Apostila de Matemática – EJA – EF 3

Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
MÓDULO 6
Nesta U.E., você aprenderá um novo conjunto de números para
representar situações em que apenas os elementos do conjunto N não
são suficientes. Esse conjunto de números é denominado CONJUNTO
DE NÚMEROS INTEIROS.
OBJETIVOS:
Ao final desta U.E., você deverá saber:
Identificar Z como o conjunto N ampliado;
Localizar na reta numerada os elementos de Z;
Comparar dois números inteiros, utilizando os sinais , ou =;
Escrever o simétrico de um número inteiro;
Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro;
Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir corretamente dois ou mais
números inteiros;
Efetuar corretamente a potência de um número inteiro;
Efetuar a radiciação de um número inteiro.
ROTEIRO:
Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando
a resolução dos exemplos.
Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em
que se apresentam.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA.
FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO.
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INTRODUÇÃO
Com a evolução do homem foram aparecendo situações novas
que não podiam ser representadas com os números conhecidos
(números naturais).
Por exemplo:
Eu tenho R$23,00 para pagar uma dívida de R$28,00. Como fica o
resultado dessa operação?
R$23,00 – R$28,00 = ? Fiquei devendo R$5,00. Mas como você pode
representar esse resultado?
Os elementos (números) do conjunto N não servem porque
nenhum deles representa uma quantidade menor que zero.
Para solucionar essas situações foi necessário criar um outro
conjunto de números. Assim surgiram os “números inteiros negativos”
que representam perdas, dívidas, sentido oposto, etc.
Dever 5 passou a ser representado por –5 (lê-se:5 negativo ou
negativo 5 ).
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
OU NÚMEROS INTEIROS
É o conjunto formado por todos os números positivos
(infinito), o número zero e todos os números negativos
(infinito).
Foram criados os números:
–1 (lê-se negativo um)
–2 (lê-se negativo dois)
–3 (lê-se negativo três)
E assim sucessivamente. Esses números foram criados para
representar quantidades menores que zero. Eles foram denominados
números inteiros negativos.
Os números inteiros negativos são: –1, –2, –3, –4, –5, –6,...
Todo número precedido de sinal negativo (–) representa uma
quantidade menor ( ) que zero.
Ex.: -3
0
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-5
0
3
Portanto o zero, por sua vez, é maior ( ) que qualquer número
negativo, por isso:
Ex.: 0 -2
0 -8
Os números naturais 1,2,3,4,5,6...,
são números inteiros
positivos e são representados pelo sinal (+). Isto é: 1 = +1, 2 = +2, 3 =
+3; ... 10 = +10;...
Os números positivos representam ganho, lucro, mesmo sentido.
Fica determinado
que o número sem
sinal é positivo.
O número zero
fica sem sinal.
Não é positivo,
nem negativo
Z é o símbolo do conjunto dos números inteiros
Z =
..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...
Os números inteiros negativos são tão úteis quanto os números
inteiros positivos. Na realidade, você usou os números inteiros
negativos em muitas ocasiões, sem chamá-los de números inteiros
negativos.
Veja algumas dessas situações:
a) Distâncias à direita de um ponto marcado (ponto zero):
8 Km à direita (+8Km).
Distâncias à esquerda do mesmo ponto marcado:
8 Km à esquerda (–8Km).
b) Saldo bancário:
Crédito de R$ 600,00 (+R$600,00).
Débito de R$ 600,00 ( – R$600,00).
c) Tempo antes e depois de uma data:
100 anos depois de Cristo (+100 anos).
100 anos antes de Cristo (–100 anos).
d) Saldo de gols de uma equipe:
15 gols a favor (+15 gols).
15 gols contra ( – 15 gols).
e) Temperatura ambiente:
18 graus acima de zero ( + 18º C).
18 graus abaixo de zero ( –18 º C).
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–8Km
0
+8Km
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Copie e responda no seu caderno:
1) Represente usando números inteiros positivos ou negativos:
a)
b)
c)
d)
uma distância de 35 Km à direita de um ponto. (...........)
uma temperatura de 29 graus abaixo de zero. (...........)
um prejuízo de R$350,00. (................)
um saldo de 8 gols a favor. (..............)
2) Pedro tem R$250,00 no banco. Qual será seu saldo:
a)
b)
c)
d)
Se ele retirar R$ 150,00?
Se ele retirar R$ 250,00?
Se ele retirar R$ 280,00?
Se ele depositar R$ 50,00?
3) Você
tem R$ 600,00 no banco. Qual será seu saldo depois de
efetuar as operações abaixo?
a) depositou R$ 400,00 = ................
b) retirou R$200,00 = .....................
c) retirou R$150,00 = .....................
REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA
Observe a reta numerada abaixo. Nela estão representados os
números positivos e negativos. Perceba que para cada ponto marcado
na reta está relacionado um número positivo ( à direita do zero) e um
negativo (à esquerda do zero) a partir do ponto inicial ( número zero).
...–5 –4 –3 –2 –1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7...
Z
O que você vê são alguns elementos de Z representados. Você
sabe que a representação de todos os elementos é impossível, porque
Z é um conjunto infinito, da mesma forma que a reta.
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SIMÉTRICO DE UM NÚMERO INTEIRO
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
Z
Observe na reta numerada a localização dos números +3 e –3.
O que você percebeu?
– Que os dois números estão a uma mesma distância em
relação ao zero;
– Que os números positivos podem ou não ser escritos
acompanhados do sinal positivo.
Os pares de números que estão a uma mesma distância do zero
chamam-se opostos ou simétricos, logo o oposto de –3 é 3.
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número a quantidade
de unidades que existem do zero até ele, sem levar em conta a sua
posição (esquerda ou direita). É o nº sem a representação do sinal.
O módulo ou valor absoluto de um nº é representado por duas
barras verticais.
Por exemplo: –5 = 5 o módulo ou valor absoluto de –5 é 5,
porque –5 está a 5 unidades do zero.
Veja.
5 unidades
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 3
4 5 6 7
Z
Qual é o módulo de +8?
Como o +8 está a 8 unidades do zero, o módulo de 8 é 8.
Não importa o número ser positivo ou negativo, pois o seu valor
absoluto representa apenas a quantidade.
Copie e resolva em seu caderno:
4) Complete com o valor absoluto dos números:
a)
c)
10 = ...........
6 = .........
b) o valor absoluto de 15 é ..........
d) o módulo de –3 é igual a: .........
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COMPARAÇÃO ENTRE NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS
Você aprendeu que todos os números negativos são menores
que zero portanto também são menores que qualquer número
positivo.
Comparando dois números negativos podemos dizer que quanto
mais distante o nº negativo está do zero menor ( < ) ele é.
Comparando dois números positivos podemos dizer que quanto
mais distante o nº positivo está do zero maior ( > ) ele é.
Os números inteiros (positivos e negativos) se tornam
maiores quando a localização, na reta geométrica, está da
esquerda para a direita.
Ex.: –4 < –1 < 0 < +5 < +8
–4
–1 0
crescendo ou aumentando
+5
+8
Copie e resolva em seu caderno:
5) Copie e complete no seu caderno, utilizando os sinais
(maior) ou
(menor) :
a) 3 ...... –5
b) –2 ...... –3
c) –4 ......+ 6
d) –5 ......... 0
e) 0 ......... – 4
f) –3 ......... –2
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS:
ADIÇÃO OU SOMA: Quando somar?
Quando temos que “juntar” dois ou mais números positivos
( créditos) ou dois ou mais números negativos (débitos).
Para adicionar (somar) basta usar a seguinte associação:
Crédito com crédito, soma e resulta crédito (positivo com
positivo = +)
Exemplo:
+5+6 = +11
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Débito com débito, soma e resulta débito ( negativo com
negativo = - )
Exemplo:
Você tem R$ 400,00 na conta corrente e deposita R$100,00. O
resultado será crédito de R$500,00
+400 +100 = +500
Você tem um débito de R$400,00 nas Casas Bahia e um débito de
R$100,00 na Loja Riachuelo. O resultado será um débito de R$500,00.
–400 –100= –500
SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA: Quando subtrair?
Quando temos que saber a diferença (o que vai sobrar) entre
a quantidade de números positivos (créditos) e a quantidade de
números negativos (débitos) nas seguintes situações:
+8-12=-4
-8+12=+4
O senhor Silva tinha R$ 200,00 na conta bancária, mas foi
descontado um cheque de R$500,00. O resultado será um débito de
R$300, 00, pois a quantidade de débito é maior do que o crédito. Veja o
extrato bancário:
+200 –500 = –300
Você tem um débito de R$70,00 e tem R$100,00 na carteira. O
resultado será um crédito de R$30,00.
–70 +100 = +30
Exemplos de situações:
Ex.1: Tenho R$ 12,00 e gastei R$ 8,00 no supermercado. Quanto
sobrou? Crédito ou débito?
Se você respondeu que sobrou R$ 4,00, acertou, pois:
+ 12 - 8 = + 4
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8
Ex.2: Devo R$ 8,00 na padaria e R$ 15,00 no açougue. Tenho débito
ou crédito? Quanto?
Solução: Como tenho duas dívidas, devo somá-las e ficarei com dívida
de 23. Assim: – 8 –15 = –23
Logo, devo R$ 23,00 ou seja, –23 ( valor
negativo).
Regra Prática
* Débito (–) maior que o crédito (+), fico com débito (–). Ex.: –10 + 8 =
–2
*Crédito (+) maior que o débito (–), fico com crédito (+). Ex.: +10 –8 = +
2
*Débito (–) mais débito(–) dá débito (–). Ex.: –2 – 6 = –8
*Crédito (+) mais crédito(+) dá crédito (+). Ex.: +3 + 4= +7
Eliminação de parênteses
Um número só pode ter um sinal. Se houver dois sinais antes do
número fazemos o “jogo” dos sinais:
Jogo dos
Sinais
Dois sinais iguais resulta positivo
Dois sinais diferentes resulta negativo
Observe os exemplos:
– (+ 3) = –3
+ ( –3 ) = –3
sinais diferentes = negativo ( – )
– (– 3) = +3
+ ( +3 ) = +3
sinais iguais = positivo ( + )
A mesma regra você aplica nas operações que têm parênteses:
1º) elimina os parênteses fazendo o “jogo” de sinais.
2º) resolve verificando os sinais de cada nº.
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1º Ex.: (+2) + (–7) = +2 – 7 = – 5
Dois sinais diferentes resulta
2º Ex.: (+2) – (+7) = +2 –7 = -5
3º Ex.: (+3) + (+8) = +3 + 8 = + 11
4º Ex.: (+3) -– (–8) = +3 + 8 = + 11
Dois sinais iguais resulta +
Copie e resolva em seu caderno:
6) Resolva os exercícios em seu caderno, eliminando os parênteses
com o “jogo de sinais”:
a) ( + 4 ) + ( + 5 ) =
Não esqueça de
eliminar os
parênteses em
cada exercício.
b) (+ 4 ) + ( - 6 ) =
c) (– 4 ) + ( - 8 ) =
d) (+ 3 ) – (+ 5 ) =
e) ( + 4 ) – ( - 5) =
f) (–7 ) – ( - 10) =
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:
Regras:
Sinais Iguais , resultado Positivo.
Ex.: (+3) (+2) = + 6
( 3 ) ( 2) = + 6
Perceba que a regra
dos
sinais
da
multiplicação e divisão
é a mesma usada na
eliminação
dos
parênteses.
Sinais Diferentes , resultado Negativo.
Ex.: (+3) ( 2) = 6
( 3) (+2) = 6
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Copie e resolva em seu caderno:
7) Resolva as multiplicações e divisões em seu caderno observando os
sinais.
a)
b)
c)
d)
(+4).(+3)=
( 8).( 1)=
(+9):( 3)=
( 6):( 6)=
POTENCIAÇÃO
(multiplicação com o mesmo número e sinal)
Como a potenciação é um produto de fatores iguais, aplicamos as
mesmas regras de sinais observadas na multiplicação.
Ex.:
1) (+5)² = (+5) (+5) = + 25
2) ( 4)³ = ( 4) . ( 4) ( 4) = 64
Sinais diferentes =
Sinais iguais = +
IMPORTANTE:
Qualquer número inteiro, elevado a um expoente par, tem como
potência um número positivo.
Ex.: (+2)4 = +16 pois +2 . +2 . +2 . +2 = +16
(-3)²= +9 pois –3 . –3 = +9
Qualquer número inteiro, elevado a um expoente ímpar, tem
como potência (resultado) um número com o mesmo sinal da
base.
Ex.: (+3) ³ = +27 pois +3 . +3 . +3 = + 27
(-2) ³ = -8 pois –2 . –2 . –2 = -8
.
Observe algumas
potências especiais:
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a) Todo número elevado a zero é igual a um.
(+7)0 = 1
b) Todo número elevado a um é igual ao próprio número.
(+7)1= +7
c) Toda potência de 10 é calculada escrevendo o número 1
acompanhado de tantos zeros quanto for o nº do expoente.
104 = 10000
102 = 100
Copie e resolva em seu caderno:
9) Copie e responda em seu caderno:
a) ( + 3 )3 =
b) ( -2 ) 4 =
c) ( -1 ) 3 =
d) ( + 8 ) 0 =
e) ( - 7 ) 1 =
f) 10 5 =
RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação
2
Ex. 1:
Ex. 2:
25 = 5 porque (+ 5 ) 2 = 25, pois 5 5 = 25
ou 5 porque ( 5 ) 2 = 5
5= +25
3
2
8 =2
3
8=
ATENÇÃO:
Na raiz quadrada não é
necessário escrever o nº 2
no índice.
23 = 8
2
16
=
16
( 2 )3 = 8
Como qualquer nº elevado ao
quadrado é sempre positivo, não
existe ( ) raiz quadrada de um
numero negativo.
Ex. 3:
-4 =
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Utilize o resumo das regras de sinais para resolver os exercícios
de fixação:
REGRA DE SINAIS:
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
SINAIS IGUAIS ( + + ou – – )
SOMAM-SE OS
NÚMEROS E CONSERVA-SE O SINAL.
EX.: + 3 + 5 = + 8
EX.: – 3 – 5 = – 8
SINAIS DIFERENTES ( + – )
SUBTRAEM-SE OS
NÚMEROS E DÁ O SINAL DO MAIOR NÚMERO.
EX.: + 3 – 5 = – 2
EX.: – 3 + 5 = + 2
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ): resultado +
EX.:( + 6 ) • ( + 2 ) = + 12
– –
EX.:( – 6 ) ÷ ( – 2 ) = + 3 + – –
+
SINAIS DIFERENTES ( + – ): resultado –
EX.:
EX.:
( + 6 ) • ( – 2 ) = – 12 + –
(–6)÷(+2)= –3 – +
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–
–
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Copie e resolva em seu caderno:
1) Relacione as temperaturas da tabela com os itens abaixo:
36,5ºC
18ºC
6000ºC
3ºC
58ºC
88ºC
0ºC
a) Freezer = ......
b) Superfície do sol = ......
c) Recorde mundial de frio ( pólo sul )= .....
d) Temperatura normal do corpo humano= ......
e) Recorde Mundial de calor ( Líbia )= ....
f) Temperatura em que a água transforma-se em gelo= ..
g) Congelador da geladeira= ....
2)
O gráfico mostra os lucros e prejuízos de um supermercado no 1º
semestre de 1999.
Em alguns meses
houve lucro e em
outros prejuízos.
a) Em que mês o
prejuízo foi de
- 30 milhões de reais?
...........................
b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais?
...............................
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?
..............................
3)
Complete os pontilhados eliminando os parênteses e efetue as
operações indicadas:
a) (+2) + (+6) = .........
e) (+6) – (+3) = ............
b) (+7) + (-3) = ..........
f) (-7) – ( -4) = ..............
c) (-9) + (+5) = ..........
g) (-8) – (+2) = .............
d) (-3) + (-4) = ...........
h) (+2) – (+5) = ............
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4)
Resolva as multiplicações e divisões observando as regras dos
sinais:
a)
b)
c)
d)
( -2) . (-5) =
( +4) . ( -2 ) =
(+6):(+6)=
(- 50 ) : ( +10 ) =
5) Efetue as seguintes potências e radiciações :
a) (-1) ³ = ..............
b) (-2) 6= .............
c) (+5)2 = ..............
d) (-5) 0 = ..............
e)
f)
g)
h)
36 = ..............
27 = ................
3
16 =
3
27 =
GABARITO: ESTE MÓDULO NÃO TEM RESPOSTAS.
FAÇA A CORREÇÃO COM O PROFESSOR.
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Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite,
Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a
Oitava Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione
1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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