Introdução à matemática financeira - IME-USP

Introdução à matemática nanceira
Estela Mara de Oliveira 1 e
Sônia Regina Leite Garcia (Orientadora)2
No regime de juros simples, se i é a taxa de juros
por unidade de tempo (por exemplo, por dia, ou por
mês, ou por ano) e t é o número de unidades de
tempo que durou a aplicação, então:
1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo (IME-USP), Brazil
[email protected]
2 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
J
VF
São Paulo (IME-USP), Brazil
[email protected]
Saiba que são suas decisões e não
suas condições que determinam
seu destino
Anthony Robbins
do livro Desperte o gigante interior
1.
(Juros)
(Valor Final).
2. Aplicou-se R$ 200, 00 a juros simples
por um período de 3 meses, com taxa de juros de 2%
as mês. Qual o valor que foi resgatado no nal do
período de aplicação?
Exemplo
Solução:
V P = 200, 00
Introdução
Período de aplicação = t = 3 meses
Taxa de juros = i = 2% ao mês
Neste trabalho vamos discutir alguns pontos de matemática nanceira, tais como a diferença entre juros
simples e juros compostos (inclusive contínuos), descontos e uxo de caixa. Em particular, apresentamos
aqui dicas de como fazer um uxo de caixa para uma
pessoa física. Foram consultados [5], [1], [2], [3] e [4].
2.
= V P.i.t
= VP +J
2% = 2/100 = 0, 02
J
J
VF
VF
Juros
1. Juro
É o ganho que obtemos ao fazermos uma aplicação
de modo produtivo, e seu cálculo é feito através da
diferença entre o valor futuro e o valor presente do
capital aplicado.
Valor presente = capital inicial (quantia que será
aplicada)
Valor futuro = valor a ser resgatado após o período de tempo em que o valor presente foi aplicado
(chamado período da aplicação).
Denição 2. Taxa de Juros
É a relação entre juros e capital aplicado numa
unidade de tempo (por exemplo, num dia, ou num
mês, ou num ano).
Exemplo 1. Se ao aplicarmos uma quantia x por um
ano obtivermos 0, 12x de juros após esse período de
tempo, a taxa de juros correspondente por ano é de
(0, 12x)/x = 0, 12 = 12/100, ou seja, é de 12% ao
ano.
Denição 3. Regime de Juros Simples
É o regime em que o ganho (juros) que obtemos
sobre um capital inicial (V P ) aplicado num determinado período de tempo xado com uma taxa de
juros também xada é capitalizado (isto é, incorporado ao capital inicial) ao nal do referido período
de tempo.
= V P.t.i
= 200, 00 · 3 · 0, 02 = 12, 00.
= VP +J
= 200 + 12 = 212, 00.
Denição
3.
Juros compostos
Em certas aplicações, como por exemplo, na caderneta de poupança, os juros não são calculados da
forma anterior. Nesse caso, há uma frequência de
conversão (capitalização dos juros), no caso, mensal,
predeterminada, que independe do período total de
aplicação do capital inicial. Nesse caso, diz-se que o
período de conversão é de um mês.
4. Frequência de Conversão
Os juros de uma aplicação podem ser capitalizados (incorporados ao capital) anualmente, semestralmente, mensalmente, diariamente, etc. Nesse caso
diz-se que o período de conversão é de um ano, um
semestre, um mês ou um dia respectivamente, e que
a frequência de conversão é anual, semestral, mensal
ou diária respectivamente.
Assim, o período de conversão, é o período de
tempo necessário para que o dinheiro aplicado seja
corrigido conforme a taxa de juros estipulada.
Denição
3. Exemplo Hipotético
Suponha que você zesse uma aplicação de
R$ 150, 00 numa caderneta de poupança por 3 meses,
e que a frequência de conversão fosse anual. Então ao
Exemplo
243
resgatar o valor em três meses, não receberia nenhuma correção sobre o valor aplicado, enquanto que se
resgatasse após um ano, receberia o valor corrigido.
Denição 5. Regime de Juros Compostos
É o regime em que o ganho que se tem sobre
um capital investido por um determinado período
de tempo é incorporado ao capital ao nal de cada
período de conversão, de forma que os juros ao nal do período de conversão seguinte incidem não só
sobre o capital inicial, mas também sobre os juros
anteriores que foram capitalizados. Resulta que o
crescimento do ganho é obtido como uma sequência
geométrica, isto é, o valor atual depende do valor
anterior corrigido pelo juros.
Se V P é o valor do capital inicial aplicado em regime de juros compostos, i é a taxa de juros por
período de conversão e V Fn é o valor futuro depois
de n períodos de conversão, então
V F1
V F2
V F3
..
.
V F = V Fn
Exemplo
R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de
maio de 2008. Responda:
a) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de
aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência
de conversão fosse anual?
b) Qual é o valor futuro após 2 meses e 20 dias de
aplicação à taxa de 0, 5% ao mês com a frequência de conversão sendo mensal?
c) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de
aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência
de conversão fosse diária?
Resposta:
a) Como a frequência de conversão é anual o valor
futuro (após 2 meses e 20 dias) será de 200, 00.
= V P (1 + i)
= V F1 .(1 + i) = V P (1 + i)2
= V F2 .(1 + i) = V P (1 + i)3
..
.
b) Como a frequência é mensal a cada 1 mês completo temos o valor inicial (principal) modicado
a juros compostos:
..
.
VF
= V P (1 + i)n .
b. em regime de juros compostos com frequência
de conversão mensal?
VF
VF
VF
Resolução:
a. Em regime de juros simples:
b.
Exemplo
= V P.(1 + i)n
= 280, 00 · (1 + 0, 03)4 = 315, 14.
5. Um investimento de R$ 200, 00 foi feito
em uma caderneta de poupança onde a taxa de juros
é de (aproximadamente) 0, 5% ao mês. Qual o valor
futuro apos 7 meses de aplicação?
Exemplo
Resolução:
VF
VF
= V P.(1 + i)n
= 200, 00 · (1 + 0, 005)7 = 208, 14.
= 200, 00 · (1, 05)2+2/3
= 220, 50 · (1, 05)2/3
=
e 220, 50 · (1, 05)0,6667 =227,
e
79.
7. Suponha que foi feita uma aplicação de
R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de
Em regime de juros composto com frequência
de conversão mensal:
VF
VF
200, 00 · (1, 05)2 = 220, 50.
c) Neste caso, como a frequência de conversão é diária e a taxa de juros dada é mensal, convertemos
a duração da aplicação (dada em dias) em meses
(2 + 2/3) e temos
a. em regime de juros simples?
= V P.(1 + i.n)
= 280, 00 · (1 + 0, 03 · 4) = 313, 60.
=
Portanto o valor futuro será de R$ 220, 50.
4. Qual o valor futuro da aplicação de
R$ 280, 00 durante 4 meses a taxa de 3% ao mês:
VF
VF
6. Suponha que foi feita uma aplicação de
Exemplo
maio de 2008, e que essa quantia cou aplicada por
3 anos à taxa de 6% ao ano. Construir um gráco do valor futuro em função do tempo no caso da
frequência de conversão ser mensal (como é no Brasil) e um gráco do valor futuro em função do tempo
se a frequência de conversão fosse anual.
São também importantes os conceitos
de taxa nominal, taxa efetiva e taxas equivalentes.
Observação:
4.
Juros compostos contínuos
Para introduzir o conceito de juros compostos contínuos observe a tabela abaixo, onde o capital inicial
é V P e a taxa de juros anual é r:
244
A
B
ano
meses
ano
meses
ano
meses
ano
meses
ano
mês
ano
1
ano
n
1
6
= 12
4
= 13
3
= 14
2
= 16
1
1
= 12
↓
0
após
ano
após
anos
VF
t
1
2
V P (1 + r)1
V P (1 + r2 )2
V P (1 + r)1t
V P (1 + r2 )2t
3
V P (1 + r3 )3
V P (1 + r3 )3t
4
V P (1 + r4 )4
V P (1 + r4 )4t
6
V P (1 + r6 )6
V P (1 + r6 )6t
12
n
↓
∞
V P (1 +
r 12
)
12
r n
V P (1 + n
)
↓
V P er
No caso de juros compostos com frequência de conversão trimestral:
n = 20 = no. de trimestres,
0, 08/4 = 0, 02 = taxa de juros por trimestre
VF
1
V P (1 +
VF
VF
VF
= V P · (1 + 0, 08/4)n
= 1000, 00 · (1 + 0, 02)20
= 1000, 00 · (1, 02)20 = 1485, 95.
Observe que a diferença entre os resultados foi de
R$ 5, 87, ou seja, você receberá R$ 5, 87 a mais se
investir o valor presente de R$ 1000, 00 a juros com-
r 12t
)
12
r nt
V P (1 + n
)
↓
V P ert
postos contínuos.
A: Período de conversão
B: Número de períodos de conversão por ano (frequência
de conversão por ano)
6. Juros Compostos Contínuos
Na situação limite dada na tabela acima, dizemos
que o regime é de juros compostos contínuos com
taxa de r%, e a fórmula que fornece o valor futuro
neste caso é
Denição
V F = V P · ert .
(São juros compostos com frequência de conversão
innitesimal.)
Exemplo 8. Que valor deve ser aplicado com taxa de
6, 5% ao ano a juros compostos contínuos para que
no nal de 8 anos se resgate R$ 25000, 00?
6.
Descontos
7. Desconto (Simples)
Denimos desconto (d) como o valor a ser retirado
de uma dívida (de valor V P ) para que devedor a
quite pagando um valor menor (A).
Muitas vezes, o desconto é oferecido ao devedor
pelo credor para que o devedor pague a dívida antes
de seu vencimento, por exemplo.
Exemplo 10. Quanto foi pago de IPTU cujo valor
era de R$ 314, 42, com vencimento em 18/01/2008,
se a taxa de desconto simples foi de %10 para quem
pagasse antes da data de vencimento:
Denição
Resolução:
a) no caso de ter sido saldado 2 dias antes do vencimento?
V F = V P · ert
25000, 00 = V P · e0,065·8
V P = 14863, 01.
b) no caso de ter sido saldado 15 dias antes do vencimento?
Em ambos os casos o desconto e o valor
pago foi o mesmo:
Valor pago: 314, 42 − (10% · 314, 42) = 282, 98.
Desconto: 314, 42 − 282, 98 = 31, 44.
Foi pago de IPTU o valor de R$ 282, 98 e a economia foi de R$ 31, 44.
Vamos, analisar dois aspectos do desconto simples:
o desconto comercial e o racional.
Denição 8. Desconto Comercial Simples ou `por
fora'
Quando um valor V P a ser pago (devido a vencimentos de contas como impostos, cartões de crédito,
empréstimos ou compra de algum produto) em uma
determinada data, é quitado antes desta data, às vezes ele quitado com um valor Ac inferior a V P , isto
é, o valor pode receber um desconto dc , conhecido
como desconto comercial simples, cujo cálculo é feito
através da formula
Resolução:
5.
Aplicação: comparação de
investimentos
Vamos vericar agora através de um exemplo que
juros compostos contínuos fornecem um valor futuro
maior que o mesmo investimento feito a juros compostos discretos.
Exemplo 9. Quanto a mais você deve receber se investir R$ 1000, 00 por 5 anos com taxa de juros de
8% ao ano a juros compostos contínuos em relação
ao mesmo investimento com a mesma taxa e período
de aplicação, mas a juros compostos com frequência
de conversão trimestral?
Resolução:
No caso de juros compostos contínuos:
VF
VF
= V P · ert
= 1000, 00 · e0,08·5 = 1491, 82.
dc = V P · it,
245
onde dc é o desconto comercial simples, i é a taxa de
desconto comercial simples (por unidade de tempo)
e t é periodo que falta para a data de vencimento do
título.
Observação: No caso de desconto comercial simples,
o valor Ac para quitar a dívida antes do prazo é
calculado como
Ac = V P − dc = V P (1 − it).
9. Desconto Racional Simples ou `por dentro'
O desconto racional simples (ao contrário do desconto comercial simples) é calculado sobre o valor
atualizado ou de resgate, isto é, para calcular o desconto usamos a fórmula:
Denição
dr = Ar · it,
onde dr é o desconto racional simples, i é a taxa de
desconto racional simples (por unidade de tempo) e
t é o período que falta para a data de vencimento do
título e Ar é o valor com desconto correspondente.
Observação: No caso de desconto racional simples,
como Ar = V P − dr , o valor do desconto é dado por
dr =
Exemplo
V P · it
.
1 + it
7.
Fluxo de caixa
10. Fluxo de caixa
Fluxo de caixa (de uma empresa, ou de uma pessoa física) é um diagrama geométrico representando
um conjunto de entradas e saidas de valores, dispostos ao longo do tempo. Para a construção deste
diagrama é necessário um levantamento geral do orçamento da empresa, ou da pessoa física. Este orçamento deve conter pagamentos, recebimentos, compras de matérias-prima, compras de materias secundários, salários e outros.
Denição
Abaixo estão apresentado exemplos de orçamento
de pessoas físicas, e correspondentes uxos de caixa.
12. Fluxo de caixa para uma pessoa física
com um salário de R$ 1381, 00.
Exemplo
1381
↑
152 414 180 207 152 276
↓
↓
↓
↓
↓
↓
Diagrama geométrico
As setas para cima indicam entrada de capital, isto
é, salário 100%.
As setas para baixo indicam saída de capital.
Neste exemplo temos:
11. Suponha que eu tenha uma dívida de
R$ 20000, 00 para pagar daqui a dois meses. Qual
é a taxa de desconto que devo ter para, hoje, pagar
R$ 18000, 00 pela dívida
a) no caso de desconto comercial simples?
b) No caso de desconto racional simples?
Resolução:
11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou-
pança (dia 1),
30% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e
plano de saúde (dia 1),
13% gastos com supermercado (dia 2),
15% gastos com transporte (dia 2),
11% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10),
20% gastos pessoais (dias 5 a 10),
totalizando 89% do salário que, somando com os 11%
considerados como entrada (pois são depositados direto na poupança do próprio trabalhador), obtemos
então o total de 100%.
a) no caso de desconto comercial simples:
18000, 00 = 20000, 00(1 − 2i)
40000, 00i = 2000, 00
i = 0.05
= 5%
13. Fluxo de caixa para uma pessoa física
com um salário de R$ 5000, 00.
Exemplo
5000
A taxa de desconto deve ser de 5% ao mês.
↑
550 1000 850 850 1000 750
↓
↓
↓
↓
↓
↓
Diagrama geométrico
b) No caso de desconto racional simples:
20000, 00 = 18000, 00 · (1 + 2i)
2000, 00 = 36000, 00i
i =
e 0.0556
= 5.56%
As setas para cima indicam entrada de capital, isto
é, salário 100%.
As setas para baixo indicam saída de capital.
A taxa de desconto deve ser de aproximadamente 5, 56% ao mês.
11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou-
Neste exemplo temos:
pança (dia 1),
246
20% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e
plano de saúde (dia 1),
17% gastos com supermercado (dia 2),
17% gastos com transporte (dias 5 a 10),
20% gastos pessoais (dias 5 a 10),
15% gastos com luz, água, telefones (dias 20 a 25),
totalizando 89% do salário usado com despesas que,
somando com os 11% depositados na caderneta de
poupança, obtemos então o total de 100%.
Exemplo 14. Fluxo de caixa para uma pessoa física
com um salário de R$ 850, 00.
850
↑
93,50 212,50 153 127,50 127,50 136
↓
↓
↓
↓
↓
↓
Diagrama geométrico
As setas para cima indicam entrada de capital, isto
é, salário 100%.
As setas para baixo indicam saída de capital.
Neste exemplo temos:
11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou-
pança (dia 1),
25% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e
plano de saúde (dia 2),
18% gastos com supermercado (dia 2),
15% gastos com transporte (dia 2),
15% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10),
16% gastos pessoais (dias 5 a 10),
totalizando 89% do salário usado com despesas que,
somando com os 11% depositados na caderneta de
poupança, obtemos então o total de 100%.
8.
Conclusão
Este trabalho foi elaborado visando apresentar pontos da matemática nanceira que possam orientar
uma pessoa a fazer negociações. Atualmente têm
ocorrido grandes facilidades para compra de produtos considerados de alto preço para a classe média
da sociedade e também a oferta de empréstimos, e
conhecendo como se calcula juros, a população pode
analisar qual é a melhor proposta oferecida e se ela
cabe em seu orçamento, isto é, se está coerente com
seu uxo de caixa.
Referências
[1] Frank Ayres Jr, Matemática Financeira , Mc Graw- Hill,
São Paulo, 1971.
[2] Dorival Bonora Jr, Matemática nanceira: análise de investimentos, amortização de empréstimos, capitalização,
utilização de calculadoras nanceiras , Icone LTDA, São
Paulo, 1997.
247
[3] Ronald J. Harshbager and James J. Reynolds, Mathematical applications for the management. Life and social
sciences , Houghton Miin Company, New York, USA,
2004.
[4] J. Muccillo Netto, Matemática Aplicada a Finanças
(Apostila), São Paulo, 2003.
[5] www.wikipedia.com.br, ago a out/2008.