MATEMÁTICA 7 MATEMÁTI CA Alexandre Luís Trovo n de Car v Lourisnei alho For tes Re is O s livros de Matemática da coleção Interativa apresentam os conteúdos de modo inovador, possibilitando a construção do conhecimento matemático de forma significativa, prática e contextualizada. Nos quatro volumes, a Matemática é relacionada a problemas atuais e aos interesses dos alunos, por meio da apresentação de situações de investigação nas quais o uso de ferramentas matemáticas é indispensável. Assim, as ideias e os conceitos são aplicados a fim de satisfazer essa necessidade. A proposta inova ao introduzir as funções e o estudo da geometria em todos os anos escolares. Além disso, estão disponíveis desafios, projetos e atividades complementares que favorecem a compreensão e o aprofundamento do conhecimento matemático. 29486_29490_Matemática_7A 7 7 Rone Proj. Gráf. Editor(a) Coor. Ped. LIVRO DO PROFESSOR C. Q. Dep. Arte 7 MATEMÁTI CA 29486 / Matemática 7º ano Alexandre Luís Trovo n de Carva Lourisnei lho Fortes Re is LIVRO DO PROFESSOR Rone Designer Editor Coord. Ped. Casa Publicadora Brasileira Tatuí, SP C. Qualidade Dep. Arte 29486_ABERTURA.indd 1 17/07/15 08:42 Direitos de publicação reservados à Casa Publicadora Brasileira Rodovia SP 127 – km 106 Caixa Postal 34 – 18270-970 – Tatuí, SP Tel.: (15) 3205-8800 – Fax: (15) 3205-8900 Ligação Gratuita: 0800-112710 E-mail: [email protected] Autores | Alexandre Luís Trovon de Carvalho • Graduado em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP • Mestre em Matemática Aplicada pela Unicamp – Campinas – SP •D outor em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP Gerência de Didáticos Alexander Dutra Coordenação Pedagógica Carmen Souza Lourisnei Fortes Reis • Graduado em Ciências com Habilitação em Matemática pela Unijuí – Ijuí – RS •G raduado em Pedagogia pela Famo – São Paulo – SP Coordenação Editorial Adriana Teixeira Editoração Cristhiane Chagas e Fernanda Loiola Barbosa Revisão Cecília Ortolan e Priscila Rostirolla Projeto Gráfico e Capa Enio Scheffel Jr., Fernando Lima e Sandra Ferreira Barbosa Imagens da Capa Fotolia Programação Visual Leonardo Alves e Rone Souza Ilustrações Ilustra Cartoon Consultoria Pedagógica Antonio Marcos Alves Carlo Magnus Melo Bergamaschi Rodrigo Augusto Santos Silva IMPRESSO NO BRASIL/Printed in Brazil 6a edição – 1a impressão 2015 29486 / Matemática 7º ano 5a edição – 1a impressão 2015 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Carvalho, Alexandre Luís Trovon de Matemática, 7 / Alexandre Luís Trovon de Carvalho, Lourisnei Fortes Reis. – 6. ed. – Tatuí, SP : Casa Publicadora Brasileira, 2015. Suplementado pelo Livro do professor. ISBN 978-85-345-2172-7 (aluno) ISBN 978-85-345-2173-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Reis, Lourisnei Fortes. II. Título. Rone Designer CDD-372.7 15-00316 Editor Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Filial Brasília, DF Fone: (61) 3321-2021 Filial Recife, PE Fone: (81) 3031-9941 Filial Campo Grande, MS Fone: (67) 3321-9463 Filial Rio de Janeiro, RJ Fone: (21) 3872-7375 Filial Curitiba, PR Fone: (41) 3323-9023 Filial Salvador, BA Fone: (71) 3322-0543 Filial Fortaleza, CE Fone: (85) 3252-5779 Filial Santo André, SP Fone: (11) 4438-1818 Filial Goiânia, GO Fone: (62) 3229-3830 Filial Sé – São Paulo, SP Fone: (11) 3105-5852 Filial Hortolândia, SP Fone: (19) 3503-1070 Filial Unasp – Eng. Coelho, SP Fone: (19) 3858-1398 Filial Moema – São Paulo, SP Fone: (11) 5051-1544 Filial Vila Matilde – São Paulo, SP Fone: (11) 2289-2021 Coord. Ped. C. Qualidade Dep. Arte Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, sem prévia autorização escrita do autor e da Editora. Conheça nossa linha completa de materiais didáticos – da Educação Infantil ao Ensino Médio – e de literatura infantojuvenil. Acesse: cpbeducacional.com.br Ligue: 0800-112710 Tipologia: Cronos Pro Light, 13/17 – 7079/29486 (A) – 7080/29490 (P) 29486_ABERTURA.indd 2 17/07/15 08:42 APRESENTAÇÃO Oi, colega! Junte-se a nós! Nossa aventura pela Matemática continua, e queremos que você participe dela conosco. Ao estudar com esta coleção, você vai se deparar com situações intrigantes que o(a) ajudarão a conhecer mais sobre o mundo em que vivemos e a entender como a Matemática aparece nas mais diversas circunstâncias do dia a dia. No fim de cada unidade, você encontrará uma atividade especial, em que poderá aplicar os conhecimentos que adquiriu às mais variadas áreas, tais como: ecologia, meio ambiente, artes, entre outras. Lembre-se de que você não estará sozinho(a) nessa aventura. Seus colegas de classe e seu professor estarão ao seu lado! Junto com o professor Roberval, você fará grandes descobertas. Ele sempre estará por perto para dar uma mãozinha com dicas e explicações. Você explorará a matemática das abelhas, observará como os conhecimentos matemáticos facilitam o nosso cotidiano e muito mais. Alguns assuntos aparecerão diversas vezes nessa jornada a fim de relembrar o que você já viu e abrir caminho para aquisição de novos saberes. Você também poderá partilhá-los com os colegas por meio de trabalhos em grupo. Isso porque a matemática é algo que as pessoas aprendem e descobrem juntas. © Budimir Jevtic | Fotolia Divirta-se! 29486_ABERTURA.indd 3 Esperamos que essa aventura seja divertida e prazerosa. Muitos jogos e atividades interessantes são apresentados para que você sinta prazer em aprender. Você construirá suas próprias obras de arte e solucionará vários desafios. Lembre-se: aprender pode ser muito divertido, mas exige tempo e esforço. Mais que isso, requer o pensar constante. Esperamos que você aprenda e pense bastante! Faça da mente seu laboratório e mãos à obra! 29486 / Matemática 7º ano Descubra! Rone Designer Editor Coord. Ped. C. Qualidade Dep. Arte 17/07/15 08:42 SUMÁRIO UNIDADE 1 Capítulo 5 – Funções e gráficos������������145 Capítulo 1 – Números ������������������������ 6 1. Múltiplos e máquinas��������������������������������������������� 2. Divisibilidade �������������������������������������������������������������� 3. Critérios de divisibilidade��������������������������������������� 4. Números primos������������������������������������������������������� 5. Múltiplos comuns e operações com frações���������������������������������������������������������������� 6. Multiplicação e divisão de frações ������������������� 7. Multiplicação e divisão de decimais������������������ Ciências – A matemática das abelhas����������������� 6 12 18 25 31 35 41 49 Capítulo 2 – Um mundo de formas geométricas������������������������������������� 52 29486 / Matemática 7º ano 1. Representações e decomposições��������������������� 2. Olhando de maneiras diferentes������������������������ 3. Experiências com sólidos ������������������������������������� 4. Contornos e polígonos ����������������������������������������� 5. Paralelas e perpendiculares����������������������������������� 6. Medindo e utilizando ângulos��������������������������� 7. Simetrias����������������������������������������������������������������������� Cidadania – Brasileiros em Ruanda����������������������� Rone Designer Editor Coord. Ped. C. Qualidade Dep. Arte 52 59 65 66 73 78 87 94 Capítulo 3 – Números negativos����������� 95 1. O que são números negativos?��������������������������� 2. Representação de números negativos������������� 3. Somando e subtraindo������������������������������������������ 4. Multiplicando e dividindo ������������������������������������ Saúde – Alimentos e suas calorias�������������������������� Projeto�������������������������������������������������������������������������������� 95 102 106 113 119 120 UNIDADE 2 Capítulo 4 – Expressões e equações������122 1. Modelos para expressões�������������������������������������� 2. Sentenças envolvendo letras�������������������������������� 3. Equações – Que bichos são esses?�������������������� 4. Sistemas – Tentativa e erro ���������������������������������� Criptografia – A matemática dos códigos��������� 29486_ABERTURA.indd 4 122 127 132 139 144 1. Pontos e coordenadas�������������������������������������������� 2. Representação cartesiana�������������������������������������� 3. Forma algébrica das funções������������������������������� Cidadania – Funções no dia a dia ������������������������� Projeto������������������������������������������������������������������������������� 145 152 160 168 169 UNIDADE 3 Capítulo 6 – Tudo nas devidas proporções��������������������������������������� 174 1. Grandezas e relações entre elas�������������������������� 2. Funções e grandezas diretamente proporcionais������������������������������������������������������������� 3. Fotos, mapas e plantas������������������������������������������� 4. Proporções que variam inversamente�������������� 5. Equações, proporções e regra de três��������������� Ciências – As proporções do corpo��������������������� Projeto������������������������������������������������������������������������������� 174 180 186 191 196 202 203 UNIDADE 4 Capítulo 7 – Medindo superfícies e volumes�210 1. Calculando a área de figuras�������������������������������� 2. Blocos e volumes������������������������������������������������������ 3. Calculando o volume de blocos������������������������� Ciências – Deslocamento e volume��������������������� 210 216 225 231 Capítulo 8 – Tratamento da informação ���232 1. Porcentagem na análise de informações��������� 2. Moda, mediana e ferramentas para a análise de informações��������������������������������������� 3. Pictogramas e gráficos de setores��������������������� Cidadania – Expectativa de vida���������������������������� Projeto������������������������������������������������������������������������������� Atividades complementares ��������������� Glossário ��������������������������������������� Referências������������������������������������� Material de apoio����������������������������� 232 239 246 255 256 259 289 293 297 22/07/15 07:51 UNIDADE 1 Imagens: © Famveldman. Chunumunu, Agsandrew e Barneyboogles | Fotolia ü Múltiplos e divisores de um número ü Múltiplos comuns ü Operações com frações e números decimais ü Representações e decomposições de formas geométricas ü Retas perpendiculares, paralelas e oblíquas ü Simetria de rotação, translação e reflexão ü Representação de números negativos ü Operações com números negativos 29486 / Matemática 7º ano TEMAS DESTA UNIDADE Rone Designer Editor Coord. Ped. C. Qualidade Dep. Arte 5 29486_UNID_1_Cap_1_5_51.indd 5 17/07/15 08:32 1 NÚMEROS © Vlastimil Šesták | Fotolia Por meio da ideia de máquinas e funções, este estudo tem por objetivo construir a sequência de múltiplos de um dado número explorando o fato de que essa sequência é infinita. 29486 / Matemática 7º ano 1. MÚLTIPLOS E MÁQUINAS Na natureza, diversas formas seguem padrões. Elas se organizam de maneira regular, seguindo princípios que podem ser geométricos ou numéricos. Recentemente, descobriu-se que alguns tumores se desenvolvem mais ou menos de acordo com certas regras matemáticas. Por essa razão, hoje os cientistas estudam propriedades de formas geométricas, chamadas fractais, buscando um diagnóstico mais rápido e preciso para esses tipos de câncer. O que são fractais? Essa figura colorida é bem legal, mas não me diz muita coisa... Fractais são formas geométricas construídas de acordo com determinada regra, como uma sequência. Rone Designer Editor Coord. Ped. A. L. T. C. C. Qualidade Fractal produzido em computador. Dep. Arte 6 Nas situações a seguir, conheceremos alguns fractais. Na página 13 das “Orientações ao Professor”, as atividades 1, 2 e 3 exploram as regularidades, a multiplicação e o uso de calculadora. 29486_UNID_1_Cap_1_5_51.indd 6 17/07/15 08:32 Situação 1 Partindo de um triângulo, podemos formar a sequência abaixo. Podemos também associar uma sequência numérica à sequência de figuras contando o número de triângulos em cada etapa. 1 figura 2 9 27 figura 3 Você saberia dizer como essa sequência foi formada? Confira o processo passo a passo. 1. Desenhamos um triângulo equilátero (figura 1). 2. Marcamos a metade do comprimento de cada lado e unimos esses pontos formando um triângulo menor. Retirando esse triângulo, obtemos a figura 2. 3. Repetimos o que foi feito no passo anterior para cada um dos triângulos formados, obtendo a figura 3. Podemos repetir o passo 2 para os triângulos pequenos da figura 3? Claro que sim! Dessa forma, obteremos um total de 27 triângulos na nova figura. Sendo assim, o número de triângulos em cada etapa é dado pela seguinte sequência numérica: 1, 3, 9, 27 Você é capaz de descobrir qual é o próximo termo da sequência? Afinal, quantos triângulos a próxima figura terá? A próxima figura terá 81 triângulos. Situação 2 Na máquina abaixo, todo número colocado na entrada sai multiplicado por 5. Assim, dizemos que a regra dessa máquina é “×5” (vezes 5). Inserindo o número 3, por exemplo, o resultado obtido será 15; colocando 10, o resultado será 50, e assim por diante. 29486 / Matemática 7º ano figura 1 3 Ro g ério Chim ello 5 Rone Observando a figura 3, podemos determinar o próximo termo (figura 4). Designer Editor Coord. Ped. figura 3 figura 4 Os valores de entrada e saída podem ser representados por meio de uma tabela ou de esquemas, conforme demonstrado a seguir. 7 29486_UNID_1_Cap_1_5_51.indd 7 17/07/15 08:32 C. Qualidade Dep. Arte 5 Entrada Mas como saber se um número é múltiplo de 5? Por exemplo, 235 é múltiplo de 5? Saída 0 0 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 entrada 5 saída 1 5 5 2 5 10 3 5 15 Para saber se 235 é múltiplo de 5, devemos verificar se existe algum número inteiro que, ao ser colocado na entrada da função , tem como 5 resultado 235. número procurado Na entrada da máquina, inserimos os números 0, 1, 2, 3, 4, e assim respectivamente. Na saída, é observada a seguinte sequência: 5 235 Observe que a função ÷5 desfaz aquilo que é feito por 5 . Dessa forma, podemos determinar o número procurado: 5 número procurado 0, 5, 10, 15, 20, ... 235 29486 / Matemática 7º ano ÷5 Os números que saem da máquina apresentam intervalos de 5 em 5. E não é só isso: todo elemento dessa sequência é o resultado da multiplicação de algum número inteiro por 5. Desse modo, dizemos que ela é a sequência dos múltiplos de 5, ou seja, cada um de seus elementos é um múltiplo de 5. Efetuando a divisão, descobrimos que 235 ÷ 5 = 47. Portanto, o número procurado é 47. Descobrimos também que 235 é o resultado da multiplicação de 47 por 5, isto é, ele é múltiplo de 5. Agora, façamos um teste com o número 238. Você saberia dizer se ele é múltiplo de 5? Não, pois 238 não é divisível por 5. ATIVIDADES 1 Observe as etapas na construção da sequência a seguir, em que foram utilizados palitos de fósforo. Rone Designer Editor Coord. Ped. etapa 1 etapa 2 etapa 3 Quantos palitos de fósforo serão necessários para formar o elemento da próxima etapa? C. Qualidade 11 Dep. Arte 13 15 8 29486_UNID_1_Cap_1_5_51.indd 8 17/07/15 08:32 2 Em um restaurante, as mesas e as cadeiras podem ser organizadas formando a seguinte sequência: b) Sem desenhar, tente descobrir como o número de bolinhas aumenta de uma etapa para a seguinte. Converse com seus colegas a respeito disso. A diferença entre um termo e o seu anterior aumenta de 1 em 1. Sendo assim, 3 – 1 = 2, 6 – 3 = 3, 10 – 6 = 4, 15 – 10 = 5, formando a sequência 2, 3, 4, 5 a partir do resultado dos termos. 4 Encontre a sequência de múltiplos dos números a seguir. a) Complete a tabela de acordo com a sequência encontrada. Número de cadeiras b) 5 = 0, 5, 10, 15, … c) 9 = 0, 9, 18, 27, 36, … 1 4 d) 10 = 0, 10, 20, 30, … 2 6 e) 11 = 0, 11, 22, 33, … 3 8 4 10 5 12 5 Preencha a tabela. Sim b) Quantas cadeiras estarão disponíveis para 10 mesas, organizadas conforme a sequência? 16 20 22 3 Observe o número de bolinhas de cada etapa da sequência abaixo. 140 336 868 315 é múltiplo de 8? 7? 6? 9? Não X X X X Junte-se a 2 ou mais colegas para realizar as atividades 6, 7 e 8. 6 Algumas vacas estão pastando em um campo. Cada uma delas carrega três sinos no pescoço. Contando os sinos das vacas, o resultado poderá ser 53? Poderá ser 51? Expliquem a resposta. 29486 / Matemática 7º ano Número de mesas a) 2 = 0, 2, 4, 6, 8, … Rone Designer 1 3 6 10 15 Editor a) Quantas bolinhas o próximo elemento da sequência terá? Coord. Ped. C. Qualidade O resultado não poderá ser 53, pois esse número 18 21 30 não é múltiplo de 3. Mas poderá ser 51, já que 3 · 17 = 51. 9 29486_UNID_1_Cap_1_5_51.indd 9 17/07/15 08:32 Dep. Arte