CAPTULO 4 - ANLISE DA RESPOSTA EM FREQNCIA

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
1
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
4.1. Introdução
Pelo termo resposta em freqüência, entende-se a resposta em regime
estacionário de um sistema com entrada senoidal. Nos métodos de resposta em
freqüência, variamos a freqüência do sinal de entrada em uma faixa de interesse e
estudamos a resposta em freqüência resultante.
Os sistemas de controle industriais são muitas vezes projetados pelo uso de
métodos de resposta em freqüência. Muitas técnicas estão disponíveis tanto para o
projeto quanto para análise de tais sistemas. O critério da estabilidade de Nyquist, a
ser estudado mais adiante, nos permite investigar tanto a estabilidade absoluta
quanto à estabilidade relativa de sistemas lineares de malha fechada a partir de um
conhecimento de suas características de resposta em freqüência em malha aberta.
Ao usar este critério de estabilidade, não temos que determinar as raízes da
equação característica. Esta é uma vantagem da técnica de resposta em freqüência.
Uma outra vantagem desta técnica é que os testes da resposta em freqüência são,
em geral, simples e podem ser feitos precisamente pelo uso de geradores de sinais
senoidais prontamente disponíveis e de equipamentos de medida precisos. Muitas
vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser
determinadas experimentalmente pelos testes da resposta em freqüência. Além
disso, plantas com incertezas ou plantas que são deficientemente conhecidas
podem ser manipuladas pelos métodos de resposta em freqüência. Um sistema
pode ser projetado pelo uso da técnica de resposta em freqüência de tal forma que
os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis. Finalmente, as análises e os
projetos de resposta em freqüência de um sistema de controle podem ser
estendidos a certos sistemas de controle não lineares.
Relação entre o tipo de sistema e a curva do log-módulo
Os coeficientes de erro estático de posição, velocidade e aceleração
descrevem o comportamento em baixa freqüência dos sistemas tipo 0 (zero), tipo 1
e tipo 2, respectivamente. Para um dado sistema, somente um dos coeficientes de
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erro é finito e significativo (≠ 0), o qual pode ser obtido analisando-se o diagrama de
Bode (curva de módulo).
O tipo do sistema determina a inclinação da curva do log-módulo em baixas
freqüências. Portanto, a informação relativa à existência e amplitude do erro em
regime estacionário de um sistema de controle, para uma dada entrada, pode ser
determinada a partir da observação da região de baixa freqüência na curva de logmódulo (diagrama de Bode).
a) Determinação da constante de erro de posição (Kp)
Para um sistema tipo zero temos que
G(s) =
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)....
(T1s + 1)(T2 s + 1)....
G ( jw) =
Logo
K (Ta jw + 1)(Tb jw + 1)....
(T1 jw + 1)(T2 jw + 1)....
Em baixas freqüências temos lim G ( w) = K mas sabemos que lim G ( s ) H ( s ) = K p ,
w→ 0
s →0
logo K = K p .
Como em baixas freqüências G ( jw) = K p temos que G ( jw) dB = 20 log K p para w → 0 .
Um exemplo de diagrama de Bode (módulo) para um sistema tipo zero é
mostrado na Figura 1.
dB
-20dB/década
20logKp
-40dB/década
0
w(log)
Figura 1. Diagrama de Bode para sistema do tipo 0
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Sendo assim, o valor de Kp pode ser obtido diretamente do diagrama de
módulo de Bode e, a partir dele, pode ser determinado o erro de regime permanente
para uma determinada entrada.
b) Determinação do coeficiente de erro de velocidade (Kv)
Para um sistema tipo 1 temos que
G ( s) H ( s) =
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)....
s (T1s + 1)(T2 s + 1)....
E Kv é dado por lim sG ( s ) H ( s ) = K v = K . Assim, para baixas freqüências temos que
s →0
G ( jw) H ( jw) =
Kv
K
e o módulo é G ( jw) H ( jw) = v . Assim, se considerarmos o
jw
jw
ponto cuja freqüência vale um (w=1)
G ( jw) H ( jw) dB = 20 log
Kv
jw w=1
= 20 log K v
Portanto o valor de Kv pode ser determinado através da análise do diagrama
de Bode, conforme é mostrado na Figura 2.
dB
-20dB/década
-20dB/década
w1
0
w(log)
W=1
Figura 2. Diagrama de Bode para sistema do tipo 1
Como foi considerado w→0 (baixas freqüências) no desenvolvimento acima, devese verificar o ponto de interseção da reta w=1 com o prolongamento da reta com
declinação de –20dB/dec, conforme mostrado na figura acima.
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Se considerarmos, no entanto, o ponto de intersecção desta mesma reta com
a reta de 0dB, temos
G ( jw) H ( jw) dB = 20 log
Kv
= 0dB
jw1
No entanto, para que se obtenha tal resultado temos que Kv=w1 (numericamente).
Assim, o valor de Kv pode ser obtido mais facilmente através da determinação
do valor da freqüência w1.
Exemplo 1: Considere o sistema tipo 1 com realimentação unitária cuja função de
transferência de malha aberta é G ( s ) =
K
.
s( Js + B)
O gráfico de módulo do diagrama de Bode para um sistema tipo 1 é mostrado
na Figura 3.
dB
-20dB/década
0
w2
w3
w1
w(log)
-40dB/déc
Figura 3. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo1
Observe que o sistema em malha aberta possui um pólo em s = −
Analisaremos agora G ( jw) =
temos G ( jw) =
Logo G ( jw) =
B
B
. Logo w2 = .
J
J
K
. Para freqüências elevadas ( w >> w2 )
jw( jwJ + B)
K
mas B + jwJ ≈ wJ .
jw( jwJ + B)
K
K
. Assim, G ( jw) dB = 20 log 2 .
2
Jw
Jw
No ponto w=w3, temos: G ( jw3 ) dB = 20 log
K
K
K
2
= 0dB , portanto
= 1 e w3 = .
2
2
J
Jw3
Jw3
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Sabemos ainda que w1 = K v = lim sG ( s ) H ( s ) . ⇒ w1 =
s →0
Note que w1w2 = w32 ou
K
B
w1 w3
=
.
w3 w2
Como a escala de w é logarítmica,
log w1 − log w3 = log w3 − log w2
2 log w3 = log w1 + log w2
log w3 =
log w1 + log w2
2
Portanto, o ponto w3 é o ponto médio entre w1 e w2.
c) Determinação da constante de erro de aceleração (Ka)
Para um sistema tipo 2 temos que
G ( s) H ( s) =
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)...
s 2 (T1s + 1)(T2 s + 1)...
Logo
G ( jw) H ( jw) =
K (Ta jw + 1)(Tb jw + 1)...
( jw) 2 (T1 jw + 1)(T2 jw + 1)...
Em baixas freqüências temos
K
s →0 ( jw) 2
lim G ( jw) H ( jw) = lim
w→ 0
Assim, em baixas freqüências temos que
G ( jw) H ( jw) =
Ka
( jw) 2
E então
G ( jw) H ( jw) dB = 20 log
Ka
( jw) 2
Observe que para a freqüência w=1 G ( jw) H ( jw) dB = 20 log K a
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CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
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Na Figura 4 apresenta-se a forma de obtenção do coeficiente de erro de aceleração.
dB
-40dB/déc
20logKa
0
w=1
wa
w(log)
Figura 4. Diagrama de Bode para um sistema do tipo 2
No ponto w=wa, temos G ( jwa ) H ( jwa ) dB = 20 log
Portanto
Ka
= 0dB
( jwa ) 2
Ka
=1
2
wa
ou K a = ( wa ) 2 .
Exercícios:
1) Obtenha o diagrama de Bode para o sistema abaixo onde
a) α = 10
Kc = 1
b) α = 0,1
K c = 10
⎛ s+ 1 ⎞
T ⎟
G ( s) = K c ⎜
⎜s+ 1 ⎟
αT ⎠
⎝
2) A partir dos diagramas de Bode encontrados no exercício anterior, obtenha as
funções de transferências para cada um dos sistemas.
Nota: Observe que a determinação dos coeficientes de erro estático através do diagrama de Bode é
feita a partir do gráfico de módulo (Bode) do sistema em MA uma vez que estes coeficientes são
determinados a partir da função de transferência do sistema de malha aberta.
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3) Para as curvas de log-módulo apresentadas abaixo, determine o tipo do sistema
(sistema tipo 0,1,2,...) e o coeficiente de erro estático apropriado (indique no gráfico
como se obtém o coeficiente).
a)
dB
-20dB/dec
20
w1 w2
0
d)
w(log)
-40dB/dec
dB
-60dB/dec
-40dB/dec
b)
-20dB/dec
dB
-20dB/dec
20
0
w2
w1
0 w1
w2
w(log)
w3
w(log)
-40dB/dec
e)
dB
c)
dB
0
0
-10
-20
-40dB/dec
w2
w1
w1 w2
w(log)
w(log)
-20dB/dec
Análise da estabilidade através de diagramas de Bode
O gráfico de Bode de uma função de transferência é uma ferramenta muito
útil para análise e projeto de sistemas de controle lineares.
Vantagens dos gráficos de Bode:
1- Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser obtido, de forma
aproximada, através de suas propriedades assintóticas.
2- Ganho de cruzamento, fase de cruzamento, margem de ganho e margem de fase
são mais facilmente determinados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist.
3- Para propósitos de projeto, os efeitos de adição de controladores e seus
parâmetros são mais facilmente visualizados no gráfico de Bode do que no gráfico
de Nyquist.
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Desvantagem dos gráficos de Bode:
1- Estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas através do diagrama de
Bode somente para sistemas de fase mínima.
Com referência às definições de margem de ganho e margem de fase
apresentadas anteriormente, a interpretação destes parâmetros através do diagrama
de Bode é ilustrada na figura apresentada a seguir.
G(jw)H(jw) (dB)
40 20 -
wp
0-20 -40 -60 -
G(jw)H(jw) (graus)
Margem de ganho negativa
Kg
Região estável
para interseção da
curva de
magnitude na fase
de cruzamento.
Mg positiva.
Região estável para
interseção da curva de fase
na freqüência de
cruzamento.
Mp positiva.
0-90 -180 -270 -360 -
w (rad/s)
w (rad/s)
ws
Margem de fase negativa
Diagrama de Bode típico de um sistema de fase mínima
As seguintes observações podem ser feitas com relação à análise da
estabilidade de um sistema através de seu diagrama de Bode:
1. A margem de ganho é positiva e o sistema é estável se a magnitude de
G(jw)H(jw) na fase de cruzamento é negativa em dB. Isto é, a margem de
ganho é medida abaixo do eixo 0dB. Se a margem de ganho é medida acima
do eixo 0dB, a margem de ganho é negativa e o sistema é instável.
2. A margem de fase é positiva e o sistema é estável se a fase de G(jw)H(jw) é
maior que –180º no ganho de cruzamento. Isto é, a margem de fase é medida
acima do eixo –180º. Se a margem de fase é medida abaixo do eixo –180º, a
margem de fase é negativa, e o sistema é instável.
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Portanto, para um sistema de fase mínima ser estável, tanto a margem de
ganho quanto à margem de fase devem ser positivas. Se uma das margens for
negativa, o sistema é instável.
Análise da estabilidade de um sistema em malha fechada a partir de seu diagrama
de Bode de malha aberta
Margem de ganho: Indica quanto o ganho do sistema pode ser aumentado de forma
que ele ainda seja estável em malha fechada. A margem de ganho é medida na
freqüência em que a fase cruza por -180º.
Margem de fase: Indica quanto a fase do sistema pode ser atrasada (na freqüência
de cruzamento de ganho) de forma que o sistema ainda seja estável em malha
fechada. A margem de fase é medida na freqüência em que o módulo cruza por 0dB
(freqüência de cruzamento de ganho).
Exemplo 2: Seja o diagrama de Bode mostrado abaixo. Sabe-se que o mesmo foi
obtido para o sistema em malha aberta.
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-60
Phase (deg)
-80
-90
-120
-150
-180
0
10
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Figura 5. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo2
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CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
10
A freqüência para a qual o módulo é 0dB é wg ≅ 30 rad . Neste ponto a fase cruza
s
em -162º. Pergunta-se: Quanto se pode atrasar a fase para que chegue a -180º? A
resposta é φmf = 18º . Sendo a margem de fase positiva, então o sistema será estável
em malha fechada.
A curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em degrau
unitário é mostrada na Figura 6.
Step Response
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
Figura 5. Resposta ao degrau unitário para o sistema do Exemplo2 em malha fechada
Exemplo 3: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na
Figura 6.
num=48;
den=[1 9 26 24];
[mag,fase,w]=bode(num,den);
margin(mag,fase,w)
Exemplo 4: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na
Figura 7.
num=480;
den=[1 9 26 24];
[mag,fase,w]=bode(num,den);
margin(mag,fase,w)
Exemplo 5: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na
Figura 2.
num=0.5;
den=[1 2 1 0.5];
[mag,fase,w]=bode(num,den);
margin(mag,fase,w);
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Bode Diagram
Gm = 12.878 dB (at 5.1066 rad/sec), Pm = 70.945 deg (at 2.0987 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 6. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo 3
Bode Diagram
Gm = -7.1218 dB (at 5.1066 rad/sec), Pm = -22.608 deg (at 7.1926 rad/sec)
40
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo 4
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2
10
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CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
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Bode Diagram
Gm = 9.5963 dB (at 1.0023 rad/sec), Pm = 49.015 deg (at 0.64339 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8. Diagrama de Bode para o Exemplo 5
Exemplo 6: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na
Figura 9.
Bode Diagram
Gm = 15.58 dB (at 2.2361 rad/sec), Pm = 43.208 deg (at 0.77872 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-90
Phase (deg)
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 9. Diagrama de Bode para o Exemplo 6
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2
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CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
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Seja um sistema com realimentação unitária. Considere que o diagrama de Bode
mostrado abaixo foi obtido para este sistema em malha aberta e resolva os dois
exercícios que seguem.
Bode Diagram
30
Magnitude (dB)
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-90
Phase (deg)
-135
-180
-225
-270
-1
10
10
0
10
1
Frequency (rad/sec)
Exercício 1
a) Determine as margens de ganho e de fase, indicando no gráfico a obtenção destes
valores. Conclua sobre a estabilidade deste sistema explicando detalhadamente o que pode
ou deve ser feito para que o sistema seja estável em malha fechada;
b) Determine os valores dos coeficientes de erro.
c) Esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em
degrau de amplitude 2 (calcule todos os valores possíveis);
d) Esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em
rampa de inclinação 2 (calcule todos os valores possíveis);
e) Considere agora que variando apenas o ganho do sistema deseja-se obter uma margem
de fase de 60o. Determine o ganho pelo qual deve ser multiplicado o módulo do sistema
para obter tal margem de fase.
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14
Exercício 2
a) Determine a função de transferência para este sistema;
b) A partir da função de transferência obtida, utilize o critério de Routh para analisar a
estabilidade deste sistema em malha fechada. Compare o resultado com aquele obtido no
item (a) do Exercício 1;
c) Ainda utilizando a FTMF, esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada
para entradas em degrau de amplitude 2. Compare o resultado com aquele obtido no item
(c) do Exercício 1.
Exercício 3: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é apresentado
abaixo.
Bode Diagram
Magnitude (dB)
-40
-60
-80
-100
-120
Phase (deg)
-135
-180
-225
-270
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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10
2
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Exercícios:
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
-30
-135
-180
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
10
Step Response
1.4
1.2
1
Amplitude
Phase (deg)
-40
-90
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
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5
6
1
15
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Bode Diagram
60
Magnitude (dB)
50
40
30
20
10
0
-120
-150
-180
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
10
Step Response
2
1.8
1.6
1.4
1.2
Amplitude
Phase (deg)
-10
-90
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Time (sec)
Análise de Sistemas Lineares – ASL
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1
1.2
2
16
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
+
17
18( s + 10)
s ( s + 2)
_
Bode Diagram
Gm = Inf, Pm = 69.15 deg (at 20.038 rad/sec)
60
50
Magnitude (dB)
40
30
20
10
0
-10
Phase (deg)
-20
-90
-120
-150
-180 -1
10
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Root Locus
System: sys
Gain: 1
Pole: -10 + 8.94i
Damping: 0.746
Overshoot (%): 2.97
Frequency (rad/sec): 13.4
8
6
4
Imag Axis
2
0
-2
Step Response
1.4
-4
System: sys
Time (sec): 0.175
Amplitude: 1.15
1.2
-6
-8
1
-30
-25
-20
-15
Amplitude
Real Axis
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time (sec)
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0.6
-10
-5
0