Equação do 2º Grau

Equação do 2º Grau
Fábia Ferreira
Equação do 2º Grau
Suponha que você tenha 200 metros lineares de tela e
pretenda construir um cercado retangular com área de
2100 m². Quais deverão ser as dimensões do retângulo?
Indicando por x o comprimento do retângulo, em metros, a
largura deverá ser indicada por (100-x):
x
100-x
100-x
x
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Assim, temos:
x(100-x)=2100
ou seja:
100x - x² = 2100
ou ainda:
-x²+100x - 2100 = 0
Resolvendo essa equação, denominada equação do 2º grau,
concluímos que o cercado deverá ter 70 m de comprimento
por 30 m de largura.
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Equação do 2º Grau
Toda equação da forma:
ax² + bx + c = 0
em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0, é chamada de
equação do 2º grau.
Se b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação do 2º grau incompleta. Qualquer equação do
2º grau pode ser resolvida pela forma a seguir:
−𝒃 ± ∆
𝒙=
𝟐𝒂
em que: ∆ =
b²- 4ac
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A expressão ∆(delta), chamada de discriminante
da equação, informa-nos se a equação tem
raízes reais e, no caso de existirem, se são
iguais ou diferentes.
• Quando ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
• Quando ∆ > 0, a equação possui 2 raízes reais
e distintas.
• Quando ∆ = 0, a equação possui 2 raízes reais
e iguais.
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Exemplos:
1. Resolver, no conjunto dos números reais, a
equação do segundo 2º grau:
5x² - 3x – 2 = 0
Resolução:
Identificam-se os coeficientes da equação:
a = 5; b = -3; c = -2.
Calcula-se o discriminante:
∆ = b²- 4ac = (-3)² -4(5)(-2) = 49
Aplica-se a fórmula resolutiva:
1
x= -b ± √∆
x = -(-3)² ± √49 = 3 ± 7 =
2a
2(5)
10
-2/5
S = {1, -2/5 }
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2. Resolver a equação: 3x² + 5x – 2 = 0
Resolução:
∆ = 5² - 4(3)(-2) = 49
x= -5 ± √49 =
2(3)
1/3
-2
S={1/3, -2}
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Se x’ e x’’ são raízes da equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0, então a soma S e o
produto P dessas raízes são:
S=-b
e P= c
a
a
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Exemplos:
3. A soma das idades de dois irmãos é 16 anos. O produto entre a idade do irmão
mais novo pela diferença das suas idades é 14. Qual a idade dos irmãos?
Resolução:
• A soma das idades é dada por: x + y = 16
• O produto entre a idade do irmão mais novo pela diferença das idades por x(y –
x) = 14, se considerarmos que o irmão mais novo tem x anos.
•
Montamos o sistema:
x + y = 16
y = 16 - x
x(y – x) =14
x(16 – x – x ) = 14
x(16 – 2x) = 14
16x – 2x² = 14 dividindo por 2
8x – x² = 7
x² - 8x + 7 = 0
S = -b/a = -(-8)/1 = 8 e P = c/a = 7/1 = 7
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• Comecemos pelo produto. As possibilidades de se obter
produto igual a sete são:
7(1) e -7(-1)
Como 7 + 1 = 8, estes números são as raízes da equação
x² - 8x + 7 = 0.
Para determinar y fazemos:
y = 16 – x
y’ = 16 – 7 = 9
y’’ = 16 – 1 = 15
x=7e1
y = 9 e 15
Logo, a solução será 7 e 9 anos ou 1 e 15 anos.