notas de aula #4

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professor: Renato Medeiros
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
NOTA DE AULA IV
Goiânia - 2014
MAGNETISMO
As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas.
Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos magnéticos, entre os
quais destacamos:

Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade por
certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã.

Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e polos de
nomes contrários se atraem.

Inseparabilidade dos polos – Quando uma barra de um imã é cortada, ao invés de
obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois imãs, cada um dos
quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter um polo magnético
isolado.
Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos imãs, não
havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o cientista dinamarquês
Hans Cristian Oersted (1777 – 1851) observou que a agulha de uma bússola era defletida
quando colocada próxima de um fio por onde passava uma corrente elétrica. Doze anos mais
tarde, o físico inglês Michael Faraday (1971 – 1867) verificou que aparecia uma corrente
momentânea em um circuito, quando, em um circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia
uma corrente.
Campo Magnético
Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico E ) em
todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um campo vetorial
(o campo magnético B ) em todos os pontos no espaço ao seu redor.
Linhas de Indução de um Campo Magnético
As linhas de campo saem do polo norte e chega ao polo sul.
1
Força magnética sobre cargas elétricas em movimento
A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o
produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B .
F = q v B
 F = q v B sen 
onde:
F  é o módulo da força magnética que atua na carga q
v  é o módulo da velocidade de q
B  é o módulo do campo magnético
Direção e sentido da força magnética
Regra da mão direita.

dedão  FB


dedos  v  B
2
Unidade de campo magnético
A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por
conveniência, esta unidade e chamada de tesla () .
1
N .s
= 1 tesla = 1 
C.m
Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo:
  entrando pelo plano
 saindo pelo plano
Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme
1o Caso:
A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso  = 0o ou 
= 180o  sen  = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um movimento
retilíneo e uniforme.
2o Caso:
A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o ângulo
entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o sen é igual
a um, e a força magnética é constante e igual a: FB  qvB , essa força é apontada para o centro
da curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme.
3
Cálculo do raio da trajetória
Fmagnética = Fcentrípeta
v2
F  m  qvB
r
mv
r
qB
Cálculo do período ( T )
Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa.
T
2 r 2 mv

v
vqB
T
2 m
qB
Observe que o período T não depende da velocidade.
3o Caso:
A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a
componente v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v
(perpendicular ao campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois
movimentos é um movimento helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice
cilíndrica.
O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira:
4
p  v T  v cos 
p
2 m
qB
2 mv
cos   2 r cos 
qB
EXERCÍCIO
1. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita,
com uma velocidade
perpendicular a
v
v
. Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético
B,
, de tal modo que a força magnética equilibre o peso da
partícula.
a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor
B
para que isto aconteça?
b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q =
2,0 .10- 7 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de
B.
R: a)  B b) 1,96 T
2. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se
deslocam com uma velocidade
v
muito elevada. Desejando medir o valor desta
velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos
uniformes,
de
E
e
B
E
e
B,
mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores
ele verificou que , quando E = 1,0x103 N /C e B = 2,0x10- 2 T , os íons
atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na figura . Com
estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de
v
. Qual foi o valor
4
encontrado por ele? Despreze a massa do íons. R: 5x10 m/s
3. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10- 7 kg penetra , com
uma velocidade v = 20 m/s , num campo magnético uniforme de indução B = 4,0
T através de um orifício existente no ponto O de um anteparo. R: 0,5 m
a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo, até incidir pela primeira
vez no anteparo.
b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no anteparo.
5
4. Um elétron que tem velocidade
num campo magnético
B
v
= (2,0x10 6 m/s )
= ( 0,03 T )
i
i
+ ( 3,0x10 6 m/s )
j
penetra
- ( 0,15 T ) j . Determine o módulo, a
direção e o sentido da força magnética sobre o elétron. R: 6,24x10-14 N na direção
positiva do eixo z
5. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i +
(35 km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-se
que Bx = 0, calcular as componentes By e Bz do campo magnético. (1fN = 10 – 15
N). R: By=0 e Bz=0,75T
6. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,20 x 106 m/s num campo
magnético de intensidade 83,0 mT. (a) Sem conhecermos a direção do campo,
quais são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a
este campo? (b) Num certo ponto a aceleração do elétron é 4,90 x 1014 m/s2. Qual
o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? A massa do elétron é
9,11 x 10-31 kg. R: a) 0 e 9,44x10-14 N b) 0,27º
7. Um próton que se move num ângulo de 230 em relação a um campo magnético de
intensidade 2,6 mT experimenta uma força magnética de 6,50x10-17 N. Calcular
(a) a velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do próton. A
massa do próton é 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J. R: a) 4x105 m/s b) 835 eV
8. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons
em
experiências
físicas.
Que
campo
magnético
uniforme,
aplicado
perpendicularmente a um feixe de elétrons que se move a 1,3x106 m/s, é
necessário para fazer com que os elétrons percorram uma trajetória circular de raio
0,35 m? R: 2,11x10-5 T
9. (a) Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular
percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 Km/s).
(b) Qual é a sua energia cinética em elétron - volts? R: a) 3,41x10-4 m b)
2,56x103 eV
10. Um elétron com energia cinética de 1,20 keV está circulando num plano
perpendicular a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm.
6
Calcular (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético. R: a)
6,49x107 m/s b) 1,48x10-3 T
11. Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma “janela” de folha de
alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela existe
uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). (a) Mostre
que é possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B
tal que:
B
2mK
e2 d 2
Onde me e a massa e a carga do el[étron. (b) Qual deve ser a orientação do campo elétrico
B?
12. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemática na
figura abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons.
Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons
passam por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido
pelas placas carregadas P e P´ sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma
velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo campo magnético
B ' que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno)
registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é
dada por q / m  E / rBB , onde r é o raio do semicírculo.
'
13. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a
seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade
7
perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de
sua trajetória no campo magnético.
R: a) 1,11 x 107 m/s b) 3,16 x 10-4 m
Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica
Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for
colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado
na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por
F  iL  B  F  B i L sen
onde:
F  é a força magnética que atua no fio
L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L  é um vetor de intensidade
L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da
corrente elétrica.
ϕ  é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L .
Direção da força magnética
A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a força
magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F
pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda.
Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica.
8
O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por
forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma
corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque
na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.
Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado
por:
  B,
onde  é o momento magnético dado por:   NiA , onde N é o número de espiras e A é a
área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição de
produto vetorial, temos:
   Bsen
  NiABsen
EXERCÍCIO
14. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10- 2
kg , percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se em
equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo magnético
uniforme
B
, conforme mostra a figura abaixo. Determine: R: a) 4,9x 10-2 T; b)
para direita
a) A intensidade do vetor
B
.


B



b) O sentido da corrente i .
9
15. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por
uma corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo
magnético dado por
B
= (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética
sobre o fio. R: (-2,5x10-3 N) j + (7,5x10-4N) k
16. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um
ângulo de 35 o com um campo magnético uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor da
força magnética sobre o fio . R: 20,13 N
17. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso por um
par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo
0,440 T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine (a) o valor
absoluto e (b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente necessária
para remover a tensão dos contatos. R:a) 0,47 A; b) a Corrente está para a direita.
18. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é
acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra
sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através
de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte
pelo outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de
10 kN? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja
igual a 10 μT e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será
dissipada para cada ohm de resistência nos trilhos? (c) Um trem como este é real.
R: a)3,33x108 A; b) 1,11x1017 W; c) não.
Campo magnético gerado por corrente elétrica
Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de
campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.
10
Lei de Biot – Savart
O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode
ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por
um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds
e definir para cada elemento um vetor comprimento
ds. Se definirmos um elemento de corrente i
contribuição
dB
ds
ds ,
de módulo ds e sentido da corrente em
a lei de Biot – Savart assegura que a
do campo magnético, devido ao elemento de corrente i
ds ,
num ponto P , a
uma distância r do elemento de corrente, é dado por:
dB 
0i d s  r
4 r 3
Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração,
as contribuições dB de todos os elementos de corrente.
Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo
valor é: o =4  x10-7T.m/A.
11
Campo Magnético no centro de uma espira circular
Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do
campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i.
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:
dB 
o ids  r
o idsrsen90o o ids

dB


4 r 3
4
r3
4 r 2
int egrando :
o ids
 dB   4
B
o i
4 r 2
B  o
2 r
r2
o i
 ds  4 r
2
2 r
0
i
2r
LEI DE AMPÈRE
Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer distribuição de
correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, podemos ter que usar
um computador para o cálculo.
A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do
campo magnético B em torno de qualquer trajetória fechada é igual a  0 vezes a corrente
líquida que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja, para uma curva amperiana
(curva fechada), temos que:
 B.ds   i
0
A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é a
corrente líquida englobada pela curva amperiana.
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo
12
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do
campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo.
Usando a lei de Ampère
 B.ds   i
 Bds cos 0   i
B  ds   i  B 2 r   i
o
o
o
o
o
Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por:
B
o i
2 r
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo
Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo
retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio.
13
 B.ds  
int erior
o
io
B 2 r  oio
oio
2 r
B
.
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente
tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio:
J  Jo 
io 
i
i
i io
 o 
A Ao
 R2  r 2
ir 2
R2
Substituindo, temos:
o i
 ir 2
 o . 2
2 r 2 r R
oir 

 B  2 R 2 


B
Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro
do fio e máximo na superfície, onde r = R.
Campo magnético de um solenóide
Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de
espaçamento muito próximo. Se uma corrente percorre o solenoide ela induz campos
magnéticos em seu entorno.
14
O vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto no interior de um
solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético tem as seguintes
características:
- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central.
- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.
- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte
e Sul.
- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à
intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do
solenoide.
B  0in
onde:
n  é o número de espiras por unidade de comprimento.
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no
interior de um solenoide.
 B.ds   i
o env
b
c
d
a
a
b
c
d
 0 B  0
 0 B  ds
 B.ds   B.ds   B.ds   B.ds
 0 B  ds
 oienv
15
b
 B.ds   i
o env
a
Bh  oienv
Bh  oinh
 B  oin
Campo Magnético de um Toróide
O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de
um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu.
O módulo do campo magnético B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo
em forma de pneu) é dado por B 
0iN
.
2 r
Onde:
i  é a corrente nos enrolamentos do toróide
N  é o número total de voltas
r  é a distância do ponto até o centro do toróide
Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas
Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre
o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distância d.
16
A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por
Fb  ib LBa
O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a:
Ba 
oia
2 d
Substituindo esta equação na equação da força temos que,
Fb  ib LBa  ib L
oia
2 d
o Lia ib 

 F  2 d 


Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos
opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo
sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se
repelir.
EXERCÍCIO
19. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na
qual existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o valor do campo
magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá
17
interferir seriamente na leitura da bússola? O componente horizontal do campo
magnético da Terra no local é de 20 μT. R:a) 3,33x10-6T; b)sim.
20. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a
direita. Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 7 m/s ao passar a
5 cm deste fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver
orientada (a) verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita?
21. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas
correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a
direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. R: 1,0x10-5 T 
i1 = 3A
i2 = 4A
P
2 cm 4 cm
22. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6 cm e R2 = 24
cm são percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b)
anti-horário
a) Determine a relação entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no
centro das espiras é nulo.
b) Se i1 tem sentido horário, qual o sentido de i2.
23. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos
são L1 = 20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a)
igual ; b) maior c) B2 = 3x10-3 T
a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na
bobina (2)?
b) O campo magnético B1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo
magnético B2 no interior da bobina (2)?
c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10- 3 T, qual é o valor de B2?
24. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T
. Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A
25. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num
campo magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura
18
abaixo. Localize os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos
pontos sobre uma reta a 4 . 10-3 m abaixo do fio.
26. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que
correntes de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo
magnético a meia distância entre eles tenha módulo igual a 300 μT? R: 30A em
sentidos opostos
27. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao
plano da página, como mostra a figura abaixo. O fio 1 transporta uma corrente de
6,5 A para dentro da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio
2 para que o campo magnético resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora
da página.
19
28. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15
cm, submetem um ãngulo θ = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o
mesmo centro de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro
ou para fora do papel) do campo magnético no ponto C
29. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26
cm e dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um.
A corrente no fio é i = 34,8 mA. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para
dentro ou para fora do papel) do campo magnético no centro de curvatura C da
semicircunferência.
30. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma
espira retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. Suponha que a = 1,00 cm e b
= 8,00 cm e L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que
está submetida a espira? R :  3, 2 x103 N  ˆj
31. A figura abaixo mostra um seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00
cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o módulo do campo
20
magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a (a) 0; (b)
1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfície do fio); (d) 4,00 cm.
32. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e
b que conduz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no
intervalo b < r < a, o módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo
central do condutor é dado por B 
o i
r 2  b2
. (b) mostre que, para r =
2  a 2  b 2  r
a, a equação do item (a) fornece o módulo B do campo magnético na superfície do
condutor; para r = b, o campo magnético é zero; para b= 0, a equação fornece o
módulo do campo magnético no interior de um condutor cilíndrico maciço de rio
a.
FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
Fluxo do campo magnético
Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o
conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico
(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas
de campo magnético que atravessam determinada superfície.
Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A,
colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético através
desta espira é
21
B   B.dA
Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma área
diferencial dA .
dA
B

A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber
(abreviado por Wb)
1 weber = 1wb = 1T.m2
Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície
de área A e que o ângulo  seja constante, temos que:
B  B A cos
onde:
B
- é o fluxo magnético através da superfície de área A
 - é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética
Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora,
aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa
de variação do fluxo magnético através dessa espira.

d  B
dt
Para uma taxa de variação constante no fluxo (  constante), temos que:   
B
t
Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de
forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético  B atravesse todas as voltas, a fem
total induzida na bobina é:
 
NdB
dt
22
Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo
magnético que atravessa uma bobina.
1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina.
2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde
existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do
campo).
3. Variando o ângulo  entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o
campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo
a esse plano).
LEI DE LENZ
O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do
fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se
obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida
podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei
de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira:
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético
produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira.
EXERCÍCIO
33. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um
diâmetro de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da
antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O
campo é uniforme. Qual é a fem na antena? R: 1,5x10-3 V
34. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo
de acordo com a relação
 B  6,0t 2  7,0t ,
onde  B é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida
na espira quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b)
esquerda
23
35. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao
longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante
v
. Um campo magnético vertical e uniforme
B,
preenche a região onde a barra se
move. Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida
na barra? (b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da
barra seja 0,40  e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa
a energia térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo
deve exercer sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este
agente externo realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do
item (c). R: a) 0,6V; b) 1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W
36. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois
trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como
mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético
B=
0,350T aponta para fora
da página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a
velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a
resistência elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é
desprezível, qual é a corrente na barra? R: a) 4,8x10-2 V b) 2,67 x 10-3 A
24
INDUTORES
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico numa
determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo magnético. O tipo
mais simples de indutor é um solenoide longo.
Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo.
Indutância
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um
solenóide), um fluxo magnético  é produzido, pela corrente elétrica, no interior do indutor.
A indutância L do indutor é dada por:
L
N
i
Unidade de indutância no SI .
1 T m2 / A = 1 henry (H)
Indutância de solenóide
A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um solenóide
longo, de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de comprimento, é dada por
(ver demonstração no livro texto):
L
 0 n 2 A
1
Observações:

Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação acima
fornece a sua indutância com uma boa aproximação.

Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende
apenas das características (forma geométrica) deste dispositivo.
25
EXERCÍCIOS
37. Mostre que a indutância por unidade de comprimento próximo a região central de
um solenóide longo é dada por:
L
 0 n 2 A
l
Auto indução
Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma
variação do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será
induzido uma força eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por correntes do
próprio circuito são chamadas de força eletromotriz auto-induzidas. Então uma fem autoinduzida  L aparece numa bobina quando a corrente nesta bobina estiver variando.
Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está fem
auto-induzida e a taxa de variação da corrente elétrica.
L
L 
onde:
N
 N  iL
i
 d ( N )
(di )
  L  L
dt
dt
( di )
é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo .
dt
Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz. Esta
fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produz.
EXERCÍCIOS
38. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o fluxo
magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA. R : 1x10 –7 Wb
39. Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado (diâmetro
= 2,5 mm). O solenóide tem 4,0 cm de diâmetro, um comprimento de 2,0 m e 800
espiras. Qual é a indutância por metro de comprimento, na região central do
26
solenóide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a espessura do
isolamento seja desprezível.R : 2,52x10 – 4 H / m.
40. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos
indicados na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem vale
17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kA/s; qual é o valor da indutância? R:
a) decrescente ; b) 6,8x10 – 4 H
E
i
41. Indutores em Série. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em série e separados por
uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por
Leq = L1 + L2
(b) porque a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima
seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em série? R: b)
para que um não induza corrente no outro.
42. Indutores em paralelo. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em paralelo e
separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é
dada por
1
1 1
 
Leq L1 L2
(b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima
seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em paralelo?
43. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm.
Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide
e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de comprimento?
(b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem induzida por metro?
R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m.
Correntes alternadas
A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) , isto é,
corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com
velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada
27
senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada
comercial, ou alternador.
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que
mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:
v  Vsen t
onde: v  é a ddp instantânea
V  é a ddp máxima ou amplitude de voltagem
  é a freqüência angular.
Observação:
As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas
variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes
correspondentes.
O símbolo de uma fonte de corrente alternada é:
Potência em circuitos de corrente alternada
Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa de
produção de energia térmica no resistor, e é dada por:
2
Pmed  I rms
R E rms I rms cos 
Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio quadrático
ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos de cada grandeza
estão relacionados por:
I rms 
E
1
V
, Vrms 
e E rms  m
2
2
2
O termo cos  é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a taxa com
que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase
 o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura,   0 , cos   1 e
Pmed E rms Irms . Para um capacitor ou indutor,   90º , cos   0 e Pmed  0 .
Observação:
28
Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o amperímetro
e voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores eficazes Irms , Vrms , E rms
e não os seus valores máximos.
EXERCÍCIOS
44. Que corrente contínua produzirá a mesma quantidade de energia térmica, em um
resistor particular, que é produzida por uma corrente alternada que possui um valor
máximo de 2,60 A? R: 1,84 A
45. Qual o valor máximo de uma tensão de CA cujo valor eficaz é igual a 100V? R:
141V
46. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz,
equivale a uma resistência de 12,0Ω e a uma reatância indutiva de 1,30Ω em série.
(a) Calcule a impedância do ar condicionado.(b) Determine a taxa média com que
se fornece energia ao aparelho. R: a) 12,1Ω; b) 1186W
TRANSFORMADORES
Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens e
baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão. Uma das
características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a eficiência com
a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de
transformadores.
Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação
entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por:
29
VP N P

VS N S
Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e
secundária.
Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele
eleva a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o
dispositivo é um transformador abaixador.
Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um
transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que
o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então
energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP.
EXERCÍCIOS
47. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se
a bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário? R:1000V
48. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a) Se
VP for igual a 120V(eficaz), qual será Vs, com um circuito aberto? (b) Se o
secundário tiver agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no
primário e no secundário? R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A
BIBLIOGRAFIA
1.
D. Halliday , R. Resnick e J. Walker . Fundamentos de Física . Vol. 3 , LTC – Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 2003 .
2.
F. Sears , M. W. Zemansky e H. D. Young . Física .Vol. 3 , LTC – Livros Técnicos e
Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 1984.
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