Ondas Planas - 1 o Introdução • Já vimos que para um meio simples

ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 1
o Introdução
• Já vimos que para um meio simples não condutor as equações de Maxwell podem ser
combinadas de modo a fornecerem equações de onda vectoriais homogéneas:
1 ∂2 E
∇ E− 2
=0
c ∂t 2
2
onde
c=
se a onda se propagar no espaço livre.
1
≅ 3 × 10 8
µ 0ε 0
(m s )
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 2
o Ondas Planas em meios sem perdas
2
• ∇ E + K 02 E = 0 onde K0 é o número de onda do espaço livre K 0 = ω µ 0 ε 0 =
ω
c
(rad m)
• Em coordenadas cartesianas a equação é equivalente a três equações nas componentes Ex, Ey e
Ez. Segundo x teremos:
 ∂2

∂2
∂2
 2 + 2 + 2 + K 02  E x = 0
 ∂x ∂y ∂z

• Consideremos uma onda plana uniforme caracterizada por Ex uniforme (amplitude e fase
constantes) sobre superfícies planas perpendiculares a z. De modo que:
∂ 2 Ey
∂ 2 Ex
=0 e
=0
∂x 2
∂y 2
• O que simplifica a equação de onda:
d 2 Ex
+ K 02 E x = 0
2
dx
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 3
o Ondas Planas em meios sem perdas
• A solução da equação diferencial é:
E x ( z ) = E x+ ( z ) + E x− ( z ) = E x+ ( z )e − jK z + E x− ( z )e jK z
0
0
onde E0+ e E0− são constantes, normalmente complexas, que têm de ser definidas pelas condições
fronteira.
• O primeiro fasor representa, usando cosω
ωt como referência e assumindo E0+ real:
E x+ ( z ) = ℜe{E x+ ( z )e jωt } = ℜe{E0+ e j (ωt − K z ) } = E0+ cos(ωt − K 0 z )
0
• Temos uma onda que avança com uma velocidade de
propagação vp:
vp =
1
µ 0ε 0
K0 =
2πf 2π
=
c
λ0
(rad m )
λ0 =
2π
K0
• O segundo termo do fasor representa uma onda a
propagar-se na direcção –z com a mesma velocidade c.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 4
o Ondas Planas em meios sem perdas
• O campo magnético H pode ser calculado por:
aˆ x
aˆ y
0
0
E x+ ( z )
0
∇× E =
aˆ z
∂
∂
= aˆ y E x+ ( z ) e ∇ × E = − jωµ 0 H
∂z
∂z
0
∂E x+ ( z ) ∂ + − jK z
= (E0 e ) = − jK 0 E x+ ( z )
∂z
∂z
0
H y+ ( z ) =
K0 +
1
E x ( z ) = E x+ ( z )
ωµ 0
η0
( A m)
o termo η0 =
µ0
≅ 377
ε0
(Ω) é a impedância do espaço livre
E0+
H ( z, t ) = aˆ y H y ( z, t ) = aˆ y ℜe{H y ( z )e } = aˆ y
cos(ωt − K 0 z )
η0
+
+
jωt
( A m)
• Uma onda plana uniforme caracterizada por E = aˆ x E x propagando-se na direcção +z tem
associado a si um campo magnético H = aˆ y H y . E e H são perpendiculares entre si e são ambos
transversais à direcção de propagação. Este é um caso particular de uma onda electromagnética
transversal.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 5
o Polarização de Ondas Planas
• A polarização de uma onda uniforme descreve o
comportamento do vector intensidade de campo
eléctrico num ponto do espaço.
• Na figura o campo eléctrico oscila segundo o eixo x.
Diz-se neste caso que a onda tem uma polarização
linear na direcção x.
• Em alguns casos a polarização de uma Onda Plana pode variar com o
tempo.
• Na figura estão representadas duas espécies de polarização: (a)
polarização linear e (b) polarização circular.
• No caso da polarização elíptica ou circular (caso particular da elíptica), se
o campo eléctrico rodar contra os sentidos dos ponteiros do relógio temos
uma onda polarizada positivamente.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 6
o Ondas Planas em meios com perdas
• Equação de onda para um meio sem cargas com perdas:
2
∇ E + K C2 E = 0
onde o número de onda K C = ω µε C é um número complexo.
• Toda a discussão que foi feita para Ondas Planas em meios sem perdas podem ser modificadas
para um meio com perdas através da simples substituição de K por KC.
• Em linhas de transmissão definimos uma quantidade chamada de constante de propagação γ:
γ = jK C = jω µε C
(m )
−1
• Como γ é um número complexo:
σ
γ = α + jβ = jω µε 1 +
jωε
onde α e β são a parte real e imaginária de γ.
ε ''
ou γ = α + jβ = jω µε 1 − j '
ε
'
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 7
o Ondas Planas em meios com perdas
• Para um meio sem perdas σ=0 (εε’’=0, ε’ = ε) α = 0 e β = K = ω µε
• A equação de onda será:
∇.E − γ 2 E = 0
a solução será então:
E = aˆ x E x = aˆ x E0 e − γz
onde assumimos que a onda se encontra polarizada linearmente segundo x:
E = E0 e −αz e − jβz
• O primeiro termo e-αz diminui à medida que z aumenta, α é definido como a constante de
atenuação (Nepper por metro ou Np/m).
• O segundo termo e-jβz é o factor de fase, β é a constante de fase (rad/m). Mede a rotação de fase
quando a onda viaja um metro.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 8
o Ondas Planas em meios com perdas
§ Dieléctricos com poucas perdas
• Um dieléctrico com poucas perdas é um bom mas imperfeito isolante com condutividade
equivalente não nula, de modo que ε’’<<εε’ ou σ/ω
ωε<<1. Com estas condições γ pode ser
aproximado utilizando uma expansão binomial:
2

ε '' 1  ε ''  
'
γ = α + jβ ≅ jω µε 1 − j ' +  '  
2ε 8  ε  

 1  ε ''  
'
( Np m ) e β ≅ ω µε 1 +  '   (Rad s )
 8ε  
• A constante de atenuação é positiva e é aproximadamente proporcional à frequência. A constante
de fase, desvia-se muito pouco do valor de um dieléctrico perfeito.
−1
µ
µ
ε ''  2
µ
ε '' 
ηC =
=
1 − j '  ≅
1 + j '  (Ω )
εC
ε' 
ε 
ε' 
2ε 
• O valor da impedância é uma quantidade complexa. Como a impedância é a relação entre Ex e
Hy, para uma onda plana uniforme, o campo eléctrico e magnético não estão em fase.
2
ω
1  1  ε ''  
• Velocidade de propagação:
vp = ≅
1 −    (m s )
β
µε '  8  ε '  
ωε ''
α=
2
µ
ε'
2
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 9
o Ondas Planas em meios com perdas
§ Bons condutores
• Um bom condutor é um meio onde σ/ω
ωε>>1:
γ = jω µε 1 +
σ
≅ jω µε
jωε
σ
=
jωε
j ωµσ =
1+ j
ωµσ
2
γ = α + jβ ≅ (1 + j ) πfµσ
• Para um bom condutor temos então:
α = β = πfµσ
• A impedância intrínseca de um bom condutor será:
ηC =
• Velocidade de propagação:
µ
≅
εC
vp =
jωµ
πfµ
α
= (1 + j )
= (1 + j )
σ
σ
σ
ω
≅
β
2ω
µσ
(Ω )
(m s )
• Tanto a constante de atenuação α como a velocidade de propagação vp são proporcionais a
f .
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 10
o Ondas Planas em meios com perdas
§ Bons condutores
• Consideremos o cobre como exemplo:
(S m )
µ = 4π ×10
(H m )
v = 720 (m s ) a 3 MHz
σ = 5,80 ×107
−7
p
a velocidade de propagação é aproximadamente o dobro da velocidade do som no ar.
• O comprimento de onda de uma onda plana num bom condutor é:
λ=
2π v p
π
=
=2
β
f
fµσ
(m )
• Para o cobre a 3 MHz:
α = π (3 × 10 6 )(4π × 10 − 7 )(5,8 × 10 7 ) = 2,62 × 10 4
( Np m )
• Como o factor de atenuação e-αz, a amplitude da onda é atenuada de um factor e-1=0,368 quando
a onda viaja uma distância δ=1/λ
λ. Para o cobre a 3 MHz esta distância é de 0,038 mm, a 10 GHz é
de apenas 0,66 µm.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 11
o Ondas Planas em meios com perdas
§ Bons condutores
• Esta distância é conhecida como profundidade de penetração:
δ =
1
1
=
α
πfµσ
(m )
• Como α=β
β para um bom condutor, δ pode ser escrito como:
δ =
1
λ
=
β 2π
(m )
• Profundidades de penetração em mm para vários materiais:
Material
σ (S/m)
60 (Hz)
1 (MHz)
1 (GHz)
Prata
Cobre
Ouro
Alumínio
Ferro (µ
µr≈103)
6,17×
×107
5,80×
×107
4,10×
×107
3,54×
×107
1,00×
×107
8,27
8,53
10,14
10,92
0,65
0,064
0,066
0,079
0,084
0,005
0,0020
0,0021
0,0025
0,0027
0,00016
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 12
o Fluxo de potência de uma onda electromagnética
• As ondas electromagnéticas transportam energia. A quantidade E × H é um vector que
representa a potência que flui por unidade de área.
P = E × H (W m 2 )
• P é o vector de Poynting que é o vector densidade de potência associado a um campo
electromagnético.
• A densidade de energia pode ser dividida em três componentes:
w = we + wm + pσ
1
we = εE 2 densidade de energia eléctrica
2
1
wm = µH 2 densidade de energia magnética
2
J2
2
pσ = σE =
densidade de energia óhmica
σ
• O valor médio da densidade de potência é:
*
1 
Pav = ℜe E × H 

2 
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 13
o Incidência normal num dieléctrico plano
• A onda incidente viaja na direcção +z e a fronteira encontra-se no plano z=0.
• Para a onda incidente:
Ei ( z ) = aˆ x Ei 0 e − jβ z
E
H i ( z ) = aˆ y io e − jβ z
η1
• Como o meio é descontinuo em z=0, a onda incidente é
parcialmente reflectida de volta para o meio 1:
1
1
(a) onda reflectida (Er, Hr)
Er ( z ) = aˆ x Er 0 e jβ z
E
H r ( z ) = −aˆ y ro e jβ z
η1
1
1
(b) onda transmitida (Et, Ht)
Et ( z ) = aˆ x Et 0 e jβ z
E
H t ( z ) = aˆ y to e jβ z
η2
2
2
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 14
o Incidência normal num dieléctrico plano
• Na interface (z=0) as componentes tangenciais do campo eléctrico e magnético são continuas
(condições fronteira):
Ei (0) + Er (0 ) = Et (0)
H i (0) + H r (0 ) = H t (0)
Ei 0 + E r 0 = Et 0
ou
1
(Ei 0 + Er 0 ) = Et 0
η1
η2
• Resolvendo as equações obtemos:
η2 − η1
Ei 0
η2 + η1
2η2
Et 0 =
Ei 0
η2 + η1
Er 0 =
• Definimos coeficiente de reflexão como a razão Er0/Ei0 e coeficiente de transmissão como a razão
Et0/Ei0:
Γ=
Er 0 η2 − η1
E
2η2
=
e τ = t0 =
Ei 0 η2 + η1
Ei 0 η2 + η1
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 15
o Incidência normal num dieléctrico plano
• O coeficiente de reflexão pode ser positivo ou negativo. O coeficiente de transmissão é sempre
positivo.
• Estas expressões são aplicáveis mesmo quando o meio é dissipativo, isto é, η1 e/ou η2 são
complexos. Os valores de Γ e τ são normalmente números complexos.
• Um valor de Γ complexo significa simplesmente que é introduzida uma rotação de fase na
interface.
• Os coeficientes de reflexão e de transmissão estão relacionados pela seguinte relação:
1+ Γ = τ
• Se o meio 2 for um condutor perfeito, η2=0 e obtemos Γ=-1 e τ=0. Consequentemente Er0=-Ei0 e
Et0=0. A onda incidente será totalmente reflectida.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Ondas Planas - 16
o Incidência obliqua num dieléctrico plano
• O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.
sin θ t v p 2 β1 n1
=
=
=
sin θ i v p1 β 2 n2
• Onde n1 e n2 são os índices de refracção do meio 1 e 2 ( n =
c
).
vp
• Para um meio não magnético µ1=µ
µ2=µ
µ0
sin θ t
ε
ε r 1 n1 η2
= 1 =
= =
ε2
ε r 2 n2 η1
sin θ i
• Se o meio 1 for o espaço livre εr=1:
sin θ t
1
1
η
=
= = 2
sin θ i
ε r 2 n2 120π
• Vamos considerar ε1>εε2, ou seja a onda incide num meio mais denso.
Neste caso θt>θ
θi, quando θt=π
π/2 não existe onda refractada, o ângulo
de incidência θc que corresponde a θt=π
π/2 é chamado de ângulo crítico.
ε
ε
η
n
sin θ C = 2 e θ C = sin −1 2 = sin −1 2 = sin −1 1
ε1
ε1
η2
n1