números decimais e as dízimas periódicas

1
NÚMERO DECIMAL E DÍZIMA PERIÓDICA
A representação chamada número decimal é usada somente para as frações que
têm denominadores iguais a potências de base dez ou podem ser transformadas nessas
frações, para escrever tais números são usados somente vírgula e os algarismos indoarábicos. As potências de base 10 são: 101  10, 102  100, 103  1000, 104  10000, etc.
Uma unidade decimal significa uma fração decimal de numerador igual a um, esse tipo de
fração possui uma notação especial usando apenas “vírgula e os algarismos zero e um”, de
acordo como a seguir:
(a) 1 (um décimo) é a unidade decimal de 1a ordem indicada por 0,1;
10
(b) 1 (um centésimo) é a unidade decimal de 2a ordem indicada por 0, 01;
100
(c) 1 (um milésimo) é a unidade decimal de 3a ordem indicada por 0, 001;
1000
(d) 1 (um décimo milésimo) é a unidade decimal de 4a ordem indicada por 0, 0001,
10000
etc.
Com base na unidade decimal, outras frações podem ser escritas na forma de
número decimal, por esemplo:
(a)
3
10
 3. 1  0,3;
10
(três décimos)
(b)
3
100
 3. 1  0,03;
100
(três centésimos)
(c)
 10  3  10  3 
10
10 10
13
10
(treze décimos)
37
10
(d)
 30  7 
10 10
(trinta e sete décimos)
37
10
(e)
3
100
(três centésimos)
 3. 1  0,03;
100

(um int eiro)
3
(três int eiros)
 3 7 
10
(três int eiros e sete décimos)
(f)
1
0,3

0, 7
;
 um int eiro e 
 três décimos 


(três décimos)

1,3

três int eiros e
sete
décimos 
(sete décimos)
3,7
(três int eiros e sete décimos)
3, 7
;
;
2
 100  30  7
100
137
100
(g)
(cento e trinta e sete centésimos)


1

0,3
0, 07
30  3  0,3

 três décimos, pois 100
10
(um int eiro)

1,37
(sete centésimos)
;
(um int eiro, três décimos e sete centésimos
(h) 137  100  37 
100
100

1
 trinta e sete centésimos 
(um inteiro)

0,37
1,37
;
(um inteiro e trint a e sete centésimos)
2437
1000
(i)
 dois mil, quatrocentos e 
 trinta e sete milésimos 


 2000  400  30  7  2  4  3  7
1000
10 100 1000


2

0, 4
 quatro décimos 
(dois int eiros)


0,03
(três centésimos)
2, 437
0,007
(sete milésimos)
;
(dois int eiros,quatro décimos, três centésimos e sete milésimos)
(j) 2437  2000  437  2  437 
1000
1000
1000


2
(dois inteiros)
0, 437
 quatrocentos e trinta e sete milésimos 
2, 437
.
(dois inteiros, quatrocentos e trint a e sete milésimos)
Tarefa 1. Transforme as frações em números decimais e faça suas leituras, como nos
exemplos (a) até (j): (a) 505 ou 5 5 ; (b) 55555 .
100
100
10000
Observe a forma prática de transformar frações decimais em números decimais:
(b) 13  0,13;
(a) 3  0, 03;
100
100
(dois algarismos decimais)
(dois zeros)
(c) 39  0, 039;
1000
(três algarismos decimais)
(três zeros)
(dois algarismos decimais)
(dois zeros)
(d) 2457  2, 437 .
1000
(três zeros)
(três algarismos decimais)
Tarefa 2. Use a forma prática dos exemplos (a) até (d), para resolver a tarefa 1.
3
Tarefa 3. Como toda fração é a divisão do numerador pelo denominador, os exemplos
podem ser utilizados pela estabelecer regras para a divisão de um número por 10, 100,
1000, etc; enuncie uma regra da tal divisão e use para efetuar 345:100 e 75 :104.
Invertendo o processo para transformar fração em número decimal, pode
transformar número decimal em fração, por exemplo:
Retirando
a
vírgula
(a) 1, 3
13
10
=
Um algarismo
decimal
Retirando
a
vírgula
(c) 0,13
=
Um zero
Retirando
a
vírgula
=
Retirando
a
vírgula
(d) 1,37
10402
10000
14=7;
10 5
(:2)
=
=
Um zero
137 ;
100
Dois algarismos
decimais
Dois zeros
Quatro algarismos
decimais
=
Um algarismo
decimal
13 ;
100
Dois algarismos
decimais
(e) 1,0402
(b) 1, 4
;
Retirando
a
vírgula
Dois zeros
5201 .
(:2) 5000
Quatro zeros
Note ainda que:
3
(a) 10
.10
.10
30
= 100
300
= 1000
.10
.10
.10
3000
= 10000 = ... ou 0,3=0,30=0,300=0,3000=
...
.10
(b) 1,5  1,50  1,500;
(c) 5  5, 0  5, 00  5, 000.
Tarefa 4. Transforme os números decimais em frações: (a) 1,88; (b) 0,128; (c) 0, 028;
(d) 888, 4422.
Outra forma de transformar frações em números decimais é usando o algorítmo
para a divisão não exata de inteiros, continuar a divisão com acréscimo(s) de zeros e
usando vírgula até aparecer resto igual a zero. Observe o seguinte se ab  a : b não é exata,
tem-se
a
r
|b
c
 a:b  c
r
r
 c
b
b
4
10.r 1 10r
mas sendo r 
 .
 0,1.c1  0,c1 onde c1 = 10r , então
b
b 10.b 10 b
a
r
 c   c  0, c1  c, c1.
b
b
Se 10.r  b, multiplique 100; caso
10.r
b
 (10.r) : b não seja exata, continue o processo.
Por exemplo:
(2 . 10)
(a) 2 = 4 = 0,4
5 10
20 5
-20 0,4
0
Colocar 0, e dividir
20 por 5
;
(20:5=4)
(16 . 10)
(b) 16 = 64 = 0,64
25 100
160 25 Colocar 0, e dividir
160 por 25
-150 0,64
100
(100:25=4)
-100
(10 . 10) (160:25 dá 6
0
;
com 10 de resto)
Tarefa 5. Efetuar as divisões: (a) 250 : (625); (b) 4 :128; (c) 100 : ( 64).
Todo número decimal pode ser transformado em fração decimal, mas somente as
11
frações decimais podem ser transformadas em número decimal. Por exemplo: 13 e 12
não são frações decimais pois não existe inteiro que multiplicado por 3 ou por 12 seja
uma potência de base 10. Por exemplo, tentando o processo para achar 1: 3, obtém-se
(1 . 10)
10 3
- 9 0,3
1
Colocar 0, e dividir ,
10 por 3
repetindo o processo vai aparecer no quociente 0,33 com resto igual a 1, isto significa
que nunca vai ser encontrado resto igual a zero e a quantidade de algarismos iguais a três
vai aumentando com a repetição do processo. É comum representar a divisão de 1 por 3,
através do símbolo “ 0,3333... ou 0,3 ”, ou seja, zero vírgula seguida de alguns
algarismos iguais a três acrescido de reticências ou zero vírgula três encimado por uma
barra. Tal representação é dita uma dízima periódica de período igual a três e a fração que
deu origem a dízima é chamada de geratriz da dízima.
Exemplo Resolvido 1. Encontrar
Solução. Tem-se
2
9
e
11
12
na forma de dízima periódica.
5
20
-18
20
-18
2
9
0,22
110 12
,
-108 0,9166
20
-12
80
-72
80
-72
8
e
então 0, 2 e a dízima periódica de período igual a 2 da geratriz
dízima periódica de período igual a seis da geratriz
2
9
e 0,9166... é a
11 .
12
Exemplo Proposto 1. Achar as seguintes frações na forma de dízima periódica: (a)  95 ;
(b)
40 .
33
O processo para obter dízimas periódicas pode ser invertido, a fim de achar a
geratriz de uma dada dígima periódica. Para isso é necessário classificá-las em: dízima
simples, isto é, as que o período inicia logo após a vírgula, por exemplo, 0,333... e
1,1212...; dízima composta, ou seja, as que não são simples, por exemplo, 0,91666... e
2,32121.... Observe a seguir as dízimas:
(a) Simples, por exemplo, 0,3333...  3  1 , 0, 222...   2 , 0,1515...  15  5
e
9 3
9
99 33
2, 2727...  2 27  2 3 ;
99
11
0,9166...  916  91  825  11
(b) Compostas,
por
exemplo,
e
900
900 12
5, 422...   5  42  4   5  38   5  19  5 19   244 .
90
90
45
45
45

 
 

Então, pode-se escrever, a geratriz de uma dízima periódica:
(a) Simples é a fração de numerador igual ao período e denominador constituído de tantos
algarismos iguais a nove quanto for a quantidade de algarismos do período;
(b) Composta é a fração de numerador igual a parte não periódica seguida do período
menos a parte não periódica e denominador constituído de tantos algarismos iguais a
nove quanto for a quantidade de algarismos do período seguidos da quantidade de zeros
quanto for a quantidade de algarismos da parte não periódica.
Tarefa 6. Transformar as dízimas em fração: (a) 0,99...; (b) 0, 0444...; (c) 34,342323....
As operações fundamentais com números decimais, podem ser efetuadas,
transformando-as para frações decimais e usando o conhecimento sobre as operações
fundamentais com números racionais. Na prática, são estabelecidas regras para evitar a
transformação, como a seguir.
(a) Adição e subtração de números decimais. Por exemplo, a adição 0,34  2, 215, temse
6
0,34  2,915  34  2915  340  2915  3255  3, 255,
100 1000 1000 1000 1000
ou então
0,340 (pois 0, 34  0, 340)
2, 215
2,555
onde os números foram dispostos com as vírgulas na mesma linha vertical em seguida
adicionados como inteiros. Outro exemplo, a adição 21, 456  15,121 , obtém-se
21, 456
15,121
 6,335
onde o sinal negativo se refere a regra para adição de inteiros.
(b) Multiplicação de números decimais.
Inicialmente, considere o produto de números decimais por potências de base 10,
por exemplo:
2,365.10  2365 . 10  23650  23, 65;
1000 1
1000
(A vírgula é deslocada uma posição à direita)
0,156.100  156 . 100  15600  156, 00  156;
100 1
100
(A vírgulada é deslocada duas posições à direita)
21,98.1000   2198 . 1000   2198000  21980, 0  21980; etc.
100
1
100
(A vírgula é deslocada três posições à direita)
Assim, para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a
vírgula do número decimal para à direita a quantidade de algarismos igual a quantidade de
zeros.
Seja agora a multiplicação de um número inteiro por um decimal, por exemplo:


2.(5, 65)  2.  565   1130  11,30;
100
100
(Dois algarismos decimais)
7
3.65,371  3. 65371  196113  196,113.
1000
1000
(Três algarismos decimais)
Finalmente, para multiplicar dois números decimais, por exemplo:
1,5.4, 7  15 . 47  705  7, 05;
10 10 100


 (Um
algarismo decimal)
(Um algarismo decimal)
(Dois algarismos decimais)
2, 7.3, 455   27 . 3455   93285  9,3285.
10 1000
10000



(Três algarismo s decimais)
(Quatro algarismos decimais)
(Um algarismo decimal)
Isto é, os números são multiplicados como se fossem números inteiros e a vírgula é
colocada nesse produto, de forma que a quantidade de algarismos decimais seja a mesma
da soma das quantidades de algarismos decimais dos dois fatores.
Tarefa 7. Efetue a adição e multiplicação indicadas:
(a) 12,529 + 9,95;
(b) 9,95 - 12,529; (c) 0, 015 . 100; (d) - 42,5 . 9; (e) 0, 001199. 1, 01199.
(c) Divisão de números decimais.
Inicialmente, considere a divisão de números decimais por potências de base 10,
por exemplo:
2,365 :10  2,365. 1  2,365.0,1  0, 2365;
10
(A vírgula é deslocada uma posição à esquerda)
0,156 :100  0,156. 1  0,156.0, 01  0, 00156.
100
(A vírgulada é deslocada duas posições à esquerda)
Logo, para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc basta deslocar a vírgula do
número decimal para à esquerda a quantidade de algarismos igual a quantidade de zeros.
Para dividir um número decimal por outro qualquer diferente de zero, por exemplo:
100 500
5:0,25 = 5: 25 = 5 .
=
= 500:25 = 20
25
25
100
5,00 : 0,25 = 500,0 : 25,0 = 20;
(Vírgulas deslocadas dois algarismos à direita)
8
0,25:5 =
1
25
25
:5 =
.
100
100 5
=
25
= 25.500 = 0,05
500
0,25.5,00 = 25,0:500,0 = 0,05;
(Vírgulas deslocadas dois algarismos à direita)
-22,3:(-3,45) =
(
)
223 .
223 345
:
=
10
10
100
22300 2230
=
=
= 2230:345 = 1,5
( 100
345
345 ) 3450
(Regra dos sinais na divisão)
-22,3:(-3,45) = +2230,0:345,0 = 1,5
(Vírgulas deslocadas dois algarismos à direita)
Portanto, para dividir um número decimal por outro diferente de zero, desloca-se a
vírgula do divisor e dividendo para direita tantos algarismos quanto maior for a quantidade
de algarismos decimais do divisor e dividendo, então efetua-se a divisão dos inteiros.
Exemplo Resolvido 2. Efetuar a divisão  0,375 :1,5.
Solução. Como  0,375 :1,5  375 :1500, tem-se
3750 1500 ,
3000 0, 25
7500
7500
0
assim  0,375 :1,5   0, 25.
Exemplo Proposto 2. Calcular 3,892 : (5, 6).