y/2 e C =0, vemos que esta equação é hiperbólica se y =/ 0, pois

xuxx ¡ yuxy = 0
Identicando A = x, B = ¡y /2 e C = 0, vemos que esta equação é hiperbólica se y =
/ 0, pois
= B 2 ¡ AC =
y2
> 0:
4
Assim, sua forma normal é dada por
Uv w = F (v; w; U ; Uv ; Uw):
Assumindo que existam transformações v = v(x; y) e w = w(x; y) tais que
u(x; y) = U (v; w)
e U seja dada pela forma normal, temos, por diferenciação:
Ux =
+
Uxy =
=
Uxy =
+
Uxx =
Uvvx + Uwwx
Uv yvx + Uvvxy + Uwywx + Uwwxy
[Uv vv y + Uv ww y]vx + [Uwvv y + Uwww y]wx + Uvvxy + Uwwxy
[vxv y]Uv v + [wxw y]Uww + [vxw y + v ywx]Uv w + [vxy]Uv + [wxy]Uw
[y $ x]
[vxvx]Uv v + [wxwx]Uww + [vxwx + vxwx]Uv w + [vxx]Uv + [wxx]Uw
Substituindo estas derivadas na equação diferencial original, temos:
xuxx ¡ yuxy =
+
xUxx ¡ yUxy =
+
xf[vxvx]Uv v + [wxwx]Uww + [vxwx + vxwx]Uv w + [vxx]Uv + [wxx]Uw g
¡yf[vxv y]Uv v + [wxw y]Uww + [vxwy + v ywx]Uv w + [vxy]Uv + [wxy]Uw g =
+
[xvxvx ¡ yvxv y]Uv v + [xwxwx ¡ ywxwy]Uww + [xvxwx + xvxwx ¡ yvxwy ¡ yv ywx]Uv w +
[xvxx ¡ yvxy]Uv + [xwxx ¡ ywxy]Uw
=
0
0
0
0
Por comparação à forma normal, vemos que os coecientes de Uv v e Uww devem ser nulos, enquanto
que o coeciente de Uv w deve ser 1 (ou uma constante não-nula). Assim, v e w devem ser tais que
satisfaçam o seguinte sistema:
8
>
<
xvxvx ¡ yvxv y = 0
xwxwx ¡ ywxw y = 0
>
: xvxwx + xvxwx ¡ yvxw y ¡ yv ywx = 1
)
8
>
<
vx(xvx ¡ yv y) = 0
wx(xwx ¡ yw y) = 0
>
: vx(xwx ¡ yw y) + wx(xvx ¡ yv y) = 1
As duas primeiras equações deste sistema fornecem quatro possibilidades para a determinação de
v e w:
(A) vx = 0
e
wx = 0;
(C) vx = 0
e
xwx = yw y ;
(B) xvx = yv y
(D) wx = 0
1
e
xwx = yw y ;
e
xvx = yv y:
Note que as opções (A) e (B) são inconsistentes com a terceira equação do sistema, pois levam à
contradição 0 = 1. Também, as opções (C) e (D) são simétricas pela substituição v $ w. Assim,
ambas são equivalentes. De (C), temos:
vx = 0
)
v(x; y) = v(y),
xwx = yw y:
Substituindo esses resultados na terceira equação do sistema, encontramos:
vx(xwx ¡ yw y) + wx(xvx ¡ yv y) = 1
+
¡ywxv y = 1
+
wx = ¡
1
yv y
Como sabemos, agora, que v = v(y) apenas, temos v y = v y(y) e podemos integrar esta equação com
relação à x, para obter:
w(x; y) = ¡
x
+ g(y);
yv y
em que g é uma função arbitrária de y apenas (constante da integração com relação à x).
Substituindo, agora, este resultado na expressão [observe que esta é a única condição do sistema
que ainda não foi utilizada]
xwx = yw y ;
temos:
x
x
x ¡
+ g(y)
= y ¡
+ g(y)
yv y
yv y
x
y
+ "
#
1
1
x ¡
= y ¡x
+ g 0(y)
yv y
yv y y
Uma vez que
temos
1
yv y
y
=
@
@
v + yv
(yv y)¡1 = ¡(yv y)¡2 (yv y) = ¡ y 2 2 yy ;
@y
@y
y vy
"
#
1
v y + yv yy
¡x
= ¡x ¡y
+ yg 0(y):
yv y
y 2 v y2
Note que esta equação nos permite evidenciar (isolar) g 0(y). Mas, por consequência de ser uma
constante de integração, g não depende de x e, consequentemente, g 0 não pode depender de x. Ou
seja, a equação:
"
#
1
v y + yv yy
0
yg (y) = ¡x
+
yv y
yv 2y
implica
1
v + yv
+ y 2 yy = 0
yv y
yv y
2
[Caso contrário, g 0 teria uma dependência explícita com x]. Multiplicando esta equação por y 2 v y2,
temos
y 2v yy + 2yv y = 0:
Lembrando que já foi determinado que v depende apenas de y. Assim, esta é uma equação diferencial ordinária, cuja solução é
v(y) = y ¡1 + :
[Note que a equação y 2v 00 + 2yv 0 = 0 é uma equação de Euler com polinômio característico dado
por r(r ¡ 1) + 2r = 0 ) r(r + 1) = 0 ) r1 = 0 e r2 = ¡1 ) raízes reais e distintas.]. Aqui, e são
constantes arbitrárias. (Lembre-se que na dedução de formas normais, por tratarmos de funções
que serão diferenciadas e substituídas em equações lineares e homogêneas, podemos sempre fazer,
por simplicidade, as constantes multiplicativas iguais a 1 e as aditivas iguais a zero). Uma vez que
determinamos v, temos
v y = ¡y ¡2;
e sabemos que g 0(y) = 0 ) g(y) = , obtemos w pela expressão:
w(x; y) = ¡
x
+ g(y);
yv y
+
x
+
w(x; y) = ¡ ¡
y y2
+
w(x; y) =
xy
+ :
Logo, as mudanças de variáveis que reduzem a EDP dada à sua forma normal são ( = 1, = 0 = ):
1
v = v(x; y) = ;
y
w = w(x; y) = xy:
Agora, para resolvermos a EDP, devemos escrever a forma normal, a partir desta mudança de
variáveis, e resolvê-la. Substituindo v e w encontrados, de modo que
vx
vy
vxx = vxy
wx
wy
wxx
wxy
=
=
=
=
=
=
=
0
¡y ¡2
0
y
x
0
1
na equação,
[xvxvx ¡ yvxv y]Uv v + [xwxwx ¡ ywxwy]Uww + [xvxwx + xvxwx ¡ yvxwy ¡ yv ywx]Uv w +
[xvxx ¡ yvxy]Uv + [xwxx ¡ ywxy]Uw
= 0
3
temos
Uv w ¡ yUw =
+
1
Uv ¡ U
=
v
w
+
1
Uv ¡ U =
v
0
[v = 1/ y]
0
[integrando em w]
[' é uma função arbitrária]
'(v)
Esta equação pode ser resolvida utilizando técnicas de EDO. Note que a solução da homogênea
associada é
vUv ¡ U = 0
)
U (v; w) = (w)v;
em que é uma função arbitrária (constante de integração com relação à v). A solução particular
é uma função (v) tal que
1
v ¡ = '(v):
v
Como ' é arbitrária, permanece arbitrária [Lembre-se que a solução particular de uma EDO
independe de constantes arbitrárias assim, neste caso, a solução particular na variável v não
dependerá da variável w]. Logo, a solução da forma normal é dada pela soma das soluções da
homogênea associada e da solução particular:
U (v; w) = v (w) + (v):
Assim, nalmente, temos a solução da EDP:
u(x; y) = U (v; w)
+
1
v = ; w = xy
y
1
1
u(x; y) =
(xy) + y
y
Em que e são funções ordinárias arbitrárias. Denindo, apenas por elegância notacional,
1
¡(y) = y , temos o resultado:
1
u(x; y) =
(xy) + ¡(y):
y
Vericação:
1 @
@¡(y) 1 @ (a) @a
( (xy)) +
=
+0
y @x
@x
y @a @x
1 0
=
(a)y
y
+
= 0(xy)
+
= y 00(xy)
= x 00(xy)
ux =
ux
uxx
uxy
(a = xy)
Substituindo na equação:
xuxx = xy 00(xy)
¡yuxy = ¡yx (xy)
+
xuxx ¡ yuxy = 0
4
[Q:E:D:]