ESTUDO DA CONDUÇÃO DE CALOR OBJETIVOS - Determinar a distribuição de temperatura em um meio - Calcular o fluxo de calor usando a Lei de Fourier Aplicações: - Conhecer a integridade estrutural de um meio em alguns pontos e em determinados momentos: expansão térmica, estresse térmico, expansões e deflexões. - Otimizar a espessura de um material isolante - Compatibilidade entre matérias, revestimentos especiais ou adesivos usados com o material COMO CONHECER A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA 1. Formulação matemática do problema: - definir um volume de controle - aplicar o balanço de energia - identificar os processos de transmissão de calor no volume de controle - introduzir as equações das taxas de calor - obter uma equação diferencial 2. Solução geral da equação diferencial 3. Aplicação das condições de contorno 4. Solução do problema: distribuição de temperatura 1 A especificação da temperatura requer a definição de um sistema de coordenadas a) Retangulares (x,y,z) b) Cilíndricas (r,z,) c) Esféricas (r,,) A temperatura em um ponto no tempo é expressa como: T (x,y,z,t) ou T(r,z,, t) ou T(r, ,,t) - tridimensional e transiente T (x) ou T(r) – unidimensional e permanente 1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA 1) Definir um volume de controle 2) Identificar os processos de transferência de energia no volume de controle 3) Aplicar um Balanço de Energia no volume de controle 2 Taxa de calor que entra no V.C. - Taxa de calor que sai do V.C. Fenômenos de superfície + Taxa de geração de calor no V.C. = Taxa de variação da quantidade de energia no V.C. Fenômenos de volume qe qs q g dE / dt Calor que entra ou sai do volume de controle: por condução Geração de calor: transformação de energia mecânica, elétrica, química ou nuclear em calor, no volume de controle Taxa de variação da quantidade de energia no volume de controle, ou energia acumulada: função da variação da energia interna, cinética ou potencial 3 Equação da condução de calor unidimensional A- Parede plana qg elemento de volume, x qx qx+x Para um elemento de espessura x: q x q x x q g ,elem Eelem t (1) onde: Eelem Et t Et mc p ( Tt t Tt ) Axc p ( Tt t Tt ) q g ,elem q gVelem q g Ax Substituindo: T T q x q x x q g ( Ax ) Ax c p t t t t (2) 4 A área A=y z para superfície plana é constante Dividindo por Ax e aplicando o limite quando x0 e t 0, resulta em: T( x ,t ) 1 q x q g c p A x t (3) Para sistemas sem geração e regime estacionário: dq x =0 dx indica que a taxa de condução de calor não é função de x substituindo a Eq. da condução (Lei de Fourier) q x kA T( x ) x na Eq (3) T 1 kT( x ) A q g c p ( x ,t ) A x x t (4) Como a área A para parede plana é constante, a equação do calor, ou equação da difusão unidimensional é: T( x ,t ) T k q g c p x x t (5) 5 Casos: 1) Condutividade térmica, k, constante 2T x 2 onde q g k 1 T t k é a difusividade térmica do material (m2/s ou ft2/h) c p Esta propriedade do material é associada à propagação do calor no meio durante as variações de temperatura e tempo. 2) Regime Transiente, k constante e sem geração de calor 2T x 2 1 T t 3) Regime permanente e k constante d 2T dx 2 + q g k =0 4) Regime permanente, k constante e sem geração de calor d 2T dx 2 0 6 Equação da condução de calor para um cilindro longo (unidimensional) qg qr qr+r elemento de volume, r Elemento: Camada fina de espessura r e área A=2rL T T qr qr r q g Ar c p Ar t t t t T( r ,t ) 1 T rk q g c p r r r t 1) k constante: 1 T q g 1 T( r ,t ) r r r r k t 2) regime permanente: 1 T q g 0 r r r r k 3) regime transiente sem geração: 4) regime permanente sem geração: 1 T 1 T( r ,t ) r r r r t 1 d dT r 0 r dr dr 7 Equação da condução (unidimensional) de qg calor para uma esfera qr+r qr elemento de volume, r Elemento: Fina camada esférica de espessura r e área A=4r2 T( r ,t ) 1 2 T r k q g c p r t r 2 r 1 2 T q g 1 T( r ,t ) r 1) k constante: 2 r r r k t 1 2 T q g 0 r 2) regime permanente com geração: 2 r r k r 1 2 T 1 T( r ,t ) r 3) regime transiente sem geração: 2 r r t r 4) regime permanente sem geração: 1 d 2 dT r 0 2 dr dr r 8 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR Aplicações: - Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3 paredes se encontram - Taxa de calor transferida através das paredes de um cilindro curto de parede espessa - Taxa de calor perdida por um tubo enterrado 1) Coordenadas cartesianas Elemento de volume qg ΔxΔyΔz Equação de Fourier-Biot 2T x 2 2T y 2 2T z 2 q g k 1 T( x , y ,z ,t ) t 1) Regime permanente – Equação de Poisson 2T 2T 2T q g 0 k x 2 y 2 z 2 2) Regime Transiente e sem geração – Equação da Difusão 2T x 2 2T y 2 2T z 2 1 T( x , y ,z ,t ) t 9 3) Regime Permanente e sem geração – Equação de Laplace 2T x 2 2T y 2 2T z 2 0 2) Coordenadas cilíndricas Componentes: r – radial z – axial - circunferencial Áreas perpendiculares a r: (dz r d), z: (dr r d), : (drdz) Para k constante: 1 T 2T 1 2T q g 1 T( r , ,z ,t ) r r r r z 2 r 2 2 k t 10 3) Coordenadas esféricas Componentes: r – radial - circunferencial - angular Áreas perpendiculares a: r: rsen .d .r .d r 2 sen .d .d Comprimentos : r : rsen .d .dr e : r .d .dr : rsen . Para k constante 1 2 T 1 T 1 2T q g 1 T( r , , ,t ) r sen r 2 sen 2 2 k t r 2 r r r 2 sen Equação geral para qualquer sistema de coordenadas: 2T q g k 1 T t 2T - Laplaciano da temperatura 11 Exemplos: Determine a equação diferencial que descreve a variação de temperatura para cada um dos exemplos abaixo, listando as considerações feitas: 1. Considere uma panela de aço com água colocada em cima de um fogão elétrico. O fundo da panela possui 0,4 cm de espessura e 18 cm de diâmetro. Uma boca do fogão consome 800 W de potência durante o cozimento e 80 % do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. Assumir que a condutividade térmica é constante. 2. A resistência de um aquecedor de 2 kW usado para ferver água é um fio com condutividade térmica de k=15 W/mK, diâmetro de 0,4 cm e comprimento de 50 cm. Supor que a variação da condutividade térmica do fio em função da temperatura é desprezível. 3. Uma esfera metálica de raio r é aquecida em um forno até a temperatura de 600 ºF, retirada do forno e deixada para resfriar em temperatura ambiente T=75ºF por convecção e radiação. A condutividade térmica do material que compõe a esfera varia linearmente com a temperatura. Considerar que a esfera é resfriada uniformemente por toda a superfície externa. 4. Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é aquecido em forno até 600 °F, retirado do forno e deixado para resfriar a temperatura ambiente de 65 °F por convecção e radiação. Assumindo que o lingote é resfriado uniformemente por toda sua superfície externa e que a variação da condutividade térmica do material em função da temperatura é desprezível, obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento. 12 Condições de contorno e iniciais - A solução da equação da equação diferencial passa por um processo de integração que envolve constantes. - A solução só vai ser única quando forem especificadas as condições existentes nas fronteiras do sistema com o meio. As expressões matemáticas destas condições são chamadas de condições de contorno. Exemplo: Considere a variação de temperatura na espessura de uma parede de tijolos de uma casa durante o inverno. A temperatura em qualquer ponto da parede depende: das condições nas duas superfícies da parede (x=0 e x=L), tais como a temperatura do ar dentro da casa, a velocidade e a direção do vento e a incidência de energia solar na superfície externa. Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema de coordenadas, na qual a transferência de calor é significativa. Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial da temperatura no meio. 13 A temperatura em qualquer ponto em um determinado momento depende da condição no início do processo de condução de calor (t=0). Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira ordem em relação ao tempo). Tipos de condição de contorno: - 1ª espécie: Temperatura especificada x=0 T(0,t) = T1 x=L T(L,t) = T2 - 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido _ x=0 q"o = k x=L _ k ∂T(0, t ) ∂x ∂T(L, t ) = q"L ∂x 14 Casos especiais: - fronteira isolada _ x=0 q"o = 0 = k x=L T(L,t)=T ∂T(0, t ) ou ∂x ∂T(0, t ) =0 ∂x - simetria térmica Imposta pelas condições térmicas nas superfícies Distribuição de temperatura em uma metade da placa é a mesma na outra metade (em relação ao plano central x=L/2). Não há fluxo de calor no plano central (superfície isolada). plano central x = L/2 ∂T(L / 2, t ) =0 ∂x Distribuição de Temperatura (simétrica em relação ao plano central) 15 - 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície Condição mais comum encontrada na prática. Baseada no balanço de energia na superfície. Condução de calor na superfície em uma direção escolhida = Convecção na superfície na mesma direção x=0 _ x=L _ k ∂T(0, t ) = h1(T∞1 _ T(0, t )) ∂x k ∂T(L, t ) = h 2 (T(L, t ) _ T∞ 2 ) ∂x - Troca de calor por radiação na superfície x=0 _ x=L _ k ∂T(0, t ) = 1(Tviz 4 _ T(0, t ) 4 ) ∂x k ∂T(L, t ) = 2(T(L, t ) 4 _ Tviz 4 ) ∂x - Condições de contorno generalizadas 16 Exemplos: Expresse as condições de contorno e inicial para cada caso: 1. Considere uma panela de alumínio com água para cozimento em um fogão elétrico. O fundo da panela possui espessura de 0,3 cm e diâmetro de 20 cm. A boca do fogão elétrico consome 800 W de potência durante o cozimento e 90% do calor gerado é transferido para panela. Durante a operação em regime permanente, a temperatura da superfície interna da panela é 110ºC. 2. Vapor flui através de uma tubulação a uma temperatura média de 200°C. Os raios interno e externo são 8 e 8,5 cm, respectivamente, e a superfície externa da tubulação está bem isolada. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo na superfície interna da tubulação é de 65 W/m²°C, expresse as condições de contorno nas superfícies interna e externa da tubulação durante os períodos transiente. 17 3. Uma bola metálica de raio ro é aquecida em um forno até alcançar 600°F, sendo então retirada do forno e colocada para resfriar à temperatura ambiente de 78°F. A condutividade térmica da bola é de 8,3 Btu/(hft°F) e o coeficiente convectivo médio na superfície externa é de 4,5 Btu/(hft²°F). A emissividade da superfície externa é de 0,6 e a temperatura média da vizinhança é 525 R. Considerando que a bola é resfriada uniformemente a partir de sua superfície externa, expresse as condições inicial e de contorno para o processo de resfriamento. c.c.: x=0 x=L 18