exemplos:
17º 15’ 10”
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40”
+ 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’
+ 30º 45’
43º 85’
13º 40’ + 30º 45’
+
1º 25’
44º 25’
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Exercícios
1) Calcule as somas:
a) 49º + 65º =
e) 23º 35’ + 12º 45’ =
b) 12º 25’ + 40º 13’ =
f)
c) 28º 12’ + 52º 40’ =
g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” =
d) 25º 40’ + 16º 50’ =
h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =
35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” =
Subtração
Observe os exemplos:
1)
2)
58º 40’ - 17º 10’
80º - 42º 30’
58º 40’
79º 60’
- 17º 10’
- 42º 30’
41º 30’
37º 30’
Exercícios
1) Calcule as diferenças:
a) 42º - 17º =
a) 90º - 54º 20’ =
b) 48º 50’ = 27º 10’ =
b) 120º - 50º 20’ =
c) 12º 35’ - 13º 15’ =
c) 52º 30’ = 20º 50’ =
d) 30º - 18º 10’ =
d) 39º 1’ - 10º 15’ =
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Multiplicação de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
2)
1)
24º 20’ x 3
17º 15’ x 2
17º 15’
24º 20’
x
x
2
34º 30’
3
72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.”
90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 =
a) 28º 30’ x 2 =
b) 44º 20’ x 2 =
b) 12º 40’ x 3 =
c) 35º 10’ x 4 =
c) 15º 30’ x 3 =
d) 16º 20’ x 3 =
d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
36º 30’ ÷ 3
36º 30’
3
0
12º 10’
0
Nota: “Não há divisão entre ângulos.”
39º 20’ ÷ 4
39º
20’
3º 180’
200’
00
4
9º 50’
90º ÷ 20º = ?
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 =
a) 55º ÷ 2 =
b) 45º 30’ ÷ 3 =
b) 90º ÷ 4 =
c) 75º 50’ ÷ 5 =
c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
a)
2
de 45º =
3
a)
3
de 48º 20’ =
4
b)
5
de 84º =
7
b)
3
de 15º 20’ =
2
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
B
C
O
30º
30º
O
A
D
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
A
O
M
B
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
b)
a)
A
A
O
3X
4X + 5º
M
37º
B
M
X + 20º
O
B
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a)
b)
A
3X
5X - 20º
x
M
C
O
- 5º
2
B
A
B
O
35º
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO
ÂNGULO AGUDO
ÂNGULO OBTUSO
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Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
A
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
B
O
C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º
e) 4 (x + 3º) = 20º
b) 4x + 10º = 90º
f)
c) 5x - 20º = 1º + 2x
g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
d) x = 2 (90º - x)
h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
(3x - 20º) + 50º = 90º
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
•
Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação:
x = 2 (90º - x)
x = 180º - 2x
x + 2x = 180º
3x = 180º
x = 60º
Resposta: 60º
a)
A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b)
A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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c)
Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d)
A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e)
A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f)
Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
B
A
O
C
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
3x - 10º
2x - 40º
2) Calcule x:
a)
5x - 4º
2x
3x
2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a
2
do
3
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
• â e c∃ são opostos pelo vértice.
∃ e n∃ são opostos pelo vértice.
• m
c∃
∃
m
n∃
a∃
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Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B
C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
∃ são ângulos internos do triângulos.
• Os ângulos A∃ , B∃ e C
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.
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Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
m
C
B
∃ é um ângulo externo.
Na figura acima m
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
B
A
C
EQUILÁTERO
B
A
C
ISÓSCELES
C
B
ESCALENO
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Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R
R
R
S
ACUTÂNGULO
S
T
S
T
RETÂNGULO
T
OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Hipotenusa
Cateto
C
B
Cateto
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Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o
perímetro do ∆ ABC é 48cm.
A
15
x
C
B
2x
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x+7
x
S
T
x+3
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
A
A
100º
80º
60º
B
45º
40º
C
C
B
B
35º
C
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64
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4) Observe a figura e responda:
A
C
B
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo:
A
4 cm
2 cm
B
3 cm
C
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Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim:
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
4 cm
2 cm
A
B
7 cm
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R
R
baricentro
me
na
dia
S
M
T
T
S
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
_________________________________________________________________________________________________
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• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R
R
incentro
bis
riz
set
S
T
P
S
T
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R
R
R
ortocentro
altura
altura
S
T
S
T
S
T
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
_________________________________________________________________________________________________
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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B
B
80º
60º
60º
40º
30º
A
C
A
C
80º + 40º + 60º = 180º
Note que:
30º + 60º + 90º = 180º
∃ ) = 180º
∃ ) + m ( B∃ ) + m ( C
m (A
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ) = 180º
∃ ) + m ( B∃ ) + m ( C
m (A
A
1^
B
^
A
s
2^
C
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68
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a)
Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .
Note que:
∃ ) + m ( 2∃ ) = 180º
m ( 1∃ ) + m ( A
1
m ( 1∃ ) ≅ m ( B∃ ) (alternos internos)
2
∃ ) (alternos internos)
m ( 2∃ ) ≅ m ( C
3
b)
Temos que:
c)
Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
∃ ) = 180º
∃ ) + m ( B∃ ) + m ( C
m (A
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x
A
30º
C
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2) Calcular x no triângulo abaixo:
R
5x
4x
45º
T
S
3) Calcular x no triângulo abaixo:
P
5x - 50º
x + 10º
x
R
Q
4) Determine a medida dos ângulos x, y e z.
a)
A
x
60º
B
y
45º
C
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b)
A
x
B
35º
105º
C
z
y
50º
D
E
c)
A
y
30º
55º
B
x
40º
C
D
d)
_________________________________________________________________________________________________
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
A
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC , CD e DA
∃ e D∃
• ângulos internos: A∃ , B∃ , C
D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
∃ , B∃ e D∃
• ângulos opostos: A∃ e C
B
C
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
A
B
C
D
D
C
Quadrilátero não-convexo
Quadrilátero convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
D
Na figura, AC e BD são diagonais.
A
C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a)
Quais são os lados ?
b)
Quais são os vértices ?
c)
Quais são os ângulos internos ?
d)
Quais são as diagonais indicadas ?
M
P
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a)
Nomeie os dois pares de lados
opostos.
b)
Nomeie os dois pares de ângulos
opostos.
B
A
C
D
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja:
B
A
D
C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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Exercícios:
1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
A
D
2x
x
C
B
2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
b)
a)
E
F
120º
110º
60º
F
E
130º
x
x
G
H
G
H
3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
b)
a)
E
6x
3x
G
F
R
S
60º
5x
4x
5x
H
T
U
_________________________________________________________________________________________________
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
b)
a)
R
F
130º
x
N
z
E
120º
y
130º
95º
M
110º
S
x
H
G
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º
20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
x
3x
.
e
eles medem x, 2x,
2
2
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A
C
Na figura, temos:
B
AB
CD
AC
BD
D
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos
Losango
Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃ e B∃ ≅ D∃
∃≅ C
A
C
A
^
1
^
2
^
3
B
a)
^
4
D
Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
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b)
Temos:
• 1∃ ≅ 4∃ (alternos internos)
A.L.A.
• BD ≅ BD (comum)
∆ ABD ≅ ∆ CDB
• 2∃ ≅ 3∃ (alternos internos)
∃
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A
∃.
≅ C
• 1∃ ≅ 4∃
⇒
• 2∃ ≅ 3∃
1∃ + 4∃ ≅
2∃ + 3∃
Logo: B∃ ≅ D∃
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
B
A
y
50º
D
x
z
C
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P
Q
3x - 10º
x - 50º
R
S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
110º
70º
x
w
z
y
70º
110º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
b)
a)
C
B
P
142º
60º
A
Q
D
S
R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
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b)
a)
R
S
R
S
3x - 10º
x + 70º
2x + 10º
T
2x + 8º
U
T
U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
b)
a)
R
S
R
S
3x
2x + 25º
T
U
5x + 20º
T
U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
b)
a)
R
R
x + 80º
S
U
x
5x
T
S
z
y
U
2x + 20º
T
_________________________________________________________________________________________________
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Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A
base menor
B
Na figura, temos:
altura
AB
base maior
C
CD
D
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
F
E
E
Trapézio Isósceles
G
F
E
Trapézio
Escaleno
Trapézio Retângulo
H
G
F
H
G
H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
_________________________________________________________________________________________________
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
b)
a)
S
R
2x
R
S
x
2x
x
x
T
30º
U
T
U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
b)
a)
R
R
S
x
2x
110º
x + 30º
T
S
U
T
U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
_________________________________________________________________________________________________
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6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a)
b)
F
2x
x
E
F
E
110º
150º
60º
x
50º
G
H
70º
G
H
d)
c)
E
x
x
F
E
F
x
3x
3x
x
2x
2x
G
H
G
H
7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:
a)
b)
A
B
3x
F
E
2x
105º
x
C
120º
D
80º
H
x
G
_________________________________________________________________________________________________
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Polígonos Convexos
Polígonos
Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não
colineares no qual os extremos do primeiro e do último
coincidem.
Exemplos:
Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um
polígono é convexo quando qualquer segmento com
extremidades no polígono está contido nele.
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices.
B
•
∃ , B∃ , C
∃ , D∃ , E∃ são os ângulos internos.
A
•
AB , BC , CD , DE , EA são os lados.
vértice
o
lad
A
C
E
D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome
nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
_________________________________________________________________________________________________
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
b)
a)
c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
2
D
4 lados ⇒ 2 triângulos
1
B
C
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Circunferência e Círculo
Circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano,
equidistantes de um ponto do plano chamado centro.
Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra
em um ponto da circunferência chamado de raio.
raio
0
A
Na figura:
• O é o centro da circunferência.
•
OA e o raio.
• Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e
raio r)
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Corda do diâmetro
• Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à
circunferência.
• Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.
Na figura ao lado:
A
•
corda
B
AB e RS são cordas.
diâmetro
M
• MN é diâmetro.
N
corda
S
R
Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio,
ou seja:
D = 2r
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Círculo
Observe as figuras e seus respectivos nomes:
circunferência
interior ou conjunto
círculo
dos pontos internos
Círculo é a união da circunferência e seu interior.
Convém destacar que:
• Todo ponto da circunferência pertence ao círculo.
• Existem pontos
circunferência.
do
círculo
que
não
pertencem
à
• O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também
centro, raio e diâmetro do círculo.
_________________________________________________________________________________________________
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Exercícios
1) Observe a figura e responda:
M
E
O
F
G
a) Quais segmentos são raios ?
b) Quais segmentos são cordas ?
c) Quais segmentos são diâmetros ?
2) Dos pontos indicados na figura ao lado:
A
M
S
O
B
R
C
E
T
a) Quais são internos à circunferência ?
b) Quais pertencem à circunferência ?
c) Quais são exteriores à circunferência ?
_________________________________________________________________________________________________
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3) Determine:
a) O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede
4,5cm.
b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17cm.
c) O diâmetro de um circunferência cujo raio é igual a x.
4) O diâmetro da circunferência mede 7cm e o segmento OP
mede 12cm.
P
M
O
Qual a medida do segmento MP ?
5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2x - 6. Se o
diâmetro mede 20cm, calcule x.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Uma reta r e uma circunferência C podem ocupar as seguintes
posições:
a)
C ∩ r = { A, B }
(dois pontos comuns)
Dizemos que:
A reta é secante à circunferência.
A
B
r
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b)
C∩r={A}
(um ponto comum)
A
Dizemos que:
r
A reta é tangente à circunferência.
c)
C∩r={∅}
(não há ponto comum)
r
Dizemos que:
A reta é extrema à circunferência.
Propriedade:
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio
no ponto de tangência.
r
P
O
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Posições relativas de duas circunferências
Duas circunferências distintas podem ser:
Secantes: têm dois pontos comuns.
a)
C
M
C’
C ∩ C’ = { M, N }
N
b)
Tangentes: têm único ponto comum.
tangentes exteriores
C
tangentes interiores
C’
M
M
C ∩ C’ = { M }
C
C’
c)
Não-secantes: não têm ponto comum.
exteriores
C
interiores
C’
C
C’
C ∩ C’ = ∅
_________________________________________________________________________________________________
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Espírito Santo
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Caso particular:
Duas circunferências não-secantes e que têm o mesmo centro
são chamadas concêntricas.
O =O
1
C
1
2
C
2
Exercícios:
1) Observe a figura e classifique:
t
r
H
E
P
F
o
o
C2
G
C1
s
a) A reta s em relação à circunferência C2.
b) A reta r em relação à circunferência C2.
c) A reta r em relação à circunferência C1.
d) A reta t em relação à circunferência C1.
e) A reta s em relação à circunferência C1.
f)
A reta t em relação à circunferência C2.
_________________________________________________________________________________________________
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2) Observe a figura e responda:
R
P
Q
T
C1
C3
S
C2
C5
C4
a) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C2 ?
b) Qual a posição relativa entre as circunferências C2 e C3 ?
c) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C3 ?
d) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C4 ?
e) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C5 ?
Arcos
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência,
esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessa partes é
denominada arco.
arco menor
Indicação:
arco maior
AB
Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.
_________________________________________________________________________________________________
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