(1) Ca - IME-USP

mat2351 - cálculo várias variáveis i - licenciatura
1o sem 2011 - profa. daniela m. vieira
QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS
(1) Calcule (f ◦ γ)0 (t), para:
(a) f (x, y) = sin(xy), γ(t) = (3t, t2 ).
Veja
(f ◦ γ)0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t) = (t2 cos(3t3 ), 3t cos(3t3 )) · (3, 2t) = 9t2 cos(3t3 )
(b) f (x, y) = x2 + 3y 2 , γ(t) = (sin t, cos t).
Veja
(f ◦ γ)0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t) = (2 sin t, 6 cos t) · (cos t, − sin t) = −4 cos t sin t.
(c) f (x, y) = ln(1 + x2 + y 2 ), γ(t) = (sin 3t, cos 3t).
Veja
(f ◦ γ)0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t) = (sin 3t, cos 3t) · (3 cos 3t, 3 − sin 3t) = 0.
(2) Seja g(t) = f (3t, 2t2 − 1).
(a) Expresse g 0 (t) em termos das derivadas parciais de f .
Veja
0
0
g (t) = (f ◦ γ) (t) =
∂f (3t, 2t2 − 1)
∂f (3t, 2t2 − 1) ∂f (3t, 2t2 − 1)
∂f (3t, 2t2 − 1)
,
· (3, 4t) = 3
+4t
.
∂x
∂y
∂x
∂y
(b) Calcule g 0 (0), sabendo que
∂f
(0, −1) = 13 .
∂x
Veja
0
0
g (0) = (f ◦ γ) (0) =
∂f (0, −1) ∂f (0, −1)
,
∂x
∂y
1
· (3, 0) = 3
∂f (3t, 2t2 − 1)
1
= 3 = 1.
∂x
3
(3) Suponha que, para todo t, f (t2 , 2t) = t3 − 3t. Mostre que
∂f
∂f
(1, 2) = − (1, 2).
∂x
∂y
Temos que
∂f 2
∂f 2
∂f
∂f
∂f
∂f
(t , 2t)2t +
(t , 2t)2 = 3t2 − 3 ⇒
(1, 2) +
(1, 2) = 0 ⇒
(1, 2) = − (1, 2).
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
(4) Suponha que, para todo x, f (3x, x3 ) = arctan x.
(a) Calcule
∂f
∂f
(3, 1) admitindo que
(3, 1) = 2.
∂x
∂y
Temos que
∂f
1
∂f
∂f
∂f
1
∂f
11
(3x, x3 )3 +
(3x, x3 )3x2 =
⇒
(3, 1) +
(3, 1) = ⇒
(3, 1) = − .
2
∂x
∂y
1+x
∂x
∂y
6
∂x
6
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f (3, 1)).
Teremos, pelo item a),
z−
π
11
11
7 π
= − (x − 3) + 2(y − 3) ⇒ − x + 2y − z + + = 0.
4
6
6
2 4
(5) Admita que, para todo (x, y): 4y
∂f
∂f
(x, y) − x (x, y) = 0.
∂x
∂y
(a) Calcule g 0 (t), sendo g(t) = f (2 cos t, sin t).
Observe que
∂f
∂f
g 0 (t) = −2 sin t (2 cos t, sin t) + cos t (2 cos t, sin t)
∂x
∂y
1
∂f
∂f
= −
4 sin t (2 cos t, sin t) − 2 cos t (2 cos t, sin t)
2
∂x
∂y
= 0
(b) Prove que f é constante sobre a elipse
x2
+ y 2 = 1.
4
Note que a curva do item a) é justamente a equação desta elı́pse parametrizada. Vimos que sobre
a curva g 0 (t) = 0, portanto, g é constante; isto é, f sobre a elı́pse é constante.
2
(6) A imagem da curva γ(t) = (2t, t2 , z(t)) está contida no gráfico de f (x, y). Sabe-se que f (2, 1) = 3,
∂f
∂f
(2, 1) = 1 e
(2, 1) = −1. Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ(1).
∂x
∂y
Veja
0
γ (t) =
∂f
∂f
2
2
2, 2t, 2 (2t, t ) + 2t (2t, t ) ⇒ γ 0 (0) = (2, 2, 0).
∂x
∂y
Logo a reta é (x, y, z) = (2, 1, 3) + λ(2, 2, 0), λ ∈ R.
(7) f (t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f (t)) = 0, para todo t. Suponha que f (0) = 1,
∂g
∂g
(0, 1) = 2,
(0, 1) = 4. Determine a equação da reta tangente a γ(t) = (t, f (t)) no ponto γ(0).
∂x
∂y
Veja γ 0 (t) = (1, f 0 (t)). Mais ainda
∂g
∂g
1
(t, f (t)) + f 0 (t) (t, f (t)) = 0 ⇒ f 0 (0) = − .
∂x
∂y
2
1
Então, γ 0 (0) = (1, f 0 (0)) = 1, − .
2
1
0
, λ ∈ R.
Logo a reta é (x, y) = (0, f (0)) + λ(1, f (0)) = (0, 1) + λ 1, −
2
g(t, f (t)) = 0 ⇒
(8) Seja g(t) = f (3t2 , t3 , e2t ), e suponha
∂f
(0, 0, 1) = 4.
∂z
(a) Expresse g 0 (t) em termos das derivadas parciais de f .
Temos que
g 0 (t) = 6t
∂f
∂f
∂f 2 3 2t
(3t , t , e ) + 3t2 (3t2 , t3 , e2t ) + 2e2t (3t2 , t3 , e2t ).
∂x
∂y
∂z
(b) Calcule g 0 (0).
g 0 (0) = 2
∂f
(0, 0, 1) = 8.
∂z
(9) Suponha que, para todo (x, y), f (x, y, x2 + y 2 ) = 0. Mostre que
3
∂f
∂f
(1, 1, 2) =
(1, 1, 2).
∂x
∂y
(10) É dada uma curva γ(t) = (x(t), y(t)) que passa pelo ponto γ(t0 ) = (1, 3) e cuja imagem está
contida na curva de nı́vel x2 + y 2 = 10. Suponha que γ 0 (t0 ) 6= ~0.
(a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 3).
Temos
∇f (x, y) = (2x, 2y) ⇒ ∇f (1, 3) = (2, 6).
Logo
(2, 6) · (x − 1, y − 3) = 0 ⇒ 2x + 6y − 20 = 0.
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), é perpendicular ao gradiente, assim
(2, 6) · (a, b) = 0 ⇒ a = −3b,
então o vetor tangente é (−3, 1). Portanto,
(x, y) = (1, 3) + λ(−3, 1), λ ∈ R.
(b) Determine uma curva γ(t) = (x(t), y(t)) satisfazendo as condições acima.
√
√
Basta considerar γ(t) = ( 10 cos t, 10 sin t).
(11) Determine a equação da reta tangente à curva γ(t) = (x(t), y(t)) no ponto γ(t0 ) = (2, 5),
sabendo que γ 0 (t0 ) 6= ~0 e que sua imagem está contida na curva de nı́vel xy = 10.
Temos
∇f (x, y) = (y, x) ⇒ ∇f (2, 5) = (5, 2).
Logo
(5, 2) · (x − 2, y − 5) = 0 ⇒ 5x + 2y − 20 = 0.
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), é perpendicular ao gradiente, assim
2
(5, 2) · (a, b) = 0 ⇒ a = − b,
5
4
então o vetor tangente é
2
− , 1 . Portanto,
5
2
(x, y) = (2, 5) + λ − , 1 , λ ∈ R.
5
(12) Determine a equação da reta tangente a curva de nı́vel dada, no ponto dado.
(a) x2 + xy + y 2 − 3y = 1 em (1, 2).
Considere f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3y. Temos
∇f (x, y) = (2x + y, x + 2y − 3) ⇒ ∇f (1, 2) = (4, 2).
Logo
(4, 2) · (x − 1, y − 2) = 0 ⇒ 2x + y − 4 = 0.
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), é perpendicular ao gradiente, assim
(4, 2) · (a, b) = 0 ⇒ b = −2a,
então o vetor tangente é (1, −2). Portanto,
(x, y) = (1, 2) + λ (1, −2) , λ ∈ R.
1
(b) e2x−y + 2x + 2y = 4 em ( , 1)
2
Considere f (x, y) = e2x−y + 2x + 2y. Temos
∇f (x, y) = (2e2x−y + 2, −e2x−y + 2) ⇒ ∇f (1/2, 2) = (4, 1).
Logo
(4, 1) · (x − 1/2, y − 1) = 0 ⇒ 4x + y − 3 = 0.
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), é perpendicular ao gradiente, assim
(4, 1) · (a, b) = 0 ⇒ b = −4a,
5
então o vetor tangente é (1, −4). Portanto,
(x, y) = (1/2, 1) + λ (1, −4) , λ ∈ R.
(13) Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x2 + y 2 = 3 e paralela à reta 2x + y = 5.
Suponhamos que a tangência ocorra em (x0 , y0 ). Considere f (x, y) = 2x2 + y 2 . Temos
∇f (x, y) = (4x, 2y) ⇒ ∇f (x0 , y0 ) = (4x0 , 2y0 ).
Logo, a reta tangente é
(4x0 , 2y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) = 0 ⇒ y = −2
que é paralela a y = −2x + 5, desta forma, −2
3
x0
x+
y0
y0
x0
= −2, ou seja, y0 = x0 . Então, 2x20 + x20 = 3, logo
y0
x0 = ±1. Assim, y0 = ±1.
Portanto, teremos
2x + y − 3 = 0 ou 2x + y + 3 = 0.
(14) Determine uma reta que seja tangente à curva x2 + xy + y 2 = 7 e paralela à reta 4x + 5y = 17.
Suponhamos que a tangência ocorra em (x0 , y0 ). Considere f (x, y) = x2 + xy + y 2 . Temos
∇f (x, y) = (2x + y, x + 2y) ⇒ ∇f (x0 , y0 ) = (2x0 + y0 , x0 + 2y0 ).
Logo, a reta tangente é
(2x0 + y0 , x0 + 2y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) = 0 ⇒ y = −
2x0 + y0
14
x+
x0 + 2y0
x0 + 2y0
4
17
2x0 + y0
4
que é paralela a y = − x + , desta forma, −
= − , ou seja, y0 = 2x0 . Então, x20 + 2x20 +
5
5
x0 + 2y0
5
1
x20 = 1, logo x0 = ± . Assim, y0 = ±1.
2
Portanto, teremos
4x + 5y − 14 = 0 ou 4x + 5y + 14 = 0.
6
(15) Determine as equações do plano tangente a superfı́cie dada, no ponto dado.
(a) x2 + 3y 2 + 4z 2 = 8, (1, −1, 1).
Considere f (x, y, z) = x2 + 3y 2 + 4z 2 . Temos
∇f (x, y, z) = (2x, 6y, 8z) ⇒ ∇f (1, −1, 1) = (2, −6, 8).
Logo
(2, −6, 8) · (x − 1, y + 1, z − 1) = 0 ⇒ x − 3y + 4z − 8 = 0.
(b) 2xyz = 3,
1
, 1, 3 .
2
Considere f (x, y, z) = 2xyz. Temos
∇f (x, y, z) = (2yz, 2xz, 2xy) ⇒ ∇f
1
, 1, 3 = (6, 3, 1).
2
Logo
1
(6, 3, 1) · x − , y − 1, z − 3 = 0 ⇒ 6x + 3y + z − 9 = 0.
2
(c) zex−y + z 3 = 2, (2, 2, 1).
Considere f (x, y, z) = zex−y + z 3 . Temos
∇f (x, y, z) = (zex−y , −zex−y , ex−y + 3z 2 ) ⇒ ∇f (2, 2, 1) = (1, −1, 4).
Logo
(1, −1, 4) · (x − 2, y − 2, z − 1) = 0 ⇒ x − y + 4z − 4 = 0.
(d) x3 + y 3 + z 3 = 10, (1, 2, 1)
Considere f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 . Temos
∇f (x, y, z) = (3x2 , 3y 2 , 3z 2 ) ⇒ ∇f (1, 2, 1) = (3, 12, 3).
Logo
(3, 12, 3) · (x − 1, y − 2, z − 1) = 0 ⇒ x + 4y + z − 10 = 0.
7
(16) Determine um plano que seja tangente a superfı́cie x2 + 3y 2 + 2z 2 =
11
e paralelo ao plano
6
x + y + z = 10.
Suponhamos que a tangência ocorra em (x0 , y0 , z0 ). Considere f (x, y, z) = x2 + 3y 2 + 2z 2 . Temos
∇f (x, y, z) = (2x, 6y, 4z) ⇒ ∇f (x0 , y0 , z0 ) = (2x0 , 6y0 , 4z0 ).
Logo, o plano tangente é
(2x0 , 6y0 , 4z0 ) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0,
mas (2x0 , 6y0 , 4z0 ) é paralelo a (1, 1, 1), vetor normal ao plano dado; ou seja, (2x0 , 6y0 , 4z0 ) = (λ, λ, λ).
Como x2 + 3y 2 + 2z 2 =
11
, λ = ±2. Logo, teremos
6
(2, 2, 2) · (x − 1, y − 1/3, z − 1/2) = 0 ou (−2, −2, −2) · (x + 1, y + 1/3, z + 1/2) = 0.
Portanto
x+y+z−
(17) Calcule
∂f
(x0 , y0 ),
∂~
u
11
11
= 0 ou x + y + z +
= 0.
6
6
sendo dados
Por definição,
∂f
(x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · ~u.
∂~u
(a) f (x, y) = x2 − 3y 2 , (x0 , y0 ) = (1, 2) e ~u o versor de 2~i + ~j.
∂f
∇f (x, y) = (2x, −6y) ⇒
(1, 2) = ∇f (1, 2) ·
∂~u
(b) f (x, y) = ex
2 −y 2
2 1
√ ,√
5 5
8
= −√ .
5
, (x0 , y0 ) = (1, 1) e ~u o versor de (3, 4).
∇f (x, y) = (2xe
x2 −y 2
, −2ye
x2 −y 2
∂f
)⇒
(1, 1) = ∇f (1, 1) ·
∂~u
3 4
,
5 5
2
=− .
5
x
1 1 (c) f (x, y) = arctan , (x0 , y0 ) = (3, 3) e ~u = √ , √
y
2 2
y
x
∂f
1 1 √
∇f (x, y) =
,
−
⇒
(3,
3)
=
∇f
(3,
3)
·
, √ = 0.
y 2 + x2 y 2 + x2
∂~u
2 2
8
(d) f (x, y, z) = xyz, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) e na direção w
~ = 2~i + ~j − ~k.
∂f
(1, 1, 1) = ∇f (1, 1, 1) ·
∇f (x, y, z) = (yz, xz, xy) ⇒
∂~u
2 1
2
√ , √ , −√
6 6
6
√
=
6
.
3
(e) f (x, y, z) = x2 + xy + z 2 , (x0 , y0 , z0 ) = (1, 2, −1) e na direção w
~ = ~i + ~j + ~k.
∂f
∇f (x, y, z) = (2x + y, x, 2z) ⇒
(1, 2, −1) = ∇f (1, 2, −1) ·
∂~u
1 1 1
√ ,√ ,√
3 3 1
=
√
3.
(18) Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que
direção e sentido decresce mais rapidamente?
(a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 em (1, 1).
∇f (x, y) = (2x + y, x + 2y) ⇒ ∇f (1, 1) = (3, 3),
logo, cresce na direção de 3~i + 3~j e decresce na direção de −3~i − 3~j.
(b) f (x, y) =
p
4 − x2 − 2y 2 em 1, 12 .
∇f (x, y) =
−p
x
4 − x2 − 2y 2
, −p
!
2y
4 − x2 − 2y 2
1
⇒ ∇f 1,
=
2
r
−
r !
2
2
,−
,
5
5
logo, cresce na direção de −~i − ~j e decresce na direção de ~i + ~j.
(c) f (x, y) =
x2
2
em (−1, 1).
+ y2
∇f (x, y) = −
4y
4x
,− 2
2
2
2
(x + y )
x + y2
⇒ ∇f (−1, 1) = (1, −1),
logo, cresce na direção de ~i − ~j e decresce na direção de −~i + ~j.
(19) Uma função diferenciável f (x, y) tem, no ponto (1, 1), derivada direcional igual a 3 na direção
3~i + 4~j, e igual a −1 na direção 4~i − 3~j. Calcule:
(a) ∇f (1, 1)
Suponhamo que ∇f (1, 1) = (a, b), logo


4
3




 15 = 3a + 4b
 3 = (a, b).
,
5 5
⇒




 −5 = 4a − 3b
 −1 = (a, b).( 4 , − 3 )
5 5
9
Resolvendo o sistema teremos ∇f (1, 1) = (a, b) = (1, 3).
(b)
∂f
(1, 1), onde ~u é o versor de ~i + ~j.
∂~u
∂f
(1, 1) = ∇f (1, 1) ·
∂~u
1 1
√ ,√
2 2
√
= 2 2.
(20) Admita que T (x, y) = 16 − 2x2 − y 2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy.
Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir
do ponto (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.
Temos que resolver o seguinte sistema:



 γ 0 (t) = ∇T (γ(t))


 γ(0) = (1, 2)
⇒











x0 (t) = −4x(t)




(x0 (t), y 0 (t)) = (−4x(t), −2y(t))
⇒
y 0 (t) = −2y(t)



γ(0) = (1, 2)



 x(0) = 1 y(0) = 2.
Portanto, γ(t) = (e−4t , 2e−2t ), t ≥ 0.
Temos uma outra solução: Veja que ∇T (x, y) = (−4x, −2y), assim a curva para o maior crescimento é
dy
−2y
y
=
=
⇒
dx
−4x
2x
Z
1
dy =
y
Z
√
1
dx ⇒ ln y = ln x + k.
2x
√
Como passa por (1, 2), ln 2 = ln 1 + k, ou seja, k = ln 2. Então y = 2 x.
√
Portanto, γ(t) = (t, 2 t), t ≥ 1.
(21) Seja f (x, y) = x2 − 3y. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto
P que se desloca, a partir do ponto (1, 1), sempre na direção e sentido do máximo crescimento de f .
Temos que resolver o seguinte sistema:



 γ 0 (t) = ∇f (γ(t))


 γ(0) = (1, 1)
⇒











x0 (t) = −2x(t)




(x0 (t), y 0 (t)) = (−2x(t), −3)
⇒
y 0 (t) = −3



γ(0) = (1, 1)



 x(0) = 1 y(0) = 1.
10
Portanto, γ(t) = (e−2t , −3t + 1), t ≥ 0.
Temos uma outra solução: Veja que ∇f (x, y) = (−2x, −3), assim a curva para maior crescimento
é
dy
−3
3
=
=
⇒
dx
−2x
2x
Z
1
dy =
3
Z
√
1
y
dx ⇒ = ln x + k.
2x
3
√
1
1
= ln 1 + k, ou seja, k = . Então y = 3 ln x + 1.
3
3
√
Portanto, γ(t) = (t, ln t + 1), t ≥ 1.
Como passa por (1, 1),
(22) Seja f (x, y) = xy. Determine a reta tangente ao gráfico de f , no ponto (1, 2, f (1, 2)), que forma
com o plano xy ângulo máximo.
Temos que ∇f (x, y) = (y, x), então ∇f (1, 2) = (2, 1). Consideremos a curva γ(t) = (1 + 2t, 2 +
t, f (1 + 2t, 2 + t)). Observe que γ(0) = (1, 2, 2) e
γ 0 (0) = (2, 1, ∇f (1, 2) · (2, 1)) = (2, 1, 5),
assim a reta é
(x, y, z) = (1, 2, 2) + λ(2, 1, 5), λ ∈ R.
(23) Seja f (x, y) = x+2y +1. Determine a reta contida no gráfico de f , passando pelo ponto (1, 1, 4)
e que forma com o plano xy ângulo máximo.
Temos que ∇f (x, y) = (1, 2), então ∇f (1, 1) = (1, 2). Consideremos a curva γ(t) = (1 + t, 1 +
2t, f (1 + t, 1 + 2t)). Observe que γ(0) = (1, 1, 4) e
γ 0 (0) = (1, 2, ∇f (1, 1) · (1, 2)) = (1, 2, 5),
assim a reta é
(x, y, z) = (1, 1, 4) + λ(1, 2, 5), λ ∈ R.
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(24) Suponha que o gráfico de f (x, y) = 5 − x2 − 4y 2 represente a superfı́cie de um monte. Um
alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Determine a trajetória a ser descrita
pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior aclive.
Veja que ∇T (x, y) = (−2x, −8y), assim a trajetória no plano xy que determinará a direção de
maior aclive é
−8y
4y
dy
=
=
⇒
dx
−2x
x
Z
1
dy =
4y
Z
1
√
dx ⇒ ln 4 y = ln x + k.
x
Como passa por (1, 1), ln 1 = ln 1 + k, ou seja, k = 0. Então y = x4 .
Portanto, δ(t) = (t, t4 ) é a trajetória no plano xy que determinará a direção de maior aclive,
assim sobre a superfı́cie é
γ(t) = (t, t4 , f (t, t4 )) = (t, t4 , 5 − t2 − 4t8 )).
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