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Universidade Federal de Viçosa - UFV
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE
Departamento de Matemática - DMA
MAT 147 - CÁLCULO II
2013/II
Lista de Exercı́cios: Equações Diferenciais Ordinárias
1. Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais dadas e diga também quando a equação é
linear ou não-linear:
(a) t3 y 000 + ty 0 + y = cos(t)
(b) y 00 + tg(x + y) = tg(x)
EDO de 3a ordem linear
EDO de 2a ordem não-linear
x2
(c) (3 + x)y 0 + 2xy = 3e
EDO de 1a ordem linear
d2 y
dy
+x
= senh(x) EDO de 2a ordem não-linear
2
dx
dx
√
(e) y 0 + arctg 2 (x y) = 3 EDO de 1a ordem não-linear
(d) (2 + y 2 )
(f)
4
X
fi (x)y (4−i) (x) = g(x), onde f0 (x) 6= 0 para todo x ∈ R
EDO de 4a ordem linear
i=0
1
1
2. Prove que y(x) = c1 e−3x + c2 e3x + xe3x − sen(x) é uma solução da equação diferencial ordinária
6
10
y 00 − 9y = e3x + sen(x).
Z t
2
2
2
t
3. Prove que y(t) = e
e−s ds + et é uma solução da equação diferencial ordinária y 0 − 2ty = 1.
0
4. Encontre a solução geral das equações abaixo:
1
2 + cx
(a) x2 dy − cossec(2y)dx = 0 y(x) = arccos
2
x
−1
2
2
(b) (xy − 4x)dx + x y + y dy = 0 1 + x
(y − 4)8 e2y = c
(c) xtg(y) − y 0 sec(x) = 0
(d) y 0 = cos2 (x)cos2 (2y)
(e) y 0 = x5 e
x2
y(x) =
2
ex
2
xsen(x) + cos(x) − ln|sen(y)| = c
2x + sen(2x) − 2tg(2y) = c
x4 − 2x2 + 2 + c
1
1
(f) y 1 + x3 y 0 + x2 (1 + y) = 0 ln 1 + y2 + ln 1 + x3 = c
2
3
(g) cotg(x)dy − 1 + y 2 dx = 0 arctg(y) + ln|cos(x)| = c
(h) cos(x)dy − (ysen(x) + e−x ) dx = 0
√
(i) y 2 1 − x2 y 0 − arcsen(x) = 0
(j) y 0 + ytg(x) = ex cos2 (x)
(k) y 0 − xy − x3 y 2 = 0
y(x) =
c
1
+
ex cos(x)
cos(x)
3 (arcsen(x))2
+c
2
x
e
y(x) = cos(x)
(cos(x) + sen(x)) + c
2
y(x) = −
(l) xy 0 + 2xy − y = 0, x > 0
(m) y 0 + 2y = e2x
y(x) = −
y3 =
ex
2
c + ex2 (x2 − 2)
y2 =
5x
2 + 5cx5
1 2x
e + ce−2x
4
1
2
MAT 147
(n) xy 0 − 3y = x5
y(x) =
1 5
x + cx3
2
(o) y 0 + ycotg(x) = cossec(x)
(p) x2 dy + (2xy − ex ) dx = 0
y(x) = (x + c)cossec(x)
−1
1 + x2
(y − 4)8 e2y = c
ex + c
x2
c
(x + 4)2
+
y(x) =
7
(x + 4)5
(q) (ysen(x) − 2)dx + cos(x)dy = 0
(r) (x + 4)y 0 + 5y = x2 + 8x + 16
(s) tg(x)dy + (y − sen(x))dx = 0
y(x) =
y(x) =
(t) y 0 + ytg(x) = sec(x) + 2xcos(x)
1
c
sen(x) +
2
sen(x)
y(x) = sen(x) + (x + c) cos(x)
5. Encontre a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição dada. Este tipo de
problema é conhecido como Problema de Valor Inicial (PVI) ou Problema com Valores de Contorno.
√
√
√
√ x
(a) xy 0 − y = x y, y(9) = 4 √y − x + 1 = −10
3
(b)
2y 2 y 0
= 3y −
y0,
y(3) = 1
y2
+ ln|y| = 3x − 8
(c) sec(2y)dx − cos2 (x)dy = 0, y
π =
π
6
√
2tg(x) − sen(2y) = 2 −
4
p
1
π
y(x) = sen ln|x| +
(d) xdy − 1 − y 2 dx = 0, y(1) =
6
2
0
2x
2x
2x
x
(e) y − y = 2xe , y(0) = 1 y(x) = xe − e + 2e
1
3
2
1
(f) t3 y 0 + 4t2 y = e−t , y(−1) = 0 y(x) = − 3 e−t − 4 e−t
t
t
π sen(t)
cos(t)
π2
1
0
(g) ty + 2y = sen(t), y
= 1 y(x) = 2 −
+ 2 − 2
t
t
4t
t
2
e−x − ex
(h) y 0 =
, y(0) = 1 3y + y2 = −e−x − ex + 6
3 + 4y
π π
sen(3y)
cos(2x)
1
(i) sen(2x)dx + cos(3y)dy = 0, y
=
=
+
3
2
2
2
3
6. Resolva a equação de Bernoulli dada:
(a) xy 0 + y = y −2
(b) y 0 − y = ex y 2
(f) 3 1 + x2 y 0 = 2xy y 3 − 1
(c)
(g) y 0 − xy − x3 y 2 = 0
(d)
(e)
y 3 = 1 + cx−3
1
1
= − ex + ce−x
y
2
1
1
y 0 = y(xy 3 − 1) 3 = x + + ce3x
y
3
1
1
ce−x
xy 0 − (1 + x)y = xy 2
= −1 + +
y
x
x
x
2
0
2
x y + y = xy y(x) =
c + ln(x)
y3 =
e
y(x) = −
c+e
(h) x2 y 0 + 2xy − y 3 = 0
y2 =
x2
2
1
1 + c(1 + x2 )
x2
2
(x2 − 2)
5x
2 + cx5
7. Encontre a solução geral da EDO:
(a) y 0 = αy − βy 3 , onde α e β são constantes positivas;
(b) y 0 + cos(t + 1)y − sen(t)y 3 = 0.
1
= −e2sen(t+1)
y2
Z
y2 =
α
β + cαe−2αx
2sen(t)e−2sen(t+1) dt + c
8. Mostre que (x + y)a+b · (x − y)a−b = c é solução da equação diferencial (ax − by)dx + (bx − ay)dy = 0,
onde a, b ∈ Z.
3
MAT 147
9. Resolva as equações sem o termo em y ou sem o termo em x:
(a) y 00 + y 0 = e−x
y(x) = c1 e−x + c2 − xe−x
(b) yy 00 − (y 0 )3 = 0
(c) 2x2 y 00 +
(y 0 )3
y = c ou yln|y| − y + c1 y + x = c2
√
2
y = c ou y = ± (x − 2c1 ) x + c1 + c2
3
= 2xy 0 , x > 0
10. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) y(1 + 2xy)dx + x(1 − 2xy)dy = 0
(b)
2xyy 0
+
2y 2
= 3x − 6
1
x = 2cye 2xy
(c) y 00 = 2x(y 0 )2
(d) xy 0 − y =
x2 y = x3 − 3x + c
y + c2 = −
x3 y/x
e
y
1
arctg
c1
x
c1
y
y + x = x(c − x)e x
11. Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
(a) y 00 − 5y 0 + 6y = 0
(b) y 00 − 3y 0 = 0
y(x) = c1 e2x + c2 e3x
y(x) = c1 + c2 e3x
(c) y 00 + 4y 0 + 4y = 0
y(x) = (c1 + c2 x)e−2x
(d) 6y 00 − 7y 0 − 3y = 0 y(x) = c1 e−x/3 + c2 e3x/2
√
√
(e) y 00 + 2 2y 0 + 2y = 0 y(x) = (c1 + c2 x)e− 2x
(f)
4y 00
−
8y 0
√
"
+ 7y = 0
(g) y 00 − 2y 0 + 2y = 0
(h) y 00 − 4y 0 + 13y = 0
y(x) =
ex
c1 cos
3
x
2
√
!
+ c2 sen
3
x
2
!#
y(x) = ex (c1 cos(x) + c2 sen(x))
y(x) = e2x (c1 cos(3x) + c2 sen(3x))
12. Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condições indicadas.
(a) y 00 − 3y 0 + 2y = 0; y(0) = 0 e y 0 (0) = 2
(b) y 00 + y = 0; y(0) = 1 e y 0 (0) = 2
(c)
y 00
+
8y 0
+ 16y = 0; y(0) = 1 e
y(x) = 2e2x − 2ex
y(x) = cos(x) + 2sen(x)
y 0 (0)
=1
(d) y 00 − 6y 0 + 13y = 0; y(0) = 1 e y 0 (0) = 3
y(x) = e−4x (2 + 9x)
y(x) = e2x (c1 cos(3x) + c2 sen(3x))
13. Determine α de modo que a solução do PVI y 00 − y 0 − 2y = 0, y(0) = α e y 0 (0) = 2 tenda para zero
quando x → ∞. α = −2

 2yy 0 = 1 + (y 0 )2
x2
y(0) = 2
14. Resolva o PVI
. y(x) = + x + 2
4
 0
y (0) = 1
15. Resolva a equação y 00 + x(y 0 )2 = 0.

x
2


arctg
+ c2


k

 1 x − kk + c2
ln y(x) =
k x + k



−1

−2x + c2


c
16. Calcule o Wronskiano do par de funções mencionado.
(a) y1 = e−2x e y2 = xe−2x .
(b) y1 = x e y2 = xex .
W (y1 , y2 )(x) = e−4x
W (y1 , y2 )(x) = x2 ex
(c) y1 = ex sen(x) e y2 = ex cos(x).
W (y1 , y2 )(x) = −e2x
(d) y1 = cos2 (x) e y2 = 1 + cos(x).
W (y1 , y2 )(x) = 0
, se c1 = k2 > 0
, se c1 = −k2 < 0
, se c1 = 0
4
MAT 147
17. Faça o que se pede:
(a) Verifique que y1 (x) = x2 e y 2 (x) = x−1 são duas soluções da equação diferencial xy 00 − 2y = 0,
para x > 0. Depois mostre que c1 x + c2 x−1 também é solução desta equação para quaisquer
constantes c1 e c2 .
(b) Verifique que y1 (x) = 1 e y2 (x) = x1/2 são soluções da equação diferencial yy 00 + (y 0 )2 − 0, para
x > 0. depois, mostre que c1 + c2 x1/2 não é, em geral, solução desta equação. Por que não? Esta
EDO não é linear.
18. Verifique que as funções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Estas soluções constituem
um conjunto fundamental de soluções?
(a) y 00 + 4y = 0; y1 (x) = cos(2x), y2 (x) = sen(2x)
(b) y 00 − 2y 0 + y = 0; y1 (x) = e, y2 (x) = xex
(c)
x2 y 00
(d) (1 −
− x(x +
2)y 0
xcotg(x))y 00
Sim
Sim
+ (x + 2)y = 0, x > 0; y1 (x) = x, y2 (x) = xex
−
xy 0
Sim
+ y = 0, 0 < x < π; y1 (x) = x, y2 (x) = sen(x)
Sim
19. Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução para a equação xy 00 − y 0 +
4x3 y = 0 com x > 0, sabendo que y1 (x) = sen(x2 ) é uma solução para esta EDO. y2 (x) = cos x2
20. Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução para cada equação diferencial.
(a) y 00 + 5y 0 = 0; y1 = 1
(b) y 00 − y 0 = 0; y1 = 1
(f) y 00 + 9y = 0; y1 = sen(3x)
y2 = e−5x
(g)
y2 = e x
(c) y 00 − 4y 0 + 4y = 0; y1 = e2x
(d) y 00 + 2y 0 + y = 0; y1 = xex
(e) y 00 + 16y = 0; y1 = cos(4x)
y 00
− y = 0; y1 = cosh(x)
(h) y 00 − 25y = 0; y1 = e5x
y2 = xe2x
y2 = cos(3x)
y2 = senh(x)
y2 = e−5x
2
(i) 9y 00 − 12y 0 + 4y = 0; y1 = e 3 x
y2 = e−x
(j) 6y 00 + y 0 − y = 0; y1 = e
y2 = sen(4x)
x
3
y2 = e−5x
y2 = e−5x
21. Considere a equação diferencial y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0, em que P (x) e Q(x) são funções contı́nuas
em algum intervalo I.
(a) Supondo que y1 (x) seja uma solução conhecida para a EDO em I e que y1 (x) 6= 0 para todo
x ∈ I, use redução de ordem para mostrar que
Z − R P (x)dx
e
y2 (x) = y1 (x)
dx
(y1 (x))2
é uma segunda solução para a equação acima.
(b) Mostre que as soluções y1 e y2 (como descritas na alternativa (a)) são linearmente independentes.
22. Supondo um intervalo apropriado, use redução de ordem para encontrar uma segunda solução para
cada equação diferencial.
(a) x2 y 00 − 7xy 0 + 16y = 0; y1 = x4
(b) x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0; y1 =
y2 = x4 ln|x|
1
x 2 y2 = − 3
5x
(c) xy 00 + y 0 = 0; y1 = ln(x) y2 = 1
√
√
(d) 4x2 y 00 + y = 0; y1 = xln(x) y2 = x
1 + x
(e) 1 − x2 y 00 − 2xy 0 = 0; y1 = 1 y2 = ln 1−x
(f)
x2 y 00
−
xy 0
+ y = 0; y1 = xsen(ln(x))
y2 = xcos(ln(x))
5
MAT 147
(g) x2 y 00 − 3xy 0 + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln(x))
(h) (1 + 2x)y 00 + 4xy 0 − 4y = 0; y1 = e−2x
(i) (1 +
(j)
x2 y 00
x)y 00
−
+
xy 0
xy 0
− y = 0; y1 = x
+ y = 0; y1 = x
(k) x2 y 00 − 20y = 0; y1 = x−4
y2 = xln|x|
y2 = x5
(m) x2 y 00 + xy 0 + y = 0; y1 = cos(ln(x))
(n)
(o)
x2 y 00
−
4xy 0
−
7xy 0
y2 = x
e−x
y2 =
(l) x2 y 00 − 5xy 0 + 9y = 0; y1 = x3 ln(x)
x2 y 00
y2 = x2 sen(ln(x))
+ 6y = 0; y1 =
x2
− 20y = 0; y1 =
+
y2 = x3
y2 = sen(ln(x))
x3 y2 = x2
x1 0 y2 = x−2
(p) (3x + 1)y 00 − (9x + 6)y 0 + 9y = 0; y1 = e3x
(q)
xy 00
− (x +
1)y 0
+ y = 0; y1 =
(r) y 00 − 3tg(x)y 0 = 0; y1 = 1
(s)
xy 00
− (2 +
(t) 1 − 2x −
x)y 0
x2
= 0; y1 =
y 00
y2 = 3x + 2
e x y2 = x + 1
y2 = sec(x)tg(x) + ln|sec(x) + tg(x)|
1 y2 = x2 − 2x + 2 e2
+ 2(1 + x)y 0 − 2y = 0; y1 = x + 1
y2 = x2 + x + 2
23. Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, definindo um intervalo no
qual a solução geral seja válida.
π π
y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) + cos(x)ln(cos(x)) + xsen(x), x ∈ − ,
2 2
π π
y = tg(x) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) + cos(x) (sen(x) − ln|sec(x) + tg(x)|) , x ∈ − ,
2 2
xcos(x)
, x∈R
y = sen(x) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) −
2
π π
y = sec(x)tg(x) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) + xcos(x) − sen(x)ln|cos(x)|, x ∈ − ,
2 2
1 + sen2 (x)
2
y = cos (x) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) +
, x∈R
3
π π
y = sec2 (x) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) − 1 + sen(x)ln|sec(x) + tg(x)|, x ∈ − ,
2 2
xsenh(x)
y = cosh(x) y(x) = c1 ex + c2 e−x +
, x∈R
2
senh(2x)
, x∈R
y = senh(2x) y(x) = c1 ex + c2 e−x +
3
Z x 4t e4x
1
e
4y =
y(x) = c1 e2x + c2 e−2x +
e2x ln|x| − e−2x
dt , x0 > 0 e x > 0.
4
x0 t
x
(a) y 00 + y = sec(x)
(b) y 00 +
(c) y 00 +
(d) y 00 +
(e) y 00 +
(f) y 00 +
(g) y 00 −
(h) y 00 −
(i) y 00 −
(j) y 00 − 9y =
9x
e3x
y(x) = c1 e3x + c2 e−3x −
1 −3x
xe
(1 − 3x), x ∈ R
4
1
y(x) = c1 e−x + c2 e−2x + (1 + e−x )e−x ln(1 + ex ), x ∈ R
1 + ex
e3x
(l) y 00 − 3y 0 + 2y =
y(x) = c1 ex + c2 e2x + (1 + ex )ex ln(1 + ex ), x ∈ R
1 + ex
(m) y 00 + 3y 0 + 2y = sen(ex ) y(x) = c1 e−x + c2 e−2x − e−2x sen(ex ), x ∈ R
(k) y 00 + 3y 0 + 2y =
(n) y 00 − 2y 0 + y = ex arctg(x)
y(x) = c1 ex + c2 xex +
ex
(x2 − 1)arctg(x) − ln(1 + x2 ) , x ∈ R
2
e−x
ex ln(1 + x2 )
y(x) = c1 ex + c2 xex +
+ xex arctg(x), x ∈ R
2
2
1+x
(p) y 00 − 2y 0 + y = e−x sec(x) y(x) = c1 ex sen(x) + c2 ex cos(x) + xex sen(x) + ex cos(x)ln|cos(x)|,
(o) y 00 − 2y 0 + y =
(q) y 00 − 2y 0 + y = e−x ln(x)
y(x) = c1 e−x + c2 xe−x +
x2 e−x ln(x)
x2 e−x −2x
−
e
sen(ex ), x > 0
2
4
π π
x∈ − ,
2 2
6
MAT 147
(r) y 00 + 10y 0 + 25y =
e−10x
x2
(s) 3y 00 − 6y 0 + 30y = ex tg(3x)
x√
(t) 4y 00 − 4y 0 + y = e 2 1 − x2
y(x) = c1 ex/2 + c2 xex/2 +
e−5t
dt, x0 > 0 e x > 0.
2
x0 t
x0
π π
1
y(x) = c1 ex cos(3x) + c2 ex sen(3x) ex cos(3x)ln|sec(3x) + tg(3x)|, x ∈ − ,
27
6 6
y(x) = c1 e−5x + c2 xe−5x − e−5x
Z
x
e−5t
dt + xe−5x
t
Z
x
√
1
1
1
xex/2 (1 − x2 )3/2 + x2 ex/2 1 − x2 + xex/2 arcsen(x), x ∈ (−1, 1]
12
8
8
24. Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita às condições iniciais
y(0) = 1 e y 0 (0) = 0.
3 x/2
1
1
1
e
+ e−x/2 + x2 ex/2 − xex/2
4
4
8
4
8 x/2
1 −x
y = x + 1 y(x) = e + e − x − 2
3
3
4
1
1
25 2x
−2x
−x
e + e−4x − e−2x + e−x
8y = 2e
−e
y(x) =
36
9
4
9
4y = 12x2 − 6x e2x y(x) = e2x x4 − x3 − 2x + 1
(a) 4y 00 − y = xex/2
(b) 2y 00 + y 0 −
(c) y 00 + 2y 0 −
(d) y 00 − 4y 0 +
y(x) =
25. Sabendo que y1 (x) = x e y2 (x) = xln(x) formam um conjunto fundamental de soluções para
x2 y 00 − xy 0 + y = 0 em (0, ∞), encontre uma solução geral para
x2 y 00 − xy 0 + y = 4xln(x).
y(x) = c1 x + c2 xln(x) +
2
x(ln(x))3
3
26. Sabendo que y1 (x) = x2 e y2 (x) = x3 formam um conjunto fundamental de soluções para
x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0 em (0, ∞), encontre uma solução geral para
x2 y 00 − 4xy 0 + 6y =
y(x) = c1 x2 + c2 x3 +
1
.
x
1
12x
cos(x)
sen(x)
√
e y2 (x) = √
formam um conjunto fundamental de soluções para
x
x
x2 y 00 − xy 0 + y = 0 em (0, ∞), encontre uma solução geral para
√
1
2 00
0
2
x y + xy + x −
y = x3 .
4
27. Sabendo que y1 (x) =
cos(x)
sen(x)
1
y(x) = c1 √
+ c2 √
+√
x
x
x
28. Sabendo que y1 (x) = cos(ln(x)) e y2 (x) = sen(ln(x)) formam um conjunto fundamental de soluções
para x2 y 00 + xy 0 + y = 0 em (0, ∞):
(a) Encontre uma solução particular para
x2 y 00 + xy 0 + y = sec(ln(x)).
yp (x) = cos(ln(x))ln|cos(ln(x))| + ln(x)sen(ln(x))
(b) Dê a solução geral para a equação e defina um intervalo em que esta seja válida. [Sugestão: Não
é (0, ∞). Por quê?] y(x) = c1 cos(ln(x)) + c2 sen(ln(x)) + cos(ln(x))ln|cos(ln(x))| + ln(x)sen(ln(x)), x ∈ e−π/2 , eπ/2